INTRODUCCION

Con este ttulo englobaremos dos teoremas, sumamente til en el desarrollo de los temas que corresponden al anlisis estructural, que son el Teorema de los Desplazamientos Virtuales (TDV) y el Teorema de las Fuerzas Virtuales (TFV).

Su importancia, en el anlisis estructural, estriba en su versatilidad y la simplicidad con que su aplicacin permite demostrar la validez de muchos procedimientos que utilizaremos en temas que abordaremos ms adelante en este curso.

Bsicamente en estos Teoremas se analiza el trabajo que realiza un conjunto de fuerzas, en equilibrio interno y externo, y un conjunto de desplazamientos compatibles con la vinculacin interna y externa, en una estructura.

En la bibliografa estos Teoremas se los sabe conocer como Principios, a partir de los cuales se puede construir la esttica. Aqu utilizaremos el trmino Teorema y demostraremos su validez, porque tradicionalmente la esttica, en cursos anteriores en nuestra Facultad, se ha desarrollado a partir de otra serie de principios como el paralelogramo de las fuerzas.El pincipio de los trabajos virtuales, en su vrtice de deplazamiento virtuales, fue introducido por Jon Bernouilli en 1717. La obtencin del mismo deriva de la formulacin dbil (o integral) del problema elstico que se desarrolla en un mar mas amplio y con mucha mayor generalidad de hecho, una gran cantidad de los mtodos de calculo modernos se basan en la formulacin dbil de los problemas.

TRABAJO DE UNA FUERZAEn forma clsica se define como trabajo de una fuerza en un desplazamiento al producto escalardT = F . ds F la fuerza en cada punto de la trayectoria. ds el vector desplazamiento elemental, tangente a la trayectoria en ese punto. En algunos casos F podra representar un campo vectorial (el gravitatorio) y s la trayectoria de una partcula en ese campo.

TRABAJO DE UN PARConsideremos un cuerpo plano (x,y) sobre el que actan dos fuerzas F paralelas, iguales y de sentido contrario, una aplicada en el punto A y la otra en el punto B, entre los que media la distancia d. Ambas generan un momento que puede representarse como un vector perpendicular al plano, de intensidad M:M = d x FCualquier traslacin que se aplique al cuerpo implicar trabajo nulo del par, ya que ambos pun-tos de aplicacin de las fuerzas componentes sufrirn el mismo desplazamiento y siendo ambas de sentido contrario el trabajo de una ser igual y de signo contrario al que desarrolle la otra.Si se imprime un giro al cuerpo, alrededor de un punto O en el plano x,y, de intensidad ,tan pequeo que sea aplicable la cinemtica lineal, los puntos A y B experimentarn desplazamientos perpendiculares a los segmentos OA Y OB respectivamente:

y El trabajo total ser la suma del trabajo de ambas fuerzas:

En conclusin, el trabajo de un par es proporcional a su intensidad, proporcional a la intensidad del giro aplicado e independiente de la direccin de las fuerzas, de sus puntos de aplicacin y de la ubicacin del centro de giro.

DESPLAZAMIENTOS VIRTUALESVirtual se opone en este caso a real. Un desplazamiento virtual es aqul que, por ejemplo, atenindose a la restriccin que puede implicar la existencia de un vnculo no se podra producir realmente, en cambio s en el campo virtual.

Entenderemos al desplazamiento virtual (DV) como el conjunto de parmetros que definen unvocamente un movimiento independientemente de las restricciones reales que puedan existir. En el caso de un punto en el plano son dos componentes independientes de corrimiento, en el caso de un cuerpo son dos componentes de traslacin y un giro.

TRABAJOS VIRTUALESDefinimos como trabajo virtual de una fuerza F al trabajo que ella desarrolla en un desplazamiento virtual . De acuerdo con la definicin clsica del producto escalar, resulta:

Teorema de los Trabajos Virtuales para fuerzas concurrentes El trabajo de la resultante de un conjunto de fuerzas concurrentes, en un desplazamiento virtual, es igual a la suma de los trabajos virtuales de cada una de las fuerzas componentes, en el mismo desplazamiento.Sea el conjunto de fuerzas F1, F2,........, Fn, concurrentes en el punto A, dado el desplazamiento virtual , la suma del trabajo de todas las fuerzas ser:

Si el conjunto de fuerzas concurrentes est en equilibrio la resultante es nula: R = 0Su trabajo virtual y la suma de los trabajos virtuales de todas las componentes tambin sern nulos, y viceversa, si la suma de los trabajos virtuales de todas las componentes es nula:

Dado que el desplazamiento virtual no es nulo, deber serlo la resultante y por lo tanto existir equilibrio. Esto permite establecer que:Dado un conjunto de fuerzas concurrentes es condicin necesaria y suficiente para que exista equilibrio, que la suma de los trabajos virtuales de todas las fuerzas sea nulo para cualquier desplazamiento virtual.TEOREMA 2El trabajo de la resultante de un conjunto de fuerzas, que actan sobre un cuerpo, en un desplazamiento virtual es igual a la suma de los trabajos virtuales de cada una de las fuerzas actuantes, en el mismo desplazamiento.Como resultante se entiende no necesariamente una fuerza sino el efecto total resultante de un conjunto de fuerzas cualesquiera que, como se sabe, puede ser reducido a una fuerza y un par.El corrimiento virtual de un punto Ai cualquiera de un cuerpo indeformable, que sufre un desplazamiento virtual constituido por una traslacin de intensidad en el plano y una rotacin de intensidad alrededor de un punto O cualquiera, puede ser expresada como:

d: distancia del punto O hasta ALa anterior es vlida en el mbito de la cinemtica lineal, esto es derivadas pequeas de los desplazamientos o, en trminos prcticos, desplazamientos pequeos de los puntos del cuerpo en relacin con sus dimensiones, por lo tanto el desplazamiento virtual deber mantenerse en ese mbito.Teniendo en cuenta que: Siendo i; j; k vectores

Si sobre el cuerpo indeformable acta un sistema de fuerzas, representando Fi cada una de las fuerzas aplicadas en cada punto genrico Ai, el trabajo virtual ser:Por lo tanto:

Si el sistema est en equilibrio, o sea que se cumple:Resulta el trabajo virtual nulo (TV = 0) para cualquier desplazamiento virtual DV ().Cuerpos RigidosDinmica de cuerpo rgido estudia el movimiento de los sistemas de rganos interconectados bajo la accin de fuerzas externas. La suposicin de que los cuerpos son rgidos, lo que significa que no se deforman bajo la accin de las fuerzas aplicadas, simplifica el anlisis mediante la reduccin de los parmetros que describen la configuracin del sistema para la traduccin y la rotacin de los marcos de referencia unidos a cada cuerpo.La dinmica de un sistema de cuerpo rgido se define por sus ecuaciones de movimiento, que se derivan ya sea utilizando Newton las leyes del movimiento y la mecnica de Lagrange. La solucin de estas ecuaciones de movimiento define la forma en la configuracin del sistema de cuerpos rgidos cambios como una funcin del tiempo. La formulacin y la solucin de la dinmica de cuerpo rgido es una herramienta importante en la simulacin por ordenador de los sistemas mecnicos.Desplazamiento Virtual en Cuerpos RgidosEl trabajo virtual total de las fuerzas, interiores y exteriores, que se ejercen sobre los distintos puntos, deber ser nulo. Como las fuerzas interiores que se ejercen los puntos son, dos a dos, de igual recta soporte y modulo pero de sentidos opuestos, el trabajo que cada dos de ellas efecten en un desplazamiento virtual cualquiera del cuerpo rgido ser nulo. Asi pues, durante un desplazamiento virtual cualquiera del cuerpo, solo efectuaran trabajo las fuerzas exteriores. Todo sistema de fuerzas que se ejerza sobre un cuerpo rgido puede sustituirse por una fuerza resultante R y un par resultante C. por tanto, el trabajo que sobre un cuerpo rgido efectan las fuerzas exteriores durante un desplazamiento virtual lineal y un desplazamiento virtual angular arbitrarios, ser:

Expresando la fuerza resultante R, el par resultante C y los desplazamientos virtuales en formal vectorial cartesiana y efectuando los productos escalares, se tiene:

Combinando las ecuaciones y aplicando el principio del trabajo virtual, se tiene: Considerando uno por uno los desplazamientos virtuales lineales y los desplazamientos virtuales angulares. Por tanto, la ecuacin del trabajo virtual no es sino otra manera de enunciar las ecuaciones de equilibrio de un cuerpo rgido. El principio del trabajo virtual no simplifica la solucin de los problemas referentes al equilibrio de un cuerpo rigido nico ya que la ecuacin es equivalente a las ecuaciones de equilibrio y .Equilibrio de un sistema ideal de cuerpos rgidos interconectadosEl principio de trabajo virtual puede tambin utilizarse para estudiar sistemas de cuerpos rgidos interconectados. Frecuentemente, tales problemas se pueden resolver utilizando el sistema completo en vez de los diagramas de solido libre de los distintos miembros del sistema.Cuando el sistema permanece conectado durante el desplazamiento virtual. Solo ser necesario considerar el trabajo de las fuerzas exteriores al sistema, ya que el trabajo total efectuado por las fuerzas interiores en las interconexiones de los miembros durante un desplazamiento virtual cualquiera ser nulo dado que las fuerzas se contrarrestan dos a dos. Esta condicin existe cuando la conexin sea un pasador liso, un rodillo liso o una barra o un cable inextensible. Cuando haya que determinar la reaccin ejercida por un apoyo, se sustituye la ligadura por una fuerza y se da al cuerpo un desplazamiento virtual que tenga una componente en la direccin de la fuerza. Se calcula el trabajo virtual efectuado por la reaccin y las dems fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo. Si hubiera que determinar varis fuerzas, se da al sistema de cuerpos una serie de desplazamientos virtuales independientes entre si en los cuales solo una de las fuerzas incgnitas efectu trabajo virtual durante el desplazamiento.Los problemas que se trataran en este captulo se limitaran a casos de un solo grado de libertad, es decir, a sistemas para los cuales los desplazamientos virtuales de todos sus puntos se puedan expresar en funcin de una sola variable (desplazamiento).

AplicacionesPara el anlisis de los sistemas robticosPara el anlisis biomecnico de los animales, seres humanos o sistemas humanoidesPara el anlisis de los objetos espacialespara el diseo y el desarrollo de la dinmica de sensores como sensores giroscpicos etc basanPara el diseo y desarrollo de diversas aplicaciones de mejoramiento de la estabilidad en automviles etcPara la mejora de los grficos de los videojuegos que implica cuerpos rgidos