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5.6 TRABAJO Y ENERGA DE UN CUERPO RGIDO

Un cuerpo rgido no es ms que un sistema de partculas donde las distancias

entre ellas permanecen invariables, por lo tanto aplica todo lo de un sistema de

partculas que ya conocemos. La cinemtica del cuerpo rgido es una cuestin

previa que debe ser explicada. La rigidez del cuerpo introduce simplificaciones

a la descripcin del movimiento de ese sistema de partcula pues no es

necesario conocer las posiciones ni el movimiento de cada una de ellas, sino

que el movimiento de unas pocas determina el de todas.

Cuerpo rgido continuo !ste es un concepto idealizado donde nos olvidamos

de las partculas reales que componen el cuerpo, los tomos o mol"culas, y el

cuerpo es reemplazado por un continuo de masa donde las #partculas# son

elementos infinit"simos de volumen #dv# que tiene alguna cantidad de masa

tambi"n infinitesimal #dm#. La rigidez se establece aqu manteniendo

constantes las distancias entre los puntos de este cuerpo. !sta es otra

idealizacin porque en la vida real no existen cuerpos rgidos. $odos los

cuerpos son deformables en alguna medida.

Un cambio arbitrario de posicin de un cuerpo rgido en el espacio puede

siempre ser reducido a una traslacin paralela seguida de una rotacin en

torno a un e%e fi%o. &in embargo este 'ec'o no es tan simple entender. La

cinemtica y dinmica de un cuerpo

rgido en el espacio es normalmente un tema difcil de comprender por los

alumnos. Cuando un cuerpo tal como una lmina se mueve sobre un plano fi%o,

el ngulo que el cuerpo gira se define entre alguna lnea fi%a en el cuerpo con

alguna lnea fi%a en el plano.

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PRINCIPIO DEL TRABAJO Y LA ENERGA

!ste principio se utilizar para analizar el movimiento plano de cuerpos rgidos.

(qu utilizaremos los parmetros de velocidad y desplazamiento, no es

necesario el clculode la aceleracin. $ambi"n debemos observar que estascantidades, traba%o y energa cin"tica, son cantidades escalares.

)ecordar, que tambi"n debemos suponer que el cuerpo rgido est formado

por #n# partculas de masa #*mi#.

T1 U1!" # T"

+onde #$# y #$-#, son el valor inicial y final de la energa cin"tica total de las

partculas que forman el cuerpo rgido respectivamente.

$U1!"# es el valor de todas las fuerzas que actan sobre las diversas partculas

del cuerpo rgido.

La energa cin"tica total

$U1!"#, representa el traba%o que realizan todas las fuerzas que actan en un

cuerpo rgido, tanto interno como externo.

/or definicin de cuerpo rgido, $U1!"# , 0nterno es cero1 pues la distancia es la

misma y las fuerzas internas son iguales, la misma direccin, sentido opuesto.

$U1!"#, se reduce al traba%o de las fuerzas externas y estas actan sobre el

cuerpo durante el desplazamiento considerado.

!l $raba%o de una fuerza #2#, durante un desplazamiento de su punto de

aplicacin desde #(# 'asta #(-#, es

o 2 3 magnitud de la fuerza.

o * 3 ngulo que forma con la direccin del movimiento de su punto de

aplicacin (

http://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/caes/caes.shtml

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o s 3 es la variable de interaccinque mide la distancia recorrida por #(# a lo

largo de su trayectoria.

La ley de la conservacin de la energaconstituye el primer principio de

la termodinmicay afirma que la cantidad total de energa en cualquier sistema

aislado 4sin interaccin con ningn otro sistema5 permanece invariable con el

tiempo, aunque dic'a energa puede transformarse en otra forma de energa.

!n resumen, la ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no

puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra, por

e%emplo, cuando la energa el"ctrica se transforma en energa calorfica en un

calefactor.

!n !ec"nica lagrangianala conservacin de la energa es una consecuencia

del teorema de 6oet'er cuando el lagrangiano no depende explcitamente del

tiempo. !l teorema de 6oet'er asegura que cuando se tiene un lagrangiano

independiente del tiempo, y por tanto, existe un grupouniparam"trico de

traslaciones temporales o simetra, puede construirse una magnitud formada a

partir del lagrangiano que permanece constante a lo largo de

la evolucintemporal del sistema, esa magnitud es conocida como

'amiltoniano del sistema. &i adems, la energa cin"tica es una funcin slo

del cuadrado de las velocidades generalizadas 4o lo que es equivalente a que

los vnculos en el sistema sean esclernomos, o sea, independientes del

tiempo5, puede demostrarse que el 'amiltoniano en ese caso coincide con la

energa mecnicadel sistema, que en tal caso se conserva.

!n !ec"nica ne#$onianael principio de conservacin de la energa, no puede

derivarse de un principio tan elegante como el teorema de 6oet'er, pero puede

comprobarse directamente para ciertos sistemas simples de partculas en el

caso de que todas las fuerzas deriven de un potencial, el caso ms simple es

http://www.monografias.com/trabajos901/interaccion-comunicacion-exploracion-teorica-conceptual/interaccion-comunicacion-exploracion-teorica-conceptual.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/calor-termodinamica/calor-termodinamica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/genytran/genytran.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/teoria-sintetica-darwin/teoria-sintetica-darwin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/newton-fuerza-aceleracion/newton-fuerza-aceleracion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos901/interaccion-comunicacion-exploracion-teorica-conceptual/interaccion-comunicacion-exploracion-teorica-conceptual.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos34/calor-termodinamica/calor-termodinamica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/genytran/genytran.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/transf-calor/transf-calor.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/dinamica-grupos/dinamica-grupos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/teoria-sintetica-darwin/teoria-sintetica-darwin.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos35/newton-fuerza-aceleracion/newton-fuerza-aceleracion.shtml

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el de un sistema de partculas puntuales que interactan a distancia de modo

instantneo.

El concepto de trabajo y su relacin con el cambio en energa cintica y potencial. Se

consideran dos casos, uno donde la fuerza es constante y otro en donde la fuerza esdirectamente proporcional al desplazamiento.

Pregunta 6 (.!."

Se empuja una caja de #$ %g de acuerdo a la gr&fica. El trabajo efectuado de $ a '$ m es

El trabajo se encuentra por medio de

xdxdssFW =='$

$

"#$$("(

)un*ue la fuerza no es constante, no +ace falta +acer la integral. a integral es el &rea bajo

la cur-a, en ste caso, el &rea de un tri&ngulo.

Trabajo = rea = (base) (altura)/2 = (40) (500)/2 = 10000 N m

elacin trabajo debido a una torca (en un plano" y el cambio en la energa cintica de

rotacin.

Pregunta /! (!.!"

0n cilindro slido gira sobre un eje con una rapidez de 6# rads1s. Suponiendo *ue no +ay

friccin, si se +ace un trabajo de #6$$ 2 para detener el cilindro, el momento de inercia del

cilindro es

Se puede resol-er usando la relacin entre el trabajo, debido a la torca (constante" y el

desplazamiento angular, en un mo-imiento de rotacin y el cambio en la energa cintica de

rotacin.

3

u

e

rz

a

(

#$$ 4

'$ 5esplazamiento (m"

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/

/of II =

5espejando el momento de inercia y sustituyendo datos

mg6#.

6#

#6$$ ===o

I

Pregunta 7

0na masa de /# g sujeta a un resorte, en una superficie +orizontal, pasa por la posicin de

e*uilibrio con una -elocidad de ! m1s. Si el resorte tiene una constante de elasticidad de

/#$$ 41m la distancia m&8ima *ue se puede comprimir es

Este problema se puede resol-er recordando *ue el trabajo es igual al cambio en la energa

cintica. El cuerpo +ace un trabajo contra la fuerza de restitucin del resorte, desde la

posicin de e*uilibrio (-elocidad m&8ima" +asta la m&8ima compresin (-elocidad cero".

Se encuentra para un resorte

(F = - x)*ue el trabajo para comprimirlo, desde la posicin

de e*uilibrio, es

"(/ $ xx

En donde es la constante de restitucin yx0 9 0

:gualando el trabajo al cambio en energa cintica y despejando

= "(

/ $

xx

(

/

/of m!m!

"

m!.$/#$$

!/#

=

==

m!x o

Pregunta ;

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0na fuerza de '#$ 4 a un &ngulo de '$< respecto de la +orizontal, arrastra un objeto con

masa igual a /$$ g sobre una superficie con coeficiente de friccin de $./. Si el objeto se

arrastra /# m, el trabajo total efectuado es (nota la fuerza normal es igual a 6=/ 4"

En este caso, las fuerzas son constantes. El trabajo total es igual a la fuerza resultante en la

direccin del mo-imiento por el desplazamiento.

En la +orizontal se tiene la friccin y la componente de la fuerza *ue arrastra

== 6=//.$'$cos'#$F"44#$ % &'#1 = 2$5#& N

El trabajo es W 9 2$5#&

15 = 41"4#$

Pregunta =

0n carrito en una monta>a usa a una altura de 6# m, baja desde el reposo. Suponiendo

*ue no +ay friccin, la -elocidad del carrito a los # m de altura es

El problema se puede resol-er con la relacin trabajo cambio en la energa. El trabajo es

debido a la fuerza causada por la gra-edad.

En la parte m&s alta se tiene pura energa potencial

T) *m+, =

) los # m la energa total es parte energa cintica y parte energa potencial y es igual a la

energa inicial

/

/off)T m!m!m+,m+,* +==

, despejando para la -elocidad final

/"( ff) m!,,m+ =

Sustituyendo datos.

'$;.= =!9 ; m1s

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5.% I&PU'(O Y CANTIDAD DE &O)I&IENTO EN UN CUERPO RIGIDO

PRINCIPIO% DE I&P'L%O Y CANTIDAD DE &O(I&IENTO APLICADO% AC'ERPO% RGIDO% Y A %I%TE&A%)/artiendo de la &egunda Ley de 6e7ton4#La resultante de las fuerzas que actansobre un cuerpo de masa m, es directamente proporcional y tiene la mismadireccin y sentido que la aceleracin que produce#5 podemos definir dosconceptos importantes para el anlisis del movimiento, como son el impulsoy

la cantidad de movimientoque posee un cuerpo.&upongamos que analizamos a un lanzador de bala durante la e%ecucin de unlanzamiento, y que este se realiza sobre una plataforma especial que permitemedir la intensidad y registrar el tiempo durante el cual actan las fuerzas que see%ercen contra ella.!n la figura podemos observar el registrode las componentes 'orizontales de lasfuerzas que se e%ercen contra el suelo, considerando como positivas a aquellasque tienen la direccin del lanzamiento, y negativas en caso contrario.

http://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/regi/regi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elsu/elsu.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos14/sirisaac/sirisaac.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos7/regi/regi.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos6/elsu/elsu.shtml

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&i observamos el registro notamos la variacin de la fuerza en los diferentes

intervalos de tiempo. ( la integral de una fuerza en el intervalo de tiempo que ellaacta se lo denomina impulso.+e la expresin anterior podemos deducir que el impulso est representado por elrea ba%o la curva limitada por los instantes de tiempo definidos.

(plicando la &egunda Ley de 6e7ton podemos llegar a encontrar una interesanterelacin)ecordando que * # !.adonde #2# representa la fuerza media e%ercida en un intervalo de tiempo #*t 3 tf8ti# ,en el cual podemos considerar a #ti 3 9#, y #a"representa la aceleracin media, lacual puede serreemplazada por a# +,- ,i/ 0 )eemplazando en la anterior tenemos que* # !+,- ,i/ 0 /asando #t# al otro lado de la igualdady eliminando el par"ntesis obtenemos*. # !),- !),iLa expresin anterior implica que el i!*+lso de +na ,+er-a es ig+al a lavariedad de can$idad de !ovi!ien$o .+e es$a *rod+ce.Cabe aclarar que en cierta bibliografaa la variacin de la cantidad demovimientose la conoce como !o!en$+!.Conservacin de la can$idad de !ovi!ien$o d+ran$e los c/o.+es 0Losc'oques son una situacin muy comn en la actividad deportiva. /or e%emplocuando un futbolista impacta una pelota, la fuerza e%ercida por el pi" contra lapelota es igual y contraria a la que e%erce la pelota contra el pi" 4$ercera Ley de6e7ton5. !l tiempo que durante el cual actan dic'as fuerzas es tambi"n id"ntico.+ado que el impulso de una fuerza es igual al producto de dic'a fuerza por eltiempo durante el cual acta, podemos deducir que el impulso que la fuerza del pi"e%erce sobre la pelota es igual y contrario al que la pelota recibe, por lo tantotambi"n ocurrir lo mismo con la cantidad de movimiento.!xpresando esto ltimo algebraicamente

http://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/apa.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos/discriminacion/discriminacion.shtmlhttp://www.monografias.com/apa.shtml

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mvf : mvi 3 84mvf- : mvi-5 /asando el segundo t"rmino de la igualdad alprimero4mvf : mvi5 ; 4mvf- : mvi-5 3 9La anterior expresa el principio de la conservacin de la cantidad de movimientoque dice en +n sis$e!a en el c+al los c+er*os c/ocan1 la variacin de la

can$idad de !ovi!ien$o *er!anece cons$an$e1 a !enos .+e so2re dic/osis$e!a ac$3en ,+er-as e4$ernas)!n realidad, en cualquier situacin de c'oque siempre acta alguna fuerzaexterna, como la fuerza de gravedad. !l principio de la cantidad de movimiento esaplicable a los c'oques, siempre que el tiempo que dure el choque sea losuficientemente pequeo, de manera que se pueda despreciar la influencia dedic'a fuerza. !n la prctica deportiva los c'oques ms usuales como el de unaraqueta, el de un bate, o el de un pi" contra una pelota, siempre duran un instantede tiempo muy peque

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&egn la ecuacin 45 el impulso

I

es igual a la variacin de la cantidad demovimiento

= / --I

Unidades de Impulso

Unidad de

I

3 Unidad de

F

x Unidad de tiempo En el I !#$%

[ ]I

&[ ]N [ ]se+

&

[ ]

=

se+

m+se+

se+

m+ .

En el sistema '()

[ ]I

&

[ ] .d0. [ ]se+

&

[ ]

=

se+

/m+se+

se+

/m+ .

Unidades de 'antidad de ovimiento

-

Unidad de

-

3 Unidad de masa x Unidad de velocidad

En el I !#$)

[ ]

=

=

se+

m+

se+

m+- .

En el sistema '()

[ ]

=

se+

/m+- .

/odemos verificar con este concepto el /rincipio de 0nercia o /rimer /rincipio de6e7ton en la ecuacin 45

( )

= // !m!mttF

s)

/te!!!m!mesF ====

//$

=(i 3o >2 -uer92 e?erior7 e 4@,i 3o c24i2 de ,eocid2d +e8 u3 &RU/

1. PRINCIPIO DE CON(ER)ACION DE 'A CANTIDAD DE &O)I&IENTODE UNA PARTICU'A

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+e las leyes de la +inmica, del &egundo /rincipio o Ley 2undamental de la+inmica, se deduce que solamente las fuerzas pueden modificar la cantidad de

movimiento

-

de un cuerpo

dt

!dmamF

== .

&i

==

$$dt

!de.to./esF

/te!m0/te! ==

!ntonces *i sobre un cuerpo no acta nin+una fuerza o la resultante de todas lasfuerzas !eteriores$ que actan es cero, la cantidad de movimiento del cuerpo

permanece constante-

". NECE(IDAD DE INTRODUCIR 'A( DO( CARACTERI(TICA( DIN&ICA(