DINMICA DE UN SISTEMA DE PARTCULAS

Gua N 5

Del estudiante

Modalidad a distancia

Modulo

FSICA 1 PARA INGENIERA DE SISTEMAS

II SEMESTRE

BIENVENIDA

Preguntas Generadoras

Pregunta esencial

Cmo entender la dinmica de un sistema de partculas?

DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas

Telfono 435 29 52 CEL. 310 768 90 67

E-mail leav70@gmail.com

http://guias-uniminuto.wikispaces.com

Lugar Madrid Cundinamarca

Corporacin Universitaria Minuto de Dios Rectora Cundinamarca

Preguntas de unidad

En qu se sustenta la dinmica de un sistema de partculas?

Cmo entender la rotacin, el equilibrio esttico y el momento angular de cuerpos rgidos?

Preguntas de contenido

1. Qu es el centro de masa de un sistema de partculas? 2. Cmo se determina el centro de masas de un sistema de partculas? 3. Cmo opera la segunda ley de Newton para un sistema de partculas? 4. Explique en que consiste el momento lineal. Qu es el principio de

conservacin del momento?, cmo funciona la conservacin del momento en; en un sistema de fuerzas externas, en sistemas aislados?

5. Cmo es la energa de un sistema de partculas? 6. Qu es impulso? Cmo se calcula la fuerza media? 7. En que consiste la dinmica de la rotacin de un cuerpo rgido? 8. Cmo se calcula el momento de inercia de un solido rgido? 9. Qu es un par de fuerzas? 10. Explique el principio de conservacin del momento angular.

Contenidos

TEMA 4. Dinmica de un sistema de partculas. - Centro de masas. Determinacin del centro de masas en un sistema de partculas. Dinmica del centro de masas (segunda ley de Newton para un sistema de partculas). - Conservacin del momento lineal. Momento lineal. Variacin del momento lineal de un sistema con las fuerzas externas. Conservacin del momento lineal en sistemas aislados. Energa de un sistema de partculas. Impulso y fuerza media. - Colisiones. Colisiones perfectamente elsticas e inelsticas. Desintegraciones. TEMA 5. Rotacin, equilibrio esttico y momento angular.

- Dinmica de la rotacin de un cuerpo rgido. Momento de inercia de un slido rgido. Teorema de Steiner. Momento de inercia de un sistema de partculas discretas. Energa cintica de la rotacin. Momento de una fuerza. Segunda ley de Newton en la rotacin. Par de fuerzas. - Equilibrio esttico. Condiciones del equilibrio esttico. - Conservacin del momento angular. Momento angular de una partcula que se mueve y de un slido rgido que gira. Variacin del momento angular de un sistema con el momento las fuerzas externas. Conservacin del momento angular.

Marco Terico

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partcula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p = mv

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definicin de fuerza, cuando la masa de la partcula es constante.

Despejando dp en la definicin de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variacin de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Para el movimiento en una dimensin, cuando una partcula se mueve bajo la accin de una fuerza F, la integral es el rea sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

En muchas situaciones fsicas se emplea la aproximacin del impulso. En esta aproximacin, se supone que una de las fuerzas que actan sobre la partcula es muy grande pero de muy corta duracin. Esta aproximacin es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisin es muy pequeo, del orden de centsimas o milsimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximacin del impulso. Cuando se utiliza esta aproximacin es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y despus de la colisin, respectivamente.

Dinmica de un sistema de partculas

Sea un sistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partcula 2, F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partcula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partculas se cumple que la razn de la variacin del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada, es decir, el movimiento de cada partcula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actan sobre dicha partcula.

Sumando miembro a miembro y teniendo en cuenta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las

fuerzas exteriores que actan sobre el sistema de partculas. El movimiento del sistema de partculas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

Conservacin del momento lineal de un sistema de partculas

Considrese dos partculas que pueden interactuar entre s pero que estn aisladas de los alrededores. Las partculas se mueven bajo su interaccin mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema.

La partcula 1 se mueve bajo la accin de la fuerza F12

que ejerce la partcula 2. La partcula 2 se mueve bajo

la accin de la fuerza F21 que ejerce la partcula 1. La

tercera ley de Newton o Principio de Accin y Reaccin

establece que ambas fuerzas tendrn que ser iguales y

de signo contrario.

F12 +F21 =0

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partculas

El principio de conservacin del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partculas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actan fuerzas exteriores sobre las partculas del sistema. El principio de conservacin del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interaccin entre las partculas del sistema aislado

m1u1+m2u2=m1v1+m2v2

Donde u1 y u2 son las velocidades iniciales de las partculas 1 y 2 y v1 y v2 las velocidades finales de dichas partculas.

Colisiones

Se emplea el trmino de colisin para representar la situacin en la que dos o ms partculas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisin son mucho ms grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energa cintica no se conserva debido a que parte de la energa cintica se transforma en energa trmica y en energa potencial elstica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisin.

Se define colisin inelstica como la colisin en la cual no se conserva la energa cintica. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos despus del choque se dice que la colisin es perfectamente inelstica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisin elstica la energa cintica se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elsticas. A nivel atmico las colisiones pueden ser perfectamente elsticas.

La magnitud Q es la diferencia entre las energas cinticas despus y antes de la colisin. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elsticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energa cintica como resultado de la deformacin, o puede ser mayor que cero, si la energa cintica de las partculas despus de la colisin es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosin de una granada o en la desintegracin radiactiva, parte de la energa qumica o energa nuclear se convierte en energa cintica de los productos.

Coeficiente de restitucin

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisin frontal de dos esferas slidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades despus del choque estn relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresin

donde e es el coeficiente de restitucin y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relacin fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elstico y el valor de cero para un choque perfectamente inelstico.

El coeficiente de restitucin es la razn entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partculas.

El centro de masa.

El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente til para describir las colisiones comparado con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en prximas pginas.

Movimiento del Centro de Masas

En la figura, tenemos dos partculas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posicin del centro de masas del sistema de dos partculas estar cerca de la masa mayor.

En general, la posicin rcm del centro de masa de un sistema de N partculas es

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partculas.

De la dinmica de un sistema de partculas tenemos que

El centro de masas de un sistema de partculas se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema bajo la accin de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado Fext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante vcm=cte.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partculas

La velocidad de la partcula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partcula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partculas se mueven en direcciones opuestas.

Momento lineal

Podemos comprobar fcilmente que el momento lineal de la partcula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partcula 2 respecto del sistema-C

p1cm=m1v1cm p2cm=m2v2cm p1cm=-p2cm

Energa cintica

La relacin entre las energas cinticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fcil de obtener

El primer trmino, es la energa cintica relativa al centro de masas. El segundo trmino, es la energa cintica de una partcula cuya masa sea igual a la del sistema movindose con la velocidad del centro de masa. A este ltimo trmino, se le denomina energa cintica de traslacin del sistema.

En un sistema de partculas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

el movimiento de traslacin con la velocidad del centro de masa

el movimiento interno relativo al centro de masas.

En las siguientes pginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripcin del movimiento de un sistema de dos partculas que interactan a travs de un muelle elstico.

Energa de un sistema de partculas

Supongamos que la partcula de masa m1 se desplaza dr1, y que la partcula de masa

m2 se desplaza dr2, como consecuencia de las fuerzas que actan sobre cada una de

las partculas.

El trabajo realizado por la resultante de las

fuerzas que actan sobre la primera partcula es

igual al producto escalar

(F1+F12)dr1

Del mismo modo, el trabajo realizado por la

resultante de las fuerzas que actan sobre la

partcula de masa m2 ser

(F2+F21)dr2

Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre

una partcula modifica la energa cintica de la partcula, es decir, la diferencia entre la

energa cintica final y la inicial.

Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo de

las fuerzas exteriores ms el trabajo de las fuerza interiores o de interaccin mutua. Se

tiene en cuenta que las fuerzas interiores F12=-F21 son iguales y de sentido contrario

Las fuerzas interiores F12 y F21 realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento

relativo de la partcula 1 respecto de la 2, ya que dr1-dr2=d(r1-r2)=dr12

Normalmente, la fuerza F12 es conservativa (es de tipo gravitatorio, elctrico, muelle

elstico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la

energa potencial inicial y final.

Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma

Tendremos

Entre parntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energa cintica de las

dos partculas que forman el sistema y de la energa potencial que describe la

interaccin entre las dos partculas. A esta cantidad la denominamos energa U del

sistema de partculas.

Wext=Uf-Ui

El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energa del sistema

de partculas en el estado final y la energa del sistema de partculas en el estado

inicial.

Para un sistema de dos partculas, hay una sola interaccin de la partcula 1 con la 2

descrita por la fuerza interna conservativa F12 o por la energa potencial Ep12. La

energa del sistema U se escribe

Para un sistema formado por tres partculas hay tres

interacciones, de la partcula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2

con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F12,

F23, F13 o por sus correspondientes energas potenciales. La

energa del sistema es

Sistema aislado

Para un sistema aislado, Fext=0, el trabajo Wext de las fuerzas exteriores es cero, la

energa U del sistema de partculas se mantiene constante. Para un sistema de dos

partculas cuya interaccin mutua est descrita por la energa potencial Ep12.

La fuerza exterior Fext es conservativa

El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energa potencial inicial y la final

Wext=Epi-Epf

Tenemos por tanto que Ui + Epi =Uf +Epf = cte

Para un sistema de dos partculas bajo la accin de la fuerza conservativa peso, la conservacin de la energa se escribir

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm

MOMENTO ANGULAR Y EQUILIBRIO ESTTICO DE RGIDOS

1. Movimiento de rotacin y traslacin combinados- Consideramos un movimiento

compuesto por una traslacin y una rotacin en la que: 1) el eje de rotacin pasa por el

centro de masa (CM), y 2) el eje tiene siempre la misma direccin en el espacio (el eje

se mueve paralelamente, como el eje de una rueda) .

Con estas consideraciones sigue siendo vlida la ecuacin OOI (1)

En estas condiciones, la energa cintica de un cuerpo arbitrario de masa M, puede

expresarse como la suma de dos trminos independientes de traslacin y rotacin

K = KT + Krot = 22

2

1

2

1CMCM IMv (2)

2. Rodamiento sin deslizamiento (rodamiento

puro)- El objeto rueda por una superficie de modo tal

que no existe movimiento relativo entre el objeto y la

superficie en el punto instantneo de contacto

(centro instantneo de rotacin).

Si un cilindro de radio R gira un ngulo , su centro

de masa se mueve una distancia s = , por tanto

vCM = dt

ds=

dt

dR = R vCM = R (3)

aCM = dt

dvCM = dt

dR = R aCM = R (4)

Estos resultados se

aplican slo al caso

de rodamiento sin

deslizamiento.

La friccin entre la superficie y el objeto es la que permite el rodar sin deslizar. En este caso, la fuerza de

friccin (esttica) no realiza trabajo y por lo tanto no disipa energa (se llaman fuerzas de potencia nula).

Se puede visualizar como la superposicin de una traslacin (todos los puntos se

mueven a la misma v = vCM) y una rotacin de velocidad angular = v/R.

Sigue siendo vlida la expresin para la energa cintica (aunque ahora y vCM no son

independientes), y B es el centro instantneo de rotacin (hay slo rotacin pura, y

adems IB = ICM + MR2).

K = KT + Krot = 22

2

1

2

1CMCM IMv (5)

Si consideramos el punto de contacto B, que es un eje instantneo de rotacin por lo

que el movimiento slo es una rotacin en torno a este punto:

K = 22

1BI =

2

2

2

1

R

vMRI CMCM =

2

2

2

2

1

R

vMR

R

vI CMCMCM =

22

2

1

2

1CMCM IMv

(igual que (5))

3. Momento angular o mpetu angular (L)- Dada una

partcula de masa m y cantidad de movimiento p en una

posicin r respecto al origen O de un marco de referencia

inercial, se define el momento angular o mpetu

angular (L) de la partcula respecto al origen O a:

L = r p = m r v (6)

El mdulo de L es L = r p sen

Derivando la (6) respecto al tiempo, se llega a:

L

dt

d (8)

es decir que la torca neta que acta sobre una partcula es igual a la derivada respecto

al tiempo del momento angular.

Esta expresin (8) se puede extender para un sistema de partculas, teniendo en

cuenta que L del sistema es igual a la suma de los momentos angulares de cada una

de las partculas y que el torque a considerar es el torque externo neto:

extdt

d

L = I (9)

Esta ecuacin es vlida cuando se toma con respecto a un punto fijo en un marco de

referencia inercial o con respecto al centro de masa.

Si consideramos un cuerpo rgido, simtrico respecto al eje de rotacin (cada

elemento de masa del cuerpo tiene un elemento de masa idntico diametralmente

opuesto al primer elemento y a la misma distancia del eje de rotacin), entonces L y

son paralelos y se relacionan:

L = I (10)

Si L representa a la componente del vector del momento angular a lo largo del eje de

rotacin (por ejemplo Lz), la ec. 10 se cumple para cualquier cuerpo rgido, sea

simtrico o no. La ecuacin 10 no siempre es vlida, pues si el rgido gira alrededor de

un eje arbitrario, L y pueden apuntar en direcciones diferentes, y en este caso el

momento de inercia I no puede tratarse como un simple escalar. Estrictamente esta

ecuacin se aplica a cuerpos rgidos de cualquier forma que giran en torno de uno de

los tres ejes mutuamente perpendiculares (ejes principales de inercia) que pasan por

el centro de masa.

Si no acta ningn torque externo neto sobre el sistema, entonces a partir de (9) el

momento angular no cambia con el tiempo:

0dt

dL Linicial = Lfinal (11)

Esta ltima ecuacin representa la formulacin matemtica del principio de

conservacin del momento angular: cuando el torque externo neto que acta sobre

un sistema es cero, el momento angular L total del sistema permanece constante.

Si el sistema es un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo, como el eje z, podemos

escribir Lz = , donde Lz es la componente de L a lo largo del eje de rotacin e I es el

momento de inercia en torno a este eje. En este caso podemos expresar la

conservacin del momento angular como

Ii i = If f (12)

Expresin que es vlida para rotaciones ya sea alrededor de un eje fijo o de un eje

que pasa por el centro de masa del sistema, siempre y cuando el eje permanezca

paralelo a s mismo.

4.- Equilibrio de rgidos- Las condiciones necesarias y suficientes para que un rgido

est en equilibrio son:

1) extF = 0 (13) (equilibrio traslacional)

2) ext = 0 (respecto a cualquier punto) (14) (equilibrio rotacional)

http://www.google.com.co/search?hl=es&source=hp&q=rotaci%C3%B3n%2C+equilibri

o+estatico+y+momento+angular&aq=f&aqi=&aql=&oq=&gs_rfai=

Notas:

[1]Ms adelante, en termodinmica, el concepto de partcula libre se tratar como

equivalente a sistema aislado.

[2]A la magnitud del momentum se la denomina 'cantidad de movimiento'.

[3]Suponiendo que conocemos la fuerza que acta sobre la partcula en funcin de la

posicin.

[4]O cuando experimentamos el deseo de ver a alguien, de comprar un objeto, de realizar una tarea, de huir de una situacin, etc. En general, desde la perspectiva de la experiencia humana, las fuerzas a las que estamos sometidos son experimentadas

como emociones, deseos, sentimientos, etc.

[5]Un ser vivo puede considerarse como un sistema material que interacta mecnica y electromagnticamente con su entorno, bajo un campo de interaccin gravitatorio. Dichas interacciones mecnicas y electromagnticas son enormemente complejas, hasta el punto que no tiene ningn sentido tratar de determinarlas. Pero, en ningn caso, deberamos olvidar la naturaleza estrictamente fsica de todo nuestro

comportamiento.

METODOLOGA

El estudiante consulta la gua, extrae las ideas y ecuaciones necesarias para resolver los problemas planteados en el taller, dedicndole unas 8 horas por lo menos en auto aprendizaje pues el modelo de educacin a distancia lo exige, en la tutora del 28 de agosto de 2010 se socializar la gua, se aclararn las dudas e inquietudes y finalmente se le dar importancia primordial a la autonoma para desarrollar e ir

preparando un portafolio que ser socializado al final del modulo.

EVALUACIN

Como queda consignado en el acuerdo esta gua ser evaluada mediante una prueba escrita personal el 4 de septiembre junto con la gua N 2, y 3 tendrn un valor parcial de 30%, a la nota final se les adicionara entre 1 y 5 puntos que los estudiantes hayan podido acumular, en la eventualidad de que un estudiante o un grupo de ellos desarrolle un proyecto de investigacin esta nota parcial puede reemplazarse por la calificacin obtenida en el proyecto.

Los estudiantes resolvern las preguntas temticas, las de unidad y la pregunta

esencial, plantearn ejemplos y consignaran los resultados en el portafolio.

Bibliografa

Las Pginas relacionadas a continuacin fueron consultadas y de ellas se extrajeron el marco terico y los problemas prepuestos en el taller. Se recomienda visitar estas y

profundizar en los contenidos.

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_dinamica.php

http://materias.fi.uba.ar/6211/Mecanica%20rac%2008-

10%20Dinamica%20rotacion%20-%20cuerpo%20rigido.htm Dinmica de la rotacin

de un cuerpo rgido

P.A. TIPLER, Fsica (Volumen 1 y 2). Editorial Revert, Barcelona. (Cualquier edicin) R.A. SERWAY y J. W. JEWETT, Jr, Fsica (Volumen 1 y 2). Editorial Thomson, Madrid.

(Cualquier edicin) W.E. GETTYS , F.J. KELLER y M.J. SKOVE, Fsica para ciencias e ingeniera

(Segunda Edicin, Tomo I y II). Editorial McGraw-Hill, Mxico, 2005. (Cualquier otra edicin es perfectamente vlida) Atencin: las cuestiones, ejercicios y

problemas planteados al final de cada captulo no tienen solucin dada. W.E. GETTYS , F.J. KELLER y M.J. SKOVE, Fsica clsica y moderna (Tomo I y II).

Editorial McGraw-Hill, Mxico. (Cualquier edicin)