Dialnet-LogicasEpistemicaYDoxasticaConRestricciones-3697605

Ingeniera y Ciencia, ISSN 17949165

Volumen 6, numero 12, julio-diciembre de 2010, paginas 81115

Logicas epistemica y doxastica con

restricciones

Logica epistemica e doxastica com restricoes

Epistemic and doxastic logic with restrictions

Manuel SierraA.1

Recepcion:12-may-2010/Modificacion:06-nov-2010/Aceptacion:06-nov-2010

Se aceptan comentarios y/o discusiones al artculo

Resumen

Se presentan como extensiones del calculo proposicional clasico las jerarquasde sistemas deductivos LERn y LDRn, con n > 1. LERn es la logicaepistemica con restricciones de profundidadn, LDRn es la logica doxasti-ca con restricciones de profundidadn. Los sistemas LER1 y LDR1 sonel calculo proposicional clasico. El sistema LER(n + 1) puede ser visto co-mo el resultado de aplicar la regla: de X se infiere +X, una vez a los teo-remas del sistema LERn, ademas, se restringe la validez de los axiomas+(X Y ) (+X +Y ) y +X X en terminos de la profundidad (com-plejidad respecto al operador +) de X y de Y , y tambien se incluyen versionesgeneralizadas y con restricciones de los axiomas de introspeccion positiva ynegativa. El sistema LER resulta de la reunion de los sistemas de la jerarqua,y puede ser visto como el sistema de logica modal S5 con diversos tipos derestricciones. Cambiando +X X por +X +X se construye la jerar-qua LDRn y el sistema LDR; este ultimo puede ser visto como el sistemade logica modal KD45 con diversos tipos de restricciones. Los sistemas soncaracterizados con semanticas de mundos posibles encajados, con las cuales sele imponen, al problema de la omnisciencia logica, ciertos lmites.

Palabras claves: logica modal, mundos posibles encajados, logica doxastica,logica epistemica, omnisciencia logica.

1 Magster en Ciencias, [email protected], profesor, Universidad EAFIT, MedellnColombia.

Universidad EAFIT 81|

http://www.eafit.edu.co/ingciencia/mailto:[email protected]://www.eafit.edu.cohttp://www.medellin.gov.co/alcaldia/index.jsphttp://www.colombiaespasion.com/

Logicas epistemica y doxastica con restricciones

ResumoSao apresentadas como extensoes do calculo proposicional classico as hierar-quias dos sistemas dedutivos LDRn e LERn, com n > 1. LERn e a logicaepistemica com restricoes, LDR-n e a logica doxastica com restricoes. Siste-mas de LER1 e LDR1 sao o calculo proposicional classico. A LER(n+ 1)sistema pode ser visto como o resultado da aplicacao da regra: se X e umteorema de LERn, entao +X e um teorema da LER(n+ 1). Tambem res-tringe a validade dos axiomas +(X Y ) (+X +Y ) e +X X, emtermos de profundidade de X e Y , e tambem inclui limitada versoes dos axio-mas da introspeccao positiva e negativa. O sistema LER e a uniao do sistemasda hierarquia, e pode ser visto como o sistema de logica modal S5 com dife-rentes tipos de restricoes. Alterar +X X por +X +X construmosa hierarquia LDRn e do sistema LDR; este ultimo pode ser visto como osistema de logica modal KD45 com diferentes tipos de restricoes. Os sistemassao caracterizados com a semantica de mundos possveis aninhadas, com oqual sao impostas, o problema da onisciencia logica, de certos limites.

Palavras chaves: logica modal, mundos possveis aninhadas, logica doxastica,logica epistemica, onisciencia logica.

AbstractAre presented as extensions of classical propositional calculus hierarchies ofdeductive systems LDRn and LERn with n > 1. LERn is the epistemiclogic with restrictions, LDRn is the doxastic logic with restrictions. Thesystems LER1 and LDR1 are the classical propositional calculus. SystemLER(n+ 1) can be seen as the result of applying the rule: if X is theoremof LERn then +X is theorem of LER(n+ 1). Systems also restricts thevalidity of the axioms +(X Y ) (+X +Y ) and +X X, in termsof depth (complexity with respect to the operator +) of X and Y , and alsoincludes restricted versions of the axioms of positive and negative introspec-tion. LER system results from the union of LERn systems, and can be seenas the S5 modal logic system with different types of restrictions. Changing+X X by +X +X are built LDRn and the LDR systems. LDR canbe seen as the KD45 modal logic system with different types of restrictions.The systems are characterized with a embedded worlds semantics, with whichthe omniscience logical problem is limited.

Key words: multimodal logic, possible worlds embedded, epistemic logic,

doxastic logic, logical omniscience.

1 Presentacion

Los sistemas deductivos, construidos como extensiones del sistema multimodal Km utilizando operadores de creencia y conocimiento, los cuales fue-

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Manuel SierraA.

ron introducidos por Hintikka en Knowledge and Belief [1], son conocidoscomo logicas doxasticas y logicas epistemicas, y son de interes en inteligenciaartificial en lo que respecta al modelamiento del razonamiento de agentes in-teligentes. Desde el punto de vista semantico, las creencias y el conocimientode los agentes se caracterizan siguiendo las tecnicas desarrolladas por Kripkeen Semantical analysis of modal logic [2], con base en un conjunto de mun-dos posibles y relaciones de accesibilidad entre ellos, donde la formula +Xsera cierta en un mundo posible especfico, si X es cierta en cada mundo po-sible, accesible por el agente asociado al operador +, desde el mundo posibleespecfico.

Como senala Hintikka en Impossible possible worlds vindicated [3], cual-quier semantica para estos sistemas deductivos debe justificar como teorema:+(X Y ) (+X +Y ) y como regla de inferencia: de X se sigue +X(regla de certeza), ya que estas propiedades se encuentran presentes en to-das las logicas modales normales (extensiones de Km). Estas dos propiedadesresultan ser las caractersticas mas problematicas de las logicas modales nor-males cuando se utilizan como logicas del conocimiento y la creencia, ya queobligan a concebir al razonador como una entidad capaz de conocer todaslas consecuencias logicas de su conocimiento, lo cual la hace inadecuada paramodelar razonadores tales como seres humanos o sistemas computacionales,los cuales tienen limitaciones de espacio y tiempo. Lo anterior determina elllamado problema de la omnisciencia logica, el cual tiene como consecuenciala modificacion de la semantica de mundos posibles, si se quiere representaradecuadamente el conocimiento y las creencias de razonadores reales.

Sim, en Epistemic logic and logical omniscience: a survey [4], muestracomo, a fin de enfrentar el problema de la omnisciencia logica, se han cons-truido formalismos alternativos para representar la creencia y el conocimiento.Siguiendo con el modelo de creencia de los mundos posibles, Cresswell en Lo-gic and languajes [5] trabaja con mundos noclasicos, en los cuales se admitenlas inconsistencias, Hintikka en Impossible possible worlds vindicated [3] losllama mundos imposibles, Rescher en The logic of inconsistency [6] los llamamundos noestandar. Esta aproximacion fue seguida por Levesque en A lo-gic of implicit and explicit belief [7], donde un razonador tiene un conjuntorelativamente pequeno de creencias explcitas y un conjunto infinito de creen-cias implcitas, este ultimo incluye las consecuencias logicas de las creenciasexplcitas; al operador de creencia implcita se le asocian los mundos estandar

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y al de creencia explcita los no estandar, resultando una estrecha conexioncon la logica relevante de Anderson y Belnap presentada en Entailment: thelogic of relevance and necessity [8]. Lakemeyer en Tractable metareasoningin propositional logics of believes [9], diferencia entre creencias objetivas ysubjetivas. Fagin y Halpern en Belief, awareness and limited reasoning [10],extienden la logica de Levesque al razonamiento de multiples razonadores.La descripcion formal del razonamiento parcial hecha por Levesque, es con-tinuada por Schaerf y Cadoli en Tractable reasoning via approximation [11],y a partir de este trabajo, Finger y Wassermann en Logics for approximatereasoning: Approximating classical logic from above [12], construyen unafamilia de logicas, las cuales son aproximaciones a la logica clasica. Con baseen lo anterior, Rabelloa y Finger, en Approximations of Modal Logics: K andbeyond [13], presentan un metodo para construir aproximaciones a sistemasde logicas modales, donde el grado de introspeccion de los razonadores se en-cuentra limitado por la aproximacion a la logica clasica que se utilice en laconstruccion. Por otro lado, Konolige en A Deduction Model of belief [14],presenta una alternativa al modelo de creencia de los mundos posibles al re-presentar el razonamiento del agente mediante estructuras de deduccion, lascuales constan de un conjunto de formulas y un conjunto limitado de reglasde inferencia; en este sistema un razonador cree una formula si esta es unaconsecuencia del conjunto de formulas de la estructura utilizando unicamentereglas de inferencia de la estructura. Gabbay y Woods en Handbook of theHistory of Logic Vol 7 [15], presentan un panorama muy completo sobre elestado del arte respecto al problema de la omnisciencia en la logica epistemica.

Sierra, en Sistemas multimodales de profundidad restringida [16], pre-senta como extension del calculo proposicional clasico, la jerarqua de siste-mas deductivos SMMn, con n > 1. SMMn es el sistema multimodal deprofundidadn. El sistema SMM1 es el calculo proposicional clasico. El sis-tema SMM(n + 1) puede ser visto como el resultado de aplicar la regla decerteza, asociada a los razonadores con suficiente capacidad deductiva, solouna vez a los teoremas del sistema SMMn. El lenguaje del sistema SMM(n+1) es una extension propia del lenguaje de SMMn, donde la jerarqua delos lenguajes se encuentra asociada a una jerarqua en la capacidad deductivade los razonadores. El sistema SMM , sistema multimodal con restricciones,resulta de la reunion de los sistemas de la jerarqua, y puede ser visto co-mo el sistema de logica multimodal Km con restricciones en el lenguaje y


Manuel SierraA.

en las reglas de certeza, es decir, con razonadores de diferente capacidad derazonamiento.

Continuando parcialmente, con las pautas establecidas en Sistemas multimodales de profundidad restringida [16], se presentan en este trabajo las jerar-quas de sistemas deductivos LERn y LDRn, con n > 1. LERn es la logicaepistemica con restricciones de profundidadn. En los sistemas LERn donden > 2 se restringe la validez del axioma +(X Y ) (+X +Y ), as comola aplicacion de la regla de certeza, y, por lo tanto, la capacidad deductiva delrazonador asociado al operador de certeza + en terminos de la profundidad(complejidad respecto al operador +) de X y de Y . En LERn, con n > 2,tambien se tienen versiones generalizadas y con restricciones del axioma de co-nocimiento: +X X, del axioma de introspeccion positiva: +1X +2+1X,y del axioma de introspeccion negativa: +1X +2+1X. Los sistemasLERn son caracterizados con una semantica al estilo Kripke con diversostipos de restricciones (semantica de mundos posibles encajados). Por ejem-plo, la profundidad de un modelo establece la longitud maxima de las cadenasde mundos posibles que figuren en el modelo, resultando que los modelos deprofundidadn se encuentran asociados al sistema deductivo LERn. El siste-ma LER resulta de la reunion de los sistemas de la jerarqua, y puede ser vistocomo una extension con diversos tipos de restricciones del sistema de logicamodal S5. Las pruebas de validez y completitud de los sistemas de la jerarquason presentadas de forma detallada, as como las pruebas para la caracteriza-cion semantica del sistema LER. Cambiando +X X por +X + X seconstruye la jerarqua LDRn y el sistema LDR. LDRn es la logica doxasti-ca con restricciones de profundidadn, y LDR puede ser visto como el sistemade logica modal KD45 con diversos tipos de restricciones.

En los sistemas presentados, gracias a las restricciones en el lenguaje (allimitar la aplicabilidad de las reglas de certeza), y a las restricciones en el tipode los razonadores (al limitar las consecuencias del conocimiento de algunosrazonadores), se le imponen al problema de la omnisciencia logica ciertoslmites. Por ejemplo, en el sistema LER4, un razonador de tipo2 no siemprepuede hacer inferencias cuando se involucran formulas de tipo3, mientrasque un razonador de tipo3 o superior si puede hacerlas, sin embargo, ningunrazonador puede hacer inferencias sobre formulas de tipo4.



2 Sistemas deductivos

El lenguaje de todos los sistemas de las jerarquas LERn y LDRn, conn > 1, consta de los conectivos binarios ,,,; el conectivo unario ;y un conjunto numerable de conectivos unarios u operadores de certeza1

+A,+B , . . . , donde a cada uno de ellos se le asocia un tipo. Cada opera-dor +R de tipor se encuentra asociado a un razonador R, y se dice que R esde tipor.

El conjunto de formulas del calculo proposicional clasico CP o formulasde tipo1 es generado recursivamente a partir de un conjunto de formulasatomicas utilizando los conectivos de la forma:

1. Si P es una formula atomica entonces P es una formula de tipo1.

2. Si X es una formula de tipo1 entonces (X) es una formula de tipo1.

3. Si X y Y son formulas de tipo1 entonces (X) (Y ), (X) (Y ), (X)(Y ) y (X) (Y ) son formulas de tipo1.

En general, para n > 1: si X es una formula de tipon y + es un operador decerteza, entonces +X es una formula de tipo(n + 1).

Si X es una formula de tipok, Y es una formula de tipoq y n =maximo {k, q} entonces (X) (Y ), (X) (Y ), (X) (Y ) y (X) (Y ) sonformulas de tipon.

Si X es una formula de tipon entonces (X) es una formula de tipon.

Definicion 2.1 (Operadores de conocimiento). Si + es el operador de certezaasociado al razonador R, entonces +X denota que la formulaX es una certezapara el razonador R. La formulaX es imposible para el razonador R, denotadoX, si su negacion es una certeza para el razonador R, es decir, X +X.La formula X es refutable para el razonador R, denotado X, si no es unacerteza para el razonador R, es decir, X+X. La formula X es posiblepara el razonador R, denotado X, si no es imposible para el razonador R,

1En los sistemas LERn, + es un operador de certeza en el sentido de saber, mientrasque en LDRn, + es un operador de certeza en el sentido de creer, donde saber es creenciacierta.


Manuel SierraA.

es decir, XX. Los operadores +,, y son llamados operadores deconocimiento para el razonador R2.

Como consecuencia de la definicion de los operadores de conocimiento, enla tabla 1 se tienen algunas caracterizaciones de los mismos.

Tabla 1: caracterizaciones de los operadores de conocimiento

+X X X XX + X X XX +X X XX +X X X

Todas las formulas de una misma fila son equivalentes

La union de los conjuntos de formulas de tipo1, tipo2, . . ., tipon de-terminan el conjunto de formulas de profundidadn, el cual es el lenguaje delos sistemas LERn y LDRn.

Los sistemas LERn, logica epistemica con restricciones de profundidadn, se construyen de la forma:

LER1 es el calculo proposicional clasico CP .

Para n > 1, el sistema LER(n+ 1) se construye a partir del sistemaLERn de la siguiente forma:

ACP : los axiomas de CP sobre las formulas de profundidad(n+1)son axiomas de LER(n + 1).

MP+


AE: 1X 2+1X es un axioma de LER(n + 1), donde +1Xes una formula de profundidadn.

AA: X es un axioma de LER(n+ 1), donde X es un axiomade LERn.

A+: +X es un axioma de LER(n+ 1), donde X es un teoremade LERn.

Los sistemas LDRn, logica doxastica con restricciones de profundidadn,se construyen de manera similar, cambiando AR por:

AS: +A A es un axioma de LDR(n + 1), donde A es de tipoa, es de tipor, 1 6 a 6 n y a 6 r.

MP : los sistemas LER(n+ 1) y LDR(n+1) tienen como unica reglade inferencia el modus ponens de tipo(n+1), es decir, de X y X Yse infiere Y , donde X y Y son formulas de profundidad(n+ 1).

El lenguaje de LER es la union de los lenguajes de los sistemas LERn,con n > 1, por lo que en LER hay formulas de profundidad arbitraria. Elsistema LER, logica epistemica con restricciones, tiene como unica regla deinferencia primitiva el modus ponens y es axiomatizado de la forma

X es un axioma de LER si y solo si X es axioma de LERn para algun n > 1.

De manera analoga se construye el sistema LDR, logica doxastica conrestricciones.

Para cada uno de los sistemas presentados mas arriba, se dice que unaformula X es un teorema del sistema si y solamente si X es la ultima formulade una sucesion finita de formulas del sistema, tales que cada una de ellases un axioma del sistema o se infiere de dos formulas anteriores utilizando laregla de inferencia MP . Si es un conjunto de formulas del sistema, se diceque una formula X es un teorema del sistema a partir de , si y solamente siX es la ultima formula de una sucesion finita de formulas del sistema, talesque cada una de ellas es un axioma del sistema o un elemento de o se infierede dos formulas anteriores utilizando la regla de inferencia MP .

En lo que sigue se utilizaran diversos resultados de CP , se hara referen-cia a estos resultados simplemente como LCP o leyes logicas de CP (para


Manuel SierraA.

detalles de las pruebas en CP ver [17]). Con la notacion LRn (o LR) se es-tara haciendo referencia, tanto al sistema LERn (o LER), como al sistemaLDRn (o LDR).

Proposicion 2.1 (Conjuncion de certezas).

1. Para n > 1, X y Y formulas de tipot, con t 6 n. +(X Y ) (+X +Y ) es un teorema de LR(n + 1) y de LR.

2. Para n > 1, X y Y formulas de profundidadt, con t 6 n. (+X+Y ) +(X Y ) es un teorema de LR(n+ 1) y de LR.

3. Para n > 1, X y Y formulas de tipot, con t 6 n. +(X Y ) (+X +Y ) es un teorema de LR(n + 1) y de LR.

Prueba. Para la parte 1, en LRn se tienen (X Y ) X y (X Y ) Y ,y por A+ se afirma que +((X Y ) X) y +((X Y ) Y ) son axiomasde LR(n + 1), con n > 1. Utilizando el axioma MP+= y MP se infieren+(X Y ) +X y +(X Y ) +Y . Utilizando LCP se infiere +(X Y ) (+X +Y ).

Para la parte 2, por LCP se tiene en LRn, con n > 1, X (Y (X Y )). Como esta formula es de profundidadt, con t 6 n, por A+ se infiereen LR(n+1), +(X (Y (X Y ))), y el tipo del antecedente es menor oigual que el del consecuente, utilizando uno de los axiomas MP+= o MP+ p, es decir, V (Np, T ) solo se encuentra definida si la formula T es deprofundidadp. Es en este sentido que cada mundo tiene asociado un lenguaje.



las siguientes reglas o condiciones: sean P una formula atomica, Dk un mundoposible, X y Y formulas de profundidadt, con 1 6 t 6 k 6 a 6 n:

V at. V (Dk, P ) = 1 o V (Dk, P ) = 0.

V. V (Dk,X) = 1 V (Dk,X) = 0.

V . V (Dk,X Y ) = 1 V (Dk,X) = 1 = V (Dk, Y ).

V . V (Dk,X Y ) = 0 V (Dk,X) = 0 = V (Dk, Y ).

V. V (Dk,X Y ) = 0 V (Dk,X) = 1 y V (Dk, Y ) = 0.

V. V (Dk,X Y ) = 1 V (Dk,X) = V (Dk, Y ).

V+. V (Dp+1,+Z) = 1 (Np S)(Dp+1RNp V (Np, Z) = 1),donde 1 6 p < a, y Z es una formula de tipop.

V P . Si X es una formula de tipop, con 1 6 p 6 a, entonces para cadat, con p 6 t 6 a, si Dt existe entonces V (Dt,X) = V (Dp,X).

Finalmente, losmodelos (de profundidad arbitraria) se definen de la mismaforma que se definen los nmodelos, eliminando la restriccion acerca de laprofundidad del marco.

Proposicion 3.1 (Caracterizacion semantica de los operadores de conoci-miento). En un nmodelo (S,Ma, RA, V ), para 1 6 p < a y Z una formulade tipop.

V . V (Mp+1,Z) = 1 (Np S)(Mp+1RNp V (Np, Z) = 0).

V . V (Mp+1, Z) = 1 (Np S)(Mp+1RNp y V (Np, Z) = 1).

V. V (Mp+1,Z) = 1 (Np S)(Mp+1RNp y V (Np, Z) = 0).

Prueba. Consecuencia inmediata de las definiciones de los operadores deconocimiento.

4 Interpretacion canonica

Las intuiciones que motivaron la construccion de los sistemas LRn corres-ponden a la siguiente interpretacion (ver figura 1): cada mundo posible corres-ponde a una situacion especfica y a un razonador, as, el mundo posible M3de profundidad3 se interpreta como una situacion especfica asociada a unrazonador3 de tipo3. El mundo posible N2 de profundidad2 se interpreta


Manuel SierraA.

como una situacion especfica asociada a un razonador2 de tipo2. V (M3,X)se interpreta como informacionX (informacion sobre la veracidad o falsedadde la formula X de tipo3) que el razonador3 posee en la situacion especficaM3. M3R2N2 significa que, desde la situacion especfica M3, el razonador3encuentra disponible (puede acceder a) la informacionY , que el razonador2posee en la situacion especfica N2.

R2

M3 N2

YX

Figura 1: mundos posibles y situaciones especficas

V (M3, 2 1 X 1X) = 1 se interpreta como (ver figura 2): si desde lasituacion especfica M3, el razonador3 encuentra disponible la informacionque el razonador2 posee en la situacion especfica N2, y si desde la situa-cion especfica N2 el razonador2 encuentra disponible la informacion que elrazonador1 posee en la situacion especfica D1, entonces el razonador3 en-cuentra disponible desde M2, la informacion que el razonador1 posee en lasituacion especfica D1. Lo anterior significa que el razonador2 transmite alrazonador3 la informacion que tiene disponible acerca del razonador1. Porlo que AT significa transmision de la informacion desde abajo.

2 1X

11 M2

M3

X

D1N2

R21

1X 1X

1

R1

R1

Figura 2: transmision de la informacion desde abajo

V (M3, 2 +1 X +1X) = 1 se interpreta como (ver figura 3): si desde lasituacion especfica M3, el razonador3 encuentra disponible la informacionque el razonador2 posee en una situacion especfica N2, entonces desde lasituacion especfica N2 el razonador2 encuentra disponible la informacion queel razonador1 posee en cualquier situacion especfica D1, la cual se encuentredisponible para el razonador3 desde la situacion especfica M2. Lo anterior



significa que el razonador3 transmite al razonador2 la informacion que tienedisponible acerca del razonador1. Por lo que AE significa transmision de lainformacion desde arriba.

2+1X

11 M2

M3

X

D1N2

R21

+1X +1X1

R1

R1

Figura 3: transmision de la informacion desde arriba

V (M3,+2X X) = V (M3,X 2X) = 1 se interpreta como (verfigura 4): el razonador3, en la situacion especficaM3, encuentra disponible lainformacionX, de tipox, que el razonador2, de tipor, con x 6 r, posee enla situacion especfica M2. Lo anterior significa que el razonador3 encuentradisponible la informacion que posee como informacion que el razonador2posee. Por lo que AR significa disponibilidad de la informacion que se poseesi hay un razonador capaz de acceder a ella. Cuando el razonador2 es elmismo razonador3, se tiene la llamada autoreflexion del conocimiento.

2X

M2

M3

1 X

1

1

R2

+2X

M2

M3

1 X

1

1

R2

Figura 4: disponibilidad de la informacion que se posee

Observar que en LER3, la formula +1 2 P 2P , donde P es atomica,+1 es de tipo1 y 2 es de tipo2, es refutada por el modelo que consta delos mundos M1,M2 y M3, tales que M3R2M2,M2R2M1 y M2R1M1, dondeV (M1, P ) = 0, puesto que V (M3,+1 2 P ) = 1 y V (M2, 2P ) = 0.

V (M3,+X X) = V (M3,(XX)) = 1 se interpreta como (verfigura 5): el razonador3, desde la situacion especfica M3, puede garantizarque los razonadores de cierto tipo refutan la informacion inconsistente delmismo tipo o inferior. Por lo que AS significa consistencia de la informacionque poseen los razonadores cuando tienen la capacidad de acceder a ella.


Manuel SierraA.

XM2

M3 N2

R1

1 y X unaformula de profundidadn. Si X es un teorema de LRn entonces X es nvalida.

Prueba. Supongase que X es un teorema de LRn, se prueba que X esnvalida por induccion sobre la longitud L de la demostracion de X es LRn.

Paso base (L = 1). Si la longitud de la demostracion de X en LRn es uno,entonces X es un axioma de LRn, lo cual, por la proposicion 5.2, significaque X es nvalida.

Paso de induccion. Como hipotesis inductiva se tiene que para cada formu-la Y , si Y es un teorema de LRn y la longitud de la demostracion de Y tienelongitud menor que L (donde L > 1), entonces Y es nvalida. Si X es unteorema de LRn y la longitud de la demostracion de X es L, entonces X esun axioma de LRn o X es consecuencia de aplicar modus ponens en pasos



anteriores de la demostracion. En el primer caso se procede como en el casobase. En el segundo caso se tienen en LRn, para alguna formula Y , demos-traciones de Y y de Y X, donde la longitud de ambas demostraciones esmenor que L; utilizando la hipotesis inductiva se infiere que Y y Y X sonnvalidas, y por la proposicion 5.1, numeral 3, resulta que X es nvalida.

Proposicion 5.4 (Teoremas de LR en LRn). Para cada formula X. X esun teorema de LR si y solo si existe t > 1 tal que para cada n > t, X es unteorema de LRn.

Prueba. Supongase que X es un teorema de LR, por lo que X es consecuen-cia de un numero finito de axiomas de LR, pero los axiomas de LR son losaxiomas de los sistemas LRn, por lo que debe existir un t tal que todos losaxiomas utilizados en la prueba de X sean axiomas de LRt, resultando queX es un teorema de LRt. Se ha probado que, si X es un teorema de LRentonces X es un teorema de LRt, y como los axiomas de LRt son axiomasde LRn para n > t, se obtiene que, si X es un teorema de LR entonces paracada n > t, X es un teorema de LRn. Para probar la recproca, supongaseque X es un teorema de LRt, lo cual significa que existe una demostracion deX a partir de los axiomas de LRt, y como los axiomas de LRt son axiomasde LR, entonces la demostracion de X en LRt tambien es una demostracionde X en LR, por lo tanto, X es un teorema de LR.

Proposicion 5.5 (Validez de LER y LDR). Para cada formula X. Si X esun teorema de LR entonces X es valida.

Prueba. Supongase que X es un teorema de LR y que X es una formula deprofundidadp arbitraria. Por la proposicion 5.4 resulta que existe t > 1 talque para cada n > t, X es un teorema de LRn, lo cual, segun la proposicion5.3, significa que para cada n > t, X es nvalida.

Si X no es valida, entonces existe un modelo M en el cual X es falsa, esdecir, V (Ma,X) = 0 donde Ma es el mundo actual, el cual es de profundidada, con a > p, por lo que el modelo M es de profundidada, resultando queX no es avalida, y como para cada n > t, X es nvalida, entonces a < t.Pero si a < t entonces todo amodelo es un tmodelo, resultando que X noes tvalida, lo cual es imposible. Por lo tanto, X es valida.


Manuel SierraA.

6 Completitud

Definicion 6.1 (Extension consistente y completa). Una extension de unsistema deductivo se obtiene alterando el conjunto de axiomas de tal maneraque todos los teoremas del sistema sigan siendo teoremas y que el lenguaje dela extension coincida con el lenguaje del sistema deductivo. Una extension esconsistente si no existe ninguna formula X tal que tanto X como X seanteoremas de la extension. Un conjunto de formulas es inconsistente si de ellasse derivan Z y Z para alguna formula Z. Una extension es completa si paratoda formula X, del lenguaje de la extension, o bien X o bien X es teoremade la extension.

Proposicion 6.1 (Extension consistente de LERn y de LDRn).

1. Para cada n > 1, LRn es consistente.

2. LR es consistente.

3. Si E una extension de LRn, X es una formula de profundidadn queno es teorema de E, y Ex es la extension de LRn obtenida anadiendoX como nuevo axioma a E, entonces Ex es consistente.

Prueba. Supongase que LRn no fuese consistente, por lo que debe existiruna formula X de profundidadn tal que tanto X como X sean teoremas.Entonces, por la proposicion 5.3, tanto X como X son formulas nvalidas,pero esto es imposible, ya que si X es una formula nvalida, entonces paratodo nmodelo (S,Ma, RA, V ) se tienen V (Ma,X) = 1, es decir, segunV, V (Ma,X) = 0, por lo que X no puede ser nvalida, lo cual no es el caso.Por lo tanto, LRn es consistente.

Para la parte 2, si LR no es consistente, entonces existe una formula X talque tanto X como X son teoremas de LR. Pero las demostraciones de X yX en LR son sucesiones finitas de formulas, por lo que cada demostracioncontiene casos particulares de un numero finito de axiomas de LR. Por loque debe existir un n suficientemente grande para que todos estos axiomasutilizados sean axiomas de LRn, resultando que LRn es inconsistente, locual, segun la parte 1, no es el caso. Por lo tanto, LR es consistente.

La parte 3 es un resultado bastante conocido, para detalles ver [16, 17].



Proposicion 6.2 (Extension consistente y completa).4 Si E es una extensionconsistente de LRn (o de LR), entonces existe una extension consistente ycompleta de E.

Prueba. Es una construccion estandar conocida como el lema de Linden-baum, para detalles ver [16, 17].

Proposicion 6.3 (Consistencia +subordinada). Sean Y una formula detipot, con t 6 n, y Z1, . . . , Zk formulas de profundidada, con a 6 t. Si{+Z1, . . . ,+Zk, Y } es consistente en LR(n + 1), entonces {Z1, . . . , Zk, Y }es consistente en LRn.

Prueba. Supongase que {Z1, . . . , Zk, Y } es inconsistente en LRn, por loque existe una formula W tal que, a partir de {Z1, . . . , Zk, Y } se infieren Wy W en LRn; utilizando LCP resulta que (Z1 . . .Zk Y ) (WW )es un teorema de LRn, y, por LCP , en LRn resulta (Z1 . . .ZkY ), locual, por LCP , significa (Z1. . .Zk) Y . Como esta formula es de tipot,utilizando A+ resulta que +((Z1. . .Zk) Y ) es derivable en LR(n+1)como a 6 t, por MP+< y MP+= se infiere +(Z1 . . .Zk) +Y . ComoZ1, . . . , Zk son de profundidada, con a 6 n, entonces, por la proposicion2.1, numeral 2, resulta que (+Z1 . . . +Zk) +(Z1 . . . Zk) es unteorema de LR(a + 1) y de LR(n + 1), por lo que, utilizando LCP , seinfiere (+Z1 . . . +Zk) +Y en LR(n + 1), lo cual, por LCP y ladefinicion de posibilidad, equivale a (+Z1 . . . +Zk Y ), por lo que{+Z1, . . . ,+Zk, Y } es inconsistente en LR(n+ 1).

Definicion 6.2 (+subordinado). Para 1 6 p 6 n, si E es una extension con-sistente y completa de LRn, entonces Ep = {X E : X es de profundidadp} es un encajado de E, y se dice que Ep es de profundidadp. Cuando p < n,se dice que Ep es encajado de Ep+1. En se identifica con E.

Sean E y F extensiones consistentes y completas de LRn, con 1 6 p < n.Se dice que Fp es +subordinado de Ep+1 si y solamente si existe una formulaY de tipop tal que Y esta en Ep+1, y, ademas, para cada formula Z de

4Para llegar a las pruebas de completitud en las proposiciones 6.7 y 6.8 se siguen lasdirectrices dadas por Henkin en The completeness of the first order functional calculus [18]y Kaplan en Review of Kripke [19] para probar la completitud de la logica de primer ordeny del sistema modal T .


Manuel SierraA.

tipop, tal que +Z esta en Ep+1, se tiene que Y y Z estan en Fp. Se dice queF es +subordinado de E cuando Fn1 es +subordinado de En.

Proposicion 6.4 (Extension +subordinada consistente y completa).

1. Para 1 6 p 6 n, si E es una extension consistente y completa de LRn,entonces Ep es una extension consistente y completa de LRp.

2. Para 1 6 p < n, E una extension consistente y completa de LRny X una formula de tipop, si X esta en Ep+1, entonces existe unaextension consistente y completa F de LRn tal que X Fp y Fp+subordinada de Ep+1.

3. Si 1 6 p < n y E una extension consistente y completa de LRn,entonces existe una extension consistente y completa F de LRn talque Fp+subordinada de Ep+1 cuando + es de tipor y p 6 r.

4. Si 1 < n y E una extension consistente y completa de LR, entoncesexiste una extension consistente y completa F de LR tal que Fn1+subordinada de En cuando + es de tipor y n 1 6 r.

Prueba. Para la parte 1, sea E una extension consistente y completa deLRn, y sea Ep un encajado de Ep+1. Si Ep es inconsistente entonces existeuna formula Z tal que tanto Z como Z son derivables en Ep, y como Epesta incluido en E, resulta que tanto Z como Z son derivables en E, esdecir, E es inconsistente, lo cual no es el caso. Por lo tanto, Ep es consistente.Sea X una formula de profundidadt, con 1 6 t 6 p, como E es completaentonces X E o X E, al ser X y X de profundidadt y Ep un encajadode Ep+1, por definicion, se infiere que X Ep o X Ep, es decir, Ep escompleta.

Para la parte 2, sea X una formula de tipop tal que la formula X este enEp+1. Sea EX = {X} {Z : +Z esta en Ep+1}, como por la parte 1, Ep+1es consistente en LR(p + 1), entonces, por la proposicion 6.3, EX tambienes consistente en LRp, es decir, la union de LRp con EX es una extensionconsistente de LRp. Utilizando la proposicion 6.2, se construye una extensionconsistente y completa F de LRp la cual incluye a EX . Como X esta en EX ,tambien esta en F , y como X es de tipop, resulta que X esta en Fp. Si Wes de tipop y +W esta en Ep+1, por definicion, W esta en EX , por lo que



W esta en F , y al ser W de tipop, tambien esta en Fp. Por lo tanto, Fp es+subordinado de Ep+1.

La parte 3, en el sistema LERn, es consecuencia de la parte 2, al tener encuenta que + es de tipor y p 6 r, por AR, en LER2 se tiene (Q Q),donde Q es una formula atomica, y por AR resulta (Q Q) en LER3,y continuando de esta manera se construye una formula Z de tipop tal queZ esta en LER(p + 1).

La parte 3, en el sistema LDRn, es consecuencia de la parte 2, al tener encuenta que, por A+, en LDR2 se tiene +(Q Q), donde Q es una formulaatomica, y como + es de tipor y p 6 r, por AS, resultara (Q Q), deigual manera resulta (Q Q) en LDR3, y continuando de esta manerase construye una formula Z de tipop tal que Z esta en LDR(p+ 1).

La parte 4 se prueba de igual forma que la parte 3.

Proposicion 6.5 (Propiedades de la +subordinacion). Para 1 6 p < n 1y 1 6 q 6 n1, sean E,F y G extensiones consistentes y completas de LRn.

1. Si Fp+1 es +2subordinado de Ep+2 y Gp es +1subordinado de Fp+1,entonces Gp es +1subordinado de Ep+1.

2. Si Fp+1 es +2subordinado de Ep+2 y Gp es +1subordinado de Ep+1,entonces Gp es +1subordinado de Fp+1.

3. Fp es +subordinado de Fp+1 cuando + es de tipor y p 6 r, y F esuna extension consistente y completa de LERn.

4. Si Gn1 es +subordinado de Fn, entonces, para cada q, se tiene queGq es +subordinado de Fq+1 cuando + es de tipor y 1 6 q 6 r.

5. Para cada E, existe F tal que Fq es +subordinada de Eq+1 cuando +es de tipor y q 6 r.

Prueba. Para la parte 1 supongase que Gp es +1subordinado de Fp+1y Fp+1 es +2subordinado de Ep+2. Como Gp es +1subordinado de Fp+1,entonces existe en Fp+1 una formula 1Z tal que Z esta en Gp y Z es detipop. Si 1Z no esta en Ep+2, entonces al ser una extension completa, 1Zsi debe estarlo, ademas, por AT , se tiene que 21Z 1Z esta en Ep+2,por lo que 21Z, es decir, +2+1Z de tipo(p+2) tambien esta en Ep+2,


Manuel SierraA.

y al ser Fp+1 +2subordinado de Ep+2 resulta que +1Z esta en Fp+1, locual significa que 1Z esta en Fp+1, pero esto es imposible ya que Fp+1es consistente. Por lo que 1Z esta en Ep+2, y como Z es de tipo(p + 1),entonces tambien esta en Ep+1.

Sea W una formula de tipop tal que +1W esta en Ep+1, es decir, 1Westa en Ep+1 y tambien en Ep+2; utilizando AT21W 1W resultaque 21W esta en Ep+2, por lo que +2+1W esta en Ep+2, y como Fp+1es +2subordinado de Ep+2, se infiere que +1W esta en Fp+1, como, ademas,Gp es +1subordinado de Fp+1, entonces W esta en Gp. En resumen, existeuna formula 1Z en Ep+1 tal que para cada formula +1W en Ep+1 se tieneque Z y W estan en Gp, y, por lo tanto, Gp es +1subordinado de Ep+1.

Para la parte 2 supongase que Fp+1 es +2subordinado de Ep+2 y Gpes +1subordinado de Ep+1. Como Gp es +1subordinado de Ep+1, entoncesexiste en Ep+1 una formula 1Z tal que Z esta en Gp y Z es de tipop.Como 1Z esta en Ep+1, es decir, 1Z esta en Ep+1 y tambien en Ep+2,utilizando AE1Z 2+1Z resulta que 2+1Z esta en Ep+2, lo cualsignifica que +2 1 Z esta en Ep+2, y como Fp+1 es un +2subordinado deEp+2, entonces 1Z esta en Fp+1.

Supongase que +1W esta en Fp+1 con W de tipop. Si +1W no esta enEp+1, entonces +1W esta en Ep+1, es decir, 1W esta en Ep+1, y tambienen Ep+2; utilizando AE1W 2 +1 W , se infiere que 2 +1 W esta enEp+2, o sea que +2+1W esta en Ep+2, pero al ser Fp+1 +2subordinado deEp+2 se tiene que +1W esta en Fp+1, lo cual es imposible ya que Fp+1 esconsistente, y, por lo tanto, +1W esta en Ep+1, y como Gp es +1subordinadode Ep+1, entonces W esta en Gp. Se concluye que, para cada +1W en Fp+1resulta que W esta en Gp. En resumen, existe una formula 1Z en Fp+1 talque para cada formula +1W en Fp+1 se tiene que Z y W estan en Gp, y, porlo tanto, Gp es +1subordinado de Fp+1.

Para la parte 3, en el sistema LERn sea F una extension consistente ycompleta de LERn, y sea X de tipop, con p < n1, un axioma de CP , porlo que en LERp se tiene X, y por AA en LER(p+ 1) tambien se tieneX, y como + es de tipor y p 6 r, por AR, se tiene X X, derivandoseX, por lo que X y X estan en F , resultando que X esta en Fp+1 y Xesta en Fp. Supongase que +W esta en Fp+1, con W de tipop, por AR enFp+1 se tiene W W , es decir, +W W , resultando que W tambien



esta en Fp+1, y como W es de tipop, entonces W esta en Fp. Por lo tanto,Fp es +subordinada de Fp+1.

Para la parte 4, supongase que Gn1 es +subordinado de Fn donde 1 < n,+ es de tipor y n 1 6 r. Si la conclusion fuese falsa, debe existir un qmaximo tal que, q < n 1 6 r y Gq no es +subordinado de Fq+1.

En el caso del sistema LERn se sabe que Q Q, donde Q es una formulaatomica, esta en LER1, por AR, (Q Q) esta en LER2, resultando que(Q Q) esta en F2 y Q Q esta en G1, de nuevo por AR, (Q Q)esta en F3 y (Q Q) esta en G2, y continuando de esta manera se construyeuna formula Z de tipoq tal que Z esta en Fq+1 y Z esta en Gq.

En el caso del sistema LDRn se sabe que Q Q donde Q es unaformula atomica esta en LDR1, por A+, +(Q Q) esta en LDR2, y porAS, (Q Q) esta en LDR2, y de nuevo por A+ y AS, (Q Q)esta en LDR3 y (Q Q) esta en LDR2, y continuando de esta manerase construye una formula Z de tipoq tal que Z esta en LDR(q + 1) y Zesta en LDRq, concluyendose que existe una formula Z de tipoq tal queZ esta en Fq+1 y Z esta en Gq.

Se tiene entonces que en LRn existe una formula Z de tipoq tal queZ esta en Fq+1 y Z esta en Gq, y como Gq no es +subordinado de Fq+1,entonces debe existir una formula W de tipoq tal que +W esta en Fq+1 y Wno este en Gq. Si +W esta en Fq+1, al ser de tipo(q + 1) +W esta en Fq+2,y tambien por AT W W esta en Fq+2, es decir, +W ++Westa en Fq+2, resultando que + + W esta en Fq+2; como q es maximo talque Gq no es +subordinado de Fq+1, resulta que Gq+1 es +subordinadode Fq+2, y entonces +W esta en Gq+1, y se sabe por la parte 3 que Gq es+subordinado de Gq+1, por lo que W esta en Gq, lo cual no es el caso. Porlo tanto, para cada q, con 1 6 q < n, se tiene Gq es +subordinado de Fq+1,donde 1 < n.

Para la parte 5, en los sistemas LERn y LDRn, como se muestra enla parte 4, existe X de tipoq tal que X esta en Eq+1 cuando + es de tipor y q 6 r; por la proposicion 6.4, numeral 2, se infiere la existencia de unaextension consistente y completa F tal que Fq es +subordinada de Eq+1.

Proposicion 6.6 (Construccion de un nmodelo). Si E es una extensionconsistente de LRn, entonces existe un nmodelo en el cual todo teorema deE es verdadero.


Manuel SierraA.

Prueba. Se define el candidato a nmarco (Sn,MEn, RA) de la siguientemanera: sean E,F,G, . . ., extensiones consistentes y completas de E (En lainicial y las demas subordinadas), presentadas en las proposiciones 6.2 y 6.4.A cada extension F , es decir, Fn, se le asocia un mundo posible MF , esdecir, MFn, y a cada extension encajada Fk de F se le asocia un mundoposible encajado MFk de MF , sean Sn el conjunto de tales mundos posiblesy MEn el mundo actual. Las relaciones de accesibilidad R del conjunto RA seconstruyen as: MFt+1RMGt si y solamente si Gt es +subordinado de Ft+1.

Para afirmar que (Sn,MEn, RA) es un nmarco, se deben garantizar lascorrespondientes restricciones. La restriccion RMa se encuentra garantizadapor la proposicion 6.2, la restriccion RE< se encuentra garantizada por ladefinicion de encajado y la proposicion 6.4 numeral 1, RA por la definicionde +subordinado, RAE < por la proposicion 6.5, numeral 4, RR por laproposicion 6.5, numeral 3, RE por la proposicion 6.5, numeral 2, RT por laproposicion 6.5, numeral 1, y RS por la proposicion 6.5, numeral 5.

Asociado al nmarco (Sn,MEn, RA) se define el candidato a nmodeloM = (Sn,MEn, RA, V ) sobre las formulas de LRn haciendo para cada MFken Sn y para cada formula X de tipot donde 1 6 t 6 k 6 n, V (MFk,X) = 1si X esta en Fk, y V (MFk,X) = 0 si X esta en Fk, donde Fk es laextension consistente y completa asociada a MFk. Notese que V es unarelacion funcional por ser Fk consistente y completa. Ahora bien, ya queFk es consistente, entonces V (MFk,X) 6= V (MFk,X) y, por lo tanto,V (MFk,X) = 1 V (MFk,X) = 0, por lo que se satisface la definicionV. Para afirmar que M es un nmodelo, se debe garantizar que para cadauno de los conectivos, V satisface la definicion de valuacion.

Para el caso del condicional, sea X Y una formula de tipot donde1 6 t 6 k 6 n. Utilizando LCP se tiene la siguiente cadena de equivalencias:V (MFk,X Y ) = 0, es decir, (X Y ) esta en Fk, o sea que XY esta en Fk, resultando que X y Y estan en Fk, lo cual significa queV (MFk,X) = 1 y V (MFk, Y ) = 0, por lo que se satisface la definicion V.Para los demas conectivos binarios se procede de igual forma.

Para el caso de la regla V+, donde 1 6 p < n,MFp+1 es un mundoasociado a Fp+1, MGp es un mundo asociado a Gp y Z es una formula detipop. Supongase que V (MFp+1,+Z) = 1, por lo que +Z esta en Fp+1. SiMFp+1RMGp, entonces Gp es subordinada de Fp+1 y Z esta enGp, resultando



que V (MGp, Z) = 1. Se ha probado de esta manera que V (MFp+1,+Z) =1 (MGp Sn)(MFp+1RMGp V (MGp, Z) = 1).

Para probar la recproca, supongase que (MGp Sn)(MFp+1RMGp V (MGp, Z) = 1). Si V (MFp+1,+Z) = 0, entonces al ser MFp+1 el mundoasociado a la extension consistente y completa Fp+1 resulta que +Z esta enFp+1, por lo que +Z, es decir, Z esta en Fp+1. Por la proposicion 6.4,numeral 2, existe una extension consistente y completa Gp subordinada deFp+1 tal que Z esta en Gp. Como MGp es el mundo asociado a Gp, entoncesMFp+1RMGp, lo cual, por el supuesto inicial implica V (MGp, Z) = 1, esdecir, Z esta en Gp, resultando que Gp es inconsistente, lo cual no es elcaso. Por lo tanto, V (MFp+1,+Z) = 1. Se ha probado de esta manera que(MGp Sn)(MFp+1RMGp V (MGp, Z) = 1) V (MFp+1,+Z) = 1.

Para el caso de la regla V P , sea X una formula de profundidadp, con1 6 p 6 n,MFp, el mundo asociado a la extension Fp, y para cada t, conp 6 t 6 n, sea MFt el mundo asociado a la extension Ft. V (MFp,X) = 1 si ysolo si X esta en Fp, como X es de profundidadp, lo anterior es equivalente aX esta en Ft donde p 6 t 6 n, pero X esta en Ft si y solo si V (MFt,X) = 1.Por lo tanto, para cada t, con p 6 t 6 n, V (MFp,X) = V (MFt,X).

Con base en el analisis anterior, y teniendo en cuenta la forma en que seconstruye el modelo, se concluye finalmente que V es una valuacion, y, por lotanto, M es un nmodelo.

Para finalizar la prueba, sea X un teorema de E, por lo que X esta enEn. Por lo tanto, utilizando la definicion de V , resulta que V (MEn,X) = 1,es decir, X es verdadera en el nmodelo M = (Sn,MEn, R, V ).

Proposicion 6.7 (Completitud de LERn y de LDRn). Para cada formulaX de profundidadn, con n > 1. Si X es nvalida entonces X es un teoremade LRn.

Prueba. Sea X una formula de LRn. Si X no es un teorema, entonces, porla proposicion 6.1, numeral 3, la extension E, obtenida anadiendo X comonuevo axioma, es consistente. As pues, segun la proposicion 6.6, existe unnmodelo M tal que todo teorema de E es verdadero en M , y como X esun teorema de E, entonces X es verdadero en M , es decir, X es falso en M ,y, por lo tanto, X no es nvalida. Se ha probado de esta forma que, si X noes un teorema de LRn entonces X no es nvalida, o dicho de otra manera,si X es nvalida entonces X es un teorema de LRn.


Manuel SierraA.

Proposicion 6.8 (Completitud de LER y de LDR). Para cada formula X,si X es valida entonces X es un teorema de LR.

Prueba. Supongase que X es valida y que X es de profundidadp arbitraria,por lo que en la construccion de un modelo refutador de la formula X, resultauna cadena inconsistente de mundos posibles C = MaMa1 . . .Mm para algunm, donde a > p > 1 y Ma es el mundo actual de profundidada, lo cualsignifica que X no puede ser refutada por un amodelo, es decir, X es avalida. Por la proposicion 6.7 se infiere que X es un teorema de LRa, ycomo los axiomas de LRa son axiomas de LR, se concluye que X es unteorema de LR.

Proposicion 6.9 (Caracterizacion semantica de LERn, LDRn, LER,LDR). Sea X una formula de profundidadn.

1. X es nvalida si y solamente si X es un teorema de LRn.

2. X es valida si y solo si X es un teorema de LR.

Prueba. La primera parte es consecuencia de las proposiciones 5.3 y 6.7, lasegunda se sigue de las proposiciones 5.5 y 6.8.

7 Conclusiones

Cuando el razonador es lo suficientemente fuerte (el tipo de + mayor o igualque el tipo de X), con el axioma AR se garantiza que las certezas sean verda-deras: +X 7 X5, que las imposibilidades sean falsas: X 7X, que las ver-dades sean posibles: X 7 X, que las falsedades sean refutables: X 7 X,y, ademas, la contraparte semantica de este axioma, es decir, la restriccionRR, permite refutar las recprocas; con el axioma AS se garantiza que lascertezas sean posibles: +X 7 X, que las imposibilidades sean refutables:X 7 X, que las contradicciones sean refutables: (XX), y, ademas,la contraparte semantica de este axioma, es decir, la restriccion RS, permiterefutar las recprocas.

5X 7 Y significa que X Y , pero no siempre Y X.



En los sistemas LERn, con el axioma AT , al cual semanticamente lecorresponde la restriccion RT , se garantiza que refutar una certeza es una im-posibilidad: 2 1 X +1X, y que la posibilidad de una formula imposiblees una imposibilidad: 2 1 X 1X. Con el axioma AE, al cual semanti-camente le corresponde la restriccion RE, se garantiza que la posibilidad deuna formula posible es una certeza: +2 1X 1X, y que refutar una formularefutable es una certeza: +2 1 X 1X.

Con el axioma MP+=, al cual semanticamente le corresponde la reglaV+, se garantiza que si un condicional y su antecedente son certezas, entoncessu consecuente tambien es una certeza cuando en X Y el antecedente yel consecuente son del mismo tipo: [+(X Y ) +X] +Y ; y que si unadisyuncion es certeza y un disyunto es refutable, entonces el otro disyunto esposible: [+(XY )X] Y cuando los disyuntos son del mismo tipo. Conel axioma MP+

Manuel SierraA.

intermedios, se encuentra una jerarqua naturalmente obtenida a partir de lossistemas LERn.

De manera similar, los sistemas LDRn, con n > 3 y LDR, pueden serconsiderados como extensiones del sistema KD45 generalizado y con diversostipos de restricciones; y tambien se puede concluir que, asociado a cada unode los sistemas intermedios KD,KD4 y KD5, se encuentra una jerarquanaturalmente obtenida a partir de los sistemas LDRn.

Observar que las restricciones en el lenguaje de los sistemas (al limitar laaplicabilidad de las reglas de creencia), y las restricciones en el tipo de losrazonadores (al limitar las consecuencias del conocimiento de algunos razona-dores), le imponen al problema de la omnisciencia logica ciertos lmites. Porejemplo, en el sistema LR4, un razonador de tipo2 no siempre puede hacerinferencias cuando se involucran formulas de tipo3, mientras que un razo-nador de tipo3 o superior si puede hacerlas, sin embargo, ningun razonadorpuede hacer inferencias sobre formulas de tipo4.

Finalmente, es importante senalar que las restricciones impuestas, porlos axiomas MP+< y MP+=, pueden ser relajadas para los razonadorescon suficiente capacidad deductiva, es decir, del tipo adecuado, adicionandoMP+>: +(A B) (+A +B) es un axioma de LR(n + 1), donde Aes de tipoa, B es de tipob, + es de tipor, 1 6 b < a 6 n y a 6 r; esteaxioma es validado semanticamente por las restricciones RE> (restriccion deencaje externo): si R es de tipor, r > p,Kp+1RFp y Kp+2 existe, entoncesexiste Fp+1, y RAE> (restriccion de accesibilidad encajada externa): si R esde tipor, r > p,Kp+1RFp, Kp+2 existe y Fp+1 existe, entonces Kp+2RFp+1.

Referencias

[1] Jaakko Hintikka, Vincent F. Hendricks and John Symons.Knowledge and Belief - An Introduction to the Logic of the Two Notions , ISBN9781904987086. College Publications, 2005. Referenciado en 83

[2] Saul A. Kripke. Semantical analysis of modal logic.Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, ISSN00443050, 9, 1963. Referenciado en 83

[3] Jaakko Hintikka. Impossible possible worlds vindicated .Journal of Philosophical Logic, ISSN 00223611, 4(3), 475484 (1975). Re-ferenciado en 83


http://www.amazon.com/Knowledge-Belief-Introduction-Notions-Philosophy/dp/1904987087http://www.worldcat.org/title/zeitschrift-fur-mathematische-logik-und-grundlagen-der-mathematik/oclc/1770494http://www.springerlink.com/content/x856742t58178502/http://www.springer.com/philosophy/logic+and+philosophy+of+language/journal/10992


[4] Kwang Mong Sim. Epistemic logic and logical omniscience: a survey.International journal of intelligent systems, ISSN 08848173, 12, 5781 (1997).Referenciado en 83

[5] Max J. Cresswell. Logics and languages , ISBN 0416769500. Egmont ChildrensBooks, 1973. Referenciado en 83

[6] Nicholas Rescher and Robert Brandon. The logic of inconsistency , ISBN0631115811. Rowman and Littlefield, 1979. Referenciado en 83

[7] Hector J. Levesque. A logic of implicit and explicit belief , En Proceedings ofNational Conference on Artificial Intelligence, ISBN 9780865760806, 198202(1984). Referenciado en 83

[8] Ross Anderson and Nuel Belnap. Entailment: The Logic of Relevance andNecessity , ISBN 9780691071923. Princeton University Press, 1, 1990. Referen-ciado en 84

[9] Gerhard Lakemeyer. Tractable metareasoning in propositional logics of belief .En Proceedings of the 10th international joint conference on Artificialintelligence, 1, 402408 (1987). Referenciado en 84

[10] Ronald Fagin and Joseph Halpern. Belief, awareness and limited reasoning.Artificial Intelligence, ISSN 00043702, 34(1), 1987. Referenciado en 84

[11] Marco Schaerf and Marco Cadoli. Tractable reasoning via approximation .Artificial Intelligence, ISSN 00043702, 74(2), 249310 (1995). Referenciado en84

[12] Marcelo Finger and Renata Wassermann. Logics for approximate reasoning:Approximating classical logic from above . En Brazilian Symposium on Artifi-cial Intelligence, ISBN 3540001247, 2507, 2130 (2002). Referenciado en 84

[13] Guilherme Rabelloa and Marcelo Finger. Approximations of Modal Logics: Kand beyond . Annals of Pure and Applied Logic, ISSN 01680072, 152, 2008. Re-ferenciado en 84

[14] Kurt Konolige. A Deduction Model of belief (Research notes in artificialintelligence), ISBN 0934613087. Morgan Kaufmann Publishers Inc, SanFrancisco, CA, USA , 1986. Referenciado en 84

[15] Dov Gabbay and John Woods. Handbook of the History of Logic, 7,Logic and the Modalities in the Twentieth Century, ISBN 9780444516220. Else-vier, 2006. Referenciado en 84

[16] Manuel Sierra. Sistemas multimodales de profundidad restringida.Ingeniera y Ciencia, ISSN 17949165, 4(8), 175202 (2008). Referenciadoen 84, 85, 103, 104


http://www.iis.sinica.edu.tw/~kmsim/3publications/Epistemic_survey.pdfhttp://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-INT.htmlhttp://www.abebooks.com/9780416769500/Logics-Languages-Cresswell-M.J-0416769500/plphttp://isbndb.com/d/book/the_logic_of_inconsistency_a01.htmlhttp://www.aaai.org/Papers/AAAI/1984/AAAI84-038.pdfhttp://www.amazon.co.uk/AAAI-84-Proceedings-National-Conference-I-1984/dp/0865760802http://www.amazon.co.uk/AAAI-84-Proceedings-National-Conference-I-1984/dp/0865760802http://www.amazon.com/Entailment-Relevance-Alan-Ross-Anderson/dp/0691071926http://www.amazon.com/Entailment-Relevance-Alan-Ross-Anderson/dp/0691071926http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.99.1668&rep=rep1&type=pdfhttp://portal.acm.org/citation.cfm?id=1625015&picked=prox&preflayout=flathttp://portal.acm.org/citation.cfm?id=42944http://portal.acm.org/citation.cfm?id=J57&picked=prox&cfid=13344817&cftoken=12916933http://www.ingentaconnect.com/content/els/00043702/1995/00000074/00000002/art00009http://portal.acm.org/citation.cfm?id=J57&picked=prox&cfid=13344817&cftoken=12916933http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=14840638http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=14840638http://www.ime.usp.br/~mfinger/home/papers/RF08.pdfhttp://www.ime.usp.br/~mfinger/home/papers/RF08.pdfhttp://www.elsevier.com/wps/find/journaldescription.cws_home/505603/description#descriptionhttp://portal.acm.org/citation.cfm?id=536075http://portal.acm.org/citation.cfm?id=536075http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.agents/708226/description#descriptionhttp://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?iCve=83540808http://www.eafit.edu.co/ingciencia/default.aspx

Manuel SierraA.

[17] Walter Carnielli and Claudio Pizzi. Modalities and multimodalities , ISBN9781402085895. Springer, 2008. Referenciado en 89, 90, 98, 100, 103, 104

[18] Leon Henkin. The completeness of the first order functional calculus.The journal of symbolic logic, ISSN 00224812, 14(3), 159166 (1949). Re-ferenciado en 104

[19] David Kaplan. Review: Saul A. Kripke, Semantical Analysis of Modal Logic I.Normal Modal Propositional Calculi . The journal of symbolic logic, ISSN 00224812, 31(1), 120122 (1966). Referenciado en 104

[20] Brian F. Chellas.Modal logic: an introduction , ISBN 9780521295154.Cambrid-ge University Press, Cambridge, 1980. Referenciado en 112


http://ebookee.org/Modalities-and-Multimodalities_201419.htmlhttp://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jsl/1183730666http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jslhttp://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jsl/1183735326http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jsl/1183735326http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.jslhttp://www.amazon.com/Modal-Logic-Introduction-Brian-Chellas/dp/0521295157

PresentacinSistemas deductivosSemnticaInterpretacin cannicaValidezCompletitudConclusiones

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