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1 Determinantes y la Regla de Cramer
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Determinantes y la
Regla de Cramer
2
Matriz Inversa
Nota: una matriz cuadrada que no tiene inversa
se llama matriz singular.
Ejemplo: Hallar la inversa de A.
21
42A
1021
0142
100
021
21
21
[ A | I ]
1021
02121
121 R
21 RR Si al aplicar el método
de Gauss se obtiene
ceros en los elementos
de la última fila de la
matriz de coeficientes.
Por lo tanto, la matriz A
no tiene inversa
3
Determinante de una matriz
Está definido solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz cuadrada es un número real.
Definición:
Si A= [aij] es una matriz de dimensión 1x1, entonces |A| = a11.
Si es una matriz cuadrada de dimensión 2x2,
2221
1211
aa
aaA
entonces el determinante de A, denotado por |A| o det(A), es
|A| = a11 a22 – a21 a12.
2221
1211
aa
aaA
El determinante de la matriz A :
el producto de los elementos a11 a22
menos
el producto de los elementos a21 a12.
1 2
4
Ejemplo 1: Dado la matriz A, halle su determinante.
El determinante de la matriz A, denotado por |A| o det(A)
es
|A| = 2(-2) – 1(-4)
= -4 + 4
= 0
21
42A
Determinantes
5
Determinantes
Ejemplo 2. Dado la matriz A, halle el determinante de la matriz A.
56
42A
6
Determinantes
Ejemplo 3. Determine el valor de a tal que el
det(C) = 2.
aC
4
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Determinante de una matriz de orden 3
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,
también podemos calcular el determinante de la
siguiente manera:
• Copie la primera y segunda columna de la
matriz a su derecha:
312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A
+
-
Ejercicios
134
327
145
A
111
122
110
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes
matrices:
2. Para que valor de a el determinante es cero:
a
a
a
42
012
321
Si el determinante de A es cero, entonces el determinante
de 𝑨−𝟏 no está definida. Si el determinante de una
matriz no está definida, entonces la matriz no existe.
Es decir si el determinante de una matriz es cero, NO tiene
inversa.
Si el determinante de una matriz es diferente de cero,
entonces la matriz tiene inversa.
)det(
1)det( 1
AA
Determinantes y la inversa
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Método de Cofactores para
Hallar Determinantes
11
Método de Cofactores
Definición: Sea A= [aij] una matriz n x n y sea Mij la
matriz (n-1) x (n-1) obtenida al remover la i-ésima fila y la
j-ésima columna de A.
Det(Mij) es llamado el menor del elemento aij
Ejemplo 1. Dado la matriz cuadrada A, halle el menor M32
870
624
153
A
64
1332M
La matriz M32 se obtiene removiendo la tercera fila y
la segunda columna de la matriz A
Método de Cofactores
Ejemplo 2. Dado la matriz A, determinar
el menor del elemento a32
870
624
153
A
Método de Cofactores
Ejemplo 3. Dado la matriz A, halle el menor del
elemento a13.
870
624
153
A
14
Método de Cofactores
Ejemplo 4. Halle el menor del elemento a23
870
624
153
A
15
Método de Cofactores
El cofactor del elemento aij es definido por
Aij = (-1)i+j det(Mij)
Ej 5. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a23.
determina el
signo del
resultado
Método de Cofactores
870
624
153
A
Ej 6. Dado la matriz A, halle el cofactor del elemento a33.
17
Método de Cofactores
Teorema
El determinante de una matriz cuadrada puede ser hallado multiplicando los elementos de cualquier fila o columna por sus respectivos cofactores y luego sumando estos productos.
Método de Cofactores
Ejemplo 8. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
001
153
412
A
19
Método de Cofactores
Ejemplo 8b. Dado la matriz A, halle el determinante de A.
001
153
412
A
20
Método de Cofactores
870
624
153
A
Ejemplo 9. Dado la matriz A, halle el determinante de A por el
método de cofactores.
21
Método de Cofactores
Ejemplo 10. Dado la matriz A, halle el determinante de A por el
método de cofactores.
202
201
332
A
22
Regla de Cramer
23
Regla de Cramer
Es una regla que permite hallar el valor de una variable particular sin necesidad de hallar los valores de las demás variables del sistema de ecuaciones lineales.
Dado un sistema de n ecuaciones lineales en n variables;
sean x1,x2,x3,…, xn las variables del sistema.
nnnnn
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
2232221
1131211
Sea
la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones.
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Regla de Cramer
Sea Ak la matriz obtenida al reemplazar la k-ésima columna
de la matriz A por el vector de constantes.
k-ésima columna
nnnknnknn
nkk
nkk
k
aabaaa
aabaaa
aabaaa
A
1121
2122122221
1111111211
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Ejemplo
Dado el siguiente sistema de ecuaciones
matricial, identifica A2.
Entonces, A2 la matriz obtenida al reemplazar
la 2da columna de la matriz A por el vector
de constantes.
𝐴2 =2 83 11
2 43 5
𝑥𝑦 =
811
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Ejemplo
Dado el siguiente sistema de ecuaciones
matricial, A1.
2 −1 53 6 7
−3 1 4
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=9
−68
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Regla de Cramer
Si 𝐴 ≠ 0 y X =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
⋮
entonces 𝑋𝑘 =𝐴𝑘
𝐴,
𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Si 𝐴 = 0 y 𝐴𝑘 = 0 para todo k, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤𝑛, entonces el sistema es dependiente (que
tiene una infinidad de soluciones.)
Si 𝐴 = 0 y 𝐴𝑘 ≠ 0 para algún k, 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑘 ≤𝑛, entonces el sistema es inconsistente (que no
tiene soluciones.)
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Regla de Cramer
Ejemplo 1. Halle el valor de x mediante la regla de Cramer.
0
834
4642
zy
zyx
zyx
110
341
642
A
0
8
4
B
29
Regla de Cramer
Ejemplo 2. Halle el valor de y del sistema del
ejemplo anterior mediante la regla de Cramer
30
Regla de Cramer
Ejemplo 3. Halle el valor de z para la matriz
mediante la regla de Cramer.
31
Regla de Cramer
Ejemplo 4 . Resolver el sistema,
aplicando la regla de Cramer.
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Práctica
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y – 3z = 6
2x - 3y + 5z = 10
x - y + z = 0
Determine el valor de la variable z usando la regla de
Cramer.
