Determinantes
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Matrices
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Ejercicio 6
Determinante
det A =
1 1 1
0 2 3
5 5 1
=
= 1 2 3
5 1
- 1 0 3
5 1
+ 1 0 2
5 5
=
= -8
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 = 2 3
5 1
= -13
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -13
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 = 0 3
5 1
= -15
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 15
-
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 = 0 2
5 5
= -10
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = -10
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 = 1 1
5 1
= -4
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 4
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 = 1 1
5 1
= -4
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = -4
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
-
M2,3 = 1 1
5 5
= 0
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = 0
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 = 1 1
2 3
= 1
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 1
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 = 1 1
0 3
= 3
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = -3
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 = 1 1
0 2
= 2
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = 2
Apuntemos una matriz de cofactores, que es la adjunta:
C =
-13 15 -10
4 -4 0
1 -3 2
Matriz inversa
Transponiendo, tenemos:
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-13 4 1
15 -4 -3
-10 0 2
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
13/8 -1/2 -1/8
-15/8 1/2 3/8
5/4 0 -1/4
-
Ejercicio 7
Determinante
det A =
10 10 6
10 10 -8
-7 0 -2
=
= 10 10 -8
0 -2
- 10 10 -8
-7 -2
+ 6 10 10
-7 0
=
= 980
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 = 10 -8
0 -2
= -20
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -20
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 = 10 -8
-7 -2
= -76
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 76
-
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 = 10 10
-7 0
= 70
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 70
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 = 10 6
0 -2
= -20
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 20
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 = 10 6
-7 -2
= 22
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = 22
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
-
M2,3 = 10 10
-7 0
= 70
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = -70
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 = 10 6
10 -8
= -140
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = -140
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 = 10 6
10 -8
= -140
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = 140
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 = 10 10
10 10
= 0
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = 0
Apuntemos una matriz de cofactores, que es la adjunta:
C =
-20 76 70
20 22 -70
-140 140 0
Matriz inversa
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-20 20 -140
76 22 140
70 -70 0
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
-1/49 1/49 -1/7
19/245 11/490 1/7
1/14 -1/14 0
-
Ejercicio 8
Determinante
det A =
3 2 1
0 2 2
0 1 -1
=
= 3 2 2
1 -1
- 2 0 2
0 -1
+ 1 0 2
0 1
=
= -12
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 = 2 2
1 -1
= -4
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -4
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 = 0 2
0 -1
= 0
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 0
-
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 = 0 2
0 1
= 0
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 0
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 = 2 1
1 -1
= -3
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 3
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 = 3 1
0 -1
= -3
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = -3
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
-
M2,3 = 3 2
0 1
= 3
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = -3
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 = 2 1
2 2
= 2
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 2
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 = 3 1
0 2
= 6
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = -6
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 = 3 2
0 2
= 6
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = 6
Apuntemos una matriz de cofactores, que es la adjunta:
C =
-4 0 0
3 -3 -3
2 -6 6
Matriz inversa
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-4 3 2
0 -3 -6
0 -3 6
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
1/3 -1/4 -1/6
0 1/4 1/2
0 1/4 -1/2
-
Ejercicio 10
Determinante
det A =
9 3 9
6 -10 4
10 7 5
=
= 9 -10 4
7 5
- 3 6 4
10 5
+ 9 6 -10
10 7
=
= 606
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 = -10 4
7 5
= -78
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -78
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 = 6 4
10 5
= -10
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 10
-
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 = 6 -10
10 7
= 142
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 142
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 = 3 9
7 5
= -48
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 48
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 = 9 9
10 5
= -45
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = -45
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
-
M2,3 = 9 3
10 7
= 33
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = -33
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 = 3 9
-10 4
= 102
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 102
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 = 9 9
6 4
= -18
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = 18
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 = 9 3
6 -10
= -108
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = -108
Apuntemos una matriz de cofactores:
C =
-78 10 142
48 -45 -33
102 18 -108
Matriz inversa
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-78 48 102
10 -45 18
142 -33 -108
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
-13/101 8/101 17/101
5/303 -15/202 3/101
71/303 -11/202 -18/101
-
Ejercicio 11
Determinante
det A =
3 1 0
1 -1 2
1 1 1
=
= 3 -1 2
1 1
- 1 1 2
1 1
+ 0 1 -1
1 1
=
= -8
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 = -1 2
1 1
= -3
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -3
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 = 1 2
1 1
= -1
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 1
-
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 = 1 -1
1 1
= 2
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 2
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 = 1 0
1 1
= 1
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = -1
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 = 3 0
1 1
= 3
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = 3
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
-
M2,3 = 3 1
1 1
= 2
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = -2
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 = 1 0
-1 2
= 2
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 2
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 = 3 0
1 2
= 6
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = -6
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 = 3 1
1 -1
= -4
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = -4
Apuntemos una matriz de cofactores:
C =
-3 1 2
-1 3 -2
2 -6 -4
Matriz inversa
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-3 -1 2
1 3 -6
2 -2 -4
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
3/8 1/8 -1/4
-1/8 -3/8 3/4
-1/4 1/4 1/2
-
Ejercicio 13
Determinante
det A =
5 0 0 0
-2 -10 7 0
0 -5 4 -1
0 -10 0 0
=
= 5
-10 7 0
-5 4 -1
-10 0 0
- 0
-2 7 0
0 4 -1
0 0 0
+ 0
-2 -10 0
0 -5 -1
0 -10 0
- 0
-2 -10 7
0 -5 4
0 -10 0
=
= 350
Matriz Adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 =
-10 7 0
-5 4 -1
-10 0 0
= 70
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = 70
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 =
-2 7 0
0 4 -1
0 0 0
= 0
-
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = 0
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 =
-2 -10 0
0 -5 -1
0 -10 0
= 20
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 20
Calculemos un menor M1,4 y cofactore C1,4 de A1,4. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 4.
M1,4 =
-2 -10 7
0 -5 4
0 -10 0
= -80
C1,4 = (-1)1+4
M1,4 = 80
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 =
0 0 0
-5 4 -1
-10 0 0
= 0
-
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 0
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 =
5 0 0
0 4 -1
0 0 0
= 0
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = 0
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
M2,3 =
5 0 0
0 -5 -1
0 -10 0
= -50
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = 50
Calculemos un menor M2,4 y cofactore C2,4 de A2,4. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 4.
M2,4 =
5 0 0
0 -5 4
0 -10 0
= 200
-
C2,4 = (-1)2+4
M2,4 = 200
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 =
0 0 0
-10 7 0
-10 0 0
= 0
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 0
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 =
5 0 0
-2 7 0
0 0 0
= 0
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = 0
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 =
5 0 0
-2 -10 0
0 -10 0
= 0
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = 0
Calculemos un menor M3,4 y cofactore C3,4 de A3,4. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 4.
M3,4 =
5 0 0
-2 -10 7
0 -10 0
= 350
C3,4 = (-1)3+4
M3,4 = -350
Calculemos un menor M4,1 y cofactore C4,1 de A4,1. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 1.
M4,1 =
0 0 0
-10 7 0
-5 4 -1
= 0
C4,1 = (-1)4+1
M4,1 = 0
Calculemos un menor M4,2 y cofactore C4,2 de A4,2. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 2.
M4,2 =
5 0 0
-2 7 0
0 4 -1
= -35
-
C4,2 = (-1)4+2
M4,2 = -35
Calculemos un menor M4,3 y cofactore C4,3 de A4,3. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 3.
M4,3 =
5 0 0
-2 -10 0
0 -5 -1
= 50
C4,3 = (-1)4+3
M4,3 = -50
Calculemos un menor M4,4 y cofactore C4,4 de A4,4. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 4.
M4,4 =
5 0 0
-2 -10 7
0 -5 4
= -25
C4,4 = (-1)4+4
M4,4 = -25
Apuntemos una matriz de cofactores:
C =
70 0 20 80
0 0 50 200
0 0 0 -350
0 -35 -50 -25
Matriz Inversa
-
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
70 0 0 0
0 0 0 -35
20 50 0 -50
80 200 -350 -25
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
1/5 0 0 0
0 0 0 -1/10
2/35 1/7 0 -1/7
8/35 4/7 -1 -1/14
Ejercicio 14
Determinante
det A =
1 6 2
-2 3 5
7 12 -4
=
= 1 3 5
12 -4
- 6 -2 5
7 -4
+ 2 -2 3
7 12
=
= 0
Como la matriz tiene determinante 0, resulta imposible invertirla.
-
Ejercicio 15
Determinante
det A =
1 1 1 1
1 2 -1 2
1 -1 2 1
1 3 3 2
=
= 1
2 -1 2
-1 2 1
3 3 2
- 1
1 -1 2
1 2 1
1 3 2
+ 1
1 2 2
1 -1 1
1 3 2
- 1
1 2 -1
1 -1 2
1 3 3
=
= -9
Matriz adjunta
Calculemos un menor M1,1 y cofactore C1,1 de A1,1. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 1.
M1,1 =
2 -1 2
-1 2 1
3 3 2
= -21
C1,1 = (-1)1+1
M1,1 = -21
Calculemos un menor M1,2 y cofactore C1,2 de A1,2. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 2.
M1,2 =
1 -1 2
1 2 1
1 3 2
= 4
-
C1,2 = (-1)1+2
M1,2 = -4
Calculemos un menor M1,3 y cofactore C1,3 de A1,3. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 3.
M1,3 =
1 2 2
1 -1 1
1 3 2
= 1
C1,3 = (-1)1+3
M1,3 = 1
Calculemos un menor M1,4 y cofactore C1,4 de A1,4. En la matriz A eliminemos la
fila 1 y columna 4.
M1,4 =
1 2 -1
1 -1 2
1 3 3
= -15
C1,4 = (-1)1+4
M1,4 = 15
Calculemos un menor M2,1 y cofactore C2,1 de A2,1. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 1.
M2,1 =
1 1 1
-1 2 1
3 3 2
= -3
-
C2,1 = (-1)2+1
M2,1 = 3
Calculemos un menor M2,2 y cofactore C2,2 de A2,2. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 2.
M2,2 =
1 1 1
1 2 1
1 3 2
= 1
C2,2 = (-1)2+2
M2,2 = 1
Calculemos un menor M2,3 y cofactore C2,3 de A2,3. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 3.
M2,3 =
1 1 1
1 -1 1
1 3 2
= -2
C2,3 = (-1)2+3
M2,3 = 2
Calculemos un menor M2,4 y cofactore C2,4 de A2,4. En la matriz A eliminemos la
fila 2 y columna 4.
M2,4 =
1 1 1
1 -1 2
1 3 3
= -6
-
C2,4 = (-1)2+4
M2,4 = -6
Calculemos un menor M3,1 y cofactore C3,1 de A3,1. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 1.
M3,1 =
1 1 1
2 -1 2
3 3 2
= 3
C3,1 = (-1)3+1
M3,1 = 3
Calculemos un menor M3,2 y cofactore C3,2 de A3,2. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 2.
M3,2 =
1 1 1
1 -1 2
1 3 2
= -4
C3,2 = (-1)3+2
M3,2 = 4
Calculemos un menor M3,3 y cofactore C3,3 de A3,3. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 3.
M3,3 =
1 1 1
1 2 2
1 3 2
= -1
-
C3,3 = (-1)3+3
M3,3 = -1
Calculemos un menor M3,4 y cofactore C3,4 de A3,4. En la matriz A eliminemos la
fila 3 y columna 4.
M3,4 =
1 1 1
1 2 -1
1 3 3
= 6
C3,4 = (-1)3+4
M3,4 = -6
Calculemos un menor M4,1 y cofactore C4,1 de A4,1. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 1.
M4,1 =
1 1 1
2 -1 2
-1 2 1
= -6
C4,1 = (-1)4+1
M4,1 = 6
Calculemos un menor M4,2 y cofactore C4,2 de A4,2. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 2.
M4,2 =
1 1 1
1 -1 2
1 2 1
= -1
-
C4,2 = (-1)4+2
M4,2 = -1
Calculemos un menor M4,3 y cofactore C4,3 de A4,3. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 3.
M4,3 =
1 1 1
1 2 2
1 -1 1
= 2
C4,3 = (-1)4+3
M4,3 = -2
Calculemos un menor M4,4 y cofactore C4,4 de A4,4. En la matriz A eliminemos la
fila 4 y columna 4.
M4,4 =
1 1 1
1 2 -1
1 -1 2
= -3
C4,4 = (-1)4+4
M4,4 = -3
Apuntemos una matriz de cofactores:
C =
-21 -4 1 15
3 1 2 -6
3 4 -1 -6
6 -1 -2 -3
Matriz inversa
-
Transpuesta de la matriz cofactores:
CT =
-21 3 3 6
-4 1 4 -1
1 2 -1 -2
15 -6 -6 -3
Resolvamos una matriz invertible.
A-1
= C
T
= det A
7/3 -1/3 -1/3 -2/3
4/9 -1/9 -4/9 1/9
-1/9 -2/9 1/9 2/9
-5/3 2/3 2/3 1/3
