Escalares y VectoresOperaciones con Vectores

Prof. Cynthia Samudio

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PANAMA

Magnitudes EscalaresSon aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

Masa Temperatura Presión Densidad

Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas. Así, por ejemplo, si decimos que un hombre tiene una temperatura de 38 ºC, sabemos perfectamente que tiene fiebre y si una chica mide 165 cm de altura y su masa es de 35 kg, está claro que es sumamente delgada.

Magnitudes Vectoriales

Son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

Fuerza, velocidad, desplazamientoSi nos dicen que un hombre corría a 20 km/h apenas sabemos algo más que al principio. Deberían informarnos también desde dónde corría y hacia qué lugar se dirigía.

VectorUn vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

OrigenTambién denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

MóduloEs la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

DirecciónViene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

SentidoSe indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Vector

Módulo

Suma de Vectores Dados dos vectores, estos pueden ser

sumados mediante una operación llamada suma de vectores.

Aunque recibe el mismo nombre que la suma de números, se trata de una operación distinta, ya que esta última adiciona números y produce como resultado números. La adición de vectores suma vectores y produce como resultado un vector.

Suma de Vectores-PropiedadesComo toda operación, la adición de vectores tiene unas propiedades que que nos facilitan su realización

Conmutativa. Asociativa. Existe elemento neutro. Existe elemento opuesto

Propiedad Conmutativa

Propiedad conmutativav + w = w + v

Propiedad Asociativa

Propiedad asociativa(v + w) + u = w + (v + u)

Elemento Neutro Existe elemento neutro, el vector 0 cuyo punto de

aplicación y punto final coinciden, por lo que su intensidad vale 0

v + 0 = v

Elemento Opuesto

Existe elemento opuesto (-v), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0

v + (-v) = 0

Métodos Gráficos para la Suma de Vectores

Suma de Vectores-Procedimiento Gráfico Para sumar dos vectores de manera gráfica

utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo,

Regla del Paralelogramo

Suma de Vectores-Métodos Polígono Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se

desean sumar dos o más vectores a la vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último

Método Poligonal

Métodos Analíticos para la Suma de Vectores

Como ya lo mencionamos anteriormente, el método poligonal también se puede utilizar cuando se tienen dos vectores, empleando leyes o funciones trigonométricas dependiendo de los ángulos del triángulo que se forma.

SUMA DE DOS VECTORES

SUMA DE DOS VECTORES

En la operación de suma de dos vectores empleando el método poligonal, se coloca un vector a continuación de otro como se observa en la animación. La resultante será la igual al vector que une el inicio del primer vector con el final del segundo vector.

Si al aplicar el método poligonal con dos vectores estos forman un triángulo oblicuángulo puede utilizar la ley del seno o del coseno para encontrar la resultante (módulo y dirección)

Métodos trigonométricoLey del Seno

Esta ley se aplica cuando tienes los valores de por lo menos un lado y todos los ángulos.

O de dos lados y uno de sus ángulos opuestos.

“En cualquier triángulo se verifica que las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos”

Ley del Coseno

(La Ley del Coseno)c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(C) b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cos(B) a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(A)

La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer. 

Ejemplo1 Suponga que camina 350 m a lo largo

de una avenida y luego gira 65º al norte del este y continúa caminando 280 m. ¿Cuál es el desplazamiento resultante?

Ejemplo 1

x

y

R

A

B

65º

Como primer paso, dibuje los vectores uno a continuación de otro. Recuerde que puede colocarlos en el orden que quiera, la resultante será la misma.

Ejemplo1

x

y

R

A

B

65º

Debe encontrar los ángulos del triángulo o por lo menos, el opuesto al lado que esta buscando.

115º

Para determinar que ley debe observar cuales son los elementos con valores.

En este caso se tiene el valor de los vectores A y B y el ángulo entre ellos, que es opuesto a la Resultante que estamos buscando.

Ejemplo 2 Un automóvil se ha desplazado una distancia

desconocida desde A hasta B. Sabemos que luego se desplazo 50 m hasta C, formando un ángulo de 15º con el vector del primer desplazamiento. Si el vector resultante de los dos vectores forma un ángulo de 20º con el primer desplazamiento. ¿A cuánto equivale el desplazamiento de A hasta B y la resultante?

Ejemplo2

x

y

20º

C

15º

B

A

Si al aplicar el método poligonal con dos vectores forman un triángulo rectángulo (con un ángulo de 90º) puede emplear las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para determinar la resultante.

Método Trigonométrico para la adición de vectores

Sen A= lado opuesto/hipotenusa

Cos A = lado adyacente/hipotenusa

Tan A= lado opuesto/lado adyacente

Métodos AnalíticosComponentes Rectangulares1-Dibuje todos los vectores a partir del origen en un sistema coordenado 2.-Descomponga todos los vectores en sus componentes "X" y "Y". 3.-Encuentre la componente "X" de la resultante sumando los

componentes "X" de todos los vectores.Rx= Ax+Bx+Cx+.....

4.-Encuentre la componente "Y" de la resultante sumando los componentes "Y" de los vectores.

                  Ry= Ay+By+Cy+...... 5.-Obtenga la magnitud y dirección de la resultante a partir de dos

vectores perpendiculares, aplicando el teorema de Pitágoras.                  

Suma de ComponentesEn la Figura se observa la coexistencia de los vectores A, B y C. El vector resultante se obtiene a través del Método de los Componentes; observe la manera en que se obtienen las proyecciones de cada vector: se descomponen rectangularmente, se halla la resultante en cada eje, se aplica el Teorema de Pitágoras y la función tangente

Para poder aplicar el método de componentes debemos primeramente repasar como descomponer un vector.

Descomposición de Vectores componentes rectangulares

Vectores Unitarios Para poder representar cada vector

en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario i o también denominado i.

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario j o también denominado j .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario k o también denominado k.

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Vectores Unitarios

^

^

^

Representación Vectores Unitarios

Representación de un Vector utilizando vectores unitarios

Un Vector A, puede ser reemplazado por su representación con vectores unitarios, donde Ax sería su componente en el eje x, Ay su componente en el eje y y finalmente, Az su representación en el eje z.

Por lo tanto,

A = Ax i + Ay j + Az k

Suma de Vectores Unitarios Se usan los símbolos i,j, y k para

representar los componentes en x, y y z respectivamente.

Los vectores puede escribirse así: V= Vxi+Vyj+Vzk Para sumar dos o más, se suman las

componentes en x, y y z. Por ejemplo R=(Ax +Bx)i+(Ay+By)j+(Az+Bz)k

Suma de Vectores Unitarios

Ejemplo 3Para los tres vectores de la figura:a) Encuentre las componentes rectangularesb) Exprese los vectores como vectores unitarios

25º

30º

46º

A = 10 N

A = 15 NC = 12 N

Ejemplo 4 Para el problema anterior encuentre la

suma de los vectores. a) Empleando el método de las

componentes rectangulares b) Sumando los vectores unitarios.

Vectores Unitarios Ejemplo Un auto recorre 20 km al norte y

después 35 km en una dirección 60º al oeste del norte. Determine la magnitud y dirección de la resultante del desplazamiento del auto.

Operaciones con vectores y escalares

Producto Punto ó Producto Escalar Definición Producto escalar de dos vectores

Dados un vector R y V, el producto punto o producto escalar se define como el producto de la magnitud de R, por la magnitud V y el coseno del ángulo entre ellos.

r = rxi + ryj + rzkv = vxi + vyj + vzk

r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

Producto Punto o Producto Escalar Teniendo en cuenta que el producto escalar de los

vectores :

i · i = 1; j· j = 1; k · k = 1

Y cualquier otro producto es igual a cero el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz

Productos escalares de vectores unitarios rectangulares

. i j k

i 1 0 0

j 0 1 0

k 0 0 1

Propiedades del Producto escalar El cos dará siempre entre 0 y 1 Si cos de a y b = 0 vectores

perpendiculares.

Producto Escalar

Aplicación Producto Punto Angulo entre dos vectores

Proyección de un vector sobre otro

Criterio de Perpendicularidad de dos vectores

u v   u.v=0 x1.x2+y1.y2+z1.z2=0

Ejemplo 5 Hallar el producto escalar de A con B, en

donde A = 4 i +7 j + 6 k y B= 3i + 4j + 2k. Determinar, además el ángulo entre A y B.

Ejemplo 6 Determine si el ángulo que relaciona a

los siguientes vectores es de 90º.C= 2i+3j-5k y F=7i-8j-2k

Producto Cruz

Regla de la Mano Derecha

Producto Cruz

ij

k+

Productos vectoriales de vectores unitarios rectangulares

X i j k

i 0 k -j

j -k 0 i

k j -i 0

Problemas Dado los vectores u = 3i + 2j, v = i - 4j,

w = -4i +2j, calcular: a) Módulo de cada uno de los vectores b) Módulo de la suma u + v + w c) Producto escalar u·v; u·w d) Producto vectorial uxv; wxv