Determinacion de la Curva de Nukiyama en la interfase Cu - N2 y

Efecto Leidenfrost

A. Abate

Instituto Balseiro - Experimental I

(Dated: 8 de Diciembre, 2010)

Abstract

En el presente trabajo se estudio la transferencia de calor de una esfera maciza de Cu a tem-

peratura ambiente sumergida en N2. Se midio la variacion de la temperatura en el tiempo. Se

considero que la conduccon del calor esta dada por la Ley de Fourier. A partir de los valores

tabulados de Cv del Cu con la temperatura se encontro un valor mınimo de transferencia corre-

spondiente al efecto Leidenfrost en la Curva de Nukiyama. Se realizo el mismo analisis, calculando

el CV a partir del Modelo de Einstein. En una segunda instancia, se colocaron distintas capas de

papel film sobre la muestra y se encontro que mejoro la transferencia alcanzando el equilibrio mas

rapidamente, sin detectarse el efecto mencionado anteriormente. Se determino que para dos capas

de aislante la transferencia fue maxima.

1

I. INTRODUCCION

Cuando una esfera de cobre, Cu, a temperatura ambiente T1 es sumergida en Nitrogeno

lıquido, N2, que se encuentra a temperatura de saturacion TSat � T1, el flujo de calor desde

la esfera produce la ebullicion del lıquido a su entorno. A medida que el tiempo transcurre,

el cuerpo se enfrıa y la ebullicion disminuye, instantes antes de desaparecer se observa un

incremento violento en el hervor y entonces se alcanza subitamente el equilibrio termico.

Este fenomeno es denominado Efecto Leidenfrost y tiene que ver con la naturaleza de la

transferencia de calor entre la superficie de un solido y un medio lıquido a baja temperatura.

Cuando existe en un sistema con un gradiente de temperatura se presenta la transferencia

de calor por conduccion y por conveccion. En el caso de la conduccion, las moleculas

o atomos en la zona de mayor temperatura moviendose con mayor velocidad transfieren

mediante choques parte de su energıa a las moleculas adyacentes.

En la Fig. (1) se representa la curva de Nukiyama donde pueden apreciarse diferentes

regiones de acuerdo a la manera en que el calor es transmitido [2].

Figure 1: Curva de Nukiyama que determina las diferentes regiones de transmicion del calor.

2

En la region I, el calor generado por la esfera de Cu es relativamente pequeno, por lo

tanto calienta el N2 localmente causando una disminucion en su densidad. El lıquido se eleva

y es reemplazado por lıquido mas frıo, entonces la transferencia de calor es por conveccion

libre.

La region II se conoce como evaporacion de nucleo y ocurre a mayor temperatura ya que

la esfera calienta el lıquido elevando su temperatura localmente hasta la temperatura de

saturacion donde se produce su evaporacion. Esta evaporacion local se producen burbujas

de vapor que al pasar por las porciones mas frıas del lıquido colapsan y nunca llegan a la

superficie.

En la region III el regimen es mas eficiente en la transferencia de calor que el anterior y

se extiende hasta el punto C de maximo flujo de calor, en el donde las burbujas llegan a la

superficie lıquido-aire y liberan su vapor.

La region IV comienza una vez alcanzado dicho valor crıtico, donde las burbujas se

fusionan antes de terminar separandose definitivamente y forman una delgada capa de vapor

inestable alrededor de la superficie del objeto solido aislandolo. El punto D es denominado

de Leidenfrost y corresponde al valor mınimo de flujo de calor.

En la region V la capa de vapor se vuelve mas estable y la transferencia de calor per-

manece aproximadamente constante. Finalmente, a temperaturas mas elevadas, es relevante

la transferencia de energıa por radiacion a traves de la capa de vapor por lo cual la tasa de

flujo de calor vuelve a elevarse.

Se asume que los gradientes de temperatura son pequenos dentro de la esfera, lo cual

indica que la temperatura es uniforme dentro del cuerpo y es valido si el numero de Biot es

suficientemente pequeno [3]:

Bi =L.h

K(1)

donde L es la longitud caracterıstica de la esfera, K es la conductividad termica del Cu

y h es el coeficiente de transferencia calorica superficial. La ley de enfriamiento de Newton

establece que:

h =q

T − TSat(2)

siendo Q es el calor transferido del cuerpo de Cu de area A hacia el N2 por unidad de

3

tiempo, por lo tanto h es una constante que depende de la geometrıa del sistema.

Considerando que la temperatura en cualquier punto de la esfera es igual al valor medio

definido en el volumen, se calcula la transferencia de calor a partir de la ley de Fourier

mediante la siguiente ecuacion:

q =Q

A=m.Cp(t)

A.dT

dt(3)

donde Cp(t) es la capacidad calorıfica del Cu a presion atmosferica (dependiente de la

temperatura), m la masa de la esfera, A el area del cuerpo sumergido, T y t la temperatura

y el tiempo, respectivamente.

El calor especıfico molar a presion constante, Cp(t), esta relacionado con el calor especıfico

a volumen constante, Cv(t) por la siguiente expresion:

Cp(t) = Cv(t) +V Tβ

κ(4)

donde β es el coeficiente isobarico de expansion termica y κ es la compresibilidad

isotermica. Para el rango de temperaturas de interes (entre ambiente y 77 K), la difer-

encia entre Cp y Cv es menor del 3% de Cv, y se encuentra en un valor maximo a los 300K.

Por la tanto se desprecia dicho termino de la Ec.(4).

El calor especıfico de un solido, Cv, tiene una contribucion electronica γ.T y una con-

tribucion de fonones CI tal que:

Cv(t) = CI(t) + γ.T (5)

La constante electronica, γ para el Cu varıa entre (1.60 1.80).10−4[cal/mol.o]. La maxima

contribucion al Cv, en el rango de (70 − 300)[K], ocurre a los 70K donde es 2.5% de Cv.

Por tanto, se desprecia γ frente a CI en la Ec. (5).

A partir del modelo de Debye es posible describir CI , considerando al solido como un

continuo elastico de volumen V , formado por N atomos y por tanto, 3N modos normales.

El analisis realizado en este trabajo se consideran iguales a las 3N frecuencias, este modelo

fue propuesto por Einstein y es mas sencillo pero es mas impreciso que el de Debye, sobre

todo a bajas temperaturas. Se encuentra que:[1]

CE = 3.R[ΘE

T

]2 exp(ΘE/T )

[exp(ΘE/T ) − 1]2(6)

4

donde R es la constante universal de los gases R = 8, 13 JmolK

y ΘE es la temperatura

caracterıstica de Einstein.

Finalmente, el ultimo modelo se aproxima al de Debye utilizando:

ΘE = ΘD

[a+ b exp

(−c.TΘD

)](7)

Siendo a = 0, 77, b = 0, 26, c = 9, 17 y la temperatura caracterıstica de Debye ΘD = 315K

para el Cu. [4]

Se puede determinar la transferencia de calor, midiendo T (t) y utilizando las ecs. (3),

(6) y (7).

En una segunda instancia, se recubrio al cuerpo con un aislante termico y se obtuvo

tambien la curva de la historia termica para este caso. Debido a la conservacion de la energıa

el calor transferido desde el cuerpo al aislante es igual al transferido al fluido sumado a la

variacion de la energıa interna del aislante.

Se desprecio la variacion de energıa en el aislante debido a que su espesor e era muy

pequeno comparado con la longitud caracterıstica d. Por lo tanto, la ecuacion de conduccion

del calor en la capa de aislante es laminar, dada por la siguiente ecuacion:[4]

Q

A=∫ Ka

e.dT (8)

Siendo Ka la media de la conductividad termica del aislante y el rango de temperaturas

de la integral es Ta y Tb que son las temperaturas interna y externa de la superficie de la

capa de aislante, respectivamente. Se asumio que la energıa interna del aislante era igual a

la de la esfera.

Los objetivos de la presente experiencia fueron estudiar la transferencia de calor de una

esfera maciza de Cu sumergida en N2 descubierta y aislada con distintas capas de papel

film, y encontrar un espesor crıtico tal que la transferencia fuera maxima.

II. METODO EXPERIMENTAL

Se utilizo un termo de vidrio con el objeto de evitar perdidas de calor. En el interior del

mismo se coloco una esfera de Cu suspendida por un soporte universal del modo tal que se

encontraba totalmente sumergida en N2 a presion atmosferica(ver Fig. (2)).

5

Figure 2: Esquema de montaje experimental.

Para medir la temperatura se utilizo una termocupla tipo K (Chromel-Alumel) que se

coloco dentro de un orificio interno a la esfera mejorando la conduccion con ella con el grasa

siliconada. La termocupla fue conectada con un amplificador de senal y con una tarjeta

de adquisicon de 16 bits unida a una punta frıa electronica, voltaje de referencia. Los

datos fueron almacenados con una PC y se adquirio voltaje en funcion del tiempo con el

programa TracerDAQ a una frecuencia de muestreo de 100 Hz. La relacion entre tension

y temperatura se calculo realizando el ajuste polinomial de temperatura vs tension (Ver

Apendice).

Se calibro la termocupla se sumergiendola en N2 con la relacion lnP = − LRT

+ C, con-

siderando la presion atmosferica estandar de bariloche 0,92 bar (a 800 m sobre el nivel del

mar).

Con el fin de evitar ruido de 50Hz de la frecuencia de lınea se coloco un filtro a la entrada

del conversor A/D.

Cabe destacarse que antes de realizar cada medicion se limpiaba la superficie de la muestra

con alcohol etılico para que no haya ninguna sustancia en la interface N2 y Cu.

A partir de los datos medidos se calculo la transferencia de calor con las ec. (3). En

primer instancia se utilizo un modelo numerico con el programa Exel para determinar dTdt

y

el Cv se obtuvo a partir de una interpolacion de los valores tabulados, utilizando la funcion

6

interpolate del programa Origin Pro 8.0. En una segunda instancia, se determino el Cv a

partir de las ecs. (7) y (8), propuestas por el Modelo de Einstein.

Para cada caso se encontro la curva de Nukiyama mencionada anteriormente que repre-

senta el logaritmo del valor absoluto de la potencia y en funcion del logaritmo de T − TSat

para la esfera en contacto directo con el N2.

Finalmente, se utilizo papel film de espesor (11 ± 1)µm [6] con el objetivo de aislar la

esfera ya que su conductividad termica Ka es aproximadamente tres ordenes de magnitud

menor que la del Cu [5].

Se cubrio a la esfera con un numero discreto de capas desde 1 a 10, pero no fue posible

asegurar cual era la cantidad de film aislante en cada caso ya que ya los cubrimientos no

eran iguales. Se sumergio la esfera con distintos cubrimientos con el fin de encontrar un

espesor crıtico en el cual el tiempo de enfriamiento fuera mınimo.

III. RESULTADOS Y DISCUSION

Las caracterısticas del sistema:

Masa de la esfera:

m = (76 ± 1) gr

Diametro de la esfera:

d = (25, 4 ± 0, 2)mm

Area de la esfera:

A = (506, 7 ± 0, 2)mm2

En la Fig. (3) se grafica T en funcion del tiempo para la esfera descubierta y con distintas

capas de aislante, siguiendo el comporamiento dado por la Ec. (2). Es evidente de las graficas

que la esfera aislada con una capa se enfria mas rapidamente que descubierta, siendo los

tiempos de enfriamiento (63, 6 ± 0, 1)s y t = (183, 9 ± 0, 1)s , respectivamente. Al aislar la

muestra, el momento en que desaparece la capa de vapor que recubre la muestra es a mayor

temperatura que en el caso anterior.

En la Fig. (3) es remarcable el hecho que la temperatura del cuerpo de Cu llega a un

cierto punto donde la capa de vapor que lo recubre desaparece y la ebullicion se torna mas

violenta hasta que el sistema se equilibra.

7

0 50 100 150 200 25050

100

150

200

250

Esfera descubierta

1 capa 2 capas 3 capas 4 capas 5 capas 7 capas 10 capas

Tem

pera

tura

[K]

Tiempo [s]

EfectoLeidenfrost

Figure 3: Curvas de enfriamiento dada por la ec. (2) para la esfera descubierta y aislada con

diferentes capas de film.

A partir los datos medidos y los valores tabulados para Cv [5] se obtuvo la curva de

Nukiyama presentada en la Fig. (4).

0 2 4

-6

-4

-2

0

Puntos Experimentales

Ln(a

bs(Q

/A))

Ln (T-TSAT)

Efecto Leidenfrost

Figure 4: Grafico de la curva de Nukiyama experimental de transferencia de calor en funcion de

T − TSat para la esfera de Cu descubierta.

8

En la misma es notable la presencia de un mınimo correspondiente a la mınima transfer-

encia de calor y al Efecto Leidenfrost. Este mınimo se corresponde con el punto en el grafico

donde la derivada es mınima. Se observaron los puntos asociados a cambios en la concavi-

dad C y D de la Fig. (1) de mınima y maxima transferencia de calor, respectivamente. Se

alcanzo el equilibrio termico aproximadamente a T = 76, 5K.

Luego, se calculo el CV a partir del Modelo de Einstein dado por las ecs. (6) y (7) y se

obtuvo la siguiente curva de Nukiyama para los mismos puntos experimentales que el caso

anterior, (Ver Fig. (5)):

0 2 4

-24

-18

-12

Puntos Experimentales

Ln(a

bs(Q

/A))

Ln (T-TSAT)

Efecto Leidenfrost

Figure 5: Curva experimental de transferencia de calor en funcion de T − TSat para la esfera de

Cu a partir del modelo propuesto.

En una segunda instancia, se repitio el analisis para la esfera aislada termicamente y se

observo que la transferencia de calor fue beneficiada ya que el cuerpo alcanzo la temperatura

de saturacion mas rapidamente que en el caso anterior. El resultado obtenido se debe a que

la capa de film poseıa una baja conductividad termica por lo cual no se produjo vapor y

existio un mayor gradiente de temperatura entre la superficie interna y externa. En la Fig.

(6) se grafico la curva de transferencia de calor en funcion de la temperatura para siete capas

de aislante y es notable que en este caso no se observa el efecto Leidenfrost.

9

2 3 4 5

-6

-4

-2

Puntos Experimentales

Ln(a

bs(Q

/A))

Ln (T-TSAT)

Figure 6: Curva experimental de transferencia de calor en funcion de T − TSat para la esfera de

Cu con siete capas de aislante.

Finalmente, se hallo un espesor crıtico para el cual el enfriamiento fue mas rapido, fue

determinando para dos capas de papel film. Se destaca la fuerte dependencia entre espesores

de aislante y la variacion del tiempo de enfriamiento, (Ver Fig. (7)).

0 1 2 3 4 540

80

120

160

200

240

Puntos experimentales

Tiem

po d

e en

friam

ient

o [s

]

Espesor [mm]

Espesor minimo 2 capas

Figure 7: Grafico de los valores de tiempo de enfriamiento para diferentes espesores de aislante.

10

Considerando que la conductividad termica media del aislante es Ka = 0, 142W/m.K

[6], Ta = 250K, Tb = 76, 6K, a partir de la ec. (8) se determino el valor del espesor

crıtico tal que la temperatura superficial era igual a la correspondiente al punto de maxima

transferencia de calor de la esfera descubierta, y se obtuvo que e = 0, 7mm.

La principal fuente de incerteza de la experiencia se le atribuyo a la necesidad de colocar

filtros pasabajo a fin de evitar ruido en las mediciones, el cual generaba fluctuaciones del

orden del efecto que se buscaba estudiar.

Finalmente, es remarcable el hecho que para el analisis se utilizo la temperatura del

centro del la esfera, considerandose la misma homogenea en el solido. Para corroborar dicha

hipotesis es necesario verificar que que el numero de Biot era efectivamente pequeno. Se

evaluo la transferencia de calor en la direccion longitudinal r a partir de la ec. (1) y se

obtuvo que Bi = 0, 1, donde r es el radio de la esfera, por lo cual la hipotesis fue correcta.

IV. CONCLUSIONES

Se determino que la relacion entre la trasferencia de calor de una esfera maciza de

Cu a temperatura ambiente sumergida en N2 es consistente con el modelo propuesto por

Nukiyama. Se verifico para cv determinado a partir de valores tabulados y por el Modelo

de Einstein. Para la esfera descubierta se encontro un mınimo de transferencia de calor

correspondiente al efecto Leidenfrost. Se realizo el mismo analisis con la esfera aislada con

distintas capas de papel film y se encontro que el equilibrio se alcanza mas rapidamente y

sin detectarse el efecto mencionado. A su vez se encontro un espesor crıtico para el cual la

transferencia de calor es maxima para dos capas de papel film.

V. APENDICE

La relacion funcional entre el voltaje medido V y la temperatura T presenta un comportamiento

polinomico que se determino a partir de los valores tabulados en el rango considerado en la expe-

riencia [5]. Finalmente, los valores utilizados para el analisis de la experiencia fueron interpolados

a partir de la dependencia obtenida para calcular la temperatura, (Ver Fig. (8)):

El ajuste obtenido es el siguiente:

11

-6 -4 -2 050

100

150

200

250

300

Valores tabulados Ajuste polinomico

Tem

pera

tura

[K]

Voltaje [mV]

Figure 8: Valores tabulados de tension y temperatura para una termocupla K con ajuste polinomial

[5].

T (V ) = (272, 5 ± 0, 4) + (26, 4 ± 0, 5)V + (0, 8 ± 0, 2)V 2 + (0, 34 ± 0, 03)V 3

La interpolacion de los valores tabulados para el calor especıfico en el rango de temperaturas

considerado y estudio a partir del modelo de Einstein. Se observa la correspondencia entre ambos

resultados. (Ver Fig (9))

12

50 100 150 200 250

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

Valores Tabulados Modelo de Einstein

Temperatura [K]

Cv

[J/K

.mol

]

Figure 9: Extrapolacion de los valores tabulados para el calor especıfico del Cu en el rango de

temperaturas trabajado y modelo de Einstein [5].

VI. REFERENCIAS

[1] Zemansky. W; Dittman. H-Calor y Termodinamica. McGraw-Hill. New York.(1981).

[2] Sears, F.W.; Salinger,G.L.-Thermodynamics, Kinetic theory, and Statistical Thermodynamics.

Addison-Wesley. New York. (1986)

[3] Algunos efectos de campos electricos favorables y desfavorables en la ebullicion de lıquidos

dielectricos . Masson, V. (2001).

[4] A boiling heat transfer paradox. Guido G, Lavalle, Carrica, P, Garea V y Jaime. M . Am. J.

Phys. 60 (7), 593-597.(1992).

[5] Temperature Measurement Handbook Omega Engineering, Inc. 1978.

[6] Polymer Handbook, J. Brandrup y E. H. Immergut. John Wiley Sons. New York. (1989). (pag.

V-66)

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