Dinámica de Sistemas

Charles Nicholson

Department of Applied Economics and Management, Cornell University

Un Sistema Dinámico Simple: conejos Suponer una población de 100 conejos en un

bosque La tasa de nacimientos en esta área es un

10% por mes La vida promedio de estos conejos es 18

meses En una hoja de papel, dibujar la evolución en

tiempo de la población de conejos en el bosque

La población crece exponencialmente

Poblacion de Conejos

1,000

750

500

250

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Población de conejos : Exponencial Conejo

La tasa de nacimientos > la tasa de muertes Tasas de nacimiento y de muerte

100

75

50

25

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Tasa de nacimientos : Exponencial Conejo/MesTasa de muertes : Exponencial Conejo/MesTasa neta de nacimientos : Exponencial Conejo/Mes

Tasas de nacimiento y muerte Tasa de nacimientos (conejos/mes) =

(Población)*(tasa fraccional) (Población)*(0.10)

Tasa de muertes (conejos/mes) = (Población)/(largo de vida promedio) (Población)/(18) = (Población)(0.055)

Tasa neta de nacimientos (conejos/mes) (Población)*(tasa de nacimiento – tasa de muerte) (Población)*(0.045) > 0 → crecimiento exponencial

¿Los sistemas pueden crecer para siempre? No Excepciones ostensibles hasta la fecha:

Población (disminución en crecimiento) Crecimiento económico (algunos países)

Generalmente, algún recurso es limitante Ej., disponibilidad de alimento

Existe una capacidad de carga Con base en un recurso renovable

Conejos con un limitante de alimentación Suponer que los recursos alimenticios disponibles

son suficientes para 500 conejos

Suponer los mismos valores iniciales de tasa de nacimiento y longevidad

Al incrementar la población de conejos, el alimento por conejo disminuye, lo cual Disminuye la tasa de nacimientos (en tiempo) Disminuye la vida promedio de un conejo

En una hoja de papel, dibujar la evolución en tiempo de la población de conejos en este bosque

Crecimiento sigmoide de la población

Poblacion de conejos

1,000

750

500

250

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Población de conejos : Sigmoidal ConejoRecurso renovable : Sigmoidal Conejo

El patrón poblacional depende de… Cómo responden las tasas de nacimiento y

muerte a la disminución del recurso alimenticio

Una suposición razonable es …. Tasa neta de nacimientos = 0 cuando

la población = 500 Suponer que las tasas son funciones de

La relación entre el tamaño de la población y la capacidad de carga

Tasa de nacimientos = f(población/capacidad

de carga)

Sigmoidal

Función Lookup TNF1

0.75

0.5

0.25

00 0.50 1 1.50 2

-X-

Convergen las tasas de nacimiento y muerteTasas de nacimiento y de muerte

40

30

20

10

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Tasa de nacimientos : Sigmoidal Conejo/MesTasa de muertes : Sigmoidal Conejo/MesTasa neta de nacimientos : Sigmoidal Conejo/Mes

¿Si se puede acabar el recurso? Las mismas suposiciones como en el caso previo

Población inicial, tasa de nacimientos, vida promedio Respuestas en la tasa y longevidad al recurso disponible

Tasa de uso del recurso renovable (unidades/mes) (conejos)(0.50 unidades/conejo/mes)

Tasa de renovación de recurso (unidades/mes) 25% por mes Crecimiento del recurso = (recurso)(0.25) Si la renovación > el uso, suponer recurso constante

Una población con un recurso renovable En una hoja de papel Dibujar la evolución en tiempo de la

población de conejos en este bosque Dibujar la evolución en tiempo del recurso en

este bosque

La población y el recursoPoblacion de conejos

1,000

750

500

250

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Población de conejos : Recurso variable ConejoRecurso renovable : Recurso variable Conejo

Uso del recurso y su regeneración

Uso Neto del Recurso

200

150

100

50

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Consumo del recurso : Recurso variable Unidad Recurso/MesRegeneración del recurso : Recurso variable Unidad Recurso/Mes

Tasas de nacimiento y muerte

Tasas de nacimiento y de muerte

80

40

0

-40

-80

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50Time (Month)

Tasa de nacimientos : Recurso variable Conejo/MesTasa de muertes : Recurso variable Conejo/MesTasa neta de nacimientos : Recurso variable Conejo/Mes

¿Cuál es el mensaje de este sencillo ejemplo? Muchas veces es difícil pronosticar la dinámica de

sistemas simples sin una estructura formal (modelo)

Modelos de simulación dinámicos pueden ser útiles

Estos modelos ayudan a evitar consecuencias no deseados

Es más difícil con sistemas bio-económicos complejos Ejemplo: tecnología nueva en sistemas con ganado ovino

Dinámica de sistemas

Un método dinámico de simulación Aplicable a un amplio rango de sistemas biológicos y

sociales El comportamiento se deriva de la estructura del

sistema Enfoque: factores internos del sistema No necesariamente los choques externos

Especificar la estructura para comprender el comportamiento (las respuestas) Se observa un comportamiento pasado Se pronostica un comportamiento futuro

Estructura del sistema: reservas Las reservas son acumulaciones

Pueden ser contadas en un momento dado Ejemplo: número de personas en este salón También llamado estados o niveles

Sólo cambian a través de los flujos Los flujos constituyen el único factor directo que

afecta las reservas Muchas variables pueden afectar los flujos

Estructura del sistema: flujos

Los flujos son cantidades durante un intervalo de tiempo Ejemplo: Número de personas que abandonaron

el salón en los últimos 5 minutos No pueden ser medidos en forma instantánea Tienen que ser medidos a través de algún

intervalo de tiempo Tambíen llamados tasas

Reservas y flujos del ejemplo de conejos Reservas:

Número de conejos Capacidad de carga (alimento disponible, kg)

Flujos: Tasas de nacimiento y muerte (conejos/mes) Consumo de recurso y su regeneración (kg/mes)

Representación gráfica

PoblaciónTasa de

nacimientosTasa demuertes

ReservaFlujo Flujo

Representación gráfica

PoblaciónTasa de

nacimientosTasa demuertes

ReservaFlujo Flujo

RecursorenovableTasa de

regeneración

Tasa deconsumo

ReservaFlujo Flujo

Prueba: ¿Reserva o flujo?

Cantidad Unidad¿Reserva o

flujo?

Borregos en un rebaño

Consumo de MS

Venta de animales

Mortalidad

Tamaño de finca

Prueba: ¿Reserva o flujo?

Cantidad Unidad¿Reserva o

flujo?

Borregos en un rebaño

número reserva

Consumo de MS kg/día flujo

Venta de animales

número/mes flujo

Mortalidad número/mes flujo

Tamaño de fincaha reserva

Otros elementos del sistema

¿Cuáles factores también influyen a las tasas de nacimiento o muerte?

PoblaciónTasa de

nacimientosTasa demuertes

ReservaFlujo Flujo

Otras variables queinfluye a la tasa de

nacimientos

Otras variables queinfluye a la tasa de

muertes

??

Las tasas en un modelo simple Tasa de nacimientos (conejos/mes) =

(Población)*(tasa fraccional de nacimientos) (Población)*(0.10)

Tasa de muertes (conejos/mes) = (Población)/(longevidad promedio) (Población)/(18) = (Población)(0.055)

Representación gráfica

El TFN y la LP son variables auxiliares (ni reservas, ni flujos)

El tamaño de la población también determina las tasas en este caso

PoblaciónTasa de

nacimientos

Tasa demuertes

ReservaFlujo Flujo

Reserva

Tasa fraccional denacimientos

Longevidadpromedio

Redondel o lazo de retroalimentación El tamaño de la población determina la tasa de

nacimientos (de muertes) La tasa (nacimientos, muertes) determina el tamaño

de la población Existe una causalidad de doble-vía a través del

tiempo Esto se llama retroalimentación Los modelos de DS son estructuras con reservas,

flujos y redondeles o lazos de retroalimentación La retroalimentación es vital para la comprensión

del comporamiento del sistema

Retroalimentación…

Suponer que alguién se encuentra con dos tipos de problemas que se ilustran mediante losas. ¿Solución obvia? ¿Empujar una de las losas?

…a veces causa resultados inesperados

La causalidad circular implícita en este proceso con retroalimentación demuestra que ciertas “soluciones” resultan en deterioros importantes.

Representación gráfica

Este sistema simple tiene dos redondeles. Estos operan conjuntamente para producir el comportamiento del sistema.

PoblaciónTasa demuertesTasa de

nacimientos

++-+Nacimientos Muertes

Polaridad de la relación

Para una relación específica entre elementos de la estructura ¿Es la relación positiva o negativa?

Si A aumenta, ¿qué pasa con B? Si incrementa B, la polaridad es positiva Si B disminuye, la polaridad es negativa

¿Se pueden calificar las polaridades individuales? Si aumenta la poplación, se incrementa la tasa de

nacimientos Polaridad positiva

Representación gráfica

La población incrementa la tasa de nacimientos, lo cual incrementa la población.

La población incrementa la tasa de muertes, lo cual disminuye la población.

PoblaciónTasa demuertesTasa de

nacimientos

++-+Nacimientos Muertes

Polaridad del redondel

Considerar todas las relaciones (de retroalimentación) en un redondel

¿Un aumento en cualquier variable produce un incremento adicional después de contar con todas las relaciones en el redondel? Si es afirmativo, esto constituye un redondel

positivo o redondel de refuerzo Los redondeles positivos causan crecimiento

en las reservas

Población y el redondel de nacimientos

Incrementar la población aumenta los nacimientos, lo cuál aumenta la población.

Esto constituye un redondel positivo, lo cuál causaría crecimiento en la población.

PoblaciónTasa denacimientos

++Nacimientos

¿Redondel de población y muertes?

PoblaciónTasa demuertes

+-Muertes

¿Redondel de población y muertes?

La población incrementa la tasa de muertes, lo cuál DISMINUYE la población.

Esto es un redondel NEGATIVO o de BALANCEO

PoblaciónTasa demuertes

+-Muertes

Resumen de redondeles

Redondeles positivos Incrementar una variable causa un aumento

adicional Causa el crecimiento “Redondel de refuerzo”

Redondeles negativos Incrementar una variable causa una disminución

contrarestante en la variable Causa deterioro (disminución) “Redondel de balanceo”

Práctica en redondeles

Hambre

Consumo dealimentos

??

?

Práctica en redondeles: balanceo

Hambre

Consumo dealimentos

-+

B

Práctica en redondeles

Ahorros

Interés

? ??

Práctica en redondeles: de refuerzo

Ahorros

Interés

+ +R

Modelos de DS son constituidos por una combinación de redondeles

Este modelo contiene dos nuevos redondeles negativos—esto frena el crecimiento.

PoblaciónTasa demuertesTasa de

nacimientos

Tasa f raccionalde nacimientos

Tasaf raccional de

muertesRelaciónpoblaciónrecurso++-++- ++

Nacimientos Muertes

+Efecto Rec sobre TN Efecto Rec sobre TM

En un modelo completo, ¡hay muchos!

Con más redondeles es más difícil que nuestra intuición sea correcta.

Población

RecursoRenovable

Tasa de

muer tesTasa de

nacimientos

Tasa f raccional

de nacimientosTasa

f raccional demuertesRelación

poblaciónrecurso

Regeneración

del Recur so

Consumo del

Recurso

Consumo porconejo

Tasa f raccional deregener ación++-++- +-+-++

+Nacimientos Muertes

Res Gen +Consumo Recurso

Efecto Rec sobre TN Efecto Rec sobre TM

La matemática de modelos DS Un sistema de ecuaciones diferenciales Se resuelve por integración numérica

St = ∫(ingreso-egreso) ds + S0

Ingreso = f(S, otras variables) Egreso = f(S, otras variables)

Muchos programas (software) disponibles Vensim® es bueno para propósitos de

investigación

Modelo poblacional de Vensim Un vistazo al modelo… Version gratis de Vensim PLE está disponible:

www.vensim.com/freedownload.html

Población de conejos en el bosque

0

100

200

300

Núm

ero

de c

onej

os

0 12 24 36 48

Mes