MATEMÁTICAS EMPRESARIALES (EJEMPLOS DE DIAGONALIZACIÓN)

Curso 2013-2014 Teorema: Existencia de matriz diagonal semejante A es diagonalizable ( APPP 1/ ) existe una base formada por autovectores. En tal caso, la matriz P tendrá por columnas la base de autovectores y la matriz diagonal estará formada por los autovalores asociados (en el mismo orden que sus autovectores asociados en P). En la práctica:

1. Cálculo de los autovalores de A:

0)( nIAP

2. Cálculo de las dimensiones de cada subespacio vectorial de autovectores:

0)/()( XIAxS nin

i

si

nSDimi

i ))(( Base de autovectores Existe PExiste

si ))((i

iSDim < n No existe PNO Existe

3. Si A es diagonalizable, su matriz diagonal semejante es:

n

...

0

0

0...0

.........

...0

...0

2

1

Ejemplo 1

Sea

4

1

0

20

10

12

A ,

los autovalores resultan de la ecuación:

1

)(3

)(202)4)(1()2(

)2(2)4)(1)(2(

4

1

0

20

10

12

)(

2

1

simple

doble

IAP

- El conjunto de autovectores asociados a 2 es

)0,0,(/)2( 13 XxxS , ya que:

0)2/()2( 3 XIAxS

0

0

022

0

0

0

0

0

2

1

0

20

10

10

/

23

2

32

32

2

3

2

1

3

xx

x

xx

xx

x

x

x

x

x

donde 11 :librevariable1123)2()2( xIArgnSDim , y siendo, por

ejemplo, una base: )0,0,1(2 B .

- El conjunto de autovectores asociados a 3

es )2,,(/)3( 2223 xxxxxS ya que:

0)3/()3( 32 XIAxS

02

02

0

/

0

0

0

1

1

0

20

20

11

/

32

32

21

3

3

2

1

3

xx

xx

xx

x

x

x

x

x

23

213

2/

xx

xxx

con 2:librevariable1123)3()3( xIArgnSDim , y siendo, por

ejemplo, una base: )2,1,1(3 B .

Puesto que )2( 1SDim nSDim 3211)3( , no es posible formar

en 3 una base con autovectores (No existe P) y en consecuencia

4

1

0

20

10

12

A no es diagonalizable.

2

Ejemplo 2

Sea

3

1

1

00

20

02

A

los autovalores resultan de la ecuación: 0)( 3 IAP , pudiendo comprobarse

como al tratarse A de una matriz triangular los autovalores figuran directamente en la

diagonal principal, siendo, por tanto,

)(3

)(2

2

1

simple

doble

.

El conjunto de autovectores asociados a 2 es )0,,(/)2( 213 xxxxS , ya

que:

0)2/()2( 3 XIAxS

0

0

0

0

0

0

0

23

1

1

00

220

022

/

3

3

3

3

3

2

1

3

x

x

x

x

x

x

x

x

Donde 211 :libresvariables2213)2()2( xyxIArgnSDim , y siendo,

por ejemplo, una base: )0,1,0(),0,0,1(2 B .

El conjunto de autovectores asociados a 3 es ),,(/)3( 3333 xxxxxS

ya que:

0)3/()3( 32 XIAxS

0

0/

0

0

0

33

1

1

00

320

032

/32

313

3

2

1

3

xx

xxx

x

x

x

x

32

313 /xx

xxx

con 3:librevariable1123)3()3( xIArgnSDim , y siendo, por

ejemplo, una base: )1,1,1(3 B .

En consecuencia la matriz A es diagonalizable, verificándose la relación:

APP 1

1

1

1

00

10

01

3

1

1

00

20

02

1

1

1

00

10

01

3

0

0

00

20

021

3

Ejemplo 3 Calcule 100A , siendo A la matriz del Ejemplo 2. De las propiedades de las matrices semejantes, se deduce que:

1PPA kk

1

1

1

1

00

10

01

3

0

0

00

20

02

1

1

1

00

10

01

3

1

1

00

20

02

K

K

KK

,

expresión que permite obtener la potencia ésimak de la matriz A. Así, por ejemplo, se tendría que:

1

100

100

100100

1

1

1

00

10

01

3

0

0

00

20

02

1

1

1

00

10

01

3

1

1

00

20

02

.

Ejemplo 4

Sea

1

3

6

36

02

21

A , ¿es diagonalizable?

Si, puesto que es una matriz simétrica.

Ejemplo 5:

Sea

1

1

1

11

11

11

A , ¿es diagonalizable? En caso afirmativo, encuentre su matriz

diagonal semejante. Al ser una matriz simétrica, es seguro que será diagonalizable. Los autovalores se

obtienen de la ecuación:

)(3

)(00)(

2

1

simple

dobleIAP

, siendo la matriz

diagonal:

3

0

0

00

00

001APP

Ejemplo 6 Una agencia de transportes tiene su flota de camiones repartidos en dos ciudades A y B. De los camiones que hay en A, al principio de cada mes, los 2/3 vuelven a A al final del mismo mes y el resto a B. De los que hay en B las ¾ partes vuelven a B y el resto a A.

4

a) Si la flota permanece constante e inicialmente hay la mitad en cada ciudad, hállense los porcentajes que hay en cada ciudad después de un año.

b) Hállese el porcentaje de camiones en cada ciudad al cabo de infinitos meses.

- Solución – Llamando tAx , y tBx , al porcentaje de camiones al final del mes t ( principios del mes

t+1) en la ciudad A y en la ciudad B, respectivamente, se tendrá:

0

22

211,

1,

,

,

1,1,,

1,1,,

)(4331

4132

4

3

3

14

1

3

2

XA

XAXAAXAXx

x

x

x

xxx

xxx

t

tttttB

tA

tB

tA

tBtAtB

tBtAtA

siendo

21

210X .

a) En t=12, se tiene que

21

21

4331

413212

12,

12,

012

12B

A

x

xXAX , pero si A fuese

diagonalizable, entonces 1 PPA tt . En particular, en nuestro caso: 11212 PPA , resultando que .0

1120

1212 XPPXAX

Puede comprobarse que A es diagonalizable ya que los dos autovalores, 1 y 5/12, son distintos:

0)12

5)(1(51712

)43(31

41)32(0)( 2

2

IAP

El conjunto de autovectores asociados a 1 es

))34(,(/)1( 112 xxxxS , ya que:

0)/()1( 2 XIAxS

1221

2

12

3

40

4

1

3

1

0

0

4131

4131/

xxxx

x

xx

Donde 11 :librevariable1112)()1( xIArgnSDim , siendo,

por ejemplo, una base: )4,3(1 B .

El conjunto de autovectores asociados a 125 es

),(/)125( 222 xxxxS , ya que:

0))125(/()125( 2 XIAxS

5

2121

21

21

2

12

04

1

12

3

012

4

3

1

04

1

12

3

0

0

)125()43(31

41)125()32(/

xxxxxx

xx

x

xx

Donde 22 :librevariable1112))125(()125( xIArgnSDim , siendo,

por ejemplo, una base: )1,1(125 B .

Se tiene entonces que:

571,0

429,0

21

21

7374

7171

)125(0

01

14

13

21

21

14

13

)125(0

01

14

13

21

21

4331

4132

12

1

12

1212

0112

12 XPPX

b)

148

146

21

21

7374

7171

00

01

14

13

21

21

7374

7171

)125(lim0

0)1(lim

14

13limlimlim 0

10 t

t

t

tt

t

t

tt

tXPPXAX