DETERMINANTES DE ORDEN UNO DOS Y TRES

1. DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:

|A11|=a11

|a11 a12a21 a22

|=a11 a22−a12a21

Así, el determinante de una matriz 1 x 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| = a11.Ejemplos:

a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det (3x+5) = 3x+5.

b) |A|=|3 −6

4 1|=(3 )(1)−(−6 )( 4 )=3+24=27

|A|=|−1 0

6 10|=(−1)(10 )−0(6 )=−10−0=−10

Consideremos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:a1 x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2

La solución del sistema, si y sólo si D=a1b2−a2b1≠0 , es:

x=b2c1−b1 c2a1b2−a2b1

y=a1 c1−a2 c1a1b2−a2b1

En términos de determinantes:

x=N xD

=b2c1−b1 c2a1b2−a2b1

=|c1 b1c2 b2|

|a1 b1a2 b2|

y=N y

D=a1 c2−a2c1a1b2−a2b1

=|a1 c1a2 c2|

|a1 b1a2 b2|

Ejemplo: Resolver por determinantes: {2x−3 y=73 x+5 y=1

D=|2 −33 5 |=(2 ) (5 )− (3 ) (−3 )=10+9=19

N x=|7 −31 5 |=(7 ) (5 )−(1 ) (−3 )=35+3=38

N y=|2 73 1|=(2 ) (1 )−(3 ) (7 )=2−21=−19

La solución del sistema es:

x=N xD

=3819

=2e y=x=N y

D=−1919

=−1

2. DETERMINANTES DE ORDEN TRES Consideremos una matriz 3x 3 arbitraria A = (aij ). El determinante de A se define como sigue:det (A )=||=¿

Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Para calcular los determinantes de orden tres, el siguiente diagrama puede ayudar a resolverlos:

||(Para los tres productos positivos)

||(Para los tres productosnegativos)

Ejemplo : Calcular el valor del determinante:

| 3 2 10 2 −5

−2 1 4 |=(3 ) (2 ) (4 )+ (2 ) (−5 ) (−2 )+(0 ) (1 ) (1 )−(−2 ) (2 ) (1 )−(0 ) (2 ) (4 )−(1 ) (−5 ) (3 )=24+20+0−(−4 )−0−(−15 )=44+4+15=63

El determinante de la matriz 3 x 3 A = (aij) puede reescribirse como:det (A )=a11 (a22a33−a23a32 )−a12 (a21 a33−a23a31)+a13 (a21 a32−a22a31)¿a11|

a22 a23a32 a33

|−a12|a21 a23a31 a33

|+a13|a21 a22a31 a32

|

que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la forma siguiente:

||−a12||+a13||

Nótese que cada matriz 2 x 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que contienen su coeficiente.

Ejemplo:

Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :

|3 0 −26 −8 10 3 4

|= 3|−8 13 4

|+0−2|6 −80 3

|=3 (−32−3 )−2 (18−0 )=−105−36=−141

EJERCICIOS

1.- Hallar el determinante de:

1 2A = 2 3

5 6 7B = 4 2 3

1 2 0

-5 -8 9C = -2 3 5 4 5 2

2 1 0D = 1 1 1 -3 6 -8 2.- Resolver las siguientes ecuaciones por determinantes:

5x + 4y = 54x + 2y = 1

3x + 7y = 0-2x - 2y = 2