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PRÁCTICA DE LABORATORIO: Dr. Victor Arrizon

Practica No 5

DIFRACCIÒN DE FRAUNHOFER Integrantes del Equipo:

Rosaura Vallejo Mendoza, José Antonio Araiza Durán,

Manuel Abraham López Pacheco.

Objetivo General. Profundizar en el

conocimiento cualitativo y cuantitativo

sobre cómo se propaga un campo

coherente en el espacio libre, cuando

pasa a través de una placa delgada con

distintas funciones de transmitancia.

Objetivo Particular. Establecer las

características de pequeñas aberturas

y estructuras periódicas (1D y 2D)

midiendo características del patrón de

difracción producido por estas.

Teoría Básica.

La difracción es el fenomeno que se

produce cuando las ondas alcanzan un

obstaculo o abertura de dimensiones

comparables a su propia longitud de

onda, y que se manifiestan en forma de

perturbaciones en la propagación de la

onda, bien sea rodeando el obstaculo ó

bien sea produciendose una divergencia

a partir de la abertura. La difracción se

puede definir como toda de3sviación de

rayos luminosos que no pueda

explicarse ni como reflexión ni como

refracción.

Cuando se observa la difracción

producida por un objeto proyectado

sobre una pantalla a una distancia muy

grande del propio objeto, la

distribución de intensidades observada

se conoce como patron de difracción de

FRAUNHOFER.

1. Ordenes de difracción de una

rejilla.

Una rejilla es una placa con función de

transmitancia periódica unidimensional

(1D). Si esta transmitancia [denotada

como t(x)] tiene un periodo p, puede

expresarse mediante la serie de

Fourier

n

n xp

nicxt 2exp)( . (1)

Los coeficientes cn en esta serie están

dados por

)/(~10 pnt

pcn (2)

Donde )(~0 ut es la transformada de

Fourier de t0(x), que representa la

celda básica de t(x).

Cuando la rejilla se ilumina por un haz

que incide perpendicular a esta, se

propagan múltiples haces, conocidos

como ordenes de difracción de la

rejilla. El haz n-esimo se propaga

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formando un ángulo n, con el eje

normal a la rejilla, dado por la relación

pnn /)sin( . (3)

REJILLA RONCHI

En el experimento se tiene una rejilla

de forma de un tren de ondas :

Figura 1. Rejilla de ancho 2a

cuadradas, la cual su transmitancia está

dada en la ecuación (1) pero en este

caso tenemos una cuadrada y los

coeficientes :

Siendo:

Donde:

a = el ancho de cada una de las rejillas

t= periodo

Figura 2. Diseño de la rejilla Ronchi

La función que representa a la luz que

atraviesa la rejilla es:

Se obtenemos la potencia de la

siguiente manera:

Donde βo es la potencia de la energía

transmitida, de modo que la potencia-

enésima está dada por:

Físicamente podemos observar los

órdenes como se muestra en la

siguiente figura 3:

Figura 3. Patrón de Difracción por una

rejilla Ronchi

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2. Difracción de Fraunhofer de una

abertura circular.

Cuando una abertura de transmitancia

t(x,y) se ilumina con una onda plana, el

campo de difracción lejano (o de

Fraunhofer) a una distancia z esta

dado, excepto por una constante, por

z

y

z

xtyx

,

~),( . (4)

En el caso de una transmitancia de

simetría circular t(r), dependiente solo

de la coordenada polar radial r, el

campo de Fraunhofer a la distancia z se

expresa como:

z

rTr

)( , (5)

Donde T es la transformada de

Fourier Bessel de t(r).

En el caso particular de una abertura

circular de radio R, cuya transmitancia

se expresa t(r)=circ(r/R), la

transformada de Fourier Bessel de t(r)

es:

R

RJRT

2

)2(2)( 12 , (6)

Donde J1 denota la función Bessel de

primera especie y de orden 1.

3. Transmitancia 2D rectangular.

Una transmitancia 2D t(x,y) de tipo

rectangular tiene una celda básica

t0(x,y) que se replica periódicamente,

con periodo p, tanto a lo largo del eje x,

como del eje y. Ver ejemplo en la Fig. 1.

Lo anterior corresponde a una versión

simplificada de rejilla 2D.

La transmitancia de la rejilla se puede

expresar mediante la serie de Fourier

2D:

m n

nm yp

mx

p

nicyxt 2exp),( (7)

Figura 4. Ejemplo de rejilla 2D cuya

celda básica es una abertura rectangular.

Los coeficientes cnm en esta serie están

dados por

p

m

p

nt

pcnm ,

~102

, (8)

donde ),(~0 vut es la transformada de

Fourier de la celda básica t0(x,y).

MATERIALES.

Un Laser HeNe(λ=6328nm)

Una rejilla de Ronchi

Un medidor de Potencia

Modulador de cristal líquido

Rejilla variable rectangular 2D

Pinhole

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EXPERIMENTO 1

Se ilumina una rejilla Ronchi con un

laser de HeNe , se pone una pantalla

imagen a una distancia de 1.10m como

se ve en la figura

b)

Figura 5. a)Diseño Experimental b)imagen de una rejilla ronchi

Se tomaron 12 mediciones entre cada

orden y se obtiene un valor promedio

de:

Para ϴ1 :

= 0.434

Para ϴ2 :

,

=0.86

De la ecuación 3 podemos obtener el

periodo:

Despejando T:

Haciendo un promedio del periodo

tenemos:

T=83.5μm

La frecuencia es:

Posteriormente se hicieron mediciones

con el medidor de potencia y se

obtiene:

P00=3.58mW

P10=691μW P01=680μW

P20=38.8μW P02=37.7μW

P30=53.1μW P03=53.6μW

P40=31.2μW P04=29.8μW

Tomando como referencia el orden cero

y el numero a la izquierda significa el

a)

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orden hacia abajo y el de la derecha

significa el orden hacia arriba.

Haciendo una relación de las potencias

del orden cero y el orden uno tenemos

P00=3.58mW=

Con esto podemos obtener el valor de

β0 y

(1)

(2)

Con la relación de la ecuación 2 de la

razón de apertura y el valor de razón entre

el orden 1 y el orden 0. Se grafica una

Sinc2 para ubicar el valor de 0.193

Figura 6. Archivo ejecutable

Matlab

Figura 7.

con amplificación en la

intersección de

con 0.193

De este modo obtenemos

y como

tenemos el periodo, obtenemos el tamaño

de la apertura.

SEGUNDO EXPERIMENTO

Utilizamos un pinhole para obtener el

patrón de difracción de una abertura

circular como se ve la siguiente figura8.

Figura 8. Patrón de difracción experimental y numérico.

Haciendo la medición del diámetro del

lóbulo central tenemos:

Z=1.30 m.

2q=1.8cm

λ=6328nm

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W0=56μm

TERCER EXPERIMENTO

Rejilla cuadriculada

Un modulador de cristal líquido tiene un

arreglo de ventana (pixeles) como el

mostrado en la figura 8, donde a y b

denotan las dimensiones de la celda

básica rectangular y como c el periodo

del ángulo (igual en x,y ) si el

modulador está apagado se puede

considerar una transmitancia unitaria.

Iluminando el modulador apagado con

le laser de Helio Neón se medirán las

potencias de los órdenes de difracción

(0,0), (0,1), (1,0), considerando el valor

de la potencia medida y que la potencia

del orden (n,m) es proporcional a (cm)2

obtenga los parámetros a, b y c del

modulador.

Figura 10. Imagen que proyecta el modulador de cristal liquido

Se midieron las potencias de los lóbulos

adyacentes y se promediaron.

Promedio de valores

1.5 1.5

1.55 1.5

1.5 1.55

1.5 1.52

1.55 1.55

7.6 7.62

Tabla 1 La suma de cada columna es 15.22 cm y

se considera como un desplazamiento

∆x.

Para el cálculo del periodo se reutiliza

la fórmula para la rejilla de Ronchi.

Θ1=1.09°

Y con este ángulo podemos calcular el

periodo del parámetro c:

T≈ 33.25 µm →c=33.25µm

Los valores de las potencias para a y b

son los siguientes:

Orden X Orden Y

P01=126 µm P01=407 µm

P02=83 µm P02=155.3 µm

P10=119 µm P10=401 µm

P20=103 µm P20=159.2 µm

Tabla2 Donde Poo= 3.568 µm, de la misma

forma para encontrar a y b se reutiliza

el análisis para la rejilla de Ronchi:

Análisis en X:

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Análisis en Y:

Del mismo modo que con la expresión

para

para la rejilla de Ronchi

se realiza un código para Matlab, y asi ,

poder ubicar las posiciones en la

gráfica de la Figura 11 y12.

Figura 11. Zoom de

Figura 12. Zoom de

En base a los valores obtenidos de la

graficas se obtiene que:

y

y

REJILLA RECTANGULAR.

Se utiliza una rejilla rectangular

variable 2D que nos permite ver el

patrón de difracción como se muestra

en la figura 13.

Figura 13. Patrón de difracción de una abertura rectangular.

Con la misa rejilla se obtiene un patrón

de difracción de una pequeña rendija

horizontal y de una rendija vertical

como se muestra a continuación .

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Figura 14. Patrón de difracción de una

rejilla vertical

Figura 15. Patrón de difracción de una rejilla horizontal.

CONCLUSIÓN.

La difracción de Fraunhofer es una

herramienta muy importante para

poder obtener los diferentes patrones

de aberturas como se obtuvieron en la

práctica.

Una rejilla Ronchi está constituida por

varias n-rejillas, y se puede calcular el

periodo de la rejillas, los ángulos, la

frecuencia, y con un medidor de

potencia podemos calcular la intensidad

de cada orden producido por el patrón

.

La rejilla de Cristal Liquido se observo

que cuando aumentamos el ancho de la

rejilla el patrón de difracción se hace

más angosto.

Con el pinhole se pudo observar el

patrón de difracción de una abertura

circular y midiendo el lóbulo central

podemos saber el diámetro de nuestra

abertura.

Finalmente usando la rejilla 2D

rectangular y se pudo observar que la

intensidad va disminuyendo conforme

se alejan del centro en ambas

direcciones en x y y

Una rejilla rectangular vertical produce

un lóbulo rectangular horizontal en su

centro , y una rejilla rectangular

horizontal produce lóbulo rectangular

vertical en su centro

REFERENCIA.

Hecht E. Optics (4ed., AW,

2002)(ISBN 0321188780).

Introduction to Fourier Optics

SECOND EDITION, Joseph W.

Goodman Stanford University.

Notas del Dr. Victor Arrizon