8. Diagonalitzacio

Montserrat Maureso29-05-2014

1

El problema de la diagonalitzacio

Sigui f : E E un endomorfisme. Hi ha alguna base B de E enque` la matriu MB(f ) sigui senzilla? Mes concretament, diagonal?

DefUn endomorfisme f : E E es diagonalitzable si existeix algunabase B de E tal que MB(f ) es diagonal.

Obs. Suposem que la matriu MB(f ) no es diagonal, pero` sabemque lendomorfisme f diagonalitza en una altra base B . Aleshoresla matriu

(PB

B )1MB(f )PB

B

es diagonal.DefDirem que una matriu M diagonalitza si existeix una matriu Pinvertible tal que P1MP es diagonal.

2

Valors i vectors propisConsiderem E un K-espai vectorial i f : E E un endomorfismeDefLescalar es un valor propi (vap) de lendomorfisme f si existeixalgun vector v 6= 0E tal que f (v) = vTots els vectors v 6= 0E que compleixen f (v) = v sanomenenvectors propis (vep) de valor propi

Obs.I Si f (v) = 0E , llavors v es un vector propi de valor propi 0.I Si v es un vector propi de valor propi , aleshores tot vector

de v es un vector propi de valor propi .Efectivament. Sigui u v i sigui lescalar tal que u = v .Aleshores, per ser f una aplicacio lineal es te

f (u) = f (v) = f (v) = (v) = (v) = u

TeoremaUn endomorfisme f : E E es diagonalitzable si, i nomes si,existeix una base de E en que tots els vectors son vectors propis 3

Ca`lcul dels valors propisSiguin M la matriu associada a f : E E en una base B i n ladimensio dE

Siguin v E , un escalar, i In la matriu identitat. Tenim quef (v) = v M vB = vB M vB = In vB (M In) vB = 0Per tant, un escalar es un vap si i nomes si el sistema

(M In)

x1...xn

=0...

0

te solucio no trivial. I aixo` passa si i nomes si la matriu associadaal sistema no te rang ma`xim, es a dir, si

det(M In) = 0TeoremaEls valors propis de f son les arrels a K del polinomi

pf (x) = det(M xIn) = 04

Def Anomenem:

polinomi caracterstic de lendomorfisme f al polinomi

pf (x) = det(M xIn)

equacio caracterstica de f a lequacio pf (x) = 0 multiplicitat algebraica del valor propi a la multiplicitat

de com a arrel de pf (x), i ho denotem per m

Obs.I pf (x) te per grau n la dimensio dE

Recordem que un polinomi de grau n te com a molt n arrels,comptant multiplicitats. Aix, la suma de les multiplicitatsalgebraiques es com a molt n

I pf (x) no depe`n de la base en la que calculem la matriuassociada M

I Per trobar els veps de vap cal resoldre el sistema

(M In)

x1...xn

=0...

0

5

Espais de vectors propis

Siguin un valor propi de lendomorfisme f : E E i B una basede EDefLespai propi del valor propi es el conjunt

E = {u E : f (u) = u} = {u E : (M In)uB = 0}

Propietats

I E es un subespai vectorial dE

I 1 dim(E) m

DefLa multiplicitat geome`trica de es la dimensio del subespai E

6

ProposicioSiguin v1 i v2 veps de vaps 1 i 2, respectivament, amb 1 6= 2.Aleshores, v1 i v2 son linealment independents

ProposicioSiguin 1, . . . , k vaps 2 a 2 diferents i sigui Bi una base de Ei ,1 i k . Aleshores el conjunt de vectors

ki=1

Bi

es un conjunt de vectors linealment independents.

7

Caracteritzacio dels endomorfismes diagonalitzables

Sigui f : E E un endomorfisme dun K-espai vectorial E dedimensio n.

TeoremaLendomorfisme f es diagonalitzable si i nomes si

(i) f te n valors propis a K, comptant multiplicitats, i(ii) per a cada valor propi les multiplicitats algebraica i geome`trica

coincideixen.

Corol.lariSi f te n valors propis diferents, aleshores es diagonalitzable.

8

Algorisme de diagonalitzacio

Per a decidir si lendomorfisme f : E E es diagonalitzable,podem seguir els passos seguents:

(1) Trobem la matriu associada a f en una base qualsevol icalculem el polinomi caracterstic pf (x)

(2) Trobem els valors propis i les seves multiplicitats resolentpf (x) = 0

(3) Si les multiplicitats dels valors propis sumen menys de dim(E ),lendomorfisme no diagonalitza. Altrament anem a (4)

(4) Per a cada valor propi , trobem lespai propi E i la sevadimensio dim(E)

(5) Si per a tot es compleix m = dim(E), lendomorfismediagonalitza. Altrament no diagonalitza

Si lendomorfisme diagonalitza, per trobar una base en que`diagonalitzi nomes cal prendre la unio de les bases dels espais E

9