DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL EN FUNCIONES DE DOS O MÁS VARIABLES

INCREMENTOS Y DIFERENCIALES

Se debe recordar que en funciones de una variable dada y = f(x), se definió la diferencial de y como:

dy = f’(x)dx

Terminología similar se usa para una función de dos variables, z = f(x,y). Es

decir, y son los incrementos en x y en y, y el incremento en z está dado

por:

INCREMENTO EN Z

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL TOTAL

Si z = f(x,y) y y son los incrementos en x y en y, entonces las

diferenciales de las variables independientes x y y son

dx = y dy =

y la diferencial total de la variable dependiente z es

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por

ejemplo, si w = f(x,y,z,u), entonces dx = , dy = , dz = , du = , y la

diferencial total de w es:

Ejemplo 1

Hallar la diferencial total de cada función:

a) z = 2x.seny – 3x2y2

b) w = x2 + y2 + z2

Solución

a)

dz = (2seny – 6xy2)dx + (2xcosy – 6x2y)dy

b)

dw = 2xdx + 2ydy + 2zdz

DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD EN FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Una función f dada por z = f(x,y) es diferenciable en (a,b) si puede

Expresarse en la forma:

donde y son funciones de y , tales que y conforme

, entonces la función f es diferenciable en una Región R si

Es diferenciable en todo punto de R.

Ejemplo 2

Mostrar que la función: f(x,y) = x2 + 3y es diferenciable en todo punto del plano.

SoluciónHaciendo z = f(x,y), el incremento de z en un punto arbitrario (x,y) en el plano es:

=

=

=

=

donde y Como y cuando , se

sigue que f es diferenciable en todo punto en el plano.

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA DIFERENCIABILIDAD

Si f es una función de x y y, para la que fx y fy son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R

APROXIMACIÓN MEDIANTE DIFERENCIALES

Se puede elegir (x + x, y + y) suficientemente cerca de (x,y) para hacer

que y sean insignificantes. En otros términos, para y

pequeños, se puede usar la aproximación:

La aproximación de mediante dz se llama aproximación lineal. Esto

significa que:

Ejemplo 3

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en cuando

(x,y) se desplaza del punto (1,1) al punto (1.01,0.97). Comparar esta aproximación con el cambio exacto en z.

Solución

Cuando (x,y) = (1,1) se desplaza al punto (1.01,0.97) = (x + x, y + y)

x + x = 1.01 x = 1.01 – x = 1.01 – 1 = 0.01 = dx

y + y = 0.97 y = 0.97 – y = 0.97 – 1 = -0.03 = dy

Por tanto:

=

El cambio exacto corresponde a la diferencia entre la alturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio. Esta dada por:

= 0.0137

Cuando (x,y) se desplaza de (1,1) al punto (1.01,0.97), el valor de f(x,y) cambia aproximadamente en 0.0137

Una función de tres variables w = f(x,y,z) se dice que es diferenciable en (x,y,z) si:

Puede expresarse en la forma:

donde , y cuando ( . Si f es una función de

x, y y z, donde f, fx, fy y fz son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Ejemplo 4

El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja

rectangular es milímetros. Las dimensiones de la caja son x = 50

centímetros, y = 20 centímetros y z = 15 centímetros como se muestra en la figura. Utilizar dV para estimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

Z

y=20 X=50

z=15

Y

X

Solución

El volumen de la caja es: V = xyz, y por tanto

Utilizando 0.1 milímetros = 0.01 centímetros, se tiene dx = dy = dz = 0.01, y el

error propagado es aproximadamente:

dV = (20)(15)( 0.01) + (50)(15)( 0.01) + (50)(20)( 0.01) = 20.50 cm3

como el volumen medido es:

V = xyz = (50)(20)(15) = 15.000 cm3

El error relativo es

TEOREMA. Diferenciabilidad Implica Continuidad

Si una función de x y y es diferenciable en (a,b), entonces es continua en

(a,b).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Dadas las funciones siguientes calcule el diferencial total dW

a) w = tgx2 – 2xy

b) w = ln(x2 + y2 + z2)

c) w = x.arctgz -

d) (TRABAJO)

2) Demuestre que la función: es diferenciable en todos los puntos de

su dominio.

3) Un envase metálico cerrado tiene la forma de un cilindro circular recto 6 pulg de altura interior, de 2 pulg de radio interior y de 0.10 pulg de grosor. Si el costo del metal es de 40 centavos por pulgada cubica, aproxime mediante diferenciales el costo total del metal empleado en la elaboración del envase.

Solución

V = π.r2.hEl volumen exacto del metal empleado en el envase es la diferencia entre los volúmenes de dos cilindros circulares rectos para los cuales r = 2.1, h = 6.2 y

r = 2 y h = 6, respectivamente. El incremento V proporciona el volumen

exacto del metal, pero como únicamente se desea un valor aproximado, se calcula dV.

Con r = 2, h = 6, dr = 0.1 y dh = 0.2

dV = 2 (2)(6)(0.1) + (2)2(0.2) = 3.2

De este modo V = 3.2 , por lo que el material empleado en el envase es

aproximadamente 3.2 pulg3.

El costo del metal seria: 3.2 pulg3x40 centavos/pulg3 = 128 = 402 centavos

4) Un contenedor tiene la forma de un sólido rectangular y tiene una longitud interior de 8 m, un ancho interior de 5 m, una altura interior de 4 m y un espesor de 4 cm. Emplee la diferencial total para aproximar la cantidad de material

necesario para construir el contenedor. (TRABAJO)

4 cm

4 m

5 m 8 m

5) Dada f(x,y) = x.seny, evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular z y utilizar la

diferencial total dz para aproximar z.

Resp. F(1,2) = 0.90930; f(1.05,2.1) = 0.90637; z = -0.00293; dz = 0.00385