Dimensionadoóptimo deredesde distribucióndeagua ... · TESISDOCTORAL Dimensionadoóptimoderedesde...

Dimensionado óptimode redes de

distribución de aguaramificadas considerando

los elementos de regulación

Rafael Pérez García

UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEVALENCIADEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDRÁULICAYMEDIOAMBIENTE

TESIS DOCTORAL

Dimensionado óptimo de redes dedistribución de agua ramificadas

considerando los elementosde regulación

Presentada por:Rafael Pérez García

Dirigida por:Fernando Martínez Alzamora

Valencia, Octubre de 1993

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIADEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDRÁULICA Y MEDIO AMBIENTE

INDICE

CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN

1.1. JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.2. PROBLEMÁTICA GENERAL DEL DISEÑO DE REDES . . . . . . . . . . . 1.31.3. OBJETIVOS DE LA TESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.81.4. ESQUEMA DE LA TESIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.121.5. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.15

CAPITULO 2.- FACTORES A CONSIDERAR EN EL DISEÑO LAS DE REDES DEDISTRIBUCIÓN

2.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.12.2. FACTORES QUE CONDICIONAN EL DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.22.3. EL DISEÑO DE LAS REDES DE RIEGO. DETERMINACIÓN DE LOS

CAUDALES DE CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.62.3.1. Cálculo de los caudales circulantes. Método probabilístico

de Clèment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.102.4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.162.5. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.17

CAPITULO 3.- FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS

3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.1.1. Clasificación de los modelos de una red de distribución . . . . . . . 3.23.1.2. Hipótesis que se consideran en un modelo de análisis en

régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.53.1.3. Definición de las variables y conceptos utilizados . . . . . . . . . . . 3.6

3.2. SISTEMA DE ECUACIONES GENERALES QUE DETERMINAN ELESTADO ESTACIONARIO DE UNA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8

3.3. ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIFERENTESELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.173.3.1. Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.18

3.3.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.183.3.1.2 Fórmulas de pérdida de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.193.3.1.3 Factor de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.213.3.1.4 Expresiones explícitas del factor de fricción . . . . . . . . . . . . . 3.233.3.1.5 Fórmulas semiempíricas de las pérdida de carga . . . . . . . . . . 3.253.3.1.6 Tuberías equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26

3.3.2. Elementos disipativos singulares (accesorios y válvulas) . . . . . . . 3.313.3.3. Elementos motrices: bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.36

3.3.4. Válvulas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.403.3.4.1. Válvulas de retención (VR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.413.3.4.2. Válvula reductora de presión (VRP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.433.3.4.3. Válvula sostenedora de presión (VSP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.453.3.4.4. Válvula limitadora de caudal (VLQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.47

3.4. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.493.4.1. Redes ramificadas con un único nudo de altura

conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.503.4.2. Redes malladas o con varios nudos de altura conocida . . . . . . . . 3.52

3.4.2.1. Formulación por líneas (ecuaciones en q) . . . . . . . . . . . . . . 3.523.4.2.2. Formulación por nudos (ecuaciones en H) . . . . . . . . . . . . . . 3.543.4.2.3. Formulación por mallas (ecuaciones en ∆q) . . . . . . . . . . . . . 3.58

3.4.3. Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.603.4.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.603.4.3.2. Métodos de Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.613.4.3.3. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.633.4.3.4. Método de la Teoría Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.65

3.5. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.673.6. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.68

CAPITULO 4.- DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS

4.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.14.2. ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . . 4.24.3. CLASIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . . 4.3

4.3.1. Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.54.3.2. Conjuntos convexos y no convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.74.3.3. Problemas de optimización convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8

4.4. IMPLICACIONES ECONÓMICAS RELACIONADAS CON EL DISEÑODE REDES HIDRÁULICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.84.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.84.4.2. Clasificación de los costes implicados en el diseño de una red . . 4.94.4.3. Balance entre los costes implicados en el diseño de una

red. Base temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.114.4.4. Estimación de costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.16

4.4.4.1. Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.174.4.4.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.184.4.4.3. Depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.19

4.5. FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE DISEÑOECONÓMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.224.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.224.5.2. Justificación del dimensionado económico de redes desde

un punto de vista hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.224.5.3. Formulación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.25

4.6. DIÁMETRO MAS ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA DE IMPULSIÓN OGRAVEDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.274.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.274.6.2. Formulación en diámetros continuos. Concepto de

diámetro económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.284.6.3. Formulación en diámetros discretos. Curva característica

de un tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.404.6.4. Ejemplo de dimensionado más económico de una tubería

de impulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.474.7. DIMENSIONADO ECONÓMICO DE SISTEMAS DE TUBERÍAS EN

SERIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.554.7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.554.7.2. Formulación en diámetros continuos. Método de la serie

económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.574.7.2.1. Aplicación a una serie de tuberías alimentada con

altura de cabecera conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.574.7.2.2. Aplicación a una serie de tuberías alimentada

mediante una estación de bombeo (altura decabecera variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.63

4.7.2.3. Consideraciones prácticas sobre la aplicación delmétodo de la serie económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.67

4.7.3. Formulación en diámetros discretos. Método discontinuode Labye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.75

4.7.3.1. Serie de tuberías alimentada con altura de cabeceraconocida. Curva característica de una serie detuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.76

4.7.3.2. Serie de tuberías alimentada con altura de cabeceravariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.80

4.7.3.3. Observaciones sobre el método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.814.7.4. Ejemplo. Dimensionado de una serie de tuberías . . . . . . . . . . . . 4.824.7.5. Otras formulaciones en diámetros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 4.94

4.8. DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS . . . . . . . 4.974.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.974.8.2. Aplicación del método de la serie económica al

dimensionado de redes ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.984.8.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.984.8.2.2. Red ramificada alimentada con altura de cabecera

conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.984.8.2.3. Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada con

diámetros continuos y altura de cabeceraconocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.107

4.8.2.4. Red ramificada alimentada mediante una estaciónde bombeo (altura de cabecera variable) . . . . . . . . . . . . . . 4.111

4.8.2.5. Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada condiámetros continuos y altura de cabeceravariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.120

4.8.2.6. Consideraciones sobre la aplicación del método . . . . . . . . . 4.126

4.8.3. Modelo de Programación Lineal para el dimensionadoóptimo de redes ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.130

4.8.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1304.8.3.2. Modelo de Programación Lineal para el

dimensionado de una red ramificada alimentadacon altura de cabecera conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.131

4.8.3.3. Modelo de Programación Lineal para eldimensionado de una red ramificada alimentadamediante una estación de bombeo (altura decabecera incógnita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.134

4.8.3.4. Reducción del tamaño del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1364.8.3.5. Aspectos particulares del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1404.8.3.6. Procedimiento de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1474.8.3.4. Ejemplo. Dimensionado de la red del apartado

4.8.2.5 mediante Programación Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1494.8.4. Otros modelos para el dimensionado óptimo de redes

ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1524.9. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1544.10 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.156

CAPITULO 5.- IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO LINEAL PARA ELDIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS

5.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15.1.1. Formulación general del problema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.25.1.2. Características de los modelos de PL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.85.1.3. Análisis de las posibles soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.105.1.4. Ventajas de la formulación mediante Programación Lineal . . . . . 5.125.1.5. Inconvenientes de la formulación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13

5.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.155.2.1. Características generales de la aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.165.2.2. Características de las redes objeto del dimensionado

económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.175.2.3. Características adicionales del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.18

5.3. ESTRUCTURA GENERAL DEL PROGRAMA DIOPRAM . . . . . . . . . . 5.215.4. INTRODUCCIÓN DE LOS DATOS DE LA INSTALACIÓN . . . . . . . . . 5.23

5.4.1. Datos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.245.4.2. Configuración de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.245.4.3. Criterios de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.265.4.4. Criterios económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.30

5.5. TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.325.5.1. Cambio de numeración externa a numeración interna . . . . . . . . . 5.325.5.2. Secuencia de nudos y grado de conectividad . . . . . . . . . . . . . . . 5.355.5.3. Asignación de presiones mínimas a los nudos . . . . . . . . . . . . . . 5.365.5.4. Asignación de caudales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.365.5.5. Selección de los diámetros de las tuberías instaladas . . . . . . . . . 4.395.5.6. Cálculo de la presión de cabecera mínima . . . . . . . . . . . . . . . . 5.40

5.5.7. Cálculo de las presiones estáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.425.5.8. Asignación de parámetros de coste energético . . . . . . . . . . . . . . 5.42

5.6. ETAPA DE PREDIMENSIONADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.485.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.485.6.2. Dimensionado económico de una serie de tuberías . . . . . . . . . . . 5.495.6.3. Dimensionado de una red ramificada mediante el criterio

de la serie económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.545.6.4. Estructura del subprograma de Predimensionado . . . . . . . . . . . . 5.56

5.7. OPTIMIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL . . . . . . . . . 5.635.7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.635.7.2. Selección de diámetros candidatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.665.7.3. Ensamblado y resolución del problema de PL . . . . . . . . . . . . . . 5.715.7.4. Configuración de la solución óptima obtenida . . . . . . . . . . . . . . 5.95

5.8. ANÁLISIS CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN . . . . . . . . 5.975.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.975.8.2. Características generales y datos necesarios . . . . . . . . . . . . . . . 5.985.8.3. Estructura del módulo de análisis con VRPs . . . . . . . . . . . . . . . 5.995.8.4. Efecto de las VRPs en el estado de la red . . . . . . . . . . . . . . . 5.103

5.9. UTILIDADES ADICIONALES DEL PROGRAMA DIOPRAM . . . . . . . 5.1045.9.1. Base de datos de materiales de tubería . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1045.9.2. Salida de datos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1065.9.3. Modificación de las soluciones obtenidas . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1105.9.4. Configuración de la impresora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.112

5.10 EJEMPLO DE APLICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1125.11 CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1365.12 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.141

CAPITULO 6.- INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍASEN EL DIMENSIONADO ÓPTIMO. UTILIZACIÓN DE LAS VÁLVULASREDUCTORAS DE PRESIÓN

6.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.16.2. INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍAS EN

EL COSTE DE LA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.26.2.1. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.26.2.2. Tratamiento explícito del problema: Caso de una

conducción en serie de gran longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.46.2.3. Tratamiento implícito del problema: Dimensionado de una

red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.86.3. FUNCIONAMIENTO, INSTALACIÓN Y SELECCIÓN DE VÁLVULAS

REDUCTORAS DE PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.156.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.156.3.2. Característica de funcionamiento de una VRP . . . . . . . . . . . . . . 6.156.3.3. Utilización e instalación de las VRPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.206.3.4. Selección de una VRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.256.3.5. Comparación entre la VRP y la cámara de rotura de carga . . . . . 6.25

6.4. MODELIZACIÓN DEL COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNAVRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.296.4.1. Análisis de redes ramificadas incluyendo VRPs . . . . . . . . . . . . . 6.316.4.2. Análisis de redes malladas que incorporan VRPs . . . . . . . . . . . . 6.33

6.4.2.1. Aplicación del método de las líneas (ecuaciones en q) . . . . . . 6.346.4.2.2. Aplicación del método de los nudos (ecuaciones en H) . . . . . 6.376.4.2.3. Aplicación del método de las mallas (ecuaciones en ∆q) . . . . 6.396.4.2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.40

6.5. COMPORTAMIENTO HIDRÁULICO DE LA VÁLVULA REDUCTORADE PRESIÓN COMO ELEMENTO RESISTENTE . . . . . . . . . . . . . . . . 6.41

6.6. OTROS FACTORES A CONSIDERAR EN LA SELECCIÓN DE UNAVÁLVULA REDUCTORA DE PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.49

6.7. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.546.8. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.55

CAPITULO 7.- OPTIMIZACIÓN DE REDES RAMIFICADAS CONTEMPLANDO LAUBICACIÓN Y TARADO DE VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN

7.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17.2. DIMENSIONADO ÓPTIMO CONJUNTO DE UNA RED RAMIFICADA

CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN. MÉTODO LINEAL . 7.27.2.1. Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.27.2.2. Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.47.2.3. Método de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.97.2.4. Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.117.2.5. Crítica del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.16

7.3. CRITERIOS PREVIOS PARA LA IMPLANTACIÓN DE VRPs.ESTABLECIMIENTO DE LA PRESIÓN ÓPTIMA DE TARADO . . . . . 7.18

7.4. UBICACIÓN ÓPTIMA DE UN CONJUNTO DE VRPs EN UN SISTEMADE TUBERÍAS EN SERIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.247.4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.247.4.2. Solución mediante Programación Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.327.4.3. Solución mediante Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.377.4.4. Solución mediante Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . 7.47

7.5. EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARALA OPTIMIZACIÓN DE VRPs EN REDES RAMIFICADAS . . . . . . . . . 7.617.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.617.5.2. Efecto de las ramificaciones en la resolución mediante

Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.627.5.3. Posibles VRPs a considerar en una ramificación . . . . . . . . . . . . 7.64

7.5.4. Ejemplo. Optimización de la ubicación de VRPs en unared ramificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.69

7.6 CONSIDERACIONES ADICIONALES EN LA OPTIMIZACIÓN DE VRPsEN REDES RAMIFICADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.757.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.75

7.6.2. Presión óptima de tarado de una VRP a partir de variosestados de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.76

7.6.3. Influencia del comportamiento de la VRP como elementoresistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.77

7.6.4. Restricción del número de posibles VRPs. Ahorroresidual por zonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.79

7.6.5. Selección de determinadas VRPs fuera del proceso deoptimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.81

7.6.6. Inclusión de VRPs de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.837.7. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.897.8. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.94

CAPITULO 8.- CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS

8.1. CONCLUSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.18.2. PRINCIPALES LOGROS ALCANZADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.28.3. DESARROLLOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10

ANEJO A.- BIBLIOGRAFÍA GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1

ANEJO B.- ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1

Capítulo 3

FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS

3.1.- INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo abordaremos las bases teóricas del comportamiento de las

redes hidráulicas a presión y algunos de sus elementos de regulación (válvulas

especiales), tanto desde una perspectiva hidráulica como matemática. Aunque los

capítulos siguientes de la Tesis se centrarán exclusivamente en el diseño de las redes

ramificadas considerando las válvulas reductoras de presión (VRP) como único elemento

de regulación, hemos querido dar al presente capítulo un enfoque general por coherencia

con los capítulos previos, en los cuales se ha presentado una panorámica general de la

problemática del diseño de redes.

Así pues, serán expuestos los fundamentos hidráulicos que rigen el comportamiento

tanto de las redes ramificadas como malladas, contemplando determinados elementos de

regulación. Con ello quedan al propio tiempo establecidas las bases para abordar los

futuros desarrollos que se exponen en el Capítulo 8 de la Tesis.

Desde el punto de vista de la utilidad funcional, una red hidráulica de distribución

a presión es un sistema encargado del transporte y distribución de un fluido, en nuestro

caso, el agua, desde los puntos de producción y almacenamiento hasta los puntos de

consumo. La característica del flujo a presión, en contraposición al transporte en lámina

libre, implica que el fluido llena completamente la sección de las conducciones y no está

en contacto con la atmósfera salvo en puntos muy concretos y determinados (cuando el

fluido es vertido en los puntos de consumo o en la superficie libre de los depósitos).

El cometido de la red de distribución de agua no consiste solamente en suministrar

el fluido al usuario, sino que además, el suministro debe satisfacer una determinadas

condiciones de servicio tanto cualitativas como cuantitativas. La situación ideal de toda

red de distribución sería mantener los requisitos de cada uno de los consumidores

cualesquiera que fuesen las condiciones de funcionamiento y operatividad; ciertamente

3.1

3. Fundamentos hidráulicos

este objetivo resulta prácticamente imposible de conseguir, al menos a un coste

razonable, dada la interdependencia que existe entre todas las variables implicadas.

La red de distribución está constituida por una gran variedad de elementos, pero

sin duda ninguna, las tuberías son el componente principal: desde el punto de vista

funcional, la tubería es el elemento de la red que permite el transporte del agua, y los

componentes restantes actúan únicamente como auxiliares de esta función (regulación,

control, medida, etc...).

Atendiendo a su aspecto topológico, una red de distribución está constituida por

nudos y líneas: los nudos se identifican con puntos determinados de la red que tienen

un interés concreto por sus características. Puede tratarse de puntos de consumo, puntos

de entrada/salida de algún subsistema, ó simplemente puntos de conexión de tuberías u

otros elementos. Las líneas representan a los elementos que disipan la energía del fluido

(elementos pasivos) tales como tuberías, válvulas de regulación, etc., ó también a

aquellos elementos que comunican energía al fluido (elementos activos) como son las

bombas elevadoras.

Acabamos de referir dos puntos de vista para una misma red de distribución, en

primer lugar como un conjunto de componentes físicos para dar servicio a los usuarios,

y en consecuencia, cercana al mundo real, y en segundo lugar el de su representación

simbólica, mostrando en forma abstracta su estructura topológica.

La compatibilización entre estas dos interpretaciones del mismo sistema se

consigue mediante la aplicación de modelos, basados en un conjunto de relaciones

físicas y matemáticas que debidamente formuladas permitan representar adecuadamente

el funcionamiento de una red de distribución.

3.1.1.- Clasificación de los modelos de una red de distribución.

En la práctica se utilizan diferentes tipos de modelos de una red de distribución,

que conforman una visión simplificativa del sistema dependiendo del cometido para el

que se pretenda utilizar. En una primera clasificación podemos distinguir entre modelos

de análisis y modelos de diseño, aun cuando la frontera que los separa no está, en

ocasiones, completamente definida.

3.2


Desde un punto de vista muy elemental y sin afán de generalizar, podemos decir

que un modelo de análisis permite predecir el comportamiento de una red de distribución

a partir de la configuración y características del propio sistema (dimensiones e

interconexión de los elementos) y de la situación operativa en la que está funcionando

(caudales de consumo, presiones de alimentación, etc.), mientras que un modelo de

diseño posee la utilidad "opuesta", esto es, tomando como punto de partida el

funcionamiento que se desea obtener del sistema, el modelo debe permitir proporcionar

la configuración y dimensiones más adecuadas del sistema, o bien, el modo de operación

más apropiado del mismo.

Siguiendo esta primera clasificación, podemos hablar de los siguientes tipos de

modelo:

A) Modelos de análisis:

A.1) Análisis en régimen permanente.

En este tipo de modelos se considera que el flujo posee un régimen permanente,

esto es, se mantiene constante a lo largo del tiempo. En la realidad, el flujo no se

desarrolla en régimen permanente en casi ninguna ocasión, pero cuando los

cambios en el tiempo son de pequeña magnitud o se desarrollan muy lentamente,

la hipótesis resulta apropiada. Este tipo de modelos reflejan la respuesta del

sistema en un instante de tiempo ante unas condiciones dadas de funcionamiento.

Constituyen los modelos de análisis más utilizados y debido a su importancia, en

los siguientes apartados del capítulo desarrollaremos los fundamentos del análisis

de una red en régimen permanente.

A.2) Análisis en régimen no permanente

Los caudales que discurren por una red de distribución no se mantienen

constantes en el tiempo, debido tanto a las lógicas fluctuaciones de la demanda

como a las operaciones de control que se ejercen sobre el sistema. No obstante,

podemos diferenciar dos escalas de variabilidad temporal que dan lugar a los

siguientes tipos de modelos:

3.3


A.2.1) Simulación de la operación del sistema.

En este caso se analiza la evolución de las variables del sistema a lo largo

de períodos de funcionamiento determinados, que suelen corresponder a

situaciones en las que cíclicamente se "repite" el estado del sistema,

normalmente de duración diaria. Su interés reside en que permiten evaluar

las variaciones la presión en los nudos, variaciones de nivel en los depósitos,

arranque y parada de grupos de bombeo, posicionamiento de las válvulas de

regulación, etc. La simulación temporal puede llevarse a cabo considerando

la evolución dinámica del sistema, o bien aproximar su comportamiento

como una sucesión de estados permanentes, mantenidos cada uno de ellos

a lo largo de un intervalo de tiempo de estudio.

A.2.1) Análisis en régimen transitorio.

Bajo esta denominación se estudian los fenómenos que acontecen como

consecuencia de un cambio brusco en la velocidad de circulación del fluido,

y cuyas consecuencias pueden ser muy negativas, afectando incluso a la

integridad física de la instalación. Estos modelos permiten por tanto analizar

situaciones transitorias críticas, al objeto de establecer los casos en los que

pueda aparecer riesgo para el sistema y estudiar las medidas correctoras

pertinentes.

B) Modelos de diseño y optimización:

B.1) Diseño de la red de distribución.

El diseño del sistema presenta dos aspectos claramente diferenciados:

B.1.1) Distribución física y conexionado de los componentes de la red

(trazado de la red).

B.1.2) Dimensionado de los componentes del sistema.

Es habitual encontrar en la bibliografía sobre el tema que el tratamiento

del dimensionado de los elementos de una red de distribución, o como suele

3.4


expresarse, el dimensionado de la red, se efectúa en base a condiciones de

funcionamiento de régimen permanente.

Sin embargo, ocasionalmente hay que hacer uso de otro tipo de

condiciones; por ejemplo, para acometer el dimensionado de elementos de

protección contra el golpe de ariete será necesario plantear condiciones de

diseño que incluyan un funcionamiento del sistema en régimen transitorio.

Otro ejemplo claro sería el dimensionado de los depósitos de regulación

de una red, que puede ser acometido planteando una sucesión de estados

estacionarios, o bien, mediante la consideración de los efectos dinámicos en

los elementos de la red.

El objetivo del Capítulo 4 es precisamente sentar las bases para el

dimensionado de redes de distribución de topología ramificada, sobre la base

de estados operacionales en régimen permanente, así como el estudio de los

principales métodos tradicionalmente utilizados para acometer esta labor.

B.2) Optimización de las estrategias de operación del sistema.

Existe otro tipo de modelos de diseño, no exento de interés, en los cuales el

objeto de diseño no es el propio sistema, sino los modos de operación más

eficientes del mismo para cumplir con unos determinados objetivos.

En este tipo de modelos se supone que la red de distribución ya ha sido

concebida, y por lo tanto, sus "inputs" son los datos de la propia red y las

condiciones de funcionamiento esperados, mientras que los "outputs" son las

estrategias de bombeo y manipulación de las válvulas de la red para conseguir las

condiciones de funcionamiento propuestas, con el objetivo principal, aunque no

único, de minimizar el coste de operación en el sistema.

3.1.2.- Hipótesis que se consideran en un modelo de análisis en régimen permanente.

Cualquier modelo implica una cierta dosis de simplificación, consistente en

despojar al mismo de todas aquellas consideraciones cuya relevancia es mínima para el

cometido al que se destina.

3.5


En el caso de un modelo de análisis de una red de distribución en régimen

permanente, las hipótesis simplificativas que se adoptan para la deducción de las

ecuaciones básicas que modelizan el flujo a través de tuberías son:

a) Hipótesis referentes al flujo:

- Flujo unidimensional en el sentido del eje de la conducción.

- Invariabilidad temporal de todas las variables relacionadas con el flujo.

- Distribución uniforme de velocidad y presión en cualquier sección transversal

del conducto

b) Hipótesis básicas referentes al fluido:

- Fluido incompresible, monofásico, de características homogéneas y newtoniano.

c) Hipótesis básicas referentes a las conducciones:

- Conducción de características homogéneas y estacionarias: material, sección

transversal y espesor constantes.

3.1.3.- Definición de las variables y conceptos utilizados.

Haciendo abstracción de la red como un sistema topológico compuesto de nudos

y líneas, vamos a establecer diversas definiciones en torno a los elementos que

componen una red de distribución.

Una línea es un segmento de la red que transporta un caudal constante y no tiene

ramificaciones. Un caso particular que no responde exactamente a esta definición, pero

que habitualmente se considera como tal en la bibliografía es el de la línea con

consumos distribuidos a lo largo de su longitud.

Una tubería es una porción de la línea que posee unas características físicas

constantes (fundamentalmente en lo que se refiere al diámetro interno). Un caso

3.6


particular lo constituyen la tubería equivalente serie y la tubería equivalente paralelo que

estudiaremos más adelante, y que consisten en la representación de un conjunto de

tuberías en serie o en paralelo mediante una única tubería cuyas características sean

equivalentes a las del conjunto. Refiriéndonos al esquema topológico de la red, las líneas

tienen un significado más general, ya que representan no solamente tuberías o

agrupaciones de las mismas, sino también cualquier elemento que implique transferencia

de caudal, bien sea con aporte de energía (como en el caso de las bombas) o con

disipación de la misma (por ejemplo, simbolizando una válvula).

Un nudo corresponde al punto donde se reúnen dos o más líneas, o bien al extremo

final de una línea. Cuando un nudo recibe un aporte externo de caudal se denomina

nudo fuente; inversamente, cuando un nudo aporta caudal hacia el exterior se denomina

nudo de consumo. Cuando un nudo ni recibe ni aporta caudal al exterior se denomina

nudo de conexión.

El grado de conectividad (G) es una propiedad del nudo dentro de una red y es

igual al número de líneas conectadas directamente al nudo menos uno.

Según el tratamiento matemático que se le da a un nudo en el modelo, se suele

hablar también de nudos de caudal como aquellos nudos en los cuales el caudal aportado

o consumido es un dato conocido, mientras que se denominan nudos de presión a

aquellos en los cuales la altura piezométrica es un dato conocido (Martínez [13]).

Se denomina senda, serie o trayecto a una sucesión de líneas conectadas todas ellas

entre sí, sin formar ramificaciones. Se denomina malla a un trayecto cerrado que tiene

su origen y final en el mismo nudo. Una malla se llama independiente, básica o no

redundante cuando no se superpone con ninguna otra malla. Por el contrario, una malla

será redundante o no básica cuando se superponga a dos o más mallas básicas.

Atendiendo a sus características topológicas, las redes de distribución se clasifican

en ramificadas y malladas. Desde un punto de vista intuitivo, una red ramificada se

caracteriza por una forma arborescente, cuyas líneas se subdividen formando

ramificaciones. Las propiedades topológicas de una red ramificada consisten básicamente

en que no posee mallas y que dos nudos cualesquiera sólo pueden ser conectados

mediante un único trayecto. Las redes malladas, como su nombre indica, se caracterizan

por la existencia de mallas; en una red mallada pura puede definirse un conjunto de

3.7


mallas básicas que incluyan a todas y cada una de las líneas de la red y en

consecuencia, cualquier par de nudos de la red mallada puede ser unido por al menos

dos trayectos diferentes.

La configuración de red mallada pura no es muy habitual, siendo la morfología

mas común la que se denomina red mixta, que combina subsistemas de topologías

mallada pura y ramificada.

Algunos autores añaden a la clasificación anterior un nuevo tipo de configuración

denominada red en serie, aunque en realidad constituye un caso particular de la red

ramificada en la cual no existen ramificaciones y todos los nudos cuentan con un grado

de conectividad G = 1 excepto los nudos extremos de la serie, en los cuales G = 0.

Cada una de las líneas que constituyen el esquema de una red posee unas leyes de

comportamiento propias que relacionan el caudal que por ella circula con la diferencia

de presiones, o mejor dicho, de alturas piezométricas, que aparece entre sus nudos

extremos. En el caso de tratarse de un elemento pasivo, ésta diferencia constituirá la

pérdida de carga a través del elemento y si se trata de un elemento motriz, la altura

manométrica aportada al fluido entre la aspiración y la impulsión.

Independientemente del modo en que la red esté interconectada y de las

características propias de cada elemento, la distribución de caudales a través de una red

hidráulica obedece a unas leyes físicas fundamentales que permiten determinar los

caudales circulantes para un estado de consumos y para unas condiciones definidas en

los puntos de alimentación.

Pasemos seguidamente a formular las ecuaciones generales que definen el estado

estacionario de una red.

3.2. SISTEMA DE ECUACIONES GENERALES QUE DETERMINAN EL ESTADO

ESTACIONARIO DE UNA RED.

Como es sabido, la energía específica de un fluido en un sistema de conducciones

se cuantifica habitualmente como energía por unidad de peso, en metros de columna de

3.8


fluido (o simplemente en metros). Cuando no existe un aporte de energía, el fluido se

desplaza en la conducción hacia posiciones con menor energía específica.

Suponiendo la incompresibilidad del fluido, la energía total específica de un fluido

en una conducción se cuantifica como:

donde: z = Cota geométrica del elemento fluido. Representa el término de la

(3.1)z pγ

v2

2g

energía potencial que posee el mismo por el hecho de estar elevado

sobre una cota de referencia.

p/γγ = Altura de presión, es el término de "energía" de presión del fluido.

Habitualmente se considera el valor de la presión manométrica, de

modo que la presión atmosférica toma el valor cero.

v2/2g = Altura cinética, correspondiente a la energía cinética específica del

fluido en movimiento.

γγ = Peso específico del fluido (en el caso del agua, 9810 Newton/m3).

g = Aceleración gravitatoria = 9'81 m/s2.

El teorema de Bernoulli afirma que la energía total del fluido, dada por (3.1),

considerado éste como incompresible y admitiendo que no existen pérdidas por fricción

ni aportes de energía, se mantiene constante a lo largo de una línea de corriente. Si se

añade la hipótesis adicional, ya mencionada en el apartado anterior, de que los valores

de presión y velocidad son uniformes en cualquier sección transversal de la conducción,

el teorema se generaliza fácilmente para toda la conducción en lugar de una línea de

corriente. Ello significa que la energía del fluido puede sufrir transformaciones de una

forma a otra a lo largo de la conducción, pero permaneciendo la energía total constante.

Cuando entre dos secciones 1 y 2 de la conducción existen pérdidas por fricción

o un aporte de energía, la ecuación de Bernoulli se escribe como:

donde h12 toma un valor positivo cuando representa una pérdida (si el fluido se desplaza

(3.2)z1 p1

γ v2

1

2g z2 p2

γ v2

2

2g h12

3.9


desde el punto 1 al 2), y un valor negativo cuando resulta un aporte de energía. En

relación a la energía del fluido se suele operar con los siguientes conceptos:

Altura geométrica: z

Altura piezométrica : H = z + p/γ

Altura total: Ht = z + p/γ + v2/2g

que dan lugar a las siguientes definiciones:

Se define la línea de alturas geométricas (LAG) como la representación de la cota

topográfica del eje de cada sección de la conducción referida a un plano horizontal

adoptado como referencia.

La línea de alturas piezométricas (LAP) es la representación de la altura

piezométrica (suma de la energía potencial y la altura de presión) en cada sección del

flujo, medida respecto al plano horizontal de referencia. Los desniveles entre LAP y

LAG en una sección dada determinan la altura de presión p/γ en dicha sección.

La línea de alturas totales (LAT) se obtiene sumando a la línea de alturas

piezométricas el valor de la altura cinética v2/2g en cada sección, y representa por tanto

la energía total específica en cada sección del flujo.

En las redes de distribución suelen presentarse velocidades máximas del orden de

2 m/s, de manera que el cambio de altura cinética desde el valor máximo hasta una

velocidad cero sería, como máximo, del orden de 0'204 m.; por la pequeña entidad del

término cinético, es habitual trabajar con la altura piezométrica como medida de la

energía específica del fluido. No obstante, en aquellas situaciones en las que el término

cinético experimenta cambios notables será necesario considerarlo en los balances de

energía.

El término h12 de la ecuación (3.2), cuando consiste en una pérdida de energía,

suele referirse como pérdida de carga, pudiendo distinguirse dos tipos, a saber: pérdidas

de carga continuas o por fricción (hf), que representan la disipación energética que se

produce por la circulación del fluido en la conducción, y de otro lado, las pérdidas

3.10


localizadas o menores (hm), que se desarrollan en discontinuidades localizadas de la

conducción, como estrechamientos, derivaciones, válvulas, etc... El calificativo de

"pérdidas menores" nada tiene que ver con la magnitud de este tipo de pérdidas, puesto

que ocasionalmente pueden ser incluso superiores a las pérdidas de carga continuas. La

pérdida de carga unitaria o pendiente hidráulica (J) se define como la pérdida de carga

contínua por metro de longitud de la conducción J = hf/L.

En general el problema de análisis en régimen permanente de una red de

distribución puede resumirse en la determinación de los caudales que circulan por las

líneas de la misma, así como de las alturas piezométricas en los nudos del sistema,

considerando una situación invariable con el tiempo, a partir de la información

disponible sobre las características de todas las conducciones y elementos especiales, los

consumos y aportes de la red y al menos, una altura piezométrica de referencia

conocida.

Para determinar las incógnitas del sistema en un modelo de análisis en régimen

permanente de una red de distribución se hace uso de dos leyes generales, que se

cumplen independientemente de la configuración y los elementos de que consta la red

y que constituyen una particularización de las ecuaciones generales de conservación de

la masa y la energía aplicadas al flujo de un fluido incompresible a través de un sistema

de tuberías a presión. Tales leyes son conocidas también como leyes de Kirchoff.

Las variables del modelo son las siguientes:

- Los caudales q internos que circulan por todas las líneas.

- Los caudales Q externos aplicados en los nudos.

- La altura piezométrica en los nudos H y su presión p.

- La pérdida de carga en cada línea, o de una forma más general, las diferencias

de alturas piezométricas entre sus nudos extremos, que denominaremos h.

De todas estas variables, unas serán datos del problema y otras serán calculadas

de acuerdo con las leyes bajo las cuales se comporta el sistema, y que seguidamente

formulamos. En primer lugar vamos a definir la nomenclatura y el criterio de signos

utilizado, haciendo referencia a la siguiente figura, en la que se representa la línea que

une los nudos i y j.

3.11


qij : Caudal que circula entre los nudos i y j, considerado como positivo en el caso

Figura 3.1.- Esquema de una línea.

de la figura cuando circula del nudo i hacia el nudo j.

Qi : Caudal inyectado en el nudo i. Se considera positivo si es entrante (aporte) y

negativo cuando es saliente (consumo).

Hi : Altura piezométrica en el nudo i.

hij : Pérdida de carga en la línea ij.

Las pérdidas de carga en un elemento resistente (se trate de una tubería o una

pérdida localizada) pueden expresarse de forma general como:

de modo que la pérdida de carga tomará el mismo signo que el caudal de línea, esto es,

(3.3)hi j Hi Hj Ri j qi j qi jn 1

hij será positiva si Hi es mayor que Hj, y por consiguiente, si el caudal circula del nudo

i al j ; n es el exponente del caudal que dependerá de la ecuación de pérdidas adoptada

(en el siguiente apartado trataremos de este particular). El término Rij se denomina

resistencia hidráulica de la línea ij.

3.12


La primera ley de Kirchoff establece que la suma neta de todos los caudales que

confluyen en un nudo debe ser nula. Tal definición incluye tanto a los caudales internos

q que circulan por las líneas, como a los caudales externos Q, directamente aplicados,

y supone que un cierto criterio de signos ha sido previamente establecido.

En lo sucesivo, admitiremos que un caudal interno q es negativo cuando entra en

un nudo, y positivo cuando sale, mientras que adoptaremos un criterio contrario para los

caudales exteriores. Así, la ecuación de continuidad quedará expresada en la forma:

donde el subíndice j hace referencia a todos los nudos conectados directamente al i

(3.4) j∈Ai

qi j Qi 0 o j∈Ai

qi j Qi i 1,...,N

(conjunto Ai) y siendo N el número total de nudos de la red.

En (3.4) se representan un total de N ecuaciones simultáneas aunque no resultan

independientes, puesto que para que se verifique el principio de continuidad en toda la

red, la suma neta de aportes y consumos externos debe de ser nula, lo que se plasma en

la condición siguiente:

estando extendido ahora el sumatorio a los N nudos de la red.

(3.5)

N

i 1

Qi 0

La condición expresada en (3.5) se puede obtener asimismo sumando las N

ecuaciones del tipo (3.4), ya que cada sumando qij aparecerá tan sólo en dos ecuaciones,

en una con signo positivo y en la otra con signo negativo, de forma que la suma global

de los términos qij es nula. En consecuencia, podemos afirmar que de las N ecuaciones

de continuidad en los nudos de la red, una de ellas es combinación lineal de las N-1

restantes y en conjunto, la primera ley de Kirchoff proporciona N-1 ecuaciones

independientes.

La segunda ley de Kirchoff, que corresponde al principio de conservación de la

energía, establece que la suma algebraica de las pérdidas de carga debe ser igualmente

nula a lo largo de cualquier malla.

Nuevamente es necesario establecer un criterio de signos ligado con el enunciado

anterior. Para ello es necesario dotar a la malla de un sentido (en la figura anterior se

3.13


ha adoptado un sentido de recorrido horario), y según este sentido, la pérdida de carga

Figura 3.2.- Configuración de una malla.

se considera positiva cuando el caudal recorre el circuito en mismo sentido de la malla,

y negativa en caso contrario. Con estas convenciones de signos, la segunda ley de

Kirchoff, que debe aplicarse a M mallas independientes de la red, se expresa en la forma

siguiente:

donde Bl representa el conjunto de líneas pertenecientes a la malla l y el término (±)ij

(3.6) (i , j) ∈Bk

(±)i j hij 0 k 1 ...M

toma un valor (+1) si el sentido hipotético del caudal qij es el mismo que el de la malla,

y (-1) si toma el sentido contrario.

Nos plantemos a continuación cuál es el número de ecuaciones de malla

independientes que pueden ser planteadas en el contexto de una red, y para ello vamos

a recurrir a las definiciones de la teoría de grafos.

Dentro del esquema de una red mallada es siempre posible encontrar un

subconjunto de líneas que unen entre sí a todos los nudos de la red, de forma que

constituyan una red ramificada. Dicha red ramificada, que en la teoría de grafos se

conoce con el nombre de árbol de la red, poseerá tantas líneas como nudos menos uno,

esto es N-1.

3.14


El subconjunto de líneas que resta para completar la red mallada original se conoce

con el nombre de coárbol y estará constituido por el resto de líneas, esto es

L-(N-1) = L-N+1, siendo L el número total de líneas de la red. En el árbol de la red no

existe ninguna malla de modo que la adición de una nueva línea del coárbol implica la

aparición de una nueva malla que además, será una malla básica, puesto que aparece

ligada a una línea adicional y en consecuencia, no se superpone a ninguna malla

anterior.

Cuando finalmente se hayan incluido todas las líneas del coárbol en el árbol y para

"reconstruir" la red mallada original, habremos obtenido tantas mallas básicas (y por

tanto independientes) como líneas posee el coárbol, esto es L-N+1 = M. De aquí

deducimos la importante relación:

que resulta válida para cualquier tipo de red, sea cual sea su disposición, y donde M

(3.7)M L N 1

representa el número de mallas independientes, L es el número de líneas y N el número

de nudos.

La relación (3.7) indica por tanto que el número de ecuaciones independientes de

malla del tipo (3.6) asciende a M = L-N+1.

En el caso de una red ramificada o una conducción en serie, puesto que el número

de líneas es igual al número de nudos menos uno, L = N-1, el número de mallas es

nulo, M = (N-1)-N+1 = 0.

Las dos leyes de Kirchoff definen un sistema constituido por un total de

(N-1) + (L-N+1) = L ecuaciones independientes, mientras que las incógnitas utilizadas

hasta el momento son las variables qij y hij, cuyo número asciende a 2L. Sin embargo,

las variables qij y hij de cada una de las líneas ij de la red están ligadas por una

expresión que depende de las características del elemento constituyente de la línea

correspondiente, que denominaremos ecuación del comportamiento de la línea y cuya

formulación analizaremos en el apartado siguiente. En forma general, la ecuación de

comportamiento de una línea puede representarse como:

En consecuencia, a las L ecuaciones anteriores correspondientes a las leyes de

(3.8)hi j fi j (qi j )

Kirchoff deberemos añadir L ecuaciones de comportamiento adicionales, obteniendo así

un sistema de 2L ecuaciones para resolver las 2L incógnitas (qij y hij en cada línea de

3.15


la red). Finalmente quedan todavía 2N variables, correspondientes a la altura

piezométrica Hi y el caudal externo Qi en cada uno de los nudos de la red. De entre

estas 2N variables, N deben de ser datos y las N restantes incógnitas del problema de

análisis, como vamos a comprobar a continuación; más aún, para que el problema tenga

una única solución es necesario que al menos exista un nudo de altura piezométrica

conocida (y en consecuencia, al menos un caudal externo debe de ser incógnita), puesto

que de otro modo sería posible conocer la diferencia de alturas piezométricas entre cada

par de nudos de la red pero no así la altura piezométrica de ninguno de ellos; dicho de

otra manera, existirían infinitos valores de la altura piezométrica de los nudos que

cumplirían con las condiciones del problema. En realidad, incluso en esta situación, la

solución en caudales sería única.

A partir de la definición de hij = Hi - Hj disponemos de L ecuaciones, pero

solamente N-1 de ellas son realmente independientes. Si existe un único nudo de altura

conocida dentro de la red, dichas ecuaciones equivalen a formular N-1 ecuaciones de

Bernoulli adicionales e independientes de las formuladas hasta ahora, que nos permitirán

calcular las alturas piezométricas en el resto de los nudos de la red. Para este cometido

se define un árbol de forma que cualquier nudo de la red quede unido mediante un único

trayecto con el nudo de altura conocida; de esta forma podemos escribir N-1 ecuaciones

de la forma:

donde: Hc : Altura piezométrica conocida en el nudo c.

(3.9)Hi Hc(dato) (jk) ∈Si c

(±) j k hj k

Hi : Altura piezométrica incógnita en el nudo i.

Sic : Conjunto de líneas del trayecto que une los nudos i y c.

hjk : Pérdida de carga en la línea jk, perteneciente al trayecto Sic.

(±)jk: Término que adopta el valor (+1) si el sentido hipotético del caudal qjk

está dirigido del nudo i al nudo c, y (-1) si circula en sentido contrario.

Las N-1 ecuaciones del tipo (3.9) son independientes de las ecuaciones de malla

puesto que no pueden ser obtenidas como combinación de éstas. Recordemos que el

sistema de ecuaciones independientes (3.9) equivale a la definición de las variables hij.

Contamos además con la relación (3.5) que determina la conservación de la masa en

toda la red, de forma que, en total, dispondremos de N ecuaciones independientes

adicionales que nos permitirán determinar el valor de las N-1 alturas piezométricas y el

caudal externo en el nudo de altura conocida (N incógnitas).

3.16


Cuando existe más de un nudo con altura piezométrica conocida (y en

consecuencia, más de un nudo cuyo caudal externo es desconocido), las relaciones (3.9)

y (3.5) siguen siendo válidas, pero observemos que si Hm y Hn son alturas conocidas en

los nudos m y n, particularizando la ecuación (3.9) y reordenando sus términos,

obtenemos:

que correspondería a una ecuación de malla del tipo (3.6), excepto en el término

(3.10) (jk) ∈Smn

(±)j k hj k Hm Hn 0

Hm - Hn; este último término puede ser asimilado a una nueva línea de la red, atravesada

por un caudal cualquiera, pero cuya pérdida de carga corresponde invariablemente a la

diferencia de alturas piezométricas de los nudos m y n; este peculiar tipo de línea se

conoce con el nombre de línea ficticia y la malla que la contiene, correspondiente a la

ecuación de malla (3.10), se denomina malla ficticia.

La adición de una línea ficticia comporta la aparición de una malla ficticia, de

manera que la relación M = L-N+1 sigue siendo válida incluso considerando estos

nuevos elementos ficticios.

Si se consideran las líneas y mallas ficticias como un componente topológico más

de la red, sólo podremos hablar en propiedad de redes ramificadas como aquellas en las

cuales no es posible definir ningún tipo de malla, ni real ni ficticia; esta condición exige

no solamente una topología arborescente sino además, la existencia de un único nudo

de altura piezométrica conocida. Bajo este nuevo punto de vista, la resolución del

conjunto de ecuaciones planteadas para el caso de una red ramificada resulta mucho más

sencilla que en el caso de las redes malladas o redes con varios nudos de altura

conocida, puesto que disponemos de N-1 ecuaciones de continuidad que es posible

resolver desacopladamente del sistema de N-1 ecuaciones del tipo (3.9). Los aspectos

particulares de este caso se desarrollarán en profundidad en el Apartado 3.4.

3.3.- ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIFERENTES ELEMENTOS.

Las ecuaciones (3.4), (3.6) e incluso (3.9) formuladas en el anterior apartado, son

absolutamente generales e independientes de cómo está constituida la red y del tipo de

elementos que la configuran. La formulación de las ecuaciones de comportamiento (3.8)

3.17


depende, sin embargo, del o de los elementos hidráulicos que configuran una

determinada línea.

Al efectuar una clasificación de los distintos tipos de elementos que usualmente

forman parte de una red de distribución, agrupados por su comportamiento, podemos

distinguir cuatro tipos diferentes, a saber, tuberías, elementos disipativos singulares,

elementos motrices, y válvulas especiales. A continuación analizaremos el

comportamiento hidráulico de cada uno de ellos, proponiendo expresiones apropiadas

para las ecuaciones de comportamiento que relacionan el caudal q con la pérdida de

carga h.

3.3.1.- Tuberías

3.3.1.1.- Introducción.

La ecuación fundamental para las pérdida de carga en una conducción en régimen

permanente y uniforme se deduce de la aplicación de la ecuación de la cantidad de

movimiento a un tramo de tubería horizontal, como el mostrado en la Figura 3.3, en la

cual p1 y p2 son las presiones a la entrada y salida de la conducción, A1 y A2 son las

secciones de la conducción en ambos extremos, P es el perímetro de una sección de la

conducción transversal al flujo, ∆L es la longitud del tramo, τ es la tensión tangencial

en las paredes de la conducción.

Figura 3.3.- Elemento de una conducción de sección uniforme.

3.18


En el elemento de la figura suponemos que las secciones de la conducción son

iguales a la entrada y la salida (A1=A2) y consecuentemente, también son iguales las

velocidades (v1=v2). Al ser las condiciones uniformes, el valor de τ es constante en todo

el tramo y consecuentemente, la aplicación de la ecuación de la cantidad de movimiento

resulta:

donde γ es el peso específico del fluido, J es la perdida unitaria (o pendiente hidráulica)

(3.11)p1 A1 p2 A2 (p1 p2) A τ P ∆ L →→ τ ∆ p∆ L

AP

γ J Rh

y Rh es el radio hidráulico, que corresponde al cociente entre la sección transversal que

ocupa el fluido (A) y el perímetro "mojado" de la sección (P) sobre el que actúa la

tensión tangencial τ.

3.3.1.2.- Fórmulas de pérdida de carga.

Desde la implantación de las primeras redes de distribución de agua a presión a

comienzos del siglo pasado en los EEUU., han sido propuestas numerosas expresiones

que relacionasen el caudal con la pérdida de carga en las tuberías a presión. Una de las

primeras es la ecuación de Chezy (1775), que establece:

en la cual C es un coeficiente empírico de ajuste, que depende del material de la tubería,

(3.12)v C J Rh

de su diámetro y hasta de su velocidad. Esta fórmula se obtiene fácilmente a partir de

(3.11) suponiendo que la tensión tangencial τ es proporcional al cuadrado de la

velocidad. Si la conducción es de sección circular con diámetro D, la sección de paso

del fluido será A=(πD2)/4, y el perímetro mojado P=πD, de forma que el radio

hidráulico resulta en tal caso Rh = D/4. Sustituyendo en (3.12), la fórmula de Chezy

toma la forma:

Como acabamos de comprobar, la cuestión fundamental para la determinación de

(3.13)v C J Rh C J D →→ hf L

D C 2v2

16 L

π2 C 2 D5Q2

la pérdida de carga reside en las conjeturas realizadas sobre el valor de la tensión

tangencial τ, cuestión que más recientemente se ha resuelto mediante la aplicación del

análisis dimensional para establecer su relación con el resto de las variables del

fenómeno. Según esta teoría la ecuación de pérdidas puede concretarse en una relación

funcional del tipo (Streeter y Wylie [20]):

3.19


donde : D : Diámetro de la conducción.

(3.14)φ( D ,ε ,ε ,m ,v ,τ ,ρ ,ν ) 0

ε : Rugosidad de las paredes (tamaño promedio de las irregularidades)

ε' : Separación promedio de las irregularidades.

m : Factor de forma de las irregularidades (adimensional).

v : Velocidad del fluido.

τ : Tensión tangencial.

ν : Viscosidad cinemática del fluido.

Expresado en función de parámetros adimensionales, la relación (3.14) queda:

Aunque existen medios físicos para la determinación de la rugosidad ε, no ocurre

(3.15)ϕ

v Dν

, ρ v2

τ, εD

, ε

D,m 0

lo mismo con los parámetros ε' y m, y su estimación podría resultar extremadamente

compleja, por lo que se eliminan de la formulación, aunque su efecto puede ser incluido

en la rugosidad "equivalente" ε. Con estas consideraciones podemos reescribir la

ecuación (3.15) como:

donde Re = vD/ν es el número de Reynolds, y εr = ε/D se denomina rugosidad relativa,

(3.16) τρ v2

ϕ

v Dν

, εD

ϕ Re ,εr

ambos adimensionales.

Sustituyendo (3.16) en (3.11) para una conducción de sección circular y

diámetro D obtenemos:

La expresión anterior es conocida usualmente como ecuación de Darcy-Weisbach,

(3.17)J ϕ Re ,εr

8D

v2

2 g f (Re ,εr )

1D

v2

2 g

ya que fue inicialmente propuesta por Weisbach en 1855 y posteriormente modificada

por Darcy en 1875. Su expresión en términos de la pérdida de carga hf resulta:

y en la cual el coeficiente f recibe el nombre de factor de fricción.

(3.18)hf f LD

v2

2g

8 f L

π2 gD5Q2

3.20


3.3.1.3.- Factor de fricción.

La diferencia principal que aporta la ecuación de Darcy-Weisbach (abreviadamente

DW) respecto de la de Chezy estriba en la adimensionalidad del factor de fricción f,

siendo éste el atractivo principal que ha hecho de la expresión de DW posiblemente la

más utilizada en la hidráulica aplicada.

Así, en 1911 Blasius propone la siguiente expresión de f para tubería lisa:

válida para Re = 3 103÷105.

(3.19)f 0 3164 Re 0 25

En 1930, Von Karman y Prandtl proponen una expresión implícita de f:

cuyo aplicación resulta apropiada en un rango de Re mayor que la de Blasius. En 1933

(3.20) 1

f 2 log10

2 51

Re f

Nikuradse realiza diversos ensayos sobre tuberías artificialmente dotadas de rugosidad,

con valores perfectamente calibrados, cuyo resultado se resume en la siguiente ecuación:

la cual es válida para tubos rugosos con flujo en régimen turbulento plenamente

(3.21) 1

f 2 log10

ε3 7 D

desarrollado. Por otro lado, las experiencias de Nikuradse confirman plenamente la

fórmula de Poiseuille, válida en régimen laminar (Re≤2000):

Colebrook presentó en 1938 una fórmula (conocida como ecuación de

(3.22)f 64Re

Colebrook-White) que se ajustaba bastante bien a los valores del factor de fricción f

observados experimentalmente para tubos comerciales, en función del número de

Reynolds Re y la rugosidad relativa εr, obteniendo:

la cual engloba a las expresiones de Von Karman (3.20) y Nikuradse (3.22) con la única

(3.23) 1

f 2 . log10

εr

3 7 2 51

Re . f

limitación de que el flujo sea en régimen turbulento (Re≥4000).

3.21


En 1944, L.F. Moody tras ensayar con nuevos materiales publicó sus resultados,

esta vez en forma gráfica, en un ábaco que se conoce en la bibliografía como diagrama

de Moody, y que muestra la Figura 3.4.

El ábaco de Moody es una gráfica log-log del factor de fricción f frente al número

Figura 3.4.- Diagrama de Moody.

de Reynolds Re, actuando la rugosidad relativa εr como parámetro de las diversas

curvas. Posee la virtud de que permite determinar el valor del factor de fricción f a

partir de los parámetros adimensionales Re y εr, sin necesidad de recurrir a

procedimientos iterativos, imprescindibles en el caso de utilizar ecuaciones implícitas

en f tales como las de Von Karman-Prandtl y Colebrook-White.

La utilización práctica de la ecuación de Colebrook-White (3.23) en su forma más

general, puede resultar incómoda al figurar el factor de fricción f en forma implícita,

pero es posible despejar f mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo, cuya

convergencia está asegurada para los valores de Re y εr habitualmente empleados en

redes de distribución.

3.22


Para realizar la iteración de punto fijo, se reordena (3.23) en la forma:

Supuesto que conocemos los valores de Re y εr, se comienza el proceso iterativo

(3.24)f G(f ) 1

4 .

log10

εr

3 7 2 51

Re . f

2

suponiendo un valor inicial del factor de fricción f0, que sustituido en la función G

proporcionará el siguiente valor estimado en la forma f1 = G(f0). El procedimiento

continúa sustituyendo f0 por f1 hasta que las diferencias entre dos valores sucesivos

queden dentro del límite de convergencia, tal y como muestra el diagrama de la

Figura 3.5.

Figura 3.5.- Proceso iterativo para el cálculo de f a partir de una expresión implícita.

3.3.1.4.- Expresiones explícitas del factor de fricción.

Para eludir el problema del cálculo iterativo, numerosos autores han propuesto

expresiones explícitas del factor de fricción, de las cuales reseñamos a continuación las

más conocidas:

(3.25)Moody (1944) f 0 0055

1

20000εr 106

Re

1/3

3.23


cuyo valor se desvía en un máximo de ±5% en el intervalo de valores 4 103≤Re≤107

y εr≤0'01.

con una precisión de ±4% en el intervalo de valores Re≥104 y 10-5≤εr≤4 10-2.

(3.26)Wood (1966) f a b Re c

a 0 094 ε0 225r 0 53 εr

b 88 ε0 44r

c 1 62 ε0 134r

cuya precisión es de ±1% en el intervalo de valores 5 103≤Re≤108 y 10-6≤εr≤10-2.

(3.27)Barr (1975) 1

f 2 log10

5 1286

Re0 89 εr

3 7

(3.28)Swamee y Jain (1976) f 0 25

log10

5 74

Re0 9 εr

3 7

2

con una precisión de ±0'58% para los valores 4 103≤Re≤108 y 0≤εr≤0'05.

(3.29)Churchill (1977) 1

f 2 log10

7Re

0 9

εr

3 7


(3.30)Haaland (1983) 1

f 1 8 log10

6 9Re

εr

3 7

1 11


(3.31)Chen (1985) 1

f 2 log10

4 52Re

log10

Re7

εr

3 7

Las desviaciones indicadas en las fórmulas anteriores están referidas al valor de

f obtenido mediante la ecuación de Colebrook-White.

3.24


3.3.1.5.- Fórmulas semiempíricas de la pérdida de carga.

Además de las ecuaciones presentadas, diversos autores han intentado representar

las pérdidas de carga de la conducción mediante fórmulas obtenidas empíricamente, que

por su gran sencillez han llegado a adquirir una amplia aceptación. Entre ellas, cabe

destacar la fórmula de Hazen-Williams (1903), cuya expresión, una vez transformada

a unidades del sistema internacional resulta:

o bien, expresada en términos del caudal q sería:

(3.32)v 0 355 CH D0 63 J0 54

Finalmente, la pérdida de carga hf puede expresarse como:

(3.33)q 0 279 CH D2 63 J 0 54

donde L representa la longitud de la tubería, y CH es el coeficiente de Hazen-Williams,

(3.34)hf 10 61 1

C1 85H

L

D4 87 q1 85

que depende fundamentalmente del material de la tubería, y viene tabulado en la

mayoría de los textos de Hidráulica. Como orden de magnitud, podemos citar que un

valor CH = 140 correspondería al mejor grado de calidad de una tubería lisa y nueva

(Walski [21]), mientras que en tuberías de baja calidad superficial, con mucho tiempo

de uso, incrustaciones, etc., podemos encontrar valores del orden CH = 40÷80. La

expresión de Hazen-Williams goza de una gran popularidad, especialmente en los países

anglosajones.

Otra de las expresiones empíricas más comunes es la de Manning-Strickler-

Gauckler, habitualmente denominada fórmula de Manning, cuya expresión es:

siendo, en la primera expresión n el coeficiente de Manning, y en la segunda Ks el

(3.35)v 1n

R2/3h J1/2 Ks R

2/3h J1/2

coeficiente de Strickler. Reescribiendo la fórmula en términos de la pérdida de carga hf

y el caudal q para una tubería de diámetro D obtenemos:

(3.36)hf 10 29 n2 L

D16/3 q2 10 29

K2s

L

D16/3 q2

3.25


La fórmula de Manning es de uso muy común en España, particularmente en

Hidráulica Agrícola, en el cálculo de pérdidas en canales, y en las grandes obras

hidráulicas (aprovechamientos hidroeléctricos, trasvases, etc.).

3.3.1.6.- Tuberías equivalentes.

En ocasiones resulta conveniente formular el modelo de análisis en régimen

permanente de una red considerando la simplificación de algunos subsistemas de

tuberías, que no requieren un gran nivel de detalle para el conocimiento de su estado

hidráulico. Con este fin vamos a describir tres situaciones muy comunes que consisten

en la simplificación en una tubería única equivalente de un sistema de tuberías

dispuestas en serie, en paralelo, y finalmente, la equivalencia de una conducción con

consumos distribuidos a lo largo de su longitud.

A) Tubería equivalente serie: El sistema de tuberías a simplificar está compuesto por T

tuberías en serie, como muestra la Figura 3.6, siendo los datos característicos de cada

una de ellas su caudal qi, longitud Li, diámetro Di, factor de fricción fi y perdida de

carga hf,i.

La tubería equivalente serie debe de producir las mismas pérdidas de carga que la

Figura 3.6.- Tuberías en serie.

serie de tuberías definida, para igual caudal. Si expresamos las pérdidas de carga en la

forma h = R qn, la expresión de la pérdida de carga equivalente será:

(3.37)hf (equivalente)

T

i 1

hf,i

T

i 1

Ri qni Req qn

eq

3.26


Al no existir derivaciones de caudal en la serie de tuberías, tenemos que:

y en consecuencia, la resistencia hidráulica equivalente será igual a la suma de las

(3.38)qeq qi ∀ i

resistencias de las tuberías de la serie; empleando la expresión de hf de Darcy resulta:

(3.39)Req

T

i 1

Ri →→ feq Leq

D5eq

T

i 1

fi Li

D5i

B) Tubería equivalente paralelo: En este caso, el sistema de tuberías a simplificar lo

forman T tuberías dispuestas en paralelo (Figura 3.7).

La tubería equivalente paralelo debe transportar el mismo caudal que todas las

Figura 3.7.- Tuberías en paralelo.

tuberías del sistema paralelo, esto es:

mientras que la pérdida de carga equivalente debe ser igual a la que produce cualquiera

(3.40)qeq

T

i 1

qi

de las tuberías en paralelo:

Si expresamos las pérdidas de carga en la forma h = R qn, podemos sustituir en

(3.41)hf (equivalente) hf,i ∀ i

(3.40) de la siguiente forma:

(3.42)qeq

hf (equiv)

Req

1/n

T

i 1

qi

T

i 1

hf,i

Ri

1/n

3.27


y teniendo en cuenta (3.41) quedará:

y finalmente, utilizando la expresión de Darcy resulta:

(3.43) 1

R1/neq

T

i 1

1

R1/ni

→→ Req 1

T

i 1

1

R1/ni

n

(3.44)

D5

eq

feq Leq

1/2

T

i 1

D5

i

fi Li

1/2

C) Pérdida de carga en una conducción con distribución discreta de consumos: Cuando

la conducción alimenta unos caudales distribuidos a lo largo de la misma, bien sea en

forma discreta o contínua, es posible establecer una correspondencia con una tubería

equivalente, modificando el cálculo de las pérdidas de carga mediante la inclusión del

llamado coeficiente de Christiansen F.

Este autor introdujo en 1942 la utilización del coeficiente F para representar de una

forma compacta la pérdida de carga en laterales de riego. Para esta simplificación se

parte de las siguientes hipótesis: el diámetro es uniforme en toda la conducción, cuya

longitud total es L; se supone una distribución discreta de T puntos de consumo,

espaciados entre sí una distancia l = L/T, siendo la magnitud de estos consumos igual

a q = Q/T, donde Q es el caudal total inyectado en la conducción.

Para calcular las pérdidas de carga en la conducción introducimos el concepto de

resistencia hidráulica unitaria r = R/L. En primer lugar necesitamos conocer el caudal

que atraviesa cada una de las secciones de la tubería.

Dicho caudal es uniforme por tramos de longitud l, de forma que en el tramo

i-ésimo comenzando desde el extremo situado aguas arriba, el caudal que lo atraviesa

es qi = Q-(i-1) q; en consecuencia, la pérdida de carga que se produce en la tubería

será:

(3.45)hf

T

i 1

hf,i

T

i 1

r l Q (i 1) qn

r l qn

T

i 1 T i 1

n r l qn

T

i 1

in

Si reescribimos la expresión (3.45) en función de la resistencia hidráulica R y del

3.28


caudal total de entrada Q quedará:

en la cual, F es el factor de Christiansen, siendo T el número de tramos y n el exponente

(3.46)hf r l qn

T

i 1

in RT

QT

n

T

i 1

in R Qn

1

Tn 1

T

i 1

in R Qn F

del caudal en la fórmula de pérdidas.

El mismo autor proporciona una fórmula aproximada más compacta del coeficiente

Figura 3.8.- Conducción con una distribución discreta y uniforme de consumos.

F, cuya expresión es:

Esta expresión aproximada resulta exacta para un exponente n=2, mientras que para

(3.47)F 1

Tn 1

T

i 1

in 11 n

12 T

n 1

6 T2

un exponente n=1'75 (correspondiente a fórmula de Blasius) presenta una desviación

máxima del 0'16 %.

Cuando el número de derivaciones es muy grande, puede llegar a suponerse una

distribución contínua y uniforme de caudal, y el coeficiente de Christiansen valdría en

tal caso:

(3.48)F (T →∞) 11 n

3.29


La expresión (3.48) puede ser empleada cuando el número de derivaciones es

mayor o igual de 150, con una desviación máxima del 1% sobre la expresión exacta.

Sin embargo, en una distribución discreta es habitual que la separación de la

primera derivación respecto de la entrada (que denominaremos l0) sea distinta de la

separación l entre las siguientes derivaciones. En este caso, el coeficiente de Christiansen

F' adopta la siguiente expresión:

donde F corresponde al coeficiente de Christiansen obtenido suponiendo la misma

(3.49)F r T F 1r T 1

siendo r l 0

l

separación l en todas las derivaciones y F' el coeficiente modificado.

Sobre la utilización del factor F de Christiansen hay que tener presente dos de las

hipótesis que se utilizan implícitamente en su obtención, a saber:

a) La situación que se pretende modelizar, consistente en una serie discreta de

consumos iguales, distribuidos a lo largo de la conducción, no existe en la

realidad, puesto que el caudal que puede ser extraído de una determinada toma

dependerá de la presión existente en la misma.

La hipótesis resultará aproximadamente válida en el caso de que la diferencia

entre las presiones de los extremos de la conducción no sea demasiado elevada

en términos relativos a la presión media.

b) Al derivar la expresión del factor F se ha supuesto de forma implícita que la

resistencia hidráulica unitaria de la tubería (r) se mantiene constante a lo largo

de toda su longitud.

En tanto se utilice una fórmula de pérdidas que no tome en consideración el

número de Reynolds, la hipótesis resulta absolutamente apropiada; sin embargo,

si tomamos en consideración la influencia de las tensiones viscosas, es evidente

que la resistencia unitaria r es diferente en cada una de las secciones de la

conducción, puesto que el caudal transportado es asimismo diferente. Una

posibilidad para soslayar esta dificultad es utilizar un valor promedio de r para

toda la conducción.

3.30


3.3.2.- Elementos disipativos singulares (accesorios y válvulas).

Los elementos accesorios son imprescindibles en toda red, y entre ellos se incluyen

aquellos que permiten acomodar el trazado de la red a los accidentes topográficos del

terreno (codos, juntas), otros que permiten empalmar y derivar tuberías (tes, collarines,

uniones en Y), o bien acoplar los cambios de geometría en la sección (conos) y también

los dispositivos de control del flujo (válvulas de compuerta, de lenteja o mariposa,

estrechamientos).

Los elementos mencionados producen pérdidas de carga que, al estar originadas

por dispositivos concretos se conocen con el nombre de pérdidas localizadas, singulareso menores, y que usualmente se evalúan como el producto de la altura cinética

multiplicada por un coeficiente de pérdidas k, en la forma:

en la cual v es la velocidad del fluido y D el diámetro del elemento, referidas ambas

(3.50)h k v2

2g

8 k

π2 g D4q2

variables normalmente al valor aguas abajo de la zona de alteración del flujo salvo

indicación en contra, y k es un coeficiente adimensional que depende de Re, pero sobre

todo, de las características del elemento accesorio.

Las pérdidas localizadas se pueden expresar también en función de la longitudequivalente de tubería Le, que se define como la longitud de tubería que produciría la

misma pérdida de carga que el accesorio interpuesto, esto es:

o lo que es lo mismo:

(3.51)f Le

D v2

2g k v2

2g

En el caso de las válvulas, el valor del coeficiente de pérdidas k dependerá del

(3.52)Le k Df

→→ h r Le q2

grado de apertura de las mismas. En la práctica, y tratándose de sistemas con grandes

longitudes de tubería recta sin accesorios, no es habitual modelizar individualmente los

accesorios porque las pérdidas de carga producidas por las tuberías son

comparativamente muy superiores (salvo en el caso de las válvulas reguladoras). Cabe

la posibilidad de considerar los accesorios en el cómputo de pérdidas de carga bien sea

mediante un incremento de la longitud de cada tubería en la longitud equivalente de los

3.31


accesorios que incorpora, o bien simplemente, mayorando las pérdidas de carga de las

tuberías en un porcentaje del 5÷10%.

Naturalmente, en el caso de que la pérdidas en los accesorios sean del orden de

magnitud de la pérdida en las tuberías, situación muy común en instalaciones

industriales, será necesaria la modelización individual de cada elemento para conseguir

una caracterización suficientemente exacta de la red.

A continuación se presentan algunas de las singularidades más comunes y los

valores que usualmente adopta el coeficiente de pérdidas k, suponiendo un régimen

turbulento completamente desarrollado.

Ensanchamientos y contracciones

Ensanchamiento brusco: h = k (v21 /2g)

D2/D1 k

1'21'41'61'82'02'5345

0'0950'230'360'450'530'660'740'820'86

Ensanchamiento gradual: h = k (v21 -v

22 )/2g

ángulo deapertura θθ

k

10o

20o

30o

40o

50o

60o

75o

90o

0'0780'310'490'600'670'720'720'67

3.32


Entrada a depósito: h = k (v2/2g)

Tipo k

(a) Acampanada(b) Recta(c) Encastrada

0'11'01'0

Contracción brusca: h = k (v22 /2g)

D1/D2 k

1'21'41'61'82'02'5345

0'090'190'250'310'340'370'390'410'42

Estrechamiento gradual: h = k (v22 /2g)

Tipo k

(a) Ordinario(b) Acampanado(c) Redondeado

0'250'100'04

3.33


Entrada desde depósito: h = k (v2/2g)

Tipo k

(a) Acampanada(b) Recta(c) Encastrada

0'040'51'0

Codos y derivaciones

Codo curvo de 90o: h = k (v2/2g)

r/D k

2820

0'30'40'5

Codo recto: h = k (v2/2g)

Angulo αα k

90o

60o

30o

1'80'750'25

Codo de retorno (180o): h = k (v2/2g)

k = 1'5

Te estándar: h = k (v2/2g)

Posición k

(a) en línea(b) en derivación

0'61'8

3.34


Válvulas

Válvula de compuerta: h = k (v2/2g)

Apertura k

Abierta3/41/21/4

0'191'155'624'0

Válvula de diafragma: h = k (v2/2g)

Apertura k

Abierta3/41/21/4

2'32'64'321'0

Válvula de mariposa: h = k (v2/2g)

Apertura (ánguloαα)

k

Abierta (0o)30o

40o

50o

60o

0'33'6103194

3.35


3.3.3.- Elementos motrices: bombas.

Las bombas son elementos motrices cuya misión consiste en proporcionar energía

de presión adicional al fluido. Presentan la particularidad de que la diferencia de alturas

entre el punto de entrada y el de salida del flujo tiene ahora signo contrario al caudal,

puesto que se trata de un aporte de energía en lugar de una pérdida de carga. Las

bombas utilizadas normalmente en los sistemas de distribución presentan además una

curva característica fundamentalmente decreciente, esto es, la altura que proporcionan

disminuye con el caudal, y consecuentemente, la curva incluye una constante que

responde al valor de la ordenada en el origen, o lo que es lo mismo, la altura de la

bomba a caudal nulo.

Figura 3.9.- Energía proporcionada por una bomba.

La relación entre la altura de bombeo hb y el caudal trasegado q, hb = f(q), se

conoce como curva característica de la bomba y en la mayoria de los casos se puede

ajustar a una expresión general del tipo:

donde H0 es el valor de hb a caudal nulo, mientras que A y B son otros dos coeficientes

(3.53)hb H0 A q2 B q

de la curva característica. No obstante, en las bombas que trasiegan mucho caudal con

poca altura de elevación puede ser necesario un ajuste de tercer orden o superior. La

validez de la curva característica está restringida únicamente para los valores hb≥0 y

q≥0.

3.36


Se denomina punto de funcionamiento de la bomba al par de valores (hb,q)

constituido por la altura de bombeo y el caudal trasegado por la bomba, que caracteriza

el modo de trabajo de la bomba en una instalación dada. El punto de funcionamiento

depende no sólo de la bomba utilizada, sino también del resto de la instalación. De

forma gráfica sobre un diagrama h-q, el punto de funcionamiento se obtiene

intersectando la llamada curva motriz, que es la curva característica de la bomba, con

la curva resistente de la instalación, que representa la altura que debe vencer la bomba,

en función del caudal trasegado.

El sistema sencillo mostrado en la Figura 3.10 representa una tubería de impulsión,

Figura 3.10.- Punto de funcionamiento de una bomba.

en la cual mediante la acción de una bomba, es posible trasegar un determinado caudal

hacia un depósito elevado. En este caso, la curva resistente representa el desnivel

geométrico que hay que vencer, más las pérdidas de carga producidas en la conducción,

a saber:

estando representado gráficamente en la figura anterior la intersección de las curvas

(3.54)hresistente Hg R q2 ( R> 0)

motriz y resistente.

La ecuación (3.53) puede dar lugar a un punto de funcionamiento inestable si B>0

y la curva resistente intersecta en más de un punto a la curva motriz (ver línea

discontinua de la Figura 3.10). En una forma rigurosa, la condición de inestabilidad es:

dhb

dq> dhres

dq

3.37


como correspondería al punto de funcionamiento de menor caudal de la curva a trazos.

La inestabilidad puede ser causa de problemas de convergencia en el análisis de

la red. Para obviar este problema, Jeppson [8] propone un cambio de variable en la

ecuación (3.53), definiendo la variable g como función del caudal:

y con esta nueva variable, la curva característica de la bomba se expresará como:

(3.55)g q B2A

Como vemos en la Figura 3.11, la transformación consiste en un desplazamiento

(3.56)hb

H0 B2

4A A g2 H

0 A g2

Figura 3.11.- Transformación de la curva característica de una bomba.

de los valores de q para evitar la parte ascendente o inestable de la curva característica

(naturalmente siempre que se consideren los valores g≥0, o bien, q≥B/2A).

En general, un ajuste parabólico de dos coeficientes como el siguiente:

resulta suficientemente adecuado para representar el comportamiento hidráulico de una

(3.57)hb H0 A q2

bomba centrífuga, que es el tipo más utilizado en las redes de distribución, al menos en

las proximidades de su punto de funcionamiento óptimo, que es donde realmente

interesa en la práctica.

3.38


La expresión (3.57) sugiere la analogía funcional entre una bomba y un sistema

constituido por la asociación en serie de un depósito intercalado entre la aspiración y la

impulsión, con un desnivel H0, y un elemento resistente cuyo coeficiente de rozamiento

sea A, tal como muestra la Figura 3.12.

La expresión (3.57) asegura la estabilidad en todo el rango de caudales, evitando

Figura 3.12.- Analogía entre una bomba y un depósito elevado asociado con unelemento resistente.

posibles problemas de convergencia. Aunque la expresión (3.57) puede desviarse del

comportamiento real del elemento para caudales pequeños, no es menos cierto que en

condiciones normales el punto de funcionamiento de una bomba no rebasa ciertos

márgenes, dentro de los cuales el ajuste propuesto resulta muy fiable.

Ocasionalmente y dependiendo de la formulación del problema de análisis, resulta

necesario expresar la curva característica en forma inversa q = q(hb). A partir de la

ecuación (3.57), la expresión inversa resulta:

Algunos autores proponen expresiones más elaboradas, como por ejemplo, la

(3.58)q

H0 hb

A

1/2

debida a Chandrashekar [5]:

(3.59)q q0 α hβb

3.39


Otro ejemplo es la expresión de cuarto grado propuesta por Donachie [6]:

cuyos coeficientes A, B, C, D y E se obtienen mediante una regresión por mínimos

(3.60)q A B hb C h2b D h3

b E h4b

cuadrados.

Finalmente, hay que resaltar también que en condiciones normales de

funcionamiento, las bombas son elementos unidireccionales, como elementos motrices

que son, al contrario que las tuberías y accesorios que se comportan como elementos

bidireccionales.

3.3.4.- Válvulas especiales.

Las válvulas convencionales, cuyo comportamiento ha sido analizado en el

apartado 3.3.2, producen unas pérdidas de carga h = k (v2/2g), en la cual se supone que

el coeficiente de pérdidas k es prácticamente invariable con el caudal que atraviesa la

válvula, dependiendo únicamente del grado de apertura de la misma.

En el apartado presente estudiaremos algunos tipos de válvulas especiales (que

denominaremos también válvula automáticas o multifuncionales) cuya ecuación de

comportamiento no se ajusta a la expresión hij = fij(qij) apuntada en (3.8), puesto que la

pérdida de carga que provocan depende no solamente del caudal que la atraviesa, sino

de otras variables adicionales. Su comportamiento viene representado en este caso por

una expresión del tipo:

en la cual Hi y Hj representan la altura piezométrica en los extremos del elemento.

(3.61)hi j hi j qi j , Hi , Hj , ...

Podríamos decir que en el caso de una válvula automática, al igual que en una

válvula convencional, la pérdida de carga puede expresarse como hv = k (v2/2g), siendo

el coeficiente k una función del grado de apertura de la válvula, pero a diferencia de las

convencionales, el grado de apertura depende del estado de presiones en los extremos

de la válvula, además del caudal trasegado.

De la gran variedad existente de válvulas con funciones especiales, destacaremos

3.40


cuatro tipos, que merecen atención por cuanto que pueden intervenir en el análisis en

régimen permanente de la red, a saber: válvula de retención (VR), válvula reductora de

presión (VRP), válvula sostenedora de presión (VSP) y válvula limitadora de

caudal (VLQ).

Existen válvulas que combinan varias de las funciones reseñadas (como por

ejemplo, la válvula reductora-sostenedora de presión) y también otros tipos especiales

de válvulas que no serán estudiadas en este apartado, debido a que se utilizan como

prevención para situaciones atípicas o de emergencia, escapando por tanto al ámbito de

estudio del análisis de la red en régimen permanente. Como ejemplo de tales válvulas

especiales podemos citar las válvulas de alivio, ventosas, etc.

3.3.4.1.- Válvulas de retención (VR).

Las válvulas de retención, al igual que el resto de las válvulas que vamos a

estudiar, son elementos unidireccionales que sólo permiten el paso del fluido en un

sentido. Su función consiste en evitar el flujo en sentido contrario al establecido.

Expresando la pérdida de carga en la VR en la forma hv = R q2, podemos expresar

su característica como:

en la cual R0 = (8 k)/(π2 g D4) representa la resistencia a válvula abierta, mientras que

(3.62)

R R0 si H1 >H2 (q >0)

R →∞ si H1 ≤H2 (q <0)

H1 y H2 son las alturas piezométricas en el extremo aguas arriba y abajo

respectivamente. El coeficiente k adopta valores comprendidos entre 1'5÷4'0

(Walski [21]) dependiendo del tipo de válvula de retención.

En la Figura 3.13 representamos el esquema de una VR (a), la resistencia R frente

al caudal q (b), la pérdida de carga hv frente al caudal q (c) y finalmente, la relación

entre las alturas piezométricas a la entrada (H1) y a la salida (H2) de la VR, en función

del caudal q (d).

La VR se destina a proteger las instalaciones en algún punto, restringiendo el flujo

en un sólo sentido, por ejemplo, para evitar el vaciado (descebado) de una bomba, para

3.41


realizar el llenado o vaciado de un depósito desde una canalización determinada, para

evitar el vaciado de una tubería en pendiente cuando ésta queda sin carga, etc...

La siguiente figura representa una instalación típica de VR aguas abajo de una

Figura 3.13.- Característica de una VR.

bomba, para impedir el flujo en sentido inverso cuando la bomba está parada.

Figura 3.14.- Válvula de retención instalada en una impulsión.

3.42


En la figura (a) la bomba esta funcionado y la VR actúa como un elemento

resistente con coeficiente de pérdidas k. Sin embargo, en la (b), la bomba está parada

y la VR impide el flujo en sentido inverso: en consecuencia, el tramo de tubería que se

ubica aguas abajo de la VR soporta la presión hidrostática provocada por el nivel del

depósito 2, mientras que el tramo anterior, incluyendo la bomba, soporta la presión

hidrostática debida al nivel del depósito 1.

3.3.4.2.- Válvula reductora de presión (VRP).

La VRP es un elemento diseñado para mantener una presión constante en su

extremo situado aguas abajo, en un valor que se conoce como presión de tarado,

independientemente de la magnitud de la presión aguas arriba, y como su nombre indica,

tienen como misión evitar las elevadas presiones que pueden alcanzarse en algunos

puntos de la red debido, por ejemplo, a las depresiones del terreno, a la cercanía de la

estación de bombeo o a cualquier otra causa.

Sin embargo, la definición anterior no se ajusta totalmente a la realidad y presenta

algunas excepciones. En particular, si la presión aguas arriba se hace inferior a la

presión de tarado, entonces la válvula se encuentra totalmente abierta y no actúa sobre

el sistema, y puede considerarse como un elemento resistente con coeficiente k

constante.

Por otra parte, si la presión aguas abajo excede a la de tarado, la válvula impide

el flujo en sentido contrario, actuando como una válvula de retención; se trata pues de

un elemento unidireccional.

Desde esta perspectiva, las VRP se emplean también para controlar el caudal

aportado desde varios puntos de suministro, en función del nivel de la demanda. En este

tipo de aplicación, la VRP actúa como válvula de retención hasta que la presión se

reduce por debajo de su nivel crítico con motivo de una fuerte demanda, en cuyo

momento abre el paso del flujo desde el punto de suministro que está bajo su control.

La presión de tarado de la válvula, o mejor dicho, la altura piezométrica

correspondiente a este valor en el extremo aguas abajo, se representa por Ht.

Suponiendo un comportamiento ideal de la VRP (hv = 0 cuando la válvula está

3.43


abierta) podemos expresar las ecuaciones de comportamiento de este elemento en la

forma:

donde H1 y H2 son las alturas piezométricas aguas arriba y abajo de la válvula,

(3.63)

R >0 y H2 Ht si H1 >Ht (q >0)

R 0 y H2 H1 si H1 <Ht (q >0)

R →∞ si H2 >Ht o H2 >H1 ( q 0)

respectivamente.

Naturalmente, si consideramos el comportamiento real de la VRP y las pérdidas

de carga que provoca estando completamente abierta son tenidas en cuenta, la

ecuaciones de comportamiento (3.63) se expresarían como:

en la cual R0 = (8 k)/(π2 g D4) representa la resistencia hidráulica a válvula abierta y hv

(3.64)

R ≥R0 y H2 Ht si H1 ≥Ht hv (q >0)

R R0 y H2 H1 hv si H1 <Ht hv (q >0)

R →∞ si H2 >Ht o H2 >H1 (q 0)

es la correspondiente pérdida de carga para un caudal dado ( hv = R0 q2 ). El coeficiente

de pérdidas k adopta valores comprendidos entre 4÷10 (Jeppson y Davis [10],

Simon [19]), dependiendo como siempre de la morfología de la válvula.

La Figura 3.15 constituye una representación gráfica de las ecuaciones de

comportamiento (3.64) y muestra la relación funcional existente entre las alturas

piezométricas H1 y H2 en los extremos de la VRP dependiendo del modo de

funcionamiento de la misma.

La zona sombreada corresponde a las alturas piezométricas que verifican H2>H1

o bien H2>Ht, y consecuentemente, q = 0. Por debajo de esta zona, la VRP puede estar

parcialmente abierta, actuando de forma activa para mantener una presión constante a

la salida (recta horizontal), o bien puede estar totalmente abierta, actuando como un

elemento resistente cuya resistencia es R0 (rectas inclinadas 45o); el caudal que atraviesa

la VRP en estos dos últimos casos es q ≥ 0.

3.44


Las dificultades que conlleva modelizar su comportamiento han convertido a estos

elementos en objeto de estudio en algunos artículos (Chandrashekar [5], Jeppson y

Davis [9], Salgado et al. [17]).

En el Capítulo 6 se analizará de forma extensa el comportamiento de estos

Figura 3.15.- Característica de funcionamiento de una VRP en función de las alturaspiezométricas en sus extremos.

elementos, puesto que en el Capítulo 7, las VRPs son el objeto de un método de

optimización para redes ramificadas.

3.3.4.3.- Válvula sostenedora de presión (VSP).

La VSP es una válvula automática concebida para mantener una presión mínima

en su extremo situado aguas arriba, en un valor denominado presión de tarado. Su

misión consiste en impedir que la presión descienda por debajo de un nivel

predeterminado en algún punto de la red. La VSP sólo permite el paso de caudal si la

presión en el extremo aguas arriba supera el valor de tarado; en caso contrario, se cierra

restringiendo el paso de caudal para mantener la presión aguas arriba.

En redes de distribución con grandes desniveles puede suceder que las zonas

elevadas queden desabastecidas ante una fuerte demanda en las zonas de cota baja; en

3.45


esta circunstancia, la disposición de una VSP permite limitar el caudal suministrado

hacia las zonas bajas en tanto no se mantenga una presión mínima en las zonas altas.

El comportamiento real de la VSP, considerando la pérdida de carga a válvula

abierta queda representado en las siguientes ecuaciones:

siendo H1 y H2 las alturas piezométricas en los extremos de la válvula, Ht es la altura

(3.65)

R ≥R0 y H1 Ht si H2 ≤Ht hv (q >0)

R R0 y H2 H1 hv si H1 >Ht (q >0)

R →∞ si H1 <Ht o H2 >H1 (q 0)

piezométrica de tarado, R0 = (8 k)/(π2 g D4) es la resistencia hidráulica a válvula abierta

y hv es la correspondiente pérdida de carga para un caudal dado ( hv = R0 q2 ).

Aunque el mecanismo de control es diferente en una VSP y una VRP, en ambos

casos se utilizan cuerpos de válvula similares, y por ello, el coeficiente de pérdidas k

toma valores entre 4÷10 también en el caso de una VSP.

Figura 3.16.- Característica de funcionamiento de una VSP en función de las alturaspiezométricas en sus extremos.

3.46


La Figura 3.16 representa las ecuaciones de comportamiento (3.65) en una gráfica

relacionando las alturas piezométricas H1 y H2 en los extremos de la VSP para cada

modo de funcionamiento.

La zona sombreada corresponde a las alturas piezométricas que verifican H1<H2

o bien H1<Ht, en las cuales q = 0. Por debajo de esta zona, la VRP puede estar

parcialmente abierta, operando en forma activa para mantener una presión constante a

la entrada (recta vertical), o bien puede estar totalmente abierta, actuando como un

elemento resistente cuya resistencia es R0 (rectas inclinadas 45o); el caudal que atraviesa

la VRP en estos dos últimos casos es q ≥ 0.

Existen algunas referencias sobre la modelización de VSPs en el análisis en

régimen permanente de una red (Salgado et al. [17]) aunque son mucho menos

frecuentes que en el caso de VRPs.

3.3.4.4.- Válvula limitadora de caudal (VLQ).

En los dos puntos anteriores se ha resaltado uno de los posibles cometidos de las

válvulas reductoras y sostenedoras de presión, como un elemento de control de los

caudales servidos, a través de la acción de gobierno sobre las presiones.

La VLQ es un tipo de válvula automática que permite controlar el caudal que la

atraviesa de forma directa, impidiendo que supere un valor conocido como caudal detarado qt.

Al igual que la VR, VRP y VSP, se trata de un elemento unidireccional que no

admite el flujo en sentido inverso al previsto. Así, el caudal trasegado por la VLQ puede

variar entre 0 y el valor de tarado qt, dependiendo de las presiones del sistema.

En el instante en que el caudal alcanza el valor de tarado, la VLQ funciona en

modo activo, provocando una pérdida de carga variable para mantener el valor del

caudal.

En tanto el caudal trasegado sea menor que qt, la VLQ permanece totalmente

abierta, y actúa como un elemento resistente provocando una perdida de carga

hv = R0 q2, donde R0 es la resistencia hidráulica correspondiente a un coeficiente de

pérdidas k, contabilizado para la válvula totalmente abierta. Al igual que en caso de la

VRP y VSP, el valor del coeficiente k está comprendido entre 4÷10.

3.47


Así, podemos modelizar su comportamiento por medio de las ecuaciones

siguientes:

donde hv representa la pérdida de carga a válvula abierta para el caudal q en cuestión

(3.66)

R ≥R0 si H1 ≥H2 hv (q qt )

R R0 si H1 H2 hv (0<q<qt )

R →∞ si H1 <H2 (q 0)

y qt es el caudal de tarado.

En la Figura 3.17 hemos representado gráficamente las ecuaciones de

comportamiento de la VLQ. La figura (a) es el esquema de una VLQ; la (b) muestra la

variación de la resistencia R en función del caudal q, mientras que la (c) representa la

variación de la pérdida hv en función del caudal.Finalmente, la figura (d) muestra un

diagrama de la variación de las alturas piezométricas en los extremos de la VLQ, H1 y

H2 para cada uno de sus modos de funcionamiento.

Figura 3.17.- Característica de funcionamiento de una VLQ.

3.48


3.4.- TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE REDES.

El sistema de 2L ecuaciones que definen el comportamiento de la red en

condiciones de régimen estacionario, constituido por las N-1 ecuaciones de continuidad

en los nudos (3.4), las M ecuaciones de equilibrio de malla (3.6) y las L ecuaciones de

comportamiento de las líneas (3.8), no se resuelve nunca en conjunto, tratando las

incógnitas q y h simultáneamente, puesto que el sistema puede ser reducido a uno de

menor tamaño, y ello representa siempre una ventaja en el momento de abordar el

cálculo.

Se han propuesto distintas formulaciones para resolver el problema de análisis en

redes malladas, que difieren entre sí fundamentalmente en el tratamiento del sistema

de ecuaciones.

En los siguientes apartados se presentarán las formulaciones clásicas, orientadas

al uso de técnicas de relajación, que han sido y son las más ampliamente utilizadas.

Estas son la formulación por nudos (ecuaciones en H), la formulación por líneas

(ecuaciones en q) y la formulación por mallas (ecuaciones en ∆q).

Aunque las ecuaciones son absolutamente generales y aplicables a cualquier tipo

de red, el análisis de redes ramificadas con un único punto de altura piezométrica

conocida puede acometerse de una forma mucho más sencilla resolviendo dos sistemas

de ecuaciones desacoplados, uno de ellos constituido por las N-1 ecuaciones de

continuidad en los nudos (las cuales constituyen un sistema de ecuaciones lineales), que

proporciona los caudales qij circulantes por las líneas, y el otro constituido por N-1

ecuaciones del tipo (3.9) que nos permite determinar las alturas piezométricas en los

nudos de la red. Por esta razón se ha dedicado el apartado 3.4.1 al tratamiento de este

caso particular.

Caben, por supuesto, otras formulaciones diferentes que no consideraremos aquí

puesto que escapan del propósito del presente capítulo, y que el lector interesado puede

encontrar en la bibliografía especializada.

Finalmente hay que resaltar que existe una gran diversidad de métodos y técnicas

numéricas para la resolución del sistema de ecuaciones, independientemente del tipo de

formulación adoptada.

3.49


3.4.1.- Redes ramificadas con un único nudo de altura conocida.

En este caso, el nudo de altura conocida suele corresponder al nudo de

alimentación de la red, también conocido como nudo de cabecera. Esta situación no

implica necesariamente que se inyecte caudal a la red únicamente a través del nudo de

cabecera; también es posible plantear caudales entrantes en cualquiera de los nudos

restantes, aunque la altura en dichos nudos deberá constituir una incógnita del problema.

No obstante, y por tratarse del caso más común, en lo sucesivo supondremos que en el

resto de los nudos los caudales son salientes.

Con este planteamiento, los N-1 caudales Qi consumidos en los nudos diferentes

de la cabecera son datos del problema, al igual que la altura piezométrica en el nudo de

cabecera, que denominaremos Hc; por otro lado, conocidas las características hidráulicas

de las líneas de la red, aparecen un total de 3 (N1)+1 incógnitas, correspondientes a

N1 caudales de línea qij, N-1 pérdidas en las líneas hij, N1 alturas piezométricas en

los nudos diferentes del de cabecera Hi, y finalmente, el caudal inyectado en cabecera,

que denominaremos Qc.

Para la determinación de estas incógnitas disponemos de 3 (N1)+1 ecuaciones,

correspondientes a N-1 ecuaciones de continuidad independientes en los nudos del

sistema, N-1 ecuaciones de comportamiento de las líneas, N-1 ecuaciones de pérdidas

del tipo (3.9) y adicionalmente, la condición de continuidad (3.5) aplicada al conjunto

de la red:

Considerando que cada uno de los nudos de la red ramificada excepto el de

Qc

N 1

i 1

Qi

cabecera está alimentado desde una única línea, podemos indexar las variables de una

línea en base al nudo que se sitúa aguas abajo de la misma (ver Figura 3.18), con lo que

en este caso escribiremos qj en lugar de qij, y hj en lugar de hij.

Transformando las N-1 ecuaciones de continuidad del tipo (3.4) y teniendo en

cuenta la nueva notación introducida, los caudales circulantes se determinan a partir de:

en la cual Ai representa el conjunto de nudos de consumo ubicados aguas abajo de la

(3.67)Caudal de la línea i : qi j∈Ai

Qj ∀ i 1...N 1

3.50


línea i (ver Figura 3.18), incluyendo por supuesto al nudo i.

El sistema de ecuaciones (3.67) permite determinar los caudales circulantes por

cada línea de la red a partir de los datos de consumo en los nudos de la misma.

Figura 3.18.- Esquema de una red ramificada con un punto de alimentación.

Dado que las características hidráulicas de las conducciones son conocidas,

sustituyendo los caudales obtenidos qi en las N-1 ecuaciones de comportamiento de las

líneas del tipo hi=hi(qi) obtenemos directamente las pérdidas en las líneas hi.

Puesto que la red es ramificada, solamente existe un trayecto que una la cabecera

con cada nudo de consumo, de manera que las alturas piezométricas en los nudos se

obtienen de forma inmediata a partir del balance de pérdidas (3.9) en cada uno de los

N-1 trayectos definidos, esto es:

donde Si representa el conjunto de líneas del trayecto que conecta la cabecera de la red

(3.68)Altura piezométrica en el nudo i : Hi Hc j∈Si

hj ∀ i 1. . . N 1

con el nudo i (ver Figura 3.18). La presión existente en cada nudo, se obtiene finalmente

restando la cota geométrica del nudo al valor de su altura piezométrica.

3.51


3.4.2.- Redes malladas o con varios nudos de altura conocida.

En este tipo de redes, por contraposición con las redes ramificadas con un sólo

nudo de altura conocida, los caudales que circulan por las líneas de la red no pueden ser

determinados únicamente a partir de los caudales consumidos y aportados, sino que

dependen también de las características hidráulicas de las líneas y de las alturas

piezométricas en los nudos. De hecho, el sistema de ecuaciones de continuidad está

compuesto por N-1 ecuaciones, pero incluye como incógnitas L caudales de línea qij,

cumpliéndose en general que L > N-1, por lo que resulta evidente que el sistema de

ecuaciones de continuidad es insuficiente para determinar las incógnitas qij. En el caso

particular de una red de topología ramificada con varios nudos de altura conocida se

cumplirá que L = N-1, pero por cada nudo de altura conocida aparece una nueva

incógnita que es el caudal aportado o consumido en el nudo Qi.

Veamos a continuación las formulaciones de análisis en régimen permanente más

comúnmente utilizadas para este tipo de redes complejas.

3.4.2.1. Formulación por líneas (ecuaciones en q).

La formulación por líneas consiste en el planteamiento del sistema de ecuaciones

compuesto por las N-1 ecuaciones independientes de continuidad en los nudos (3.4), más

M ecuaciones independientes de malla (3.6), habiendo sustituido en éstas últimas los

términos hij por las ecuaciones de comportamiento de las líneas (3.8). Si suponemos un

sistema con un único nudo de altura conocida, el sistema de ecuaciones será:

en la cual Ai es el conjunto de nudos directamente conectados al nudo i, mientras que

(3.69)

j∈Ai

qi j Qi i 1 ...N 1 (a)

(ij)∈Bk

(±) i j hi j (qi j ) 0 k 1 ...M (b)

Bk es el conjunto de líneas que componen la malla k, y el término (±)ij representa el

sentido de circulación de qij respecto del sentido de malla (+1 si coinciden, -1 si es el

contrario).

En el caso de que las líneas contengan solamente tuberías o elementos resistentes,

puesto que en general hij = Rij qni j, el sistema (3.69) puede escribirse como:

3.52


(3.70)

j∈Ai

qi j Qi i 1 ...N 1 (a)

(ij)∈Mk

(±) i j Ri j qni j 0 k 1 ...M (b)

Dado que las únicas incógnitas que intervienen en la formulación son los L

caudales de línea qij, esta formulación se conoce también como "sistema de

ecuaciones en q". El sistema planteado consta de M+(N-1) = L ecuaciones y obsérvese

que aún en el caso de que no exista ningún nudo de altura conocida, y como ya se

refirió en 3.2, posee una única solución, puesto que el conjunto de incógnitas contiene

únicamente caudales.

Cuando la red cuenta con más de un nudo de altura conocida, aparecerán como

nuevas incógnitas tantos caudales de nudo Qi como nudos de altura conocida menos uno,

pero también es cierto que entre cada par de nudos de altura conocida aparecerá una

línea ficticia que dará lugar a una ecuación de malla ficticia del tipo (3.10) y que resulta

independiente del resto de ecuaciones de malla. Por esta razón se seguirá conservando

el balance entre ecuaciones e incógnitas.

Para la inclusión de bombas en las ecuaciones de malla (3.70.b) simplemente se

sustituye la ecuación correspondiente, que en el caso de un ajuste parabólico de dos

coeficientes será:

La introducción de válvulas especiales tales como VR, VRP, VSP o VLQ en la

(3.71)hi j H0 A q2i j

formulación por líneas plantea dificultades mayores que en el caso de las bombas,

puesto que cabe la posibilidad de que adopten varios modos de funcionamiento.

En el caso de una VR, cuando el caudal lleva el sentido directo, definido por la

propia válvula, ésta se comporta como un elemento resistente convencional, sin

modificar por tanto las ecuaciones (3.70.b); si por el contrario, la altura piezométrica en

el extremo aguas abajo es superior a la existente en el extremo aguas arriba, en las

ecuaciones correspondientes de malla (3.70.b) aparecerá como incógnita el valor de la

diferencia de alturas piezométricas entre sus extremos y simultáneamente, el caudal que

la atraviesa pasará a ser un dato conocido (q=0).

3.53


La inclusión de una VRP, VSP o VLQ funcionado completamente abierta como

elemento resistente o bien cerrada, puede plantearse en los mismos términos que una

VR; las diferencias de comportamiento acontecerán en el caso de un funcionamiento

activo de dichas válvulas.

En el caso de una VRP, el funcionamiento en modo activo implica el

mantenimiento de una presión constante en su extremo aguas abajo, de manera que en

esta situación se desconoce tanto las pérdidas ocasionadas por la VRP como el caudal

que la atraviesa, pero la altura piezométrica en el extremo aguas abajo es un dato

conocido. Lo mismo podemos decir en el caso de una VSP, sólo que el dato conocido

es la altura piezométrica en el extremo aguas arriba. Al existir en este caso un nudo de

altura conocida en uno de los extremos de la válvula, será necesario reformular las

ecuaciones de malla convencional que incluyen a la válvula en cuestión, para plantearlas

como ecuaciones de malla ficticia entre dos nudos de altura conocida del tipo (3.10), en

la cual uno de los nudos de altura conocida corresponde al nudo extremo de la válvula

en el que se mantiene dicha altura.

Finalmente, el funcionamiento activo de una VLQ implica que el caudal que la

atraviesa es conocido e igual al caudal de tarado qt, pero se desconoce la magnitud de

la pérdida de carga en la VLQ, que será en este caso una incógnita más en las

ecuaciones (3.70.b).

3.4.2.2. Formulación por nudos (ecuaciones en H).

La formulación por nudos está basada en el sistema de N-1 ecuaciones de

continuidad del sistema. Como se ha destacado en la introducción anterior, el sistema

de ecuaciones de continuidad es insuficiente para resolver las incógnitas de los caudales

de línea qij; sin embargo, reformulando dichas ecuaciones en términos de las alturas

piezométricas en los nudos Hi conseguimos un sistema de N-1 ecuaciones independientes

con N-1 incógnitas (recordemos que para cada altura piezométrica Hi conocida adicional,

debe aparecer un caudal de nudo Qi como incógnita) aunque en este caso las ecuaciones

ya no serán lineales. Por esta razón se conoce también con el nombre de "sistema de

ecuaciones en H".

Frente a la formulación por líneas, hay que destacar dos ventajas fundamentales;

en primer lugar, el tamaño del sistema que debe ser resuelto puede ser mucho menor,

3.54


puesto que el número de ecuaciones e incógnitas es en este caso igual a N-1, menor que

en el caso de la formulación por líneas, en la cual se establecen L ecuaciones con L

incógnitas (recordemos que en las redes malladas se cumple que L > N-1). En segundo

lugar, el planteamiento de las ecuaciones de malla (3.70.b) exige una descripción

detallada de la topología de la red, así como la definición de mallas independientes

dotadas de una orientación, mientras que en la formulación por nudos sólo es necesario

conocer las líneas conectadas a cada nudo, lo que simplifica considerablemente el

planteamiento del sistema de ecuaciones.

La transformación de las ecuaciones de continuidad en términos de las alturas Hi

se consigue expresando los caudales de línea qij en función de las alturas Hi a través de

las ecuaciones de comportamiento de las líneas, como sigue:

de manera que sustituyendo en las ecuaciones de continuidad del tipo (3.4) obtendremos:

(3.72)hi j Hi Hj hi j (qi j ) →→ qi j qi j ( hi j ) qi j ( Hi Hj )

en la cual recordemos que Ai representa el conjunto de nudos j conectados directamente

(3.73) j ∈Ai

qi j (Hi Hj ) Qi i 1 ...N 1

al nudo i.

En definitiva, las ecuaciones que definen el comportamiento de la red son las

(3.73) ya que cualquier conjunto de valores de las variables (Hi,Qi) que sea una solución

del sistema (3.73), verificará asimismo las ecuaciones de malla, pues al expresar éstas

en términos de alturas piezométricas, quedarán reducidas a un sistema trivial.

Los parámetros que definen el comportamiento de cada tipo de línea en la forma

qij = qij(Hi-Hj) pueden obtenerse con relativa sencillez a partir de las relaciones que se

han visto al analizar el comportamiento de cada elemento.

Por ejemplo, para el caso de las tuberías o elementos resistentes, utilizando la

expresión general:

tendremos que:

(3.74)hi j Ri j qni j

y utilizando concretamente la expresión de pérdidas de Darcy (n=2) obtendremos:

3.55


La imposición de la altura en más de un nudo de la red no presenta ningún

(3.75)qi j hi j

R1/ni j hi j 1 1/n

Hi Hj

R1/ni j Hi Hj 1 1/n

(3.76)qi j Hi Hj

Ri j Hi Hj

problema en esta formulación, ya que a cambio quedará el caudal Q como incógnita, el

cual aparece explícitamente en la formulación.

Para el caso de bombas, considerando un ajuste parabólico de dos coeficientes:

se tiene que:

(3.77)Hi Hj hi j H0 A q2i j

en la cual, la diferencia de alturas (Hj-Hi) se ha escrito en orden inverso al habitual para

(3.78)qi j Hj Hi

H0 Hi Hj

A Hi Hj 2

representar el hecho de que la altura disminuye en sentido contrario al caudal.

En el caso de incluir en la formulación válvulas especiales como VR, VRP, VSP o

VLQ, y considerando un funcionamiento como elemento resistente convencional, las

ecuaciones (3.73) siguen siendo válidas, sin más que considerar la ecuación de pérdidas

en la válvula completamente abierta como:

(3.79)hi j Ri j q2i j

8 k

π2 g D4q2

i j →→ qi j Hi Hj

Ri j Hi Hj

Cuando se dan las condiciones de presión para que dichas válvulas estén cerradas,

aparecerá como incógnita la diferencia de alturas hij, pero el caudal que atraviesa la

válvula es conocido qij=0; de esta forma, el término correspondiente al caudal que

atraviesa la válvula desaparecerá en dos de las ecuaciones nodales (3.73) que

corresponden a los nudos extremos de la válvula. No obstante, las alturas piezométricas

en dichos nudos extremos seguirán apareciendo en las ecuaciones, debido a la

contribución de otras líneas que inciden sobre los mismos.

3.56


El funcionamiento activo es el que plantea las diferencias de tratamiento más

importantes. En el caso de una VRP o una VSP, nos encontramos que el funcionamiento

activo supone que la altura piezométrica en uno de sus extremos es conocida e igual a

la altura de tarado Ht siendo desconocido el caudal que la atraviesa; en esta situación,

la válvula se encuentra parcialmente abierta y en consecuencia, no se conoce su

resistencia hidráulica Rij, por lo que resulta preferible introducir el caudal qij como

incógnita en las ecuaciones (3.73) en las que intervenga la válvula, en lugar de los

términos:

Hi Ht

Ri j

;

Ht Hj

Ri j

En el caso de la VLQ funcionando en modo activo, aunque las alturas

piezométricas en sus nudos extremos siguen siendo incógnitas, el caudal que la atraviesa

es conocido e igual a qt, razón por la cual los términos de las ecuaciones (3.73)

correspondientes a esta línea quedan sustituidos por un caudal conocido qt que pasa a

formar parte del término independiente.

La formulación nodal es la preferida por gran número de investigadores frente a

formulaciones por líneas o mallas por varias razones, alguna de las cuales ya hemos

adelantado, y que podemos resumir como:

El planteamiento de las ecuaciones de la formulación nodal exige un conocimiento

mínimo de la topología de la red, tan sólo en lo referente a la conexión de líneas

y nudos, mientras que la formulación por líneas o mallas requiere información

adicional en la definición de mallas independientes y la formulación de las

ecuaciones de malla asociadas. Este planteamiento facilita la resolución del sistema

especialmente cuando es necesaria la eliminación temporal de alguna línea, por

ejemplo, cuando intervienen válvulas multifuncionales que pasan de estar abiertas

a estar cerradas; esta circunstancia, en el caso de una formulación por líneas o por

mallas exige un replanteamiento de las ecuaciones, mientras que en la formulación

nodal solamente se modifican algunos términos de las ecuaciones.

La resolución mediante la formulación nodal está orientada a proporcionar el valor

de las alturas piezométricas, y por añadidura, las presiones en los nudos, siendo

estas sin duda las variables que mayor interés presentan en el análisis de una red

3.57


hidráulica de distribución. Adicionalmente, la inclusión de válvulas

multifuncionales cuyo estado de funcionamiento está gobernado directamente por

el valor de la presión en sus extremos (VR, VRP y VSP) resulta mucho más

sencilla, puesto que la determinación de las alturas piezométricas proporciona

directamente el estado operativo de dichas válvulas. En la formulación por líneas

o por mallas, esta operación requiere cálculos adicionales, puesto que la resolución

del sistema de ecuaciones no proporciona directamente las alturas piezométricas

en los nudos.

3.4.2.3. Formulación por mallas (ecuaciones en ∆q).

La formulación por mallas está basada en una redefinición de las incógnitas del

problema de análisis para reducir su número a M (número de mallas). Las nuevas

incógnitas, conocidas como caudales correctores de mallas ∆∆q, aparecen al plantear las

M ecuaciones independientes de malla (3.6). Por ello es conocido también como

"sistema de ecuaciones en ∆q".

La formulación por mallas supone, como primer paso, el establecimiento de una

hipótesis de caudales, lo que implica asignar un caudal a todas las líneas de la red, de

forma arbitraria, pero verificando las ecuaciones de continuidad (3.4) en todos los nudos,

lo que en la práctica no comporta grandes dificultades.

Aunque los caudales propuestos verifiquen las ecuaciones de continuidad en los

nudos, lo más probable es que dichos caudales no sean compatibles con el principio de

la conservación de la energía expresado en las ecuaciones de malla (3.6) y por ello será

necesario corregirlos.

El procedimiento de corrección sobre los caudales circulantes debe ser tal que

satisfaga las ecuaciones de continuidad en los nudos. Así, realizando la corrección de

caudales de modo que el mismo caudal es añadido ó restado de todas las líneas que

constituyen un circuito cerrado, y siguiendo un criterio de signos ligado con el sentido

en que el caudal inicialmente asignado recorre la malla, puede asegurarse el

mantenimiento del balance de caudales que proporciona la ecuación de continuidad en

todos los nudos de la red. En consecuencia, se puede prescindir de las ecuaciones de

continuidad en todos los cálculos posteriores, una vez se haya establecido la hipótesis

inicial de caudales.

3.58


Los caudales correctores deberán tener pues un valor único por cada malla, y para

su determinación, suponiendo que la red está constituida por tuberías y elementos

resistentes, podemos reformular el sistema de ecuaciones (3.6) en la siguiente forma:

en la cual se emplea la notación siguiente:

(3.80)

(i j) ∈Bk

(±) i j Ri j

q i j

r∈Mi j

(±) ri j ∆ qr

n

0 k 1 ...M

- Bk Conjunto de líneas que configuran la malla k.

- (±)ij Coeficiente que adopta el valor (+1) cuando el caudal q*i j sigue el sentido

de circulación definido para la malla k, y (-1) en el caso contrario.

- Rij Resistencia hidráulica de la línea (ij).

- q*i j Caudal hipotético en la línea (ij).

- Mij Conjunto de mallas independientes r que contienen a la línea (ij).

- ∆qr Caudal corrector en la malla r.

- (±)ri j Coeficiente que adopta el valor (+1) cuando el caudal q*

i j sigue el sentido

de circulación definido para la malla r, y (-1) en el caso contrario.

En las ecuaciones (3.80), el caudal de cada línea es corregido con los caudales

correctores de todas las mallas a que pertenece, sin atentar con ello por tanto el principio

de continuidad.

El sistema consta de M ecuaciones independientes y no lineales en ∆q, siendo las

incógnitas en este caso los M caudales correctores de malla. Por otra parte, las líneas

que no pertenezcan a ninguna malla no intervienen en la formulación, y deberán

calcularse aparte como sistemas ramificados, una vez obtenido el estado de equilibrio.

Si en la red existe únicamente un nudo de altura conocida, uno de los caudales de

nudo Qi será una incógnita del problema, que puede ser determinada a partir del balance

global de caudales en toda la red expresado en (3.5).

Si por el contrario, existe más de un nudo con altura conocida, aumentará el

número de incógnitas entre los caudales de nudo Qi, pero en compensación aparecerán

tantas mallas ficticias como nudos de altura conocida menos uno, con las

correspondientes ecuaciones de malla ficticia del tipo (3.10).

3.59


Una vez calculados definitivamente los caudales circulantes qij y consecuentemente

determinadas las pérdidas hij, las alturas piezométricas en los nudos Hi se determinarán

estableciendo el balance de pérdidas de carga en un trayecto desde un nudo de altura

conocida hasta el nudo en cuestión.

En el caso de incluir bombas en la formulación por mallas, su ecuación de

comportamiento se añade a los sumandos propios de las otras líneas, para configurar la

ecuación del circuito.

Para el análisis incluyendo válvulas multifuncionales, podemos remitirnos a los

mismos procedimientos expuestos en el apartado 3.4.2.1., en la formulación por líneas.

3.4.3.- Métodos de resolución.

3.4.3.1.- Introducción.

La característica común a todas las formulaciones expuestas es que el sistema de

ecuaciones a resolver no es lineal, al menos en una parte de las ecuaciones, característica

que viene determinada no por la propia formulación de las leyes de equilibrio, sino por

el comportamiento no lineal que siguen los elementos que componen el sistema. No

existe hasta el presente ningún método de resolución directa y es por tanto necesario

recurrir a métodos iterativos para obtener la solución final.

Una cuestión que va implícitamente ligada con el tratamiento de sistemas no

lineales es la referente a la existencia y unicidad de la misma. En términos generales,

cuando un sistema presenta un estado de equilibrio físico definido, puede decirse que

la solución matemática también existe, aunque dependiendo, claro está, de la fidelidad

del modelo. Naturalmente, para que exista una solución al problema de análisis es

necesario que el número y la distribución de las incógnitas en la red permitan la

formulación de un número adecuado de ecuaciones independientes.

Si las variables incógnitas se concentran en una zona de la red y los datos se

concentran en otra, es muy posible que el sistema no posea solución debido a la

incompatibilidad de los datos. A este respecto, algunos autores han propuesto diversos

criterios respecto de las incógnitas a considerar y su correspondiente distribución para

3.60


que el sistema sea resoluble (Shamir y Howard [18], Bhave [2]), y que se pueden

resumir de un modo general en que el número de incógnitas sea igual al número de

ecuaciones independientes y que todas las ecuaciones cuenten con al menos una

incógnita.

No obstante, en lo que sigue admitiremos que la solución existe y es única y nos

centraremos en algunos de los posibles métodos de resolución de los sistemas de

ecuaciones propuestos.

En una primera clasificación podemos distinguir entre métodos iterativos de Gauss-

Seidel y Jacobi como son por ejemplo los métodos de Cross, y métodos de linealización

del sistema de ecuaciones, como por ejemplo el método de Newton-Raphson y el

método de la Teoría Lineal. La diferencia sustancial entre ambos tipos de métodos es

que en el primer caso la resolución implica una simplificación en la que sólo interviene

una incógnita por cada una de las ecuaciones, las cuales son resueltas secuencialmente,

obteniendo el valor de una incógnita cada vez, mientras que los métodos de

linealización, como indica su nombre, consisten en la transformación de las ecuaciones

no lineales en un sistema lineal que es resuelto para todas las incógnitas en conjunto.

3.4.3.2.- Métodos de Cross.

Los métodos de Cross representaron el primer intento realizado para resolver

manualmente el sistema de ecuaciones planteado, y por los excelentes resultados que

proporcionan, al menos a pequeña escala, fueron adoptados de forma mayoritaria para

el cálculo de redes desde su aparición en 1936, hasta que empezaron a cobrar auge los

primeros computadores digitales en los primeros años sesenta.

Hablamos en plural pues, en su artículo original [4] Hardy Cross presentaba dos

alternativas posibles a utilizar, una correspondiente a la formulación por mallas, y otra

para la formulación por nudos. En realidad cuando se habla del método de Cross se hace

una referencia implícita sólo al que se aplica a la formulación por mallas, que recibió

en principio mucha mayor aceptación que el método aplicado a la formulación por

nudos, fundamentalmente debido al menor número de ecuaciones que se maneja;

pensemos que la necesidad de realizar el cálculo manualmente únicamente permitía

manejar redes de pequeño tamaño en las que, en general, el número de mallas resulta

menor que el número de nudos. Sin embargo, en redes de mayor tamaño, que solamente

3.61


resultan calculables mediante las herramientas informáticas apropiadas todavía no

disponibles en la época de Cross, no es difícil encontrar casos en los que sucede lo

contrario.

En la formulación por mallas, Cross simplifica el sistema de ecuaciones

introduciendo una única incógnita por ecuación que es el caudal corrector de la malla

correspondiente a la ecuación en cuestión. El sistema de ecuaciones representado en

(3.80) se simplifica en este caso en la forma:

Para despejar la incógnita ∆qk de cada ecuación, ésta se linealiza primeramente

(3.81) (i j) ∈Bk

(±) i j Ri j q i j (±) i j ∆ qk

n

0 k 1 ...M

mediante un desarrollo de Taylor de la ecuación, en el cual se eliminan los términos en

∆qk de grado mayor que uno, esto es:

de donde resulta la conocida expresión:

(3.82) (i j)∈Bk

(±)i j Ri j q i j

n

n ∆ qk (i j) ∈Bk

Ri j q i j

n 1

. . . 0

en la cual, observemos que el denominador es > 0, debido al hecho de haber

(3.83)∆ qk

(i j)∈Bk

(±)i j Ri j q i j

n

n (i j)∈Bk

Ri j q i j

n 1

considerado explícitos todos los signos.

Para la obtención de los caudales correctores de malla ∆qk es necesario establecer

unos caudales hipotéticos q*i j que verifiquen las ecuaciones de continuidad en los nudos

de la red. Los caudales correctores de malla, superpuestos a los caudales hipotéticos

propuestos, proporcionan la siguiente hipótesis de caudales, que como ya ha sido

comentado, sigue verificando el principio de continuidad en los nudos.

En el trabajo original de Cross, el cálculo de los sucesivos ∆qk se llevaba a cabo

siguiendo el conocido método de Jacobi de forma que primero se obtienen todos los

caudales correctores y a continuación se realizan las correcciones de caudal todas a un

tiempo, antes de comenzar la siguiente iteración.

3.62


A lo largo de los años, han ido apareciendo técnicas que mejoran la rapidez de

convergencia del método de Cross, tales como la aplicación del método de Gauss-Seidel

en el cual la corrección de caudales se efectúa inmediatamente tras el cálculo de cada

∆qk sin esperar a que todos ellos hayan sido calculados.

La ecuación (3.83) se generaliza sin dificultad ante la presencia de bombas en

algún circuito, y también para las mallas ficticias, en la forma:

en la cual hb es la altura de la bomba, que adoptará un signo negativo si el caudal que

(3.84)∆ qk

(i j)∈Bk

(±) i j Ri j q i j

n

hb (q b ) ± ( Ha Hb )

n (i j)∈Bk

Ri j q i j

n 1

h b ( q

b)

la atraviesa q*b sigue el sentido de la malla y positivo si es el contrario, Ha y Hb son las

alturas en los nudos extremos de la línea ficticia siendo el nudo a anterior al b en el

sentido del recorrido de la malla, y h'b (q*b ) representa el valor absoluto de la derivada

de la altura de bombeo para el caudal hipotético.

3.4.3.3.- Método de Newton-Raphson.

Los métodos de linealización consisten en alterar la configuración del sistema de

ecuaciones no lineal para que resulte un sistema de ecuaciones lineales respecto de las

incógnitas planteadas. Debido a la no llinealidad del sistema real, la solución obtenida

a partir del sistema lineal no será una solución válida en general, y será necesario

realizar un cálculo iterativo en el cual, mediante transformaciones sucesivas del sistema

de ecuaciones linealizado, se consiga una solución que verifique ambos sistemas de

ecuaciones, el real y el linealizado.

El primero de los métodos de linealización que hemos citado, conocido como de

Newton-Raphson, consiste en la linealización de las ecuaciones considerando los dos

primeros términos del desarrollo de Taylor de las mismas. Para ilustrar el procedimiento

vamos a considerar una ecuación de una única variable g(x)=0, derivable en x.

3.63


El desarrollo de Taylor de la función g(x) en un entorno del punto x0 nos

proporciona:

Considerando tan sólo los dos primeros términos del desarrollo, se está

(3.85)g ( x ) g( x0 ) ( x x0 ) g (́x0 ) (x x0)2

2!g ´ (́x0) . . .

aproximando el valor de la función g(x) en el entorno de x0 a una línea recta tangente

a la función g(x) en el punto x0. Esta aproximación resultará tanto más exacta cuanto

más cercanos sean los valores de x y x0. Si suponemos que x0 es un punto próximo a

una raíz x de la ecuación g(x)=0, la aproximación lineal nos conduce a:

Al tratarse de una expresión aproximada, el valor x obtenido como raíz de la

(3.86)g ( x ) g( x0 ) ( x x0 ) g (́x0 ) 0 →→ x x0 g( x0 )

g (́ x0 )

ecuación, no será la solución definitva. Por ello será necesario realizar un cálculo

iterativo para corregir las desviaciones del valor de x asi obtenido, y que consistirá en

utilizar el valor obtenido en (3.86) como dato de entrada en la siguiente iteración, esto

es:

El procedimiento es susceptible de ser ampliado a un sistema de general de N

x1 x0 g(x0 )

g (́x0 )→→ x2 x1 g( x1 )

g (́ x1 )→→. . . . →→ x( i 1 ) x( i ) g(x( i ) )

g (́x( i ) )→→

ecuaciones con N incógnitas del tipo:

Generalizando la aproximación lineal de (3.86) para este caso obtendremos:

(3.87) G (

X ) 0 siendo

X ( x1 , x2 , . . . , xN ) y

G

g1 ( X )

g2 ( X )

.

.

gN ( X )

siendo J la matriz jacobiana de G particularizada para el vector X 0, cuyos elementos son

(3.88) G (

X )

G(

X0 ) J(

X0) (

X

X0 ) 0

las derivadas parciales de las funciones gi respecto de las variables xj, esto es:

3.64


Con este planteamiento, para obtener la solución al sistema de ecuaciones G (X )=0

(3.89)J

∂g1

∂x1

∂g1

∂xN

∂gN

∂x1

∂gN

∂xN

recurrimos de nuevo a un procedimiento iterativo determinado por la siguiente ecuación

recursiva:

El método de Newton-Raphson resulta aplicable a cualquiera de los tres sistemas

(3.90) X ( i 1 )

X ( i ) [ J

X ( i ) ] 1

G

X ( i )

de ecuaciones descritos, aunque generalmente lo encontramos aplicado al sistema de

ecuaciones en H (método de los nudos). Hay que apuntar que el método de Cross

constituye un caso particular de aplicación del método de Newton-Raphson sobre las

ecuaciones de malla en ∆q, añadiendo la simplificación de que en cada ecuación de

malla intervenga un único caudal corrector.

3.4.3.4.- Método de la Teoría Lineal.

El método de Newton-Raphson es de utilidad absolutamente general para la

resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, y como tal ha sido expuesto. No

obstante las ecuaciones no lineales que se presentan en el análisis de una red en régimen

permanente son de un tipo bastante característico, puesto que la no linealidad es de tipo

algebraico, simple y uniforme, esto es, tomando como ejemplo las ecuaciones de malla

en qij, los términos debidos a elementos resistentes de cualquier tipo consisten en una

resistencia hidráulica multiplicada por el caudal qij elevado a una potencia que podemos

suponer constante. Una sugerencia muy sencilla para linealizar este sistema de

ecuaciones consiste en redefinir los coeficientes (resistencia hidráulica de las líneas) de

forma que incluyan una parte del término no lineal, resultando un conjunto de

ecuaciones lineales.

Aplicando el procedimiento a una ecuación de malla obtendremos:

(3.91) (ij)∈Mk

(±) i j Ri j qni j

(ij)∈Mk

(±) i j Ri j qn 1i j qi j 0

3.65


de manera que si definimos un nuevo coeficiente:

obtendremos un nuevo sistema de ecuaciones totalmente lineal:

(3.92)R i j Ri j qn 1

i j

(3.93) (ij) ∈Mk

(±)i j R i j qi j 0 k 1 ... M

El método de la Teoría Lineal ha sido propuesto por varios autores desde

McIlroy [14] en 1949, pero sin duda llega a adquirir la mayor importancia y difusión

a partir de los trabajos de Wood y Charles [23].

Cuando se aplica el método de la Teoría Lineal a las ecuaciones en q, la

estimación de los caudales qij necesaria para determinar los coeficientes R'i j de las

ecuaciones, no afecta en modo alguno a las ecuaciones de continuidad en los nudos y

sirve únicamente para conformar un sistema lineal de ecuaciones. Por tanto puede

suponerse que en la primera iteración todos los caudales de línea son iguales a la unidad

q1i j=1 y en consecuencia, R'i

1j =Rij.

La forma más sencilla de realizar el cálculo iterativo consiste en utilizar los

caudales obtenidos en la resolución del sistema linealizado de ecuaciones en una

iteración para calcular los nuevos coeficientes que se utilizarán en la iteración siguiente.

Si denominamos q(i nj ) a los caudales empleados para determinar los coeficientes en la

iteración n, y (n)qij a los caudales obtenidos al resolver el sistema lineal de ecuaciones

en la misma iteración, el procedimiento anterior puede expresarse formalmente como:

Pero al poner en práctica esta forma de proceder se observa un comportamiento

(3.94)q(n 1)i j (n)qi j

oscilatorio de las soluciones que dificulta y ralentiza la convergencia del proceso. Para

acelerar la convergencia, Muir [16] sugiere emplear un caudal para el cálculo de los

coeficientes que sea una media geométrica de los caudales propuesto y obtenido de la

anterior iteración, esto es:

A este respecto, Wood y Charles proponen que el caudal propuesto en una

(3.95)q(n 1)i j

(n)qi j q(n)i j

iteración sea simplemente la media aritmética entre los caudales obtenidos en las dos

3.66


iteraciones inmediatamente anteriores, esto es:

Siguiendo esta misma línea, Bhave [2] sugiere que considerando la media

(3.96)q(n 1)i j

(n)qi j (n 1)qi j

2

aritmética de los caudales propuesto y obtenido en la anterior iteración, la convergencia

puede resultar aún más rápida, esto es:

El desarrollo del método de la Teoría Lineal es aplicable en forma general a

(3.97)q(n 1)i j

(n)qi j q(n)i j

2

cualquiera de las formulaciones que hemos revisado, aunque se utiliza mayoritariamente

sobre el sistema de ecuaciones en q.

3.5.- CONCLUSIONES

En el presente capítulo se han introducido los conceptos básicos que desde el

punto de vista matemático e hidráulico describen una red hidráulica de distribución y

su modo de funcionamiento.

Una vez revisados los conceptos más generales y los tipos de modelos que pueden

concebirse, el contenido de los apartados restantes se ha centrado en la modelización del

comportamiento de la red en régimen permanente, que constituye la representación más

usual y accesible del funcionamiento de una red, para lo cual se ha establecido en 3.2

el sistema de ecuaciones que determinan dicho comportamiento en función de la

topología de la red y del tipo de elementos con que cuenta.

En el apartado 3.3 se ha analizado el comportamiento individual de los elementos

comúnmente empleados en una red de distribución, desde los elementos resistentes más

simples (como tuberías y elementos que provocan pérdidas localizadas) hasta los más

complejos, como es el caso de las válvulas multifuncionales, pasando por elementos

motrices, como las bombas.

El apartado 3.4 se ha dedicado a exponer las formulaciones clásicas de los

sistemas de ecuaciones que describen el comportamiento de la red en régimen

3.67


permanente (ecuaciones en q, en H y en ∆q), así como las simplificaciones que resultan

al considerar el análisis de redes ramificadas. Como cierre de este apartado se han

revisado de forma somera y general tres de los métodos más utilizados para la

resolución de los sistemas de ecuaciones referidos. Aunque los métodos expuestos

pueden ser aplicados a cualquiera de las formulaciones referidas, lo cierto es que cada

uno de ellos se suele utilizar en una formulación concreta; así, el método de Cross está

comúnmente asociado a la formulación por mallas (sistema de ecuaciones en ∆q), el

método de Newton-Raphson ha sido el favorito para la resolución del sistema de

ecuaciones en H (formulación por nudos) y el método de la Teoría Lineal encuentra su

principal campo de aplicación en la formulación por líneas (sistema de ecuaciones en q).

Cada uno de los métodos de resolución presenta ventajas e inconvenientes, pero

el advenimiento de los nuevos procedimientos desarrollados con posterioridad al método

de Cross está provocado por la necesidad de analizar sistemas de complejidad y tamaño

creciente, ante los cuales, el método de Cross pierde efectividad y ralentiza la

convergencia. Pese a los inconvenientes del método de Cross, éste sigue siendo todavía

el más utilizado, debido a la sencillez de su implementación informática, muy apta para

computadores de poca potencia.

Finalmente cabe apuntar que las formulaciones y los métodos que han sido

expuestos a lo largo del capítulo no constituyen las únicas vías de abordar el problema

de análisis. Otras aportaciones a este respecto son, por ejemplo, el trabajo de Kesavan

y Chandrashekar [11], que resuelven el problema mediante un planteamiento de las

ecuaciones basado en la teoría de grafos, la contribución de Collins et al. [3], que

plantea el equilibrio del sistema como un problema de minimización de la energía

disipada, o la aplicación más reciente de los métodos del gradiente para la resolución

del sistema de ecuaciones [17].

3.6.- BIBLIOGRAFÍA

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de Ingeniería Hidráulica Aplicada a los Sistemas de Dsitribución de Agua, Ed.

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of Large Scale Pipe Networks by Improved Mathematical Approaches", Technical

Report IEOR 77016-WR-77001, School of Engrg. and Applied Science, South

Methodist Univ, Dallas (EEUU).

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3.71

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