Difracción de Rayos Láser- Carlos David Gonzales Lorenzo
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(6) Difracción de Rayos Láser
Gonzales Lorenzo Carlos David
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Ingeniería
E-mail: [email protected]
La difracción es un fenómeno de tipo interferencial y como tal requiere de la superposición de ondas que
tengan un desfasaje constante. Una fuente de rayos láser es un instrumento que produce un haz de luz
monocromática de alta coherencia, y por lo tanto puede ser utilizado para producir difracción al ser colocado
una distancia adecuada de un obstáculo. En este caso los obstáculos serán rejillas con distintas forma de
abertura, con esto se tendrán distintos patrones de difracción la cual analizaremos para determinar el tipo de
rejilla que se esta usando y con el uso de las ecuaciones de difracción determinar el parámetro de red.
Palabras Claves: Difracción, rejillas, rayos láser.
The diffraction is guy's phenomenon interferential and as such requires of the overlap of waves that they
have a constant phase shift. A source of rays the laser is an instrument that produces a bundle of
monochromatic light of high coherence, and therefore a distance made suitable of an obstacle can be used to
cause diffraction to the drugged being. In this case obstacles will be little grates with different form of
opening, with this the several landlords of diffraction will have which themselves we will analyze to determine
the kind of little grate that is using and with the use of the equations of diffraction determining the parameter
of net.
Key words: Diffraction, grates, rays laser.
1. Introducción
La difracción es un fenómeno físico que se produce en
las ondas cuando se distorsionan por un obstáculo quetenga dimensiones comparables con la longitud de
onda, λ, de la onda. El obstáculo puede ser una
pequeña abertura que solo permita pasar parte de la
onda que incide en la abertura. También puede ser un
objeto pequeño (como un pelo frente a luz visible) que
impida el paso de una pequeña parte del frente de
onda.
La difracción se divide en: difracción de Fraunhofer y
difracción de Fresnel. En la difracción de Fraunhofer
la fuente que produce la onda y la pantalla sobre la
que se forma los patrones de difracción se encuentrana grandes distancias del obstáculo, es decir los rayos
que inciden sobre el obstáculo y los que llegan a la
pantalla serán paralelos.
En la difracción del tipo Fresnel la fuente es puntual y
la pantalla se encuentra muy cerca del obstáculo.
2. Fundamento Teórico:
2.1 Difracción de Fraunhofer por una rendija
única.
Se tiene una pequeña rendija única lineal, es decir enla que solo se toma en cuenta el ancho, y sobre esta
incide una onda plana coherente. La onda al pasar la
rendija se desviara como se muestra en la figura 1.
La ecuación para difracción destructiva es
nbsen (1)
Donde b es la dimensión de la abertura de la rendija, θes el ángulo de desviación del frente de onda, n es un
número entero que da el orden del mínimo (n≠0) y λ es la longitud de onda. La intensidad de la onda
difractada es:
λ
πbsenθ
)λ
πbsenθsen(2
oII (2)
Si hacemos2
kbsen , k=2π/λ
Tendremos
2
o
senI I
(3)
Donde: β = 0: Máximo principal
β = ±π,±2π,±3π,…..: Mínimos
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Para los máximos secundarios:
k B , k=1,2,3
1 B = 1.4303, 2 B = 2.4590, 3 B = 3.4707
De la figura 2: k
k
k
Z sen R
y considerando que
k R L , donde L es la distancia de la rejilla a la
pantalla, esto es posible debido a que k z L
k
k K
k
B Lb L z B
z b
(4)
La gráfica de intensidad que expresa la ecuación 3 se
muestra en la figura 3. Y el patrón de difracciónformado tiene la forma que se observa en la figura4.
Figura 1. Difracción de fraunhofer (con lentes). S y P
se consideran en el infinito, al estar en el plano focal
de las lentes L1 y L2, respectivamente.
Figura 2. Difracción de Fraunhofer por una rendija
única.
Figura 3. Gráfica de la intensidad del patrón de
difracción de una rendija lineal .
Figura 4. Patrón de difracción para una rendija
lineal.
2.2 Difracción de Fraunhofer por una rendijarectangular
Se tiene una rendija rectangular de lados a y b, como
se muestran en la figura 5.
La intensidad de la onda difractada tiene la ecuación
2 2
( ) ( )
o
bsen asenb asen sen
I I bsen asen
b a
(5)
Entonces haciendo
( / 2) ;ka sen ;( / 2)kb sen k=2π/λ
2 2( , ) (0)( ) ( )sen sen
I x y I
(6)
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De la figura 5:x
sen R
,
ysen
R
,2
ka x
R
2
kb y
R (7)
Figura 5. Rendija rectangular.
, 0 :
, 1.4303 , 2.4590 , 3.4707 ... :
sec
, , 2 , 3 ..... :
Máximoprincipal
Máximo undarios
Mínimos
Para los máximos secundarios:
1 1 2 2 3 3
; ; 1, 2,3
1.4303; 2.4590; 3.4707k k
A B k
A B A B A B
; ;k k
k k
A Ba L b L
x y (8)
;k k
k k
ax by L
A B (9)
En la figura 6 se muestra el patrón que se forma en
este caso.
Figura 6. Patrón de difracción de una rendija
rectangular.
Se muestra en la figura 6 una rejilla porta muestras y
el patrón de difracción que forma al incidirle con un
láser.
Figura 7. Rejilla y su patrón de difracción.
2.3 Análisis de Fourier: [3]
a) Transformada unidimensional de Fourier
1( ) ( )
2
iux f x F u e du
( ) ( ) iuxF u f x e dx
Caso I: La función para una rendija lineal esta dada
por:
1,..( )
0,..
x a f x
x a
Aplicando la Transformada de Fourier a esta función
tenemos:
( ) ( )( ) 2 2 (0) sin ( )
( ) (0) sin ( ),
.
sen ua sen uaF u a F c ua
u ua
F u F c
ua
b) Transformada bidimensional de Fourier
Dada una función f ( x, y) definida en un plano x, y, la
transformada bidimensional de Fourier es la función
compleja F (u,v) determinada por la fórmula:
( )
2
1( , ) ( , )
4
i ux vy f x y F u v e dudv
( )( ) ( , )
i ux v yF u f x y e dxdy
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Caso II: La función para una rendija lineal esta dada
por:
1,.. ,( )
0,.. ,
x a y b f x
x a y b
Aplicando la Transformada de Fourier a esta función
tenemos:
( ) ( ) ( ) ( )( , ) 4 4
( , ) (0, 0) sin ( ) sin ( ),
, .
sen ua sen va sen ua sen vbF u v ab
u v ua vb
F u v F c c
ua vb
3. Equipo experimental
Materiales:
5 rejillas de difracción.
Soporte de rejillas.
Cinta métrica.
Un par de cuchillas metálicas.
Equipo:
Fuente de rayos láser (633nm).
Figura 8. Equipo usado en el laboratorio. (a)Fuente
de rayos láser con el porta-muestras conteniendo las
rejillas de difracción. (b) Rendija única usada.
4. Procedimiento experimental
1. Con las dos cuchillas se simula una rendija
delgada. Luego se hace pasar por esta abertura
el láser.
2. Sobre una rejilla se incide luz de un láser, el
objetivo es formar un patrón de difracción auna larga distancia. Se procede de manera
similar con las otras rejillas.
Los patrones que se obtienen se muestran en las
figuras 9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15.
Figura 9. Patrón de difracción de la rendija única.
Figura 10. Patrón de difracción de la primera rejilla.
Figura 11. Patrón de difracción de la primera rejilla
rotada 45º
a
b
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Figura 12. Patrón de difracción de la tercera rejilla
Figura 13. Patrón de difracción de la cuarta rejilla.
Figura 14. Patrón de difracción de la quinta rejilla.
Figura 15. Patrón de difracción de la rejilla patrón.
En la figura 9 se observa el patrón para el caso de una
rendija única que se forma en una pantalla que esta a
214 cm de la rendija.
La figura 10 muestra el patrón de una rejilla con
rendijas cuadradas, aquí la distancia entre rejilla y
pantalla es 203.5 cm. La figura 11 es el patrón dedifracción de la primera rejilla pero rotada 45º con
respecto al eje del laser.
La segunda rejilla se compone de rendijas cuadradas
con distinto parámetro de red. Esta rejilla esta a 208.5
cm de la pantalla.
La figura 12 muestra el patrón de difracción de un
grupo de rendijas rectangulares, con una distancia
entre rejilla y pantalla de 208.4 cm.
La figura 13 muestra el patrón de una rejilla con
rendijas hexagonales, a 200.9 cm.
En la figura 14 se observa nuevamente el patrón para
rendijas rectangulares a 201 cm, pero con parámetros
de red mayores que los de la figura 10, esto debido a
que el patrón de difracción es más pequeño.
La figura 15 muestra el patrón de difracción de la
rejilla patrón la cual es una rejilla cuadrada de
parámetro de red más pequeña que las anteriores
rejillas. Esta rejilla esta a una distancia de la pantalla
de 203.5 cm.
5. Cálculos
A) Calculo del parámetro “b” de la red para la
rendija única (anexo, página1):
Para los máximos secundarios:
k B , k=1,2,3
1 B = 1.4303, 2 B = 2.4590, 3 B = 3.4707
De la ecuación (4) tenemos que k K
L z B
b
k K
L z B
b
(10)
Como: 2 B - 1 B =1.0287; 3 B - 2 B =1.0117, entonces
podemos aproximar 1 1k k B B
Luego: k
k
L L
z bb z
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De la hoja de datos tenemos que
633 ,
2.14
nm
L m
Tabla 1: Valores calcular del parámetro de red “b”.
Δzk (mm) bk (μm)
z2-z1 6 225.77
z3-z2 6 225.77
z4-z3 6.5 208.40
promedio 220.0
Lego tenemos que el parámetro de la rendija es de:
b = 220.0 μm
B) Calculo del parámetro “b” de la red para la “rejilla
Patrón”:
De la hoja de de resultados (Anexo, Página 2) para
la “rejilla patrón” se puede notar que la rejilla es
cuadrada, donde 52k k x y mm , entonces
de la ecuación 8:
k
k
Aa b L
x
(11)
Además como: 2 A - 1 A =1.0287; 3 A - 2 A =1.0117,
entonces podemos aproximar 1 1k k A A
Entonces nos quedara:
52
La b
mm
y con
633 ,
2.41
nm
L m
Con esto obtenemos el parámetro de red:
b = 29.34 μm
C) Calculo del parámetro “b” de la red para la
“Primera rejilla” para un ángulo de desviación de
0º y 45º. (Anexo, página 3 y 5)
Para una desviación de 0º tenemos que el patrón en
la hoja de datos es cuadrada con longitudes
15.5k k x y mm , entonces de la ecuación
hallada en (B):1
k
a b L x
Con633 ,
2.035
nm
L m
Con estos datos obtenemos que el parámetro de red de
esta rejilla es:
b = 83.11 μm
Para una desviación de 0º tenemos que el patrón
en la hoja de datos es rectangular con longitudes
18.17 , 15.5k k x mm y mm , entonces de la
ecuación (8) tenemos que:
; ;k k
L La b
x y
(12)
Con 1, 1k k A B y633 ,
2.045
nm
L m
Con esto obtenemos que los parámetros de red sean:
71.24 ma y 83.51 mb .
D) Calculo del parámetro “b” de la red para la
“Segunda rejilla” (Anexo, página 6).
De la hoja de de resultados para la “Segunda
rejilla” se puede notar que el patrón es
rectangular y con longitudes
20.25 , 20.75k k x mm y mm , entonces
usando la ecuación 12 y además
633 , 2.085nm L m obtenemos que:
65.17 ma y 63.61 mb
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6. Resultados.
Tabla 2: Parámetros de red de las rejillas
analizadas.
Tipo de abertura Parámetro de red
(μm)rendija hendidura 220.0
Rejilla patrón cuadrada 29.34
Rejilla 1 , 0º cuadrada 83.11
Rejilla 1, 45º rectangular a=71.24; b=83.51
Rejilla 2 rectangular a=65.17; b=63.61
7. Programas:
Con el siguiente programa en Matlab se simula el
comportamiento de la grafica intensidad I vs
bsenθ/λ, donde:
b: parámetro de la rendija,
L: distancia de la pantalla a la rendija
function difracción
% I (b,L,lamda),
teta=linspace(-pi/4,pi/4,300); % intervalo devalores que puede tomar el ángulo teta.
Io=100; % valor de la intensidad pico máxima (
%es relativo)
%b=220um; parámetro de la rendija única
%λ= 633nm; longitud de onda del rayo láser.
%r = (b./lamda), se nombra a esta relación "r"
% que es igual a 347.55
r=347.55;
x=r*(sin(teta))
u=(pi*r*sin(teta));
I=Io*(sin(u)./u).^2;
plot(x,I);text(100,0.5,'G=G(b,L,λ )');
xlabel(' bsen(teta)/lamda ');
ylabel ( 'I’ );
Figura 16. Gráfica I vs. bsenө/λ con
I= I (b,L,lamda).
Figura 17. Gráfica I vs. bsenө/ 2 λ con
I= I (b/2,L,lamda).
Figura 18. Gráfica I vs.2 bsenө/λ con
I= I (b,L/2,lamda).
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Figura 19. Gráfica I vs.2 bsenө/λ con
I= I (2b,L,lamda).
8. Conclusiones:
Si se dan la longitud de onda de la luz incidente así
como los valores de las distancias entre las
posiciones de los puntos iluminados en un patrón
de difracción, se pueden determinar, por medio de
un análisis matemático, las posiciones y el arreglo
geométrico de la rejilla que generó el patrón.
De los resultados obtenidos se puede concluir que
a menor parámetro de red el patrón de difracción
correspondiente se hace más grande.
La transformada de Fourier relaciona el espacio
directo con el espacio reciproco, que corresponde
al patrón de patrón de difracción, y por tantorelacionado con la distribución de intensidades en
un determinado punto de la pantalla.
Del Programa Difracción se pueden obtener loas
distintas curvas de intensidad vs bsenθ/λ,comparando con las graficas al variar los
parámetros como b, L y λ. De la figura 16,17 y 19podemos notar que el máximo de intensidad
aumenta al reducir el parámetro “b” a la mitad y
disminuye cuando se duplica el parámetro “b”.
_________________________________________________
[1] Eugene Hecht, Optics.
[2] Moran M. José, Informe de difracción de Rayos Láser, Facultad de Ciencias, UNI, Octubre del 2007.
[3] http://mecfunnet.faii.etsii.upm.es/difraccion/difraccion.html
[4] http://www.cie.uva.es/optica/Practicas/segundo/opticaII/fraunhofer/fraunhofer.htm
[5] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ondas/difraccion1/difraccion1.htm