UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA

NACIONAL BOLIVARIANA NUCLEO TACHIRA

Trabajo de Estructura (Diagrama de Williot)

San Cristbal, Abril de 2013

INTRODUCCIN

Este trabajo tiene la finalidad de que los estudiantes elaboren de forma explicita como se desarrolla el diagrama de williot, con el procedimiento de forma precisa para el clculo demostrndolo en un ejercicio prctico. Es por ello que destacamos que su precurso se identifica como MOHR quien fue un alemn (1835 - 1918) que hizo grandes aportes a la Teora de Estructuras. Desarrollo el mtodo para determinar las deflexiones en vigas, conocido como el mtodo general de Maxwell para anlisis de estructuras indeterminadas, usando los principios de trabajo virtual. Hizo aportes en anlisis grafico de deflexiones de cerchas, con el complemento el diagrama de Williot, conocido como el diagrama de Mohr, para la representacin grfica de los esfuerzos en un estado biaxial de esfuerzos.

DIAGRAMA DE WILLOT

Se determina un ejemplo del desplazamiento de una viga estticamente indeterminada de un grado de libertad. La cual se basa sus principios para desarrollar el diagrama de willot mohr para la determinacin de desplazamiento en estructuras. Desarrollando el procedimiento se debe averiguar los desplazamientos de los nudos de una estructura isosttica, podemos utilizar una construccin grafica muy simple consiste en ir compatibilizando las deformaciones de las barras y las condiciones del contorno. El resultado de estas operaciones ser una estructura deformada, pero esto suponiendo pequeas deformaciones es difcil suponer con precisin estos movimientos, por lo cual es necesario obtener las deformaciones fuera de la armadura y con un factor de amplificacin que facilite la medicin Ejemplo de diagrama de willot mohr

Para trazar este diagrama se deben seguir los siguientes pasos:

a) Tomar un punto (0) como un polo. b) Trazar a partir del punto (0) los movimientos de los nudos a la escala que estimemos oportuna para tener una fcil visualizacin. c) A partir de estos puntos se trazan paralelas a las barras afectadas y sobre ellas llevamos las deformaciones sufridas por las mismas d) Considerando que para arcos de circunferencias pequeos se puede sustituir el trazado de estos por perpendiculares. Trazamos las perpendiculares a las rectas del tercer paso por los puntos determinados por las deformaciones, y con ello obtenemos el nuevo lugar donde se encuentra el punto inicial o polo.

DESARROLLO MAS ESPECIFICO DEL DIAGRAMA DE WILLOT

a) Generalidades: Para el clculo de los desplazamientos reales de los nudos de una celosa no son todava suficientes los procedimientos tratados hasta ahora que solo dan las componentes de los desplazamientos en una direccin determinada. Los desplazamientos reales pueden calcularse partiendo de la variacin de longitud (s) = S S + t t s

EF

b) Barra a y b unidades estribo rgido. En la celosa ABC una barra a experimenta un alargamiento (a) y la barra

b un acotamiento (b). en primer lugar se supone que ambas barras entre sueltas en el nudo C de modo que pueden deformarse independientemente entre s. Luego ambas barras han de llevarse de nuevo a la unin girando la barra b alrededor de A y la barra a alrededor de B, describiendo los extremos de las barras un arco de radios a + a y b - b. El punto de corte de los dos arcos de la situacin del nudo C despus de la deformacin de la estructura. Los nudos de la deformada se designan mediante A, B y C. Ya que las deformaciones s son muy pequeas frente a la longitud de las barras s, los arcos pueden sustituirse por sus tangentes, a saber, por las perpendiculares a las barras de la estructura no deformada. Por el mismo motivo las variaciones de longitud s y las longitudes de s no pueden dibujarse a la misma escala. Las variaciones de longitudes s se representan a una escala mayor en un diagrama de desplazamientos particulares. Partiendo de un punto de referencia, se dibujan las variaciones de longitud de las barras teniendo en cuenta su signo (alargamiento a o acortamiento b) en direccin de las barras de la estructura no deformada, ya que los nudos A y B del sistema son indesplazables y por tanto han de coincidir con los nudos A y B correspondientes y coincidentes con estos nudos en el diagrama de desplazamientos. Las perpendiculares levantadas en los puntos extremos de los desplazamientos dibujados s se cortan en el punto C. de la congruencia de los dos cuadrilteros rayados se deduce que el segmento (AB), C en el diagrama de desplazamientos es igual al desplazamiento total buscando (segmento CC) del nudo C.

c) Barras a y b unidas a un estribo elstico: Si en la celosa ABC los nudos A y B como componentes de un sistema total son de por s desplazables, se halla como sigue el desplazamiento real del punto C:

Basndonos en lo anterior suponemos ya conocidos los desplazamientos AA y BB. Se supone ahora, como ya se ha descrito en b), que la unin est suelta en C. la deformacin de las barras puede descomponerse entonces en:

1. Un desplazamiento paralelo (movimiento de traslacin). 2. Una variacin de longitud. 3. Un giro (rotacin).

Para obtener un diagrama de desplazamientos fuera de la figura del sistema, se elige el punto C como punto de partida y a partir de l se trazan en magnitud y direccin los desplazamientos de los nudos AA y BB. El punto C se designa tambin como polo; contiene a la vez el punto A y B. En los puntos as obtenidos A y B han de trazarse las variaciones de longitud (a) o (b). Levantando las normales en los puntos extremos. El punto de corte de ambas normales es el punto C cuya unin con C da el desplazamiento real del punto C. Aplicando lo dicho en b) y c) puede calcularse el desplazamiento de cada uno de los nudos de una celosa.

d) Diagramas de celosas enteras. Para la celosa en voladizo ha de hallarse el diagrama de desplazamientos. Partiendo del punto de referencia A, B? correspondiente a los puntos fijos A y B, se dibujan en primer lugar las variaciones de longitud AD y BD en direccin de las barras; las normales levantadas en sus puntos extremos se cortan en D. Si se trazan ahora en el punto B la variacin de longitud BC y en D la variacin de longitud DC, las normales levantadas en los puntos extremos de estos elementos se cortan en el punto C. Del mismo modo se obtiene el punto E.

El diagrama de desplazamiento as obtenido da los desplazamientos de cada uno de los nudos con respecto al punto de referencia. Ya que los puntos A y B no experimentan desplazamiento, los desplazamientos relativos son en este caso a la vez los reales de cada uno de los nudos.

Si han de calcularse las componentes de los desplazamientos en una direccin determinada, basta con proyectar sobre esta direccin los desplazamientos totales. Con ello pueden p. e. calcularse inmediatamente mediante el diagrama de Williot las lneas de curvatura del cordn superior e inferior de celosas. La representa otra celosa cuyo nico nudo indesplazable es el A. por simetra del sistema y de la solicitacin la barra CD no gira al deformarse el sistema. Por lo tanto si se elige como punto de referencia el punto D del diagrama de desplazamiento que corresponde al nudo D, se obtiene C llevado .

Paralelamente a CD en el punto D. con ello se conocen dos puntos del diagrama. Los restantes se hallan partiendo de D y C segn la construccin de base. Los segmentos D A, DC y DB representan los desplazamientos de los nudos A, B y C respecto al nudo D paralelamente a CD en el punto D. con ellos se conocen dos puntos del diagrama los restantes se hallan partiendo de D y C segn la construccin de base. Los segmentos DA, DC y DB representan los desplazamientos de los nudos A, B y C respecto al nudo D. segn las condiciones de apoyo el punto A es fijo mientras que el B slo puede desplazarse en direccin horizontal. Por lo tanto, en contra de la hiptesis inicial, no es D el punto fijo A y con ello igual al desplazamiento real. El nudo B se desplaza horizontalmente el valor AB = . Segn ello se obtiene los desplazamientos totales de todos los nudos mediante el diagrama de Williot como distancia de los puntos B, C Y D del punto fijo A.

Hasta ahora al calcular los desplazamiento se parti de que es conocida en el diagrama de desplazamientos la situacin de dos puntos prximos. Ello poda venir condicionado por el hecho de que o bien los dos nudos eran indesplazables o bien la direccin de una barra era invariable. Pero en general no se da este caso, de modo que es difcil predecir de antemano algo sobre el giro de las barras.

Por lo que hay que elegir en primer lugar un punto cualquiera como punto de referencia y considerar como fija la direccin de una barra que parte de este nudo. Los desplazamientos calculados partiendo de estas bases se contradicen con las condiciones de apoyo, pero stas pueden cumplirse mediante desplazamientos suplementarios.

En la celosa se muestra la determinacin de tales desplazamientos sumplementarios. Se elige como punto de referencia el A y se considera como fija la direccin de la barra U1. En la figura anterior se muestra el diagrama correspondiente. Si estos desplazamientos se llevan sobre la figura del sistema, resultan para los nudos las nuevas situaciones B, C y D en la estructura deformada. Sin embargo la variacin de la situacin del nudo B all indicada no es posible ya que B slo puede desplazarse horizontalmente. Para eliminar esta anomala la estructura se considera como rgida despus de sus deformacin, y se gira alrededor del punto fijo A, el polo, hasta que B est sobre el camino de desplazamiento del apoyo B. despus de girar este ngulo los nudos del sistema toman las posiciones A A, B, C, D.

PROCEDIMIENTOS:

Bv = ,

10,00 .30,00 5,46 .4,00 = +15,46 .

c) Esfuerzos en las barras.

Nudo 12: = 0: 9 = ! " # = 15,62 ,

% = 0: &10 = &8 = () " # = + 12,0 ;

Nudo 9: = 0: 8+,- .8 + /7+,- 172 = 3 8+0,640 + /70,447 = 10,0

= 0: 8 4+ .8 + /74+ 172 = 3 ()"# 80,768 + /7 0,8943 = 12,0 Y de donde, /7 = 16,76 , 8 = +3,91 ,

Nudo 1: = 0: 1 = 56 ! " = +9,86 ,

% = 0: /1 = 7 1 cos .1 = 2,74 ,

Nudo 3: = 0: /3 = ? @ = 2,78 ,

= 0: 3 = /3 +,- 13 = 0,454 , Nudo 4: = 0: 4 = ! ? " 1 +,- . 1 + 3 = 7,82 ,

% = &: &4 = 1 = 1 4+ . 1 4+ . 4 = +14,21 , &6: &4 = +14,21 ,

Nudo 5: = 0: /5 = A,- 17B 5+,- .5 /3+,- 13 4+,- .4 = 0, /5 0,447 5 0,640 = 5,46, /5 cos 17B + 54+.5 /3 cos 13 4 cos .4 = 0, /5 0,8943 + 5 0,768 = 8,75;

La solucin del sistema de ecuaciones da:

/5 = 10,7 , 5 = +1,06 ; Nudo 8: = 0: /7 = 5 + 8+,- .5 = 3,18 ,

Control en el nudo 7 (apoyo B)

= 0 7 + /5 + /7+,- 17B + = 0, 3,18 10,7 + 16,76 0,447 + 15,46 = 0, 3,18 12,28 + 15,46 = 0,

% = 0: /7 + /54+ 17B + = 0, 0,06 .0,8943 + 5,46 = 0, 5,43 + 5,46~ 0,

d. Variacin de longitud de las barras y diagrama de desplazamientos.

Lo primero se calcula mediante + = EFG + HIJ. Con estos valores se dibuja luego el diagrama de desplazamientos.

Barra F HIJ2 s HIJ S HJ +H10KLIJ S EEMFG +H10KLIJ

02 39 6,00 0 - 0 - 04 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,81 06 39 6,00 +14,21 +10,42 +1,421 +14,81 08 39 6,00 +12,00 +8,80 +1,200 +10,57 010 39 6,00 +12,00 +8,80 +1,200 +10,57 U1 39 6,00 -2,74 -2,01 -0,274 + 0,55 U3 39 6,08 -2,78 -2,07 -0,278 + 0,58 U5 39 6,72 -10,70 -8,78 -1,070 + 9,40 U7 39 6,72 -16,76 -13,76 -1,1,676 +23,03 U9 39 6,08 0 - 0 - V1 16 4,00 0 - 0 - V3 16 4,00 -0,454 -0,54 -0,0454 + 0,02 V5 16 5,00 0 - 0 - V7 16 8,00 -3,18 -7,57 -0,318 + 2,41 V9 16 5,00 0 - 0 - V11 16 4,00 0 - 0 - D1 16 7,22 +9,86 +21,20 +0,986 + 20,90 D4 16 7,82 -7,82 -18,20 -0,782 +14,23 D5 16 7,82 +1,06 +2,47 +0,106 + 0,26 D8 16 7,82 +3,91 +9,11 +0,391 + 3,56 D9 16 7,82 -15,62 -36,39 -1,562 +56,88

+182,58

e) Lneas de curvatura.

El punto 1 est sobre la paralela a la direccin de desplazamiento de apoyo A (nudo I) trazada por el punto 1 y sobre la perpendicular a la lnea de unin de los dos apoyos. Ya que el nudo 7 es indesplazable (apoyo fijo B), coinciden 7 y 7. Mediante los dos puntos 7 y I queda fijada semejante estructura. Para determinar las lneas de curvatura de los dos cordones se proyectan los puntos 1 12 del diagrama de desplazamientos correspondientes a cada uno de los nudos del cordn y los puntos 1 a 12 sobre las verticales que pasan por los puntos correspondientes del dibujo del sistema. Entonces los puntos de corte resultantes se unen entre s en el orden fijado por la construccin de la estructura. La lnea de unin de las perpendiculares trazadas hacia los puntos 1, 3 hasta 11 o bien 2, 4 hasta 12 es una recta que se designa como lnea de cierre. Pero ya que una recta est determinada por dos puntos, es suficiente la proyeccin de slo dos puntos. Las distancias verticales de los puntos 1, 3 hasta 11 o bien 2 4 hasta 12 a esta lnea de cierre dan las ordenadas de la lnea de curvatura.

Como control pueden calcularse las flechas de un nudo cualquiera mediante el principio del trabajo. Para ello ha de disponerse la carga P = 1 en el nudo correspondiente; los correspondientes esfuerzos de las barras S han de superponerse entonces a los esfuerzos debidos a la carga dada segn.

= N AAPQ +

La exactitud del desplazamiento obtenido puede deducirse por comparacin con el resultado analtico se obtuvo.

12 = 183.10-4 I = 1,83 I (grficamente), 12 = 182,58.10-4 I = 1,826 I (analticamente).

EJERCICIO

Se busca para el prtico de celosa de tres articulaciones el diagrama de Williot y la lnea de curvatura del cordn superior. La seccin de las barras diagonales, es F1 = 12 cm2, para todas las otras barras F2 = 22 cm2, el mdulo de elasticidad E = 2,1 . 107 t/m2.

A) Reacciones: Av 15.00 Ah 15,50 = 37,5. Bv 11,25 Bh 7,75 = 0, Ah = Bh, Av + Bv = 10,0. De estas ecuaciones se obtiene: Av = + 7,00 t; Bv = + 3,00 t; Ah = Bh + 4,35 t B) Esfuerzos en las barras.

b) Esfuerzos en las barras: V

F(v)

.

3, 5, s

4, 6, 7, 9, S

Tg v 0,333 0,734 1,400 2,065 Sen v 0,3159 0,5917 0,8138 0,900 Cos v 0,9487 0,8060 0,5812 0,4357

Nudo 1:

% = 0: A1 = 5RSTU " = 9,98 ,

= 0: 1 = 7 A1 +,- .+ = +1,99 ,

Nudo 2: U2 = 0, V2 = V1 = +1,99 t Los esfuerzos en las barras del cord{on superior e inferior se han calculado segn las expresiones:

On 1 = - V!L, STU ? = - 0,264 Mn.

/- = V!WL, STU ? = + 0,264 Mn + 1

Barra Nudo n Mn HXYJ O HXJ U HXJ O3 4 -7,50 +1,98 - U4 5 -4,00 - -1,06 O5 6 + 34,10 -8,99 - 07 8 +11,63 -3,06 - U8 9 +11,57 - -3,05 09 10 -0 0 -

Para calcular los esfuerzos de las barras diagonales se llevan a cabo secciones verticales que pasan por la diagonal considerad y por una barra del cord{on superior e inferios. La formulacin de la condicin de equilibrio = 0 para todas las fuerzas que actan en la parte izquierda de la estructura seccionada no da la relacin.

Sss = K W ! " H+K Z + & + /+,- [J Los diferentes signos tienen en cuenta la diferente inclinaci{on de los

cordones y diagonales y han de elegirse convenientemente. El calculo numerico se reliaza en la siguiente tabla. Barra Sen . 1

+,- . Q HJ (O+ U) HJ (O + U) sen [ 3 + 5 D = 6 2

0 1 2 3 4 5 6 7 D4 0,8138 1,23 +7,00 +0,92 +0,29 +7,29 -8,97 D5 0,5917 1,69 +7,00 -10,05 -3,18 +3.82 +6,47 D6 0,8138 1,23 -3,00 -8,99 -2,84 5,84 +7,18 D7 0,8138 1,23 -3,00 -3,06 -0,97 +2,03 -2,50 D8 0,5917 1,69 -3,00 -6,11 -1,93 +1,07 +1,82 D9 0,8138 1,23 -3,00 -3,05 -0,96 +2,04 -2,50

a diferencia de ello el esfuerzo en la barra D3 se obtiene mediante: 3 = + 1+,- .3 HZ + 03 +,- [ + A1 +,- .+J

Resultado: C) Variacin de longitud de las barras: Las variaciones de longitud de las barras

+ debidas a los esfuerzos hallados se calculan:

Ya que los sistemas estticamente indeterminados se realizan all el clculo de los esfuerzos son en las barras. Y los resultados en el clculo de las variaciones de longitud de las barras estn en la siguiente tabla:

Barra s HIJ

F HIJ2 EF HJ APQ ]

I ^

S HJ A HIJ S EEFG +HIJ

Factor - 10-1 104 10-4 - 10-4 - 10-4 01 10,00 28,2 5,922 1,6886 -6,49 -10,96 -0,625 +6,6849 03 10,00 28,2 5,922 1,6886 -0,73 -1,23 -0,625 +0,770 05 10,00 28,2 5,922 1,6886 +3,53 +5,96 - - U1 5,00 28,2 5,922 0,8443 -2,08 -1,76 - - U2 10,00 28,2 5,922 1,6886 +10,90 +18,41 +1,250 +23,007 U4 6,40 28,2 5,922 1,0807 -8,71 -9,41 - - U5 6,40 28,2 5,922 1,0807 -8,71 -9,41 - - U6 10,00 28,2 5,922 1,6886 +2,42 +4,09 - - V1 4,00 14,1 2,961 1,3509 -5,19 -7,01 -0,500 + 3,506 V5 8,00 28,2 5,922 1,3509 -5,32 -7,19 -0,500 +3,593 D1 6,40 14,1 2,961 2,1614 +8,31 +17,96 +0,800 +14,369 D2 6,40 14,1 2,961 2,1614 -8,31 -17,96 -0,800 +14,369 D3 6,40 14,1 2,961 2,1614 -15,69 -33,91 -0,800 +27,130 D4 6,40 14,1 2,961 2,1614 +6,98 +15,09 +0,800 +12,069 D5 6,40 14,1 2,961 2,1614 +1,53 +3,31 - - D6 6,40 14,1 2,961 2,1614 -10,25 -22,15 - - D7 6,40 14,1 2,961 2,1614 -5,75 -12,43 - -

N +105,662

Con las variaciones de longitud + = EFG + debidas a los esfuerzos en las barras S en el sistema estticamente indeterminado se dibuja el diagrama de Williot como punto de referencia se ha elegido el nudo 4 y sed ha supuesto como invariable la direccin de la barra D3. Por la configuracin de apoyo el punto A no puede desplazarse, por tanto A ha de coincidir con A.

El apoyo B slo se desplaza horizontalmente y normalmente al radio polar AB. Por lo tanto el punto B ha de estar en el punto de corte de la horizontal por B con la perpendicular a AB por A. de A y B pueden determinarse todos los otros puntos. Por otra parte C ha de estar sobre una paralela al sentido de desplazamiento del apoyo C trazada por C y sobre la perpendicular a la lnea de unin BC que pasa por B en donde puede observarse un control grfico.

La lnea de curvatura del cordn superior se determina del modo ya aclarado. Para controlar la flecha vertical del nudo 3 considera el teorema de reduccin. Se hace actuar la carga virtual P = 1 en el sistema base. Se deducen entonces las siguientes reacciones y esfuerzos en las barras:

Av = Bv = 0,500. V1 = - Av = - 0,500. D1 = - V1/sen = + 0,800. O = v1/tg = 0,625. D2 = - D1 = - 0,800.

U2 = 2 . 0,800 cos = + 1,250, U1 = 0 U4 = 0 D3= -0,800. D4 = + 0,800 V5 = - 0,500. O3 = - 0,625. Con estos esfuerzos en las barras S se calcul el desplazamiento tabla y segn ello vale:

32 = EEFG + = +105,662 . 10-4

m.

En cambio grficamente se obtiene el valor:

32 = +106.10-4 m. Con ello la coincidencia conseguida puede considerarse como satisfactoria.

CONCLUSIN

La actividad del diseo estructural que realiza el ingeniero civil, requiere un gran conocimiento de las cargas, los materiales y las formas estructurales y no solo de los modelos matemticos usados para obtener las fuerzas internas: momento flector (M), cortante (V), fuerza axial (N), y momento torsor (T). Los estudiantes ya estn acostumbrados a esos procedimientos matemticos y es necesario que entiendan que una viga es un cuerpo real y no una ecuacin diferencial o una matriz. Por tal razn se presenta aqu una referencia, para ir introduciendo al estudiante de ingeniera civil en el proceso de diseo el cual debe evaluar las cargas o solicitaciones a las que estar sometida la estructura durante su vida til. Adems, de debe hacer un esfuerzo por tenerlas todas en cuenta sin olvidar aquellas que aunque pequeas puedan poner en peligro la resistencia o estabilidad de la estructura por ello es importante anlisis este tema para tener presente el desplazamiento satisfactorio de las cargas y el peso que conlleva cada una.