TRABAJO Y ENERGA

ENERGIA CINETICA PARA UN CUERPO RIGIDO

Trabajo realizado por fuerzas sobre un cuerpo rgido. Consideremos un sistema de fuerzas actuando sobre un cuerpo rgido, en los puntos indicados en la figura. Sea O un punto de referencia con un desplazamiento . El desplazamiento del simo punto es:

en donde es el desplazamiento angular del cuerpo rigido, y es el vector de posicin del -simo punto, con respecto al punto O, por lo tanto, el trabajo realizado por el sistema de fuerzas, es:

en donde y , tambin se puede escribir en forma escalar:

Trabajo realizado por pares sobre un cuerpo rgido. Haciendo y , donde es la suma de los pares aplicados.

Expresiones de la energa cintica para cuerpos rgidos. Consideremos un cuerpo B en movimiento. Sea una masa elemental que tiene una velocidad .

La energa cintica de esta masa es , entonces

Sea un punto arbitrario, podemos expresar la velocidad de cualquier punto como:

,

en donde es el vector de posicin de , sustituyendo esta expresin para en la expresin para ,

, desarrollando obtenemos:

Una investigacin de estos tres trminos del miembro derecho de esta ecuacin nos indica que si es el centro de masa, entonces:

y

Y si es punto fijo, entonces:

y

Por lo tanto tenemos los casos siguientes:

Caso 1. Si es el centro de masa

Caso 2. Si es un punto fijo

Caso 3. Si es cualquier punto

Expresiones alternativas. Sabemos que la energa cintica es una cantidad escalar, por tanto, podemos expresarla en diversas formas alternativas:

Y

Ahora analizaremos las expresiones de la energa cintica:

Caso 1. Si es el centro de masa Caso 2. Si o es un punto fijo

.

Energa Cintica de un Cuerpo Rgido, con diversos Movimientos.

MovimientoExpresin vectorialExpresin escalar

Traslacin

Rotacin

Movimiento plano

Movimiento alrededor de un punto fijoo

Movimiento generalo

ECUACION DEL TRABAJO Y LA ENERGIA PARA UN CUERPO RIGIDO (FORMA 1)

Caso 1. Considerando como punto base a (centro de masa)

Considerando el movimiento del centro de masa de un cuerpo rgido, tenemos:

(Translacin) (Rotacin)

Caso 2. Considerando como punto base a (un punto fijo)

FORMA ALTERNATIVA DE LA ECUACION DEL TRABAJO Y LA ENERGIA PARA UN CUERPO RIGIDO (FORMA 2)

En la seccin anterior se dedujeron las dos ecuaciones del trabajo y la energa, siguientes:

No hay restriccin en cuanto a lo que se refiere a fuerzas y momentos, de modo que estas ecuaciones pueden expresarse como:

Si el sistema est integrado por fuerzas y momentos conservativos y no conservativos, entonces:

en donde los subndices y designan no conservativo y conservativo, respectivamente.

Aplicando la definicin de energa potencial, tenemos:

Esta ecuacin, establece que el trabajo realizado por las fuerzas y momentos no conservativos es igual al cambio de la energa mecnica, que es la suma de las energas potencial y cintica.

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECANICA: ECUACION DEL TRABAJO Y LA ENERGIA PARA SISTEMAS CONSERVATIVOS (FORMA 3)

En el caso de que sobre un cuerpo rgido actu un sistema de fuerzas conservativo, la parte no conservativa de las fuerzas y momentos se anula. Por consiguiente, la ecuacin de trabajo y la energa dada por la forma 2 se simplifica a:

Esta ecuacin, establece que para un sistema conservativo, la energa mecnica se conserva.

ECUACION DE LAGRANGE PARA CUERPOS RIGIDOS (FORMA 4)

1. Tenemos la forma general:

en donde

2. Para sistemas conservativos, tenemos:

en donde,

3. Forma general alternativa:

Para sistemas conservativos

IMPULSO Y MOMENTUM

IMPULSO ANGULAR Y MOMENTUM ANGULAR

La ecuacin del momento y momentum angular, en la forma

Multiplicando por a los dos miembros de la ecuacin, e integrando

El impulso angular (miembro izquierdo) que acta sobre un sistema es igual al cambio en el momentum angular (miembro derecho) del sistema.

CONSERVACION DEL MOMENTUM AMGULAR

Si

Entonces

Establece que cuando el momento o impulso angular que acta sobre un cuerpo rgido es cero, su momentum angular se conserva.

EJERCICIOS

1. Una polea de radio y momento de inercia de lleva dos masas iguales que estn sostenidas por dos resortes, de constantes y , que estn unidos a una cuerda que cuelga de la polea, como se indica en la fig. Se supone que las masas se mueven solamente hacia arriba y hacia abajo, y que la polea puede girar libremente. Usando la ecuacin de Lagrange, deducir las ecuaciones de movimiento y hallar las frecuencias naturales del sistema.

,

2. Una cuerda se enrolla alrededor de dos discos idnticos que estn inicialmente en reposo, como se indica en la fig. Usando el principio de las conservaciones de la energa, determinar la velocidad del centro del disco que cae, como funcion de la altura de cada.

estado de reposo

Condiciones iniciales

Donde:

3. Una esfera maciza y homognea que pesa 96.6 libras, esta rgidamente unida a una varilla prismtica que pesa 32.2 libras. Es sistema est articulado en , e inicialmente en reposo, como se indica en la fig. Una bala de 0.161 libras de peso se dispara con una velocidad de , en el centro de la esfeira y queda embebida en la esfera. Determinar la velocidad angular del sistema inmediatamente despus del impacto.

4. Un avarilla delgada y uniforme AB, de longitud y peso cae bajo la accin de la gravedad, a partir de su posicin vertical de equilibrio inestable (Figura). Sus extremos A y B estn en contacto con una pared vertical lisa y una superficie horizontal lisa, respectivamente. Determinar la energa cintica de la varilla para cualquier posicin especificada por , siendo su velocidad angular.

5. Una plataforma circular horizontal tiene una de peso y un radio de giro alrededor del eje pasa por su centro . La plataforma es libre de girar sobre el eje , y est inicialmente en reposo. Un hombre que un peso comienza a correr a lo largo del borde en una trayectoria circular de radio . Si tiene un la velocidad y mantiene esta velocidad relativa a la plataforma, determinar el ngulo la velocidad de la plataforma. Ignore la friccin.

6. Una esfera de rueda sobre una superficie horizontal lisa y llega a la base de un plano inclinado de con una velocidad de . Hallar la energa cintica total de la esfera en la base del plano. Hallar la distancia recorrida sobre el plano inclinado.

(2)

(1)

En la posicin (1):

En la posicin (2):

Encontrando la distancia recorrida:

7. Se enrolla una cuerda alrededor de un cilindro macizo y homogneo de de peso segn se indica. Hallar la velocidad de su centro que cuando ha ascendido de la posicin de reposo.

(1)

(2)

En la posicin (1):

En la posicin (2):

8. Un bloque de masa M= 20Kg se halla a una altura de 5 m, est sujeto a dos cuerdas enrolladas, alrededor de dos cilindros, uno de ellos de radio igual a 0.3m y de masa m1=10Kg, y el otro de radio igual a 0.5m y de masa m2=20Kg. Si el bloque se suelta desde el reposo hallar:a). las aceleraciones angulares de cada cilindrob). las tensiones para cada cuerda.Desprecie todo tipo de rozamiento.

Para hallar la aceleracin angular (), es necesario conocer la aceleracin lineal o tangencial, as que:

Para hallar se tiene que conocer la velocidad lineal v.Por el principio de conservacin de la energa:

. ( I)Pero:

Tambin:

Reemplazando en la ecuacin ( I ).

Despejando:

Reemplazando valores se tiene que: v=7m/segAhora por cinemtica:

Despejando y reemplazando: Por lo tanto:

Finalmente se tiene de .

9. Se tiene una masa de 50 gramos que cuelga de un cilindro de radio 10cm, cuando la masa se suelta cae a una altura de 2m en 4 seg, halle el momento de inercia de la cuerda, se sugiere no considerar flexin en el cojinete.

Sea:. (1)Donde:Tension de la cuerda

. (2)

Por la cinemtica:

Reemplazando en 2:

De (1) se tiene:

10. Se tiene un cilindro de 20 Kg y de radio 0.3m y gira alrededor de un eje, en la cual se supone que los cojinetes presentan friccin despreciables. Se aplica una respectivamente una fuerza F1=20 N tangente al cilindro. Se pide determinar.a) Aceleracin angular del cilindrob) La energa cintica del cilindro en el instante despus de 3 seg .c) Cul es el trabajo realizado por F1 en un intervalo de 3seg.

a).-Se sabe que:

De donde :

Reemplazando datos se obtiene:

b).- encontramos la velocidad angular despus de 3 seg.

Reemplazando datos:

la energa cintica despus de tres segundos ser:

C).-El trabajo realizado por sera:

11.La doble polea tiene una masa de 14kg. y un radio de giro centroidal de 165mm. El cilindro A y el bloque B que estn unidos a la polea mediante una cuerda inextensible y de peso despreciable. El coeficiente cintico de friccin es 0.25. Determinar (a) la velocidad del cilindro A.

Solucin: a)

Trabajo en A:

Normal y fuerza de friccin en B:

Trabajo de la friccin en B:

Trabajo total:

Energa cintica:

Por el principio del trabajo y la energa:

Entonces la velocidad del cilindro A:

12.Con los datos del ejercicio anterior, determinar la distancia que recorre el bloque B.Solucin:

Para el bloque B y la polea C:

(

Trabajo de la friccin:

Por el principio del trabajo y la energa:

Donde la distancia total para el bloque B:

13.Una varilla delgada de longitud gira alrededor de un punto C situado a una distancia de b es el centro G, que se libera desde el reposo en posicin horizontal y oscila libremente. Determine la distancia b para cuando la velocidad angular de la varilla este en la posicin vertical mxima, los valores de esta velocidad angular y de la reaccin en C.

Solucin:Posicin 1:Elevacin:Posicin 2:

Elevacin:Por el principio de la conservacin de la energa: Valor de b para cuando es mximo:

14.Un cilindro uniforme de 24 kg de masa, se halla sometido a una fuerza de 100N como se muestra, sabiendo que el cuerpo rueda sin deslizamiento. Determinar la velocidad de su centro G cuando se ha desplazado 1.8m, la fuerza de friccin necesaria para evitar resbalones.Solucin:

Si: Entonces e la posicin 1:Posicin 2:

Trabajo: Entonces por el principio del trabajo y la energa:

Hallando la fuerza de friccin:si,

15.Una soga se envuelve alrededor de un cilindro de radio R y masa m como se muestra, sabiendo que el cilindro se libera del reposo, determinar la velocidad del centro del cilindro, cuando se ha movido hacia abajo una distancia s.Solucin:

El punto C es el centro instantneo:

Posicin 1:

Posicin 2:

Trabajo:=mgs

Por el principio del trabajo y la energa: