Difusion y transporte en tumores [12/47] ¿Qu´e es la...

Difusion y transporte en tumores [12/47]

¿Que es la difusion?

• Es uno de los varios procesos de transporte que ocurren en la naturaleza.

• Los procesos de transporte involucran intercambio de masa, energıa y momento entresistemas, o dentro de un mismo sistema.

Figura 7: Adolf Eugen Fick (1829 - 1901)

• La difusion fue descrita y estudia-da como una teorıa fenomenologicapor el medico y fisiologo aleman AdolfFick.

• Ley de difusion (Fick, 1855) basa-da en las observaciones de ThomasGraham sobre gases.

Unidad de Investigacion Biomedica en Cancer, INCan–UNAM



• La primera ley de Fick afirma que el flujo difusivo (difusion) es proporcional al negativo delgradiente de la concentracion de materia

J = �D

@C(x, t)

@x

(1 dimension espacial x).

• La segunda ley de Fick

@C

@t

= �@J

@x

, Ley de conservacion,

@C

@t

= D

@

2

C

@t

2

, Ecuacion de difusion.

• Como el mismo Fick observo, su primera ley no es mas que la ley de Fourier de conduccionde calor (1822) y la misma que la ley de Ohm de conduccion de corriente electrica (1827).




Figura 8: Lars Onsager (1903 - 1976) fue unfısicoquımico y fısico teorico de origen noruego,nacionalizado norteamericano. Premio Nobel enQuımica de 1968.

• Fue hasta la primera mitad del S. XX queLars Onsager aclaro que las relaciones ante-riores forman parte de una teorıa general deltransporte.

• En el contexto de la termodinamica, Onsagerestablecio las relaciones recıprocas entre flu-jos X

i

y fuerzas generalizadas S en sistemastermodinamicos fuera del equilibrio:

X

i

= �k

@S

@x

i

.



La difusion desde el punto de vista microscopico

• Historicamente, la fısica estadıstica se origino en el intento de describir las propiedadestermodinamicas de la materia en terminos de sus constituyentes.

• La termodinamica, o mejor dicho, la termostatica, es una descripcion fenomenologica de laspropiedades macroscopicas de sistemas en equilibrio termico.



La difusion desde el punto de vista microscopico

(a) R. Brown (b) A. Einstein (c) P. Langevin

(d) L. Boltzmann (e) M. von Smolu-chowski

(f) L. Bachelier

Figura 9: Cientıficos involucrados en el estudio del movimiento browniano.



La difusion como movimiento browniano

En 1827, Robert Brown observo, en una solucion acuosa, una suspension de organelos dealmidon (6 y 8 µm de diametro), siendo expulsados del polen de Clarkia pulchella en unmovimiento incesante.

Figura 10: Robert Brown (1773 - 1858). Botanico y paleobotanico escoses.




Figura 11: Polen de Clarkia pulchella expulsando su contenido. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett,

D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.




Figura 12: Contenido del polen de Clarkia pulchella despues de abrirse, dos fotos sobrepuestas tomadas con 1

min de diferencia, ampliado ⇥400. La escala es de 2 µm por division. P. Pearle, K. Bart, D. Bilderback, B. Collett,

D. Newman, and S. Samuels. What Brown Saw and You Can Too. Am. J. Phys. 78 (12), December 2010.



Einstein, difusion y movimiento browniano

“Sobre el movimiento de pequenas partıculas suspendidas en un lıquido estacionario demandadopor la teorıa cinetico-molecular del calor”. Berna, mayo de 1905.

• Un proceso de difusion, se puede ver como el resultadodel movimiento irregular de partıculas producido por elmovimiento termico molecular.

• Hallamos el coeficiente de difusion de la sustanciasuspendidad (coloide).

Suponemos equilibrio dinamico de partıculassuspendidas irregularmente dispersas en un lıquido.

Sea F una fuerza que actua sobre las partıculas enel eje x, que depende solo de la posicion y no del tiempo.

Sea C el numero de partıculas suspendidaspor unidad de volumen (concentracion).




• Las partıculas suspendidas tienen forma esferica y radio a.

• El lıquido tiene un coeficiente de viscosidad ⌘.

• (G. Kirchho↵) La fuerza F le imparte una velocidad v a cada partıcula

v =

F

6⇡⌘a

.

• Por lo que la cantidad

vC =

CF

6⇡⌘a

es el numero de partıculas que atraviesan una unidad de area por unidad de tiempo.




• Sea D el coeficiente de difusion de la sustancia suspendida.

• Sea m la masa de una partıcula suspendida.

• Como resultado de la difusion, una cantidad de materia cruzara, por unidad de area y porunidad de tiempo,

�D

@(mC)

@x

, (gramos),

�D

@C

@x

, (partıculas).




• Dado que debe haber un equilibrio dinamico, se debe tener que

CF

6⇡⌘a

� D

@C

@x

= 0.

• Completamos esta ecuacion con otra del equilibrio termodinamico

CF =

@p

@x

,

en donde p es la presion osmotica ejercida sobre la sustancia suspendida.

• La presion osmotica esta relacionada con el numero de partıculas por unidad de volumen,n, por medio de la ley del gas ideal

p = C

RT

N

.




• Calculamos el coeficiente de difusion a partir de la 1er ecuacion

D =

RT

N

1

6⇡⌘a

.

• Entonces,

el coeficiente de difusion de la sustancia suspendida depende (excepto por lasconstantes universales y la temperatura absoluta) solamente del coeficiente deviscosidad del lıquido y del tamano de las partıculas suspendidas.




Sobre el movimiento irregular de partıculas suspendidas en un lıquido y su relacion con ladifusion. Berna, mayo de 1905.

Hipotesis:

• El movimiento de cada partıcula es independiente de las demas.

• Los movimientos de una misma partıcula, para diferentes intervalos de tiempo, se deben con-siderar procesos mutuamente independientes (dichos intervalos de tiempo no son demasiadopequenos).




• Supongamos que simultaneamente hay n partıculas suspendidas en un lıquido.

• En un intervalo de tiempo ⌧ , la coordenadas x’s de las partıculas se incrementaran por unacantidad � (distinta para cada partıcula, + o � sobre el eje x.)

• Para tiempos mayores que ⌧ , los movimientos de las partıculas se consideran independientes.

• El valor de � esta regido por una ley de probabilidad.




• Sea dn el numero de partıculas que experimentan desplazamientos entre � y � + d� enun tiempo ⌧ ; es decir,

dn = n�(�)d�,

donde Z 1

�1�(�)d� = 1.

• La funcion � 6= 0 para valores muy pequenos de � y satisface la condicion

�(�) = �(��).

• Investigaremos como depende el coeficiente de difusion depende de la funcion �, de acuerdocon la hipotesis de que el numero de partıculas por unidad de volumen, C, solo depende dex y t.




• Sea C = f(x, t) la concentracion o numero de partıculas por unidad de volumen.

• Calcularemos la distribucion de partıculas al tiempo t + ⌧ a partir del tiempo t.

• A partir de la definicion de la funcion �(�), es facil obtener el numero de partıculaslocalizadas al tiempo t + ⌧ , entre dos planos perpendiculares al eje x, de coordenadas x yx + �

f(x, t + ⌧)dx = dx

Z�=+1

�=�1f(x + �, t)�(�)d�.

• Ahora, dado que ⌧ es muy “pequeno”, podemos escribir

f(x, t + ⌧) = f(x, t) + ⌧

@f

@t

.

Ademas, podemos expandir en potencias de � a f(x + �, t); es decir

f(x + �, t) = f(x, t) + �

@f(x, t)

@x

+

�

2

2!

@

2

f(x, t)

@x

2

+ · · · ad inf.




• Colocamos la ultima expansion bajo el signo de la integral, tomando en cuenta que solovalores muy pequenos de � contribuyen en la misma integral.

• Obtenemos que

f +

@f

@t

⌧ = f

Z 1

�1�(�)d� +

@f

@x

Z 1

�1��(�)d� +

@

2

f

@x

2

Z 1

�1

�

2

2

�(�)d� + · · ·

• Del lado derecho de la expresion se anulan los terminos impares, ya que �(x) = �(�x);mientras que los terminos pares van siendo menores respecto a sus precedentes.

• Ademas, consideremos que la densidad de probabilidad � queremos que esta normalizada;es decir, Z 1

�1�(�)d� = 1,

y, definiendo1

⌧

Z 1

�1

�

2

2

�(�)d� =: D.




• Finalmente, tomando solo en cuenta los primeros dos terminos pares del lado derecho,obtenemos la ecuacion

@f

@t

= D

@

2

f

@x

2

.

• Que se trata de la bien conocida ecuacion diferencial de difusion, y reconocemos que D

es el coeficiente de difusion.




“Una nueva determinacion de las dimensiones moleculares”. Berna, 30 de abril de 1905.

• Pequenas partıculas de radio a y masa m (azucar como soluto) de mucho mayor tamanoque las moleculas del agua (solvente) de una viscosidad dinamica ⌘.

• Resultado de G. Kirchho↵ y G. Stokes de la mecanica de fluidos:

F = 6⇡⌘av.

• El coeficiente de difusion del azucar en agua esta dado por la relacion

D =

RT

6⇡⌘

1

aN

A

,

con unidades[D] = l

2

t

�1

.




• En una solucion acuosa con azucar: a3

N

A

= 80, a 20�C.

• Viscosidad: ⌘ = 0.0135, a 9.5�C.

• Coeficiente de difusion D = 0.38 cm2dıa�1.

• Por lo anterior, se puede estimar que aN

A

= 2.08⇥10

16 y entonces

aN

A

=

RT

6⇡⌘

1

D

,

que N

A

= 3.3⇥10

23, lo que implica que

• a = 6.2⇥10

�8cm es el tamano estimado de las moleculas de azucar.




Difusion simetrica en una lınea

Prob[partıcula 2 (x, x + dx)] ⌘ P (x, t)dt, Densidad de probabilidad

Satisface la ecuacion@P

@t

= D

@

2

P

@x

2

,

donde D se llama coeficiente de difusion.

Sin conocer explıcitamente a P (x, t), ¿cual es el desplazamiento medio de la partıcula?

hxi =

Z

RxP (x, t)dx = 0.

¿Cual serıa el desplazamiento cuadratico medio (segundo momento)?

hx2i =

Z

Rx

2

P (x, t)dx.




Desplazamiento cuadratico medio depende del coeficiente de difusion y del tiempo t.

[hx2i] = L

2

, [D] = L

2

/T, [t] = T,

por lo quehx2i / Dt,

donde el factor de proporcion depende de la dimension en que describimos el movimientode las partıculas.

−20 −10 0 10 20 30 40−30

−20

−10

0

10

20

30

40

Y Po

sitio

n

X Position0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

0

1

2

3

4

5

6x 10−10

Time

Dis

plac

emen

t Squ

ared

Displacement Squared versus Time for 1 Particle in 2 Dimensions

Figura 13: Movimiento browniano en 2D sin restricciones.



Difusion y escalamiento

Aplicamos analisis dimensional a la densidad de probabilidad P (x, t;D).

[P ] = L

�1 implica quepDtP (x, t;D) es adimensional.

Formamos una cantidad adimensional: x/pDt, para transformar a P :

P (x, t;D) =

1

pDt

P(⇠), ⇠ :=

x

pDt

,

en donde la densidad ahora depende de una sola variable de escalamiento y no de x y t.

Substituyendo esta nueva variable ⇠ en la ecuacion de difusion, obtenemos

2P 00+ ⇠P 0

+ P = 0,

que integrada con la condicion P 0(0) = 0 y normalizando, obtenemos

P = (4⇡)

�1/2

e

�⇠

2

/4

,

o bien,

P (x, t;D) =

1

p4⇡Dt

exp

�

x

2

4Dt

!.


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