146

4.3.Diferenciales

En el cálculo diferencial se estudio diferenciación para y = f(x,y) y se definió

la diferencial de y como dy = f(x) dx. Ahora en esta sección generalizaremos los

conceptos de incrementos y diferenciales a funciones de dos variables o más variables

por ejemplo para una función de dos variables como z = f (x,y) usamos una

terminología similar a la empleada en cálculo diferencial. Llamaremos ∆x , ∆y a los

incrementos de x e y y el incremento de z viene dada por

),(),( yxfyyxxfz −∆+∆+=∆

Definición 4.3.1:

Si f es una función de dos variables x e y entonces el incremento de f en

el punto ),( 00 yx denotado por ∆f ),( 00 yx está dado por

),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆

Ejemplo:

Si f(x,y) = 4x – xy2 encontrar el incremento de f en cualquier punto ),( 00 yx .

),(),(),( 000000 yxfyyxxfyxf −∆+∆+=∆

2000

20

20

2000

2000

200

20

2000

2000

2000

4)22(44

4)2)((44

)4())(()(4

yxxyxyxyxyyxyyxyxxx

yxxyyyyxxxx

yxxyyxxxx

+−∆∆+∆∆+∆+∆+∆+−∆+=

+−∆+∆+∆+−∆+=

−−∆+∆+−∆+=

20

20

20

2000

200 224 yxyxyxyxyyxyyxyxx +∆∆−∆∆−∆−∆−∆−−∆=

20

20

2000 224 yxyxyxyyxyyxx ∆∆−∆∆−∆−∆−∆−∆=

147

Definición 4.3.2:

Si f es una función de dos variables x e y y el incremento de f en el

punto ),( 00 yx se puede escribir

yxyyxfDxyxfDyxf ∆+∆+∆+∆=∆ 2100200100 ),(),(),( εε donde ε1 y ε2

son funciones de ∆x , ∆y tal que ε1→ 0 y ε2 → 0 cuando (∆x , ∆y) → (0, 0)

( y ε1 = ε2 = 0 cuando ∆x = ∆y = 0 ).Se dice también que f es diferenciable en

(x0 , y0 ).

Teorema 4.3.3:

Si una función f de dos variables x e y es diferenciable en un punto, es

continua en ese punto.

Demostración:

Si f es diferenciable en el punto ),( 00 yx ,( por definición 4.3.2) se tiene que

yxyyxfDxyxfDyyxxf ∆+∆+∆+∆=∆+∆+∆ 21002001000 ),(),(),( εε donde ε1→ 0 ,

ε2 → 0 si (∆x , ∆y) → (0, 0) por lo tanto

yxyyxfDxyxfDyxfyyxxf ∆+∆+∆+∆+=∆+∆+ 210020010000 ),(),(),(),( εε

tomando el limite a ambos lados cuando (∆x , ∆y) → (0, 0) se tiene que

),(),(lim 00000)0,0(),(

yxfyyxxfyx

=∆+∆+→∆∆

ahora si x0 + ∆x = x y y0 + ∆y = y (∆x , ∆y) → (0, 0) es equivalente a

(x, y)→ ),( 00 yx

se tiene que

148

),(),(lim),(lim 0000)0,0(),(),(),( 00

yxfyyxxfyxfyxyxyx

=∆+∆+=→∆∆→

se demuestra que f es continua en el punto ),( 00 yx .

Ejemplo:

Si (0,0))( si 0

(0,0))( si 3

),( 22

=

≠+=

x,y

x,yyx

xyyxf

Demostrar que D1f (0,0) y D2 f (0,0) existen pero f no es diferenciable en (0,0)

Solución:

000

lim0

)0,0(),0(lim)0,0(

000

lim0

)0,0()0,(lim)0,0(

002

001

=−=−−=

=−=−−=

→→

→→

yy

fyffD

xx

fxffD

yy

xx

Por lo tanto D1f (0,0) y D2 f (0,0) existen.

Ahora se determina si el ),(lim)0,0(),(

yxfyx →

(existe o no existe).

Busquemos la primera trayectoria S1 para todos los puntos en el eje x entonces

00

0lim)0,(lim),(lim

200)0,0(),(=

+==

→→→ xxfyxf

xxyx

Sea S2 el conjunto de todos los puntos en la recta y = x

Ahora 2

3

2

33),(

2

2

22==

+=

x

x

xx

xxxxf

2

33lim),(lim

22

2

0)0,0(),(=

+=

→→ xx

xyxf

xyx

se tiene que el ),(lim),(lim)0,0(),()0,0(),(

yxfyxfyxyx →→

≠

para S1 para S2

149

por lo tanto ),(lim)0,0(),(

yxfyx →

no existe por lo tanto f no es continua en (0,0) como

f no es continua en (0,0) se tiene que f no es diferenciable.

Definición 4.3.4: (Diferencia Total)

Si z = f (x,y) y ∆x y ∆y son incrementos de x y de y entonces las

diferenciales de las variables independientes x e y son dx = ∆x y dy = ∆y y la

diferencial total de la variable dependiente z es

dyy

zdx

x

zyyxfDxyxfDdz

∂∂+

∂∂=∆+∆= ),(),( 21

Definición 4.3.5:

Si f es una función de n variables x1,x2,...,xn y f es diferenciable en el

punto P, entonces la diferencial total de f es la función df que viene dada por

nnnnn dxxxxfdxxxxfdxxxxfdf ),...,,(...),...,,(),...,,( 2122121211 +++=

El error relativo se encuentra dividiendo el error entre el valor real (actual),

por ejemplo V

V∆ donde ∆V es el error (diferencial total) del volumen y V es el

volumen (valor real) y el error porcentual aproximado se obtiene al multiplicar el

error relativo por 100.

Ejemplo:

El posible error involucrado al medir cada una de las dimensiones de una caja

rectangular es de ± 0,1 milímetros. Las dimensiones de la caja son 60 cm, 20 cm y

150

10 cm respectivamente. Usar la diferencial total para estimar el error relativo y el

error porcentual, en el cálculo del volumen de la caja.

Solución:

El volumen de la caja es de v = xyz

Como 0,1 milímetro es igual a 0,01 cm entonces los incrementos serán:

∆x = dx = ± 0,01 cm

∆y = dy = ± 0,01 cm

∆z = dz = ± 0,01 cm

La diferencial total es dv = vx dx + vy dy + vz dz

Calculemos vx , vy y vz

vx = y z

vy = x z

vz = x y

Se tiene que

dv = y z dx + xz dy + xy dz

Sustituyendo dx = dy = dz = ± 0,01 cm y x = 60 cm, y = 20cm y z = 10 cm

dv = (20) (10) (± 0,01) + (60) (10) (± 0,01) + (60) (20) (± 0,01)

dv = (± 0,01) [200 + 600 + 1200]

dv = (± 0,01) (2000)

dv = ± 20 cm3

El volumen real es v = 60 (20) (10)

151

v = 12.000 cm3

el error relativo v

v∆ es aproximado

00166,0600

1

01200

023

3

==/

/=cm

cm

v

dv

El error porcentual es:

0,00166 x 100 = 0,16 %.

Ahora con la ayuda del MAPLE V, realicemos el ejemplo anterior.

- Primero definamos la función del volumen, etiquetando con la variable v.

- Tomemos las derivadas parciales con respecto x, y y z, respectivamente.

- Se define la diferenciación total, etiquetando la con la variable dv.

- Con el comando subs(valores de las variables, a la función que va la

sustitución) .

- Calculo del volumen, error relativo y error Porcentual.

> v:=x*y*z; := v x y z

> vx:=diff(v,x); := vx y z

> vy:=diff(v,y); := vy x z

> vz:=diff(v,z); := vz x y

> dv:=vx*dx+vy*dy+vz*dz;

:= dv + + y z dx x z dy x y dz

Como dx=dy=dz=0,01 tenemos que > Dv:=subs(x=60,y=20,z=10,dx=0.01,dy=0.01,dz=0.01,dv);

152

:= Dv 20.00

> v:=60*20*10; := v 12000

> ER:=Dv/v; := ER 0.001666666667

> EP:=ER*100; := EP 0.1666666667

El error relativo es de 0,001667 y el error porcentual es de 0,16%.

Ejemplo:

Una caja va ha ser hecha con un pedazo de madera que tiene 5 cm de espesor.

La longitud interior es de 6 m, el ancho interior de 3 m, la profundidad interior de 4 m

y la caja no tiene tapa. Usar la diferencial total para encontrar la cantidad

aproximada de madera que va ha ser usada.

Solución:

El espesor de la caja es de 5 cm, llevándolo a metros se tiene 0,05 m, por lo

tanto dx = dy = dz = 0,05 m.

Los lados x = 6 m , y = 3 m , z = 4 m

Como no tiene tapa

S (x,y,z) = 2xy + 2xz + yz

La diferencial total se calcula por

dS = Sx (x,y,z) dx + Sy (x,y,z)dy + Sz (x,y,z)dz

Ahora calculemos las derivadas parciales

Sz (x,y,z) = 2y + 2z

153

Sy (x,y,z) = 2x + z

Sz (x,y,z) = 2x + y

dS = (2y + 2z) dx + (2x + z) dy + (2x + y) dz

dS (6,3,4) = (2 (3) + 2 (4) ) dx + (2 6) + 4) dy + (2 (6) + 3) dz

dS (6,3,4) = 14 dx + 16 dy + 15 dz

dS (6,3,4) = 14 (0,05) + 16 (0,05) + 15 (0,05)

dS (6,3,4) = (0,05) [ 14 + 16 + 15 ]

dS (6,3,4) = 0,05 (45)

dS (6,3,4) = 2,25 m2

El error relativo ( dS ) de madera en la fabricación de la caja es de 2,25 m2.

Ahora S(x,y,z)=2xy+2xz+yz

S(6,3,4)=(2)(6)(3)+2(6)(4)+(3)(4)=36+48+12

S(6,3,4)=90 m2

La cantidad de madera utilizada para la fabricación de la caja es de 92,25 m2.

Realizando el ejemplo anterior con la ayuda del software se tiene:

El espesor de la caja es de 0,05 m, por lo tanto dx=dy=dz=0,05 y la diferenciación

total es ds = dx (sx + sy + sz). Calculemos las derivadas parciales a la función

S(x,y,z) =2xy + 2xz + yz

> S:=2*x*y+2*x*z+y*z;

:= S + + 2 x y 2 x z y z

> Sx:=diff(S,x);

:= Sx + 2 y 2 z

154

> Sy:=diff(S,y);

:= Sy + 2 x z

> Sz:=diff(S,z);

:= Sz + 2 x y

> dx:=0.05;

:= dx 0.05

> ds:=dx*(Sx+Sy+Sz);

:= ds + + 0.15y 0.15z 0.20x

> Ds:=subs(x=6,y=3,z=4,ds);

:= Ds 2.25

> s:=subs(x=6,y=3,z=4,S);

:= s 96

La cantidad de madera utilizada por el fabricante para la elaboración de la caja es de

98,25 metros cuadrados.

Ejemplo:

Usar la diferencial total para calcular 4 )95,80)(97,15(

Solución:

Consideremos a 4),( xyyxf = donde x = 16 e y = 81

Ahora 632)81)(16()81,16( 4 =×==f

155

Si x0 =15,97 e y0 =80,95 tenemos que

yyyyyy

xxxxxx

−=∆⇒∆+=−=∆⇒∆+=

00

00

por lo tanto 05,003,0 −=∆−=∆ yyx

Usando la diferencial total dyy

fdx

x

ff

∂∂+

∂∂=∆

De la ecuación 4),( xyyxf = se sigue que ( )4 34 xy

y

x

f =∂∂

y ( )4 34 xy

x

y

f =∂∂

Evaluando se tiene ( ) ( ) ( )

09375,032

3

81164

81

4 3381,16

===∂∂

x

f

( ) ( ) ( )

0018518,054

1

81164

16

4 3381,16

===∂∂

y

f

También se tiene que 05,003,0 −=⇒≈∆−=⇒≈∆ dydyyydxdxx

Sustituyendo los valores en dyy

fdx

x

ff

∂∂+

∂∂=∆ se tiene

996261,50033405,06)81,16(),(

0033405,0

0009259,00028125,0

)05,0(0018518,0)03,0(09375,0

=−=∆±=∆±−=∆

−−=∆−+−=∆

fffyxf

f

f

f

El resultado aproximado es 5,996261 si lo hacemos directo con una calculadora la

respuesta es 5,99625... se puede ver la exactitud.

156

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Si f (x,y) = 3x2 + 2xy – y2, ∆x = 0,03 ∆y = -0,02. Encontrar a) El incremento

de f en (1,4) b) La diferencial Total en (1,4).

Respuesta

a) 0,5411 b) 0,54

2. Si f (x,y,z) = xy + ln (yz) , ∆x = 0,02 , ∆y = 0,04 , ∆z = -0,03. Encontrar

a) El incremento de f en (4,1,5) y b) La diferencial Total de f en (4,1,5)

Respuesta

a) 0,2108 b) 0,214

3. Dado (0,0))( si 0

(0,0))( si 3

),( 44

22

=

≠+=

x,y

x,yyx

yxyxf

Demostrar que D1 f y D2 f existen pero que f no es diferenciable en (0,0).

4. Encontrar aproximadamente usando la diferencial Total, el máximo error al

calcular la longitud de la hipotenusa del triangulo rectángulo a partir de la

longitud delos catetos que son 6 cm y 8 cm respectivamente y con un posible

error de 0,1 cm para cada medición. También encontrar el error porcentual.

Respuesta

Error relativo = 0,014 cm. Error porcentual = 1,4 %

157

5. Una compañía va a fabricar 100.000 cajas de madera cerrada con dimensiones

3 m , 4 m y 5 m . El costo de la madera que va ha ser usada es de 5 bolívares por

metro cuadrado. Si las máquinas que se usan para cortar las piezas de madera

tienen un posible error de 0,05 m en cada dimensión. Encontrar

aproximadamente, usando la diferencial Total, el máximo error posible en la

estimación del costo de la madera.

Respuesta: 1.200.000 Bs.

6. Usar diferencial Total para calcular

3 )93,63)(97,26)(98,7(

7. Usar diferencial Total para calcular

[ ])02,10)(96,3(ln

8. La inductancia L (en micro henrios ) de un alambre recto no magnético, en el

espacio libre, viene dada por:

−= 75,02

ln00021,0r

hL donde h es la longitud

del alambre en milímetros y r es el radio de sección circular. Use diferencial

Total para aproximar L si r = 2 ± 16

1 milímetros y h = 100 ±

100

1

milímetros.

Respuesta: L = 8,096 x 10-4 ± 6,6 x 10-6 micro henrios

158

9. Se construye un cono circular recto de altura h = 6 y de radio r = 3, y en el

proceso se producen errores de ∆r y ∆h en el radio y la altura respectivamente.

Complete la tabla para mostrar la relación entre ∆v y dv para los errores dados

∆r ∆h dv ∆v ∆v - dv

0,1 0,1

0,1 -0,1

0,001 0,002

-0,0001 0,0002

10. La potencia eléctrica P viene dada por REP

2= siendo E voltaje y R la

resistencia. Aproxime el error porcentual máximo al calcular la potencia si aplica

200 voltios a una resistencia de 4000 ohmios y los posibles errores porcentuales

en la d media de E y R son 2 por 100 y 3 por 100 respectivamente.

Respuesta: 7 %