DETERMINANTES · SOLUCIÓN EJERCICIOS DETERMINANTES . Ejercicio nº 1.- Calcula el valor de los...

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1 DETERMINANTES Ejercicio nº 1.- Calcula el valor de los siguientes determinantes: Ejercicio nº 2.- Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b): Ejercicio nº 3.- a) Resuelve la ecuación: b) Calcula el valor del determinante: Ejercicio nº4.- Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante: 1 0 5 1 2 2 3 3 1 1 0 2 0 3 2 4 b) 1 1 0 1 1 1 0 1 1 a) x x x 2 1 1 3 4 1 1 1 1 2 0 1 3 0 1 2 b) 0 1 1 0 1 1 1 a) = a a a 0 3 1 2 1 3 1 = x x x 3 0 2 1 2 1 1 3 1 1 3 2 0 1 2 1 2 2 a) 2 0 1 t b) 2 1 2 1 0 2 3 1 1 3 0 2 4 2 1 0 t t t

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1

DETERMINANTES

Ejercicio nº 1.-

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

Ejercicio nº 2.-

Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

Ejercicio nº 3.-

a) Resuelve la ecuación:

b) Calcula el valor del determinante:

Ejercicio nº4.-

Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:

1051

2233

1102

0324

b)

110

111

011

a)

x

x

x

2113

4111

1201

3012

b)

0

110

11

1

a)

−−

=

a

aa

0

31

21

31

=

x

x

x

3021

2113

1132

0121

− −

−−

2 2a) 2 0 1 t

b) 2 1 2 10 2 3 1

1 3 0 2

4 2 1 0

tt

t

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Ejercicio nº 5.-

Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Ejercicio nº 6.-

Demuestra que:

Ejercicio nº 7.-

Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de este determinante:

Ejercicio nº 9.-

Demuestra que:

1331

3041

5211

4312

b)

42

01

111

a)

−−

t

t

t

( ) ( ) ( )cdbcaba

dcba

ccba

bbba

aaaa

−⋅−⋅−=

101

110

011

101

a

a

a

a

xaaa

axaa

aaxa

aaax

( )3

22

22

22

cba

baccc

bacbb

aacba

++=

−−

−−

−−

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Ejercicio nº 10.-

Halla en función de a, el valor de este determinante:

Ejercicio nº 11.-

a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:

Ejercicio nº 12.-

Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Ejercicio nº 13.-

la respuesta:

110

011

111

11

a

a

a

aa

−−

−−−

; ; 22

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

baα=

αα

ααα=

α

αα=

α

α

b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d

=

22

22 ;

ddc

bba

db

ca

+

+

3

333

333

333

b)

222

222

a)

rqp

cba

zyx

rcz

qby

pax

rqp

rcqbpazyx

rqp

cba

zyx

=+++=

dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA

12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt

( )BBt matriz la de traspuesta la representa

. 2

2 calcula ,2 Sib)

ddc

bba

dc

ba

−+

−+−=

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Ejercicio nº 14.-

Ejercicio nº 15.-

Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

Ejercicio nº 16.-

Halla el rango de la matriz siguiente:

Ejercicio nº 17.-

Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Ejercicio nº 18.-

Calcula el rango de la matriz:

:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =

rqp

zyx

cba

3

3

3

b)

222

a)

zrzc

yqyb

xpxa

zyx

rqp

czbyax

+

+

+−−−

0

1

1

1

b)

222

222

111

222

a)

43

32

2

=

+++

=

aa

aa

aa

cba

zyx

cba

zyx

=

1143

3010

2321

0211

M

=

2355

1430

2111

2132

M

−−

=

421123

113101

324312

A

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Ejercicio nº 19.-

Estudia el rango de la matriz:

Ejercicio nº 20.-

Obtén el rango de esta matriz:

Ejercicio nº 21.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:

Ejercicio nº 22.-

Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Ejercicio nº 23.-

Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

=

3770

711121

1321

5132

A

−−

−−

=

11141

30310

11121

32312

M

λ

λ

=

020

200

1111

A

−−

=

23381

231

1321

t

tM

−−

=

231

040

2401

t

tM

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Ejercicio nº 24.-

Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Ejercicio nº 25.-

Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

=

aa

a

a

M

522

121

031

=

014

030

0101

a

aA

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SOLUCIÓN EJERCICIOS DETERMINANTES

Ejercicio nº 1.-

Calcula el valor de los siguientes determinantes:

Solución:

(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 3ª columna.

Ejercicio nº 2.-

Resuelve la ecuación propuesta en a) y calcula el valor del determinante propuesto en b):

1051

2233

1102

0324

b)

110

111

011

a)

x

x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=−−−=−−−=−−−−−=

211121111

110

111

011

a)233 xxxxxxx

x

x

x

( ) [ ] ( ) ( ) 1312 1221 1 2322 −−+−=−−−=−+−−= xxxxxxxxx

( )=

=

=

⋅−

+

2135

153

324

1051

02135

0153

0324

1051

2233

1102

0324

b)

1

4

423

42

1

FILAS

a

aa

aa

a

( )( ) 28143115

2311

135

02311

153

0135

2

223

2

231FILAS

aa

a

aa

−=+−−=−

−−=

=

⋅−

⋅−

2113

4111

1201

3012

b)

0

110

11

1

a)

−−

=

a

aa

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Solución:

a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

(1) Desarrollamos por la 2ª columna.

(1) Desarrollamos por la 2ª columna. (2) Desarrollamos por la 1ª fila.

Ejercicio nº 3.-

a) Resuelve la ecuación:

b) Calcula el valor del determinante:

Solución: a) Desarrollamos el determinante y lo igualamos a cero:

( )101

1

1

110

01

10

110

11

1

21

3

12

1COLUMNAS

a

aa

a

±=→=−==

=

− aaa

aa

a

a

aa

1 ; 1 :soluciones dosHay 21 =−= aa

( )=

−−

−=

−−

=

−−

515

111

121

5105

1101

1201

3012

2113

4111

1201

3012

b)

1

14

13

2

1

FILAS

aa

aa

a

a

( )1055

55

11

515

111

010

2

3

2

21

a

a

aa

−=−−=−

=

−−

−=

0

31

21

31

=

x

x

x

3021

2113

1132

0121

1101 1

1

100

21

31

31

21

31

22

aa

a

a

23

2

1FILAS

±=→=→=−===

xxxx

xx

x

x

x

x

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(1) Desarrollamos por la 3ª columna. (2) Sumamos la 3ª fila a la 2ª. (3) Desarrollamos por la 2ª fila.

Ejercicio nº4.-

Hallar los valores de t que anulan el primer determinante, y calcula cuánto vale el segundo determinante:

Solución: a) Desarrollamos el determinante e igualamos a cero el resultado:

1 ,1 :soluciones dosHay 21 =−= xx

( ) ( ) ( )==−−=

−−=

+

321

4

3

32

31

FILAS

321

040

234

321

321

234

3021

2113

3021

2034

3021

2113

1132

0121

b)

a

a

aa

aa

( )( ) 401042124

31

24 4

3=⋅=−==

− −

−−

2 2a) 2 0 1 t

b) 2 1 2 10 2 3 1

1 3 0 2

4 2 1 0

tt

t

( ) 022424

1

02

22

233 →=−=−=−−+= tttttttt

tt

t

t

±=→=→=−

=→

2202

022 ttt

t

2;2;0 :soluciones tresHay 321 =−== ttt

( )=

−=

−−

=

−−

⋅−

124

413

512

0124

0413

0512

1212

0124

2031

1320

1212

b)

1

4

123

12

1

FILAS

a

aa

aa

a

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(1) Desarrollamos por la 4ª columna. (2) Desarrollamos por la 2ª columna.

Ejercicio nº 5.-

Halla el valor de los siguientes determinantes. En el apartado a), calcula, además, los posibles valores de t para que el determinante sea cero:

Solución:

a) Calculamos el valor del determinante:

Veamos para que valores de t se anula el determinante:

(1) Desarrollamos por la 1ª columna. (2) Sumamos a la 1ª fila la 3ª. (3) Desarrollamos por la 1ª fila.

( )a

a a

a a

FILAS

12

2 1

3 2 1

2 1 51 1

1 0 1 11 8 198 11

8 0 11−

+ ⋅

−= − − = = + =

1331

3041

5211

4312

b)

42

01

111

a)

−−

t

t

t

( ) ( ) 47322441214

42

01

111

2222 +−=−+−−+=−−−−+=

tttttttttttt

t

t

t

==

==±

=−±

=→=+−

166

34

68

617

6484970473 2

t

t

ttt

.1 cuando y 34 cuando cero vale tedeterminan El == tt

( ) ( ) ( )=−−−=−−

−−

−=−−

−−

=−

+

⋅−

321

4

43

42

421

FILAS

437

412

600

437

412

237

1331

4370

4120

2370

1331

3041

5211

4312

b)

a

aa

aa

aa

( )( ) 6766

37

12 6

3−=+−−=

−−−=

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11

Ejercicio nº 6.-

Demuestra que:

Solución:

(1) Restamos la 1ª fila a las otras tres. (2) Desarrollamos por la 1ª columna. (3) Sacamos (b − a) factor común. (4) Restamos a la 3ª fila la 2ª y a la 2ª la 1ª. (5) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 7.-

Calcula el valor de este determinante, dando el resultado factorizado:

Solución:

( ) ( ) ( )cdbcaba

dcba

ccba

bbba

aaaa

−⋅−⋅−=

( ) ( ) ( )=

−−−

−−−

−−−

=

−−−

−−−

−−−=

321

0

0

0

adacab

acacab

ababab

a

adacab

acacab

ababab

aaaa

dcba

ccba

bbba

aaaa

( )( )

( )( )

( )( )( )( )cdbc

cd

bcbc

abab

aba

adac

acac

abab

aba −−=

−−

−−

−=

−−

−−

−−

−= a-b a

00

0

1

1

1

1

543

101

110

011

101

a

a

a

a

( ) ( )( )

( )( )

( )=

−−

−−+=+=

+

+

+

+

=4321

1111

001

1111

0001

2

101

111

011

1011

2

102

112

012

1012

101

110

011

101

a

a

aa

a

a

aa

aa

aa

aa

a

a

a

a

a

( )( )

( )( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) =−+=−−+=

−−

−−+=

−−

−−

+= aaaaaaaa

aaa

a

a

a

a 2 211 2 11

11 2

111

00

111

2 2254

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(1) Sumamos a la 1ª columna las demás. (2) Sacamos (a + 2) factor común. (3) Restamos la 1ª columna a la 2ª y a la 4ª. (4) Desarrollamos por la 1ª fila. (5) Desarrollamos por la 2ª fila.

Ejercicio nº 8.-

Calcula el valor de este determinante:

Solución:

(1) Sumamos a la 1ª columna las otras tres. (2) Sacamos (x + 3a) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 9.-

Demuestra que:

Solución:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 −+=−+= aaaaaa

xaaa

axaa

aaxa

aaax

( ) ( )( ) =+=

+

+

+

+

=

1

1

1

1

3

3

3

3

3

21

xaa

axa

aax

aaa

ax

xaaax

axaax

aaxax

aaaax

xaaa

axaa

aaxa

aaax

( ) ( ) ( )33

000

000

000

1

3

aa

aa

aa

a

14

13

12

1

FILAS

axax

ax

ax

ax

aaa

ax −⋅+=

−+

−=

( )3

22

22

22

cba

baccc

bacbb

aacba

++=

−−

−−

−−

( )12 2

2 2 2 2 2 2 2 2

a b c a a a b c a b c a b cb b c a b b b c a bc c c a b c c c a b

− − + + + + + +− − = − − =

− − − −

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(1) Sumamos a la 1ª fila las otras dos. (2) Sacamos (a + b + c) factor común. (3) Es el determinante de una matriz triangular.

Ejercicio nº 10.-

Halla en función de a, el valor de este determinante:

Solución:

(1) Desarrollamos por la 2ª fila. (2) Sacamos −1 factor común.

Ejercicio nº 11.-

a) Justifica cuáles de las siguientes igualdades son correctas y cuales no:

( )( ) ( )

( )=

−−−

−−−++=

−−

−−++=

−3

13

12

12

COLUMNAS

02

02

001

22

22

111

aa

aa

a

cbac

cbabcba

baccc

bacbbcba

( )( )( )( ) ( )3

3cbacbacbacba ++=−−−−−−++=

110

011

111

11

a

a

a

aa

−−

−−−

( )( ) =

−−

−−−

+−=

−−

+

−−−

+=

−−

−−−

11

01

11

1

110

011

0001

11

110

011

111

11

1

4

3

12

1

FILAS

a

a

aa

a

a

a

a

a

a

a

a

aa

a

a

a

aa

( )( ) ( )( ) ( )( )1111

11

01

11

1 332

−+=−+−+=

−−

+= aaaaaa

a

a

a

a

; ; 22

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

baα=

αα

ααα=

α

αα=

α

α

b) Si 3, calcula el valor de los siguientes determinantes:a bc d

=

22

22 ;

ddc

bba

db

ca

+

+

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Solución:

(1) El segundo determinante es 0 por tener las dos columnas proporcionales.

Ejercicio nº 12.-

Indica si son ciertas o no las siguientes igualdades. Razona tu respuesta:

Solución:

Por tanto, es verdadera la igualdad.

b) Falsa, ya que:

( ) VERDADERA a)

→α=−α=α−α=α

α

dc

babcadbcad

dc

ba

( ) FALSA 222 →−α=α≠−α=α

αbcad

dc

babcad

dc

ba

( ) VERDADERA 2222 →α=−α=α−α=αα

αα

dc

babcadbcad

dc

ba

3 b)

==dc

ba

db

ca

( )6320 2

2

2

2

2

22

22

1=⋅=+=+=

+

+

dc

ba

dd

bb

dc

ba

ddc

bba

3

333

333

333

b)

222

222

a)

rqp

cba

zyx

rcz

qby

pax

rqp

rcqbpazyx

rqp

cba

zyx

=+++=

212

222

222

222

222

a)

a

aa

a

3

32

1FILAS

rqp

cba

zyx

rqp

cba

zyx

rqp

cbazyx

rqp

rcqbpazyx

=⋅=−=+++

3 3 3

333

333

333

33

rqp

cba

zyx

rqp

cba

zyx

rcz

qby

pax

rcz

qby

pax

≠==

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15

Ejercicio nº 13.-

la respuesta:

Solución: a) Vamos a tener en cuenta estas tres igualdades, que demostraremos al final:

Consideramos A y B dos matrices 2×2.

Por tanto:

b) Sumamos a la 1ª columna la 2ª y sacamos 2 y (−1) factor común:

OBSERVACIÓN: Vamos a demostrar las tres igualdades utilizadas.

dojustifican calcula, ,4 y2 que tales2,2 matrices dos son y Sia) −==× BABA

12 2 −− A;AB;AB;A;A;A tt

( )BBt matriz la de traspuesta la representa

. 2

2 calcula ,2 Sib)

ddc

bba

dc

ba

−+

−+−=

AAkAkBABA =⋅=⋅⋅=⋅ t2 A 3); 2); )1

42222 ===⋅=⋅=• AAAAAA

( ) ( ) 2111 2 ==⋅=⋅−=⋅−=−• AAAAA

824422 2 =⋅=⋅=⋅=• AAA

( ) 842 −=−⋅=⋅=⋅=⋅• BABABA tt

( ) 824 −=⋅−=⋅=⋅=⋅• ABABAB tt

, existe que y ; que cuenta en tener a vamos , hallar Para 111 −−− =⋅• AIAAA

Así:.02 que puesto ≠=A

211 1 = 111 ==→=⋅→⋅ −−−

AAAAIAA

( ) ( ) ( ) 422 2 2

2 =

2

2 =−⋅−=⋅−=

−+

−+

dc

ba

dc

ba

ddc

bba

: y Si2221

1211

2221

1211

=

=

bb

bbB

aa

aaA

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16

Ejercicio nº 14.-

Solución: a) Restando a la 1ª fila la 3ª y sacamos (−2) factor común:

(*) Al permutar la 2ª y 3ª filas de orden, el determinante cambia de signo.

b) Restamos a la 3ª columna la 2ª, y sacamos 3 factor común:

++

++=⋅

2222122121221121

22121211211211111)

babababa

babababaBA

( )( ) ( )( ) =++−++=⋅ 21221121221212112222122121121111 babababababababaBA

−+++= 22212212211221122211221112112111 bbaabbaabbaabbaa

=−−−− 22212212112221122112221111122111 bbaabbaabbaabbaa

=+−−= 21122112112221122112221122112211 bbaabbaabbaabbaa

( ) ( ) =−−−= 211211222112211222112211 bbbbaabbbbaa

( ) BABaaaaBaaBaa ⋅=⋅−=−= 2112221121122211

=⋅

2221

22112)

kaka

kakaAk

( ) AkaaaakaakaakAk 222212211

22221

22211

2 =−=−=⋅

AaaaaAaa

aaA tt =−=→

= 21122211

2212

21113)

:tesdeterminan siguientes los de valor el halla ,4 que Sabiendo =

rqp

zyx

cba

3

3

3

b)

222

a)

zrzc

yqyb

xpxa

zyx

rqp

czbyax

+

+

+−−−

( )=−=

−−−

=

−−−*

2 222 222

zyx

rqp

cba

zyx

rqp

cba

zyx

rqp

czbyax

( )( ) ( ) 842 12

*=⋅=−⋅−=

rqp

zyx

cba

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17

(*) Tenemos en cuenta que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta.

Ejercicio nº 15.-

Indica, razonando tus respuestas, si son ciertas o no las siguientes igualdades:

Solución:

Por tanto:

b) Observamos que la 2a y la 3a columna son proporcionales, puesto que la 3a la obtenemos multiplicando la 2a por a. Por tanto, el determinante es cero.

La igualdad es cierta.

Ejercicio nº 16.-

Halla el rango de la matriz siguiente:

Solución:

Tomamos un menor no nulo de orden 2:

( )1243 3 3

3

3

3

3

3

3

*

=⋅====

+

+

+

rqp

zyx

cba

rzc

qyb

pxa

rzc

qyb

pxa

zrzc

yqyb

xpxa

0

1

1

1

b)

222

222

111

222

a)

43

32

2

=

+++

=

aa

aa

aa

cba

zyx

cba

zyx

.1 la sumado hemos le 3 la A .21 por 2 la y 2 por domultiplica hemos la fila 1 Laa) aaaa

cierta. es igualdad La.

222

222

111

221

222

+++

⋅=

cba

zyx

cba

zyx

=

1143

3010

2321

0211

M

=

11

30

43

1023

02

21

11

M

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18

Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

(1) Restamos a la 4ª columna, la 2ª multiplicada por 3. (2) Desarrollamos por la 3ª fila. Por tanto, ran (M) = 4

Ejercicio nº 17.-

Averigua cuál es el rango de la siguiente matriz:

Solución:

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Comprobamos si el determinante de M es distinto de cero o no:

( ) 2 ran04 23

02 ≥→≠= M

( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las015

31

21 3

300

23

02

1

1

≥→→≠=−

=− M

( ) ( ) 015

1313

431

321

1

13143

0010

4321

3211

1143

3010

2321

0211

21

≠−=−−−=

−−

=

=M

=

2355

1430

2111

2132

M

05 11

32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−

( ) 3 ranntesindependie elinealmentson filas primeras tres Las017

430

1

1

11

32

≥→→≠=

− M

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19

Por tanto, ran (M) = 3.

Ejercicio nº 18.-

Calcula el rango de la matriz:

Solución:

Por tanto, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras líneas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

Luego, ran (A) = 3.

Ejercicio nº 19.-

Estudia el rango de la matriz:

Solución:

Luego, ran (A) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la tercera fila depende linealmente de las dos primeras:

0

12210

143

615

122105

1430

0001

6152

2355

1430

2111

2132

aa

aa

aa

a

124

13

12

1

COLUMNAS

=−=−

−=

=

⋅+

+

+M

−−

=

421123

113101

324312

A

01 01

12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=

ntes.independie ntelinealmeme son filas tres Las014

123

1

3

01

12

→≠=−

=

3770

711121

1321

5132

A

07 21

32 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠−=

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20

Comprobamos si la cuarta fila depende linealmente de las dos primeras:

Por tanto, ran (A) = 2.

Ejercicio nº 20.-

Obtén el rango de esta matriz:

Solución:

Observamos que la 4ª columna coincide con la 1ª y que la 5ª es igual que la 3ª. Por tanto, podemos prescindir de las dos últimas columnas para calcular el rango de M. Así, ran (M) ≤ 3.

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes. Veamos si la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras:

( )aaa 3 la obtenemos ,2 la menos columna 1 la restamos si pues,0

11121

3

1

21

32

=

primeras. dos las de lineal ncombinació es fila 3 la Así,.0

7121

121

532

a=−

primeras. dos las de depende fila cuarta la También . 0

370

121

532

;0

770

321

132

=−=

−−

−−

=

11141

30310

11121

32312

M

03 21

12 :nulo no 2 orden de menor un Tomamos ≠=−

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21

Ejercicio nº 21.-

Determina cuál es el rango de la matriz A, según los valores de λ:

Solución:

Luego, ran (A) ≥ 2. Buscamos los valores de λ que hacen cero el determinante formado por las columnas 2a, 3a y 4a:

• Si λ = 1 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

• Si λ = −2 → La 3ª columna depende linealmente de la 2ª y 4ª. Veamos qué ocurre con la 1ª columna:

( ) 3 ran014

310

121

312

=→≠=

M

λ

λ

=

020

200

1111

A

λ

λ

=

020

200

1111

A

02 20

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=

( )[ ] [ ]=λ−λ−−=+λλ−−=λ

+λ−=

λ

222122 2

11 2

02

200

111

[ ]

−=λ

=λ±−=

+±−=λ→=−λ+λ⋅=

2

1

231

2811022 2

( ) 3 ran 2 y 1 Si =→−≠λ≠λ• A

( ) 3 ran01

010

201

111

=→≠−= A

( ) 3 ran08

020

202

111

=→≠=

− A

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22

Por tanto, ran (A) = 3 para cualquier valor de λ.

Ejercicio nº 22.-

Estudia el rango de la matriz M según los valores de t:

Solución:

Observamos que la 3ª columna es proporcional a la 1ª (es su triple), por tanto, podemos prescindir de ella para calcular el rango.

Luego, ran (M) ≥ 2.

Buscamos los valores de t que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 2a y 4a sea cero:

Por tanto, la 3ª fila depende linealmente de las dos primeras para cualquier valor de t. Así, ran (M) = 2.

Ejercicio nº 23.-

Estudia el rango de esta matriz, según los valores de t:

Solución:

−−

=

23381

231

1321

t

tM

01 21

11 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=

( ) . de valor cualquier para043824382

2381

21

121

ttttt

t

t =+−−−+−+−=

−−

−−

=

231

040

2401

t

tM

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23

Observamos que la 4ª columna es el doble de la 1ª. Luego, podemos prescindir de ella para obtener el rango.

Así, ran (M) ≥ 2. Buscamos los valores de t que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

• Si t = 2 o t = −6 → La 2ª columna depende linealmente de la 1ª y 3ª.

Por tanto, ran (M) = 2.

Ejercicio nº 24.-

Estudia el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución:

Luego, ran (M) ≥ 2. Las dos primeras filas son linealmente independientes para cualquier valor de a.

Buscamos los valores de a que hacen que el determinante formado por las columnas 1a, 3a y 4a sea igual a cero:

• Si a = 1 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª columna:

04 40

41 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=

−=

=±−=

+±−=→=−+=

−6

2

284

2481640124

31

40

401

2

t

tttt

t

t

( ) 3 ran6 y 2 Si =→−≠≠• Mtt

=

aa

a

a

M

522

121

031

03 12

03 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomamos ≠=

( ) →=+−→=+−=+−=−−+= 03403426823562

5

12

03

2

1 2222 aaaaaaaaa

a

a

=

=±=

−±=→

1

3

224

212164

a

aa

últimas. dos las de elinealment depende columna 2 La0

15

12

03

2

1

1a→=

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24

Por tanto, ran (M) = 2. • Si a = 3 → Sabemos que la 1ª columna depende linealmente de las dos últimas. Veamos que ocurre con la 2ª

columna:

Ejercicio nº 25.-

Determina el rango de la siguiente matriz para los distintos valores de a:

Solución: Podemos prescindir de la 3ª columna, pues no influye en el rango.

Luego, ran (A) ≥ 2.

Buscamos los valores de a que hacen cero el determinante formado por las tres primeras columnas:

→ ran (A) = 2

( ) 3 ran tanto, Por .08

35

12

03

6

3

1

=≠= M

=

014

030

0101

a

aA

01 14

01 :cero de distinto 2 orden de menor un Tomemos ≠=

−=

−=±−=

−±−=→=++=−

3

1

224

212164034

14

30

101

2

a

aaaa

a

a

( ) 3 ran3 y 1 Si =→−≠−≠• Aaa

→→−=−=• dos otras las de elinealment depende fila 2 La3 o 1 Si aaa