DETERMINANTES

DETERMINANTES

CURSO: MATEMATICA

PROFESOR: ABEL VALENCIA BELTRAN

NOMBRE:

MAGALLANES CAMASCA PAMELA

En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por:

det (A).

|A| =

Determinante de orden uno

|a11| = a11

Ejemplo  

|5| = 5

Determinante de orden dos

 = a 11 a 22 − a 12 a 21

Ejemplo  

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

 

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 −

− a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Regla de SarrusPierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3.

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo:

Propiedades de los determinantes

1. |At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

Determinantes

2. |A| = 0 Si:

Posee dos filas (o columnas) iguales.

Determinantes :

Todos los elementos de una

fila (o una columna) son nulos.

Los elementos de una fila (o una columna) son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Determinantes

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos filas (o dos columnas), su valor sólo cambia de signo.

Determinantes

5 Si a los elementos de una fila (o una columna) se le suman los elementos de otra multiplicados previamente por un número real, el valor del determinante no varía.

Es decir, si una fila (o una columna) la transformamos en una combinación lineal de las demás, el valor del determinante no varía.

6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier fila (o cualquier columna), pero sólo una.

7 Si todos los elementos de una fila (o columna) están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes en los que las demás filas (o columnas) permanecen invariantes.

8 |A · B| =|A| · |B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Uso del Método de Determinantes para Resolver

un Sistema de Ecuaciones.La disposición de cuatro números reales en un cuadrado, como

Recibe el nombre de determinantes de segundo orden. (Es importante advertir que los números se ordenan entre rectas paralelas y no entre corchetes. Los corchetes tienen otro significado). El determinante anterior tiene dos renglones y dos columnas (los renglones son horizontales y las columnas, verticales). A cada número del determinante se le llama elemento del propio determinante.

En general, podemos simbolizar un determinante de segundo orden de la manera siguiente:

donde se usa una sola letra, con doble subíndice, para facilitar la generalización de los determinantes de orden superior. El primer número del subíndice indica el renglón en que está el elemento; y el segundo número, la columna. Así, a21 es el elemento situado en el segundo renglón y primera columna.

Cada determinante de segundo orden representa un número real, dado por la siguiente formula:

Valor  de un determinante 2 x 2

Si a, b,.c y d son números, el determinante de la matriz   

es 

El determinante de una matriz 2 x 2 es el número que se obtiene con el producto de los números de la diagonal principal.

menos el producto de los números de la otra diagonal

 Ejemplo 1

Resuelve el sistema utilizando los determinantes.

SOLUCIÓN  Calculamos primero el determinante del sistema.

Ahora calculamos el valor de x sustituyendo los valores de la primera columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y divididos entre el determinante del sistema

Para calcular el valor de y sustituimos los valores de la segunda columna del determinante del sistema por los valores de los términos independientes y dividimos entre el determinante del sistema.

 

COMPROBACIÓN  Sustituimos los valores x=-8 y y=5 en las ecuaciones

Primera ecuación:      5x +6y = 5(-8) +6(5) = -10

Segunda ecuación     2x +3y = 2(-8) +3(5) = -1