Diagrama de Bode

Diagrama de Bode

Diego Alejandro Villegas Oliveros

Ingeniería Telemática

Universidad Icesi

Diagrama de Bode

• Es un diagrama logarítmico.

• Si es la función de transferencia entonces

w vs. diagrama de magnitud.

w vs. ángulo de fase en frecuencia.

Diego Alejandro Villegas Oliveros 2

)(wH

)(w

)(wH

Magnitud

• La Magnitud logarítmica de

• La unidad utilizada en esta

representación es el decibel,

abreviado usualmente como db.


)()(log20)(10

dbDecibeljwGesjwG

• Una función de transferencia se

puede representar con dos

diagramas separados uno de la

magnitud en función de la

frecuencia (decibeles) y el otro

del ángulo de fase (grados).

• Además multiplicación de

Magnitudes es una suma.

• Disponemos de las

asíntotas de la curva

original para bosquejar la

curva.

• Se pueden representar

las características de alta

y baja frecuencia en el

mismo diagrama.


BAAB loglog)log(

Ángulo de fase


Punto de Inflexión

-45º

0º

-90º

Frecuencia w

Angulo

de f

ase

Factores Básicos

1. Ganancia k.

2. Factores integrales y derivativos

3. Factores de primer orden

4. Factores cuadráticos


12)/()/(21

nn

wjwwjw

1)( jw

1)1( jwT

• Una vez familiarizado con el uso de estos diagramaslogarítmicos de cada factor, se pueden usar para haceruno compuesto para cualquier trazandocurvas de cada factor y sumando gráficamente lascurvas individuales, ya que sumar logaritmos demagnitudes equivale a multiplicarlos entre sí. El procesode obtener el diagrama logarítmico se puede simplificarmás aun si se usan aproximaciones asintóticas a lasc u r v a s d e c a d a f a c t o r .


)()( jwHjwG

22

3102

jwjwjwjw

jwjwG

Ganancia K

• La curva para es una línea recta

horizontal para la ganancia k en la magnitud de

, db. El ángulo de fase es cero.

• Si se varía la ganancia k en la función de

transferencia se eleva o desciende la curva del

logaritmo para no afectar el ángulo de fase.

• Si aumentamos el valor numérico en factor de

10, el valor en decibeles aumenta un factor de

20.


kk log20log20

klog20

Ganancia K


Si expresamos el recíproco de un número en decibelesk

k1

log20log20

Para tener en cuenta…


Eje real

b

a

Eje imaginario

c = a+bi

Ф

22 babiac

biac

a

ba

b

1tan

tan

Factor integral y derivativo .


1jw

Termino .

• l a m a g n i t u d l o g a r í t m i c a e n d e c i b e l e s e s

• El ángulo de fase de es una constante igual a

-90º.


dbwjw

log201

log20

jw

1

1jw

Mas conceptos

• Octava: banda de frecuencias

• Década: banda de frecuencias

• La distancia


11 2waw

11 10waw

101303 1111 wawigualeswaw

Gráfico .

• El gráfico

es una recta.

• Pendiente

o

1jw


10

20

0

-20

-40

0.1 1 100

Pendiente

wlog20 db

décadadb /20

octavadb /6

Termino .


• El ángulo de fase de es una constante igual a 90º.


dbwjw log20log20

jw

jw

Gráfico .

• El gráfico

es una recta.

• Pendiente

o

jw


wlog20 db

décadadb /20

octavadb /6

40

20

0

1 10 100

-20

Pendiente

0.1

)40,100()20,10(

)0,1()20,1.0(

Angulo de fase . 1jw


Factor . njw


• Para

Magnitud logarítmica

Angulo de fase

• Para

Magnitud logarítmica

Angulo de fase

Pendientes -20n db/década y 20n db/década

respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1).

njw

dbwn

jwn

log201

log20

n º90

njw

dbwnjwn

log20log20

nº90

Factores de primer orden ..


11

jwT

Termino .


• Si recta 0 db.

• Si línea recta

con una pendiente -20 db/década (o -6 db/octava).

• Si

dbTwjwT

221log201

1log20


11

jwT

dbTwT

w 01log201log201 22

dbwTTwT

w log201log201 22

dbdbT

w 01,32log2011log201

Curva de logaritmo de la magnitud

11

jwT


Angulo de fase .

• El ángulo de fase de

esta dado por

11

jwT


wT1tan

Tw

1

º45)1(tantan)(

0)0(tan)(

11

1

T

Tw

w

º45)( w

º90))(tan(

)(tan)( 1

w

w

w

11

jwT

w

Punto de Inflexión

-45º

0º

-90º

Ф

T/1

El error

dbwTlog20db 01log20 dbTw 221log20


-1

-2

-3

0

T/10T/2T/1

T2/1T10/1

Note corrección máxima 3db en w = 1/T

Termino .


• Si recta 0 db.

• Si línea recta

con una pendiente 20 db/década (o 6 db/octava).

• Si

jwTdbTwjwT

1

1log201log201log20 22


jwT1

dbTwT

w 01log201log201 22

dbwTTwT

w log201log201 22

dbdbT

w 01,32log2011log201

Curva de logaritmo de la magnitud

jwT1


Angulo de fase .


esta dado por

jwT1


wT1tan

Tw

1

º45)1(tantan)(

0)0(tan)(

11

1

T

Tw

w

º90))(tan()(tan)( 1

ww

w

45º

90º

T/01.0 T/1 T/10

Factor . njw

1


• frecuencia de corte

• recta horizontal 0 db

• frecuencias altas, pendiente –20n I db/década o 20n db/década

• El error es n veces el correspondiente a .

• El ángulo de fase es n veces el de en

cada punto de frecuencia.

Tw

1

Tw

1

Tw

1

1)1( jwT

1)1( jwT

Factores cuadráticos


12)/ˆ()/(21 nn wwjwjw

Generalización

a) Si se puede escribir como dos de primer orden con polos reales.

b) Si producto de dos factores complejos conjugados.

• Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de porque la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento .


12)/ˆ()/ˆ(21 nn wwjwwj

1

10

Factor .

• la magnitud logarítmica en decibeles es

• Si recta 0 db.

• Si La

línea recta con una pendiente -40 db/década.

• Si la asíntota de alta frecuencia corta a la de

baja en

dbw

w

w

www

nn

n 01log2021log20

22

2

2


12)/ˆ()/ˆ(21

nn wwjwwj

22

2

2

221log20

ˆˆ21

1log20

nn

nn

w

w

w

w

w

wj

w

wj

dbw

w

w

w

w

w

w

www

nnnn

n log40log202log202

2

2

222

2

2

2

dbdbdbw

www

n

nn 0 1log40log40

• Las asíntotas determinadas en la diapositiva

anterior son independientes de . En

cercanía de se produce un pico de

resonancia y el factor determina la

magnitud de ese pico. Hay error en la

aproximación de asíntotas y el valor del error

depende de y es grande para pequeños.


nww

Magnitud para .


12)/ˆ()/ˆ(21

nn wwjwwj

0.1

0

db

nw

w

1.0

w

Angulo de fase .


esta dado por

Diego Alejandro Villegas Oliveros33

12)/ˆ()/ˆ(21

nn wwjwwj

2

1

2

1

2

tan

ˆˆ21

1

n

n

nn w

w

w

w

w

wj

w

wj

-90

0

-180

1nw

w w

0w 0)0(tan 1

nww º90tan0

2tan 11

w

1800tan 1

Si

Si

Si

010

0

1

lim

2

2

n

n

w

w

w

w

w


Pico de resonancia.doc

Ejemplo

• Trace el diagrama de bode para las

siguiente función de transferencia:


22

3102

jwjwjwjw

jwjwG

Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores

de primer orden y el factor de segundo orden están en

línea con 0db

122

)(

21)(

13

5.7

122

)(2

21)(2

133

10

2)()2)((

)3(10)(

2

22

jwjwjwjw

jw

jwjwjwjw

jw

jwjwjwjw

jwjwG


Paso 1

Paso 2

• Identificar los factores que componen la

función


122

)(

21)(

13

5.7

)(2 jwjwjw

jw

jw

jwG

;)( 1jw ;3

1w

j ;2

1

1

wj

12

122

)(

jwjw7.5;

Compuesta por:

Paso 3

• Hallar las Frecuencias de corte según el

factor


Tw

jwT

jwT c

1

1

1

1

3

31

1

3

11

31

cwjw

wj

2

21

1

2

11

21

cwjw

wj

nc

nn

wwCuandoww

jw

w

jw

2

2

21

2122

2

21

22

)(22

cw

jwjwjwjw


3536,04

2

2

22

22

222

21

2221

jwjwjwjw

Se hayan los valores aproximados de cada uno de los

factores de la función


Paso 4

Paso 5


Se grafica cada una de las funciones independientemente.

0.4 0.6 1 1.53 2 3 4

40

30

20

17.5

14

2.41

0

-3.52

-6.02

-10

-20

1

3

4

25

Paso 6

• La función de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones


0.4 0.6 1 1.53 2 3 4

40

30

20

17.5

14

2.41

0

-3.52

-6.02

-10

-20

Curva exacta

G(jw)

• Para diagramas de ángulo de fase se

procede de la misma manera.


Gracias…

Diagrama de Bode

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