DIAGRAMAS DE BLOQUE Y FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Jorge Luis JaramilloPIET EET UTPL marzo 2011

Diagramas de bloque y FT

• Diagramas de bloque• Funciones de transferencia de sistemas complejos• Retroalimentación• Modelo matemático de un motor DC con diagramas de bloque

y FT• Análisis y discusión

Diagramas de bloque y FT

• Diagramas de bloque

Diagramas de bloque

Una vez obtenido el modelo matemático de un proceso, es posible determinar una función matemática que ligue a las variables de entrada y a las de salida.

La relación entre la variable de salida y la de entrada, se denomina función de transferencia W.

La función de transferencia servirá para caracterizar el comportamiento de un sistema.

A pesar de la diversidad de sistemas existentes, estos se pueden representar a través de unos pocos sistemas típicos, cuyas funciones de transferencia se denominan eslabones dinámicos tipo.

Los eslabones dinámicos tipo son:• Eslabón ainercial• Eslabón aperiódico• Eslabón integrador• Eslabón diferenciador• Eslabón oscilador

eslabón ainercial

Diagramas de bloque

El modelo matemático de un sistema, en el cual la relación entre la salida y la entrada es un coeficiente de proporcionalidad, se denomina eslabón ainercial.

Diagramas de bloque

eslabón aperiódico

Se denomina eslabón aperiódico al modelo matemático de un sistema, en el cual la relación entre la salida y la entrada corresponde a una ecuación diferencial de primer grado.

En un eslabón integrador, la señal de salida es el resultado de integrar la señal de entrada.

Esta condición hace que un eslabón integrador no tenga régimen establecido de trabajo.

Además un eslabón integrador tiene la propiedad de recordar la señal de salida.

Diagramas de bloque

eslabón integral

Diagramas de bloque

eslabón diferencial

En un eslabón diferenciador, la señal de salida es el resultado de derivar la señal de entrada. Existen dos tipos de eslabones diferenciadores: el ideal y el real. La diferencia entre ellos radica en la “anulación teórica” de la inercia del proceso en el primero.

Diagramas de bloque

eslabón oscilante

En un eslabón oscilante, la señal de salida y la señal de entrada están relacionadas a través de una ecuación diferencial de segundo grado.

Diagramas de bloque y FT

• Funciones de transferencia de sistemas complejos

Los sistemas complejos pueden ser modelados utilizando los eslabones típicos, interconectados entre sí a través de una relación funcional.

Las formas clásicas de interconexión de eslabones típicos son:• Secuencial• Paralela• Mixta

La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma secuencial, es el producto de las funciones de transferencia de cada eslabón.

Funciones de transferencia de sistemas complejos

W2 WnW1

W2

Wn

W1

Funciones de transferencia de sistemas complejos

La función de transferencia de un sistema conformado por eslabones tipo conectados en forma paralela, es la suma algebraica de las funciones de transferencia de cada eslabón.

Diagramas de bloque y FT

• Retroalimentación

Retroalimentación

La retroalimentación (realimentación, feedback) es un proceso por el que una cierta proporción de la señal de salida de un sistema se redirige de nuevo a la entrada.

La retroalimentación puede ser positiva o negativa.

La retroalimentación positiva es un mecanismo de realimentación por el cual una variación en la salida produce un efecto dentro del sistema, que refuerza esa tasa de cambio. Por lo general esto hace que el sistema no llegue a un punto de equilibrio si no mas bien a uno de saturación. Es un estimulo constante.

Wd

Wr

+

Wd

Wr

-

Retroalimentación

La retroalimentación negativa es la más utilizada. Se dice que un sistema está retroalimentado negativamente cuando tiende a estabilizarse.

Diagramas de bloque y FT

• Modelo matemático de un motor DC con diagramas de bloque y FT

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Un motor CD, constructivamente, es igual a un generador CD. La diferencia radica en que el motor CD fue diseñado para que su régimen habitual de trabajo sea la transformación de energía eléctrica aportada por los bornes, en energía mecánica rotacional obtenida del rotor.

En este sentido, se identifica como variable de entrada al voltaje aplicado a los bornes del estator Ve(t), y, como variable de salida a la velocidad de rotación en el rotor Ω(t).

Para la simplificación del modelo matemático del motor CD, se plantea las siguientes suposiciones:

• El flujo magnético es constante• El momento de inercia del rotor es constante• Los parámetros de los circuitos eléctricos son constantes• El sistema es absolutamente rígido• Se desprecia la reacción del rotor• La relación entre la velocidad de rotación del rotor y la corriente es lineal

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

El modelo matemático se aproxima por un esquema equivalente que consta de dos circuitos:

• Un circuito eléctrico en el estator

• Un circuito mecánico en el rotor

En correspondencia, se plantean dos ecuaciones de equilibrio: para el circuito eléctrico del estator, y, para el circuito mecánico del rotor.

Para utilizar el aparato matemático de los diagramas de bloque y las FT, las ecuaciones de equilibrio originales son reemplazadas por su imágenes en el dominio de la transformada de Laplace, con lo que se logra su tratamiento como ecuaciones pseudoaritméticas.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Se realiza una reducción de ecuaciones mediante el reemplazo de equivalencias, hasta obtener una única ecuación.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

A partir de la ecuación única, se inicia la construcción del grafo de diagrama de bloques.

El modelo matemático obtenido consta de:1. Un eslabón aperiódico que representa los procesos electromagnéticos en

el estator2. Un eslabón integrador que representa los procesos mecánicos en el rotor3. Un eslabón proporcional en el circuito de retroalimentación negativa

(fuerza electromotriz contraria)

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Los siguientes pasos requieren que se haya seleccionado el motor CD de entre los disponibles en el mercado.

La elección del motor CD se basa en buscar aquel que cumpla con los requerimientos técnicos y de explotación planteados por el proceso tecnológico en que se utilizará el motor.

Para efectos de ejemplo, se ha seleccionado un motor CD modelo 1524E006S de la firma Faulhaber. El datasheet de este motor contiene la información necesaria para calcular los parámetros numéricos del modelo.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

datos de catálogo

item parámetro valor unidad1 potencia 0.78 W2 voltaje nominal 6 V3 velocidad max 12000 rpm4 corriente nominal 0.36 A5 resistencia entre terminales 11 Ω6 inductancia del rotor 150 μH7 constante de retro-fem 0.438 mV/rpm8 constante mecánica de tiempo 27 ms

10 constante del rotor (6/5) 1.36364E-05 s

parámetros numéricos del modelo

item parámetro valor unidad1 1/Re 0.090909091 1/Ω2 Te 1.36364E-05 s3 Re/Kφ 25114.15525 Ω*rpm/V4 Tm 0.027 s5 Kφ 0.000438 V/rpm

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

En ocasiones, la información del fabricante no contiene algunos de los parámetros requeridos, razón por la cual es necesario “calcularlos”. La tabla adjunta muestra un ejemplo de aquello.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

El sistema se modelizó utilizando Simulation Toolkit de LabView.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Para la calibración, se verificó la correspondencia con la curva teórica del arranque de un motor CD en vacío.

El método de integración óptimo resultó ser el BDF variable con un paso inicial de 1E-7 y una tolerancia relativa de 1E-6.

Modelo matemático de un motor CD con diagramas de bloque y FT

Como ejercicio de simulación, se evaluó el trabajo del motor CD para el régimen de arranque en vacío y carga (luego de 1 s con una carga de 0.02 A )

ANÁLISIS Y DISCUSIÓN