DIFERENCIACIÓN POR 3 Y 5 PUNTOS

EL PROBLEMA GENERAL DE APROXIMACIÓN

Se formula en un espacio vectorial normado, a fin de poder emplear la métrica asociada como medida de calidad de la aproximación.

Pero que es un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma) y una operación externa (llamada producto por un escalar).

FORMULAS PARA 3 PUNTOS

)]2()(4)(3[21

)´( 000 hxfhxfxfh

xf

)]()([21

)´( 00 hxfhxfh

xf

)(3)(4)2([21

)´( 000 xfhxfhxfh

xf

EJEMPLO

Para f(x) = y Tenemos:

xxexf )( 1.0h

X F(x)

1.8 10.889365

1.9 12.703199

2.0 14.778112

2.1 17.148957

2.2 19.855030

EJEMPLO

Puesto que , tenemos

Al aproximar f´(2.0) mediante las fórmulas de tres y cinco puntos se obtienen los siguientes resultados:

Aproximando hacia la derecha por 3 puntos:

Con un error de:

xexxf )1()´( 167168.22)0.2´( f

032310.22)]2.2()1.2(4)0.2(3[2.0

1 fff

11035.1

EJEMPLO

Aproximando hacia la izquierda por 3 puntos:

Con un error de:

Aproximando en medio por 3 puntos:

Con un error de

054525.22)]8.1()9.1(4)0.2(3[2.0

1

fff

228790.22)]9.1()1.2([2.0

1 ff

11013.1

21016.6

FORMULAS PARA 5 PUNTOS

)]2()(8)(8)2([121

)´( 0000 hxfhxfhxfhxfh

xf

EJEMPLO

Aproximando por 5 puntos:

Con un error de:

166996.22)]2.2()1.2(8)9.1(8)8.1([2.1

1 ffff

41069.1