Dialnet-DinamicaDeUnModeloDeEleccionIntertemporalConElFunc-787999

7/23/2019 Dialnet-DinamicaDeUnModeloDeEleccionIntertemporalConElFunc-787999

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DINAMICA DE UN MODELO DE ELECCION

INTERTEMPORAL CON EL FUNCIONAL

D E U ZA WA

Guiomar Martin Herrn

l olores Soto Torres

RESUMEN. En este trabajo se analiza la dinmica asociada a un

modelo de eleccin intertemporal, formulado en trminos del funcional de

utilidad introducido por Uzawa y donde se incorpora un factor exgeno

las rentas obtenidas fuera del mercado de capitales, en la variacin del

stock de capital. El estudio se centra en determinar cun do es posible, par-

tiendo de una posicin estacionaria, alcanzar otro estado de equilibrio del

sistema dinmico obtenido tras una modificacin del valor de las rentas

exgenas. Se consideran dos tipos diferentes de m odificaciones del par-

metro: permanente y temporal.

1. ThITRODUC CION

Considerando el problema de eleccin intertemporal planteado por M.

Kamien y N. Schwartz 1981) y E. Silberberg 1990), en este trabajo

hemos sustituido el funcional objetivo clsico que supone un tanto de des-

cuento constante en todo el horizonte temporal, por el introducido por H.

Uzawa 1968).

Este autor estableci que el tanto de preferencia en el tiempo depende

de los niveles de utilidad del consumo presente y futuro, y prob que un

aumento en la utilidad presente a lo largo de una curva de indiferencia

producir un descenso en el tanto de preferencia en el tiempo. Uzawa

impone adems de un tanto de preferencia dependiente de todo el horizon-

te temporal del flujo de utilidad, ciertos postulados de independencia y

consistencia. De este modo, expres la estructura de preferencia en el

tiempo en trminos del siguiente funcional de utilidad intertemporal:

-

U C)=

[c t)]

e

f u l c l z d z

dt


2/13

150

uiom ar M artin He rrn M

Dolores Soto Torres

donde la funcin 3 u) que denomina funcin tanto de preferencia satisface

las siguientes condiciones:

3(u) > 0, S'(u) > 0, 8 (u) > 0, V u > 0

y 8(u)

S (u)u >

0, indicando que entre dos flujos de consumo estaciona-

rios se prefiere el que tenga un nivel ms alto de utilidad instantnea. La

segunda de las condiciones anteriores implica que un aumento en el nivel

de consumo en cierta fecha futura, aumentar el tanto de descuento para

todo el consumo que se efect

e despus mientras que la tercera se necesi-

ta para obtener una funcin de consumo continua.

En cuanto a la ecuacin que describe los cambios en el stock de capital

consideramos dos factores internos, el consumo y los intereses generados

por el propio stock. Estos

ltimos recogidos en una funcin, que en gene-

ral supondremos no lineal, a diferencia de la hiptesis clsica. Por otro

lado, incluimos un factor externo que representa las ganancias obtenidas

fuera del mercado de capitales y que puede modificarse en el tiempo.

Una vez planteado el modelo como un problema de control ptimo uti-

lizamos el Principio del Mximo de Pontryagin para su resolucin. De este

modo, obtenemos un sistema autnomo de ecuaciones diferenciales, que

proporciona las condiciones necesarias para el capital y el consumo pue-

dan ser soluciones optimales del problema.

El objetivo del trabajo es determinar en qu casos es posible, partiendo

de una posicin de equilibrio, alcanzar otra correspondiente al sistema

dinmico que se obtiene tras un cambio en el valor de las ganancias ajenas

al mercado de capitales. Se consideran modificaciones del parmetro, per-

manentes y temporales, suponiendo en este

ltimo caso que tras un inter-

valo de tiempo el parmetro toma de nuevo el valor original. Para llevarlo

a cabo, seguiremos la tcnica de J. Pichtford 1989) y P. Sen y S. J. Tur-

novsky (1989).

En la segunda seccin del trabajo planteamos el modelo, para a conti-

nuacin en las dos siguientes estudiar, cuando existan, las trayectorias de

ajuste del consumo y del capital, desde un estado de equilibrio a otro, si se

modifica el valor del parmetro permanente o temporalmente. El anlisis

se realiza para los distintos tipos de estabilidad que puede presentar el

estado de equilibrio. El trabajo finaliza con unas conclusiones.

2. PLANTEAMIENTO DEL MODELO

Consideramos un consumidor con una funcin de utilidad u c) que

verifica las condiciones usuales, esto es, u c) e

0

) ,

U C) > 0, 14C) > 0,

U

C) > 0,

para cualquier valor del consumo, lim u c) = .

00 y

lim

u-(c)= O.

c->0

->,

Suponemos que el individuo tiene una dotacin inicial de capital Ico y

que su stock puede modificarse debido por una parte al consumo, c, y por


3/13

Dinmica de un modelo de eleccin intertemporal con el funcional de Uzawa

51

otra a las ganancias desde el stock de capital, que recogemos mediante una

funcin de inters i(k), que consideramos de clase CO)

con i(0) = 0 y

i (u)

>

0 para cualquier valor del capital. Por

ltimo, supondremos que la

modificacin puede originarse por las ganancias obtenidas fuera del mer-

cado de capitales, representadas por un parmetro

a,

con a

O. As, la

variacin del stock de capital podemo s expresarla como:

k . i k)-

c + a, k 0) = ko.

El objetivo del individuo consiste en maximizar la utilidad del consu-

mo sujeto a su restriccin presupuestaria. Por tanto, utilizando el funcional

de utilidad introducido por Uzawa, donde el tanto de preferencia en el

tiempo A(t) =

i

3 1

u c z)ijdz depende del perfil temporal del flujo conti-

nuo de utilidad u[c(t)] a travs de la funcin ku(c)], podemos plantear el

problema como:

max

u[c tilet)dt

,. t)

=

3 [u c t))/, A 0) = 0,

k = i k)- c + a, k 0) = ko.

Considerando como variable de integracin A en vez de

t, tenemos el

siguiente planteamiento equivalente:

max

f

dA

Jo d u)

k)- c + a

k =

k 0 ) = ko,

3 u)

donde iz

denota la derivada respecto a A.

Para resolver este problema de control ptimo derivamos las condicio-

nes necesarias que proporciona el Principio del Mximo, considerando

para ello el hamiltoniano asociado al problema:

u

k)- c + a

H c,k,y)=

u)u)

donde tif, variable de coestado asociada al stock de capital, continua y con

derivada continua a trozos es una funcin que depende de A. Seg

n el

Principio de Pontryagin tenemos:


4/13

1 5 2

uiom ar M art in Herrn, 111

Dolor es So to T or res

u (c)(u) u (c)3 (u )u (c)

8(u) 3 (u)u (c)[i(k) c + a]

H , =

lif

3(u)

3u2

r

= - (

l

i

f

-0,

y por tanto

(1 ) u(c)(u) u(c)(u)u(c) +

k i f

[-3(u)-3 (u)u (c)(i(u) c + a)] = 0,

i'(k)

(2)

y = iir [1_

3(u)] .

La ecu acin (1 ) define una ecu acin implcita que podemos denotar

como ot = oc [Iir (,),

c k] =

O . Oper ando con ella y r ealizando tediosos cl-

culos, obtenemos u n sistema au tnomo de ecuaciones diferenciales que

establece las condiciones necesarias para que el consumo y el stock de

capital puedan ser solu cin optimal de nuestro problema:

3u ' (3 u8 ' ) (3 +

3 u (i (k) c + a) i (k)]

=

(u')

(8 u8 ) + u 3 (3 u8 ') +

(u) (i(k) c + a) [(3)

33 ]

k = i(k) c + a ,

donde se ha eliminado la variable de la que depende cada u na de las fun-

ciones para simplificar la notacin'.

Dir ectamente del sistema dinm ico se puede obser var qu e el stock de

capital crece en los pun tos situados por debajo de la cur va

c = i(k) + a y

decrece en los que ver ifican

c > i(k) + a.

Sin embargo, no puede concluir-

se lo mismo sobre la variable consumo sin imponer previam ente hiptesis

adicionales a las funciones de u tilidad, de intereses y tanto de prefer encia.

A la hor a de analizar la dinmica asociada a este sistema de ecu aciones

diferenciales, debido a que, por el criterio de Bendixson

, este sistema

dinmico no puede tener r bitas cerr adas, el estudio puede r educir se a la

estabilidad de los posibles puntos de equilibrio

(k*, c*)

qu e si existen,

verificarn:

c =i(k*) + a,

.5 [u c*)] =

i (k*).

1 u = u c), 8 = 3 u).

2 Guckheimer y Holmes, pp. 43-44.


5/13

3

45

4

35

3

25

2

15

1

5

GRHCO 1

GRFICO

2

u. (8 u8 )

i (k*)

(u')

( 8 u8 ) + u ( 8

u8')

i.(k*)

J =


53

Si la funcin de intereses es no convexa o no cncava, tendremos

garantizado un

nico estado de equilibrio. Bajo este supuesto, adems

notemos que la ecuacin 8[u c)]

i(k) = 0 define implcitamente una

curv que por l s condiciones impuest s l s funciones de utilid d y t nto

de preferencia, ser creciente estrictamente con el capital si la funcin de

dc

k)

intereses es estrictamente convexa, ya que

yestric

dk

[u (c)]u (c)

tamente decreciente cuando i(k) < 0, como mu estran las grficas (1) y (2 ).

Para determinar la estabilidad del estado de equilibrio

k*, c*),

calcula-

mos la matriz jacobina asociada al sistema evalundola en dicho punto.

As, tenemos:

donde 8 est valorada en

u(c*)

y la funcin de utilidad en c*. l

determi-

nante de esta matriz es:

u'(8 u8')i (k)f(c) .

IJI = (k).

(u)2 (8 ' u8 ) + u (8

u8')(c)

donde

f(c) = u'(c)(8[u(c)] u(c)8 7u(c)]),

g(c)= (u'(c))2(87u(c)] u(c)8 [u(c)]) + u (c)8[u(c)] (8[u(c)] u(c)8[u(c)]).


6/13

0. 5

0.45

0. 4

0.35

0.3

0.25

0. 2

0.15

0.1

0.05

-i k)442

i k)44/

_ 5

k2..c2.)

GRFICO

RFICO

4

154

uiom ar M artn He rrn, M

Dolores Soto T orres

Debido a la

ltima condicin impuesta a la funcin tanto de preferen-

cia,

f(c)

es siempre positiva para cualquier valor de consumo y necesitn-

dose que

g(c)

no se anule para poder escribir el sistema dinmico en las

variables de estado y de control,

k

y

c

respectivamente por lo que supone-

mos que

g(c)

mantiene el signo. Luego, si suponemos que

g c) es siempre

positiva, el signo del determinante vendr determinado por el de

i k

siendo siempre el opuesto; coincidiendo si

g(c) es negativa para cualquier

valor de la variable consumo.

Llevaremos a cabo nuestro estudio dependiendo del signo del determi-

nante, separando los tres casos posibles, positivo, negativo o cero, pero

agrupando en cada uno de ellos las distintas combinaciones entre los sig-

nos de las funciones

g(c)

e i (k). En cada caso consideraremos los dos

tipos posibles de cambios del valor de las ganancias obtenidas fuera del

mercado de capitales, permanentes y temporales, debiendo serialar que

independientemente de si la curva definida por 8[a(c)]

= i(k)

es creciente

o decreciente, cuando se ha modificado el valor del parmetro

a,

el valor

de la variable consumo en los puntos de equilibrio crece con

a, mientras

dc

que el capital decrece, como ilustran los grficos (3) y (4), con positiva

y negativa respectivamente.

k

3. ANALISIS DEL PUNTO DE SILLA

i k

Supongamos en prim er lugar que se verifica IJI < 0 , por lo que

0

g c)

debiendo ambas funciones presentar el mismo signo, tendremos que

(k*, c*)

tiene un comportamiento de punto de silla. El polinomio caracte-

rstico asociado a la matriz jacobiana vendr dado por:

2 i'(k* )X (c)i (k),

g c)


7/13


55

siendo sus autovalores

' \I

'(k*) (i'(k*))

2

+ 4 f(c)i (k)

g c

2

X1 positivo y X 2 negativo.

El Teorema de Hartman-Grobm an

permite estudiar el sistema 3) a tra-

vs del comportamiento de su sistema linealizado. Adems, el Teorema de

la Variedad Estable para un punto fijo no hiperblico caracteriza las varie-

dades estable e inestable, que pasan por el estado de equilibrio, y cuyas

tangentes en l son el subespacio estable e inestable. Restrigindonos a un

anlisis lineal, determinamos los subespacios estable e inestable en un

entorno del punto de equilibrio (k*, c*):

E (k*, c*) = {(k, c): c c* = (i'(k*)

(k k*)},

E (k*, c*) = { (k, c): c c* = (i'(k*) X

i

) k k * ) } ,

con pendientes positiva y negativa, respectivamente. Para poder comparar

los valores de las pendientes de los subespacios en dos puntos de equili-

brio distintos se deben imponer un gran n

mero de hip

tesis adicionales

sobre las funciones del modelo.

0.2.4

.6.8

.2

.4

.6.8

GRFICO

5

El grfico 5) muestra, con una funcin de intereses marginal decre-

ciente, cmo basta considerar el anlisis lineal para partiendo de la posi-

3 Guckheimer y Holmes, p. 13.

X

1 2 =


8/13

k 0) =

2 (2)_ x 2

156

uiomar Martin Herr

n, MgDolores Soto Torres

cin estacionaria inicial

E

i

tras un aumento del valor de las ganancias

externas, llegar al estado de equilibrio

E2 del nuevo sistema dinmico.

Para ello, el sistema deber seguir E ( E i )hasta alcanzar E

s

(E

en un

punto, que denotamos por k 0),

(0)) (E(0) en el grfico), y a partir de ah

a travs de

Es

(E )

llegar al equilibrio correspondiente a

a = a2.

Estimando el punto interseccin del subespacio inestable del estado

estacionario original y del estable del equilibrio que queremos alcanzar,

k 0), 0) tenemos:

k 0), 0))

EE (e, c7 n E

s

(k >

,

c ,

bastando intercambiar los papeles de (k7, c*) y

(k*

, c*

) en el caso de que el

parmetro

a

disminuya. Operando y simplificando obtenemos las siguien-

tes ex presiones de k 0) y 0):

(2) *

, (1) *

c * c * + 2

A k

2

i

2)

0) , c* +

xf1) cic2+ X (k* -

k

)

X 2)_ , I )

1

donde el superndice en los autovalores indica a cul de los dos puntos de

equilibrio est asociado, (1) el del sistema con a

y (2) el correspondiente

al equilibrio del nuevo sistema con a2 .

Dependiendo de que la curva que define implcitamente los estados de

equilibrio sea creciente o decreciente, es diferente la evolucin de los

valores de equilibrio del consumo y capital, cuando se modifica el valor

del parmetro a. Por tanto, hay que tenerlo en cuenta al establecer compa-

raciones entre el valor de k 0) y

0) y los de las variables consumo y capi-

tal en ambos puntos de equilibrio.

As, cuando la funcin de intereses es no convexa se verifican las rela-

ciones,

(0) >

c*y k 0) < mientras que si

i (k)>

0

nicamente se puede

determinar k(0) 0

depende de

como sean las pendientes de los subespacios estables pero siempre mante-

niendo el sentido del logaritmo anterior.

En el caso de un ca mbio tem poral en el valor de las ganancias obtenidas

fuera del merca do de capitales, podemos obtener u nas condiciones iniciales

apropiadas para conseguir el nuevo ob jetivo. Este ser poder volver al esta-

do de e quilibrio inicial despus de evo lucionar con el sistema dinm ico con

a2

durante el tiempo que se mantenga el nuevo valor del parmetro a. Para

determinar la condicin inicial kr 0), cr 0)) que depende del tiempo

T

durante el cual

a = a2

, estimamos una trayectoria aproximada del sistema

dada por una solucin k t), c t)) del linealizado en un entorno del punto de

equilibrio final a la que imponemos la condicin k T), c T)) e

Es

(k7, c*

).

Operando tenemos:

c(t) - cl= A , ;)) 22))/B X2/)), 22),t)

(c T

(0)- c'

` +

21, 21)C X 21),1 22),t) 4- 0)-14)],

k t)

k'

` = A (X (),X (22 )) [C(X

2 )

,1 ,

2

2

)

,t)

(c

7

0) c) + D(X (21) ,X (22) , t) (kT (0) k>2 )]

con c T) c, = X.,

1

) (k(T) k7) y donde:

1

A (X 2

), X 2

)

)

=

B x 2 ) ,

22) ,

t) = (x (22 ) )2 ex 5

2 ), +

x ,

2

1) x f 2 )

e 2 t,

c

(

x(2) , x(2) , t)

=_.

x )

ex y l

t

+eet,

D

x(2

) , 2 1,

(2

2

) ,t)

_ x(2

)

ex

n,+ ect,

Valorando la primera expresin en

t = T,

puede despejarse

c(T)

e igualan-

do este valor al de la

ltima condicin, se obtiene

cr(0).

Por otra parte,

k

T

(0)

puede determinarse sustituyendo c

i- 0 ) en la segunda condicin.

4. EQUILIBRIO INESTABLE

Si el determinante de la matriz jacobiana en el punto de equilibrio es

positivo entonces los signos de las funciones

i (k*) y

g(c* ) no coinciden y

el tipo de inestabilidad que presenta (k*,c*) depender del discriminante

de la ecuacin caracterstica que en este caso viene dado por,

D = (i'(k*))

2 +4

f(c*)

i(k*).

g(c*)

11

2)

1

2 )

2 , .' 1


11/13

2

1. 8

1. 6

/. 4

1. 2

_ 5

2

0. 8

0. 6

0. 4

0. 2

0

o

5

.5

2

1. 8

1. 6

1. 4

1. 2

0. 8

0. 6

0. 4

0. 2

00


59

As, si D > 0 tenemos dos autovalores reales distintos positivos y

k*,c*)

ser un nodo inestable. Cuando

D = 0

p rece un utov lor positivo doble

i k*)

y el punto de equilibrio es un nodo impropio inestable Grfica 7).

Por ltimo, los autovalores sern complejos conjugados con partes reales

positivas

i k*)

si D < 0 apareciendo una fuente inestable Grfica 8 ).

GRFICO 6

RFICO 7

GRF1C0 8


12/13

6

uiomar Martin Herrn, Dolores Soto Torres

Debido a esta inestabilidad si dejamos el punto de equilibrio inicial

nunca ms podremos alcanzar otro estado estacionario, ni en el caso de un

cambio permanente del parmetro

a

ni si ste es temporal.

El

ltimo caso posible es que el determinante jacobiano se anule, situa-

cin que slo puede presentarse, dados los supuestos considerados sobre

las funciones

f(c) y g c), cuando

i (k*) = O.

Aqu el punto de equilibrio

sera no hiperblico y para poder llevar a cabo el anlisis objeto de nuestro

estudio, deberamos calcular una aproximacin de la variedad central en

un entorno de dicho punto que implica unos clculos en exceso laboriosos

si se consideran funciones generales.

5. CONCLUCIONES

Este trabajo considera un modelo de eleccin intertemporal, donde el

funcional objetivo es el introducido por Uzawa. As, el tanto de preferen-

cia no es constante sino una funcin que depende de la utilidad del consu-

mo. La restriccin presupuestaria del consumidor incluye por un lado una

funcin de intereses cuya concavidad o convexidad juega un papel impor-

tante en nuestro estudio. Adems, en esta ecuacin incorporamos las

ganancias obtenidas fuera del mercado de capitales, factor exgeno al

modelo.

Dependiendo del comportamiento de las funciones de preferencia y de

intereses, analizamos el cambio en los valores de equilibrio del capital y

del consumo, cuando se esperan modificaciones en el valor de las ganan-

cias externas tanto permanentes como temporales. Adems, cuando puede

alcanzarse la nueva posicin de equilibrio, indicamos q

e tipo de condi-

ciones iniciales deben considerarse dependiendo de cmo sea la modifica-

cin. Estimando el tiempo que se tarda en llevar a cabo dicho paso.

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