DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA PARA PROGRAMAR CLASES EN EDUCACIÓN PRIMARIA

Pablo Flores Martínez

Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de Granada.

En esta conferencia he querido describir un aporte que puede hacer la Didáctica d ela Matemática a la actuación en el aula, centrándome en la programación de la enseñanza. Para ello me he centrado en un contenido matemático que tiene mucha tradición en la educación obligatoria, las fracciones. ¿Cómo puede ayudar la Didáctica de la Matemática al maestro que tiene que enseñar las fracciones en su aula? La conferencia que desarrollo pretende responder a esta cuestión, empleando algunos elementos que han surgido en Didáctica de la Matemática, y su concreción en las fracciones. Cuando el maestro, especialmente el principiante, se enfrenta a la enseñanza de las fracciones comienza por acordarse de su historia discente, cuando él era alumno, y realizaba esos inmensos castillos de fracciones.

856

453)258(

29723567

352300

2764

)8(5

(

)3(276

2864

183)

32

313(

)2874

712

426(

433

72

+−

−

−÷−

−

−•−÷+

•−+÷

Si este maestro valora estos castillos, probablemente los enfatizará en su enseñanza. Si,

por el contrario, no logró manejarlos con soltura, les parecerán un castillo con dragón lanzallamas. Y es que las fracciones no dejan a nadie indiferente. Para muchos alumnos, como Sally, en la viñeta de Shultz de la figura 1, las fracciones pueden ser las causantes de su matefobia. El maestro se enfrenta pues a una dificultad profesional cuando tiene que programar la enseñanza de las fracciones de manera que no se limite a construir castillos en el aire, y teniendo como

finalidad el educar matemáticamente a sus alumnos de primaria. La Didáctica de la Matemática le puede ayudar a los maestros a tomar decisiones fundamentadas para seleccionar y secuenciar los contenidos, para diseñar las tareas de enseñanza y para organizar la enseñanza de las fracciones en relación a la finalidad educativa que tiene que asumir profesionalmente. En esta conferencia quiero mostrar que la Didáctica de la Matemática tiene una funcionalidad práctica, para ayudar en la programación de clases, empleando para ello

Figura 1: Shultz

los organizadores curriculares (Rico, 1997a y b), que se basan en analizar los factores que influyen en las decisiones que toma el maestro cuando programa (qué son las fracciones, qué utilidad social tienen, qué obstáculos, y qué recursos didácticos pueden emplearse). Tras presentar los organizadores curriculares como instrumentos de la Didáctica de la Matemática, los ejemplificaré en las fracciones. Posteriormente daré algunas sugerencias para llevar a cabo la programación, mostrando algunos ejemplos de tareas para la enseñanza de las fracciones. Por último cerraré con unas conclusiones. 1. Didáctica de la Matemática para programar: Los organizadores curriculares Los educadores matemáticos tienen una tarea específica, que va más allá de la transmisión de unos conocimientos establecidos. Para ello tiene que buscar elementos que ayuden a ejercerla de manera racional, disponiendo de criterios que le permitan seleccionar los libros de texto más idóneos para trabajar la fracción en su clase, para diseñar actividades adecuadas para que sus alumnos superen los obstáculos referidos a las fracciones. En una sociedad como la actual, en la que domina la especialización, las demandas anteriores se reducen a plantear la necesidad de que el educador matemático adquiera profesionalidad en su tarea social, y para ayudarlo en esa función está la Didáctica de la Matemática. Recordemos que Didáctica de la Matemática, tal como se considera en nuestro ámbito es el “área de conocimiento que explica y sirve de fundamento a la comunicación y adquisición de los contenidos matemáticos” (Díaz Godino, 1991). Para estas funciones, los educadores matemáticos tienen que llevar a cabo estudios sistemáticos, bien fundamentados y con disposición a compartirlos con otros educadores, hasta lograr el consenso sobre esta utilidad. Por tanto su responsabilidad corresponde a todos los que leven a cabo este estudio sistemático, son estos investigadores, profesores o formadores de profesores. En este área y analizando el currículo como campo de actuación del educador matemático, Luis Rico ha establecido 4 dimensiones respecto a las que se pueden llevar a cabo varios niveles de reflexión, según la posición que se adopte en la toma de decisiones relacionadas con el mismo. Las dimensiones son: Cultural conceptual, Cognitiva o de desarrollo, Ética o formativa y Social. Rico sitúa estas dimensiones en los vértices de tetraedros, con lo que posibilita la representación de las interacciones entre todas ellas. El tetraedro de cada nivel de reflexión es el dual del de nivel anterior, con lo que sitúa cada dimensión en el centro de la interacción entre tres de las anteriores. Las dimensiones provocan cuestiones diferentes según el nivel de toma de decisiones que se adopte. En la tabla 1 se recogen las referidas a dos de los niveles, el de la planificación del aula, y el del sistema educativo. Tabla 1: Análisis del Currículo (Rico, 1997a). Dimensión Niveles

Cultural conceptual

Cognitiva o de desarrollo

Ética o formativa

Social

Planificación de aula

Contenido Objetivos Metodología Evaluación

Sistema educativo

Conocimientos Alumnos Profesor Escuela

En el nivel de planificación de aula, cada dimensión genera unas cuestiones que se pueden agrupar dando lugar a los organizadores curriculares, que Rico (1987) los define como “aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas”. Referidos a las fracciones, los organizadores que tiene que examinar el maestro para programar la enseñanza son los siguientes: 1) Evolución histórica de las fracciones 2) Fenómenos relacionados con las fracciones (Fenomenología) 3) Obstáculos y dificultades del aprendizaje de las fracciones 4) Formas de representar y modelos usuales para trabajar con las fracciones 5) Materiales y recursos para la enseñanza de las fracciones Tal como puede apreciarse, los dos primeros están influidos por la dimensión conceptual del currículo, los dos siguientes por la cognitiva, y la última por la ética y social. Para mostrar con mas claridad el interés de estos organizadores para programar la enseñanza describiré algunos aspectos de ellos sobre las fracciones. Evolución histórica de las fracciones En primer lugar conviene estudiar el concepto matemático implicado: ¿Qué son las

fracciones? La primera idea que conviene resaltar es que los conceptos matemáticos no han sido siempre lo que son en la actualidad, sino que han evolucionado a través de la historia de las matemáticas. Por tanto para analizar el concepto conviene a estudiar el origen de las fracciones, desde sus primeras apariciones (precursores), las primeras utilizaciones generalizadas como herramientas, el comienzo de su consideración como objetos matemáticos y los procesos de formalización. Los vestigios descubiertos nos hacen ver que en la antigua civilización en Babilonia se comienzan a emplear las fracciones como herramientas para dividir, ya que se identifica la división con la multiplicación por el inverso. Así en Egipto se extiende el empleo de las fracciones unitarias con fines operatorios. En la figura 2, de Carlavilla y Fernández (2003), podemos ver una recreación de un cálculo egipcio con fracciones.

Efectivamente la multiplicación egipcia, que se basa en la duplicación y partición a mitades, permite hacer divisiones exactas por medio de las fracciones (Kline, 1992). La multiplicación de 25 × 13 los egipcios la realizan situando los dos números en columnas

Figura 2. Carlavilla y Fernández

paralelas, una de las cuales se obtiene por duplicación y la otra por partición a mitad, y se suman los números de la columna de duplicaciones que corresponden a mitades impares, tal como aparece en la tabla 2 siguiente. Igualmente se puede aplicar este algoritmo para realizar divisiones, tal como señala en la tabla 3, en la que se ha tratado de realizar la división 19 entre 8, buscando qué número multiplicado por 8 da 19, para lo que necesitamos recurrir a las fracciones. Tabla 2: 13×25 Tabla 3: 19:8

Observemos que emplear divisiones de la unidad en mitades es una operación cómoda cuando realizamos una medida, ya que si queremos medir una longitud con una unidad flexible, por ejemplo de papel, podemos ver cuántas veces cabe la unidad, y, si queda algún trozo, doblar el papel por la mitad y ver si cabe, luego con la cuarta parte (mitad de mitad), etc. En resumen, podemos decir que los precursores del empleo de las fracciones emplean las unitarias (de denominador uno), como herramientas para dividir, en problemas de reparto, generalmente relativos a la agrimensura.

También los pitagóricos emplearon las fracciones, aunque extienden su funcionalidad desde la medida hasta otros campos, en concreto a la armonía musical. El Tetracys, es decir, los cuatro primeros números, se constituyen para los Pitagóricos (Kline, 1992) en la base del universo, y, observan que las fracciones menores que la unidad, que se pueden obtener con ellos, son exactamente las que dan lugar a los sonidos armónicos, cuando se conjugan bien en peso (de los martillos que golpean un objeto metálico), o en longitud (de las cuerdas que se hacen vibrar). De nuevo Carlaville y Fernández en la figura 3 nos muestran una recreación gráfica interesante sobre este hecho.

La matemática árabe facilita el manejo de las fracciones, al proponer un sistema de representación más operatorio, basado en su notación posicional. Los algebristas italianos del renacimiento comienzan su sistematización, que alcanza un momento clave con las aportaciones de Stevin, en el siglo XVI, con su organización de la expresión decimal de un número fraccionario. Por último destaquemos la utilización que Descartes realiza de las fracciones al expresar la división de longitudes, además de aportar la notación actual.

:2 ×2 1/8 1 13 25 25 ¼ 2 6 50 100 ½ 4 3 100 200 1 8 1 200 325

2 16

Como 19 = 16+2+1

19:8 = 2+1/4+1/8

Figura 3. Carlavilla y Fernández

Por último la formalización se puede ubicar en el siglo XIX, con el desarrollo de la teoría de números de Dirichlet y la formalización de la aritmética de Peano. Posteriormente, estas formalizaciones permitirán la construcción de Q a partir de los pares de enteros, lo que se generaliza a la creación paralela del cuerpo de fracciones de polinomios. De esta formalización surge la visión actual de la fracción que la concibe como un objeto matemático, un número, el racional, que está constituido por dos números, y que responde a una acción de partición. Conceptualmente, el número racional amplia al número entero con la posibilidad de resolver todas las ecuaciones de la forma ax+b=c, y con ello todos los problemas reducibles a estas ecuaciones. Este hecho acarrea formalmente la construcción del cuerpo de fracciones en un anillo, pero también la posibilidad de realizar la división y con ello la ruptura de la matemática discreta, para generar un conjunto denso. La densidad es una característica de muchas de las magnitudes, por lo que los números racionales permiten encarar la medida de magnitudes, con todo lo que esto aporta a la ciencia, la técnica y la práctica social. Los estudios de Piaget en su epistemología didáctica realzan que la fracción tiene un doble papel, como acción (partir, fraccionar, para realizar acciones diversas), y una representación perceptiva, que expresa una relación, una medida, etc. (Grupo APMA, 1985). Fenomenología. Tras analizar el contenido matemático que se va a enseñar, en este caso las fracciones, que han quedado caracterizadas por medio de su estudio histórico, conviene preguntarse por la utilidad del concepto, el papel que desempeñan en la sociedad. Rico (1997) llama fenomenología de un concepto al conjunto de fenómenos para cuya comprensión se utiliza ese concepto. En nuestro caso, para responder al empleo social de las fracciones debemos analizar los fenómenos en los que están implicadas las fracciones, así como el significado que adquieren en ellos. El análisis del APMA (1987) resume en el cuadro siguiente la utilidad de las fracciones. Como varios autores han proclamado, las fracciones intervienen en pocos problemas cotidianos, y en ellos aparecen una cantidad pequeña de ellas, especialmente ½, 1/5, 1/8 y 1/10.

Las viñetas gráficas provenientes de autores no matemáticos nos muestran algunas de las apariciones de las fracciones (Flores, 2003). Así Jim Davis, en la viñeta de la figura 4 nos muestra que las fracciones se emplea en situaciones de reparto, apareciendo en esta ocasión como el resultado de una división, que a su vez expresa la relación que existe entre una parte y un todo. En la viñeta de Bud Blake el alumno rechaza las fracciones en la enseñanza, pero las utiliza para expresar una probabilidad, con lo que la fracción adquiere un significado de razón (Figura 5).

Cuadro 1: Utilización de fracciones: APMA (1984)

Podemos resumir, a partir de los análisis de Llinares y Sánchez (1988), señalando que las fracciones aparecen en muchas ocasiones como la relación entre una parte y un todo que actúa como unidad de referencia (a medio camino). En otros casos aparecen como una división sin realizar (le toca a cada uno un tercio), o el resultado de una medida (cuarto y mitad). También puede ser un operador (le corresponden los dos tercios del total). Pero el sentido que más se aproxima al de número racional es el de la fracción razón, entendida como relación parte a parte, o como proporción. El número racional está, pues, en la base del razonamiento proporcional. Ligados a estos sentidos de uso de las fracciones, aparecen las equivalencias y las operaciones entre números racionales. La suma y resta se deducen fácilmente a partir de la suma y resta de números naturales, especialmente cuando se refieren a la misma unidad, pero la multiplicación y división obedecen a otros criterios y sentidos diferentes de las operaciones en N. En general, la multiplicación exige la actuación como operador de una fracción sobre el resultado obtenido por la otra, mientras que la división se refiere a la comparación entre partes, más que al reparto. Como se observa, los números racionales tienen su propia significación, que no siempre coincide con la de los números enteros y naturales, por lo que el profesor debe conocer estas características. Representaciones y modelos. El educador matemático tiene que ser consciente de que los conceptos matemáticos son entes abstractos, y que el trabajo con ellos se hace utilizando representaciones de los mismos. Pero no nos engañemos, la representación no es el concepto. Los números racionales se expresan de dos formas diferentes, en forma de fracción, y con notación decimal. La escritura en forma de fracción tiene su origen en las relaciones entre la aritmética y la geometría. El uso particular de fracciones decimales y su

Figura 4: Jim Davis

Figura 5: Bud Blake

utilización para la medida de magnitudes, como el tiempo, da lugar a la notación decimal. El estudio de los conceptos tiene que hacerse mediante representaciones. Tal como indican Llinares y Sánchez (1988), las fracciones pueden representarse de manera geométrica, discreta, numérica y literal. Las representaciones geométricas se realizan en un contexto continuo y las más frecuentes son los diagramas circulares, rectangulares y la recta numérica. En las representaciones discretas la unidad está formada por un conjunto discreto de objetos. Las representaciones numéricas encuentran distintas formas de utilizar los números para indicar una relación parte-todo: representación como división indicada (3/5), representación como razón (3:5), representación decimal (0.6), representación de porcentajes (60%). En las representaciones literales podemos distinguir distintas formas: tres quintos, tres de cinco y proporción de tres a cinco. En la figura 6 aparece un naipe de una baraja de fracciones de Moisés Coriat (1989) en la que se expresan de forma sintética tres formas de representación de las fracciones: con cifras, con palabras y mediante magnitudes.

En las viñetas de Gelluck (2002) de la figura 7 podemos observar diversas formas de contemplar el término literal “medio”, una de las representaciones de una fracción, que se concibe de diversas formas para provocar el humor. Para trabajar con las fracciones se recurre a sus representaciones, que actúan como metáforas del concepto. Estas metáforas nos permiten realizar operaciones con ellas, constituyéndose pues en modelos de las fracciones. Los más usuales en el trabajo con números y operaciones podemos destacar los siguientes: lineales, utilizan la recta numérica como modelo de representación numérica; métricos, emplean longitudes, superficies, balanzas para el estudio de conceptos numéricos; geométricos, que utilizan figuras geométricas para representar partes de la unidad; funcionales, aunque no son los modelos habituales actualmente se emplean para operaciones con racionales pero no con decimales, excepto algunos casos de porcentajes.

Figura 6: Naipe de Fracciones, Coriat (1989)

Figura 7: Gelluck (2002)

Obstáculos y dificultades El maestro que encara la programación de la enseñanza de las fracciones tiene que partir de la forma en que los alumnos van a reaccionar ante este concepto. Los investigadores en Didáctica de la Matemática han examinado obstáculos y dificultades que suelen encontrar los alumnos en su aprendizaje. Llinares y Sánchez, en el texto de la colección Matemáticas, Cultura y Aprendizaje, editado por Síntesis (1988), nos recuerdan algunos de estos obstáculos. De ellos hay que destacar los que surgen al relacionar distintas interpretaciones de la fracción. La identificación de la fracción con una cantidad es un obstáculo para interpretar y manejar la fracción como razón, y para el número racional. La noción de equivalencia de fracciones es origen de errores debidos al manejo simultáneo de diversos sentidos de fracción y de equivalencia, y otras veces por los problemas originados ante la transitividad del signo igual. La introducción demasiado pronta del cálculo algorítmico provoca confusiones en su manejo. Estos equívocos también se pueden producir por la similitud entre las notaciones de los números naturales y las fracciones. En este sentido se puede considerar que las operaciones aprendidas con los números naturales pueden generar obstáculos para las operaciones con racionales ya que, por ejemplo, la multiplicación no significa siempre un aumento de la cantidad. En la figura 8, de Urdezo y Goscini, Obelix de manera interesada hace

una partición, no un

fraccionamiento, al hacer una división que no es igualitaria, aunque si sea exhaustiva.

Materiales y recursos ¿Qué herramientas existen para enseñar las fracciones? ¿Cómo se emplean? ¿Qué se aprende con ellas?. Estas son algunas de las cuestiones profesionales que interesan al maestro que está programando su intervención en el aula para enseñar las fracciones. Un recorrido por las Jornadas de Profesores, sus revistas profesionales y los establecimientos especializados pueden servirle para darse cuenta que hay una gran cantidad de materiales y recursos destinados a la enseñanza de las fracciones. Dentro de ellos podrá observar que algunos tienen como función el hacer que los alumnos manipulen modelos de fracciones para comprender el concepto de fracción, mientras que otros están destinados a afianzar el manejo de algoritmos y mecanismos de cálculo. Con intención de que los alumnos comprendan el concepto de fracción, puede utilizar materiales y recursos relacionados con la enseñanza de los números, como los marcadores, los ábacos, etc. También se pueden emplear otros materiales generales, como el Tangram y la calculadora. La calculadora potencia las relaciones entre fracciones, decimales y porcentajes. Otros recursos específicos para la comprensión son: el círculo de fracciones, el libro de fracciones, las tabletas y puzzles troquelados de fracciones, entre los cuales destacamos el diagrama de Freudenthal (figura 9), en el que podemos establecer equivalencias de fracciones, desigualdades, ordenación, operaciones

Figura 8: Urdezo y Goscini

(cuántas veces está contenido un octavo en un medio, cual es la mitad de un cuarto, etc.). Al trazar rectas verticales obtenemos fracciones equivalentes, o comparamos tamaños de fracciones, lo que permite ordenar y obtener desigualdades. Para ejercitarse con los cálculos y la relación entre formas de representación de las fracciones puede emplearse el dominó de fracciones, la baraja de fracciones y cualquier objeto que se preste a la partición y estudio de las relaciones entre las partes. Con estos instrumentos los alumnos pueden jugar con la representación fraccionaria de la misma forma que lo harían con cartas y dominós tradicionales (encontrar parejas, “la escoba” o barrer las cartas de la mesa sumando la unidad, etc.), pero obligándose a identificar diversas formas de representar las fracciones, o efectuando las operaciones que aparecen en el juego. Hay que destacar la importancia de los instrumentos de medida en la enseñanza de los racionales: reglas graduadas, escalas, vasos graduados, jeringuillas, calibradores, cartulinas, papel cuadriculado, balanzas y pesas, etc.

2. Programación de la enseñanza de fracciones en Educación Primaria Programar clases consiste en tomar decisiones sobre qué se va a enseñar, cómo se va a hacer y con qué intenciones. Cada contenido que se selecciona tiene que obedecer a una intención educativa. El maestro que opta por seleccionar castillos de fracciones tiene la intención de introducir a sus alumnos en una disciplina operatoria, valiosa en todo caso para desarrollar la capacidad de razonamiento abstracto, pero ajena a las necesidades inmediatas del niño. Por ello no cabe decir que programar es seleccionar en un cierto orden los elementos del currículo: objetivos, contenidos y tareas. Se trata de organizar todo esto en un sistema en que estén articuladas las tres dimensiones. Por ello proponemos para programar el esquema del cuadro 2, en el que el orden de elaboración propuesto trata de acercarse más a la situación de los maestros noveles, quienes suelen partir de qué tengo que enseñar (contenidos), antes de decidir el resto. La intención del cuadro es resaltar que cada componente debe examinarse de manera extensa, abriendo a diversas posibilidades, creando un catálogo de contenidos y tareas, antes de pasar al proceso de selección y secuenciación, que deberá establecerse cuando se examinen las finalidades pretendidas con el conjunto de la clase, y las cualidades didácticas de cada tarea para cada contenido. Supuesto que comenzamos por analizar los contenidos, sería conveniente examinar lo que aportan los documentos oficiales, para ceñirse a las obligaciones profesionales. Pero además conviene revisar fuentes profesionales de iguales, como los libros de texto, que nos suministran formas de seleccionar y organizar los contenidos. Una vez se han hecho estas consultas habrá que organizar los contenidos estableciendo relaciones entre ellos, para tener presentes las dependencias funcionales y conceptuales. Una forma gráfica de

Figura 9: Diagrama de Freudenthal.

poner de evidencia estas relaciones son los mapas conceptuales y los esquemas gráficos. Llinares y Sánchez (1988) nos suministran un esquema para las fracciones que puede ejemplificar el que debería llevar a cabo cada maestro (cuadro 3).

Una vez organizados los contenidos, podemos pasar a seleccionar los que vamos a incorporar a cada curso y en cada período de clase. Podemos entonces buscar tareas de enseñanza, para lo cual haremos uso de las fuentes profesionales habituales: libros de texto, libros de profesor, artículos de revistas de profesores, y libros de divulgación de Didáctica de la Matemática. Con ellos podemos extraer algunas consideraciones, como las que nos suministran en el artículo del APMA (1984), en el que realzan la importancia de que los alumnos comiencen su aprendizaje manipulando materiales (Alcalá, 1986) y transmitiendo a sus compañeros de manera oral sus logros, con lo cual

Cuadro 2: Esquema de tareas para programar

Cuadro 3: Esquema de contenidos para las fracciones. Llinares y Sánchez (1988)

estarán ejercitándose en emplear las fracciones en procesos de acción y representación, pasando de acciones a diagramas, nombres y símbolos (Llinares y Sánchez, 1988). Los estándares curriculares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2003) nos sugieren que el foco de atención en las edades de educación primaria sean las fracciones familiares, sin ánimo de generalizar de manera precipitada. Dada la fenomenología de las fracciones, ligada a la medición, Obando (2003) nos sugiere que realicemos mediciones de cantidades continuas, como la longitud, por medio de unidades reales, en papel, por ejemplo, que permiten su fraccionamiento por doblez. El contenido de las fracciones es tan universal en la educación matemática obligatoria que ha sido ampliamente tratado en la literatura de profesores como en la de investigadores (ver Giménez 1991, Gairín 1998, etc.). En estos trabajos se nos hacen numerosas recomendaciones sobre tareas para la enseñanza de las fracciones, y se examina el efecto conseguido con algunas de ellas. Entre las tareas que nos han parecido interesantes destacamos las relacionadas con materiales manipuativos, como las que derivan del empleo del TANGRAM, en el que Obando (2003) propone que las cuestiones que le planteemos a los alumnos permitan la relación directa e inversa entre la fracción y la unidad, de manera que quede claro siempre la unidad de referencia, especialmente cuando se trabaja la fracción como relación parte-todo (cuadro 4).

Cuadro 4: Tarea para la enseñanza de la fracción parte-todo (Obando, 2003)

- El área del triángulo G, ¿Cuánto es del área de A?

- El área de A ¿Cuántas veces contiene al área de G?

- El área de C ¿Cuánto es del área de G?, - ¿Cuántas veces está el área de C en G?

Las viñetas gráficas nos suministran contextos en los que se emplean las fracciones, lo que nos permite analizar su significado. En la tarea del cuadro 5 (Flores, 2004), partimos de una viñeta en la que se pretende contar empleando fracciones. Cuadro 5: Tarea para enseñanza de fracciones, la fracción para contar

- Encontrar el número siguiente en la serie que está utilizando Chiripa

- Determinar cuántos números tendrá que decir Chiripa antes de llegar a 3.

- Suponiendo que emplea un segundo en decir cada número, determinar el tiempo que tardarán en atacar

- Estudiar qué cualidades tienen los números naturales que les hacen especialmente aptos para contar. Analizar qué pasaría si contásemos con fracciones.

A C

B E D C G

Gateño (1959) nos anima a emplear los números en color para la enseñanza de la aritmética, en general, y de las fracciones en particular. La comparación de regletas de colores nos permite establecer expresiones de cada una de ellas en función de las otras. En la figura 10 se han puesto varias regletas que permiten estudiar la porción de cada

una que es la otra regleta. Algunas otras consideraciones interesantes son que propongamos tareas en que se explicite la unidad y se lleve a cabo la reconstrucción de la unidad (Llinares y Sánchez, 1988, Obando, 2003), para lo cual se sugiere que se utilicen las fracciones unitarias, tal como hacían los egipcios, manejando la relación directa y su inversa, ya que si X = n.Y, podemos extraer Y = (1/n) .

X; la fracción m/n aparecerá entonces como m veces la fracción 1/n. Los diversos autores recomiendan introducir la fracción como la relación que existe entre la parte y el todo, o como el resultado de una división. Para trabajar estas fracciones conviene emplear diversidad de modelos y representaciones, ya que la comprensión de la fracción consistirá en la capacitación para relacionar entre si las diversas formas de representación. La NCTM (2003) nos recomienda que se utilicen en clase las calculadoras escolares en las que aparece la notación fraccionaria, con lo que se estará abordando la dimensión de cálculo que encierra la fracción en una herramienta que debe ser familiar a los alumnos. 3. Conclusiones En esta conferencia he tratado de mostrar como la Didáctica de las Matemáticas permite al profesor mejorar la programación de su actuación en el aula para enseñar fracciones. Empleando los organizadores curriculares (Rico, 1997b), he tratado de mostrar algunos elementos cuyo descubrimiento y análisis permitirá que el maestro comprenda con mayor profundidad lo que es la fracción y los procesos de enseñanza y aprendizaje de las fracciones. Pero además le suministran herramientas para llevar a cabo la programación de sus clases, siempre tratando de que su intención sea educar matemáticamente a los alumnos, es decir adquirir los valores que subyacen a las matemáticas (Bishop, 1994). No basta con enseñar matemáticas, también debemos educarles acerca de las matemáticas, mediante las matemáticas y con las matemáticas. Para lograr estos fines, el educador matemático tiene que tener conciencia de su tarea y sus competencias, y para su adquisición la Didáctica de la Matemática puede colaborar explícitamente. Los organizadores curriculares pueden aportarle puntos de referencia que, una vez descritos para cada contenido matemático, le permitirán tener un repertorio de conocimientos gracias a los que podrá llevar a cabo una tarea en el aula más acorde con los fines, seleccionando con mayor racionalidad, en función de las circunstancias en que se mueva. Los textos específicos le ayudarán a desarrollar estos organizadores. En esta conferencia hemos hablado de algunos. El artículo del grupo del APMA (1984) realizó un estudio amplio del concepto de fracción, haciendo algunas consideraciones metodológicas importantes que han tenido repercusión en publicaciones posteriores. Su mayor cualidad es haber reunido un grupo de profesores de diferentes niveles educativos para producir una serie de consideraciones que llegan a hacer propuestas concretas para la enseñanza de las fracciones que han tenido repercusión en la enseñanza posterior.

Figura 10: Números en color

El texto de Manolo Alcalá (1986) reúne las observaciones de un profesor de Primaria, con amplia experiencia, una gran capacidad creativa, sobre las aportaciones de la Teoría de Freinet a la enseñanza de las fracciones. Salvador Llinares y María Victoria Sánchez (1988) llevaron a cabo un amplio y sistemático análisis de la investigación existente sobre la enseñanza de las fracciones, divulgando estas investigaciones hasta constituirse en referente obligado de todos los estudios posteriores. Más aun cuando los autores se atreven a hacer recomendaciones de enseñanza, en línea con los mejores manuales para profesores de la colección que la Editorial Síntesis dedicó a Matemáticas, Cultura y Aprendizaje. Por último los Estándares Curriculares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM 2003) es un trabajo de actualización de los estándares profesionales publicados en el año 1991, en el que se ha ampliado el proceso de consulta a todos los interesados, hasta concretarse en un manual de referencia obligado para los educadores matemáticos de todo el mundo. En esta ocasión, la edición del 2000 se ve reforzada por la presencia de un CD con propuestas de clase, así como presentaciones de vídeos de actuación en clase de los profesores, que también aparece en la edición española. Todos estos aportes nos permiten afrontar la enseñanza de las fracciones de una manera más profesional, como educadores matemáticos, evitando caer en propuestas ingenuas, repetitivas de las que hemos sufrido en nuestra vida de estudiantes, en las que hemos pasado quizás demasiado tiempo buscando un Mínimo común Denominador, que, tal como aparece en la viñeta de la figura 11 ya estaban buscando en tiempos de nuestros tatarabuelos, y que, como dice Bob Thaves (figura 12) puede que en un futuro sea inútil por que algún departamento de marketing encuentre uno aun menor.

Bibliografía: Alcalá, M. (1986). Fracciones. Granada, MCEP. Bishop, A. (1994). Mathematical Enculturation. A cultural perspective on Mathematics Education. Dodrecht: Kluwer, Academic Publishers.. Carlavilla, J.L. y Fernández, G. (2003). Historia de las matemáticas. Granada, Proyecto sur. Coriat, M. (1989). Baraja de Fracciones. SUMA 3, 69-72. Díaz Godino, J. (1991). Hacía una teoría de la Didáctica de la Matemática. En Gutiérrez, A. (Ed.) Área de conocimiento Didáctica de la Matemática. Madrid, Síntesis. Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días. Madrid, Alianza Universidad. Flores, P. (2003). Humor gráfico en el aula de matemáticas. Granada, Arial.

Figura 11: NCTM Figura 12: Bob Thaves

Flores, P. (2004). Chistes para contar. Comunicación presentada en Jornadas Andaluzas de Educación Matemática, Huelva abril 2004. Gairín, J.M. (1998). Sistemas de representación de números racionales positivos. Un estudio con maestros en formación. Tesis doctoral. Universidad de Zaragoza. Gateño, E. (1959). Aritmética con números en color. Madrid, Cuisenaire de España. Gelluck (2002). El Gato. Madrid, Castelman. Giménez, J. (1991). Innovación metodológica de la didáctica especial del número racional positivo. Diagnosis cognitiva y desarrollo metodológico. Tesis doctoral. Universidad Autónoma de Barcelona. Grupo del APMA (1984). Estudio metodológico del número fraccionario en 6º de EGB. Épsilon 3, 3-24. Llinares, S. Y Sánchez, M.V. (1988). Fracciones. Madrid, Síntesis. NCTM (2003). Principios y Estándares para la educación matemática. Granada, SAEM THALES. Obando, G. (2003). La enseñanza de los números racionales a partir de la relación parte – todo. EMA Vol. 8, nº 2, 157-182. Rico, L. (1997a). Bases teóricas del currículo de matemáticas en Educación Secundaria. Madrid, Síntesis. Rico, L. (1997b). La Educación Matemática en la Enseñanza Secundaria. Barcelona, Horsori.