despacho_economico

8/6/2019 despacho_economico

1/59

DESPACHO ECONOMICODESPACHO ECONOMICO

CAGS


2/59

OPERACIN OPTIMA DE SISTEMASDE POTENCIA

Conlleva: Economa en la operacin. Seguridad del sistema

CAGS

combustibles fsiles. Vertimientos de agua en embalses.

Por ahora solo se analizar el primer aspecto,conocido con el nombre de: Problema del DespachoEconmico


3/59

El objetivo mas frecuente del despacho

econmico, es minimizar el costo total dela generacin de potencia activa (MW) de

DESPACHO PTIMO

CAGS

,se logra alimentar todas las cargasadecuadamente.


4/59

Aun cuando las plantas hidrulicas,pueden tener un costo de operacinmuy bajo, estn limitadas por la

OPERACIN OPTIMA DE SISTEMASDE POTENCIA

CAGS

disponibilidad de agua, cuando secontempla un periodo largo. Por simplicidad se iniciar analizando

plantas trmicas.


5/59

Flujo de carga. Hay dos variables conocidas y

dos desconocidas por cada barra. Lasvariables conocidas son: potencia activa yreactiva para las barras PQ, la potencia activa

OPERACIN OPTIMA DESISTEMAS DE POTENCIA

CAGS

y la magnitud del voltaje en las barras PV ymagnitud y ngulo de voltaje en la barra Slack.Si se permite que las variables especificadas

previamente (potencia activa, potencia reactivay magnitud de voltaje) varen en un rango, setendran infinitas soluciones al flujo de carga.


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Operacin econmica de generadores en un

barraje.Costo de operacin de un generador.El principal componente del costo de operacin

DESPACHO ECONOMICO

CAGS

e un genera or es e cos o e com us e.El costo de mantenimiento es menor. El costode combustible es especialmente alto enplantas trmicas y nucleares. En plantas

hidrulicas prcticamente no tiene costo, porla facilidad de almacenar el agua.


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DESPACHO ECONOMICOLa curva de entrada-salida de una unidadtrmica, se puede expresar en millones de

kilocaloras/hora o costo de operacin ($)/horaversus salida en MW. Este costo se puededeterminar experimentalmente.

CAGS

CURVA Costo - MW

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

88.

38.6

8.9

9.2

9.5

9.8

10.1

10.4

10.7 11

11.3

11.6

11.9

12.2

12.5

12.8

13.1

MW

C

osto


8/59

DESPACHO ECONOMICO

La curva anterior, tiene un punto de

MWmin, abajo del cual, puede no sereconmicamente factible despachar la

CAGS

imposible su operacin.


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Despacho EconmicoCURVA Costo - MW

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

Costo

CAGS

8

8

.3

8

.6

8

.9

9

.2

9

.5

9

.8

10

.1

10

.4

10

.7 11

11

.3

11

.6

11

.9

12

.2

12

.5

12

.8

13

.1

MW

MWmonedabPaIC iGiii /)( +=

Gi

i

dP

dCA la pendiente de la curva de costos, se le conocecomo: Costo incremental del combustible (IC)

horamonedadPbPaC iGiiGiii /2

1 2 ++=


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Despacho ptimo en un barrajeSi a priori se conoce cuales generadores (PGi) van a

ser despachados, para satisfacer una demanda PDen un barraje determinado

Es una desigualdad estricta con el

CAGS

DGi max,

Donde PGi corresponde a la potencia nominal delgenerador i. Se cumple adems que:

kiPPP GiGiGi ,......,2,1,max,min, =

fin de disponer de reserva rodante


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Despacho ptimo en un barrajeEl costo de operacin es insensible a la carga reactiva de losgeneradores. Es despreciable

La pregunta es: Cual es la forma optima por la cual se lograatender la demanda PD de la carga, entre los generadoresconectados a la barra?La respuesta a esto se obtiene, si minimizamos el costo operativo:

CAGS

=

=k

i

Gii PCC1

)(

Cumpliendo a su vez, con la desigualdad indicada previamente,para cada generador. En tal caso:

01

==

k

i

DGi PP Ecuacin de balance dePotencia


12/59

Despacho ptimo en un barraje

Dado que es no lineal y adems Cj esindependiente de , entonces, este es unproblema de programacin no lineal separable

)( Gii PC

)( ijPGi

Si nos olvidamos provisionalmente de la restriccin

CAGS

re ac ona a con a es gua a prev a, e pro emase puede resolver por una metodologa deoptimizacin conocida como Multiplicadores deLagrange. El Langragiano se define como:

= =

=

k

i

k

i

DGiGii PPPC1 1

)( L

Multiplicador de Lagrange


13/59

Despacho ptimo en un barrajeLa optimizacin se logra cuando

PGi0=

L

CAGS

kiPGi

i

,....,2,1;==

Gi

i

P

C

Donde es el costo incremental del ith generador

en $/MWh

=

==

=

Gk

k

GG P

C

P

C

P

C............

2

2

1

1


14/59

Despacho ptimo en un barrajeDe acuerdo a lo anterior, el punto de

cargabilidad optima de los generadores,corresponde al punto en el cual, el costoincremental de todos ellos es igual. A las

CAGS

,

Ecuaciones de Coordinacin. El conjunto deecuaciones a solucionar esta compuesto de nderivadas para n generadores y la ecuacin de

demanda. En total son n+1 ecuaciones. Lasincgnitas son las n generaciones y elmultiplicador de Lagrange.


15/59

Despacho ptimo en un barrajeEjemplo

Dos generadores. Ecuaciones de costos:

4*30*125.0

5*40*1.0

2

2

22

1

2

11

++=

++=

GG

GG

PPC

PPC 2,1,12520 = iPGi

CAGS

Se requiere generar 150 MW. Posibilidades y costos

G1 G2 CG1 CG2 Ctotal30 120 1295 5404 6699

50 100 2255 4254 650980 70 3845 2716.5 6561.5

100 50 5005 1816.5 6821.5


16/59


Solucin por

multiplicadores deLagrange.

150

30*25.0

40*2.0

21

2

2

2

1

1

1

=+

=+=

=+=

GG

G

G

G

G

PP

PP

C

PP

C

CAGS

Son tres ecuaciones, tres incgnitas.

Solucin: PG1 = 61.11, PG2 = 88.89, = 52.22

Los despachos obtenidos, cumplen la restriccin:

2,1,12520 = iPGi


17/59


Costos alrededor del punto ptimo.

G1 G2 CG1 CG2 Ctotal

CAGS

60 90 2765 3714.5 6479.5

61.11 88.89 2822.8 3656.4 6479.2

62 88 2869.4 3612 6481.4


18/59

Despacho ptimo en un barraje

Calcular el despacho ptimo para diferentes escenarios de carga.Cuando el despacho de uno de los generadores supera o esta pordebajo de sus valores limites, se genera, el valor mximo o

mnimo respectivamente. Lo anterior es valido siempre y cuandola condicin determinante sea obligar a la generacinEjemplo. Para el caso anterior, calcular el despacho ptimo parauna generacin total de 40 MW.

CAGS

40

30*25.0

40*2.0

21

2

1

=+

=+

=+

GG

G

G

PP

P

P

Solucin: PG1 = 0, PG2 = 40, =40

Se redespacha como PG1 = 20, PG2 = 20


19/59

Despacho ptimo en un barrajeTarea

Para el caso anterior, determinar eldespacho ptimo para un rango de carga

CAGS

es e as a , en ncremen osde 5 MW. Suponer que siempre se debegenerar por lo menos el mnimo.


20/59

Despacho ptimo en un barrajeSupongamos dos

generadores que tienenlos siguientes costos: 100*30*125.0

120*40*1.0

1222

1

2

11

++=

++=

PPC

PPC

G

G

CAGS

,

demanda diaria.Demanda Horaria

00:00 06:00

06:00 18:00

18:00 23:59

0

50

100

150

200

250

00:00 04:48 09:36 14:24 19:12 00:00 04:48

Hora

MW Pmn = 76

Pmx = 220


21/59

Despacho ptimo en un barrajeSupongamos que el solo prender un generador,ocasiona un gasto de 400. Es conveniente, desde unpunto de vista financiero, apagar uno de losgeneradores, en los periodos de baja carga?

CAGS

76

30*25.040*2.0

21

2

1

=+

=+

=+

GG

G

G

PP

PP

servicio, en el periodo de carga alta.En el periodo de demanda mnima se tiene que:

56

20

2

1

=

=

G

G

P

P


22/59

Despacho ptimo en un barrajeDe acuerdo a lo anterior, se tendran los dos

siguientes escenariosG1 G2 CG1 CG2 CostoFijo Ctotal

CAGS

0 76 0 3102 400 3762420 56 960 2172 0 37584

Los 400 adicionales, solo se le asignan al escenarioen el cual G1 = 0, ya que en este caso, es necesarioprender el generador para las siguientes 12 horas

con demanda total de 220 MW


23/59

Despacho ptimo teniendo en cuenta

prdidasEn este caso, las prdidas pueden afectar la forma en quedistribuimos la generacin entre varias plantas. El problema de

optimizacin es entonces minimizar:

=

=k

i

Gii PCC1

)(

CAGS

en todo momento, sujeto a satisfacer la demanda, incluyendoprdidas de transmisin

)1(01

==

L

k

i

DGi PPP

k: nmero total de generadoresPgi : generacin de la iesima planta

PD : suma de las demandas en cada barra

PL : Prdidas totales del sistema de transmisin

Ecuacin debalance dePotencia


24/59

Despacho ptimoSe plantea el Langragiano:

= =

=

k

i

k

i

LDGiGii PPPPC1 1

)( L

CAGS

Es posible demostrar que si se supone que el factor depotencia de cada carga permanece constante, lasprdidas del sistema, se pueden expresar como unafuncin de la generacin de activa en cada planta.

),.....,,,( 321 GkGGGLL PPPPPP =


25/59

Despacho ptimoEl despacho ptimo se logra cuando

kiP

P

P

C

P Gi

L

Gi

i

Gi

,....,2,1,0 ==

+

=

L

CAGS

Reorganizando

kiLP

Co

P

P

P

C

i

Gi

i

Gi

L

Gi

i

,....,2,1,)2(

1

==

=

=

Gi

L

i

P

PLDonde

1

1 Factor dePenalidad delgenerador iesimo


26/59

Despacho ptimoEl multiplicador Langragiano estar en

$/MWh, cuando el costo del combustible esteen $/hora. La ecuacin anterior, indica que elcosto mnimo de operacin se logra cuando el

CAGS

multiplicado por su factor de penalidad, seaidntico para todos los generadores.Las (k+1) variables (PG1, PG2,., PGk, ) se

pueden calcular a partir de los k despachosptimos (2) y de la ecuacin de balance depotencia (1).


27/59

Despacho ptimoA la derivada parcial

Gi

L

P

P

Se le conoce con el nombre de Prdidas Incrementales

CAGS

esimo .

(2) tambin se puede escribir como

[ ] kiITLIC ii ,....,2,1)(1)( ==

A esta ecuacin se le conoce con el nombre deEcuacin Exacta de Coordinacin


28/59

Prdidas de TransmisinForma aproximada

para expresar lasprdidas como unafuncin de las

Gnmn

k

m

k

nGmL PBPP = =

=1 1

P , P = Potencia activa en el m-

CAGS

potencias activas delos generadores:Coeficientes-B

avo o n-avo generadorBmn = Coeficiente de prdidas, los

cuales son constantes, bajodeterminadas condiciones degeneracin

Si PG,s estn en MW, Bmn debe estar en MW-1. Bmn = Bnm


29/59

Prdidas de Transmisin

La ecuacin de

prdidas se puedeescribir en formamatricial, como:

=

=

=

k

ik

G

G

G

G

t

GL

BBB

BBB

ByP

P

P

BPPP

22221

1211

2

1

MM

L

L

M

CAGS

kkkkGk BBBP 21

B es una matriz simtrica. Para un sistema de tres plantas se tendra:

133132232121

2

333

2

222

2

111 222 GGGGGGGGGL PPBPPBPPBPBPBPBP +++++=

Y

=

= =

Gnmn

k

m

k

n

Gm

GiGi

L PBPPP

P

1 1


30/59


=

=

=

=

++

=

k

j

Gjij

Gi

L

GiijGi

k

im

m

GimnGmGnin

k

in

n

Gi

GiGi

L

PBP

P

PBPPBPPBPPP

P

1

11

2

CAGS

iGiiGiii dPbPaC ++=

2

2iGii

Gi

i

bPaP +=Recordando que

y [ ] kiITLIC ii ,....,2,1)(1)( ==

( )

=

=

+=+

=++

k

ij

j

GjijiGiiii

k

j

GjijiGii

PBbPBa

PBbPa

1

1

22

2


31/59


kiB

a

PBb

P

iii

k

ij

j

Gjiji

Gi .....,,2,1;2

211

=

+

=

=

CAGS

La ecuacin anterior, junto con la ecuacin de balance de potencia, son labase para calcular los despachos ptimos de los generadores. Eldespacho del generador i es funcin del despacho de los generadores j. Elproceso es iterativo, iniciando en algn valor razonable. El proceso sedetiene cuando los despachos no se modifican entre iteracin e iteracin.


32/59

Despacho ptimo

1. Seleccionar un valor para:2. Suponer PGi = 0,

i=1,2,.,k3. Solucionar (1) en forma

iterativa para los Pgi,s4. Calcular PL Gnmn

k k

GmL PBPP =

kiB

a

PBb

Pii

i

k

ijj

Gjiji

Gi .....,,2,1;2

211

=

+

=

=

0=

(1)

CAGS

5. Verificar si se satisface laecuacin de balance depotencia

6. Si se satisface, detener

proceso, en casocontrario, incrementar odecrementar de acuerdoa la siguiente expresin y

continuar con paso 3.

m n= =1 1


33/59

Ejercicio 1Para el sistema de dos barras de la figura, se transmiten 100 MWde la planta 1 a la carga. Se tienen unas prdidas de 10 MW.

Calcular la generacin en cada planta y la potencia recibida por lacarga, cuando es de $25/MWhEl costo incremental es:

MWhPP

CG /$16*02.0 1

1 +=

CAGS

MWhPPC

G

G

/$20*04.0 22

2+=

GEN1

CARGA

GEN2

N2N1


34/59

Ejercicio (cont)PG2 no tiene efectos en las prdidas, ya que su cargaesta en la misma barra.B22 = 0 y B12 = 0 = B21

2 210010 = B

CAGS

111 GL

Entonces

111 001.0

= MWB

202204.0

162202.0

1212222

2121111

=++

=++

GGG

GGG

PBPBP

PBPBPG1

G2

=++ =

k

j

GjijiGii PBbPa1

2


35/59

Ejercicio (Cont)Al sustituir valores de B y PG1 = 128.57 MWPG2 = 125 MW

Las prdidas de transmisin sern:

CAGS

MWPL 53.1657.128001.02

==

La carga es:

PD = PG1 + PG2 PL = 128.57 + 125 16.53 = 237.04


36/59

Ejercicio 2Para el ejercicio anterior, calcular el ahorro debido a tener en cuentaprdidas.

Ya se conoce el despacho teniendo en cuenta prdidas. Si no setienen en cuenta, se procede con la metodologa inicialmente vista:

CAGS

04.2370001.0

..

2

121

21

+=+

=

GGG

GG

PPP

Al solucionar el sistema anterior, da:

PG1 = 275.18, PG2 = 37.59


37/59

Ejercicio 2El cambio en costo para el G1 por pasar de la solucin anterior, a la nueva es:

PPdPP GGGG 1601.0)1602.0(18.275

57.1281

2

1

18.275

57.12811 +=+

CAGS

h

PPdPP

r

GGGG

/$43.2032

2002.0)2004.0(

.

59.37

1252

2

2

59.37

12522

=

+=+

=

Ahorro: 2937.69 2032.43 = $905.26/hr


38/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISIN Mtodo preciso: Kron. Muy complicado

Presentaremos un mtodo simplificadoSea el siguiente sistema:

CAGS

D

p

p

I

IM

1

1 =SM-17

SM-24

L36

N720 kV

L41

N3320 kV

N1020 kV

1

2

Id

Ip1

Id

El generador 1, proveetoda la potencia Idnecesaria.

Se define:

En forma similar para el generador 2D

p

pI

IM

2

2 =Factores deFactores de

Distribucin deDistribucin de

corrientecorriente


39/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINCuando ambos generadores estn en

funcionamiento

CAGS

SM-17

SM-24

L36

N720 kV

L41

20 kV

N1020 kV

1

2

g

Ip

Id

Ig2

2211 ** GpGpp IMIMI +=


40/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINSupuestos:

A) Todas las corrientes de carga tienen el mismongulo de fase, con respecto a una referencia comn.

CAGS

iDiiiDi

i i

i

Angulo del voltaje Angulo de la carga

De acuerdo a esto, tiene sentido que el ngulo vare

en un rango muy estrecho. Es decir, es casi constante


41/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINb) Se supone que la relacin X/R es igual para todaslas lneas y transformadores.

Dado que las relaciones X/R son iguales, las corrientespor los elementos deben tener ngulos iguales a los delas cargas.

CAGS

Con base en estas dos suposiciones se concluyeque IP1 e ID tienen el mismo ngulo de fase y por lotanto los factores de distribucin de corriente(Mpi)son prcticamente nmeros reales.


42/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINSea

222111 == GGGG IIyII

Con base en las dos ecuaciones anteriores se tiene que

222sinsincoscos IIIII +++=

CAGS

)cos(2 2121212

2

2

2

2

1

2

1

2 ++= GGPPGPGPP IIMMIMIMI

Al expandir esta ecuacin y simplificar, tenemos

Si se tiene en cuenta que

22

22

11

11

cos3cos3 V

PIy

V

PI GG

GG ==


43/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINSi Rp es la resistencia de la rama p, las prdidas totalesdel sistema sern:

=PPL RIP

2

3

Sustituyendo la ecuacin para IP se tiene que:

CAGS

( )

( )

+

+=

p

PPG

p

PPPGG

p

PPG

L

RMV

P

RMM

VV

PP

RMV

PP

222

2

2

2

2

2

21

2121

2121

2

12

1

2

1

21

cos

coscos

)cos(2

cos


44/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINLa ecuacin anterior es equivalente a

2

2222112

2

111 2 GGGGL PBPPBPBP ++=

21

CAGS

Donde( )

( )

=

=

=

p

PP

p

PPP

p

PP

RMV

B

RMMVV

B

V

2

22

2

2

2

22

21

2121

2112

12

1

2

1

11

cos

1

coscos

)cos(cos

221211 ,, BBBA los coeficientes se les conoce como

coeficientes de prdidas o coeficientes B


45/59

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISINPara el caso general de k plantas:

= =

=k

m

k

n

GnmnGmL PBPP1 1

CAGS

Donde

=p

PPnPm

nmnm

nmmn RMM

VVB

coscos

)cos(


46/59

Adems de los supuestos ya presentados, sonnecesarios los siguientes supuestos adicionales, en

caso que se necesite que los coeficientes-B,permanezcan constantes a diferentes despachos.

FORMULA PRDIDAS DE

TRANSMISIN

Todas las corrientes de car a, cambian en la misma ro orcin con

CAGS

respecto a la corriente total

Las magnitudes de voltaje permanecen constantes en todas las plantas

La relacin de potencia reactiva a la activa (o equivalentemente elfactor de potencia) permanece constante en todas las plantas

Los ngulos de los voltajes de fase en las plantas permanecen constantes.


47/59


48/59

EjemploTodas las corrientesde carga, tienen una

relacin constante conrespecto a la corriente

l.2174.0

15.16.4

25.01

7826.0

15.16.4

9.06.3

=

=

+

=

=

+

j

j

II

Ij

j

II

I

dc

c

dc

d

CAGS

7826.0,2174.0,2174.0,1 1111 ==== dcba MMMM

7826.0,2174.0,7826.0,0 2222 ====dcba MMMM


49/59

EjemploGeneralmente sedebera correr un flujode carga. En esteejemplo no esnecesario o

o

9.4051.109.0048.1

)06.0015.0)(4.06.1(1

05.6066.11125.006.1

)06.0015.0)(5.02(0.1

2

1

=+=

++==+=

++=

j

jjV

puj

jjV

CAGS

Los ngulos de las corrientes de las plantas sern: ),( 21 cba IIIII +==

( ) 10coscos

146.2

65.0tan;14

2

5.0tan

21

1

2

1

1

==

=

==

=

o

oo

Los factores de potencia de las plantas: ( ) 9393.01405.6cos1 =+=oopf

( ) 946.0149.4cos2 =+=oopf


50/59

EjemploLos coeficientes de prdidas son:

02224.0

9393.0*066.17826.0*01.02174.0*01.02174.0*015.01*015.0

22

2222

11

=

+++=B

CAGS

00406.0

946.0*9393.0*051.1*066.1

7826.0*01.02174.0*01.0015.0*7826.0*)2174.0(

01597.0

946.0*051.17826.0*01.02174.0*01.02174.0*01.07826.0*015.0

22

12

22

2222

22

=

++

=

=

+++=

B

B


51/59

EjemploEn ocasiones, la potencia de generacin est

en PU. En tal caso, los coeficientes-B, tambindebern estar en pu. En base de 100 MVA:

CAGS

100

00406.0 100

01597.0100

12

22

11

=

=

=

B

B

B


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FLUJO DE CARGA PTIMOPlanteamiento general. Se iniciar planteando una funcin objetivoy restricciones de igualdad (ecuaciones de flujo de carga). Luegose generalizar para incluir desigualdades (limites)Minimizar la funcin objetivo escalar:

=k

PCC )(

CAGS

i

Sujeto a las ecuaciones de flujo de carga. Barras PQ:

( )

( ) 0sin

0cos

1

1

=++

=+

=

=

ijijijj

n

j

ii

ijijijj

n

j

ii

YVVQ

YVVP


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FLUJO DE CARGA PTIMOBarras PV

( ) 0cos1

=+ =

ijijijj

n

j

ii YVVP

En la barra Ith

CAGS

DiGii

DiGii

QQQ

PPP

=

=

Donde PGi y Pdi son las demandas en la barra i

Las ecuaciones para las barras PV y PQ se pueden expresar enforma vectorial


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FLUJO DE CARGA PTIMO

=

barra PVparaP,enecuacin

barra PQparaQ,enecuacin

barra PQparaP,enecuacin

),( yxf

= barra Para

barra PQpara,

x

iV

El vector de variables de endientes es:

CAGS

barra PVpara,

i

y el vector de variables independientes es:

=

=p

u

V

P

Q

P

V

i

i

i

barra PVpara,

barra PVpara,

barra PQpara,

barra PQpara,

slackbarrapara,

slackbarrapara,

y

1

1

1


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FLUJO DE CARGA PTIMOEl vector de variables independientes y se puedeparticionar en un vector u de variables de control, las

cuales se modificarn hasta lograr un valor ptimo dela funcin objetivo y un vector p, de parmetros fijos ono controlables. Las variables controlables pueden ser

CAGS

Gi

las barras con potencia de generacin.


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FLUJO DE CARGA PTIMODe acuerdo a lo

anterior, el problemade optimizacin sepuede plantear como

( )uxCu ,min

CAGS

Sujeto a lasrestricciones de

igualdad

( ) 0,, =puxf


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FLUJO DE CARGA PTIMOPara solucionar el problema de optimizacin,

se define la funcin del Langragiano como:

),,(),(,, uxuxCux T=L

CAGS

Donde es un vector de multiplicadores deLagrange de las mismas dimensiones que f(x,u,p)

Las condiciones necesarias para minimizar la funcinde Lagrange sin restricciones son


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FLUJO DE CARGA PTIMO

0

0

=

+

=

=

+

=

Ti

T

i

u

f

u

C

u

x

f

x

C

x

L

L

CAGS

( ) 0,, ==

puxf

L

Estas ecuaciones son no lineales y solo sepueden resolver por medio de un procesoiterativo. Un mtodo muy utilizado es el metododel gradiente o mtodo del menor pasodescendente


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FLUJO DE CARGA OPTIMOLa tcnica para resolver las ecuaciones

anteriores, es ajustar el vector de controlu, para que pase una solucin valida(conjunto de valores x que satisfacen las

CAGS

ecuaciones de restriccin para unosvectores u y p dados. Es decir la solucindel flujo de carga) en la direccin delpaso descendente mas pequeo(gradiente negativo), a un nuevo valorcon un valor de gradiente menor.

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