25/2/2010

Conductancia de una Molécula Diatomica | Heber Andrada

UNIDAD DE

MATEMATICA

Y FISICA

PROYECTO COMPUTACIONAL DE DINAMICA

CUANTICA

Heber Andrada

2

Introducción El interés principal de este proyecto es el estudio de ciertos parámetros que afectan a la

conductividad en sistemas de escala molecular, para esto se realizara una simulación en donde se hará uso de la Dinámica Cuántica para comprender como se comporta tal sistema frente a las variaciones de los distintos parámetros.

Objetivos

El objeto de este trabajo es investigar el comportamiento de la conductancia de una molécula diatómica localizada entre dos nanoterminales de Au (nanohilos monoatómicos de Au) que presentan una diferencia de potencial entre si. Durante el desarrollo de este trabajo tratare de priorizar en el estudio del efecto de algunos parámetros internos (beta, gamma y delta) de este sistema sobre la conductancia.

Procedimientos

1-Construcción de la matriz del Hamiltoniano El sistema es el representado en la figura1 donde se puede apreciar dos nanoterminales y la

diatómica localizada entre medio de ambos.

Figura1

Aquí beta es el parámetro del enlace Au-Au, gamma del enlace Au-diatomica y delta del enlace entre los átomos de la molécula diatomica.

El hamiltoniano de la diatomica se modela como un TLS (sistema de dos niveles), este se puede escribir en forma matricial como:

Y la matriz hamiltoniana del sistema completo es:

Donde μ1 =V/2 y μ2=-V/2.Después de armada la matriz se prosiguió a diagonalizarla utilizando el algoritmo de Jacobi el cual arroja sus correspondientes autovalores y autovectores.

1 μ β

β μ1 γ

γ α1 δ

δ α2 γ

γ μ2 β

β μ2

β β γ γ δ

Nanocontacto de Au Diatomica Nanocontacto de Au

α1 HOA=

Heber Andrada

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2-Determinación del nivel de Fermi

Luego de haber utilizado el algoritmo Jacobi seguimos por calcular el nivel de Fermi que por definición es el potencial electroquímico del electrón y para los sistemas que se encuentran el su estado fundamental este representa la energía su ultimo nivel ocupado (ver kittel, 2da edición capítulos 7).Debido a que los electrones se distribuyen según la distribución de Fermi-Dirac, es posible que utilicemos esta para determinar el nivel de Fermi. Debemos notar que al utilizar un hamiltoniano que es simétrico el nivel de Fermi nos dará cero a cualquier temperatura. Se define el número de ocupación como fn=2.fF(εn), donde:

fF(εn)= 1/[1+exp((ε – εF)/kb.T))] Esta ecuación de distribución de Fermi-Dirac me da la cantidad de electrones que se distribuyen en cada nivel a la temperatura T. Por ende debemos llegar a obtener que:

Σ fn=N ↔ Σ fn – N=0

De aquí se deduce que εF me anula la expresión anterior Σ fn – N entonces através de algún método para encontrar las raíces puedo obtener el nivel de Fermi, para este propósito empleo el algoritmo del método de la bisección.

3-Construcción de la matriz densidad

Se sabe que el cálculo de la matriz densidad en la base de los orbitales localizados es:

ρij=Σk Cikf(εk)Ckj

Donde C es la matriz formada por los autovectores encolumnados que salen de diagonalizar H. Entonces se obtiene ρ=f(H)=C.f(ε).C

†, debemos recordar que f(ε) me da la distribución de los

electrones en los auto estados del sistema, pero cuando cambio la base llevándola a la base de los orbitales atómicos me dice cual es la población que existe en cada sitio.

4-Dinámica del sistema y evolución de la matriz densidad

A medida que voy retirando la diferencia de potencial que existía entre los nanocontactos de Au, como ρ ya no es función de H el sistema puede evolucionar. La ecuación que me produce tal evolución es:

Donde ahora H es la matriz hamiltoniana con μ1 y μ2 iguales a cero. Para poder hacer evolucionar el sistema es necesario que integremos la ecuación anterior.

Con el propósito de hacer esto utilizamos un algoritmo de la siguiente forma:

ρ(t+∆t)=ρ(t - ∆t) + 2.∆t.∂ρ/∂t

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Resultados obtenidos

Estudio de la corriente

El calculo de la corriente se realiza utilizando la siguiente expresión: I=∂q/∂t.En el sistema que tenemos, la carga sobre el sitio j esta dada por el j-esimo elemento diagonal de la matriz densidad, y la corriente que entra en el sitio j esta dada por el j-esimo elemento de la diagonal de ∂ρ/∂t. Esto escrito en ecuaciones seria:

∂ρjj/∂t= -i[H,ρ]jj/ħ = -i(ΣHjk(ρkj - ρjk)) /ħ = (Σ Hjk Im(ρkj)) /ħ

Esta expresión matemática es posible de escribir gracias a que H y ρ son matrices hermíticas. De esta ecuación se puede deducir que la corriente que pasa a través del enlace que une al átomo k con el átomo j es:

Ijk=Hjk Im(ρkj)/ ħ

Através de este procedimiento obtenemos la corriente eléctrica que pasaría por la diatómica. Una vez que podemos calcular la evolución de la densidad electrónica y por ende la corriente eléctrica, podemos realizar un cálculo de la conductancia de un nanocable de Au.Para hacer esto debemos sintonizar todos los acoplamientos (beta, gamma y delta) a -3.88eV que es el parámetro calculado para el Au. Esta resulto para una diferencia de potencial de 1V de 77microA/cm

2 y este es el denominado un

“cuanto de conductancia”. Recordemos que la conductancia se define como:

G=

Como se puede apreciar en las graficas de corriente en función del tiempo (figura2) la corriente de estado estacionario es más estable en cuanto a la amplitud de las oscilaciones cuanto mas grande es el sistema a tratar es decir al aumentar la cantidad de átomos de Au en la cadena de los nanoterminales. Aquí calculamos la conductancia a voltage 0.

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Figura2

En esta figura se puede observar como la corriente va disminuyendo la amplitud de sus oscilaciones en el tiempo para llegar a ser más estable a medida que aumentamos la cantidad de átomos de Au en las cadenas que unen la diatómica.

0 2 4 6 8 10 12 14

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

co

rrie

nte

/mic

roA

tiempo/fs

12 ATOMOS E=1,0V

0 2 4 6 8 10 12 14

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

co

rrie

nte

/mic

roA

tiempo/fs

22 ATOMOS E=1,0V

0 2 4 6 8 10 12 14

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

co

rrie

nte

/mic

roA

tiempo/fs

102 ATOMOS E=1,0V

0 2 4 6 8 10 12 14

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

co

rrie

nte

/mic

ro

A

tiempo/fs

202 ATOMOS E=1,0V

0 2 4 6 8 10 12 14-100-80-60-40-200

20406080100

corriente/microA

tiempo/fs

22 ATOMOS E=1,0V

Heber Andrada

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Figura 3

En esta grafica en 3D podemos observar como varia la conductancia con los parámetros delta y gamma para un beta constante de -3.88 eV.

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0-1,5-1,0-0,5

-3,5-3,0

-2,5-2,0

-1,5-1,0-0,5

0

10

20

30

40

50

60

70

80

gamma

Conducta

ncia

m

icro

A/e

V

delta

Figura 4

Grafica de contorno de delta y gamma en función de la conductancia.

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5

-3,5

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

delta

ga

mm

a

0

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

80,00

Como se puede deducir a partir de las graficas (grafica 3 y 4), a medida que los parámetros delta y gamma se acercan al valor de beta (-3.88 eV) la conductancia alcanza su máximo valor que es el cuanto de conductancia (77microA/cm

2).Esto se debe a que el parámetro delta es el que produce que la

diferencia entre los niveles del TLS (de la diatomica) aumente, pero en el punto donde delta se hace igual a beta es donde se produce el mayor solapamiento entre los estados del nanocontacto de Au y los de la diatomica por tal motivo es que la conductancia se hace máxima en este punto. La grafica 6 muestra este efecto sobre los picos de la densidad de estados.

-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5

-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5

01020304050607080

gamma

CONDUCTANCIA m

icroA/eV

delta

-3,5 -3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5-3,5-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5

delta

gamma

010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,00

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El parámetro gamma es el que provoca que los niveles del TLS se dispersen, produciendo que la densidad de estados del mismo se comience a ensanchar, por ende me produce un aumento de la densidad de estados entre los dos picos de la misma y esto me ocasiona un aumento de la conductancia hasta un valor limite y luego empieza a decaer pues al seguirse ensanchando la densidad de estados, los picos de la misma comienzan a aplanarse formando una llanura lo cual provoca el decaimiento de la conductividad. Esto puede verse en la figura 5.Por otro lado analizando un poco la grafica 3 y 4 podemos ver que para un delta fijo (entre -1.0 y -2.0 electron-voltios)la conductancia aumenta al aumentar gamma hasta un punto máximo en donde apartir de alli comienza a disminuir por el efecto de que la densidad de estados se va ensanchando cada vez mas hasta llegar a ser llana. Una cuestión interesante de analizar es por que para un dado valor fijo de gamma, al ir aumentando delta la conductancia pasa por un máximo y luego comienza a disminuir. Figura 5

Aquí se puede ver como gamma afecta a la densidad de estados del sistema.

Figura 6

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

DENS

IDAD

DE

ESTA

DOS

E/eV

Al aumentar delta los picos se acercan produciendo aumento de DOS entre ellos, esto me da una idea de cuan solapados están los estados del nanocontacto de Au y la molécula diatomica

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

DENS

IDAD

DE

ESTA

DOS

E/eV

Al aumentar gamma se ensancha levantándose entre medio produciendo que aumente la DOS por ende la conductancia.

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Conclusiones

A través de la Dinámica Cuántica queda de manifiesto que podemos llegar a estudiar sistemas como el tratado en este trabajo con resultados muy buenos, simulando un hamiltoniano sencillo para tal sistema.

Queda entendido que mientras mas largas sean las cadenas de los nanocontactos, la corriente de estado estacionario presenta menor amplitud en las oscilaciones. El parámetro delta es el que me da una idea de cuan solapados están los estados del nanocontacto de Au y los de la diatomica y me produce una conductancia máxima cuando es igual a beta donde se produce el mayor solapamiento entre los estados.

El parámetro gamma me dice cuan esparcidos están los niveles del TLS, y a medida que aumenta me produce un ensanchamiento de la densidad de estados. Obtengo una conductancia máxima cuando este parámetro se hace semejante a beta.

Una de las cosas interesantes de estudiar es por que para un gamma fijo al barrer delta la conductancia pasa por un máximo y luego empieza a disminuir, esta es una de las cuestiones que quedan por saber.

En fin la conductancia del sistema llega a su máximo nivel cuando los parámetros (beta, gama y delta) son iguales. Queda demostrado en el trabajo que cuando esto ocurre la simulación arroja una conductancia de 77microA/cm

2 que coincide con el resultado experimental, por lo que la simulación del

sistema a través de la Dinámica Cuántica fue certera.

0 2 4 6 8 10 12 14-100-80-60-40-200

20406080100

corriente/microA

tiempo/fs

102ATOMOS E=1,0V