Diagrama circular del motor asincrónico trifásico

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL - FRBA

DEPARTAMENTO DE ELECTROTECNIA

MÁQUINAS ELÉCTRICAS II

DIAGRAMA CIRCULAR DEL MOTOR ASINCRÓNICO TRIFÁSICO

1. Introducción

El diagrama circular de la máquina asincrónica es el lugar geométrico de la corriente absorbida para dis-tintos valores de resbalamiento. Los fundamentos del mismo se pueden estudiar, por ejemplo, en Hind-marsh, “Máquinas Eléctricas y sus Aplicaciones” párrafo 7.5: Diagrama de Círculo o Kostenko y Piotrovski, “Máquinas Eléctricas” tomo II, capítulo XXI: Diagramas Circulares de una Máquina Asincrónica.

Si bien básicamente se trata de un diagrama de corrientes, al multiplicarlo por la tensión, se transforma en uno de potencias y de esa forma es posible disponer, en forma gráfica, de la mayoría de las magnitudes de interés de la máquina. Por ese motivo se lo ha empleado intensivamente como herramienta para la resolu-ción del circuito equivalente, a pesar de las inexactitudes propias de los métodos gráficos y que en la mayoría de los casos se trabaja con un diagrama obtenido a partir de un circuito equivalente aproximado, con la rama en paralelo trasladada a los terminales de entrada. Por otro lado tampoco es lícito suponer, cuando el resba-lamiento varía entre límites muy amplios, la constancia de los parámetros del circuito equivalente como se admite en el diagrama circular. Con la aparición de las calculadoras programables y de las PC tal necesidad de cálculo ya no existe, no obstante, el diagrama, sigue teniendo valor didáctico ya que permite observar grá-ficamente la variación de las distintas magnitudes y sacar conclusiones muy rápidamente aunque sea en forma aproximada. Con este objetivo es que se lo puede incluir en los cursos de Máquinas Eléctricas.

2. Obtención del diagrama circular

La construcción que se describe a continuación corresponde al diagrama circular resultante de un circui-to equivalente aproximado, con la rama en paralelo trasladada a los terminales de entrada, figura 1:

U1

+

-

I1 I’2R 1 x 1

x’2

R’2 / s

I0

BmGp

Figura 1: Circuito equivalente aproximado.

Como el circuito anterior está formado por solamente dos impedancias en paralelo, la forma más sencilla de obtener el diagrama circular es como un diagrama de impedancias y admitancias; en efecto, al variar la resistencia de carga, varía la impedancia Z12 y su inversa, la admitancia Y12 ; si a ésta última se le suma la admitancia constante Y0 , se obtiene la admitancia Y1 de todo el circuito.

1

U.T.N. FRBA Máquinas Eléctricas II

U1

+

-

I1 I’2

I0

Y0=Gp-jBmY12=1 / Z12

Figura 2: Admitancias del circuito.

El lugar geométrico de la impedancia Z12 es un recta paralela al eje de abscisas, figura 3, por lo tanto su inversa, la admitancia Y12 es una circunferencia, con centro en el eje de ordenadas, y que pasa por el origen. Para sumarle la admitancia Y0 , como es habitual en estos diagramas, resulta más conveniente desplazar los ejes a un nuevo origen O . Las coordenadas del nuevo origen son -Gp y -Bm .

El diámetro de la circunferencia corresponde al inverso del punto F’ , es decir que:

21

21

'1'

'''

xxFO

xxOF

+=

+=

Se pueden definir sobre la circunferencia algunos puntos para valores particulares de resbalamiento s , en efecto, para s = 0 , la resistencia de la impedancia Z12 se hace infinita, el punto representativo de la misma es el punto impropio de la recta de Z12 , cuyo inverso es el origen O’ ; para s = ±∞ , la resistencia de la impedancia Z12 queda igual a R1 correspondiéndole los puntos G’ y su respectivo inverso G ; para s = 1 , la resistencia de la impedancia Z12 resulta igual a R1+R’2 correspondiéndole los puntos H’ y su inverso H . Para un punto genérico de resbalamiento s , tal como el A’ , la resistencia correspondiente es:

ssRRR −

++1'' 221

cuyo inverso es el punto A.

Como los haces rectas O’F’ , O’G’ , O’H’ , O’A’ y O’F , O’G , O’H y O’A forman entre sí, por construcción, los mismos ángulos; los segmentos determinados sobre rectas paralelas que los corten, serán proporcionales entre sí, teorema de Thales, por lo tanto queda establecida la siguiente proporcionalidad:

1

2

2

'

1'

RCD

RBCs

sRAB

→

→

−→

además:

pGDE =

lo que permitirá luego interpretar las potencia que ellos representan.

2


X

R

G

G

B

B Gs = ±∞

s = 1H

ABCDE

Y1 2

Y1

s=0O’

O

Bm

Z1 2

s=±∞ s=1 s=0

F’ G’ H’ A’

Gp R1 R’2 R’2(1 -s )/ s

Y0

s

x1 + x’2

1 / (x1+x’2)

s

F

Figura 3: Diagrama de impedancias y admitancias.

El diagrama de admitancias resultante se acostumbra a representarlo rotado 90 grados en sentido anti-horario, es decir con el eje real de G como eje de ordenadas, figura 4.

Si a las admitancias se las multiplica por la tensión de fase U1 , tomada como real, se obtienen las res-pectivas corrientes:

111

11212

100

11 0

UYI

UYI

UYI

jUU

&&&

&&&

&&&

&

⋅=

⋅=′

⋅=

+=

3


Las proyecciones de dichas corrientes sobre los ejes de coordenadas, son las componentes activas y reac-tivas de las mismas; por lo tanto si se las multiplica por 3U1 se obtienen las respectivas potencias activas P y reactivas Q o las aparentes S , figura 4.

Lo anterior es equivalente a cambiar las escalas del dibujo, en efecto si la escala original es:

[ ]mm

SyYdeEscala1

=

las de corriente y potencia serán:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmVAIdeEscalaUSdeEscala

mmAYdeEscalaUIdeEscala

fase

fase

3

como se verá más adelante, lo normal es partir directamente del un diagrama de corrientes.

G U Iac t P

A s =1

R.P.

R.T.

s =±∞ϕ1

Os =0

GENERADOR

BIre ac t

Q

FRENO

MOTOR

Y1 I1 S1

Y0 I0 S0

Y12 I’12 S12

Figura 4: Diagrama de corrientes y potencias.

El arco de circunferencia comprendido entre los puntos de resbalamiento 0 y 1 , corresponde al funcio-namiento como motor; el comprendido entre los puntos de resbalamiento 1 y +∞ al funcionamiento como freno y el comprendido entre los puntos de resbalamiento negativo desde 0 a -∞ al funcionamiento como generador. Como podrá suponerse para los puntos de resbalamiento muy superior a 1 , es lícito cuestionar la validez de la constancia de los parámetros del circuito equivalente, por lo que esa zona del diagrama del cír-culo posee solamente interés formal.

A la recta que une los puntos de s = 0 y el de s = 1 , se la denomina “recta de potencias” R.P., porque, como se verá más adelante, a partir de ella se mide la potencia electromecánica desarrollada; y en forma aná-loga a la recta que une los puntos de s = 0 y el de s = ±∞ , se la denomina “recta de cuplas” R.T., porque a partir de ella se mide la cupla electromagnética desarrollada.

3. Significado de los distintos segmentos del diagrama

Como el diagrama de admitancia representa, en otras escalas, uno de corrientes o de potencias, estos úl-timos son los que tienen interés práctico. En el punto anterior se han indicado las corrientes de vacío I0 , la rotórica referida I’12 y la estatórica I1 . A continuación se analizarán las potencias y se desglosará la poten-cia activa absorbida en sus componentes

Dado que el segmento OA, figura 5, representa la potencia aparente total S1 , su proyección sobre el eje de ordenadas AE es la potencia activa absorbida P1 y la proyección sobre el eje de abscisas OE la potencia reactiva Q1 ; como se dijo más arriba los segmentos AB, BC y CD son proporcionales a la distintas resisten-cias que componen la impedancia Z12 , por lo tanto, leídos en la escala de potencia, representarán las poten-

4


cias disipadas en las respectivas resistencias, a saber: la potencia electromecánica Pem , las pérdidas en el cobre del rotor PCu2 y las pérdidas en el cobre del estator PCu1 respectivamente. Como el segmento DE es igual a la conductancia Gp , representa la potencia en la misma, es decir las pérdidas en el hierro del estator PFe1 .

U ; P Pe m

Pc y Te

Q

R.P.

R.T.

s =1B”

A”

s =±∞D”

E”

C’’’

B’

C”C’

D’

E’

A’

D

E

C

B

A

s =0O

ϕ1

Figura 5: Principales segmentos del diagrama.

En la tabla siguiente se resume el significado de los principales segmentos:

O-A ⋅ Esc de I = I1 Corriente estatórica

O-s=0 ⋅ Esc de I = I0 Corriente de vacío

A-s=0 ⋅ Esc de I = I’2 Corriente rotórica referida al estator

O-s=1 ⋅ Esc de I = Iarr Corriente de arranque

A-B ⋅ Esc de S = Pem Potencia electromecánica

B-C ⋅ Esc de S = PCu2 Pérdidas en el cobre del rotor

A-C ⋅ Esc de S = Pc Potencia de campo

C-D ⋅ Esc de S = PCu1 Pérdidas en el cobre del estator

D-E ⋅ Esc de S = PFe1 Pérdidas en el hierro del estator

A-E ⋅ Esc de S = P1 Potencia eléctrica activa total

O-E ⋅ Esc de S = Q Potencia reactiva total

O-A ⋅ Esc de S = S Potencia aparente total

A-C ⋅ Esc de T = Te Cupla electromagnética

C’’’-s=1 ⋅ Esc de T = Tarr Cupla de arranque

5


Cuando el punto se encuentra en la zona de funcionamiento como generador, A’ , o de freno, A” , los segmentos tienen el mismo significado que para motor. Si dicho punto se encuentra por debajo del eje a par-tir del que se mide la respectiva potencia, ésta deberá considerarse como negativa, a saber, la potencia de campo y la cupla para generador y las potencias electromecánicas para generador y freno.

También se puede observar que para todas las condiciones de funcionamiento, la máquina absorbe po-tencia reactiva inductiva de la red y que la misma crece con el resbalamiento.

Como la cupla electromagnética es la potencia de campo dividida por la velocidad sincrónica, el segmen-to AC , representa en otra escala a dicha cupla. Por comodidad se define una escala de cuplas haciendo:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω

=mm

NmSdeEscalaTdeEscalas

donde:

pf

psπω 2

==Ω

siendo p el número de pares de polos de la máquina.

4. Determinación del rendimiento

El rendimiento de la máquina funcionando como motor, se puede obtener en forma aproximada, hacien-do el cociente de los segmentos representativos de las potencia electromecánica y de la absorbida:

AEAB

PP

PP emm =≅=

11η

y para el caso del funcionamiento como generador es la relación inversa. En alguna literatura sobre el tema se explica la construcción de una escala en la que se puede leer en forma directa la relación anterior, pero dada la inexactitud intrínseca del procedimiento, no se recomienda utilizarlo para obtener el rendimiento de la máquina, y si se lo hace, tomar los resultados solamente a título orientativo.

5. Puntos singulares del diagrama

Algunos puntos singulares del diagrama son los siguientes, figura 6:

U

I1n

A1

A2

s =0O

B1B2

B’1s =1

B’2

C

R.P.

R.T.s =±∞

A’1A’2

A

A3ϕm ín

Figura 6: Puntos singulares.

• El punto A de corriente nominal se ubica trazando un arco, que tenga como radio dicha corriente, hasta cortar a la circunferencia.

• Los puntos de máxima potencia electromecánica se ubican trazando una perpendicular a la recta de potencia R.P., que pase por el centro de la circunferencia C, hasta cortar a la misma en los puntos A1 y A’1 el primero correspondiente al funcionamiento como motor y el segundo como generador.

6


generador para

motor para

11máx

11máx

SEscBAP

SEscBAP

em

em

⋅′′=

⋅=

• Para ubicar los puntos de máxima cupla electromagnética A2 y A’2 se procede en forma análoga, pero trazando una perpendicular a la recta de cupla: R.T.

generador para

motor para

22máx

22máx

TEscBAT

TEscBAT

e

e

⋅′′=

⋅=

• El punto de máximo factor de potencia A3 se obtiene trazando, desde el origen, una recta tangente a la circunferencia; al mismo le corresponde el mínimo ángulo ϕ1 y el máximo factor de potencia del motor.

• La corriente y la cupla de arranque están representados por los segmentos O-s=1 y C’’’-s=1 en la figu-ra 5.

6. Obtención del resbalamiento

El resbalamiento y la velocidad correspondiente a cualquier punto de la circunferencia se puede obtener haciendo la relación de los segmentos que representan a la potencia de pérdidas en el cobre del rotor y a la potencia de campo:

( ) s

c

Cu

sACBC

PP

s

Ω⋅−=Ω

==

1

2

Pero muchas veces es más cómodo trabajar con una escala que de directamente ese valor o el de la velo-cidad correspondiente. En principio hay infinitas formas de trazar escalas de resbalamiento que den gráfica-mente la relación anterior, a continuación se dan dos posibles alternativas.

7. Escala de resbalamiento-velocidad (I)

Se traza de la siguiente manera, figura 7:

• Se traza una recta paralela a la de cuplas, R.T., en un lugar adecuado, por encima del diagrama. • Se prolonga la recta de potencias, R.P., hasta cortar a la recta anterior, ese es el punto de resbala-

miento s = 1 o de Ω = 0 de la escala. • Se traza una vertical por el punto de s = 0 hasta cortar a la escala, ese es el punto de s = 0 o de ve-

locidad sincrónica Ωs de la escala. • Se divide linealmente el segmento de escala así obtenido y se continúa la escala para resbalamientos

negativos y mayores que 1. • Para determinar el resbalamiento de cualquier punto de la circunferencia se debe unir dicho punto

con el de s = 0 y prolongar la recta hasta cortar a la escala de resbalamiento en la que se lee el valor del mismo o el de la velocidad correspondiente. A modo de ejemplo, en la figura 7, se muestra el pro-cedimiento para puntos en la zonas de funcionamiento como motor, generador y freno: A , B y C respectivamente.

7


U

ΩBsB

Ωss=0

ΩAsA

Ω=0s=1

ΩCsC

R.P.

R.T.

s=1

s=±∞

s=0

A

B

C

0

Figura 7: Escala de resbalamiento-velocidad (I).

8. Escala de resbalamiento-velocidad (II)

Esta es una escala alternativa que resulta más adecuada para valores bajos de resbalamiento, se traza de la siguiente manera, figura 8:

• Se une el centro C de la circunferencia con el punto de s = ± ∞ . • En un punto apropiado se traza una recta perpendicular a la anterior y donde dicha recta corta a la de

cuplas, R.T., se tiene el punto de s = 0 y Ωs de la escala. • Se unen los puntos de s = 1 con el de s = ± ∞ y se prolonga la recta hasta cortar a la escala en el

punto de s = 1 , Ω = 0. • Con los puntos de s = 0 y de s = 1 de la escala, se la puede graduar linealmente en resbalamiento y

en velocidad de forma análoga al caso anterior. • Para determinar el resbalamiento de cualquier punto de la circunferencia se debe unir dicho punto

con el de s = ± ∞ y donde la recta cortar a la escala de resbalamiento en la que se tiene el valor del mismo o de la velocidad correspondiente.

s A ΩA

s=0 ΩS

Ω=0s=1

U R.P.

R.T.

O

s=1

s=±∞

s=0

A

C

Figura 8: Escala de resbalamiento (II).

8


9. Influencia de la variación de parámetros

Por la importante influencia que tienen en las características de arranque de los motores de inducción, a continuación se analiza brevemente qué se modifica en el diagrama del círculo al variar los parámetros del rotor y la tensión aplicada al motor.

• Variación de tensión: suponiendo linealidad, es decir que los parámetros de circuito equivalente son constantes, al variar la tensión aplicada a la máquina, las corrientes varían linealmente y las poten-cias y la cupla en forma cuadrática. Esto se puede justificar por la forma en que están definidas las respectivas escalas del dibujo.

• Variación de R2: si, para un dado punto de funcionamiento, es decir para las mismas corrientes, se incrementa la resistencia rotórica, se incrementarán proporcionalmente las pérdidas en el cobre del mismo, segmento BC de la figura 5; y la recta de potencias R.P. aumentará su pendiente, desplazán-dose el punto de s = 1 hacia el de s = 0 .

• Variación de x2: si se incrementa la reactancia de dispersión del rotor, disminuye el diámetro de la circunferencia y proporcionalmente todos sus segmentos.

10. Trazado de la circunferencia a partir de ensayos

• Con los valores obtenidos del ensayo a rotor bloqueado se calculan:

rbrb

rbrbrb

rb

narr

IUP

arcIUU

I3

cos == ϕ

• Se elige una escala de corrientes tal que la Iarr no sea menor a 30 cm y a partir de la misma se defi-nen las de potencia y de cupla:

[ ]

pf

mmNmSdeEscalaTdeEscala

mmVAIdeEscalaUSdeEscala

mmAxIdeEscala

s

s

fase

π2

3

1

=Ω

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=

• Con los valores de Iarr y de ϕrb se ubica el punto de s = 1 , figura 9, y con los valores de Io y de ϕo obtenidos del ensayo en vacío, se ubica el punto de s = 0 .

• Uniendo los puntos de s = 0 y el de s = 1 se obtiene la recta de potencias (R.P.) y se traza la media-triz al segmento s = 0 , s = 1 hasta cortar a la horizontal, trazada desde el primero de los dos pun-tos, en el punto C , que es el centro de la circunferencia.

11. Recta de potencias de campo o de cuplas

• Con la corriente de arranque Iarr se calculan las pérdidas en el cobre del estator para s = 1: 2

11 3 arrarrCu IRP =

• Se traza una recta vertical por el punto de arranque s = 1 y se lleva, a partir del diámetro, un seg-mento AB que represente a las pérdidas anteriores, en la escala de potencias. Uniendo el punto B con el de s = 0 se tiene la recta de cuplas (R.T.).

• Al punto donde la recta de cuplas corta a la circunferencia le corresponde resbalamiento infinito, po-sitivo y negativo: s = ± ∞ .

9


U

ϕrb

ϕ0

O s=0

C

B

A

Iarr

S=1

S=±∞

R.P.

R.T.

Figura 9: Construcción a partir de ensayos.

Ing. Norberto A. Lemozy

1999

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