DETERMINACION DEL RITMO DE EXPLOTACION DE UN YACIMIENTO PARA UNA LEY DE CORTE OPTIMA1

Marco Alfaro, Departamento de Ingeniera de Minas, Universidad de Chile Eduardo Schmidt, Direccin General de Aeronutica Hctor Seplveda, Compaa Minera Disputada de Las Condes RESUMEN En el desarrollo de estudios de proyectos mineros, en sus fases iniciales, se advierte una ausencia de la combinacin de tcnicas geoestadsticas y de conceptos econmicos tendientes a optimizar la toma de decisiones de inversin dirigida a la puesta en marcha de la explotacin de un yacimiento minero. En esta perspectiva se ha estimado til desarrollar, un trabajo de investigacin que considere como un indicador econmico la maximizacin del beneficio futuro que obtendr un inversionista, en el sector, sujeto a las restricciones tcnicas y econmicas en la cual se desenvuelve la actividad minera. I. Introduccin

El objetivo del presente trabajo es determinar, desde un pista de vista econmico, la vida ptima de un proyecto de explotacin para un yacimiento minero, que cuenta con reservas probadas de cobre total, evaluadas utilizando el mtodo geoestadstico de krigeage. Para estudiar el problema econmico nos hemos basado en los trabajos de G. Materno (ver G. Materno y Ph. Formery, 1955) los cuales se pueden generalizar e implementar fcilmente con la ayuda de mtodos computacionales.

II. Desarrollo II.1 Descripcin del Problema y Modelo Terico

Supongamos un yacimiento conocido a travs de diversas campaas de reconocimiento. Se ha determinado adems el mejor mtodo de explotacin y de tratamiento de mineral, faltando por determinar los siguientes parmetros: i) ritmo anual de produccin t, que se supone constante ii) ley de corte x Precisemos la significacin de este ltimo parmetro: se abandonan los paneles o bloques cuya ley media es inferior a x. Consideraremos que las dimensiones de los paneles son conocidas ya que resultan de las caractersticas tecnolgicas y del mtodo de explotacin que se ha adoptado.

1 I Simposium Chileno de Aplicacin de la Computacin en la Industria Minera

Sean, T(x) = tonelaje de mineral explotable m(x) = ley media del mineral explotable N = T(x) / t = duracin de la mina, en aos El tonelaje T(x) y la ley media m(x) aparecen como funciones de x, la primera decreciente y la otra creciente. Para determinar prcticamente estas funciones es necesario estimar la ley media de los bloques que constituyen el yacimiento: el mtodo de krigeage proporciona buenos resultados en esta etapa. El tonelaje de metal recuperable con la ley de corte es: Q(x) = m(x) . T(x)

II.2 Estudio econmico

Hemos definido los parmetros del problema: - ritmo anual de produccin t - ley de corte x - tonelaje T(x) - Ley media m(x) Falta precisar los parmetros econmicos, distinguiremos tres principales: el precio de mercado, los costos anuales de explotacin y las inversiones. - El precio del mercado: no depende de la voluntad del explotante y puede ser

considerado como una constante. Para el valor del concentrado recuperable en una tonelada de mineral de ley m se puede considerar la frmula lineal:

V(m) = b.m - bo (1)

- Los costos anuales por tonelada de mineral representan el conjunto de costos

anuales de explotacin: transporte, tratamiento, gastos generales, etc. Estos costos dependen de la produccin anual t. Se les representa en general por una funcin p(t) que se supone, en general decreciente. A menudo se utiliza para p(t) una ecuacin de la forma:

p(t) = ao + a1/t (2)

- Las inversiones agrupan el conjunto de gastos que es necesario hacer antes de

abrir la explotacin: trabajos preparatorios, vas frreas, caminos, maquinarias, ciudad, etc. Se representarn las inversiones por una funcin I(t) creciente con el

ritmo de produccin t. Sin embargo la razn I(t)/t de la inversin a la produccin anual t es una funcin decreciente de t. En las aplicaciones se puede utilizar una relacin de la forma:

I(t) = Co + C1t con 0 < < 1 (3)

Para Co = 0 y = 2/3 se tiene la relacin emprica clsica segn la cual, las inversiones y la capacidad de produccin varan respectivamente como el cuadrado y el cubo de la dimensin de las instalaciones. Las ecuaciones (1), (2) y (3) que acabamos de mencionar no son en absoluto restrictivas y cada empresa podr definir sus propias funciones V(m), p(t) e I(t) segn un estudio econmico. El anlisis siguiente es independiente de la forma de estas ecuaciones. Balance de explotabilidad y ecuaciones del ptimo. Cada ao se tiene un beneficio bruto A, donde A = [ V(m) p(t) ] t. Como la duracin de la vida de la mina es N aos, se debe actualizar el beneficio futuro: A A A 1 (1 + i)-N ------- + ------ + ................. + -------- = A. -------------- 1 + i (1+i)2 (1+i)N i Utilizando la relacin aproximada, vlida, si N es grande y si i es menor que 1: se tiene: (1 + i)-N e-iN

1 (1 + i)-N A ( 1 - e-iN ) A. -------------- --------------- i i Esta aproximacin tiene por objetivo simplificar las ecuaciones del ptimo; al utilizar mtodos computacionales, se puede prescindir de ella. A la expresin anterior hay que restarle las inversiones iniciales (sin actualizar). Se obtiene as el valor actualizado de los beneficios futuros: B = [ V(m) p(t)] t . ( 1 - e-iN )/i - I(t) (4) En el caso particular, muy importante, en que la tasa de inters es igual a cero, el beneficio no actualizado toma la forma:

B = [ V(m) p(t)] T(x) - I(t) (5) En todos los casos el beneficio puede ser considerado como una funcin de dos variables que son x y t, puesto que m(x) y T(x) son funciones de x y N = T(x)/t es una funcin de x y de t. Un criterio posible para guiar la eleccin de estos dos parmetros es el de maximizar el beneficio. Debemos maximizar la expresin B = [ V(m) p(t)] t . ( 1 - e-iN )/i - I(t) sujeta a la condicin N = T/t Al utilizar el mtodo de maximizacin de Lagrange seguido de un clculo algebraico se obtienen las ecuaciones del ptimo: el beneficio B es mximo si se cumplen las 3 ecuaciones siguientes: ( V p) [( 1 - e-iN ) i.Ne-iN ] /i = dI/dt + t.[( 1 - e-iN )] /i . dp/dt x = p/b + (m x).(e-iN - 1 - iN ) / i N = T / t (6) En el caso particular de una tasa de inters nula, las ecuaciones anteriores se reducen a: T . dp/dt + dI/dt = 0 x = p/b N = T / t (7)

II.3 Aplicacin a un caso prctico El yacimiento que servir de base para el estudio se encuentra localizado en la zona central del pas, a una altura que oscila entre los 500 y 750 metros sobre el nivel del mar. Tiene una forma de elipsoide horizontal a subhorizontal que contiene cobre soluble e insoluble y cuyas especies mineralgicas principales son calcopirita, bornita y calcosina. En el yacimiento se advierten 3 zonas mineralgicas perfectamente definidas: zona de mineral oxidado, mixto y sulfurado.

III. III. 3.1 Evaluacin Geoestadstica de las Reservas

En la evaluacin de reservas se dispuso de tres tipos de informacin: a) 45 sondajes de diamante en una malla aproximadamente regular de 60 x 50 m,

que conforman 6500 m de sondajes. b) 3 niveles de explotacin subterrnea muestreados cada 2 m., en una extensin

aproximada de 10 km de labores (galeras, piques, chimeneas, etc.). c) 80 sondajes de polvo en una malla regular de 25 x 24 m que conforman

alrededor de 9000 m de sondajes. La informacin anterior se regulariz y se calcularon los semivariogramas en tres dimensiones ajustndose un modelo exponencial. Mediante un programa de computacin se estimaron las leyes medias para unidades de explotacin de 10 x 10 x 9 m. Se evalu un total de 2202 bloques. Con los resultados de la evaluacin se construyeron las curvas tonelaje-ley de corte T(x) y ley media ley de corte m(x). La figura 1 muestra el histograma de las leyes de los bloques. Este histograma no se pudo ajustar a ningn modelo conocido (Lognormal, Gauss, .....). Sin embargo en Evaluacin de Yacimientos interesa ms que el histograma, el histograma acumulada debido a que esta funcin F(x) (que representa el porcentaje de bloques cuya ley es inferior o igual a x) est relacionada con la funcin T(x) por: T(x) = To [ 1 F(x) ] (8) en que To = 4 954 500 ton es el tonelaje total del yacimiento. Las ecuaciones del ptimo (6) y (7) hacen intervenir las funciones m(x) y T(x), las cuales se deben expresar como ecuaciones en x para poder resolver el sistema de ecuaciones. La figura 2 muestra el histograma experimental y el modelo ajustado cuya ecuacin es: 0 si x < 0.3 0.237(x 0.3)2 si 0.3 x < 2.0 (9) F(x) = -0.16x2 + 1.088x 0.8496 si 2.0 x < 3.4 1.0 si x 3.4

Fig. 1 - Histograma Curva "Tonelaje - Ley"

050

100150200250300350400

0.4 a0.6

0.6 a0.8

0.8 a1.0

1.0 a1.2

1.2 a1.4

1.4 a1.6

1.6 a1.8

1.8 a2.0

2.0 a2.2

2.2 a2.4

2.4 a2.6

2.6 a2.8

2.8 a3.0

3.0 a3.2

3.2 a3.4

3.4 a3.6

3.6 a3.8

3.8 a4.0

0.5

0.2

Fig. 2 Modelo real

frecuencia

1.0

0.8

0.6

0.4

1.5 1.0 2.5 2.0 3.5 3.0 4.0 4.

Ley de corte

5

0.5

Fig. 3 Ley Media versus Ley de Corte

Ley Media %Cu

4.0

2.0

1.5 1.0 2.52.0 3.5 3.0 4.0 4.5 Ley de corte

Para validar este modelo se utiliz el criterio de Kolmogorov-Sminov que consiste en estudiar la cantidad siguiente: Dn = Mx F*(x) F(x) En que F*(x) es el histograma acumulado experimental y F(x) es el modelo. Se acepta el ajusta, con un riesgo si esta cantidad Dn es inferior a una cota que se puede obtener de tablas (ver J. Benjamn, 1970). La figura 3 muestra la curva ley media ley de corte experimental m*(x) y el modelo ajustado cuya ecuacin es:

m(x) = 1.919 0.499x + 0.482x2 0.056x3 (10)

Los ajustes a modelos tericos son bastante aceptables y fueron obtenidos mediante un programa de interpolacin.

III. 3.2 Planeamiento del Modelo De un estudio econmico realizado para el yacimiento en consideracin, se determinaron los siguientes parmetros, al utilizar las frmulas (1), (2) y (3) para las funciones V(m), p(t) e I(t): a) b = 1543 US$/Ton Cu b) ao = 2.8 US$ c) a1 = 2.1 MUS$ d) Co = 18 MUS$ e) C1 = 4103 US$/(Ton)2/3 f) = 2/3 Las funciones V(m), p(t) e I(t) son entonces: a) Valor de concentrado de Cu:

V(m) = 1543 . m (Considerando 0.70 US$/lb, bo = 0)

b) Costo de operacin:

p(t) = 2.8 + 2.1x106/t

c) Inversin:

I(t) = 18.106 + 4103.106 t0.67

Estas tres ltimas ecuaciones unidas a las ecuaciones par T(x) y m(x) se introducen en el sistema de ecuaciones (6). Se obtiene as un sistema no lineal de ecuaciones extremadamente complicado lo que obliga a utilizar mtodos computacionales para su resolucin. An en el caso de utilizar mtodos computacionales la resolucin es difcil debido a que las incgnitas x y t no se pueden despejar de las ecuaciones. La resolucin del sistema se efectu entonces utilizando el mtodo de Montecarlo: Se genera aleatoriamente x para diferentes ritmos de explotacin t, para diferentes tasas de costo de capital i, de modo de generar un baco que permiti determinar el beneficio mximo en cada caso, tal como se muestra en la figura 4.

III. 3.3 Resultados Obtenidos a) Tasa de inters nula: i = 0

Se obtienen en este caso los resultados siguientes: T = 4 934 656 ton N = 8.9 aos x = 0.43% Cu m = 1.78% Cu t = 556,940 Ton/ao

b) Tasa de inters no nula i 0

Los parmetros ptimos obtenidos para diferentes tasas de inters son los siguientes:

i Bmx US$

t Ton/ao

x %

m %

N aos

T Ton

0.03 45.781.575 766.335 0.500 1.78 6.54 4.907.4220.06 36.901.671 925.493 0.538 1.78 5.14 4.887.7220.09 29.564.050 1.021.551 0.564 1.78 4.24 4.872.3790.12 23.568.772 1.052.138 0.644 1.78 4.19 4.815.2840.15 18.407.884 1.090.831 0.712 1.79 4.13 4.755.0770.18 13.775.045 1.213.744 0.780 1.80 4.07 4.683.3740.21 9.607.024 1.233.130 0.813 1.81 4.00 4.604.525

200

Fig. 4 MAXIMIZACION DEL BENEFICIO I No Nulo

Beneficio US$

800400 12001000 16001400 1800 2000

Ritmo anual de produccin (k ton)

2200 2400-10M

10M

0 M

20M

30M

50MI = 3

40MI = 6I = 9

I = 12I = 15I = 18

I = 21

600

IV. Conclusiones El modelo que hemos expuesto es totalmente operativo con la ayuda de un programa de computacin que hemos construido. No existe ninguna dificultad para generalizarlo y hacer estudios de sensibilidad (por ejemplo considerar otros precios para el cobre). Al asumir el criterio de maximizacin privada del beneficio, con escenario de tasa de costo de capital poco favorable al inversionista, la tendencia que se advierte sera aumentar el ritmo de explotacin, hacindola ms selectiva, generar una incapacidad de absorcin de dicha oferta, por el mercado.

V. Referencias

M. Alfaro Introduccin a la Geoestadstica Operativa Ed. Escuela de Minas de Madrid, 1975. J.C.Benjamn Probability and Decisin for Civil Engineers. Ed. Mc. Graw Hill, 1970. G. Matheron y Ph. Formery

Recherche dOptimun dans la reconnaissance et lamise en exploitation des gisements miniers. Ed. Annales des Mines, Francia Sept./Oct. 1955. pp. 23-42

RESUMEN I. Introduccin II. Desarrollo II.1 Descripcin del Problema y Modelo Terico II.2 Estudio econmico II.3 Aplicacin a un caso prctico

III. 3.1 Evaluacin Geoestadstica de las Reservas III. 3.2 Planeamiento del Modelo III. 3.3 Resultados Obtenidos IV. Conclusiones V. Referencias