DETERMINACION DE LA LATITUD POR DISTANCIASCENITALES DE LA POLAR. METODO DE LITTROW

por M. J. SEVILLA

Este método de determinación de la latitud de un lugar está basadoen la medida de distancias cenitales de la estrella polar en cualquierinstante, es decir, sea cual sea el ángulo horario de la estrella.

La precisión del método da una desviación típica inferior al" dearco utilizando teodolitos geodésicos, por 10 que puede muy bien in-cluirse entre los de segundo orden y puede recomendarse dada su fa-cilidad de observación y cálculo.

Sea z la distancia cenital de la Polar observada en un instante t.Dado que dicha estrella está muy próxima al polo podemos escribir

~-<p=z-x2

(1 )

siendo x una combinación de la distancia polar de la estrella

1tp=--o

2(2 )

y de la reducción al meridiano. Se sabe que p vale unos 58 minutosde arco y x es del mismo orden de magnitud.

P

_-""""'JtZ

E

Consideremos el triángulo esférico PZE

62 M. J. SEVILLA

La primera fórmula de Bessel nos da

cos z = sen <1>cos p + cos <1>sen p cos H (3)

relación fundamental donde <1>es la latitud buscada, z la distanciacenital observada y H el ángulo horario de la estrella calculado parael instante de observación.

H=6-1X (4 )

6 es la hora sidérea aparente local y IX, o las coordenadas aparentes dela estrella es este instante.

El hecho de que las magnitudes de x y de p sean pequeñas haceque podamos considerar sus potencias como infinitésimos y por consí-guiente tomar las funciones trigonométricas que aparecen en (3) porsus desarrollos en serie.

Es decir tomamosx2 x3 x4

sen <1>= cos(z- x) = cos z -}x sen z -- cos z -- sen z+- cos z21 31 41

(5 )

x2 x3 x4cos <I>=sen(z-x) =sen z-x cos z-- sen z+- cos z+- sen z

21 31 41

1 3 1 5sen p = p - - p + - P - ...31 51

cos p = 1- ~ p~+ ~ p"- ...21 41

y sustituímos en la expresión (3)

[X2 x" x3 ] 1 1(1--+- ) cos z-(x--) sen z (1-- p2+_ p4) +2 24 6 6 24

[X2 x" x3 ] 1+ (1--+-) sen z+(x--) cos z (p-- p3) cos H=cos z2 24 6 2

operando resulta

x2 x" 1 1cos z=cos z-- cos z+- cos z-- p2cos z+- x2 p2 cos z -}2 24 2 4

1 x3 1+ - p'' cos Z + x sen z - - sen z - - X p2sen z + p sen z cos H -

24 6 21 1 H-2 x2 p sen z cos H-6 p3sen z cos H-x p cos z cos +

1 1+ - x3P cos z cos H + - X p3 cos Z cos H6 6

LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 63

ordenando en potencias de x y p resulta

cos z=cos z -l-x sen z+p cos H sen z+

( 1 2 1 2 H)+ -"2" x -"2" p - x p cos cos z+

(1 3 1 2 1 2 H 1 3 H)+ -6 x -"2" x p -"2" x p cos - 6 p cos sen z +

1 1 1 1 1+(- x4+_ X2p2+_ p4+_ x3p cos H+- X p3 cos H) cos z.24 4 24 6 6

eliminando cos z y despejando x de x sen z obtenemos

1 1x= -p cos H+T (X2+p2+2xp cos H) cotg z+6 (x3+3xp2+

1 (6)+ 3X2pCOS H + p3cos H) - 24 (x"+ 6 X2p2+p4+

+ 4 x' p COS H + 4 Xp3COS H) cotg z

Resolvemos ahora en x por aproximaciones sucesivas

t» aproximación

x= -p cos H (7)

z» aproximación

1x = - p cos H + T (p2cos- H + p2- 2p2 cos- H) cotg z

es decir

1x = - p cos H + - p2 sen- H cotg z2

(8 )

3.a eproximecion

1x= -p cos H+2 (p2cos- H_p3 sen? H cos H cotg z+p2-2p2 cos H+

1+ p3sen- H cos H cotg z) cotg z + 6 (- p3cos! H - 3p3 cos H +

+ 3 p3cos:' H + p3cos H)

64 M. }. SEVILLA

es decir

1 1x = - p COsH +- p2serr' H cotg z - - p3sen? H tos H (9)2 3

4.a aproximación

1 1x = - p cos H +2p2 sen- H cotg z - 3p3serr' H cos H +

1 1+- p" sen" H cotq- z -- p2 (4 - 9 sen- H) serr' H cotg z8 24

(10 )

En determinaciones de segundo orden que es donde se utiliza estemétodo puede emplearse la fórmula (8) o la (9). Los términos adicio-nales de la (10) llegan como mucho a O" 05, que no se alcanza en laobservación.

El procedimiento de observación es muy simple: basta observarla estrella polar anotando la hora, distancia cenital, presión y tempe-ratura. Se debe observar en posición directa e invertida del instrumentopara eliminar errores de colimación.

Cada serie consta de unas 8 observaciones y con 20 series se al-canza suficientemente la precisión buscada.

La distancia cenital observada debe ser corregida por refracciónas tronó mica, para lo que puede aplicarse la fórmula:

peo =o¿ tag z (1l1 _ PI )R cos- Z

(11 )

siendo ao= 60".343,1l1 = p¡.273/760 (273+ T) y PI = 8.010 p, 981/760· g.El radio medio terrestre puede tomarse R= 6.371 km. T es la ternpe-ratura en grados centígrados y PI es la presión reducida PI = P (1 --0.00264 cos 2 (90-rp) -0.000000196 H-0.000163 T); p es la pre-sión barométrica observada y g la gravedad, H la altitud de la es-tación.

Las coordenadas a, 'o de la estrella polar, que se toman de las tablashabituales se corrigen de aberración diurna por las expresiones

Ila = 0".32 cos <P cos H sec oIlo = 0".32 cos <P sen H sen o

siendo H = e - a el ángulo horario de la estrella.

(12)

El procedimiento de cálculo también es muy simple, pues a partir

LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 65

de cada observación de una serie se determina x por la fórmula (9)por ejemplo; calculamos los términos

T¡= -p cos H

(13 )

entoncesx=T¡+T2+T3

y si todos están reducidos a grados, a partir de la fórmula (1) deter-minamos la latitud por

l1>i=90-z+x

La latitud definitiva de la serie será la media aritmética de las ob-tenidas para cada observación individual:

~l1>iI1>s=--

n

siendo n el número de observaciones de la serie.Con este valor más probable de la latitud calculamos los errores

residuales por

y como medidas de la precisión determinamos el error medio cuadrá-tico de la serie por:

m=l/ ~ri2n-l

y el del valor más probable adoptado por:

mms=--==-

y'n

además del peso correspondiente por

1ps=--

m~

Finalmente la latitud correspondiente al conjunto de todas las se-ries la obtenemos por la media ponderada

11>= ~ I1>sPs~ Ps

66 M. J. SEVILLA

con 10 que determinamos los errores residuales

d, = ID - IDs

y el error medio cuadrático del conjunto de las K series por

así como el valor más probable por

Finalmente, damos a continuación el listado del programa de cálculoautomático junto con un ejemplo calculado.

La sentencia 5 lee los datos de estación

ENO: nombre de la estación.LAG, LAM, SLA: latitud de la estación.G MSLO: longitud de la estación positiva hacia el este.HAL T: altitud de la estación.

La sentencia 21 lee los datos de la serie

NS: número de serie.IDA. MES, NA: día, mes y año de la observación.EST: estado del reloj.ONO: nombre de los observadores.ANOM: tipo de instrumento.

La sentencia 30 lee las coordenadas aparentes de la polar, aseen-sión recta y declinación para el día de la observación y día siguientea O" de TU. El tiempo sidéreo a Oh de TU, la presión, temperatura ygravedad.

Por último la sentencia 41 lee los datos de observación

DZG, DZM, DZS: distancia cenital en grados, minutos ysegundos.

TUH, TUM, TUS: tiempo universal en grados, minutos ysegundos.

Las sentencias 48 a 57 corrigen por refracción atmosférica y las58 a 68 por aberración diurna.

El resto del programa calcula la latitud por aplicación de las Iór-mulas (13), los valores medios y resultados finales; su interpretaciónno ofrece dificultad.

Seminario de Astronomía y GeodesiaUniversidad Complutense

LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 67

FORTRAN IV G LEVEL 21

0001000200030004000500060007000800090010001l00120013001400150016001700180019G0200021002200230024002500260027

002800290030

00310032003300340035003600370038

0039004000410042004300440045C0460047

MAIN DATE = 75336 12Fl37fH

QETEOMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES DE LA POLAR

IMPlICIT REAL*8 IA-H.o-ZlOIMENSION OPLtI01.FII01.AFf'1201.PESSI201.ENCI21.0NOI21OIMENSION RFRII01.TTSII01OERA=0.017453292519000

98 RE~O(5,lOO) ENO,LAG,LAM,SLA,GMSLO,PALT100 FORMATI2A8.212.F5.2.F9.2.F7.21

IFILAG.EO.991 GO TO 99LClG=DABSI GMSLOHH 0000AMLO=OABSIGMSLO)-OFLOATILOG*10000)LOM=AMLOfHOOSLO=AMLD-OFLOATILOM*lOOIAF= fDFLCAT IL AGI+OFLOA TI LA MI Fl60. +SLMl360 O. IHE OAAL= I OFL OATI LOGI+OFLOATI LOMI Fl60. +SLO"'360 O. IFl IS.IF I GMSLO.L T. 0.1 AL="'ALIFIGMSLO.LT.O.I LOG=-LOGSAF=OSINIAFICAF=OCOSIAF 1AFS=O.SPES=O.N=O

9 REAO lOl,NS,tDA,MES,NA,EST,ONO,ANOM101 FORMATI412.F7.3,3A81

IFINS.EO.-IIGO TO 10WRTTE16.2221

222 FDPMATIIHI)PRTNT 200

200 FORMATllH0,38X.·OETERMINACION OE LA LAI IT~O PCR CENITALES DE LA PO*LAR', t'J"IFn

EST=ESH3600.N=N+lfH.AD( 5 t 102) ARH 1, ARMl t AP SI ,ARH2, ARH2, ARS 2, [EGl ,OHH, DE S 1 ,0 EG2,DEM2 t

lOES2,TSH,TSM,TSS,PRES,TEMP,GRV102 FORMAT141 2F 3.0.FS. 2 l. 2F3. O. F6.3.F 5. l. F5. 1 .r e , 21

ARI=IAPHl+ARMlFl60.+ARSlFl3600.I*lS.*OERAAR2=IARH2+ARM2Fl60.+ARS2Fl3600.I*lS.*OERAOEl=IOEGl+OEMlFl60.+0ESlFl3600.)*OERAOE2=IOEG2+0EM2Fl60.+0ES2Fl3600.)*OERATS=TSH+TSMFl60.+TSSFl3600.WRITE(6,ZOl)NS,IOA,MES,NA,ONO

201 FORMAIIIHO.16X.l2HSEOIE NUMERO.14.lSX.17HFECHA OBSERVACION.313.12X1.12HOBSERVAOORES.2X.2A8FlFlFlI

PUNTERIAS A LA POLAR

SF=O.L=O

~ READ l03,DlG,OZM,OIS,TUHtTUM,TUS103 FORMATIF4.0.F3.0.FS.2.2F3.0.F6.31

IFI01G.EO.-1.IGO TO 4L=L +1OZ=OZG+OlMFl60.+0lSFl3600.OlL=OZIFIOZ.GT.180.) OZ=360.-0Z

CC CCRRECCION POR REFRACCIONC

68 M. }. SEVILLA

FORTRAN IV G LEVEL 21 75336

0048004900500051005200530054005500560057

00580059006000610062006300640065006600670068

006900700071007200730074001500760077007800790080

00810082008300840085008600870088008900900091con009300940095009600970098

MAl N DATE

PAF=2.*(1.570796325DOO-AFJOZR=OZ*OERAPRO=PR E S*1 l. -o. 00264*OC OS 1PAF J-o. 000000 19 f*HA LT JROH=273.*PRO~(760.·1273.+TEHPJJROS=8.010*981.*PRO~1760.·6371.*GRV*(OCOS([ZRJ·*2JJRO=60.343*OTANIOIRJ*(ROH-ROSJRFRILJ=ROOP=01+RO~3600.OPR=OP*OERAOPL (L J=OIL

CCC

CORRECCION DE A8ERRACION

TU=TUH+TUH~60.+TUS~3600.TU=TU+E STTTS(LJ =TUTSG=TS+TU+TUR365.24219000TSL=(TSG-ALI*15.*OERAAR=ARl+TU*(AR2-ARIJR24.OE=DEl+TU*(DE2-DEll~24.OEL=3.20-1*CAF*OSIN(OEJ*OS!N(TSL-APIOAL=3.20-I*CAF*OCOS(TSL-ARI~OCOS(OE)ALFA=AR+OAL*OERAR3600.OELTA=OE+OEL*OERAR3600.

Cee

CALCULO DE LA LATITUD

AH=TSL-ALFAP=90.-0ELTA~OERATI =-?*OCOS (AH 1T2=0.5*P**2*OSINIAHJ**2*OCOTAN(OPR)T3=-P**3*OSINIAH)**2*OCOS(AHI~3.X=Tl+IT2+T3*OERA)*OERAF( U=90 .-OP+X

16 SF=SF+F IUGO TO 5

4 'fl=SF~OFLOAT(llPR!NT 207

207 FORHATlIHO,10X,'REFRACCION',5X,'OlSTANCU CENtTAL',9X,",,'r, EMPOS' t 13X, 'LATITUDES' ,lOX, 'REsrnuos '1\1)

RESC=O.DO 7 K=I,LRES=AF I-F( K IPESC=RESC+RES*RESRfS=RES*3600.CALL GRMS( F( K) ,11, M!, SIlCALL GRHS(OPl(KJ, !2,M2,S2)CALL GRMS(ITS(K),13,M3,S3)

7 PRINT 20l,RFR{KJ,12,M2,S2,J3,H3,S3,Jl,Hl,51,RES202 FORHAT(lHO,12X,F7.3,)(8X,213,F7.31,7X,F7.:)

PR!NT 203203 FnRMATIIHO,~"',48X,'F'RROR MEO!O CUAORATICa DE LA SER!E'~I

F'MCS= 1 O SOR TI PESC '"IOFLOA TI i i-r: ) 1*3600.WRlTE16,211) EMCS

211 FORMATIIHO,58X,F7.3JWP !TE 16 ,2o 4 )

204 FOPMAT( l""O,34X,'LATTTUD DE LA SERIE' ,29X, 'E.M.C.·~)eALL GRMSI AF 1 ,11, MI, Sil

12"'3ml

LATITUD POR DISTANCIAS CENITALES DE LA POLAR 69FUR TR'AN IV G LEVEL 21

OV9901000101010Z01030104010501060107010801090110011101120113011401150116011701.18011901Z001210122

012301Z4012501260127

01280129013001310132

MAIN DhTE ; 75336 l?/BNl

E~CM;E~CS~OSORTIOFLOATILII\-IR 1TE ( 6,212) 11, ~ 1 , SI t E Me f'4

212 FOPMAT(lHO,36X,213,F7.3,32X,F7.3JPESSINI;I.~IEMCM*EMCMI~FHIN I=AF IAf$=AfS+AfI*PESS(NISPES=SPES,PESSINIGn TO 9

ID ~rIN=AFS¡;¡SPESwP.' T!: (6,222)w~ lTfI6,ZOO)WRlTE I 6, ZI 3)

213 FQPMAT( lHO,38X,·SF.RTE', llX,'LATITUO',12X, 'RES IOUQ' ,8l(,'PESO'~)DIFS=O.0[1 12 K=l,NDIF=IAFIN-AFHIK»*3600.CALL GRMSIAFHIKI.TI,MI,SlIWRlTE(6,214) K,ll,,··n,Sl,OTF,PES$(K)

214 FORMAT(39X,14,9X,2J3,f~.2,lOX,F6.3,8X,F6.~')Z OIFS=OIFS'PESSIK)*OIF*DIF

EMC=DSQRTIOIFS¡;¡IDFLOATIN)-!.»WP!TE 1 6, Z2 2)WPlTEl6,215)

215 FORMATllHO,'UNIVERSIOAD COMPLUTENSE DE MACRIO',¡;¡IX,'FACULTAO DE CI"ENeIAS MATEMATIChS',¡;¡IX,'CATEORA DE AsrRO~O~I' y GEODESIA'¡;¡I

WRlTEI6,200)EM( F= E M(¡;¡O SOR TI SP f S 1ChLL GRMSIAFIN,II,MI,SIIwRTTEeb,216) ENOtlAGflAM,SLA,LOG,LOM,SLO,~ALT

216 FORMAl( lHO,lOX,'ESTACION ',2X,2A8t5X,'COO~DE~AO~S PROVISIONALES'*,2X,'LAT' ,2T3,F6.2,2X,· LON' ,2IJ,F6 .• 2,3X,· n l' ,F8.2)

WP J TE e 6,211) ti, M 1 , S 1 ,E Me F217 FüRMAT( lHO,40X,'LATITUD FINAL ',2X,2I3,F~.2,10x,'E •."".C .•• ,Fñ.7)

GO TO 9899 STOP

ENO

MAIN DATE = 75336FORT~AN IV G LEVEL 21

00010002000300040005000600070008000900100011001200130014

PASO DE GRADOS y DECIMALES A GRADOS MINUTOS' SEGUNDOS

SUBROUTINE GRMS(X'!G,~I ,SE)REAL*B X,AM,SE,VK=OIFIX.LT.O.1 K=1Y=DABSI XlIG=YA~=IY-DFLOAT(IGl)"60.MI=AMSE=IAM-DFLOATIMI)I"60.TF 1 (K. EO.I ) .ANO. 11 G. EO. 01. ANO. 1 MI .EO.OI 1 ~E;- SEIf((~.EQ.II.AND.IIG.EO.OI) MI=-MIIFIK.EO.U IG=-IGRFTURNENn

DETERMINACION DE LA LATITUD POR CENTrALES DE LA POLAR

ESTACION LANUM,OHID COORDENADAS PROVIS IOALES LAT 39 39 39.65 LON 83 32 38.40 ur 0.0

LATITUD FINAL 39 39 42.58 E.M.C. 0.36

OFTERMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES DE LA POLAR

SERIE LAT ITUD RESIDUO PESO

39 39 42.8139 39 42.13

-'0.2880.452

13.9178.901

DETERMINACION DE LA LATITUD POR CENITALES OE LA POLAR

SERIE NUMERO FEC~A OBSERVACICN 14 8 64 OBSERVADORES BOSSL=R, e US'iHAri

REFRACC ION DISTANCIA CENITAL TIEMPOS LATITUDES RES IDUOS

68.123 50 50 19.900 40 52.701 39 39 41.387 0.744

68.109 50 49 59.900 42 2'.697 39 39 43.294 -1.164

68.101 50 49 48.100 43 31.296 39 39 42.219 -0.148

68.088 50 49 28.800 45 10.417 39 39 42.124 0.006

68.080 50 49 15.900 46 18.189 39 39 41.569 0.562

ERROR MEDIO CUACRAfICO DE LA SERIE

0.149

LATITUD OE LA SERIE E .M.C.

393942.131 0.335

DETERMINACID~ DE LA LATITUD PO. CENITALES DE LA POLAR

SERIE NUMERO FECHA 08SERVACICN 14 8 64 OBSERVADORES BOSSL=R,CUSHMAN

REFRACC ION DISTANCIA CENIT AL TIEMPOS LAT ITUDES RES !OUOS

68.221 50 54 9.800 20 25.063 39 39 42.041 0.829

68.211 50 53 55.400 21 42.231 39 39 42.428 0.442

68.207 50 53 40.300 23 0.116 39 '9 43.318 -0.448

68.199 50 53 28.900 24 2.158 39 39 43.350 -0.480

68.190 50 53 15.000 25 18.460 39 39 43.212 -0.342

ERROR MEDIO CUACRATIcr DE LA SERIE

o. !q8

LATITUD DE LA SERIE E.M.C.

39 39 42.870 0.261