Determinantes
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D E T E R M I N A N T E S
En esta seccin definiremos qu es el determinante de una matriz cuadrada y analizaremos algunas
de sus propiedades ms importantes. Para arribar a una definicin genrica relativamente simple,
haremos primero un listado de conceptos previos, como los de matriz complementaria, menor
complementario y adjunto. No presentaremos en este apartado las demostraciones de todas las
propiedades, algunas de ellas sern pedidas como ejercicios y otras las aceptaremos, de todos
modos, en la bibliografa podr encontrarlas.
Matriz complementaria
Se llama matriz complementaria del elemento ija de una matriz cuadrada
nnA x =
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
, con 1n , a la submatriz que se obtiene de eliminar la fila i y la
columna j de A
Notacin ijM
Ejemplos:
A=
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
de donde 23M =
444241
343231
141211
aaa
aaa
aaa
A=
739
352
920
de donde
39
5213M
Definicin
El determinante de una matriz cuadrada A es un nmero real al que representaremos A tal que
1111 1
1121
122111
1111
111
nMaMaMaA
aAA
nn
nn
Observacin: Se puede dar una definicin anloga por una fila en lugar de por una columna
Ejemplos:
4A 4A
42
11A 624112411
42
11 1211
A
-
Menor complementario
Se llama menor complementario del elemento ija , de una matriz cuadrada de orden mayor que 1, al
determinante de la matriz complementaria ijM : ijM
Ejemplo:
42
11A 1122 M
Adjunto
Se llama adjunto del elemento ija , de una matriz cuadrada de orden mayor que 1, al menor
complementario de ija multiplicado por ji1 , o sea
jiijA
1 ijM
Ejemplo:
42
11A
44.11 1111
11
MA
11.11 2112
21
MA
22.11 1221
12
MA
Por lo cual la definicin de determinante quedara as:
11121211111
11111
nAaAaAaA
aaAA
nnn
A partir de la definicin vamos a ver encontrar formas rpidas de calcular determinantes de
orden 2, 3, etc.
1) Orden 2
122122112112
211111
112221
1211.1..1.11 aaaaMaMa
aa
aaA
Conclusin
122122112221
1211aaaa
aa
aa
-
Ejemplo:
2712156.23.532
65
2) Orden 3
3113
312112
211111
11
333231
232221
131211
111 MaMaMa
aaa
aaa
aaa
A
2322
131231
3332
131221
3332
232211
aa
aaa
aa
aaa
aa
aaaA
221331231231321321331221322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaqaa
402432.25.63.21367.2235
62.1
73
622
73
350
731
352
620
Formas alternativas de calcular los de orden 3
Regla de Sarrus
Solo para calcular determinantes de orden 3
Se repiten las dos primeras filas abajo (o columnas a la derecha)
232221
131211
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
A
Se multiplican los elementos de las diagonales y se suman los resultados y se multiplican los
elementos de las diagonales y se restan los resultados.
211233113223312213231231133221332211 aaaaaaaaaaaaaaaqaa
Ejemplo:
021
102
521
031
102
= 2.3.5+1.2.1+ 1 .0.0 -1.3.(-1) -0.2.2 -5.0.1 = 30+2+3 = 35
http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)
-
Otra forma de plantearlo (la llamada forma de la estrella).
En este ltimo caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos
en lugar de usar la Regla de Sarrus, usamos el esquema grfico siguiente, en el cual algunos
productos mantendrn su signo (sealados como productos positivos) y los otros cambian de
signo (a los que llamamos en el esquema productos negativos):
896
213
162
61722716)6)(2(6)1.(9.38.1.2
896
213
162
1141443668.6.39).2(2)6.(1).1(
de donde
896
213
162
= 61 114 = - 53
3) Orden 4
Desarrollamos por una fila o columna (alternando el signo).
En este caso desarrollaremos por la primera columna:
123
050
120
.2
031
050
120
0
031
123
120
.2
031
123
050
.1
0312
1230
0502
1201
contrario
signosignocontrario
signosigno
Usando el mtodo para calcular determinantes de orden 3 resulta 730185
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/pfsarrus.html
-
Otra forma: podramos primero aplicar propiedades de los determinantes para lograr 0 en una fila o
columna:
(-2) (2)
de donde
7
271
123
290
.1
2710
1230
2900
1201
0312
1230
0502
12011
.
columna
pordesarr
0312
1230
0502
1201
-
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Todas las propiedades enunciadas a continuacin para filas valen para columnas
1) Si dos matrices tienen todas sus filas iguales menos una, la suma de sus determinantes es otro
determinante que tiene las mismas filas iguales a la de los sumandos y la fila distinta se obtiene
sumando los elementos correspondientes de los sumandos.
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
aaa
bbb
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
11211
21
21
11211
nnnn
ininiiii
n
aaa
bababa
aaa
21
2211
11211
Ejemplo:
250
871
321
A
250
945
321
B entonces
250
17114
321
BA
2) Si en una matriz se intercambian 2 filas entre s, el determinante cambia de signo
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
A
1
1
1
111
nnn
ini
jnj
n
aa
aa
aa
aa
B
1
1
1
111
BA
Ejemplo:
321
032
540
540
032
321
3) una matriz con dos filas iguales tiene determinante nulo
Dem:
Si cambio las dos filas de la matriz el determinante cambia de digno por propiedad anterior. Pero
como las filas son iguales, las matrices son iguales y tienen es el mismo determinante
O sea 002
AA
BA
y
BA
-
Ejemplo:
0
549
321
321
4) Si en una matriz multiplicamos todos los elementos de una fila por un nmero, su determinante
queda multiplicado por ese nmero.
Ejemplo:
2
540
694
642
540
694
321
5) Si matriz tiene todos los elementos de una fila 0, su determinante es 0
Dem:
)1
21
11211
21
11211
000
nnnn
n
nnnn
n
aaa
bbbbbb
aaa
aaa
aaa
4
21
11211
21
11211
nnnn
n
nnnn
n
aaa
bbb
aaa
aaa
bbb
aaa
0
21
11211
21
11211
nnnn
n
nnnn
n
aaa
bbb
aaa
aaa
bbb
aaa
Ejemplo:
0
540
000
321
-
6) Si una matriz tiene una fila que es combinacin lineal de las otras filas entonces su determinante
es 0.
Ejemplo:
0
0132
694
321
pues 2F1+ F2= F3
7) El determinante de una matriz no vara al sumar a una fila otra multiplicada por un nmero real
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
A
1
1
1
111
)1
1
11
1
111
nnn
injnij
ini
n
aa
paapaa
aa
aa
B
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
1
1
1
111
+ )4
1
1
1
111
nnn
ini
ini
n
aa
papa
aa
aa
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
1
1
1
111
+ )3
1
1
1
111
nnn
ini
ini
n
aa
aa
aa
aa
p
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
1
1
1
111
0p = A
aa
aa
aa
aa
nnn
jnj
ini
n
1
1
1
111
Ejemplo:
2
614
741
412
A
1430
741
412
-
8) El determinante de una matriz no vara al sumar a una fila una combinacin lineal de las
restantes.
Ejemplo:
2
1
614
741
412
A
2460
741
412
9) determinante de una matriz es igual al de su transpuesta
TAA
Ejemplo:
615
741
412
=
674
1.41
512
10) El producto de los determinantes de 2 matrices es igual al determinante del producto de las
matrices
ABBA
Ejemplo:
60123
2042
24
01
33
12
24
01
33
12
69
26
-9.(-2) = 36-18
18 =18
11) TTT ABAB
12) invertible es A det( 0A
Por lo tanto para que exista la inversa de una matriz su determinante debe ser distinto de 0
Ejemplo:
Sea
43
21A como 02
43
21A entonces existe .1A Calcularla
-
Aplicacin:
Una aplicacin importante de los determinantes es a la solucin de sistemas de ecuaciones lineales
en las cuales el nmero de ecuaciones es igual al nmero de las incgnitas. De hecho, el concepto
de determinante se origin en el estudio de tales sistemas de ecuaciones. El resultado principal,
conocido como regla de Cramer, se establece en el teorema (para sistemas de 3cuaciones, pero es
vlido para sistemas de n ecuaciones):
3333
2222
1111
kzcybxa
kzcybxa
kzcybxa
Sea
333
222
111
cba
cba
cba
el determinante de los coeficientes y sean
333
222
111
1
cbk
cbk
cbk
,
333
222
111
2
cka
cka
cka
y
333
222
111
3
kba
kba
kba
Entonces si 0 , el sistema dado tiene la solucin nica dada por
1x
2y
3z
Si 0 no puede afirmarse nada
Ejemplo:
42
52
123
zyx
zyx
zyx
018
121
112
213
,
18
124
115
211
1
, 36
141
152
213
2
, 18
421
512
113
3
Entonces 118
18x , 2
18
36y y 1
18
18
z
Ejercicios de Determinantes
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ejer_determinantes.pdf