Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.

FISICA PARA INGENIEROSNOTAS DE CLASE SOBRE

OSCILACIONES ONDAS Y ÓPTICAADAPTADAS A LA REFORMA ACADÉMICA DE LA UN DEL 2008

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA, MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS, ESCUELA DE FÍSICA

2011

Notas sobre Física de Oscilaciones Ondas y Óptica

Diego Aristizábal R. - Roberto Restrepo A.

19 de marzo de 2012

ÍNDICE GENERAL

Índice general I

Lista de Figuras II

Lista de Tablas II

II ONDAS MECANICAS 3

7 CINEMATICA 57.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57.2. Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo . . . . . . . . . . . . . 87.3. Cinemática de la onda armónica viajera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8 DINAMICA 178.1. La ley de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2. Ecuación diferencial de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218.3. Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4. Ejemplos de Ondas Mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 ENERGIA 439.1. Densidad de energía en ondas mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439.2. Energía en ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

10 ONDAS ESTACIONARIAS 5110.1. Reflexión de ondas en las fronteras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5110.2. Principio de Superposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.3. Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5210.4. Obtención de ondas estacionarias por resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.5. Ondas estacionarias en tubos sonoros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.6. Análisis de las ondas estacionarias en otros sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.7. Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y de las ondas estacionarias . . . . . . . 6410.8. Energía en ondas estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

I

11 SONIDO 6711.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2. Cualidades del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.3. Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

LISTA DE FIGURAS

7.1. Modelo de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.2. El espectro electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77.3. Modelo de onda transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4. Onda transversal en una cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.5. Onda armónica: representación en x y t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107.6. Onda armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.7. Cinemática de las ondas viajeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

8.1. Barra sometida a esfuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.2. Fuerzas de tracción en los trozos de la barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198.3. Gráfica de Esfuerzo vs Deformación unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.4. Deformación longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228.5. Deformación transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.6. Pulso viajero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.7. Pulso armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.8. Elemento de cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278.9. Diagrama de fuerzas de un elemento de cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.10. Resorte (A) longitud original (B) estirado y en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.11. Resorte en diferentes estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308.12. Onda propagándode en el slinky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.13. Deformación longitudinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.14. Deformación transversal en barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.15. Deformación en fluídos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

9.1. Elemento de cuerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.2. Potencia transmitida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

10.1. Cuerda atada en los extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2. Perfiles de algunos armónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5710.3. Cuerda y resorte vibrando en resoanacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.4. Tubo sonoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

LISTA DE TABLAS

10.1. Diferencia entre Ondas Viajeras y Estacionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11.1. Intensidad y Nivel de Intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7011.2. Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

II

PRÓLOGO

Estas notas de clase no pretenden reemplazar los excelentes textos de física que se encuentran en el mer-cado. Los autores sólo pretenden facilitar la toma de notas de los estudiantes en las clases magistrales quela Escuela de Física imparte a los estudiantes de ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia en susede Medellín: aquí ni se detallan los cálculos ni se hacen profundas disertaciones sobre la fenomenología;estas son actividades a desarrollar en la clase presencial.

Los autores quieren señalar que como consecuencia de la reforma académica realizada en el 2008 en laUniversidad Nacional de Colombia, no hay exigencia de la Física de Electricidad y Magnetismo como pre-rrequisito de este curso por lo que los temas se ordenaron de tal forma que un estudiante con ese vacío deconocimiento pudiera comprender la mayor parte del tema sin mayores inconvenientes; es por esto quealgunos temas podrían parecer extraños en su ubicación; además la óptica física se realiza sin recurrir a lanaturaleza electromagnética de la luz (aunque en su debido momento se hacen las respectivas aclaracionespara evitar confusiones en los estudiantes): la naturaleza electromagnética de la luz y su comportamientocuántico se tratan en la última parte del curso.

Las notas de clase contienen numerosos links a simulaciones y videos que facilitan la comprensión delos contenidos, y en su mayoría son propiedad intelectual de los autores y con copyright para la UniversidadNacional de Colombia. Para acceder a ellos es necesario abrir el documento .pdf correspondiente a esta obray estar en línea en la Internet.

Los Autores

1

Parte II

ONDAS MECANICAS

3

CA

PÍ

TU

LO

7CINEMATICA

El modelo ondulatorio ocupa un lugar fundamen-tal en la estructura conceptual de la física. Este per-mite explicar diferentes fenómenos tales como: lospulsos en cuerdas, el sonido, los fenómenos lumi-nosos, las emisiones de una antena de radio, las on-das de materia, entre otros. La mayoría de las per-sonas ha tenido experiencia con las ondas, por ejem-plo al arrojar una piedra en un tanque de agua se for-man ondas; un corcho flotando en el agua se moveráhacia arriba y hacia abajo pero que no se traslada enla dirección que se observa se trasladan las ondas,como círculos que se abren desde el centro dondecayó la piedra. Estas ondas acuáticas constituyen unejemplo de una amplia variedad de fenómenos físi-

cos que presentan características análogas a las ondas. El mundo está lleno de ondas: ondas sonoras, ondasque se propagan en una cuerda de una guitarra, ondas sísmicas que pueden transformarse en terremotos,ondas de choque que se producen cuando por ejemplo un avión supera la velocidad del sonido, es como unestampido y otras ondas más particulares porque no son tan fácilmente captadas con los sentidos o no estan sencillo interpretar su origen; son las ondas electromagnéticas: entre estas están la luz visible, las ondasde radio, las señales de TV, los rayos X.

7.1 Fundamentos

En el caso de una partícula oscilante un agente externo le cede energía sacándola de la posición deequilibrio estable, y al quedar bajo la acción de una fuerza recuperadora hace continuamente cambios entresu energía cinética y su energía potencial.

En esta lección se considerará un medio material continuo a través del cual se propaga una perturbación.Este puede ser considerado como un conjunto de elementos materiales diferenciales ("partículas") conec-tados a través de fuerzas internas electromagnéticas (fuerzas moleculares). Un modelo de un sistema asípodría ser un conjunto de "partículas" acopladas con resortes. Estos últimos hacen el papel de las fuerzasmoleculares. En principio cada una de las "partículas" se encuentra en su propia posición de equilibrio es-

table, si no hay fuerza neta actuando sobre ellas (∑−→

F = 0, para cada "partícula"). Si una de ellas (un elemen-to diferencial del medio continuo) se pone a oscilar mediante una fuerza externa, las "partículas" contiguasreciben de ésta "idéntica orden" (por estar "comunicadas" o acopladas por medio de fuerzas moleculares).

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Figura 7.1: Modelo de onda

Obviamente las partículas contiguas comienzan a oscilar con algún desfase con respecto a la "partícula" que"ordena" o que ha sufrido la acción de la fuerza externa, ya que el mensaje se demora un intervalo de tiempoen viajar de una a otra. A su vez estas "partículas" contiguas envían el mensaje a sus próximas vecinas y asísucesivamente todo el "sistema de partículas" (el medio continuo) entra a oscilar. En este modo de propa-gación cada "partícula" solo vibra alrededor de su posición de equilibrio mas no sufre un desplazamientoneto (cuando dejen de oscilar quedan nuevamente en su posición de equilibrio). Sin embargo se propagaenergía de un oscilador a otro: en definitiva hay propagación de energía y no de materia. A este modo depropagación se le denomina movimiento ondulatorio (onda).

En la figura 7.1 se ilustra un conjunto partículas acopladas mediante débiles resortes. Un agente exter-no (mano) mantiene la primera partícula en oscilación. La vibración de ésta se comunica a las siguientesa través de los resortes. Las partículas no se mueven en conjunto según la dirección en que se propaga el"mensaje". Ellas solo oscilan alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se concluye que la energía que sum-inistra el agente externo al sistema se propaga a través de éste sin desplazamiento neto de la materia. En unmovimiento ondulatorio hay vibración de partículas (en el caso de ondas mecánicas) y hay propagación deenergía.

Simulación 7.1 Modelo de onda longitudinal

Clasificación de las ondas Las ondas se clasifican según el medio de propagación, según la forma de vi-bración y según la forma geométrica del frente de onda.

Según el medio de Propagación En este caso se clasifican en mecánicas y electromagnéticas. Las primerasse propagan por medio de las vibraciones del material (medio continuo). Las segundas se propagan pormedio de las vibraciones de los campos eléctrico y magnético.

Las ondas mecánicas necesitan de un medio material para poderse propagar. La energía se propagaproduciendo la vibración de la materia, aprovechando la elasticidad de esta. En ella se propaga energíamecánica (cinética y potencial) . Un medio material continuo es un medio elástico y una deformación en élproduce tensiones elásticas que afectan a las regiones contiguas y también en ellas provoca perturbaciones.Como consecuencia de la inercia del medio material, esta perturbación viaja con una velocidad finita tantomás lenta cuanto mayor es la densidad del medio. Por otra parte, la velocidad de propagación es tanto mayorcuanto más grande es la tensión que produce una determinada deformación, es decir cuanto mayor sea elmódulo de elasticidad del medio. Son ejemplos de este tipo de ondas: las ondas en una cuerda, la vibración

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Figura 7.2: El espectro electromagnético

de un edificio, las ondas en el agua, las ondas sísmicas, las ondas en un resorte, y un ejemplo por excelenciason las ondas sonoras (el sonido). El sonido corresponde a variaciones locales de la presión que viaja de unlugar a otro por lo que no se puede propagar en el vacío.

Las ondas electromagnéticas en cambio no necesitan de un medio material para propagarse (puedenpropagarse en el vacío). En estas la vibración de los campos eléctrico y magnético permite su propagacióndebido a los fenómenios de inducción: la conversión instantánea de energía eléctrica en magnética y vicev-ersa debido a la inducción mutua entre ambos campos, da como resultado la propagación de la energíaelectromagnética. La velocidad con que se propaga la onda electromagnética dependerá de las propiedadeseléctricas y magnéticas del medio. Son ejemplos , las ondas de radio y televisión, las microondas, los rayosx , y, por supuesto, la luz o radiación visible. La luz es vibración de campos eléctricos y magnéticos por loque se puede propagar en el vacío. En la figura 7.2 se ilustra el denominado espectro electromagnético (elconjunto de ondas electromagnéticas conocidas hasta ahora y calsificadas con base en su frecuencia).

Según la forma de vibración En este caso se clasifican en transversales y longitudinales. En las ondastransversales la dirección de vibración de las partículas o de los campos, es perpendicular a la direcciónde propagación de la energía, figura 7.3 y simulación 1.2. Un ejemplo se ilustra en la siguiente simulación.Otros ejemplos de estas ondas son: las ondas en el agua , las ondas transversales en una cuerda y todas lasondas electromagnéticas.

Simulación 7.2 Modelo de onda transversal .

En las ondas longitudinales la dirección de vibración de las partículas es la misma dirección de la propa-gación de la energía, figura 7.1 y simulación 1.1. Las ondas sonoras pertenecen a este grupo.

Una cuestión interesante es que las ondas transversales no se pueden propagar al inetrior de los fluidosya que éstos no soportan fuerzas de cizalladura o tangenciales (los fluidos son medios continuos que se car-acterizan por no tener "algún grado" de rigidez y por tanto no pueden transmitir ondas elásticas transver-

7

Figura 7.3: Modelo de onda transversal

sales sólo longitudinales). En esta afirmación no se tienen en cuenta las ondas que se pueden propagar através de la superficie de los líquidos, como es el caso de las ondas que se observan cuando se deja caer unapiedra en un lago cuya superficie inicialmente se encuentra en reposo; estas se deben a la elasticidad de lasuperficie de los líquidos (tensión superficial), pero no a la elasticidad de líquido en su forma volumétrica.

Según su forma geométrica Los casos más importantes son las de forma plana, circular, cilíndrica,esférica. Por ejemplo cuando las ondas son generadas por fuentes puntuales, son de forma esférica en elcaso tridimensional y circulares en el caso bidimensional. Estas a su vez se van aplanando cuando estánlejos de la fuente. Las ondas luminosas emitidas por el Sol son fundamentalmente esféricas y cuando llegana nuestro planeta se pueden considerar aproximadamente planas.

7.2 Una discusión: el modelo de partícula vs el modelo de medio continuo

Partícula Por definición partícula es un punto material. La partícula no tiene dimensiones espaciales(largo, ancho y alto) pero posee masa. Por tanto, cuando a un cuerpo se le aplica el modelo de partícula,para el análisis de su comportamiento físico "pierde" sus dimensiones espaciales.

Medio Continuo Todos los cuerpos están compuestos de moléculas que se encuentran en movimientoconstante. Sin embargo, en la mayor parte de las aplicaciones de ingeniería, interesa más conocer el com-portamiento global o promedio (es decir, macroscópico) de las numerosas moléculas que forman el cuerpo.Cuando no se está interesado en el comportamiento de las moléculas individuales se puede considerar quelos cuerpos (en estado de agregación sólido, líquido o gaseoso) están compuestos de una sustancia infinita-mente divisible, es decir, que son continuos. Este es el concepto de medio continuo.

Una de las consecuencias de la hipótesis del continuo es que cada una de las propiedades de los cuerpostienen un valor definido en cada punto del espacio. De esta manera propiedades como la densidad, temper-atura, velocidad, etc., pueden considerarse como funciones continuas de la posición y del tiempo. En estasnotas de clase los medios continuos se considerarán homogéneos e isotrópicos.

¿Cada porción del medio de propagación de una onda, de longitud d x y sección transversal de área A, sepodrá considerar como una partícula? Cuando la onda viaja a través de medio material, cada elementodiferencial d x de éste se deforma en una cantidad igual a d y . La variable y representa la separación delcentroide de la cara izquierda (considerando la dirección positiva de x hacia la derecha) de este elementodiferencial respecto a su posición de equilibrio que está ubicada en x, y recibe el nombre de elongación. Para

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Figura 7.4: Onda transversal en una cuerda

efectos cinemáticos el elemento diferencial se puede considerar como un "punto material" (partícula que sedenominará oscilador) ubicado en el centroide del elemento y en este caso la elongación y será la posición deesta partícula (oscilador) respecto a su posición de equilibrio que está ubicada en x. Así se considerará parael análisis de la cinemática. Sin embargo esta última idea se abandonará para hacer el análisis energéticodel movimiento ondulatorio, ya que en este caso lleva a grandes errores esta interpretación.

Resumiendo En el análisis cinemático se considerará que el medio continuo a través del cual se propaga laonda se comporta como una colección de partículas oscilantes acopladas mediante interacciones eléctricas(en cierta forma, es abandonar el modelo de medio continuo). Es decir, si la onda es armónica, se analizarácomo una colección de osciladores armónicos. La elongación será la correspondiente a cada uno de ellos.

7.3 Cinemática de la onda armónica viajera

Vibración y propagación Para poder describir el movimiento ondulatorio unidimensional, se requierede tres variables: dos independientes, x y t , y una dependiente, y . Por ejemplo, para describir las ondastransversales en una cuerda, figura 7.4, se necesita la variable y que corresponde a la elongación de cadaoscilador (elemento diferencial d x, con masa dm) la cual variará con el tiempo t ; pero además es necesariodar la posición x de los osciladores sobre la cuerda. Por tanto la elongación es función tanto del tiempo comode la posición, es decir, y = y (x, t ) . En el movimiento ondulatorio se dan simultáneamente un movimientode propagación (no de las partículas, si no de la energía que transmite la onda) a velocidad constante V y unmovimiento oscilatorio con velocidad vy y aceleración ay de las partículas del medio.

Onda plana armónica Sí la elongación y de cualquier elemento diferencial d x de la cuerda cumple quees una función sinusoidal o cosinusoidal tanto de la posición x del elemento y del tiempo t , se dice que laperturbación se propaga como una onda viajera armónica:

y = A sin(kx −w t +ϕ0

)(7.1)

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Figura 7.5: Onda armónica: representación en x y t

donde ϕ= kx −w t +ϕ0 corresponde a la fase de la onda y ϕ0 corresponde a la fase inicial: se miden enradianes. A k se le denomina número de onda y se mide en r ad/m. A w se le denomnia frecuencia angulary se mide en r ad/s. Además si la amplitud A se mantiene constante se dice que la onda es plana.

De la trigonometría se concluye que la onda armónica plana es periódica temporal (t ) y espacialmente(x). Al período temporal se le denomina simplemente período (P ) y al período espacial se le denominalongitud de onda (λ), figura 7.5.

De las propiedades de las funciones trigonométricas se concluye además que,

P = 2π

w(7.2)

λ= 2π

k(7.3)

A los máximos espaciales de una onda viajera se les denomina C REST AS y a sus mínimos VALLES, figura7.5 izquierda.

Simulación 7.3 Cronograma en una onda transversal viajera

Simulación 7.4 Cronograma en una onda longitudinal viajera

Definiciones e interpretación física de conceptos

Elongación (y) Cada oscilador ocupa una posición de equilibrio dentro del medio de propagación y ubi-cada en x. Cuando la onda se propaga, ellos vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio. Se llamaráelongación y a la posición del oscilador respecto a su propia posición de equilibrio. La elongación se mideen metros (m).

Simulación 7.5 Vector elongación

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Amplitud (A) Para una onda, la amplitud corresponde al valor de la máximo de la magnitud física que sepropaga. Se mide en las mismas unidades de esta. Por ejemplo, en las ondas de elongación la amplitud semide en unidades de longitud; en las ondas de presión la amplitud se mide en unidades de presión (amplitudde presión); en las ondas de fuerza la amplitud se mide en unidades de fuerza (amplitud de fuerza).

Periodo (P) El período de una onda corresponde al tiempo necesario para que la magnitud física que sepropaga haga una oscilación completa. En el caso de una onda de elongación, corresponde al tiempo paraque un oscilador complete una oscilación. El período se mide en segundos.

Simulación 7.6 Periodo en onda transversal

Simulación 7.7 Periodo en onda longitudinal

Frecuencia ( f ) La frecuencia de una onda corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo,realizadas por la magnitud física que se propaga. En el caso de una onda de elongación que se propagaen un medio material, corresponde al número de oscilaciones en la unidad de tiempo, de cada uno de lososciladores del medio y es la misma para todos ellos. La frecuencia se mide en Hertz (s−1). Esta es impuestapor el agente externo que genera la onda.

El periodo y la frecuencia se relacionan como sigue,

f p = 1 (7.4)

La frecuencia angular (w) de la onda se mide en rad/s. Se relaciona con la frecuencia f así,

w = 2π f (7.5)

Fase (ϕ(x, t ) ) El significado físico de la fase de una onda es el mismo que para los osciladores, solo que eneste caso la fase de la onda cambia tanto temporal como espacialmente. La fase se mide en radianes,

ϕ (x, t ) = kx ±w t +ϕ0 (7.6)

Por ejemplo en una onda de elongación que se propaga por un material, todos los osciladores contenidosen una longitud de onda (λ) tienen diferencias de fases que están entre 0 y radianes 2π. Cada que transcurreun intervalo de tiempo igual a un período, un oscilador se desfasa en 2π radianes. Además dos osciladoresque estén separados una distancia equivalente a una longitud de onda están desfasados en 2π radianesfigura 7.6.

Relación entre la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación

Velocidad de propagación (V ) La velocidad con que se propaga la energía a través del medio (no confundircon la velocidad de vibración de los elementos del medio) corresponde a la velocidad de propagación de laonda.

Longitud de Onda (λ) La siguiente simulación facilita la comprensión del significado físico de la longitudde onda. La distancia que viaja la perturbación (y por ende la enegía) cada que el agente externo (mano)realiza una oscilación completa, corresponde a la longitud de onda (λ). Puede observarse que los osciladorescuya diferencia de fase es igual a un número entero de veces 2π están separados por números enteros delongitudes de onda. Por ejemplo, si un oscilador le lleva dos oscilaciones enteras a otro (es decir su diferenciade fase es igual a dos veces 2π), la distancia que los separará será equivalente a dos longitudes de onda (2λ).

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Figura 7.6: Onda armónica

Simulación 7.8 Longitud de onda en una onda viajera .

Por tanto la longitud de onda, es la distancia que viaja la energía en un tiempo equivalente a un período.Esta última idea se puede plasmar en forma de ecuación así,

λ=V P (7.7)

o como f P = 1,

λ f =V (7.8)

La longitud de onda se mide en unidades de longitud.

Ejemplo Para hacer diagnóstico sobre tejido blando con un ecocardiógrafo se utiliza un ultrasonidocuya frecuencia es de 1.00 MHz. Si la velocidad de la onda sonora en el músculo es de 1400 m/s ¿cuál será lalongitud de onda utilizada?

Solución Para resolver la pregunta basta con utilizar la expresión 7.8 y se obtiene que λ= 1,40 mm.La longitud de onda da una idea de la resolución del instrumento. Esto se debe a que para obtener in-

formación de un objeto la onda debe interactuar con él; en este caso se necesita que la onda se refleje en elobjeto, y por ende su longitud de onda debe se algo menor que su tamaño. Por tanto se concluye que conesta onda ultrasónica se pueden detectar objetos del orden de milímetros. Objetos más pequeños pasaninadvertidos para ella (al menos en registros por reflexión). Los murciélagos utilizan las ondas ultrasónicaspara detectar los obstáculos y sus presas.

Velocidad de fase

Cada partícula del medio posee una fase en cada instante. Cuando la onda viaja, cualquier punto de faseconstante (es decir, el frente de onda) viajara a la velocidad de ella. Este punto no es un ente físico, sólo esun ente matemático. Para calcular la velocidad a la que viaja se debe tener en cuenta que dϕ = 0 y comoϕ=ϕ (x, t ),

dϕ= ∂ϕ

∂xd x + ∂ϕ

∂td t

12

∂x

∂t

∣∣∣∣ϕ

=−∂ϕ

∂t

∣∣∣∣x

∂ϕ

∂x

∣∣∣∣t

(7.9)

El término de la izquierda representa la velocidad de propagación de un punto con fase constante. Sise escoge un punto cualquiera del perfil de una onda armónica,por ejemplo la cresta de la onda; mientrasla onda se desplaza en el espacio, la elongación y de la cresta permanece constante. Ya que la única quepuede variar en la función de onda armónica es la fase, ella también debe ser constante para ese punto enmovimiento. El punto se mueve junto con el perfil con velocidad V . Con base en las ecuaciones 7.9 y 7.6 seobtiene,

∂x

∂t

∣∣∣∣ϕ

=−±w

k=∓V (7.10)

El signo + implica que la onda viaja hacia valores crecientes de x (el signo menos lo contrario).

Cinemática de la onda armónica unidimensional

Cuando la onda armónica viajera se propaga a través de un medio continuo cada uno de sus elementos("partículas") vibran con movimiento armónico simple con su elongación, velocidad y aceleración expre-sadas por las siguientes ecuaciones,

y = A sin(kx ±w t +ϕ0

)(7.11)

vy = ∂y

∂t= yt =±w A cos

(kx ±w t +ϕ0

)(7.12)

ay = ∂2 y

∂t 2 = yt t =−w2 A sin(kx ±w t +ϕ0

)(7.13)

además de las ecuaciones 7.11 y 7.13 se obtiene,

ay =−w2 y (7.14)

expresión característica de las oscilaciones armónicas.La velocidad con que se propaga la onda (y por ende la energía) es,

V = ∂x

∂t

∣∣∣∣ϕ

= ∂x

∂t

∣∣∣∣y

(7.15)

es decir es la velocidad de un punto con elongación constante, d y = 0, por lo tanto,

d y = ∂y

∂xd x + ∂y

∂td t

V =−∂y

∂t

∣∣∣∣x

∂y

∂x

∣∣∣∣t

(7.16)

13

Figura 7.7: Cinemática de las ondas viajeras

V =−Vy

m(7.17)

siendo Vy la velocidad de vibración de un elemento del medio (centro de masa del mismo: "partícula")y m la pendiente del perfil de la onda, y vs x, en la posición x del elemento (del centro de masa del mismo:"partícula"). es decir, la velocidad de propagación de la onda, V , es igual a la relación con signo cambiado,entre la rapidez de vibración de un elemento y la pendiente m del perfil de onda en la posición del elemento.En el caso de la cuerda esto es muy claro, figura 7.7. En el primer tramo de la figura 7.7 A, la velocidad devibración Vy es negativa (las partículas se mueven hacia abajo) y la pendiente m del perfil en ese tramoes positiva, por lo que el cociente de ambas será negativo; al cambiarle el signo a este cociente quedarápositivo, indicando que la velocidad de propagación V debe ser positiva, lo cual es correcto ya que la ondase propaga hacia valores crecientes de . Similarmente se puede hacer el análisis a cada tramo de la cuerdaen esta figura y a todos los tramos de la cuerda de la figura 7.7 B.

Ecuación de onda de primer orden De la ecuación 7.16 se obtiene la denominada ecuación diferencial deonda de orden 1,

−V∂y

∂x= ∂y

∂t(7.18)

o en notación compacta,

−V yx = yt (7.19)

Ejercicio 7.1 La elongación de una onda armónica transversal que se propaga en una cuerda se representaen el sistema S.I con la ecuación y = 0,10sin

( 32πx − 1

4πt + π3

). Calcular: (a) la amplitud, (b) la frecuencia

angular, (c) la frecuencia en Hz, (d) el número de onda, (e) la longitud de onda, (f) la fase inicial, (g) lavelocidad de vibración de un punto de la cuerda ubicado en x = 0,30 m en t = 0,60 s, (h) la aceleración de unpunto de la cuerda en el instante en el cual se encuentra ubicado en la cresta.

Ejercicio 7.2 ¿Cuánto avanza una onda armónica en un período? ¿Cuánto tarda para viajar una longitudde onda?

14

Ejercicio 7.3 Para cierta onda transversal se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos esde 1.20 m. También se observa que pasan ocho crestas por un punto dado a lo largo de la dirección depropagación cada 12.0 s. Calcular la rapidez de la onda.

Ejercicio 7.4 Considérese una onda luminosa monocromática plana en el vacío, de frecuencia 3.00×1014

Hz. ¿Cuál es la distancia más corta a lo largo de la dirección de propagación de la onda entre dos puntosque tienen una diferencia de fase de 30º entre sí. ¿Qué cambio de fase tiene lugar en un punto cuandotranscurren 10−6 s.? ¿Cuántos máximos han pasado por ese punto en dicho tiempo? Rp: 83.2 nm. (b) 6.00π×108 rad (c) 3.00×108 máximos

15

CA

PÍ

TU

LO

8DINAMICA

Robert Hooke (Freshwa-ter, 18 de julio de 1635 - Lon-dres, 3 de marzo de 1703) cien-tífico inglés. Fue uno de loscientíficos experimentales másimportantes de la historia dela ciencia, polemista incans-able con un genio creativo deprimer orden. Sus interesesabarcaron campos tan disparescomo la biología, la medic-ina, la cronometría, la físicaplanetaria, la mecánica de sóli-dos deformables, la microscopía,la náutica y la arquitectura.En el presente capítulo se gen-eraliza los resultados de Hookeen sus estudios de los sóli-

dos deformables a los demás estados de la materia (líquido y gas). Esta generalización permitirá demostrarque la materia en cualquiera de sus estados (sólido, líquido o gaseoso) es elástica lo que posibilita que suspartes oscilen y que en el rango de las deformaciones en el cual se cumple la ley de Hooke, las perturbacionesque se propagan a través de la materia, lo hacen como ondas.

8.1 La ley de Hooke generalizada

Los medios materiales reales son deformables, y por tanto, dentro determinados rangos son elásticos. Esesta propiedad la que permite explicar que a través de ellos se propaguen ondas mecánicas. Los pequeñoselementos del medio oscilan cuando una onda se propaga en el mismo.

En esta lección se considerará sistemas elásticos (que en la realidad, corresponde a todos los cuerpos),homogéneos e isotrópicos que se encuentran bajo la acción de fuerzas constantes que le causan pequeñasdeformaciones.

Cuando un sistema sólido en equilibrio estático, por ejemplo una varilla de longitud l , es sometido a laacción de un par de fuerzas de tracción de magnitud f , que se va variando muy lentamente hasta llegar a

17

Figura 8.1: Barra sometida a esfuerzo

una fuerza de magnitud F , este responderá deformándose (estirándose) una longitud ∆l , como se muestraen la figura 8.1:

Se asume que el proceso se lleva tan lentamente que se puede suponer que el sistema siempre estáen equilibrio estático, de tal forma que no hay energía cinética involucrada en el proceso, situación quecaracteriza los denominados procesos cuasiestáticos. Esta forma de ver el comportamiento elástico de lossistemas reales, permitirá aproximarse a una explicación de la forma como se comportan las pequeñas de-formaciones causadas por fuerzas externas.

En cualquier sección recta C aparecen fuerzas de tracción hechas por una parte de la barra sobre la otra,fuerzas iguales en magnitud a F puesto que cada trozo se encuentra en equilibrio, figura 8.2. Realmente lafuerza de contacto de magnitud F hecha por un trozo de barra sobre el trozo contiguo es la resultante deuna cantidad de pequeñas fuerzas normales de magnitud ∆F distribuidas en toda el área A de la sección.

Se llama esfuerzo normal de tracción S a la magnitud F de la fuerza normal por unidad de área A. Sila sección C es homogénea, isotrópica y no esta muy cerca al extremo de la barra se puede asumir quelas pequeñas fuerzas normales de magnitud ∆F se distribuyen de manera uniforme en toda la sección yel esfuerzo S es constante. En ese caso, la fuerza normal resultante de magnitud F cumple que en toda lasección,

S = F

A(8.1)

En la figura 8.1 A se observa como la barra en en el estado inicial tiene longitud igual a l (sin deforma-ción). En la figura 8.1 C la barra está en situación de equilibrio bajo las fuerzas de tracción de magnitud Fen sus extremos, y en este caso la barra ha sufrido una deformación ∆l (alargamiento) por tracción. Ahorabien, la deformación ∆l es la deformación de toda la barra de longitud l , de modo que para caracterizar la

18

Figura 8.2: Fuerzas de tracción en los trozos de la barra

deformación de una manera que no dependa de la longitud concreta de la barra, se define la deformaciónunitaria por tracción ε como,

ε= ∆l

l(8.2)

esta magnitud es adimensional.

Sustentación experimental de la ley de Hooke Si se realiza experimentalmente la tracción de una barra,se obtiene la curva de la figura 8.3, típica de todos los materiales elásticos. En ella se distinguen tres (3)comportamientos distintos:

Zona elástica lineal (oa).

Zona elástica no lineal (ab).

Zona plástica (bc).

Zona Elástica Lineal (oa) Desde que aparecen los esfuerzos S (punto o) hasta el punto a , llamadolímite de proporcionalidad, hay dos hechos a destacar:

La relación entre S y ε es lineal.

El material regresará a su forma inicial, si se quitan los esfuerzos que actúan sobre él; hecho que car-acteriza el comportamiento elástico del material.

Zona Elástica No Lineal (ab) El sistema sigue teniendo un comportamiento elástico, en el sentido deque si se suspende las fuerzas, recupera su forma original, pero ahora la relación entre S y ε no es lineal. Elpunto b , llamado límite elástico, marca el punto hasta el cual el material tiene un comportamiento elástico.

Zona Plástica (bc) A partir del punto b el comportamiento es plástico, es decir, si se suprimieran lasfuerzas quedan deformaciones permanentes en el material. El punto c es le punto de ruptura, donde elmaterial se "destruye" debido a la acción de las fuerzas sobre él.

Este comportamiento, entre el esfuerzo S y la deformación unitaria ε, se presenta de igual forma en todoslos materiales deformables, es decir, cada material tendrá sus puntos a , b y c que lo caracterizan. No queda

19

Figura 8.3: Gráfica de Esfuerzo vs Deformación unitaria

demás afirmar que los valores de los esfuerzos asociados a cada punto (a, b y c ) dependen del material ycaracterizan el mismo.

En resumen, la experiencia muestra que para pequeñas deformaciones hay un rango para el cual el es-fuerzo normal S es directamente proporcional a la deformación unitaria ε (zona oa en la gráfica) y que elmaterial volverá a su longitud inicial si el esfuerzo sobre él se quita; situación que caracteriza el denomi-nado rango elástico del material. En dicho rango, el comportamiento de las pequeñas deformaciones estádeterminado por la Ley de Hooke , que se escribe como,

S = Y ε (8.3)

La constante de proporcionalidad Y se denomina Módulo de elasticidad de Young que es único paracada material, no depende de sus dimensiones y se mide en Pascales ( 1 Pa=1 N/m2).

Adicionalmente, el comportamiento de un material a compresión es análogo al comportamiento a trac-ción. Es válida la Ley de Hooke con el mismo módulo de Young Y (S = Y ε ), sólo que ahora, como S < 0(compresión), ε< 0 y por tanto ∆l < 0 y el material, por supuesto, se acorta debido a la compresión.

Igualmente la experiencia demuestra, un idéntico comportamiento para el caso de deformaciones de-bido a esfuerzos transversales o de cizalladura.

La generalización de la ley de Hooke Para pequeñas deformaciones existe una proporcionalidad entre elesfuerzo (S) y la deformación unitaria (ε) generada. Esta es la denominada ley de Hooke, y se expresa así,

S =βε (8.4)

donde la constante de proporcionalidad β da cuenta de la elasticidad del medio. El esfuerzo se definecomo el cociente entre la magnitud de la fuerza aplicada (normal o tangencialmente, F ) a una superficie y

20

el área (A) de esta. La deformación unitaria se define como el cociente entre la deformación (longitudinal otransversal, ∆l ) del elemento analizado y su longitud original (l ). Es decir,

S = F

A(8.5)

ε= ∆l

l(8.6)

El esfuerzo se mide en N.m−2 (Pascal, abreviado Pa) y es una cantidad escalar. La deformación unitariaε es adimensional. El módulo de elasticidad β se mide en Pa.

En la figura 8.4 se aplicaran estas definiciones a un elemento del medio continuo de longitud d x. Eltrozo de material se considera de sección transversal constante, homogéneo e isotrópico. El material essometido a fuerzas iguales (en magnitud, F ) en sus extremos. Por tanto él y cada elemento del mismo estaráen equilibrio y bajo la acción de las fuerzas externas opuestas aplicadas en sus extremos y de magnitudesiguales a F . Bajo la acción de los esfuerzos debidos a estas fuerzas, cada elemento se deformara en d y .

Como se observa en la figura 8.4, el extremo izquierdo del elemento, el cual tiene su posición de equilib-rio en x se elonga en una cantidad y , mientras que su extremo derecho que tiene su posición de equilibrioen x+d x se elonga en y+d y . Así este elemento pasa de tener una longitud d x a tener una longitud d x+d y ,es decir su deformación es igual a d y . La ley de Hooke aplicada al elemento d x toma la siguiente forma,

S =βd y

d x(8.7)

En el caso de la figura 8.4 la deformación d y está en la misma dirección del elemento d x y por ello sedenomina deformación longitudinal. En la figura 8.5 se ilustra el caso de la deformación transversal. En estecaso d y es ortogonal a d x.

8.2 Ecuación diferencial de onda

Cuando una onda elástica (onda mecánica) se propaga por el medio material, el centro de masa de cadaporción del medio se sale de su posición de equilibrio xc , perdiendo éste estado debido a que los esfuerzos aambos lados de cada trozo de material no son iguales; el centro de masa adquirirá aceleración presentandocambios tanto en su energía cinética como en su energía potencial. La elongación y dependerá del valor dela posición x y del tiempo t , es decir, y (x, t ), de tal forma que la ley de Hooke tomará la forma,

S =β∂y

∂x

Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento material de longitud d x y de masa dm y teniendoen cuenta que en esta situación las fuerzas llamadas de volumen (como la fuerza gravitacional) se despre-cian frente a las fuerzas llamadas de superficie (las que generan los esfuerzos), se obtiene,

∑F = dm

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

donde la aceleración de vibración es la del centro de masa del elemento d x. Aplicando la ley de Hookeen los extremos del elemento, y sabiendo que A es el área de la sección transversal y que dm = ρd x, ρ ladensidad del material, S (x +d x) es el esfuerzo sobre la superficie de la derecha del trozo de material y S (x)el esfuerzo sobre su superficie izquierda, se obtiene,

[S (x +d x)−S (x)] A = ρAd x∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

21

Figura 8.4: Deformación longitudinal

22

Figura 8.5: Deformación transversal

Aplicando la ley de Hooke, la expresión se transforma en,

β

[∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

− ∂y

∂x

∣∣∣∣x

]A = ρAd x

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

si d x → 0, se obtiene,

β

ρ

∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2 (8.8)

o en su forma comprimida,

β

ρyxx = yt t (8.9)

donde las derivadas quedarán evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo delelemento tanto como se quiera). A esta ecuación se le conoce con el nombre de ecuación diferencial de

onda de orden 2. Analizándola dimensionalmente se concluye que βρ tiene las dimensiones de velocidad

al cuadrado. Como se mostrará en la sección sobre la cinemática de ondas viajeras, esta corresponde a lavelocidad de propagación de la onda a través del medio material,

V =√β

ρ(8.10)

es decir, la velocidad de propagación V de una onda mecánica depende sólo de las propiedades delmedio material (su elasticidad y su densidad) y la ecuación de onda toma la forma,

V 2 yxx = yt t (8.11)

23

Figura 8.6: Pulso viajero

8.3 Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2

Pulso Viajero En la figura 8.6 se ilustra cómo una función que tenga la forma f (x −V t ) representa unacurva cuyo perfil es el de la función f (x) y que viaja en el sentido creciente de las x con velocidad V . En lafigura se ilustra dos sistemas de coordenadas O y O′. El sistema O está fijo y el sistema O′ está rígidamentepegado a la curva que se mueve con velocidad V . Se ha supuesto que O y O′ coinciden en el instante t = 0.Se representa un punto de la curva que tendrá abscisa x en el sistema O y abscisa x ′ en el sistema O′. Lacurva en el instante t = 0, se representa por la función f (x,0) a la que se le denomina perfil de onda y encualquier otro instante se representará por la función f

(x ′) en el sistema O′, o lo que es lo mismo por la

función f (x −V t ) en el sistema O (ya que se puede observar de la figura que x ′ = x −V t ). Por lo tanto seconcluye que la curva representada por la función f (x −V t ), tiene perfil igual a f (x,0) y viaja en el sentidocreciente de las x con velocidad V .

Ejercicio 8.1 Demostrar que si la curva viaja en el sentido decreciente de las x con velocidad V y perfiligual a f (x,0), se representará por la función f (x +V t ).

Simulación 8.1 Pulso viajero

Solución a la ecuación diferencial de onda de orden 2 Toda función de la forma f (x ±V t ) es solución

de la ecuación diferencial de onda de orden 2, V 2 ∂2 y∂x2 = ∂2 y

∂t 2 . Esto se puede verificar haciendo u = x ±V t yprocediendo a realizar las correspondientes derivadas,

∂y

∂x= d y

du

∂u

∂x= d y

du

∂2 y

∂x2 = ∂

∂x

(∂y

∂x

)= ∂

∂x

(d y

du

)= d

du

(∂y

∂x

)= d

du

(d y

du

)= d 2 y

du2 (8.12)

∂y

∂t= d y

du

∂u

∂t=±V

d y

du

24

Figura 8.7: Pulso armónico

∂2 y

∂t 2 = ∂

∂t

(∂y

∂t

)= ∂

∂t

(±V

d y

du

)=±V

d

du

(∂y

∂t

)=±V

d

du

(±V

d y

du

)=V 2 d 2 y

du2 (8.13)

De las ecuaciones 8.12 y 8.13 se obtiene,

V 2 ∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2

por lo que queda verificado que cualquier función que tenga la forma f (x ±V t ), es solución de estaecuación diferencial y corresponde a una onda viajando en dirección x con velocidad V . Con el signo +corresponde a una onda viajando hacia valores decrecientes de x y con signo - corresponde a una ondaviajando hacia valores crecientes de x. A f (x,0) se le denomina perfil de la onda.

Onda Viajera Armónica Unidimensional El perfil de una onda viajera armónica es una función sinu-soidal, es decir,

y = A sinkx (8.14)

Este perfil se ilustra en la figura 8.7. Si se propaga en el sentido positivo de x, se representa como,

y = A sin[k (x −V t )] (8.15)

esta es la función que representa una onda viajera armónica unidimensional. Aquí A corresponde ala amplitud de la onda viajera (es constante y es la misma amplitud de las oscilaciones de los osciladoresindividuales), V es la velocidad de propagación de la onda y k es una constante que se mide en m−1 quegarantiza la adimensionalidad del argumento de la función sinusoidal y que en física se le denomina númerode onda.

Otra forma más común de escribir la relación anterior es la siguiente,

y = A sin(kx −w t ) (8.16)

25

donde kV = w , siendo w la frecuencia angular de la onda que se mide en rad/s y w = 2π f siendo f lafrecuencia medida en Hz.

Una forma más general es la siguiente,

y = A sin(kx −w t +ϕ0

)(8.17)

donde ϕ= kx −w t +ϕ0 corresponde a la fase de la onda y ϕ0 corresponde a la fase inicial: se miden enradianes. Esta es precisamente la ecuación 7.1.

Ejercicio 8.2 Determinar cuáles de las siguientes funciones pueden describir una onda plana y, en su caso,indíquese la dirección y velocidad de propagación:

y (x, t ) = e−(a2x2+b2t 2−2abt x)

y (x, t ) = A sin(a2x2 −b2t 2

)y (x, t ) = A sin

[2π (at +bx)2]

y (x, t ) = A cos2 [2π (t −x)]

8.4 Ejemplos de Ondas Mecánicas

En diferentes situaciones de la ingeniería es nece-sario conocer a profundidad el comportamiento dela materia cuando a través de ella se propaga una on-da. Ejemplos son: el diseño de estructuras sismore-sistentes, el estudio de los tzunami, el análisis ge-ofísico, el diseño de salas acústicas, el diseño de máquinas,el control del ruido, entre otros.Las ondas mecánicas (también denominadas ondasmateriales o elásticas) se caracterizan por que se pro-pagan a través de la vibración de la materia: en ca-da porción de ésta se realiza, mientras se propaga laonda, una transformación de energía cinética en en-ergía potencial y viceversa.En este capítulo se estudiarán algunas de estas on-

das mecánicas: ondas transversales en una cuerda, ondas trasnversales en un slinky, ondas longitudinalesen un slinky, ondas longitudinales en barras sólidas, ondas transversales en barras sólidas, ondas longitudi-nales en fluidos.

Ondas transversales en cuerdas

Ley de Hooke aplicada a una cuerda En la figura 8.8 se ilustra un segmento de una cuerda tensionadacuyo extremo derecho está en la posición x. F es magnitud de la fuerza de tensión que ejerce la secciónderecha de la cuerda sobre este segmento.

La componente vertical de F es,

Fy = F sinα

Si la elongación transversal y es pequeña (esto es, la pendiente de la cuerda es pequeña), sinαw tanα yla relación anterior se transforma en,

26

Figura 8.8: Elemento de cuerda

Fy w Fd y

d x

Considerando que la cuerda tiene sección transversal igual a A, se obtiene la ley de Hooke en la cuerda,

S = F

A

d y

d x(8.18)

siendo S el esfuerzo transversal aplicado tangencialmente a la superficie del corte transversal de la cuer-da. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, ecuación 8.7, y a la ecuación anterior (ecuación 8.18) elmódulo de elasticidad en la cuerda será,

β= F

A(8.19)

Dinámica de la onda transversal que se propaga en una cuerda En primera instancia se debe abandonarla idea de que la cuerda es inextensible. Se tiene una cuerda que en equilibrio tiene una densidad lineal demasa µ y está bajo la acción de una tensión cuya magnitud es F . En la figura 8.9 A se ilustra un elemento decuerda d x (amplificando su representación para poder detallarlo). Si se somete la cuerda a pequeñas elon-gaciones transversales, figura 8.9 B, la tensión es prácticamente la misma tensión de equilibrio, de magnitudF . La sección izquierda del elemento está elongada en y , la sección derecha en y +d y . Aquí d y es la defor-mación transversal del elemento de cuerda. Sin embargo debe mantenerse presente que el elemento d x se

deformó en dξ=√

(d x)2 + (d y

)2 −d x. Esto será básico para el cálculo de energía potencial.Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de cuerda de longitud, figura 8.9 B, y sabiendo que la

aceleración de vibración de su centro de masa es acm = ∂2 y∂t 2

∣∣∣xc

, se obtiene,

Fy (x +d x)−Fy (x) = dm∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

Las componentes horizontales de la tensión, F cosαw F cosα′se cancelan y se ha despreciado la fuerzade gravedad (peso del elemento), ya que es muy pequeña en comparación con la tensión. Aplicando la leyde Hooke,

27

Figura 8.9: Diagrama de fuerzas de un elemento de cuerda

F∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

−F∂y

∂x

∣∣∣∣x=µd x

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

y por tanto se obtiene,

F

µyxx = yt t (8.20)

donde las derivadas quedan evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del ele-mento tanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas transversales en unacuerda es,

V =√

F

µ(8.21)

Con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerdapara pequeñas elongaciones. Esta deducción coincide con lo obtenido en la ecuación diferencial de ondageneralizada, ecuación 8.10, ya que para la cuerdaβ= F

A , ecuación 8.19; como la deformación transversal d yde la cuerda para pequeñas elongaciones y cumple la ley de Hooke, se puede concluir que si a través de ellaestá viajando una perturbación transversal, esta obedecerá la ecuación diferencial de onda generalizada,ecuación 8.8 y ρ = dm

Ad x = µA , por lo que,

V =√β

ρ=

√√√√√√F

Aµ

A

=√

F

µ

F se mide en N y µ se mide en kg.m−1

Simulación 8.2 Onda viajera propagándose en una cuerda

Ejercicio 8.3 Una cuerda tiene una sección transversal de radio r y una densidad volumétrica ρ. Expresarla velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda en términos de r y ρ.

28

Figura 8.10: Resorte (A) longitud original (B) estirado y en equilibrio

Ejercicio 8.4 Una cuerda está atada por un extremo a un punto fijo. El otro pasa por una polea que seencuentra a 5.00 m del extremo fijo y lleva una carga de 2.00 kg. La masa del segmento de cuerda compren-dido entre el extremo fijo y la polea es de 0.600 kg. (a) Encontrar la velocidad de propagación de las ondastransversales a lo largo de la cuerda. ( b) Suponer que una onda armónica de 1.00×10−3 m de amplitud y0.300 m de longitud de onda se propaga por la cuerda; hallar la velocidad de vibración máxima de cualquierpunto de la cuerda.

Ejercicio 8.5 Una onda elástica transversal se propaga a través de una cuerda. Si su elongación tiene comocomponentes z = A sin(kx −ωt ) y y = A cos(kx −ωt ): (a) Mostrar que está onda mecánica está circular-mente polarizada. (b) Determinar el sentido de rotación del vector resultante −→r = y j + z k .

Ejercicio 8.6 Una cuerda consta de dos secciones distintas. La sección de la izquierda tiene una masapor unidad de longitud µ = 0,50µ0, mientras que la sección de la derecha tiene una masa por unidad delongitud µ = 1,5µ0. La tensión en la cuerda es F0. Si se excita el extremo izquierdo de la cuerda con unafuente que vibra con frecuencia f , encontrar la relación numérica entre las longitudes de onda de las ondastransversales que se propagan en cada segmento de la cuerda.

Ondas transversales en resortes

La ley de Hooke aplicada en un resorte (Slinky) En la figura 8.10 A se ilustra un resorte de constante derigidez k, longitud natural l y masa total m. En la figura 8.10 B el resorte se estiró mediante la acción de unafuerza cuya magnitud es F0, su longitud es ahora l0 y se encuentra aún en estado de equilibrio. Su masa porunidad de longitud es µ= m

l0. Por tanto aplicando la ley de Hooke para el resorte,

F0 = k (l0 − l )

Dinámica de la onda transversal que se propaga en un resorte (Slinky) El análisis de las ondas transver-sales de pequeñas amplitudes es idéntico al de las ondas en la cuerda tensa. La velocidad de propagaciónserá entonces,

Vtr ansv =√√√√√k (l0 − l )

m

l0

=√

k

m

(1− l

l0

) 12

l0

29

Figura 8.11: Resorte en diferentes estados

Aproximación Slinky: un slinky es un resorte con longitud natural muy pequeña comparada con los

estiramientos que admite (l0 puede ser 10 o 20 veces ). Si(1− l

l0

) 12 w 1− 1

2

(ll0

)w 1, la velocidad de las ondas

transversales a través del slinky será,

Vtr ansv =√

k

ml0 (8.22)

donde l0 es la situación de equilibrio, con el resorte estirado, situación a partir de la cual se producen lasondas transversales.

Ondas longitudinales en resortes

La ley de Hooke aplicada en un resorte (Slinky) En la figura 8.11 A se ilustra un resorte de constante derigidez k, longitud natural l y masa total m. En la figura 8.11 B el resorte se estiró mediante la acción de unafuerza cuya magnitud es F0, su longitud es ahora l0 y se encuentra aún en estado de equilibrio. Esta es lasituación a partir de la cual se van a producir las ondas longitudinales.

Con el fin de expresar adecuadamente la ley de Hooke, se estudiará en primer lugar otra situación deequilibrio, con una deformación

(l ′− l0

)respecto a la primera situación de equilibrio, figura 8.11 C. Si F es

el exceso de fuerza respecto al equilibrio, de la ley de Hooke se obtiene,

F = k(l ′− l0

)El exceso de fuerza F sobre el equilibrio base es proporcional al exceso de deformación respecto a dicho

equilibrio base. Esta ley (ley de Hooke) expresada en términos de la deformación unitaria ε= l ′−l0l0

, donde seha tomado como referencia la longitud en el equilibrio de base, será,

30

F

l0= k

[l ′− l0

l0

]

F = (kl0)ε (8.23)

esta ley de Hooke es ahora válida, no sólo para todo el resorte sino para cualquier trozo de él. Considéreseque F es el exceso de fuerza sobre la fuerza de magnitud F0 en el estado de equilibrio base. De esta forma sise tiene un elemento de resorte cuya longitud en el estado base es d x (longitud del elemento de resorte, elcual tiene una longitud l0 estirado bajo la acción de una fuerza de magnitud F0) y d y es la deformación deeste elemento despues de aplicar una fuerza adicional de magnitud F , se puede escribir la ley de Hooke así,

F = (kl0)d y

d x(8.24)

Expresando la ley de Hooke en términos de esfuerzo se obtiene,

F

A=

[kl0

A

]d y

d x

S =[

kl0

A

]ε

en donde A corresponderá a la sección transversal del resorte. Por lo tanto,

β= kl0

A(8.25)

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en un resorte (Slinky) Cuando a través del resorte sepropaga una onda longitudinal, cada elemento del resorte estará vibrando bajo la acción de la fuerza netaque sobre él ejercen la parte izquierda y la parte derecha del resorte, y las cuales no se equilibran, figura8.12. En la figura 8.12 A el resorte de constante de rigidez k está estirado hasta una longitud l0 medianteuna fuerza de magnitud F0; este es el estado base alrededor del cual se van a presentar las oscilaciones delmedio cuando la onda longitudinal se propaga a través de él. En la figura 8.12 B ya la onda longitudinal estápresente, y se detalla un elemento del resorte (elemento rojo) el cual tiene una longitud d x y se deformaen d y cuando la onda pasa a través de él. En la figura 8.12 C se elabora el diagrama de cuerpo libre sobreeste elemento; nuevamente se desprecia su peso, ya que es muy pequeño en comparación con las fuerzaselásticas presentes.

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento de resorte de longitud d x, figura 8.12 B, y sabiendo que

la aceleración de vibración de su centro de masa es acm = ∂2 y∂t 2

∣∣∣xc

, se obtiene,

F (x +d x)−F (x) = dm∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

aplicando la ley de Hooke, ecuación 8.24,

(kl0)

{∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

− ∂y

∂x

∣∣∣∣x

}=µd x

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

por lo tanto, (kl0

µ

)∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2 (8.26)

31

Figura 8.12: Onda propagándode en el slinky

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elementotanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en un resorte es,

Vlong i tudi nal =√√√√√kl0

m

l0

Vl ong i tudi nal =√

k

ml0 (8.27)

Simulación 8.3 Onda longitudinal propagándose en un resorte

Ondas longitudinales en barras sólidas

La ley de Hooke aplicada a una barra sólida: Deformación longitudinal Se ejerce una fuerza longitudinalde magnitud F sobre una barra que está empotrada en una pared, figura 8.13. En la parte de arriba de lafigura, la barra no ha sido deformada. En la parte de abajo se ilustra la deformación de un elemento d x dela barra, el cual estará sometido a dos fuerzas ejercidas por las porciones de la barra que se encuentran a sulado y que en situación de equilibrio serán iguales en magnitud a F . La fuerza deformadora se propaga, sindisminuir su magnitud, a todos los puntos de la barra.

En este elemento d x la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x, se elonga longitudinalmenteen una cantidad igual a y , y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x +d x se elonga en unacantidad igual a y +d y . La deformación en dirección longitudinal (deformación longitudinal) de la porciónde barra d x es igual a d y . La ley de Hooke para pequeñas deformaciones longitudinales en barras sólidas(por ejemplo, en una barra de acero usada en construcción, podría ser del orden de 1 mm en 1 m) estableceque estas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas,

S = Yd y

d x(8.28)

32

Figura 8.13: Deformación longitudinal

siendo S el esfuerzo longitudinal responsable de la deformación longitudinal d y del elemento de barrad x. De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es Y y se le conoce conel nombre de módulo de Young del material (se mide en pascales, Pa),

β= Y (8.29)

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en una barra sólida Cuando ondas longitudinales sepropagan a través de una barra, el centro de masa de cada elemento d x de la misma estará acelerado longi-tudinalmente debido a que las fuerzas aplicadas longitudinalmente que actúan a ambos lados del elemento(ejercidas por las porciones de la barra que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnituddiferente.

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento, figura 8.13 C, y sabiendo que la aceleración de vi-

bración de su centro de masa es acm = ∂2 y∂t 2

∣∣∣xc

, se obtiene,

F (x +d x)−F (x) = dm∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

Aplicando la ley de Hooke, ecuación 8.28,

(Y A)

{∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

− ∂y

∂x

∣∣∣∣x

}= ρA

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

se obtiene, (Y

ρ

)∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2 (8.30)

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elementotanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en barras segúnla ecuación diferencial de onda generalizada es igual a,

V =√β

ρ=

√Y

ρ(8.31)

33

siendo ρ la densidad volumétrica del material.Se debe anotar que con esta expresión se calcula la velocidad de propagación de una onda longitudinal

en barras sólidas, ya que su parte lateral se expande y comprime levemente cuando la ondas se propagan através de ellas. En caso de que la onda se esté propagando en un medio sólido "ilimitado" de materia, dondeel material contiguo no permite esos abombamientos y encogimientos, el modo de calcular la velocidad depropagación es diferente. Por ejemplo, la velocidad de la onda longitudinal en una barra de plomo es delorden de 1200 m/s, mientras que en un medio "ilimitado" de plomo es del orden de 1960 m/s.

Importante señalar que cuando la frecuencia de una onda longitudinal está dentro del rango auditivo(16 a 20000 Hz), se le denomina sonido.

Simulación 8.4 Onda longitudinal propagándose en una barra sólida

Simulación 8.5 Valores del módulo de Young

Onda de fuerza propagándose longitudinalmente a través de la barra Simultáneamente con la onda

de elongación, V 2 ∂2 y∂x2 = ∂2 y

∂t 2 , se propagan una onda de fuerza, V 2 ∂2F∂x2 = ∂2F

∂t 2 , ambas a la misma velocidad,

V =√

Yρ . Esto se muestra a continuación.

El elemento d x de barra vibra con aceleración debido a que la suma de las fuerzas que actuán sobreambas caras de él están en sentidos opuestos y no se anulan, es decir, dF 6= 0. Por tanto aplicando la segundaley de Newton al elemento se obtiene,

dF = ρAd x∂2 y

∂t 2

∂F

∂x= ρA

∂2 y

∂t 2 (8.32)

Además de la ley de Hooke, ecuación 8.28,

F = Y A∂y

∂x(8.33)

tomando la segunda derivada temporal en esta última ecuación,

∂2F

∂t 2 = Y A∂

∂x

(∂2 y

∂t 2

)(8.34)

Reemplazando 8.32 en 8.34 se obtiene,

Y

ρ

∂2F

∂x2 = ∂2F

∂t 2 (8.35)

que corresponde a la ecuación de onda. Es decir, la magnitud física Fuerza también se propaga a través

de la barra como una onda y a la misma velocidad V =√

Yρ que la onda de Elongación.

Ondas de elongación vs ondas de fuerza en barras Observar la siguiente simulación.

34

Simulación 8.6 Ondas de elongación vs ondas de fuerza en barras .

En ella se ilustra una onda longitudinal que se propaga a través de una barra sólida. Se puede observarlos permanentes cambios de volumen que sufre un elemento de la barra y la oscilación del centro de masade éste. Adicionalmente se presentan las gráficas espacio-temporales de la onda de elongación y de la ondade fuerza: si se analizan con cuidado se puede concluir que donde es nula la elongación para el centro demasa de un elemento de la barra, se presenta en esa región máxima o mínima fuerza (crestas y valles defuerza). En otras palabras la onda de fuerza y la de elongación están desfasadas en λ

4 .

Explicación del desfase de λ4 entre la onda de fuerza y la onda de elongación Si se supone que la onda de

elongación es armónica, se podrá escribir,

y = A sin(kx −w t )

Según la ley de Hooke para barras sólidas,

S = Yd y

d x(8.36)

por tanto,

F = F0 cos(kx −w t ) (8.37)

donde F0 = A As Y es la amplitud de fuerza y As es el área de la sección transversal de la barra. La función

de fuerza, ecuación 8.37 es solución de la ecuación diferencial de onda de fuerza, V 2 ∂2F∂x2 = ∂2F

∂t 2 . Se observa

claramente que hay entre ambas ondas una diferencia de fase de π2 o sea de λ

4 .

Ondas transversales en barras sólidas

La ley de Hooke aplicada a una barra sólida: Deformación transversal Se ejerce una fuerza transversal(fuerza de cizalladura) de magnitud F sobre una barra que está empotrada en la pared, figura 8.14. En lafigura se ilustra la deformación de un elemento d x de la barra, el cual estará sometido a dos fuerzas ejercidaspor las porciones de la barra que se encuentran a su lado.

En este elemento d x la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x, se elonga transversalmente enuna cantidad igual a y , y la cara cuya posición de equilibrio está ubicada en x+d x se elonga en una cantidadigual a y +d y . La deformación en dirección transversal (deformación transversal) de la porción de barra d xes igual a d y . La ley de Hooke para pequeñas deformaciones transversales en barras sólidas establece queestas son proporcionales a los esfuerzos causantes de las mismas,

S =Gd y

d x(8.38)

siendo S el esfuerzo transversal responsable de la deformación transversal d y del elemento de barra d x.De acuerdo a la ley de Hooke generalizada, el módulo de elasticidad de la barra es G y se le conoce con elnombre de módulo de rigidez del material (se mide en pascales, Pa),

β=G (8.39)

35

Figura 8.14: Deformación transversal en barra

Dinámica de la onda transversal que se propaga en una barra sólida Cuando ondas transversales se pro-pagan a través de una barra, el centro de masa de cada elemento d x de la misma estará acelerado transver-salmente debido a que las fuerzas aplicadas transversalmente y que actúan a ambos lados del mismo (ejer-cidas por las porciones de la barra que están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnituddiferente.

Aplicando la segunda ley de Newton al elemento, figura 8.38, y sabiendo que la aceleración de vibración

de su centro de masa es acm = ∂2 y∂t 2

∣∣∣xc

, se obtiene,

F (x +d x)−F (x) = dm∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

Aplicando la ley de Hooke, ecuación 8.38,

(G A)

{∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

− ∂y

∂x

∣∣∣∣x

}= ρA

∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

se obtiene, (G

ρ

)∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2 (8.40)

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elementotanto como se quiera). Por lo tanto la velocidad de propagación de las ondas longitudinales en barras segúnla ecuación diferencial de onda generalizada es igual a,

V =√β

ρ=

√G

ρ(8.41)

36

Figura 8.15: Deformación en fluídos

siendo ρ la densidad volumétrica del material. Como dato, la velocidad de propagación de las ondastransversales en una barra de acero es del orden de 3200 m/s, mientras que las longitudinales en la mismase propagan con una velocidad aproximada de 5100 m/s.

Simulación 8.7 Onda transversal propagándose en una barra

Simulación 8.8 Valores del módulo de Rigidez

Simulación 8.9 Valores de la densidad

Ondas longitudinales en fluidos

La ley de Hooke aplicada a fluidos (Esfuerzo de Volumen: Presión) Se tiene un fluido (gas o líquido) den-tro de un tubo, figura 8.15 A. En equilibrio todas las porciones del fluido estarán a la presión atmosféricaP0 (o a la presión externa de equilibrio). Si se escoge un elemento de la columna de fluido de longitud d x,mientras el sistema esté en equilibrio, tanto la cara izquierda como la derecha de éste, figura 8.15 C, estaránsometidas a iguales fuerzas debido a los efectos de las presiones sobre ellas que ejerce el resto de fluido aizquierda y derecha respectivamente. Si se comprime (o se expande) el fluido, por ejemplo desplazando levey lentamente un pistón -proceso cuasiestático- de izquierda (derecha) a derecha (izquierda) , aparecerá unacompresión (expansión) del elemento d x. La compresión implicará una pequeña elevación de la presiónpor encima de la presión de equilibrio y la expansión una pequeña disminución por debajo de la misma. Sinembargo, debido a la forma como se llevo el proceso, el sistema pasa a otro estado instantáneo de equilibriocon una presión P por encima de la de equilibrio, P0 (por debajo de la de equilibrio).

En este elemento d x, la cara ubicada en la posición de equilibrio x, se elonga longitudinalmente en unacantidad igual a y , y la cara ubicada en la posición de equilibrio x +d x se elonga en una cantidad igual ay+d y , figura 8.15 B). La deformación en dirección longitudal (deformación longitudinal) de la porción de lacolumna de fluido d x es igual a d y . La ley de Hooke para deformaciones volumétricas en fluidos, estableceque el exceso o defecto en la presión,P = P −P0, (que en el caso de que P0 sea la presión atmosférica, esllamada presión manométrica) es proporcional y opuesta al cociente dV

V0,

P =−BdV

V0=−B

Ad y

Ad x=−B

d y

d x(8.42)

37

donde B corresponde al módulo de compresibilidad del fluido (se mide en pascales, Pa), A el área de lasección transversal del tubo, V0 es el volumen del elemento de fluido d x a la presión P0, dV es el cambio devolumen del mismo cuando se cambia levemente la presión al valor P . El signo menos(-) de la expresión sedebe a que un aumento en la presión siempre causa una reducción en el volumen y viceversa.

Si los esfuerzos de tracción se toman como positivos, los esfuerzos de compresión serán negativos. Conbase en esto la presión se define como el esfuerzo normal de compresión, tomado como positivo ( tambiénse le denomina esfuerzo de volumen). Es decir la presión P en la ley de Hooke generalizada hace el papel deun esfuerzo negativo, y por tanto se concluye queP es el esfuerzo longitudinal responsable de la deforma-ción longitudinal d y del elemento de fluido d x y que el módulo de elasticidad del fluido será su módulo decompresibilidad,

β= B (8.43)

Aunque la ley de Hooke explicada en esta sección se aplicó a fluidos (gases o líquidos), es también apli-cable a los cuerpos en el estado sólido. La diferencia radica en que para pequeños cambios de presión, B seconsidera constante para sólidos y líquidos, en cambio en los gases dependerá de la presión inicial P0.

Dinámica de la onda longitudinal que se propaga en un fluido Cuando una onda longitudinal se propagaa través de un fluido, el centro de masa de cada elemento oscilará con aceleración,debido a que las fuerzasaplicadas longitudinalmente que actúan a ambos lados del elemento (ejercidas por las porciones de fluídoque están contiguas) ya no son iguales sino opuestas y de magnitud diferente. Aplicando la segunda ley deNewton,

−F (x +d x)+F (x) = dm∂2 y

∂t 2

∣∣∣∣xc

se debe reiterar que la aceleración es la del centro de masa del elemento. Como la presión es P = FA , se

obtiene,

[−P (x +d x)+P (x)

]A = ρ0 Ad x

∂2 y

∂t 2

donde corresponde a la densidad volumétrica del fluido en la situación de equilibrio a la presión P0.Aplicando la ley de Hooke, ecuación 8.42,

B

[∂y

∂x

∣∣∣∣x+d x

− ∂y

∂x

∣∣∣∣x

]A = ρ0 Ad x

∂2 y

∂t 2 (8.44)

se obtiene, (B

ρ0

)∂2 y

∂x2 = ∂2 y

∂t 2 (8.45)

donde las derivadas son evaluadas en x (el centro de masa se acerca al extremo izquierdo del elementotanto como se quiera).Por tanto la velocidad con que se propagan las ondas longitudinales en un fluídosegún la ecuación diferencial de onda generalizada es igual a,

V =√

B

ρ0(8.46)

siendo ρ0 la densidad volumétrica del fluído en su estado de equilibrio.Este tipo de ondas son de gran aplicación ya que son las que están asociadas con las ondas sonoras. Si

están en el rango de frecuencias audibles (16 a 20.000 Hz) se les denomina sonido.

38

Es necesario insistir que a través de los sólidos también se propagan estas ondas longitudinales. Sinembargo, si se está haciendo referencia a barras, las ondas longitudinales se calculan con la expresión,

V =√β

ρ=

√B

ρ0(8.47)

La diferencia radica en que para las barras sólidas su parte lateral se expande y comprime levementecuando las ondas longitudinales se propagan a través de ellas. Esto no se aplica a materiales "extensos"(materiales no en la forma de barras) ya que el movimiento lateral de cualquier elemento es impedido porel material circundante. En otras palabras, la rapidez de las ondas longitudinales en un volumen de materia

está dada por la ecuación V =√

Yρ . Como dato pensar en que la velocidad de la onda longitudinal en una

barra de plomo es del orden de 1200 m/s mientras que ésta en un medio "ilimitado" (material extenso y nocomo barra) de plomo es del orden de 1960 m/s.

Ondas Sonoras en gases La propagación de una onda longitudinal con frecuencias en el rango audible(16 a 20000 Hz) a través de un gas es un proceso adiabático. La razón de esto es que debido a la baja con-ductividad térmica de los gases, en los intervalos de tiempo tan cortos en los que se realizan estos procesosondulatorios a esas frecuencias, el sistema no alcanza a intercambiar energía en forma de calor (o si lo hace,es en cantidades totalmente despreciables), es decir, las compresiones y expansiones en los gases ha estasfrecuencias son adiabáticas.

Simulación 8.10 Valores de la conductividad térmicas .

Para calcular la rapidez de las ondas longitudinales en un fluido se emplea la ecuación V =√

Bρ0

. Si se

considera que el fluido es un gas ideal y por ser el proceso ondulatorio adiabático, se cumplira que,

PV γ = const ante (8.48)

aquí, P es la presión del gas, V su volumen, γ= Cp

CVes la relación entre las capacidades caloríficas del gas

a presión y volumen constantes. Por lo tanto,

dP

dVV γ+γV γ−1 = 0 (8.49)

dividiendo por V γ−1 se obtiene,

Badi abati co = γP (8.50)

de esta forma se concluye que la velocidad de propagación del sonido en un gas ideal se calcula mediantela siguiente ecuación,

V =√γP

ρ0(8.51)

Una expresión más útil se puede obtener sabiendo que en un gas ideal,

ρ0 = P M

RT(8.52)

donde R es la constante de los gases, M es la masa molecular y T es la temperatura absoluta. Al combinarlas dos últimas ecuaciones se obtiene,

V =√γRT

M(8.53)

39

Se observa que para un gas dado R, γ= Cp

CVy M son constantes, dando como resultado que la rapidez del

sonido en él es proporcional ap

T .

Así, a 20 ºC (293 K ) la masa molecular media del aire es de 28.8x10−3 kg.mol−1 , γ = Cp

CVes 1,40 y R es

8314 J.mol−1. K−1 , por lo que la rapidez del sonido en el aire a esta tempertura es igal a 344 m/s. Muy cercaa la rapidez del sonido en el nitrógeno.

Simulación 8.11 Valores de la velocidad del sonido

Ondas de presión en un gas Simultáneamente a la onda de elongación en el gas, V 2 ∂2 y∂x2 = ∂2 y

d t 2 , se propagan

una onda de presión, V 2 ∂2P∂x2 = ∂2

d t 2 , ambas a la misma velocidad. Esto se muestra a continuación.

Un elemento de gas cilíndrico de altura d x y sección transversal A vibra con aceleración debido a que lasuma de las fuerzas que actuán sobre ambas caras del mismo están en sentidos opuestos y no se anulan, esdecir, dF 6= 0 . Por tanto aplicando la segunda ley de Newton al elemento se obtiene,

dF = ρ0 Ad x∂2 y

∂t 2 (8.54)

pero,

[−P (x +d x)+P (x)

]A = ρ0 Ad x

∂2 y

∂t 2

−dP = ρ0d x∂2 y

∂t 2

− 1

ρ0

∂P

∂x= ∂2 y

∂t 2 (8.55)

tomando la segunda derivada temporal en la ley de Hooke, ecuación 8.42,

∂2P

∂t 2 =−B∂

∂x

(∂2 y

∂t 2

)(8.56)

Reemplazando la ecuación 8.55 se obtiene,

(B

ρ0

)∂2P

∂x2 = ∂2P

∂t 2 (8.57)

que corresponde a la ecuación de onda. Es decir, la magnitud física presión P también se propaga a

través de la barra como una onda y a la misma velocidad V =√

Bρ0

que la onda de elongación y .

Simulación 8.12 Onda longitudinal viajando en gas

Ondas de elongación vs ondas de presión en gases Observar la siguiente simulación.

40

Simulación 8.13 Ondas de elongación vs ondas de presión en gases .

En ella se ilustra una onda longitudinal que se propaga a través de una columna gaseosa. Se puede ob-servar los permanentes cambios de volumen que sufre un elemento del gas y la oscilación del centro demasa de éste. Adicionalmente se presentan las gráficas espacio-temporales de la onda de elongación y dela onda de presión: si se analizan con cuidado se puede concluir que donde es nula la elongación para elcentro de masa de un elemento del gas, se presenta en esa región máxima (expansión) o mínima presión(compresión) manométrica (crestas y valles de presión manométrica). En otras palabras la onda de presióny la de elongación están desfasadas en λ

4 .

Explicación del desfase de λ4 entre la onda de presión y la onda de elongación Si se supone que la onda

de elongación es armónica, se podrá escribir,

y = A sin(kx −w t )

Segun la ley de Hooke para fluidos, ecuación 8.42,

P =−Bd y

d x(8.58)

por tanto,

P =−Bk A cos(kx −w t ) (8.59)

donde P 0 = Bk A corresponde a la amplitud de presión. La función de presión 8.59 es solución de la

ecuación diferencial de onda de presión, V 2 ∂2P∂x2 = ∂2P

∂t 2 . Se observa claramente que hay entre ambas ondas

una diferencia de fase de π2 o sea de λ

4 .

41

CA

PÍ

TU

LO

9ENERGIA

En una onda lo que setrasnmite es energía. Enuna onda mecánica la en-ergía se propaga a travésde la vbración de la ma-teria y su velocidad de propa-gación depende de las propiedadeselásticas del medio y dela inercia del mismo.Para los cálculos energéti-cos en las ondas mecáni-cas hay ciertos inconve-nientes si se toma el mod-elo de partícula para el el-emento del medio, ya quesuele llevar a grandes con-fusiones. El modelo quese adoptará es el de un el-

emento diferencial del medio continuo de longitud dx y sección transversal constante de área A.Para el análisis de la energía en una onda que se propaga a través de un medio elástico se utilizará comomodelo la cuerda y el resultado se extenderá a todas las ondas elásticas a través de la generalización de laley de Hooke.

9.1 Densidad de energía en ondas mecánicas

Densidad de energía cinética

La energía cinética de un elemento de cuerda de longitud d x y de masa dm = ρAd x (figura 9.1) es iguala:

dT = 1

2dm

(yt

)2

aquí yt corresponde a la velocidad de vibración del elemento d x. Aquí A es el área de la sección transver-sal de la cuerda y su ρ densidad volumétrica. Con base en esto la expresión anterior toma la siguiente forma,

43

Figura 9.1: Elemento de cuerda

dT

Ad x= 1

2ρ

(yt

)2

uT = 1

2ρ

(yt

)2 (9.1)

donde uT corresponde a la densidad de energía cinética de la cuerda (y en general de un medio materiala través del cual se propaga una onda). Se mide en J.m−3 .

Esta relación es de validez general para todos las ondas elásticas tratadas en estas notas. En el caso de lasondas en los hilos o filamentos (cuerdas muy delgadas) y en los resortes es de mayor uso la densidad linealde energía cinética wT ; como ρ = dm

Ad x = µA , siendo µ la densidad lineal de masa de la cuerda, se obtiene,

wT = 1

2µ

(yt

)2 (9.2)

y se mide en J.m−1.

Densidad de energía potencial

El elemento de cuerda cuando pasa la onda a través de él es estirado por la acción de la fuerza de tensióncuya magnitud es F , que ejerce la porción de la cuerda izquierda (onda viajando hacia valores crecientes dex) y almacena una cantidad dU de energía potencial debido al trabajo realizado por dicha fuerza,

dU =− (−F dξ)

44

donde dξ corresponde a la deformación sufrida por la cuerda que medía d x y pasó a medir√

(d x)2 + (d y

)2,es decir,

dU = F

[√(d x)2 + (

d y)2 −d x

]

dU = F

[d x

√1+ y2

x −d x

]haciendo la aproximación binomial,

dU = F

[d x

(1+ 1

2y2

x

)−d x

]

dU = 1

2F y2

x d x

dU

d x= 1

2F y2

x

wU = 1

2F y2

x (9.3)

donde wU corresponde a la densidad lineal de energía potencial de la cuerda. Se mide en J.m−1 . Ladensidad volumétrica de energía potencial de la cuerda, la cual se mide en J.m−3, es,

uU = dU

Ad x= 1

2

F

Ay2

x (9.4)

sin embargo en el caso de la cuerda es más empleada wU . Observar que la densidad de energía potenciales proporcional al cuadrado de la pendiente, por lo que el elemento de cuerda que está en una cresta o enun valle carece de energía potencial, lo cual confunde ya que en el modelo de partícula oscilando armónica-mente debería tener la máxima energía potencial. Es aquí en donde no se debe usar el modelo de partículasino de elemento continuo, y así se entiende que no posee energía potencial es porque no está deformado.El elemento que está pasando por la posición de equilibrio tiene máxima energía potencial (es el que estámás deformado). En la simulación 4.1 se observa una onda viajera propagándose de izquierda a derecha; esfácil ver que cuando un elemento de cuerda pasa por la posición de equilibrio está más estirado (tiene laspartículas más separadas) y es en esta situación que tiene mayor pendiente.

Simulación 9.1 Onda propagándose en una cuerda

. Según la ley de Hooke generalizada el parámetro de elasticidad de la cuerda es, β = FA , por lo que la

densidad volumétrica de energía potencial generalizada para una onda elástica será,

uU = 1

2β y2

x (9.5)

45

Figura 9.2: Potencia transmitida

Densidad de energía mecánica

La energía mecánica es igual a la suma de la energía cinética mas la energía potencial. Por lo tanto ladensidad lineal de energía mecánica para la cuerda es:

wE = wT +wU = 1

2µ y2

t +1

2F y2

x (9.6)

o en su forma generalizada para todas las ondas mecánicas,

uE = uT +uU = 1

2ρ y2

t +1

2β y2

x (9.7)

Potencia transmitida

Si se supone una onda viajando hacia valores crecientes de x (de izquierda a derecha) la potencia queentrega el elemento de cuerda de la izquierda al de la derecha (figura 9.2) es igual a,

P = Fy Vy = (−F sinα)(yt

)como para amplitudes pequeñas, sinα≈ tanα ,

P = (−F tanα)(yt

)(9.8)

por tanto la potencia transmitida se calcula con la expresión,

P =−F yx yt (9.9)

y se mide en W (Watts, vatios)

46

Intensidad

La intensidad se define como la energía que fluye a traves de una superficie en la unidad de tiempo. Esdecir, es potencia por unidad de área,

I = P

A=−F

Ayx yt (9.10)

es decir para ondas mecánicas generalizadas la intensidad se calcula con,

I =−β yx yt (9.11)

Un análisis sobre el transporte y la conservación de la energía

En la cuerda, la variación instantánea de la densidad de energía lineal es,

∂wE

∂t=µ∂y

∂t

∂2 y

∂t 2 +F∂y

∂x

∂2 y

∂x∂t=µ∂y

∂t

(V 2 ∂

2 y

∂x2

)+F

∂y

∂x

∂2 y

∂x∂t

∂wE

∂t= F

∂y

∂t

∂2 y

∂x2 +F∂y

∂x

∂2 y

∂x∂t= ∂

∂x

(F∂y

∂t

∂y

∂x

)∂wE

∂t+ ∂P

∂x= 0 (9.12)

que es la ecuación de conservación de la energía en el proceso de transporte de energía a través de lacuerda (del medio). Por ejemplo, la variación neta de energía la mecánica acumulada en un tramo de cuerdaentre dos posiciones x1y x2 es,

dE

d t= d

d t

∫ x2

x1

wE d x =∫ x2

x1

∂wE

∂td x =−

∫ x2

x1

∂P

∂xd x = P (x1)−P (x2)

haciendo un balance entre los instantes t y t +∆t se obtiene,

E (t +∆t )−E (t )

∆t= P (x1)−P (x2)

E (t +∆t ) = E (t )+ [P (x1)−P (x2)]∆t

"La energía mecánica final, transcurrido un tiempo ∆t , es IGUAL a la energía mecánica inicial MASla energía mecánica que entra por x1 MENOS la energía mecánica que sale por x2". P (x) es la energía, porunidad de tiempo, que fluye por el punto x, de izquierda a derecha, es decir la POTENCIA TRANSMITIDAen la dirección +x.

9.2 Energía en ondas viajeras

Densidades de energía

En la cinemática de la onda viajera, se mostró que estas cumplen la ecuación diferencial de onda deorden 1,

−V yx = yt

por lo tanto,

47

uU = 1

2β y2

x = 1

2β

(− 1

Vyt

)2

= 1

2βρ

βy2

t = 1

2ρy2

t = uK

es decir, para ondas viajeras se cumple que,

uU = uT (9.13)

y la densidad de energía mecánicas es,

uE = 2uT = 2uU (9.14)

En las ondas viajeras la densidad de energía potencial y la densidad de energía cinética son iguales.Esto es una aparente contradicción puesto que no hay una aparente conversión de energía cinética en en-ergía potencial. Por ejemplo, en la cuerda el elemento que está en una cresta o en un valle no posee nienergía cinética ni energía potencial y el que está pasando por la posición de equilibrio posee máxima en-ergía cinética y máxima energía potencial. Sin embargo, esto no debe ser motivo de preocupación puestoque en el caso de la onda viajera un elemento del medio está cediendo la energía al elemento contiguo y asísucesivamente. Hay flujo de energía: la aparente pérdida de energía en ausencia de fuerzas de rozamientose debe a que está ella fluyendo.

Intensidad

La intensidad se calcula con la expresión 9.11, y por lo tanto se tendrá para la onda viajera,

I =−β yx yt =−β yx(−V yx

)=βV y2x

I =V uE (9.15)

y se mide en W.m−2 .

Ondas viajeras armónicas

Densidades de energía

Si la onda que se propaga por el medio material es armónica plana en el sentido positivo de la x, laelongación y la velocidad de vibración de los elementos del medio son respectivamente,

y (x, t ) = A sin(kx −ωt +ϕ0

)yt (x, t ) =−ωA cos

(kx −ωt +ϕ0

)por lo tanto la densidad de energía cinética de un elemento de la cuerda es,

uT = 1

2ρy2

t = 1

2ρω2 A2 cos2 (

kx −ωt +ϕ0)

(9.16)

como en la onda es viajera,uU = uK , la densidad de energía potencial de un elemento será,

uU = 1

2ρω2 A2 cos2 (

kx −ωt +ϕ0)

(9.17)

además la densidad de energía mecánica es,

uE = ρω2 A2 cos2 (kx −ωt +ϕ0

)(9.18)

48

La energía mecánica de un elemento d x de cuerda no se conserva. El elemento cuyo centro de masaestá instantáneamente en la posición de equilibrio, tiene máxima deformación y máxima rapidez, por tantotendrá máxima energía potencial y máxima energía cinética. El elemento cuyo centro de masa está instan-táneamente en una cresta o en un valle, tendrá pendiente cero (no está deformado) y rapidez cero, porlo tanto tendrá energía potencial nula y energía cinética nula. En definitiva no hay conversión de energíacinética en potencial y viceversa. Podría pensarse como un caso de violación de la conservación de la en-ergía, sin embargo, la energía mecánica no permanece constante es debido a que la energía está fluyendo(se está propagando).

En la simulación 4.2 se ilustra la variación de las energías cinética, potencial y mecánica de todos loselementos de una cuerda por la que se propaga una onda transversal. Se detalla la variación de estas energíasen uno de los elementos.

Simulación 9.2 Comportamiento energético de los elementos de una cuerda a través de la cual se propagauna onda .

En la simulación 4.3 se ilustra la variación de las energía cinética y potencial en una partícula que oscilaarmónicamente. Se observa la constancia en la energía mecánica y la conversión permanente de energíacinética en potencial y viceversa.

Simulación 9.3 Comportamiento energético en un oscilador armónico .

Potencia e intensidad

La intensidad de la onda viajera se calcula con la ecuación 9.15,

I = ρω2 A2V cos2 (kx −ωt +ϕ0

)(9.19)

y en promedio,

I = 1

2ρω2 A2V (9.20)

La potencia se obtiene multiplicando la intensidad por el área de la sección transversal del elemento. Esdecir,

P =µω2 A2V cos2 (kx −ωt +ϕ0

)(9.21)

y su promedio en un periodo es,

P = 1

2µω2 A2V (9.22)

Dependencia de la intensidad de la geometría del frente de onda

Despreciando la disipación de energía cuando la onda se propaga, se tendrá,(Intensidad promedio transmitida por la onda

)(área del frente de onda) = constante (9.23)

Frente de onda plana

Como el área del frente de onda plano permanece constante cuando la onda viaja, se concluye que suintensidad se mantiene constante.

49

Frente de onda cilíndrico

Como el área del frente de onda cilíndrico aumenta proporcionalmente con el radio de éste, (area fente onda =2πr L), se concluye que:

I1 ×2πr1L = I2 ×2πr2L

I1

I2= r2

r1(9.24)

Frente de onda esférico

Como el área del frente de onda esférico aumenta proporcionalmente con el cuadrado del radio de éste,(area fente onda = 4πr 2), se concluye que:

I1 ×4πr 21 = I2 ×4πr 2

2

I1

I2= r 2

2

r 21

(9.25)

esta expresión se conoce con el nombre de ley del inverso cuadrado.

50

CA

PÍ

TU

LO

10ONDAS ESTACIONARIAS

Es necesario necesario diferenciarentre las denominadas ondas viajerasy las denominadas ondas estacionar-ias; su comportamiento cinemáticoy la distribución energética es distin-to. Por ejemplo, en las ondas estacionar-ias, en el medio material se presen-tan "puntos"que permanecen quietos,lo que no sucede en las ondas via-jeras: las ondas estacionarias se ob-tienen mediante la superposición deuna onda viajera incidente y su re-flexión en la frontera del medio.Para el estudio del fenómeno de reso-nancia, por ejemplo en la vibraciónde una estructura o de una columna

de aire, es necesario hacer un buen análisis de las ondas estacionarias que se pueden presentar en esos sis-temas con base en sus condiciones de frontera. Estas serán las ideas fundamentales que serán debidamentetratadas en este capítulo.

10.1 Reflexión de ondas en las fronteras

Frontera NODO Si el extremo de una cuerda está atado, la onda que se propaga en ella al llegar a esteextremo se desfasa en π en la reflexión.

Simulación 10.1 Reflexión de la onda en extremo con NODO

Forntera VIENTRE Si el extremo de una cuerda está libre, la onda que se propaga en ella al llegar a esteextremo no se desfasa en la reflexión.

Simulación 10.2 Reflexión de la onda en extremo con VIENTRE

51

10.2 Principio de Superposición

La ecuación diferencial de onda es lineal. Por lo tanto, si se tienen dos soluciones de esta ecuación, lacombinación lineal de ellas también será solución. En física esta propiedad recibe el nombre de "principiode superposición": si dos ondas se solapan, la elongación de la onda resultante será la suma vectorial de laselongaciones de las ondas individuales. A continuación se exponen diferentes situaciones de interés.

Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en fase En laregión de encuentro se refuerzan y da un pulso cuya amplitud es el doble; sin embargo una vez que la aban-donan siguen propagándose intactos.

Simulación 10.3 Superposición de pulsos en fase

Superposición de dos pulsos de igual amplitud que en la región de solapamiento están en oposición Enla región de encuentro se anulan; sin embargo una vez que la abandonan siguen propagándose intactos.

Simulación 10.4 Superposición de pulsos en oposición

Superposición de dos ondas viajeras armónicas que se propagan en la misma dirección, el mismo sen-tido y que además tienen igual frecuencia La onda resultante es una onda viajera y armónica de igualfrecuencia y cuya amplitud depende se la diferencia de fase inicial entre ellas.

Simulación 10.5 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido y frecuencia.

Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, el mismo sentidoy que tienen diferente frecuencia El resultado es una onda viajera que no es armónica sino que tieneamplitud modulada: observe que cada oscilador pulsa.

Simulación 10.6 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido y frecuencia difer-ente.

Superposición de dos ondas armónicas viajeras que se propagan en la misma dirección, sentidos op-uestos y que tienen igual frecuencia e igual amplitud El resultado es una onda armónica estacionaria.

Simulación 10.7 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección y frecuencia pero sentidoopuesto.

10.3 Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos

En la figura 10.1 se ilustra una cuerda atada en sus extremos (como una cuerda de guitarra). En este casose dice que las fronteras de la cuerda son dos NODOS.

Cuando se perturba la cuerda, por ejemplo en su extremo izquierdo, se genera una onda que se de-nomina la onda incidente, yi , la cual al reflejarse en el extremo derecho origina una segunda onda que sedenomina reflejada, yr , que tiene la misma frecuencia y longitud de onda,

yi = Ai sin(kx −w t ) (10.1)

yr = Ar sin(kx +w t +ϕ0

)(10.2)

52

Figura 10.1: Cuerda atada en los extremos

Por lo tanto, la cuerda oscilará con una superposición de estas dos ondas,

y = yi + yr = Ai sin(kx −w t )+ Ar sin(kx +w t +ϕ0

)(10.3)

Las condiciones de frontera son,

y (0, t ) = y (L, t ) = 0, ∀t (10.4)

Aplicando la primera condición, y (0, t ) = 0, ∀t .{−Ai + Ar cosϕ0 = 0

Ar sinϕ0 = 0

es decir, ϕ0 = 0,π (valores más representativos). Si se toma el valor de π, se obtiene, Ar =−Ai , lo cual noes posible puesto que ambas amplitudes deben ser positivas (amplitudes negativas no tienen interpretaciónfísica). Por lo tanto ϕ0 = 0 y Ar = Ai = A, así que la ecuación 10.3 se transforma en,

y = yi + yr = A sin(kx −w t )+ A sin(kx +w t ) (10.5)

Nota: Es importante anotar que ϕ0 = 0 corresponde a una diferencia de fase entre la onda incidente yi yla reflejada yr en x = 0 de π,

yr∣∣

x=0 = Ar sin w t

yi∣∣

x=0 =−Ai sin w t

y por tanto,

yi∣∣

x=0 = −yr∣∣

x=0

En definitiva, la cuerda oscila con una superposición (en este caso será una interferencia) de dos on-das viajeras que vibran en la misma dirección y que se propagan en sentidos opuestos pero con todos sus

53

parámetros iguales (amplitud, número de onda, longitud de onda, frecuencia, período), ecuación 10.5, o suequivalente,

y = 2A sinkx cos w t (10.6)

Simulación 10.8 Superposición de ondas armónicas viajeras de igual dirección, sentido opuesto e igualfrecuencia diferente. .

A este tipo de ondas se les denomina ondas estacionarias. Matemáticamente se caracterizan porque sonde variables separables (son el producto de una función que solo depende del tiempo t , con una funciónque solo depende de la posición x). Cumplen la ecuación de onda de orden dos V 2 yxx = yt t , pero no la deorden uno −V yx = yt ,. Esto trae consecuencias sorprendentes que diferencian sustancialmente el compor-tamiento cinemático y energético de una onda viajera del de una onda estacionaria. Por ejemplo en la ondasestacionarias hay elementos del medio donde sus centros de masa no se mueven en ningún instante y estánubicados en las posiciones denominadas NODOS, y elementos del medio donde sus centros de masa estáubicados en las posiciones llamadas VIENTRES o ANTINODOS en donde en todo instante la pendiente esnula.

Simulación 10.9 Onda estacionaria en una cuerda. .

En la práctica como los medios son limitados (poseen fronteras), se van a presentar muy a menudo lasuperposición de esta dos ondas viajeras (incidente y reflejada) para obtenerse ondas estacionarias.

Nodos y Vientres En una onda estacionaria hay elementos del medio cuyos centros de masa se mantienenquietos en todo instante y están ubicados en los denominados NODOS y hay elementos del mismo cuyocentro de masa vibra en una posición denominada VIENTRE o ANTINODO en donde la pendiente es ceroen todo instante. Entre NODO y NODO o entre VIENTRE y VIENTRE consecutivos hay una separación de λ

2

por lo que la separación entre VIENTRES y NODOS consecutivos será λ4 .

Para mostrar lo dicho en el párrafo anterior, se debe tener en cuenta que en los NODOS se deben cumplirque la velocidad de vibración en todo instante es nula (yt = 0, ∀t ) y en los vientres la pendiente de y = f (x)debe ser nula en todo instante (yx = 0, ∀t ) .

Posición de los NODOS

∂y

∂t= 0, ∀t

Derivando la ecuación 10.6,

−2w A sinkx sin w t = 0, ∀t

sinkx = 0

kx = nπ, n = 0,±1,±2, . . . (10.7)

sin embargo, para el caso de la cuerda que se está considerando, n = 0,1,2,3, .., ya que no tendrían sen-tido los valores negativos.

Adicionalmente, la separación entre dos nodos consecutivos será,

xn+1 −xn = λ

2(10.8)

54

es decir, dos nodos consecutivos están separadosλ2 .Posición de los VIENTRES

∂y

∂x= 0, ∀t

Derivando la ecuación 10.6,

2k A coskx cos w t = 0, ∀t

coskx = 0

kx = (2n −1)π

2, n = 0,±1,±2, . . . (10.9)

sin embargo, para el caso de la cuerda que se está considerando, n = 1,2,3, .., ya que no tendrían sentidolos valores negativos.

Análogamnete al caso de los nodos, se puede mostrar que la separación entre vientres consecutivos esigual a λ

2 .

Aplicando la segunda condición de frontera, y (L, t ) = 0, ∀t Haciendo x = L en la ecuación 10.6,

2A sinkL cos w t = 0, ∀t

kL = nπ, n = 0,±1, . . .

aquí se deben desechar los valores negativos de n ya que corresponderían a números de onda nega-tivos y por ende como k = 2π

λ , correspondería a longitudes de onda negativas, lo que no tendría significadofísico. También se debe desechar n = 0, puesto que correspondería a una longitud de onda infinita, lo quesignificaría que el medio no vibra (la cuerda no vibra), lo cual sería el caso trivial. En definitiva se obtiene,

kL = nπ, n = 1,2, . . .

se observa que el número de onda entra a depender de los números naturales. Es interesante remarcaresto colocandole subíndice n,

kn = nπ

L, n = 1,2, . . . (10.10)

Como k = 2πλ y λ f =V , se puede escribir también relaciones equivalentes para las longitudes de onda y

para las frecuencias,

λn = 2L

n(10.11)

fn = nV

2L(10.12)

De estas dos relaciones se concluye que:

λn = 2Ln significa que la cuerda con fronteras vibra en una onda estacionaria, cuando en la longitud de

la cuerda caben exactamente un número entero de semilongitudes de onda:

L = n

(λn

2

)(10.13)

55

la frecuencia de la cuerda con fronteras está cuantizada. Es decir la cuerda tiene una colección defrecuencias a las cuales podrá vibrar como onda estacionaria. A estas frecuencias se les denomina fre-cuencias propias o frecuencias naturales, fn . A la frecuencia más baja, f1 = V

2L se le denomina frecuen-cia del primer armónico o frecuencia fundamental. A la segunda frecuencia f2 = 2 f1, se le denominafrecuencia del segundo armónico, y así sucesivamente.

a cada armónico n (o también llamado onda estacionaria n) de la cuerda con fronteras le correspondeuna onda dada por la ecuación,

yn = 2An sinkn x cos wn t (10.14)

en donde a la expresión an (x) = 2An sinkn x se le denomina perfil del armónico n

como yn = an (x)cos wn t , se concluye que cuando la cuerda con fronteras vibra como una ondaestacionaria (es decir, en un armónico), todas sus elementos (exceptuando los NODOS) vibran conmovimiento armónico simple pero con una amplitud que dependerá de la posición del elemento sobrela cuerda, an (x), pero todos tienen igual frecuencia fn .

Cada armónico tiene una longitud de ondaλn = 2Ln y una frecuencia fn diferentes a los demás armóni-

cos. Sin embargo, el producto de estas dos magnitudes debe ser constante para todos los armónicos,

λn fn =V (10.15)

En la figura 10.2 se analiza los primeros armónicos de esta cuerda con nodos en la fronteras. En losNODOS la cuerda no vibra y en los VIENTRES la cuerda vibra con máxima amplitud (2An). En la figura larelación de la columna 3 se obtiene observando las gráficas de la columna 2. La relación de frecuencia de lacolumna 4 se puede obtener a partir de la columna 3 sabiendo queλn fn =V . Es decir, mediante observaciónde los perfiles de los armónicos se puede concluir que,

fn = nV

2L

donde n son los números naturales, V la velocidad de propagación de las ondas viajeras transversalesen la cuerda (que componen la onda estacionaria) y L la longitud de la cuerda.

Se deben observar los siguientes detalles en el movimiento de los elementos de la cuerda cuando éstavibra como onda estacionaria:

Entre nodo y nodo consecutivo (o entre vientre y vientre consecutivo) la separación es igual a λn2 ,

siendo λn la longitud de onda del modo respectivo.

Entre nodo y vientre consecutivo la separación es igual a λn4 , siendo λn la longitud de onda del modo

respectivo.

Entre nodo y nodo consecutivo todos los elementos vibran (en cuanto a la variable tiempo) en fase. Encambio a lados opuestos de un mismo nodo los elementos vibran en oposición (es decir desfasadosπ). Por tanto en una onda estacionaria los elementos que vibran están en fase o están en oposición.

Los elementos que están en los vientres se mueven con mayor rapidez promedio.

Hay instantes en que todas los elementos de la cuerda pasan simultáneamente por su posición deequilibrio. Es decir, hay instantes en que la cuerda está alineada.

Todos los elementos de la cuerda (excepto las que están en los nodos) vibran con la misma frecuenciaf y el mismo período P pero no con la misma amplitud.

56

Figura 10.2: Perfiles de algunos armónicos

57

Simulación 10.10 Onda estacionaria en una cuerda: 10 primeros modos

Simulación 10.11 Cronogramas ondas estacionarias: transversal y longitudinal

Ejercicio 10.1 Una cuerda con sus extremos fijos está vibrando en uno de sus armónicos, de tal forma quela ecuación de la elongación en en SI es y = 0,002sin3πx cos5πt . Calcular: (a) La frecuencia de angularde vibración. (b) La frecuencia de vibración en Hz. (c) El número de onda. (d) La longitud de onda. (e) Lavelocidad de propagación y la amplitud de las ondas viajeras que la componen. (f) Su longitud, si el modoen el que vibra es el armónio cinco. Escribir en el SI las ecuaciones de la elongación de las ondas viajerasque la componen.

10.4 Obtención de ondas estacionarias por resonancia

¿Cómo oscila una cuerda cuando un agente externo la excita? Si el agente externo sólo ejerce una ex-citación que no es permanente, la cuerda oscilará en una combinación de armónicos, los cuales se dis-tribuirán la energía de acuerdo a las condiciones iniciales (forma como fue excitada). La amplitud de vi-bración no será muy grande.

Si el agente externo ejerce la excitación permanentemente, la cuerda vibrará a la frecuencia de esteagente y en caso de no coincidir con alguna de las frecuencias propias de la cuerda seguirá habiendo unacombinación de armónicos. De nuevo la amplitud de vibración no será apreciable. En caso de coincidir lafrecuencia excitadora con una de la frecuencias de alguno de los armónicos, entrará la cuerda en RESONAN-CIA y sólo vibrará en este armónico y con amplitud apreciable. En esta situación se dice que la cuerda estáoscilando en una onda estacionaria.

¿Cómo lograr que una cuerda oscile en un armónico determinado? La primera forma para lograr que lacuerda oscile en un armónico determinado, es dándole las condiciones iniciales necesarias para favorecersólo este armónico. Por ejemplo dándole a la cuerda la forma geométrica del armónico deseado y luegosoltándola. Como puede imaginarse, esto sería muy complicado.

La mejor forma de lograrlo es calculando la frecuencia del armónico deseado y mediante un agenteexterno oscilante (fuerza externa oscilante, por ejemplo un diapasón), se forzaría la cuerda a esta frecuencia(resonancia).

En la figura 10.3 A se ilustra la obtención mediante la resonancia, del modo 2 (segundo armónico) deuna cuerda atada en sus extremos. El agente externo excitador es un vibrador acoplado a la cuerda en suextremo inferior. Se observa como la experimentadora puede ajustar la frecuencia del vibrador.

Las mismas preguntas que se plantaearon en el caso de una cuerda, se pueden plantear para la vibraciónde cualquier medio material. Por ejemplo, en la figura 10.3 B se ilustra la obtención de ondas estacionariasen un resorte mediante la resonancia con un agente excitador externo (en este este caso es un vibradoracoplado en la parte inferior). Claramente se observa los nodos y los vientres. La separación entre dos nodoso dos vientres consecutivos corresponde a media longitud de onda de la ondas viajeras que componen laonda estacionaria.

Video 10.1 Ondas estacionarias en una cuerda.

Video 10.2 Ondas estacionarias en una cuerda observadas con luz estroboscópica.

58

Figura 10.3: Cuerda y resorte vibrando en resoanacia

10.5 Ondas estacionarias en tubos sonoros

Los tubos de caña o de otras plantas de tronco hueco, constituyeron los primeros instrumentos musi-cales. Emitían sonido soplando por un extremo. El aire contenido en el tubo entraba en vibración emitiendoun sonido. Las versiones modernas de estos instrumentos de viento son las flautas, las trompetas y los clar-inetes, todos ellos desarrollados de forma que el intérprete produzca muchas notas dentro de una ampliagama de frecuencias acústicas (frecuencias entre 16 Hz y 20000 Hz).

El órgano es un instrumento formado por muchos tubos en los que cada tubo da una sola nota. El órganode la sala de conciertos de La Sydney Opera House terminado en 1979 tiene 10500 tubos controlados por laacción mecánica de 5 teclados y un pedalero.

El tubo de órgano es excitado por el aire que entra por el extremo inferior. El aire se transforma en unchorro en la hendidura entre el alma (una placa transversal al tubo) y el labio inferior. El chorro de aireinteractúa con la columna de aire contenida en el tubo; las ondas que se propagan a lo largo de la corrienteturbulenta mantienen una oscilación uniforme en la columna de aire haciendo que el tubo suene.

Cuando los tubos están en resonancia con la fuente de vibración, se generan ondas estacionarias en él.La fuente de vibracion se encuentran en una extremidad del tubo: la boca de una flauta o el escarpado de unsaxofon accionado por una corriente de aire. Generalmente ésta fuente emite un sonido complejo en el cualse encuentra la frecuencia conveniente para producir el sistema de ondas estacionarias en un tubo dado. Eltubo vibrante reacciona entonces sobre la fuente y las vibraciones que no corresponden a la resonancia sonamortiguadas rápidamente.

59

Tubo abierto

Si un tubo es abierto el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en los extremos (VIEN-TRES de deformación). En la simulación 5.12 se ilustra los primeros 5 modos en un tubo abierto. En ella seobserva claramente que la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitudde onda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. También se puedeobservar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en un NODO es el que más sedeforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyo centro de masa está en un

VIENTRE no sufre deformación (densidad de energía potencial nula, es decir, ∂y∂x = 0, en todo instante).

Simulación 10.12 Ondas estacionarias en un tubo abierto .

Al observar la simulación se deduce también que:

En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe media longitud de onda (tanto de la onda deelongación como de la onda de presión):

L = λ1

2

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe una longitud de onda (tanto de la onda deelongación como de la onda de presión):

L = 2

(λ2

2

)En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo caben 3/2 de longitudes de onda (tanto de la ondade elongación como de la onda de presión):

L = 3

(λ3

2

)En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo caben 2 longitudes de onda (tanto de la onda deelongación como de la onda de presión):

L = 4

(λ4

2

)En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud L del tubo cabe un númeronatural de semilonitudes de onda, es decir,

L = n

(λn

2

); n = 1,2,3 · · ·

como λn fn = V , siendo λn la longitud de onda en el modo n , y fn la frecuencia del mismo, se obtieneque,

fn = nV

2L(10.16)

V corresponde a la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna de gas (veloci-dad del sonido). En caso de ser aire a temperatura de unos 20 0C y a la presión de 1 atm será aproximada-mente de 340.0 m/s ( a este valor se le denomina Mach).

Para los tubos abiertos se debe considerar que los vientres de deformación de la onda estacionaria tien-den a formarse fuera del tubo (irradiación de onda) y no exactamente en los extremos del tubo, por lo que

60

la longitud de la columna de aire vibrante es algo mayor que la del tubo. Este hecho es tenido en cuenta enla construcción del instrumento aplicando un factor de corrección para determinar la longitud exacta deltubo en función del primer armónico que se pretende obtener. La medida en que se prolonga la columna deaire al irradiarse en los extremos está en relación con las dimensiones del tubo. Cuanto más largo y delgadoes este, mayor irradiación se presenta.

Ejemplo Un tubo abierto tiene una longitud igual a 1.00m. Encontrar las frecuencias de sus tres primerosarmónicos.

Solución Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión 10.16 Por tanto , la frecuencia fun-damental es,

f1 = 340m.s−1

2×1,00m= 170Hz

De la misma forma se puede calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando n por2 y 3 respectivamente, obteniéndose los valores de 340 Hz y 510 Hz.

Tubo cerrado

Si un tubo es cerrado el aire (o gas que contiene) vibra con su máxima amplitud en el extremo dondeestá la fuente de vibración (VIENTRE de deformación) y en el extremo opuesto no vibrará (NODO de de-formación). En la simulación 5.13 se ilustra los primeros 10 modos en un tubo cerrado. En ella se observanuevamente como la onda de presión y la de deformación están desfasadas en un cuarto de longitud deonda: donde hay un VIENTRE de deformación hay un NODO de presión y viceversa. Como en la simulaciónanterior, también se puede observar que el elemento de la columna gaseosa cuyo centro de masa está en unNODO es el que más se deforma (densidad de energía potencial máxima), mientras que el elemento cuyocentro de masa está en un VIENTRE no sufre deformación (densidad de energía potencial nula, es decir,∂y∂x = 0 , en todo instante)

Simulación 10.13 Ondas estacionarias en un tubo cerrado .

Al observar la simulación se deduce también que:

En el armónico 1 (modo 1) en la longitud L del tubo cabe 1/4 de la longitud de onda (tanto de la ondade elongación como de la onda de presión):

L = λ1

4

En el armónico 2 (modo 2) en la longitud L del tubo cabe 3/4 de la longitud de onda (tanto de la ondade elongación como de la onda de presión):

L = 3

(λ2

4

)En el armónico 3 (modo 3) en la longitud L del tubo cabe 5/4 de la longitud de onda (tanto de la ondade elongación como de la onda de presión):

L = 5

(λ3

4

)

61

Figura 10.4: Tubo sonoro

En el armónico 4 (modo 4) en la longitud L del tubo cabe 7/4 de longitud de onda (tanto de la onda deelongación como de la onda de presión):

L = 7

(λ4

4

)En general si se sigue aumentando de modo, se conluye que en la longitud L del tubo cabe un númeronatural impar de cuartos de longitudes onda, es decir,

L = (2n −1)

(λn

4

); n = 1,2,3, · · ·

como λn fn = V , siendo λn la longitud de onda en el modo n , y fn la frecuencia del mismo, se obtieneque,

fn = (2n −1)V

4L(10.17)

V corresponde a la velocidad de propagaciòn de las ondas longitudinales en la columna gaseosa (veloci-dad del sonido).

En la figura 10.4 se ilustra un tubo cerrado el cual puede modificar la longitud de la columna de airemediante el desplazamiento de un piston en el extremo cerrado.

Video 10.3 Resonancia en tubos cerrados

Ejemplo Un tubo cerrado tiene una longitud igual a 1.00 m. Encontrar las frecuencias de sus tresprimeros armónicos.

62

Solución Para calcular las frecuencias propias empleamos la expresión 10.17. Por tanto, la frecuencia fun-damental es,

f1 = 340m.s−1

4×1,00m= 85,0Hz

De la misma forma se pueden calcular las frecuencias del segundo y tercer armónico reemplazando npor 2 y 3 respectivamente, obteniéndose valores de 255 Hz y 425 Hz.

Ejercicio 10.2 Si se mojan los dedos y se les pasa suavemente por el arillo de la parte superior de una copade vidrio, se escucha un sonido muy agudo. ¿Por qué? ¿Cómo se pueden producir diferentes notas musicalescon un conjunto de copas de vino?

Ejercicio 10.3 Una columna de aire de 2.00 m de largo está abierta en sus dos extremos. La frecuencia deuna armónica es de 410 Hz y la frecuencia de la armónica siguiente es de 492 Hz. Determinar la rapidez delsonido en la columna de aire.

Ejercicio 10.4 La frecuencia del tercer armónico en un tubo de órgano abierto en los dos extremos es iguala la frecuencia del tercer armónico de otro tubo de órgano que está cerrado en un extremo. (a) Encontrar larazón entre la longitud el tubo cerrado a la longitud del tubo abierto. (b) Si la frecuencia fundamental deltubo abierto es 256 Hz, ¿cuál es la longitud de cada tubo? Rp: (a) 0.833 (b) 0.664 m y 0.553 m

10.6 Análisis de las ondas estacionarias en otros sistemas

Frecuencias Naturales (Otros sistemas)

En la sección precedentes se calcularon las frecuencias propias (o naturales) de una cuerda oscilante consus extremos fijos. También se hizo lo mismo para el caso de una columna de gas dentro de un tubo abiertoy un tubo cerrado. En general, todo sistema oscilante (cuerda, barra, columna de gas, resorte,...) que tengacondiciones de frontera (es decir, todo sistema limitado), tiene su frecuencia cuantizada. En estos casos,para poder estudiar las formas naturales en que pueden vibrar, es necesario hallar la fórmula que expreseesta regla de cuantización.

Tres situaciones de frontera básicas son:

sistemas (medio de propagación) con extremos fijos (NODO-NODO),

sistemas con extremos libres (VIENTRE-VIENTRE),

sistemas con un extremo fijo y otro libre (NODO-VIENTRE).

Sistema NODO-NODO o VIENTRE-VIENTRE Se presentará que,

L = nλn

2; n = 1,2,3, · · ·

es decir, en su longitud L, cabrán un número natural (n) de semilongitudes de onda, siendo n el númerodel armónico en el cual está vibrando el sistema. Por tanto, como λn fn =V , se obtiene la siguiente regla decuantización de las frecuencias:

fn = nV

2L; n = 1,2,3, · · · (10.18)

V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas en ese medio y L la longitud del medio.

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Ondas Viajeras Ondas EstacionariasPresentan crestas y valles Presentan vientres y nodosCumplen la ecuaciones de onda de orden 1 y deorden 2

Sólo cumplen la ecuación de onda de orden 2

Dos elementos del medio por el cual se propagala onda estarán en fase (en el tiempo) sólo si es-tán espacialmente separados por números en-teros de longitudes de onda

Todos los elementos del medio en el cual se pre-sentan las ondas estacionarias estarán en fase(en el tiempo) si se encuentran ubicados entredos nodos consecutivos

Tabla 10.1: Diferencia entre Ondas Viajeras y Estacionarias

Sistema NODO-VIENTRE Se presentará que,

L = (2n −1)λn

4; n = 1,2,3, · · ·

es decir, en su longitud L, cabrán un número natural impar de cuartos de longitudes de onda, siendo n elnúmero del armónico en el cual está vibrando el sistema. Por tanto, como λn fn =V , se obtiene la siguienteregla de cuantización de las frecuencias:

fn = (2n −1)V

4L; n = 1,2,3, · · · (10.19)

V corresponde a la velocidad de propagación de las ondas en ese medio y L la longitud del medio.

Ejercicio 10.5 Se generan ondas longitudinales en una barra metálica de 60,0 cm de larga afianzada en unextremo, cuando esta es golpeada con un martillo. Si la frecuencia mínima con la cual resonará la barra esigual a 1,88 kHz, ¿cuánto vale el módulo de Young de dicho metal si su densidad es igual a 7.20x103 kg.m−3?

Video 10.4 Ondas estacionarias en una placa circular.

Video 10.5 Ondas estacionarias en una placa rectangular.

10.7 Diferencias entre la cinemática de las ondas viajeras y de las ondas estacionarias

Observar la tabla 10.1

10.8 Energía en ondas estacionarias

Densidades de energía

Las ondas estacionarias no satisfacen la ecuación de onda de orden 1,−V yx = yt , y por lo tanto nocumplen que uT = uU , como es el caso de ondas viajeras.

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Ondas estacionarias armónicas

Densidades de energía

Si se consideran ondas estacionarias armónicas como por ejemplo las que se presentan en una cuerdascon sus extremos fijos, la elongación es igual a,

yn = 2An sinkn x cosωn t (10.20)

por tanto, las densidades de energía cinética y potencial son,

uT = 1

2ρy2

t = 2ρω2n A2

n sin2 kn x sin2ωn t (10.21)

uU = 2βk2n A2

n cos2 kn x cos2ωn t (10.22)

como, V =√

βρ y kV =ω, se concluye que, 2βk2

n A2n = 2V 2ρk2

n A2n = 2ρω2

n A2n y por lo tanto,

uE = uT +uU = 2ρω2n A2

n

[sin2 kn x sin2ωn t +cos2 kn x cos2ωn t

](10.23)

Se debe observar que si se toma un elemento de cuerda d x, la energía cinética de la partícula que lorepresenta, (es decir, su centro de masa) no es igual a la energía potencial como si lo es en el caso de unaonda viajera. Para los elementos cuyos centros de masa están ubicados en un nodo la energía cinética esnula siendo su energía toda potencial. Sucede lo opuesto para los elementos cuyos centros de masa estánubicados en los vientres. Esto se ilustra en la simulación 6.1.

Simulación 10.14 Comportamiento energético en una onda estacionaria en una cuerda

Densidad de energía mecánica promedio

Promediando en x se obtiene,

uE = ρω2n A2

n (10.24)

Como, ωn = 2π fn y fn = nV2L , se obtiene,

uE =[π2ρV 2 A2

n

L2

]n2 (10.25)

expresión que corresponde al promedio de la energía mecánica del armónico n.

Intensidad promedio

La intensidad según la ecuación 9.11 es,

I =−β yx yt =−β [2kn An coskn x cosωn t ] [−2ωn An sinkn x sinωn t ]

I =βA2nknωn sin2kn x sin2ωn t

como, β=V 2ρ y kV =ω,

I = ρVω2 A2n sin2kn x sin2ωn t (10.26)

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y la intensidad promedio en una onda estacionaria en un período temporal es cero,

I = 0 (10.27)

como era de esperarse ya que cada una de las ondas viajeras que la componen propagan la misma en-ergía en sentidos opuestos.

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CA

PÍ

TU

LO

11SONIDO

Las ondas que se propagan a lo largo de un resortecomo consecuencia de una compresión longitudinal delmismo constituyen un modelo de ondas mecánicas quese asemeja bastante a la forma en la que el sonido segenera y se propaga. Las ondas sonoras en los fluidos seproducen también como consecuencia de una compre-sión del medio a lo largo de la dirección de propagación.Son, por tanto, ondas longitudinales.Si un globo se conecta a un pistón capaz de realizar unmovimiento alternativo mediante el cual inyecta aire alglobo y lo toma de nuevo, aquél sufrirá una secuencia deoperaciones de inflado y desinflado, con lo cual la pre-

sión del aire contenido dentro del globo aumentará y disminuirá sucesivamente. Esta serie de compresionesy enrarecimientos alternativos llevan consigo una aportación de energía, a intervalos, del foco al medio ygeneran ondas sonoras. La campana de un timbre vibra al ser golpeada por su correspondiente martillo, loque da lugar a compresiones sucesivas del medio que la rodea, las cuales se propagan en forma de ondas .Un diapasón, la cuerda de una guitarra o la de un violín producen sonido según un mecanismo análogo.En los sólidos se dan ondas sonoras transversales además de las longitudinales. Dichas ondas transversalesaparecen en los sólidos porque en éstos las fuerzas entre las moléculas ordenadas no actuán tan solo en lamisma dirección de la onda sino también en direción transversal a la misma. Como las fuerzas recuparado-ras para el movimiento trasnversal son más débiles, la velocidad de la onda transversal es en general menorque la de la onda longitudinal. En estas notas sólo se analizarán las ondas sonoras longitudinales.En definitiva, para que se produzca un sonido, es necesario que exista un cuerpo que vibre y un medio elás-tico que propague esas vibraciones.Los sonidos son diferentes unos de otros, la voz de un ser humano sepuede distinguir del sonido que emiten los pájaros, de un instrumento musical o del viento; pero para quepueda transmitirse requiere de un medio que puede ser gaseoso, sólido o líquido. El ser humano requieredel aire para comunicarse mediante los diversos sonidos, los peces del agua y algunos animales como lostopos y castores de la tierra que es sólida. En el vacío el sonido no se propaga.El sonido se propaga más rápido en el estado sólido que en el estado líquido y se propaga más rápido en elestado líquido que en el gaseoso. La razón de esto tiene que ver con la cercanía de las partículas en cada unode estos medios y en la magnitud de la interacción eléctrica entre ellas. El sonido en el hierro se propaga aunos 5000 m/s, en el agua a unos 1500 m/s y en el aire a temperatura ambiente a unos 340 m/s.En relación a la frecuencia,el oído humano es capaz de captar sonidos emitidos entre los 16 Hz y los 20.000Hz. Los ultrasonidos tienen una frecuencia mayor a los 20.000 Hz y los infrasonidos una frecuencia menor a

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los 16 Hz.

En resumen, las ondas sonoras en los fluidos son longitudinales y mecánicas.

11.1 Fundamentos

Estas notas se concentrarán en la propagación del sonido a través de un gas, sección 8.4. En este casose propagan simultaneamente tres ondas: una onda de elongación (deformación), una onda de presión y

una onda de densidad. Las tres viajan a la misma velocidad, V =√

Bρ0

, en donde B es el módulo de com-

presibilidad del gas (se mide en N.m−2=Pa) y ρ0 su densidad volumétrica (se mide en kg.m−3) en estado deequilibrio (en el caso del aire a unos 25 ºC el valor es aproximadamente 340 m/s). En la simulación 7.1 seilustra la onda longitudinal viajando en un gas:

Simulación 11.1 Onda longitudinal viajando en gas .

En la sección 8.4 se ilustra además el porqué la onda de presión y la de elongación están desfasadas enλ4 . Tener en cuenta que la onda de presión corresponde a oscilaciones de la presión alrededor de la presiónatmosférica, es decir, a oscilaciones de la denominada presión manométrica. La onda de deformación (oelongación), corresponde a oscilaciones de las partículas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Un valleen la onda de presión, corresponde a una presión manométrica negativa, o sea, a una expansión. Una crestacorresponde a una presión manométrica positiva, o sea, a una compresión. Además, la amplitud de presiónP0 y la amplitud de elongación A se relacionan mediante la expresión:

P 0 = Bk A =V ρ0ωA (11.1)

Por ejemplo, a 400 Hz , el sonido más débil que se puede escuchar corresponde a una amplitud de pre-sión de alrededor 8,00x10−5 N.m−2 . La correspondiente amplitud de deformación A, suponiendo una den-sidad del aire de 1,29 kg.m−3 y una velocidad del sonido de 345 m.s−1, y recordadando que ω= 2π f es,

A = P 0

V ρ0ω= 7,15×10−11 m

Esta amplitud de vibración de las partículas del gas es del orden de las dimensiones moleculares (10−12

m), y mucho menor que la separación molecular media en un gas. En la práctica se prefiere tratar la ondasonora estudiando la onda de presión.

11.2 Cualidades del sonido

El oído es capaz de distinguir unos sonidos de otros porque es sensible a las diferencias que puedanexistir entre ellos en lo que concierne a alguna de las tres cualidades que caracterizan todo sonido y que sonla intensidad, el tono y el timbre. Aun cuando todas ellas se refieren al sonido fisiológico, están relacionadascon diferentes propiedades de las ondas sonoras.

La intensidad

La intensidad del sonido percibido, o propiedad que hace que éste se capte como fuerte o como débil,está relacionada con la intensidad de la onda sonora correspondiente, también llamada intensidad acús-tica. La intensidad acústica es una magnitud que da idea de la cantidad de energía que está fluyendo porel medio como consecuencia de la propagación de la onda. Se define como la energía que atraviesa porsegundo una superficie unidad dispuesta perpendicularmente a la dirección de propagación. Equivale a lapotencia por unidad de superficie y se expresa en W. m−2.

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Ley del inverso cuadrado

La intensidad de una onda sonora es proporcional al cuadrado de su frecuencia y al cuadrado de suamplitud y si la consideramos una onda plana senusoidal cumpliría que en promedio es igual a (ecuación9.20):

I = 1

2ρω2 A2V

En general la onda sonora no es plana sino esférica. debido a que las fuentes son en general puntuales.Por tanto, la intensidad decrece a medida que el sonido avanza, de acuerdo a la ley del inverso cuadrado (versubsección 9.2),

I1

I2= r 2

2

r 21

(11.2)

Nivel de intensidad

La ley de Weber-Fechner Establece una relación cuantitativa entre la magnitud de un estimulo físico ycomo este es percibido. Fue propuesta en primer lugar por Ernst Heinrich Weber (1795-1878), y elaboradahasta su forma actual por Gustav Theodor Fechner (1801-1887). Ernst Heinrich Weber estableció su ley dela sensación (o Ley de Weber) en la que formulaba la relación matemática que existía entre la intensidadde un estímulo y la sensación producida por éste. Estos y otros descubrimientos llevaron a la convicción deque era posible explicar mediante principios físico-químicos todos los actos humanos.

La ley expresa que la relación entre el estímulo y la percepción corresponde a una escala logarítmica:

La sensación crece con el ogaritmo del estímulo. Esta relación logarítmica significa que si un estímulocrece como una progresión geométrica (es decir multiplicada por un factor constante), la percepción evolu-cionará como una progresión aritmética (es decir con cantidades añadidas).

Aplicada esta ley al sonido expresa que el nivel sonoro crece con el logaritmo de la intensidad, es decircuando la intensidad crece en progresión geométrica, la sonoridad crece en progresión aritmética. A estaescala se le denomina nivel de intensidad β y se expresa en dB:

β= 10lgI

I0(11.3)

donde I0 es una intensidad de referencia. Para el caso del aire se ha tomado 10−12 W.m−2. Una intensidadacústica de 10 decibelios corresponde a una energía diez veces mayor que una intensidad de cero decibelios;una intensidad de 20 dB representa una energía 100 veces mayor que la que corresponde a 0 decibelios y asísucesivamente. El nivel de intensidad mide la sensación y la intensidad mide el estímulo. En la tabla 11.1 seilustra las equivalencias entre las intensidades y los niveles de intensidad de ondas sonoras en el aire y en latabla 11.2 se ilustra ejemplos de ondas sonoras cotidianas y su valor aproximado de nivel de intensidad β.

Ejercicio 10.1 Camila gritando genera un sonido de 70 dB, ¿Cuántas personas deberían gritar con la inten-sidad de Camila para generar entre todos un sonido de 80 dB?

Ejercicio 10.2 Una fuente puntual emite un sonido tal que a 1.00 m de ella tiene un nivel de intensidadigual a 40 db. ¿A qué distancia no se escuchará el sonido emitido por la fuente?

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I (w.m2) β (dB)100 12010−1 11010−2 10010−3 9010−4 8010−5 7010−6 6010−7 5010−8 4010−9 3010−10 2010−11 1010−12 0

Tabla 11.1: Intensidad y Nivel de Intensidad

Ejemplo β (dB)Sonido más tenue que percibe el oído humano 0Biblioteca silenciosa 30Conversación normal, máquina de cocer,máquina de escribir

60

Cortadora de pasto, herramientas pesadas, tráfi-co pesado

90

Motosierra, Martillo neumático 100Concierto de rock pesado, bocina de auto 115Explosión, Motor de jet 140

Tabla 11.2: Ejemplos cotidianos de niveles de intensidad sonora

El timbre

El timbre es la cualidad del sonido que permite distinguir sonidos procedentes de diferentes instrumen-tos, aun cuando posean igual tono e intensidad. Debido a esta misma cualidad es posible reconocer a unapersona por su voz, que resulta característica de cada individuo. El timbre está relacionado con la comple-jidad de las ondas sonoras que llegan al oído. Pocas veces las ondas sonoras corresponden a sonidos puros;sólo los diapasones generan este tipo de sonidos, que son debidos a una sola frecuencia y representadospor una onda armónica. Los instrumentos musicales, por el contrario, dan lugar a un sonido más rico queresulta de vibraciones complejas. Cada vibración compleja puede considerarse compuesta por una serie devibraciones armónico simples de una frecuencia y de una amplitud determinadas (teorema de Fourier), ca-da una de las cuales, si se considerara separadamente, daría lugar a un sonido puro. Esta mezcla de tonosparciales es característica de cada instrumento y define su timbre: cada instrumento posee su propio es-pectro de Fourier. Debido a la analogía existente entre el mundo de la luz y el del sonido, al timbre se ledenomina también color del tono.

En resumen, el timbre depende del espectro de Fourier del instrumento. Varios instrumentos podríantener la misma frecuencia fundamental (tono), pero se diferenciarán en sus armónicos superiores.

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Hacer simulación de Fourier con sonido

El tono

El tono es la cualidad del sonido mediante la cual el oído le asigna un lugar en la escala musical, permi-tiendo, por tanto, distinguir entre los graves y los agudos. La magnitud física que está asociada al tono es lafrecuencia fundamental. Los sonidos percibidos como graves corresponden a frecuencias fundamentalesbajas, mientras que los agudos son debidos a frecuencias fundamentales altas. Así el sonido más grave deuna guitarra corresponde a una frecuencia de 82,4 Hz y el más agudo a 698,5 Hz. Junto con la frecuencia, enla percepción sonora del tono intervienen otros factores de carácter psicológico. Así sucede por lo generalque al elevar la intensidad se eleva el tono percibido para frecuencias altas y se baja para las frecuenciasbajas. Entre frecuencias comprendidas entre 1 000 y 3 000 Hz el tono es relativamente independiente de laintensida

Hacer video de voz humana con Helio

11.3 Efecto Doppler

Ejercicio 10.3 Un estudiante sostiene un diapasón que oscila a 256 Hz. Camina hacia una pared con unarapidez constante de 1,33 m/s (a) ¿Cuántas pulsaciones escucha? (b) ¿Cuán rápido debe caminar para es-cuchar 5 pulsaciones por segundo? Rp: (a) 1,99 Hz (b) 3,38 m/s

Ejercicio 10.4 La fuente de sonido del sistema de sonar de un barco opera a 25,0 kHz. La rapidez del sonidoen el agua es de 1480 m/s. (a) Calcular la longitud de onda de las ondas emitidas por la fuente. (b) Calcularlas pulsaciones que se detectan cuando al reflejarse las ondas en una ballena que viaja directamente haciael barco a 5,85 m/s. Rp: (a) 0,0592 m (b) 198 Hz

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