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174

Jorge Mendoza Dueas

DINMICA CIRCULARCASOS COMUNESAnalicemos el diagrama de cuerpo libre de un mvil en movimiento circular en cuatro posiciones: A,B,C y D, luego determinemos la fuerza centrpeta en cada posicin.

ConceptoEs una parte de la mecnica que estudia las condiciones que deben cumplir una o ms fuerzas que actan sobre un cuerpo, para que ste realice un movimiento circular.

CENTRPETA ACELERACIN CENTRPETA ( a C)Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con la cual cambia de direccin el vector velocidad.

ac =

v2 R

La aceleracin centrpeta se representa mediante un vector dirigido hacia el centro del circulo.

CENTRPETA FUERZA CENTRPETAEs la resultante de todas las fuerzas radiales que actan sobre un cuerpo en movimiento circular y viene a ser la responsable de obligar a dicho cuerpo a que su velocidad cambie contnuamente de direccin , dando origen a la aceleracin centrpeta.Fc = mac Fc = m v R2

En el punto A:

Fc = mg + TA

En el punto B: Fc = TB En el punto C: Fc = TC mg En el punto D: Fc = TD mgcos

FUERZA CENTRFUGA (SEUDO-FUERZA) (SEUDO FUERZA)Esta Fuerza es mencionada en muchos libros, pero realmente no existe. Muchas personas afirman que la fuerza centrfuga existe en algunos casos y se manifiesta como la reaccin de la fuerza centrpeta (accin); sin embargo, todos sabemos que la tercera ley de Newton (accin y reaccin) slo se cumple para fuerzas reales (peso , reaccin, tensin, etc) y no para resultantes de varias fuerzas. Muchos manifiestan que la fuerza centrpeta es la que jala al cuerpo hacia el centro del circulo y la centrfuga es la que jala hacia fuera del crculo; en realidad esto es falso.

Fuerza Centrpeta: Resultante de Fuerzas RadialesLa fuerza centrpeta no es una fuerza real como el peso, reaccin, tensin, etc., es ms bien una resultante de las fuerzas en la direccin del radio en cada instante. Siendo as, dicha fuerza se puede representar de la siguiente manera: Fc = fuerzas hacia el centro - fuerzas hacia afuera

Dinmica NOTA

175

Cuando se representa el diagrama de cuerpo libre, el lector no dibujar la fuerza centrpeta y menos an la fuerza centrfuga .

ILUSTRACIONES

EXPERIENCIA: DINMICA CIRCULAROBJETIVODemostrar que la fuerza centrpeta obliga a un cuerpo a describir como trayectoria una circunferencia.

NMERO DE ALUMNOS: Dos PROCEDIMIENTO1.Colocar los materiales segn la figura mostrada.

MATERIAL A EMPLEARSE Un disco acoplado a un motor. Un medidor de frecuencia (R.P.M.) Un cilindro de aproximadamente 1 m de dimetro y una altura no mayor de 50 cm. Un borrador (determinar su peso en kg)

2.-

Colocar el borrador en la pared interna del cilindro, observar. Activar el disco lentamente.

3.-

176 4.Colocar el borrador en la pared interna del cilindro, observar. Si el borrador ha cado, aumentar la frecuencia del disco, para luego volver a colocar el borrador en la posicin mostrada. Repetir el paso 5 hasta que el borrador no caiga. Conseguido el objetivo, anotar la frecuencia del disco (R.P.M.) 5.8.Repetir todo el proceso cuatro veces ms.

Jorge Mendoza Dueas

5.-

6.-

7.-

Ser la fuerza centrpeta la reaccin normal que empuja al borrador hacia el eje del cilindro? Si - No. Cunto vale dicha fuerza centrpeta? (en trminos de m = masa del borrador) recordar 2 Fc = mv /R. Sabemos que la fuerza de rozamiento se calcula f = N. Si el cilindro no gira, entonces no hay fuerza centrpeta, luego la normal sera cero (N = 0). Hacia donde ira el borrador?, Por qu? Describira una circunferencia como trayectoria? En el momento que el borrador no cae, a que es igual la fuerza de rozamiento. A) mg B) 2mg D) 4mg E) 5mg

PREGUNTAS1.Completar la tabla1 vez f(RPM) f(RPS) = 2f (rad/s) v = R (m/s) 2 vez 3 vez 4 vez 5 vez Promedio

6.-

7.-

8.-

2.-

Cuando el disco se encuentra esttico y colocamos el borrador en la pared interna, Por qu cae? hacer su diagrama de cuerpo libre. Cuando el disco gira lentamente y colocamos el borrador en la posicin indicada, Por qu cae? hacer su diagrama de cuerpo libre. 9.Cuando el disco gira lo suficiente para que el borrador permanezca en su posicin inicial. Por qu no cae? se le ayudar proporcionndole el diagrama de cuerpo libre del borrador.

3.-

C) 3mg Calcule el coeficiente s entre el borrador y el cilindro.

4.-

10.- Es posible que el borrador suba cuando el cilindro gira? experimente y comente.

Ciencia y Dinmica Tecnologa

177

Fuerza interna

Fuerza externa externa

Fuerza Interna: La nia trata de mo- Fuerza Externa: Para que la carreta se mueva, es necever el coche, no cumplir su cometi- sario la presencia de una fuerza externa, en el presente do ya que F es una fuerza interna. caso dicha fuerza se activar por intermedio del caballo.

Fuerza centrpetaLas personas dentro de la montaa rusa en movimiento perciben diferentes sensaciones en su paseo circular, debido a la variacin contnua de la fuerza centrpeta. Evidentemente las sensaciones ms extraordinarias se producen en la parte ms alta y baja del aparato dado que son los puntos en donde la fuerza centrpeta alcanza valores extremos.

La fuerza centrfugaLa Fuerza Centrfuga: Siempre que accionamos la licuadora para hacer un jugo por ejemplo, observamos la presencia de un cono hueco, Por qu dicho hueco? El lquido est conformado por partculas y stas al entrar en un movimiento circular tratarn de escapar tangencialmente debido a la inercia: Seudo Fuerza Centrfuga; dicha Seudo Fuerza ser mayor cuanto ms grande sea el radio, motivo por el cual se forma el cono hueco.

178

Jorge Mendoza Dueas Ciencia y Tecnologa

Por Por qu gira la piedra? - Fuerza centfuga?D.C.L. (piedra) (persona) D.C.L. (persona)

Cuando una persona hace girar una piedra mediante una cuerda, el brazo de la persona trata de escapar hacia afuera. Fuerza centrfuga?

El peso se anula con Tsen. Mientras que Tcos es la nica fuerza radial y obliga a la piedra a describir una circunferencia. En este caso la fuerza centrpeta es igual a Tcos

La tensin siempre se representa mediante un vector jalando al cuerpo, por lo tanto Qu es lo que jala a la persona ? Rpta. La tensin, la cual si no es muy grande se anular con las fuerzas de rozamiento (f).

curv Auto en la curva - Fuerza centrfuga?Cuando una persona se encuentra dentro de un auto que se mueve en una trayectoria curva, sta tiene la sensacin de ser empujada horizontalmente hacia afuera, incluso puede ser lanzada hacia un costado. Qu obliga al auto a no seguir en lnea recta? Rpta. Las fuerzas de rozamiento en las llantas, por este motivo el auto se mover en lnea curva y la sumatoria de las fuerzas de rozamiento compondrn la fuerza centrpeta.

Pero Qu obliga a la persona a describir la misma trayectoria curva? Rpta. Nada. Todo cuerpo que se mueve en lnea recta, seguir as a no ser que fuerzas externas lo impidan (Ley de la Inercia). En nuestro caso si no hay puerta, el rozamiento entre el asiento y el cuerpo de la persona ser tan pequeo que no impedir que ella salga disparada ( por efecto de la inercia).

Qu se har para que la persona no salga disparada? Se colocar una puerta la cual presionar a la persona hacia el centro del crculo.

Dinmica

179

TEST1.Se debe ejercer una fuerza centrpeta sobre un cuerpo para mantenerlo en movimiento. a) b) c) d) e) 2.Rectilneo. Con aceleracin constante. Con cantidad de movimiento constante. Circular. Uniforme. 6.Un artista de circo gua una motocicleta por el lado interior de un cilindro rugoso vertical. No se desliza hacia abajo en dicho cilindro. En el diagrama hemos indicado la fuerza gravitacional que W acta sobre el artista y la motocicleta. Dibuje las fuerzas que se necesita para que se mueva a lo largo de la circunferencia.

La fuerza centrpeta que acta sobre un satlite en rbita alrededor de la Tierra se debe a: a) b) c) La gravedad. Los retro cohetes. Los cohetes.2

d) e)

La prdida de peso. Ley de la inercia.

a)W Fr

Fcf

d)

Imposible realizar.

3.-

A qu representamos con v /r ? Porqu? a) b) c) d) e) Aceleracin tangencial mantiene la velocidad constante. Aceleracin instantnea cambia la direccin de la velocidad. Aceleracin centrpeta la palabra significa busca el centro. Aceleracin normal cambia el valor de la velocidad. Ninguna de las anteriores. 7.b)W

e)Fr

Faltan datos.

N

c)W

4.-

En la ecuacin F = mv2 /r, se sobrentiende que la fuerza y la aceleracin tienen la misma direccin y el mismo sentido? a) b) c) d) e) No porque no cumple para todas las fuerzas. Si esto siempre es cierto para fuerzas resultantes y aceleraciones. Si para algunos casos particulares. No solo para el movimiento unidimensional. N.A. 8.-

En un pndulo cnico tiene sentido hablar de la fuerza centrfuga? a) No porque las fuerzas de reaccin se aplican para fuerzas reales y no para las resultantes de estos. Si porque es la reaccin de la fuerza centrpeta. No porque no existe fuerza centrpeta. Si porque siempre existe. A y D son correctas.

b) c) d) e)

5.-

En la posicin A dibuje los vectores que representan la velocidad v, la aceleracin a y la fuerza F que actan sobre m. Considere que el movimiento es en el sentido de las manecillas del reloj como se indica. a)

Un motociclista recorre las paredes internas de una esfera, en que punto sentir mayor presin.

b)

c)

d)

e)

N.A.

a) b) c) d) e)

A B C D DyB

1809.Sealar con V (verdadero) F (falso). El sistema gira con velocidad angular constante. Las moscas reposan sobre A y B y son de igual masa m (las moscas , estn en las paredes internas). ( ) La fuerza centrpeta que soportan es mayor en la mosca B. ( ) Las dos giran con la misma aceleracin centrpeta. ( ) Entre las moscas existe una diferencia de fuerzas radiales igual a m2d a) b) c) d) e) FVF VFV VFF FFF FFV 10.Se suelta la esferitam desde el reposo en A , por la superficie esfrica lisa. Al pasar por B el diagrama de fuerzas sobre m es:

Jorge Mendoza Dueas

a)

b)

c)

d)

e)

RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOSA 1.problemas de aplicacin Una masa de 10 kg, describe una trayectoria circular de radio 1 m y con una velocidad constante de 10 m/s. Calcular la fuerza (en Newton) que mantiene su trayectoria. Solucin:

Solucin : La fuerza resultante que obliga al cuerpo a describir una circunferencia, es la fuerza centrpeta. Fc = mv 2 R Fc = t En el punto A Fc = mg + TA2 mv A = mg + TA R

b10gb10g1

2

Fc = 1 000 N

TA = 2.Se hace girar una piedra en un plano vertical. Cuando pasa por el punto A tiene una velocidad de 10 m/s, en B tiene una velocidad de 15 m/s y en C 20 m/s. Calcular la tensin en A, B y C sabiendo que m = 4 kg R = 2 m ( g= 10 m/s2).

mv 2 A mg R

Remplazando datos: TA = 160 N

Dinmicat En el punto B: Fc = TB TB =2 mvB R

181Solucin: TB = 450 N

t En el punto C: Tc mg = Fc Tc = 3.mv 2 C + mg R TC = 840 N El valor de la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista es el mismo que la pista le ejerce al carrito: Fc = N mg N = mg + 5.mv 2 R mv 2 = N mg R

Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en un plano vertical. Si la diferencia entre la tensin mxima y la tensin mnima de la cuerda es igual a 10 Newton. 2 Cul es la masa de la piedra? (considera g = 10 m/s ). Solucin:

A un vaso con aceite se le hace describir un movimiento circular uniforme, mediante un hilo de 2,5 m de longitud. El movimiento se realiza en un plano vertical. Calcular la velocidad angular mnima con la que debe girar el vaso para que no caiga el aceite (g = 10 m/s2). Solucin:

t Tensin mnima: Punto A Fc = Tmin + mg mv 2 = Tmin + mg ........... (1) R t Tensin mxima: Punto B Fc = Tmax mg mv 2 = Tmax mg ........... (2) R t (2) en (1):0 = Tmax Tmin 2mg

Para que la velocidad sea mnima, la tensin en la cuerda deber ser nula. Fc = Fradiales t En la parte ms alta: Fc = mg + T Pero: T = 0m 2R = mg

2mg = Tmax Tmin 2mg = 10 m = 0 , 5 kg

b

g 2mb10g = 10

=

g = R

10 2, 5

= 2 rad / s

4.-

Un carrito de masa m se desplaza con una velocidad v sobre una pista cncava de radio R como se muestra en la figura. Determinar la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista en el punto ms bajo (g es la aceleracin de la gravedad).

B 1.-

problemas complementarios Se muestra un auto venciendo la gravedad, si se conocen: R , y g Cul es . el valor de la velocidad (cte), para que el auto no caiga?

182Solucin: D.C.L. (auto)

Jorge Mendoza Dueasv2 gR

t De (1) y (2): =

20 m/s v = 72 km / h = 20m / s ; g =10 m / s2 ; R = 50 m = 3.t Verticalmente: (equilibrio) F = mg N = mg ............ (1) t Horizontalmente: Fc = Fradiales = N mv 2 = N ............ (2) R t De (1) y (2) = v= gR v2 gR v 2 = gR

b20g b10gb50g

2

= 0, 8

Una esferita rueda con una velocidad v a lo largo de una circunferencia horizontal dentro de un cono hueco, tal como se muestra. Determinar v en funcin de y . Solucin:

2.-

Cul es el coeficiente de rozamiento entre las llantas de un auto de 1 000 kg y la calzada, si la velocidad mxima con que puede desarrollar una curva es 50 m de radio, sin patinar, es de 72 km/h? (g = 10 m/s2).

De la figura:

tan =

R y

t Verticalmente: F = 0 Nsen = mg ........... (1) t Horizontalmente: Fc = mv 2 R mv 2 ........... (2) R

Soluci n: La fuerza que obliga al auto a dar la vuelta es la fuerza centrpeta y sta es consecuencia de por lo menos una fuerza real y radial ( fuerza de rozamiento) t Verticalmente:N = mg ........... (1)

D.C.L. (auto)

N cos = t (1) : (2) tan =

gR v2

R gR = v = gy y v2 4.Un cuerpo descansa sobre una plataforma horizontal, y se encuentra a 2 m del eje; si = 0,20. Calcular la velocidad angular mxima de la plataforma para que el cuerpo no salga disparado (g = 10 m/s2).

t Horizontalmente: f= mv 2 R mv 2 ........... (2) R

N =

DinmicaSolucin: La fuerza que obliga al cuerpo a describir una circunferencia es la fuerza centrpeta y sta es consecuencia de por lo menos una fuerza real y radial (fuerza de rozamiento). D.C.L. ( cuerpo) t Verticalmente:F = 0

183

N = mg ...... (1) t Horizontalmente:Fc = m r2

Solucin: Fc = T mg cos 60 mv 2 = T mg cos 60 R 74

f = m 2r N = m 2r ...... (2) t (2) : (1) = = 5. 2r g = g r 7. = 1 rad / s

bg2

2

= T 7 10

1 b gFGH 2 IJK

T = 91 N

b0, 20gb10g2

Una piedra de masa 4 kg se hace girar en un plano horizontal mediante una cuerda de 50 cm, la resistencia a la rotura de la cuerda es 200 N. Cul es la mxima velocidad angular a la que se podr hacer girar la piedra?

Un motociclista efecta un movimiento circular muy peligroso, con un radio de 4 metros. Cul debe ser su velocidad mnima que debe tener para no caer? El coeficiente de friccin entre las llantas y la pista es 0,5 (g = 10 m/s2). Solucin:D.C.L. (motociclista)

Solucin: D.C.L. (piedra)

t Verticalmente: Para que no caiga:f = mg

F = 0

t Dato: Tmax = 200 N t Horizontalmente: Fc = T m 2r = T max = max = 10 rad / s 6.Una bolita se encuentra atada a una cuerda y gira en un plano vertical, si en el instante mostrado su velocidad tangencial es de 4 m/s. Cul es la tensin de la cuerda? (m = 7 kg ; g = 10 m/s2).

N = mg ............ (1) t Horizontalmente: Fc = mv 2 R

b gb g

200 4 0 ,5

N=

mv2 ............ (2) R

t (1) : (2) = gR v2

v=

b10gb4g0, 5

v = 8 , 94 m / s

1848.Dos esferitas se encuentran unidas mediante un cable del modo como se muestra en la figura, despreciando todo tipo de friccin determinar con qu velocidad angular constante debe girar la esferita 1 para que la esferita 2 permanezca en equilibrio. (m2 = 5m1; g = 10 m/s2). Solucin:

Jorge Mendoza Dueas

Solucin: t Equilibrio vertical (m2): T = m2g ......... () D.C.L. (m2)

Ntese que la tensin es la misma por ser la misma cuerda, ya que pasa por un anillo.

Clculo del radio R

R = 6sen 37 = t Verticalmente: F = 0 D.C.L. (m1) mg = T cos 53 + T cos 37 mg = T cos 53 + cos 37 ......... (1) t Horizontalmente: Fc = m 2Rm 2R = Tsen 53 + Tsen 37

18 m 5

t Horizontalmente (m1): Fc = T m1 2r = T......... ()

b

g

t Luego: () = () m1 2r = m2gm1 2r = 5m1 g

m 2R = T sen 53 + sen 37 ......... (2) t (2) : (1) 4 3 + 2R sen 53 + sen 37 5 5 = = =1 g cos 53 + cos 37 3 + 4 5 5 2 = g R 10 18 5 = g R 5 rad/s 3

b

g

b g

= 9.-

5 g= 2

5 10 2

b g

= 5 rad / s

Calcular la velocidad angular del anillo de masam que gira en torno al eje mostrado. El anillo est sujeto por un cable inextensible (g = 10 m/s2).

=

=

Dinmica

185

PROBLEMAS PROPUESTOSA 1.problemas de aplicacin En la figura, A es una rueda motriz de 4 m de radio,B es una rueda movida por friccin y tiene un radio de 0,5 m. En qu relacin estn sus aceleraciones centrpetas? acp (A) / acp (B) = ?? Rpta. 2.6.Estando un resorte ingrvido no deformado y el tabln girando, se une a su extremo un bloque pequeo. Encontrar una relacin entre la velocidad angular, K y m, para la cual el resorte no se deforme ilimitadamente. Rpta. 7.< K m

1 8

Un bloque gira en un plano horizontal atado a una cuerda de 0,1 m de longitud. Calcular la velocidad angular mxima si se sabe que la mxima tensin en la cuerda sin romperse es de 9 veces su peso (g = 10 m/s2).

Un avin da una vuelta mortal de radio igual a 500 m, a una velocidad constante de 360 km/h. Hallar el peso del piloto en el punto superior si su masa es de 70 kg (g = 10 m/s2). Rpta. 700 N

Rpta.

30 rad/s 8.-

3.-

Un piloto de 80 kg de masa quiere hacer un lazo de 30 m de radio con una velocidad de 50 m/s. Determinar la reaccin mnima sobre el asiento del piloto en Newton (g = 10 m/s 2). 9.Rpta. 5 866,7 N

Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente (velocidad angular cte) en un plano vertical. Encontrar la masa de la piedra, si la diferencia entre la tensin mxima y mnima en la cuerda es 20 N ( g = 10 m/s2). Rpta. 1 kg

Un cuerpo de 5 kg de masa atado a un cable de 1 m de longitud gira en un plano vertical constante con una velocidad tangencial de 10 m/s. Si la tensin mnima del cuerpo es 450 N y la mxima 550 N. Hallar la tensin en c (g = 10 m/s2).

4.-

En la figura se muestra una plataforma lisa, en la cual se ha colocado un cuerpo de 2 kg unido a un resorte de constante igual a 20 N/cm. Si la plataforma est girando a razn de 20 rad/s. Determinar la deformacin del resorte. 10.-

Rpta.

500 N

Rpta.

8 cm

Una esfera de masa M se sujeta a una cuerda de longitud L hacindola girar en un circulo horizontal, for, mando la cuerda un ngulo con la vertical. Determinar la velocidad angular de la esfera.

5.-

Una esferita unida a un hilo de longitud R se le hace girar en un plano vertical a partir del extremo libre del hilo. Encontrar una relacin entre la velocidad angular, g y R , para la cual la cuerda siempre permanezca tensa. Rpta. > g R

Rpta. = g L cos

186B 1.problemas complementarios Acerca de la fuerza centrpeta, es falso que: a) b) c) d) e) Es una fuerza resultante radial. Es necesario para que exista movimiento circular. Origina una aceleracin normal centrpeta. Determina cambios en la direccin de la velocidad. Origina cambios en el mdulo de velocidad tangencial de los cuerpos que realizan movimiento circular. E 8.2.Una esfera de 0,5 kg, es soltada en el punto A. Si al pasar por B y C tiene rapidez de 5 m/s y 3 m/s respectivamente. Calcular las reacciones normales en dichos puntos (g = 10 m/s2). Rpta. RB = RC = 3.165 N 8 45 N 8 9.7.-

Jorge Mendoza Dueas

Calcular la mxima velocidad angular con la cual puede girar el sistema tal que el anillo se encuentre a una distancia de 0,5 m respecto del vrtice O El coeficiente de roza. miento esttico entre el anillo y la barra es 0,5 (g = 10 m/s2). Rpta. 5 2 rad/s

Rpta.

Dos esferas de 1 kg, cada uno estn unidos por una cuerda de 0,5 m de longitud y una de ellas mediante otra cuerda de 0,5 m unida a un eje vertical que gira con velocidad angular constante de 10 rad/s. Calcular las tensiones que soportan cada cuerda cuando las esferas giran en un plano horizontal liso. Rpta. T1 = 150 N ; T2 = 100 N

Una cuerda de longitud 60 cm cuya resistencia de rotura es 100 kg hace girar a un objeto de 8 kg en un plano horizontal. Cul es la mxima velocidad que puede comunicarse a dicho objeto (g = 10 m/s2). Rpta.5 3 m/s

Dos bolas idnticas unidas por un hilo de longitud L = 10 m se mueven con velocidades iguales v por una mesa horizontal lisa. El centro del hilo choca contra un clavo. Cul ser la tensin del hilo en el instante que ste haga contacto con el clavo? las velocidades de las bolas forman un ngulo de 30 respecto al hilo y la masa de las bolas es m = 1 kg, v = 10 m/s.

4.-

Que velocidad mnima ser necesaria darle a un mvil que est atado a una cuerda para que describa una trayectoria circular vertical en la parte superior? ( R = 5 m) (g = 10 m/s2). Rpta. Rpta. 7 m/s 10.Un pndulo doble gira alrededor del eje vertical, de manera que los hilos yacen en un mismo plano y forma con la vertical, ngulos constantes de 37 y 53. Las longitudes de los hilos son iguales a 5 m Cul es la velocidad angular de rotacin del pndulo? 5N

5.-

Un automvil se desplaza en una pista horizontal de 200 m de radio. Con qu rapidez mxima se puede desplazar dicho automvil en dicha pista? El coeficiente de rozamiento entre la pista y los neumticos es 0,8 (g = 10 m/s2). Rpta. 40 m/s

6.-

Determinar la velocidad que debe tener un tren sobre el Ecuador terrestre, de manera que no exista fuerza de contacto entre el tren y el camino, RT = 6 400 km. Rpta. 8 km/s

Rpta.

= 1,38 rad/s