Diapositiva 10. Rotacion de Cuerpo Rigidos
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Física I 1
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Física I
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Contenido
Desplazamiento, Velocidad y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional Cálculo de los momentos de inercia Ejemplos de momento de inercia Teorema de los ejes paralelos Momento de torsión Momento de torsión y aceleración angular Trabajo, potencia y energía
Desplazamiento, Velocidad y aceleración angular Cinemática rotacional Relaciones angulares y lineales Energía rotacional Cálculo de los momentos de inercia Ejemplos de momento de inercia Teorema de los ejes paralelos Momento de torsión Momento de torsión y aceleración angular Trabajo, potencia y energía
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Analizaremos el movimiento de rotación de muchos objetos que vemos a
diario, como el de discos compactos, una sierra circular, la tierra y un
ventilador.
Todos implican un cuerpo que gira sobre un eje fijo en algún marco de
referencia inercial.
Los cuerpos reales pueden ser más complicados, la fuerza que actúan sobre
ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos.
Por facilidad ignoraremos todos esto por el momento y supondremos que el
cuerpo tiene una forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables.
A un cuerpo que tiene estas condiciones (modelo idealizado) se conoce
como cuerpo rígido
Analizaremos el movimiento de rotación de muchos objetos que vemos a
diario, como el de discos compactos, una sierra circular, la tierra y un
ventilador.
Todos implican un cuerpo que gira sobre un eje fijo en algún marco de
referencia inercial.
Los cuerpos reales pueden ser más complicados, la fuerza que actúan sobre
ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos.
Por facilidad ignoraremos todos esto por el momento y supondremos que el
cuerpo tiene una forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables.
A un cuerpo que tiene estas condiciones (modelo idealizado) se conoce
como cuerpo rígido
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Desplazamiento angular
y
Rotación de un cuerpo rígido alrededorde un eje fijo que pasa por O.
El punto P se mueve a lo largo de uncírculo de radio r. El arco que describeesta dado por:
r
s
rs
(1)
P
r
O
x
r
s
rs
Donde θ se le conoce como coordenadade rotación y está medido en radianes.
4
La velocidad angular promedio sedefine como:
ttt if
if
Velocidad angular
(2)
La velocidad angularinstantánea es: dt
d
tt
0
lim
5
La unidad de la velocidad angular es: radian por segundo rad/s.
En cualquier instante, todas las partes del cuerpo rígido en rotacióntienen la misma velocidad angular.
(3)
La aceleración angular promedio sedefine como: ttt
12
12
La aceleración angular instantánea es:dt
d
tt
0
lim
Aceleración angular(4)
(5)
La unidad de aceleración angular es el radian por segundo * segundo(rad/s²)
Al rotar alrededor de un eje fijo, toda partícula sobre un cuerporígido tiene la misma velocidad angular y la misma aceleraciónangular.
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La unidad de aceleración angular es el radian por segundo * segundo(rad/s²)
Si la aceleración angular es positiva la velocidad angular aumenta.Si la aceleración angular es negativa, la velocidad angular disminuye
Cinemática rotacionalLas ecuaciones de cinemática se cumplen para movimientorotacional sustituyendo x por θ, v por ω, a por α. De esta forma si ω= ω0 y θ = θ0 en t0 = 0 se tiene:
ii
ii
i
tt
t
222
221
(6)
(7)
(8) ii
ii
i
tt
t
222
221
7
(8)
Relaciones angulares y linealesLa velocidad tangencial (de un punto) se relaciona con la velocidadangular (del cuerpo) de la siguiente manera:
dt
dr
dt
dr
dt
dsv
dt
dr
dt
dr
dt
dsv
8
(9)rv
La aceleración se puede representar en termino de la aceleracióntangencial y la aceleración centrípeta
dt
dr
dt
dr
dt
dva
tan
(10)ra tan
9
r
r
r
varad
22
rarad2 (11)
P
y
vP
y
at
ar
a
La velocidad v siempre estangente a la trayectoria
La aceleración lineal en unpunto es a = at +ar
P
r
O
x r
O
x
ar
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Ejemplo 1En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desdeun radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s.Calcule: a) la rapidez angular en las pistas interior y exterior. Eltiempo de reproducción es de 74 min y 38 s b) ¿Cuántasrevoluciones realiza el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es lalongitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleraciónangular durante todo el intervalo?
En un disco compacto el láser barre la superficie del disco desdeun radio de 23 mm a 58 mm a una velocidad lineal de 1.3 m/s.Calcule: a) la rapidez angular en las pistas interior y exterior. Eltiempo de reproducción es de 74 min y 38 s b) ¿Cuántasrevoluciones realiza el disco durante ese tiempo? c) ¿Cuál es lalongitud total de la pista del disco? d) ¿Cuál es la aceleraciónangular durante todo el intervalo?
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Ejemplo¿Que relación hay entre las velocidades angulares de las ruedasdentadas de una bicicleta y el numero de dientes de cada rueda?
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Energía rotacionalUn objeto rígido gira alrededor del eje z con velocidad angular ω.La energía cinética de la partícula es:
221
iii vmK
2221 iii rmK
Como ii rv
La energía total de rotación es la suma de todos los Ki:
2221
22212
21
iiR
iiiiiR
rmK
rmvmKK
13
2221 iii rmK
La energía total del objeto es:
2
2
1 IK
Donde I es el momento de inercia (inercia rotacional) definidocomo:
2iirmI (13)
(12)
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2iirmI
mi
ri
O
x
y
vi
EjemploConsidere una molécula de oxígeno que gira en el plano xy alrededor deleje z. el eje de rotación pasa por el centro de la molécula, perpendicular asu longitud. La masa de cada átomo de oxigeno es mO = 2.66 x 10-26 kg, y atemperatura ambiente la separación promedio entre los átomos es d = 1.21x 10-10 m. calcule: a) Calcule el momento de inercia de la moléculaalrededor del eje z. b) Si la rapidez angular de la molécula alrededor del ejez es 4.60 x 1012 rad/s ¿Cuál es la energía cinética rotacional?
Calcular I, KR
z
Considere una molécula de oxígeno que gira en el plano xy alrededor deleje z. el eje de rotación pasa por el centro de la molécula, perpendicular asu longitud. La masa de cada átomo de oxigeno es mO = 2.66 x 10-26 kg, y atemperatura ambiente la separación promedio entre los átomos es d = 1.21x 10-10 m. calcule: a) Calcule el momento de inercia de la moléculaalrededor del eje z. b) Si la rapidez angular de la molécula alrededor del ejez es 4.60 x 1012 rad/s ¿Cuál es la energía cinética rotacional?
Calcular I, KR
x
y
z
d
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EjemploCuatro pequeñas esferas se sujetan a los extremos de dos varillas de masadespreciable que se encuentran en el plano xy. Supondremos que los radios de lasesferas son pequeños en comparación con las dimensiones de las varillas. a) si elsistema gira alrededor del eje y con una rapidez angular ω, encontramos elmomento de inercia y la energía cinética rotacional alrededor de este eje. b)suponga que el sistema gira en el plano xy alrededor de un eje que pasa por O.calcule el momento de inercia y energía cinética rotacional alrededor de este eje.
Calcular Iy e Iz
Ma a
b
b
M
m
m
Cuatro pequeñas esferas se sujetan a los extremos de dos varillas de masadespreciable que se encuentran en el plano xy. Supondremos que los radios de lasesferas son pequeños en comparación con las dimensiones de las varillas. a) si elsistema gira alrededor del eje y con una rapidez angular ω, encontramos elmomento de inercia y la energía cinética rotacional alrededor de este eje. b)suponga que el sistema gira en el plano xy alrededor de un eje que pasa por O.calcule el momento de inercia y energía cinética rotacional alrededor de este eje.
Calcular Iy e Iz
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Cálculo de los momentos deinercia
El cálculo de momentos de inercia puede hacerse mediantela integral:
dmrmrI iimi
22
0lim (14)
Para un objeto tridimensional es conveniente utilizar ladensidad de volumen:
dV
dm
V
mV
0
lim
Entonces:
dVrI 218
ejemploAro uniforme: Determine el momento de inercia de un aro uniformede masa M y radio R en torno de un eje perpendicular al plano del aroy que pasa por su centro
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MRdmrdmrI 222
EjemploBarra rígida uniforme: calcule el momento de inercia de unabarra rígida uniforme de longitud L y de masa M alrededor de uneje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa por su centro demasa.
2
2
22
2
22
L
L
L
L
dxxL
Mdx
L
MxdmrI
20
2
2
22
2
22
L
L
L
L
dxxL
Mdx
L
MxdmrI
2
12
1MLI
Ejemplos de momento de inercia
Aro o cascaróncilíndrico
Cilindro huecoCilindro sólidoo disco
Barra delgada largacon eje de rotaciónque pasa por elextremo.
Aro o cascaróncilíndrico
Cilindro huecoCilindro sólidoo disco
Barra delgada largacon eje de rotaciónque pasa por elextremo.
Barra delgada largacon eje de rotaciónque pasa por elcentro.
Placa rectangular
Esfera huecaEsfera sólida
2MRICM 221 MRICM 2
22
121 RRMICM
22121 baMICM
2121 MLICM
231 MLI
252 MRICM 2
32 MRICM
21
Teorema de los ejes paralelos
22
El teorema de los ejes paralelos establece que el momento deinercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que seencuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masaes
I = ICM + MD2 (15)
Momento de torsiónCuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rígido que gira alrededor de uneje, el objeto tiende a girar en torno a ese eje. La tendencia de la fuerza ahacer girar se le llaman momento de torsión . El momento de torsiónasociado con la fuerza F es:
τ rF
Donde r es el brazo de momento (o brazo de palanca) de F.
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O
d1
d2
F1
F2
F3
La fuerza F1 tiende a hacer girar contra las manecillas del reloj y F2 a favor de lasmanecillas del reloj. El momento de torsión es:
τneto = τ1 + τ2 = F1d1 − F2d2
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Línea deacción
F cos φF sen φ
d
rφ
φ
O
F
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FrsenrF
(16)
Ejemplo
y
F1
221121 FRFR
R1
R2
x
z
F1
F2
Calcular momento de torsión neto
F1 = 5 N, R1 = 1 m, F2 = 15 N, R2
= 0.5 m
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Momento de torsión y aceleraciónangular
Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r, elmomento de torsión alrededor del centro del círculo es:
τ = Ftr = (mat)r = (mαr)r = mr2α
O bien:
τ = Iα
m
Ft
Fr
r
Una partícula de masa m gira alrededor de un círculo de radio r, elmomento de torsión alrededor del centro del círculo es:
τ = Ftr = (mat)r = (mαr)r = mr2α
O bien:
τ = Iα
El momento de torsión que actúasobre la partícula es proporcionala su aceleración angular.
Análogo rotacional de la segundaley de Newton
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(17)
y
Para un cuerpo rígido, el elemento dm tendrá una aceleraciónangular at. Entonces
dFt = (dm)at
El momento de torsión será:
dτ = rdFt = (r dm)at = (r2 dm)α
dmr
O
x
y
dFt
El momento de torsión total es laintegral de este diferencial:
I
dmrdmr
neto
neto
22
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Una varilla uniforme de longitud L y masa M, esta unida en unextremo a un pivote sin fricción y esta libre de rotar alrededor delpivote en el plano vertical. La varilla se suelta desde el reposo en laposición horizontal. Cual es la aceleración angular, y cual es laaceleración lineal de su extremo derecho
Ejemplo
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Una varilla uniforme de longitud L y masa M, esta unida en unextremo a un pivote sin fricción y esta libre de rotar alrededor delpivote en el plano vertical. La varilla se suelta desde el reposo en laposición horizontal. Cual es la aceleración angular, y cual es laaceleración lineal de su extremo derecho
L/2
El momento de torsión es:
τ = Fd = Mg(L/2)
La aceleración angular es
L
g
ML
MgL
I 23
3/12/2
L/2
Mgpivote La aceleración lineal del extremo es
a = Lα = 3/2 g
30
Una rueda de radio R, masa M y momento de inercia I, esta montadasobre un eje horizontal sin fricción. Una cuerda ligera enrolladaalrededor de la rueda, sostiene un cuerpo de masa m. calcule laaceleración angular de la rueda, la aceleración lineal del cuerpo, y latensión de la cuerda
Ejemplo
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Una rueda de radio R, masa M y momento de inercia I, esta montadasobre un eje horizontal sin fricción. Una cuerda ligera enrolladaalrededor de la rueda, sostiene un cuerpo de masa m. calcule laaceleración angular de la rueda, la aceleración lineal del cuerpo, y latensión de la cuerda
I
TR
I
MT R
La 2a ley de Newton
mR
IR
g
R
amR
Ig
a
I
mRmg
T
I
TRR
m
Tmga
maTmgFy
2
2
2
1
1
m
T
mR
IR
g
R
amR
Ig
a
I
mRmg
T
I
TRR
m
Tmga
maTmgFy
2
2
2
1
1
M = 2 kg, R = 30 cm, I = 9.90 kg m2, m = 0.5 kg
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Dos bloques que tienen masas m1 y m2 estánconectados entre si por una cuerda ligera que pasa sobredos poleas idénticas sin fricción, cada una de las cualestiene un momento de inercia I y radio R. encuentre laaceleración de cada bloque y las tensiones T1, T2 y T3 enla cuerda.
Máquina de AtwoodDos bloques que tienen masas m1 y m2 estánconectados entre si por una cuerda ligera que pasa sobredos poleas idénticas sin fricción, cada una de las cualestiene un momento de inercia I y radio R. encuentre laaceleración de cada bloque y las tensiones T1, T2 y T3 enla cuerda.
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m1 m2
T1
T2
T3
+
+
Segunda ley
m1g – T1 = m1a
T3 – m2g = m2a
Momento de torsión sobre las poleas
(T1 – T2) = Iα
(T2 – T3) = Iα
Resolviendo se obtiene para laaceleración
221
21
2R
Imm
gmma
+
m1 m2
T1 T3T2 T2
T1 T3m1g m2gmPg mPg
n1 n2
Segunda ley
m1g – T1 = m1a
T3 – m2g = m2a
Momento de torsión sobre las poleas
(T1 – T2) = Iα
(T2 – T3) = Iα
Resolviendo se obtiene para laaceleración
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Trabajo, potencia y energía
F
φ
El trabajo hecho por la fuerza F al girar el cuerpo rígido es:
dW = F · ds = (F sen φ) r dθ = τ dθ
La tasa a la cual se hacetrabajo es:
dt
d
dt
dWP
(18)
(19)
dsP
rdθ
O
Es fácil mostrar que:
202
1221
00
IIdIdW
El trabajo realizado por las fuerzas externas al hacer girarun objeto rígido simétrico alrededor de un eje fijo es igualal cambio en la energía rotacional del objeto.
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(20)
EjemploEi = U = MgL/2
L
g3
Ef = KR = I 2/2
36
Ejemplo
m2
∆K = Kf – Ki = (½m1vf2 + ½m2vf
2 + ½Iωf2 ) – 0
∆K + ∆U1 + ∆U2 = 0
∆U1 = m1gh
∆U2 = m2gh
R
2/1
221
122
R
Imm
ghmmv f
m1
m2
hh
∆K = Kf – Ki = (½m1vf2 + ½m2vf
2 + ½Iωf2 ) – 0
∆K + ∆U1 + ∆U2 = 0
∆U1 = m1gh
∆U2 = m2gh
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Rodamiento de un cuerpo rígidoConsidere un objeto que gira sobre una superficie sin resbalar.
Ra Ra’
θ
s
sa
Rdt
dR
dt
dsvCM
R
dt
dR
dt
dva CM
CM P’2vCM
La velocidad y aceleración delcentro de masa son:
(21)
(22)R
dt
dR
dt
dva CM
CM P’
Q Q’
P
vCM
CM
2vCM
La energía total del cilindro es:
Donde IP es el momento de inerciaalrededor del eje que pasa por P.Aplicando el teorema de ejes paralelos:
38
2
2
1 PIK (23)
22
2
1
2
1CMCM MvIK
Se puede concluir que:
La energía cinética total de un objeto sujeto a movimiento de rodamiento esla suma de la energía cinética rotacional alrededor del centro de masa y laenergía cinética traslacional del centro de masa.
Empleando el hecho que vCM = Rω:
222
1
221
2
21
CMCM
CMCM
CM
vMR
IK
MvR
vIK
222
1
221
2
21
CMCM
CMCM
CM
vMR
IK
MvR
vIK
Si un objeto se desliza sobre una pendiente de altura h, la velocidad conque llega al final de la pendiente es:
21
2
MRI
ghv
CMCM
M
h
R
ω
θ vCM
x
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Ejemplo:Se hace un yoyo burdo enrollando un cordel varias veces alrededorde un cilindro solido de masa M y radio R. se sostiene el extremo delcordel fijo mientras se suelta el cilindro desde el reposo. El cordel sedesenrolla sin resbalar ni estirarse al caer y girar el cilindro. Useconsideraciones de energía para calcular la rapidez vCM del centro demasa del cilindro solido después de caer una distancia h.
40
ghvCM 3
4
TareaCalcular velocidades de cuerpos que bajan por pendiente
Aro o cascarón cilíndrico
Cilindro sólido o discoEsfera hueca
Esfera sólida2MRICM
252 MRICM
Barra delgada larga con eje derotación que pasa por el centro.
221 MRICM
2121 MLICM
232 MRICM
21
2
MRI
ghv
CMCM
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Momento angular de una partículaEl momento angular instantáneo L de la partícula relativa al origen O esdefinido por medio del producto cruz del vector de posición instantáneo dela partícula y su momento lineal instantáneo p:
L r p
La magnitud de L es: L = mvr sen φ
(24)
L r p
rpm
O
φ
De la definición de momento de torsión, τ = rFsenφ, entérminos vectoriales:
dt
dprFrτ
τprp
rprpr
L
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
El momento de torsión que actúa sobre unapartícula es igual a la tasa de cambio en eltiempo del momento angular de la partícula.
42
(25)
(26)
Momento angular de un sistema departículas
El momento angular de un sistema de partículas es la sumavectorial de los momentos angulares de cada partícula:
L = L1 + L2 + ... + Ln = Li
Por lo tanto concluimos que:
El momento angular de un sistema de partículas es la sumavectorial de los momentos angulares de cada partícula:
L = L1 + L2 + ... + Ln = Li
Por lo tanto concluimos que:
dt
d
dt
d
dt
di
iext
LL
Lτ
La tasa de cambio en el tiempo del momento angular total delsistema alrededor de algún origen en un marco inercial es igualal momento de torsión externo neto que actúa sobre el sistemaen torno a ese origen.
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Rotación de un cuerpo rígidoalrededor de un eje fijo
z
La magnitud del momento angular de un elemento mi del cuerpo rígido es: Li
= miri2ω
La componente z del momento angular será la suma de estos elementos:
IrmrmL iiiiz22
L
r vimi
y
x
Derivando: extz I
dt
dI
dt
dL
El momento de torsión externo neto que actúasobre un objeto que gira alrededor de un ejefijo es igual al momento de inercia alrededordel eje de rotación multiplicado por laaceleración angular del objeto relativo a eseeje.
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EjemploUn padre de masa m1 y su hija de masam2 se sientan en extremos opuestos de unsube y baja a distancias iguales del pivotedel centro. El sube y baja de modela comouna barra rígida de masa M y longitud l yhace pivote sin fricción. En un momentodado, la combinación gira en un planovertical con una rapidez angular ω.a) encuentre una expresión para lamagnitud de la cantidad de movimientoangular del sistema b) encuentre unaexpresión para la magnitud de laaceleración angular del sistema cuando elsube y baja forma un ángulo θcon lahorizontal
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EjemploUn padre de masa m1 y su hija de masam2 se sientan en extremos opuestos de unsube y baja a distancias iguales del pivotedel centro. El sube y baja de modela comouna barra rígida de masa M y longitud l yhace pivote sin fricción. En un momentodado, la combinación gira en un planovertical con una rapidez angular ω.a) encuentre una expresión para lamagnitud de la cantidad de movimientoangular del sistema b) encuentre unaexpresión para la magnitud de laaceleración angular del sistema cuando elsube y baja forma un ángulo θcon lahorizontal
Conservación del momento angular
El momento angular total de un sistema es constante si el momento de torsiónexterno resultante que actúa sobre el sistema es cero.
Si0 dt
dxt
L 0 dt
dxt
L
Entonces L = constante o Iiωi = Ifωf
El momento de torsión resultante que actúa sobre un cuerpo alrededor deun eje que pasa por el centro de masa es igual a la tasa de cambio en eltiempo del momento angular independientemente del movimiento delcentro de masa.
46
