Departamento de Artes Plásticas

y Dibujo

DIBUJO TÉCNICO BACHILLERATO

TEMA 3. POLÍGONOS.

TEMA 3. POLÍGONOS.

1º

? Triánguloso Definición y notacioneso Clasificacióno Cuestiones generaleso Puntos y rectas notableso Construcciones

? Cuadriláteroso Definición y baseso Clasificacióno Construcciones

? Polígonos regulares e irregulareso Definición y baseso Clasificacióno Construccioneso Polígonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas. o Polígonos estrelladoso Redes modulares.

2º

- Triángulos: puntos y rectas notables. Casos especiales.

- Cuadriláteros inscriptible y circunscriptible.

- Polígonos regulares.

- Polígonos estrellados.

- Construcción de triángulos.

- Aplicación correcta de los puntos y rectas notables, así como las especiales, en los problemas planteados.

- Construcción de cuadriláteros.

- Análisis de las formas poligonales como base de diseño de objetos.

- División de la circunferencia y construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el radio.

- Construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el lado.

- Construcción de polígonos estrellados.

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Nota

2º BACHILLERATO

Polígono INSCRITOPolígono CIRCUNSCRITO

POLÍGONO IRREGULARPOLÍGONO REGULAR

diámetro(d)

ladovértice

ángulo interior

ánguloexterior

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO POLÍGONO EXTRELLADO

DIAGONALES de un polígono

radio -

apotem

a

radi

o

r = radio circunferencia circunscrita r = apotema del polígono

r = radio de la circunferencia incrita

Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.

La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.

Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.

Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.

Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores

y exteriores.

El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero,

pentágono, hexágono, etc.

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Nota

2º BACHILLERATO

L

L

d

CUADRADO

Área: L2

B

A

d

RECTÁNGULO

Área: AxB

PARALELOGRAMO

Área: AxB

dd

B

A

1

2

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

a

Área: b x a/2

c

b

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

h

Área: b x h

b

c = a + b 2 2

2

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

h

Área: b x h

b

2

h

TRAPECIO

Área: B+b x hd

d

b

h

1

2

B

2

TRAPEZOIDE

Área: (h + H)a +bh +cH

dd12

2

h

H

b a c

PENTÁGONO

r

R

L108º

HEXÁGONO

r

R

L

120º

60º

Área: perímetro x apotema (r)

2

AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS

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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

Equilátero

LADOS

Todos iguales

ÁNGULOS

Iguales. Son los tres de

60º

Dos iguales =lados

Una diferente =base

Dos iguales. Uno,

el opuesto a la

base, diferente.

Los tresdiferentes

Los tres diferentes.

Isósceles

Escaleno

SEGÚN SUS LADOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

Rectángulo

ÁNGULOS

Un ángulo recto.

Menores de 90º

Uno de los ángulosmayor de 90º

Obtusángulo

El lado mayor =hipotenusa.Dos lados menores =catetos.

Acutángulo

Ángulos agudos

Un ángulo obtuso

PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO

A B

C

c

a

B

b

BARICENTRO.

Las medianas son lasrectas que van deel punto medio de unlado hasta el vérticeopuesto.

MEDIANAS.

mc

Se cumple queCB = 2 cB

a=b=ca b

cA B

C

a b

ca=b=c

a=b=ca

b

c

A

B

C

A

ABC < 90º

A > 90º

A A=90º

A B

C

c

b

ORTOCENTROALTURAS

O

hc

hc = ALTURAS

A

C

c

ba

CIRCUNCENTRO

Las mediatrices de suslados.El circuncentro es elcentro de la circunferenciacircunscrita.

MEDIATRICES.

C

mc

A B

C

c

ba

INCENTRO

Bisectrices de losángulos del triángulo.Es el centro de lacircunferenciainscrita.

BISECTRICES.

I

bc

TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO

Resultado de unir los pies de las medianas(baricentro)

OTRAS PROPIEDADES- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos). - La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circun-centro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.

En un triángulo el vértice y el ladoopuesto se nombran con la mismaletra, en mayúsculas y minúsculasrespectivamente.

A B

C

c

a b

La altura de un triángulo (h)es la recta perpendicular aun lado hasta elvértice opuesto.

hh

Resultado de unir los pies de las alturas(ortocentro)

TRIÁNGULO ÓRTICO

MN

QTRIÁNGULO PODAR

Resultado de unir los pies de las perpen-diculares desde un punto cualquiera P

P

Las mediatrices ylas alturas se pueden cortarfuera del triángulo,por lo que el circuncentroy el ortocentro puedenestar fuera también.

O

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NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Cuadrado

LADOS

Igualesparalelos dos a dos

ÁNGULOS

Iguales. Son todos rectos.

DIAGONALES

Iguales. PerpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rectángulo Son Iguales los ladosparalelos.

Iguales. Son todos rectos.

Iguales. No perpendicularesSe cortan en elpunto medio.

Rombo Los cuatro iguales.Paralelos dos a dos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,perpendiculares yse cortan en unpunto medio.

Romboide Son iguales los ladosparalelos.

Iguales los opuestos. No son rectos.

Distintas,No perpendicularesSe cortan en unpunto medio.

TrapecioIsósceles

Son iguales Los que se apoyanen la misma baseson iguales.

Son iguales. No secortan en el puntomedio.

TrapecioEscaleno

Son distintos Son todos distintosNo son rectos

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

TrapecioRectángulo

Son distintosUn lado es perpendi-cular a las bases

Tienen dos ángulos rectos.

Son distintos.No se cortan enun punto medio.

Trapecios

Base Menor

Base Mayor

Lado

Diagonales

Los trapecios tienensiempre dos lados paralelos: son las bases.

Los trapezoides no tienen ningún lado paralelo

Es el único tipo de trapecios que esinscriptible en unacircunferencia.

LadoTrapezoide

PA

RA

LE

LO

GR

AM

OS

TR

AP

EC

IO

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Curso

NotaESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS

2º BACHILLERATO

POLÍGONOS

CLASIFICACIÓN.

DECENAS

kai

UNIDAD

gono

POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS POLÍGONO LADOS

NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.

triángulo cuadrado pentágono hexágono

heptágono octágono eneágono decágono

triángulo

cuadrado

pentágono

hexágono

heptágono

octágono

eneágono

decágono

Endecágono

Dodecágono

Tridecágono

Tetradecágono

Pentadecágono

Hexadecágono

Heptadecágono

Octadecágono

Eneadecágono

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

Triacon tágono

Tetracon tágono

Pen tacon tágono

Hexacon tágono

Hep tacon tágono

O ctacon tágono

Eneacon tágono

Hectágono

Chiliágono

Miriágono

M egágono

20

30

40

50

60

70

80

90

100

.000

10 .000

.000 .0001

1

Triacon t

Icoságono o Isodecágono

20:Icosa-

30:Triaconta-

40:Tetraconta-

50:Pentaconta-

60:Hexaconta-

70:Heptaconta-

80:Octaconta-

90:Eneaconta-

1:hená

2:dí

3:trí

4:tetrá

5:pentá

6:hexá

7:heptá

8:octá

9:eneá

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

1

Fecha

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

1.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES cuya base es AB= 30 mm. y el ángulo opuesto C = 30º

3.- Construir el triángulo ABC, siendo el ángulo de A = 60º, el ángulo de C = 45º y el lado a = 60 mm.

1

2.- Construir un triángulo con los siguientes datos:lado AB = 40 mm., ángulo C = 45º y altura h = 37 mm.

Fecha

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Curso

NotaTRIÁNGULOS

2º BACHILLERATO

A B

C

30º

3.- Construir el triángulo ABC, siendo el ángulo de A = 60º, el ángulo de C = 45º y el lado a = 60 mm.

A´

B´

CA

B

45º60º

a

a

A

BC

Construcción por semejanza Construcción por arco capáz

60º

60º

45º

o

o

1

A

B

C 30º

Por arco capaz.

Por semejanza.

A B

C

h

45º

o

1.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES cuya base es AB= 30 mm. y el ángulo opuesto C = 30º

2.- Construir un triángulo con los siguientes datos:lado AB = 40 mm., ángulo C = 45º y altura h = 37 mm.

4.- Hallar el triángulo sabiendo que: el ángulo de B = 60º, el ángulo de C = 75º y la mediana que pasa por el vérticeA mide 4 cm.

6.- Dibuje un triángulo a escala 1:500 sabiendo que dos de sus lados miden 20 y 15 metros respectivamente, yel tercero es media proporcional de dichos lados.

Fecha

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS2

5.- Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el lado a mide 55 mm., el ángulo A=45º y la mediana de a (ma)= 6 cm.

60º 75º

B´ C´

A

B C

ma´

ma=

4

b)1metro=1000 mm. 1000:500 =10:5 =2 1metro real = 2 mm dibujoa = 20 metros = 40 mm b =15 metros = 30 mm.

0 1m 2m

Razonamiento de la escala. Dos opciones:

a)1metro=100 cms. 100:500 =1:5

ABC

a

Media proporcional de los lados a y b:

b

c

a

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS2

ccb

= c2

= a bx c = a bx

a

bc

A

B

C

B C

A

45º

45º

ma=

6

a

o

Resultado:

a

bc

A

BC

4.- Hallar el triángulo sabiendo que: el ángulo de B = 60º, el ángulo de C = 75º y la mediana que pasa por el vérticeA mide 4 cm.

5.- Dibujar el triángulo ABC sabiendo que el lado a mide 55 mm., el ángulo A=45º y la mediana de a (ma)= 6 cm.

6.- Dibuje un triángulo a escala 1:500 sabiendo que dos de sus lados miden 20 y 15 metros respectivamente, yel tercero es media proporcional de dichos lados.

7.- Construya un triángulo conocido el valor de dos de sus ángulos: A = 60º y B = 45º El valor del radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.

Fecha

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS3

8.- Dibuje un triángulo con los siguientes datos: la altura sobre la hipotenusa mide 40 mm. y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa mide 32 mm. Dibuje e indique el ortocentro, baricentro, circuncentro y el incentro.

7.- Construya un triángulo conocido el valor de dos de sus ángulos: A = 60º y B = 45º El valor del radio de la circunferencia circunscrita r = 30 mm.

Fecha

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS3

60º B´

C´

A´45º

º

A B

C

Por homotecia: Semejanza

8.- Dibuje un triángulo con los siguientes datos: la altura sobre la hipotenusa mide 40 mm. y la proyección de un cateto sobre la hipotenusa mide 32 mm. Dibuje e indique el ortocentro, baricentro, circuncentro y el incentro.

B

Cortocentro - alturasincentro - bisectricesbaricentro - medianascircuncentro - mediatrices

A

B

C

A

Primer paso

Segundo paso

h

b

Proyección de b:32 mm

M

Segmento AB dividido en:AM = proyección de b y MB diferenciaentre AB y AM.Arco capaz de 90º del segmento AB

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Curso

NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

Departamento deDibujo

2º BACH

B H C

1.- Dibuje el triángulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociéndose la hipotenusa BC y el punto H por el que la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC.

Ejercicio Selectividad UA, junio 2010.

Fecha

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Título de lámina

Curso

NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

Departamento deDibujo

2º BACH

B H C

1.- Dibuje el triángulo rectángulo ABC, siendo A el vértice del ángulo recto, conociéndose la hipotenusa BC y el punto H por el que la bisectriz del ángulo recto corta al lado BC.

Ejercicio Selectividad UA, junio 2010.

45º

ARCO CAPAZ DE 90º ARCO CAPAZ DE 45º

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NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

Departamento deDibujo

2º BACH

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NotaPROBLEMAS DE TRIÁNGULOS

Departamento deDibujo

2º BACH

a

b c

B60º

a

b+c

60º

C

mediatriz

AB

A´B´

CB

A

a=50 mm

bc

30º

hc 40 mm

hc 40 mm

A

MN perímetro 150

M NC/2

C/2

B/2

B/2

B C

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

TRIÁNGULOS

A

A

haha

ma

ma

aB C

a+cB

b a

b-c

a

h

b

CB

60º

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Fecha

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Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

bl=20

A

B

C

D

A

B

C

D

bl

A

B

C

D

B

A D

C

l1

l2

h

B

A D

CBase m

Base M

d h

Base m

Base M

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Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados: Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

ATENCIÓN: Este ejercicio ha cambiado con respecto al original, al estar repetido en la siguiente y faltar el ejercicioahora mostrado.

Construir un trapecio conocida la base mayor, la altura y las dos diagonales

base mayor = 70 mm altura = 50 mm

diagonal 1 = 80 mm diagonal 2 = 60 mm

Construir un trapezoide conocidos tres lados y dos ángulos.

Lado 1 = 70 mm Lado 2 = 40 mm Lado 3 = 50 mm

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados: Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm. L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Base mayor

Base menor

AB

D C

MBase menor

Base mayor - Base menor

L2L1 L2

ATENCIÓN: Este ejercicio ha cambiado con respecto al original, al estar repetido en la siguiente y faltar el ejercicioahora mostrado.

Construir un trapecio conocida la base mayor, la altura y las dos diagonales

base mayor = 70 mm altura = 50 mm

diagonal 1 = 80 mm diagonal 2 = 60 mm

diagonal 2

diagonal 1

base mayor = 70 mm

altura

A

B C

D

Construir un trapezoide conocidos tres lados y dos ángulos.

Lado 1 = 70 mm Lado 2 = 40 mm Lado 3 = 50 mm

Lado 1

Lado 2 Lado 3

AD

C

B

b´

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.

b

d

d´

C CD

DB

B

A B

Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos queforman las diagonales con la base menor.

O

Fecha

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

b´

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.

b

d

d´

C CD

DB

B

A B

Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo subase mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ellaun ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos queforman las diagonales con la base menor.

O

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

A B

b´b

d

d´d

d

d´

b´

A

Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.

b

d

d´

C CD

DB

B

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

A B

b´b

d

d´d

d

d´

Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadriláteros, en concreto trapecios,vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos danlas dos bases y las dos diagonales.

a

s

P X

R Z

Q Y

t

b

c

Teorema: Si tres o más paralelas intersectan en segmentos congruentes a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en segmentos congruentes.

Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos o másrectas también paralelas, los segmentos resultantes serániguales.

Base m

AB

DC

M NBase m

Base m

AB

DC

Base m

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Base mayor

Base menor

AB

D C

MBase menor

Base mayor - Base menor

L2L1 L2

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS

Construye un trapecio isósceles dedatos: Base mayor = 45 mm.base menor = 30 mm y altura h = 25 mm.

Construye un trapecio rectángulo de Base mayor AB = 40 mm, base menor DC= 30 mm y altura = 25 mm.

Dibujar un trapecio rectángulo dados loscuatro lados:Base mayor = 75 mmBase menor = 25 mmlado 1= 24 mmlado 2 = 29 mm

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Dibuja un trapezoide de lados:L1 AB = 50 mm, L2 AD = 48 mm, L3 BC = 38 mm, L4 CD = 45 mm y una diagonal d1BD = 37 mm

Fecha

Nº de lámina

Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

Nota

2º BACHILLERATO

CUADRILÁTEROS2

Construye un trapecio isósceles dedatos: Base mayor = 45 mm.base menor = 30 mm y altura h = 25 mm.

B

CD

A

h

Construye un trapecio rectángulo de Base mayor AB = 40 mm, base menor DC= 30 mm y altura = 25 mm.

h

90º

Dibujar un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor = 75 mmBase menor = 25 mmlado 1= 24 mmlado 2 = 29 mm

Base menor

Base menor

Base mayor

A B

D C

M N

MN = CD AM = AB - CD Realizar un triángulocon los dos lados l1 y l2 = AD y BC

A B

D C

Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.

Base mayor

Base menor

Dibuja un trapezoide de lados:L1 AB = 50 mm, L2 AD = 48 mm, L3 BC = 38 mm, L4 CD = 45 mm y una diagonal d1BD = 37 mm

A

B

C

D

Tomando la diagonal BD como basese realizan los triángulos BAD y BCDcon las medidas de los respectivoslados.

d1

Base mayor

Base menor

AB

DC

M

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Curso

NotaCUADRILATEROS

2º BACHILLERATO

1.- Dibuja un paralelogramo romboide conociendo sus diagonales y el ángulo que las forman.d1 = 64 mm.d2 = 27 mm.ángulo = 135º.

1

2.- Trazar un paralelogramo del que se conocensus diagonales AC = 68 mm. y BD = 50 mm.y el ángulo de A = 45º

3.- Dibuja un rombo de lado 40 mm, y la suma de sus diagonales 100 mm.

Fecha

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaCUADRILATEROS

2º BACHILLERATO

1.- Dibuja un paralelogramo romboide conociendo sus diagonales y el ángulo que las forman.d1 = 64 mm.d2 = 27 mm.ángulo = 135º.

135º

1

d1/2

d2/2

135º

B

C

D

Ad1

d2

2.- Trazar un paralelogramo del que se conocensus diagonales AC = 68 mm. y BD = 50 mm.y el ángulo de A = 45º

d1

d2

A

B

C

D

45º

º

3.- Dibuja un rombo de lado 40 mm, y la suma de sus diagonales 100 mm.

B

A C

D

Lado 40 mm.

M

MC = 100 mmmediatriz de MCbisectrices de los 4 ángulosLado 40 mm de C hasta quecorte a las bisectrices.

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Nombre de Alumno

Título de lámina

Curso

NotaPOLÍGONOS.

Departamento deArtes Plásticas