DINAMICA ROTACIONAL MOVIMIENTO CIRCULAR · MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ... UNIFORMEMENTE VARIADO...

UNIDAD 1 DINAMICA ROTACIONAL _____________________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________ Física III MSc. Franklin Molina.

1

DINAMICA ROTACIONAL

MOVIMIENTO CIRCULAR

Es el movimiento cuya trayectoria es una circunferencia. Cuando un objeto gira alrededor de un eje su trayectoria forma una circunferencia o parte de ella. De igual manera se da este tipo de trayectoria cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje. Se considera movimiento circular a:

1. Una piedra, sostenida por una cuerda girando

en un plano vertical, como la rueda moscovita.

2. Una partícula A gira alrededor del eje de giro

como el carrusel.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR.

1. Radio vector ( R ). Es un vector que tiene su origen en el centro de giro y su extremo final en la posición donde se encuentra el objeto moviéndose en forma circular. El módulo del radio vector nos indica la longitud de este, que constituye el radio de la circunferencia que se forma cuando el objeto describe el movimiento circular.

2. Longitud de arco ( S ) Constituye la longitud de arco recorrida por un objeto en determinado tiempo. esta dado por: y

P S R

θ x O

S = θ. R . θ : ángulo ( rad ) R : radio ( m ) S : longitud del arco

3. Posición angular. ( θ )

Es el ángulo que se forma entre el eje de referencia x y el vector posición ( P )de un objeto. En el movimiento circular el ángulo θ tiene como unidades de acuerdo al SI al radian (rad), razón por la cual debemos recordar la equivalencia: 180º = π rad Dimensionalmente: θ = [ 1 ]

4. Desplazamiento angular (Δθ) Es la variación de posición angular que un objeto puede experimentar durante el movimiento. Generalmente el desplazamiento angular se lo realiza en sentido anti horario.. y

Δθ P0

Pf θf

θo x O

La ecuación es : Δθ = θf - θ0

Las unidades: Δθ = [ rad ]

La dimensión: Δθ = [ 1 ]

5. Velocidad angular. ( ωm ) Es la razón que se da entre el desplazamiento angular descrito por el cuerpo al girar y el tiempo empleado para efectuarlo. ωm = Δθ ; ωm = θf - θo

Δt tf - to Las unidades en el sistema internacional son: ωm = rad

s



2

Dimensionalmente está dado por: ωm = [ 1 / T ] = [ T

-1 ]

Generalmente la velocidad angular también esta expresada en :

Revoluciones Por Minuto:

r.p.m = R.P.M = rev min Revoluciones Por Segundo

r.p.s = R.P.S = rev s La equivalencia es: 1 rev = 1 vuelta = 2πrad = 360º A la velocidad también se la conoce como: ¨Frecuencia Angular ¨

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ( M.C.U.)

Es el movimiento circular en el cual un cuerpo recorre desplazamientos angulares iguales en intervalos de tiempos iguales, es decir se mueve con una velocidad angular ω constante. CARACTERISTICAS DEL M.C.U.

1. En tiempos iguales recorren longitudes de arcos iguales y se barren ángulos centrales iguales.

ω = Δθ ; ω = cte. t

2. El desplazamiento angular está dado por:

Δθ = ω . t ; Δθ = θf - θo La posición angular final es: θf - θo = ω . t θf = θo + ω . t

3. Velocidad Tangencial o Lineal. ( v ) Es el arco recorrido en la unidad de tiempo, se representa por un vector que es tangente a la circunferencia en el punto donde se encuentra el cuerpo girando.

v = S ; S = θ.R

t v = θ.R ; v = ω.R

t Las unidades son: v = m ; km s h

Dimensionalmente: v = [ L / T ] = [ L.T-1

]

4. Periodo. ( T ) Es el tiempo empleado por el objeto en dar una vuelta completa. T = tiempo total

Nº de vueltas

Si el cuerpo recorre una circunferencia completa, el t = T se tiene: Δθ = 2π rad por tanto: ω = Δθ ; t = Δθ

t ω T = 2π rad ; ω = 2π rad

ω T

v = ω.R ; v = 2 π R T

Las unidades del periodo son : T = s La dimensión es: T = [ T ]

5. Frecuencia. ( f ) Es el número de vueltas o revoluciones que da el cuerpo en la unidad de tiempo. f = Nº de vueltas

tiempo total



3

f = 1 , f = ω . ; ω = 2 π f T 2 π rad La unidad es: f = 1/s = s

-1 = hertz (hz)

6. Aceleración centrípeta ( ac ) En el M.C.U. la aceleración en la dirección tangencial de la velocidad no existe, razón por la cual para que el cuerpo siga en movimiento aparece la aceleración centrípeta, que tiene la dirección del radio y está dirigida hacia el centro.

y

v ac R

θ x O

𝑎 = ∆𝑉

∆𝑡 =

𝑉2 − 𝑉2

∆𝑡

Por semejanza de triángulos se puede afirmar que: ∆𝑉

𝑉=

𝑠

𝑅 se sabe que s = V. Δt

∆𝑉

𝑉=

𝑉.∆𝑡

𝑅 entonces

∆𝑉

∆𝑡=

𝑉2

𝑅

Por lo tanto: ac = v

2 ;

R Como: V = ω. R entonces:

ac = (ω . R )

2 entonces se tiene:

R ac = ω

2 .R

Se tiene que: ac = v

2 ;

R También se tienen: ac = ω.v , ac = 4π

2R

T2

Se deja la deducción como actividad del estudiante.

La dirección de la aceleración centrípeta es perpendicular a la velocidad del movimiento. y opuesta a la del radio. uac = - ur

Las unidades son: ac = m/s

2

Las dimensiones son: ac = [L. T

2 ]

7. Para relacionar los parámetros lineales

con los angulares se utiliza las siguientes ecuaciones: Para la distancia: d = R. Δθ Para la rapidez : v = R. ω

EJERCICIOS RESUELTOS. 1. Reducir 4,5 rev a grados y radianes.

4,5 rev 2π rad = 28,27 rad. 1 rev 28,27 rad 180º = 1 619,75º π rad 2. Transformar 300 rpm a rad /s

300 rpm = 300 rev 2π rad 1 min = 31,42 rad min 1 rev 60s s 3. Transformar 6 vueltas a rad y grados

6 vueltas 2π rad = 37,70 rad 1 vuelta

6 vueltas 360º = 37,70 rad 1 vuelta 4. Transformar 10 rps a rad /s

10 rps = 10 rev 2π rad = 62,83 rad s 1rev s



4

5. Transformar 16,6 rad /s a rpm

16,6 rad 1 rev 60 s = 158,51 rpm s 2π rad min 6. Transformar 100º a rad

100º π rad = 1,75 rad 180º 7. Un disco gira a razón de 45 rpm. si el radio es

de 20 cm. Calcular la rapidez tangencial de los puntos de la periferia.

v Se sabe que: ω = 45 rpm = 4,71 rad/s

v R R = 20 cm = 0,20m Como es un M.C.U tenemos: v = ω.R , v = 4,71 rad/s . 0,20 m ; v = 0,94 m/s 8. Calcular la rapidez tangencial de un punto del

Ecuador de la Tierra. El radio terrestre es de 6 370 km.

Se sabe que: R = 6 370 km ω = 1 vuelta 2π rad 1 día = 0,26 rad/h día 1 vuelta 24 h ω=7,22x10

-5 rad/s (velocidad angular de la Tierra)

Para encontrar la rapidez tangencial utilizamos: v = ω.R; v = 0,26 rad/h .6 370 km ;v=1656,20 km/h v = 460,06 m/s 9. Un disco CD-ROM gira a 3000 rpm. Cuál es la

velocidad angular en rad/s. ω = 3 000 rpm 3 000 rev 2 π rad 1 min = 314,16 rad/s

min 1 rev 60s ω = 314,16 rad /s

10. Un satélite se mueve con velocidad constante en una órbita circular alrededor del centro de la Tierra y cerca de la superficie de la Tierra. Si su aceleración centrípeta es 9,8 m/s

2.

Calcular: a) La velocidad lineal o tangencial. b) El tiempo en dar una vuelta completa

alrededor de la Tierra. c) La velocidad angular del satélite

Sabemos que : R = 6370 km = 6 370 000 m ac = g = 9,8 m/s

2

a) De la ecuación de la ac despejamos v

_____ ______ ac = v

2 ; v = √ ac .R ; v = √ g .R

R ____________________ v = √ 9,8 m/s

2 . 6 370 000 m

v = 7 901,01 m/s

b) T = 2 π R ; T = 2 π ( 6 370 000 m)

v 7 901,01 m/s T = 5 065 , 67 s; T = 84,43 min.

c) ω = 2 π rad ; ω = 2 π rad . ; T 5 065,67 s ω = 1,24 x 10

-03 rad /s

11. En una feria, la rueda moscovita de 15 m de

radio da 3 vueltas por minuto. Si un niño se encuentra en la canastilla, determinar: a) La frecuencia del movimiento b) El periodo del movimiento. c) La velocidad angular del niño. d) Velocidad lineal del niño e) Aceleración centrípeta del niño. f) La distancia recorrida en 4s Se sabe que: R = 15m n = 3 vueltas t = 1 min = 60 s a) La frecuencia está dada por: f = n ; f = 3 v , f = 0,05 s

-1

t 60s b) El período es: T = t ; T = 60 s ; T = 20 s n 3 v c) La velocidad angular del niño es: ω = 2π rad ; ω = 2 π rad ; ω = 0,31 rad/s T 20s



5

d) La velocidad del niños es: v = 2 π R ; v = 2 π 15m ; v = 4,71 m/s T 20s e) La aceleración centrípeta del niños es:

ac = v

2 ; ac = ( 4,71 m/s )

2 ; ac = 1,48 m/s

2

R 15 m

f) Para determinar la distancia necesitamos encontrar el desplazamiento angular:

ω = Δθ ; Δθ = ω . Δt

Δt

Δθ = 0,31 rad/s . 4s ; Δθ = 1,24 rad.

d = Δθ .R ; d =1,24rad.15m ; d = 18,60 m

TAREA

1. Reducir 18 rev a grados y radianes. 2. Transformar 462 rpm a rad /s 3. Transformar 15 vueltas a rad y grados 4. Transformar 80 rps a rad /s 5. Transformar 23,8 rad /s a rpm 6. Transformar 235º a rad 7. Un ciclista en una pista circular de 160 m

de radio da 10 vueltas cada 4 minutos. Determinar:

a) La frecuencia del movimiento b) El periodo del movimiento. c) La velocidad angular del ciclista. d) Velocidad lineal del ciclista e) Aceleración centrípeta del ciclista.

8. La distancia recorrida en 10s 9. Reducir 22 rev a grados y radianes. 10. Transformar 238 rad a grados 11. Transformar 120 rpm a rad /s 12. Transformar 6 vueltas a rad y grados 13. Transformar 200 rps a rad /s 14. Transformar 324,8 rad /s a rpm 15. Transformar 689 235º a rad y rev 16. Un motociclista tiene una trayectoria

circular de 170 m de radio con una velocidad de 120 km/h. Calcular: a) La aceleración centrípeta. b) La velocidad angular c) El período del movimiento.

17. La hélice de un avión da 3 260 vueltas en

30 min. Determinar: a) El período. b) La frecuencia. c) La velocidad angular. d) La velocidad tangencial e) La aceleración centrípeta.

18. Calcular el período, la frecuencia y la

velocidad angular de cada una de las manecillas del reloj

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

(MCUV) Es el movimiento circular en el cual un cuerpo varia constantemente su velocidad angular en un tiempo determinado. CARACTERISTICAS DEL M.C.U.V.

1. Aceleración Angular: Esta variación de la velocidad angular en función del tiempo recibe el nombre de aceleración angular y es constante.

α = Δ ω = cte

Δ t Δω = α . Δ t ωf - ωo = α . Δ t ωf = ωo + α . Δ t

2. La deducción de las ecuaciones del M.C.U.V es similar a las del M.R.U.V. y tenemos:

ωf = ωo + α . Δ t Δθ = ωo t + ½ α t

2

ωm = ωo + ωf 2

Δθ = ωm t ωf

2 = ωo

2 + 2 α Δ θ

3. En el M.C.U.V el vector velocidad varía

continuamente en módulo, dirección y sentido, lo que produce que la aceleración tenga componente tangencial y centrípeta perpendiculares entre ellas.

4. Aceleración tangencial ( at )

Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el cambio de valor que experimenta la velocidad tangencial en la unidad de tiempo. es un vector tangente a la trayectoria y su sentido es el mismo que la velocidad tangencial. at vt

a ac ac

at



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Se determina que:

𝑎𝑇=

∆𝑉

𝑡

entonces: 𝑎𝑇=

𝑉𝑓 − 𝑉𝑜

𝑡

𝑎

𝑇= 𝜔𝑓.𝑅 − 𝜔𝑜.𝑅

𝑡

; 𝑎𝑇=

𝜔𝑓 − 𝜔𝑜

𝑡

𝑅

Se tiene:

at = α . R

Las unidades son: at = m/s

2

La aceleración total es igual a la suma vectorial de sus componentes es decir: a = at + ac El módulo de la aceleración total esta dado por: __________ a = √ at

2 + ac

2

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Un disco compacto gira a partir del reposo a

500 rpm en 5,5 s. Calcular: a) La aceleración angular. b) El número de revoluciones que da en 5,5s c) La distancia que recorre un punto de la

periferia del disco situado a 6 cm del centro durante los 5,5 s que tarda en alcanzar las 500 rpm.

d) La aceleración centrípeta final e) La aceleración tangencial final f) El módulo de la aceleración total final Se conoce que : ωo = 0 rad/s ωf = 500 rpm = 52,36 rad/s t = 5,5 s R = 6 cm = 0,06m a) Para determinar la aceleración aplicamos:

o ωf = ωo + α . Δ t ωf = α . Δ t ; α = ωf Δ t α = 52,36 rad/s ; α = 9,52 rad /s

2

5,5 s b) Para el desplazamiento angular

utilizamos: o

Δθ = ωo t + ½ α t2

Δθ = ½ α t

2 ; Δθ =½( 9,52 rad/s

2)( 5,5s)

2

Δθ = 143,99 rad.

Δθ = 143,99 rad 1 rev = 22,92 rev 2π rad Δθ = 22,92 rev c) La distancia recorrida es igual a :

d = R. Δθ ; d = 0,06m. 143,99 rad d = 8,64 m

d) Para la aceleración centrípeta final

necesitamos la v final.

vf = ωf .R ; vf = (52,36 rad/s ).( 0,06 m) vf = 3,14 m/s

acf = ω.v ; acf =(52,36 rad/s).( 3,14 m/s) acf = 164,49 m/s

2

e) Para la aceleración tangencial aplicamos:

at = α . R ; at = (9,52 rad /s

2)(0.06m)

at = 0,57 m/s

2

f) La aceleración total está dada por la

suma vectorial de la ac y at a = at + ac __________ a = √ at

2 + ac

2

___________________________ a = √( 0,57 m/s

2 )

2 + (164,49 m/s

2 )

2

a = 164,49 m/s

2

2. Un disco compacto es barrido por un laser

que comienza en el radio más interno, de unos 2,4 cm y se mueve hacia afuera hasta alcanzar el borde a 6 cm. A medida que el laser se mueve de este modo, la velocidad angular del disco disminuye de 500 rpm a 200 rpm, con lo cual la velocidad lineal ( tangencial ) del disco donde incide el rayo láser permanece constante, y el desplazamiento que cubre el laser es de 22,92 rev. Calcular: a) La aceleración angular del disco

compacto b) El tiempo que necesita para realizar

este barrido el laser.

Se sabe que: R1 = 2,4 cm R2 = 6 cm ωo = 500 rpm = 52,36 rad/s ωf = 200 rpm = 20,94 rad/s Δθ = 22,92 rev = 143,99 rad.



7

a) Para calcular la aceleración angular del disco aplicamos:

ωf

2 = ωo

2 + 2 α Δ θ ; α = ωf

2 - ωo

2

2 Δ θ α = ( 20,94 rad/s )

2 – (52,36 rad/s )

2

2 (143,99 rad. )

α = - 0,17 rad/s2

b) Para determinar el tiempo

necesitamos: ωf = ωo + α . Δ t Δ t = ωf - ωo ; α

Δt = 20,94 rad/s – 52,36 rad/s -0,17 rad/s

2

Δt = 184,82 s = 3,08 min

3. Un automóvil tiene llantas de 30 cm de radio. parte del reposo y acelera uniformemente hasta una rapidez de 15 m/s en un tiempo de 8s. Encontrar la aceleración angular de las llantas y el número de vueltas que da la llanta en ese tiempo. Se sabe que: R = 30 cm = 0,3 m vo = 0 m/s vf = 15 m/s t = 8 s ω0 = 0 rad/s a) Para calcular la aceleración angular

necesitamos:

at =Δ v ;at =15 m/s – 0m/s ; at = 1,88 m/s2

t 8

at = α . R ; α = at ; α = 1,88 m/s2

R 0,3 m α = 6,27 rad /s

2

b) Para el número de vueltas aplicamos:

Δθ = ωo t + ½ α t

2

Δθ = 0 + ½ (6,27 rad /s

2 )( 8s)

2

Δθ = 200,64 rad. Δθ = 200,64 rad. 1 rev 2 π rad

Δθ = 31,93 rev

4. Cuál será la aceleración resultante de una niña que se mueve en un caballo sobre un

carrusel de 2 m de diámetro, si su velocidad angular media es de 6 rad/s y su aceleración angular es de 8 rad/s

2

Se sabe que: R = 2m ωm = 6 rad /s α = 8 rad/s

2

Para determinar la aceleración total debemos determinar la aceleración tangencial y centrípeta:

Φ at = α R a at =( 8 rad/s ) ( 2m ) θ at at = 16 m/s

2

ac ac = ω

2 . R

ac = ( 6 rad/s )2( 2m)

ac = 72 m/s2

a = at + ac

__________ a = √ at

2 + ac

2

_________ a = √ 16

2 + 72

2 ; a = 73,76 m/s

2

θ = tan

-1 (at / ac )

θ = tan

-1 (16 / 72 )

θ = 12,53 º Φ = 180º - 12,53 º Φ = 167,47º a = (73,76 m/s

2 ; 167,47º )

a = ( - 72 i 16 j ) m/s

2

TAREA

1. Una turbina de un jet se acelera de 0 a

7000 rpm en 30s. Si el radio de la turbina es de 1,5 m. Determinar: a) La velocidad angular final b) La velocidad angular media c) La aceleración angular d) La rapidez media e) El desplazamiento angular. f) La distancia recorrida en el extremo de

la turbina. g) El módulo de la aceleración total final.

2. En las olimpiadas el atleta encargado del

lanzamiento del disco gira a 110 rpm incrementando su rapidez a 580 rpm en 5s antes de soltarlo. Si la longitud del brazo es de 73 cm: Determinar:

a) La aceleración angular. b) La aceleración centrípeta c) La aceleración tangencial del disco.



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d) La velocidad media e) El desplazamiento angular f) La distancia recorrida por el disco.

3. La rapidez angular de un disco decrece

uniformemente de 14 rad /s a 6 rad /s en 18 s. Calcular:

a) La aceleración angular b) El número de revoluciones que da en

este tiempo. 4. Un auto parte del reposo, iniciando una curva

de 140 m de radio y acelera constantemente a 2m/s

2. Determinar la distancia que habrá

recorrido antes de que el módulo de la aceleración total sea de 4m/s

2.

5. En un castillo de juegos pirotécnicos un silbador esta unido a un aro de 0,50m de radio, demora 2 segundos en girar un ángulo de 5,24 rad y alcanza una velocidad angular final de 30 rpm. Calcular:

a) La velocidad angular media b) La velocidad angular inicial c) La aceleración angular d) La rapidez inicial e) La distancia recorrida f) La aceleración tangencial final g) La aceleración centrípeta final h) El módulo de la aceleración total final

FUERZAS NECESARIAS PARA EL MOVIMIENTO

CIRCULAR. Como ya se analizó anteriormente el movimiento circular uniforme es aquel en el cual no existe cambio en la rapidez, sino solo en la dirección. Esta afirmación se puede verificar al hacer girar una piedra atada a un cordel, la cual al hacerla girar con una rapidez constante, la fuerza hacia el centro del movimiento producirá una tensión en la cuerda que modifica constantemente la dirección del movimiento de la piedra lo que produce una trayectoria circular. Si la cuerda se rompe , la piedra sale en dirección tangente al movimiento circular. Fuerza hacia el centro vt

LA FUERZA CENTRÍPETA.

La fuerza que se produce en la cuerda y que está dirigida hacia el centro del movimiento circular uniforme recibe el nombre de fuerza centrípeta. Al aparecer la fuerza centrípeta, también aparece la fuerza de reacción llamada fuerza centrífuga, sin embargo al momento de dibujar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo solamente debemos graficar la centrípeta ya que si dibujamos las dos estas se anularían y estaríamos analizando un MRU. Al existir un cambio de velocidad en la unidad de tiempo se genera la aceleración centrípeta ( ac ) que también tiene la misma dirección que la fuerza centrípeta ( Fc ) La aceleración centrípeta que tiene la piedra de masa m es directamente proporcional a la velocidad lineal al cuadrado e inversamente proporcional al radio de giro.

ac = v2

r

Puesto que la velocidad tangencial se relaciona con la velocidad angular por medio de vt = ω.r , se tiene:

ac = v2

r , ac =

( ω .r )2

r ; ac = ω

2 .r

Por la segunda ley de Newton del movimiento, la magnitud de esta fuerza debe ser igual al producto de la masa por la aceleración centrípeta, así: Fc = m. ac

Fc = m . v2

r

Fc = m . ω

2 .r

La fuerza centrípeta ( en busca del cetro o hacia el centro ) no pertenece a una nueva clase de fuerza, sino tan sólo es el nombre que se le da a cualquier fuerza, sea una tensión de cordel, la gravedad, fuerza eléctrica o la que sea, que se dirija hacia un centro fijo. Si el movimiento es circular y se ejecuta con rapidez constante, esta fuerza forma ángulo recto con la trayectoria del objeto en movimiento. Cuando un automóvil da vuelta una esquina, la fricción entre los neumáticos y el asfalto proporciona la fuerza centrípeta que lo mantiene en una trayectoria curva.



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Si esta fricción no es suficientemente grande ( a causa de aceite o gravilla en el pavimento, por ejemplo), el automóvil no podría tomar la curva y los neumáticos patinan hacia un lado, entonces se dice que el automóvil derrapa.

FUERZA CENTRIFUGA Aunque la fuerza centrípeta es una fuerza dirigida hacia el centro, alguien dentro de un sistema en movimiento circular parecerá experimentar una fuerza hacia afuera. Esta fuerza aparente hacia afuera se llama fuerza centrífuga ( que huye del centro o se aleja del centro ). En el marco de referencia de la Tierra giratoria, se siente una fuerza centrífuga que hace disminuir un poco nuestro peso, también sucede que tenemos la máxima rapidez tangencial cuando estamos en el ecuador, en consecuencia la fuerza centrifuga es máxima para nosotros cuando estamos en el ecuador y cero en los polos, donde no tenemos rapidez tangencial. Con este concepción podemos decir que nosotros los Ecuatorianos tenemos menos peso que los que están en otras zonas.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. En el Vulcano Park el juego llamado Pulpo lleva

pasajeros en una trayectoria circular con un radio de 7,7 m. El viaje hace una rotación completa cada 4 s. Calcular:

a) La velocidad angular de un pasajero de 50 kg debido al movimiento circular.

b) La fuerza centrípeta que experimenta el pasajero.

a) El periodo T = 4 s, podemos usarlo para

calcular la velocidad angular como:

ω = 2 π

T ; ω =

2 π rad

4 s ; ω = 1,6 rad/s

b) Como la trayectoria es circular, podemos

calcular la Fc con: ac =ω

2 r; ac =(1,6 rad/s)

2 (7,7 m); ac =19,71 m/s

2

Fc = m ac ; Fc = ( 50 kg )( 19,71 m/s

2 ) ;

Fc = 985,5 N 2. Calcular la fuerza aproximada que ejerce la

Tierra sobre la Luna si esta tiene una masa de

7,35 x 10 22

kg, el radio de la órbita lunar es de 3,84 x 10

8 m y el periodo lunar es de 27,3 días.

Si asumimos que la órbita de la Luna es circular

en relación con una Tierra estacionaria, esta fuerza viene a ser la fuerza centrípeta:

Fc = m ac ; Fc = m v2

r ; Fc = m

4 π2 r

T2

Fc = ( 7,35 x 10 22

kg) 4 π2( 3,84 x 108 m)

( 2,35 x 106 )2

Fc = 2,02 x 10

20 N

3. Imagínese una estación espacial gigantesca en

forma de rosquilla, tan alejada de todos los cuerpos celestes que se puede despreciar la fuerza de la gravedad. Para permitir a los ocupantes vivir una vida normal, la estación tiene un movimiento rotacional y los habitantes viven en la parte más alejada del centro. Si el diámetro exterior de la estación espacial es de 1,5 km. Calcular su periodo de rotación de modo que los pasajeros en la periferia puedan percibir una gravedad artificial igual a la gravedad normal en la superficie terrestre.

El peso de una persona en la Tierra está dado por:

P = m g. ; P = F ; F = m.g

La fuerza centrípeta requerida para llevar a la persona alrededor de un círculo de radio r es:

Fc = m ac ; Fc = m v2

r ; Fc = m

4 π2 r

T2

Para que la gravedad artificial sea igual a g, podemos igualar las dos ecuaciones y despejar T

m.g = m 4 π2 r

T2 ;

T = 2π √r

g ; T = 2π √

750 m

9,8 m/s2 ; T = 54,97 s

T = 0,92 min.



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TAREA 1. Una maquina centrifugadora sencilla utilizada

para separar los glóbulos del plasma sanguíneo, gira a 55 rev/s. Calcular:

a) La aceleración centrípeta en el centro del tubo de la centrifuga a 8 cm del eje de rotación.

b) La fuerza centrípeta que se ejerce sobre 5g del plasma sanguíneo.

2. Dos masa de 4 lb giran alrededor de un eje

central de 1,6 pies de radio, a una velocidad angular de 12 rev/s. Calcular:

a) La fuerza centrípeta que actúa sobre cada uno de los cuerpos.

b) La tensión de la barra.

3. Calcular la fuerza centrípeta sobre un automóvil

de 2000 kg que toma una curva de 175 m de radio a una velocidad de 50 km/h

4. Una pelota de 3 lb está atada a una cuerda y se

mueve en un círculo horizontal de 3 pies de radio. Desprecie los efectos de la gravedad, si se sabe que gira a 80 rpm. Calcular:

a) La velocidad lineal. b) La aceleración centrípeta c) La fuerza centrípeta. d) Qué pasa si la cuerda se rompe. 5. Un electrón gira en órbita alrededor del núcleo

en una trayectoria circular de 6 x 10 - 9

cm de radio. Si la masa del electrón es de 9,11x 10

-31 kg y su velocidad lineal es de

3,2 x 10 6 m/s. calcular la aceleración centrípeta

y la fuerza centrípeta.

PERALTE

ROZAMIENTO EN UNA CURVA Cuando un automóvil toma una vuelta cerrada en una carretera perfectamente horizontal, la fuerza centrípeta necesaria es desarrollada por el rozamiento entre las llantas y el pavimento. Si esta fuerza centrípeta no es la adecuada, el automóvil puede derrapar sobre la carretera. El valor máximo de la fuerza de rozamiento determina la velocidad máxima con la que el

vehículo puede tomar una curva de un radio determinado. Cuando la velocidad del automóvil es máxima se produce que la fuerza centrípeta es igual a la fuerza máxima de rozamiento estático.

Fc = fre Σ Fy = 0

m v2

r = μe N N = P

m v2

r = μe m g ; v

2 = μe g r

La velocidad máxima con la que el automóvil puede tomar la curva está dada por:

v = √µe g r

PERALTE DE CURVAS Con el objeto de no confiar en el rozamiento, las curvas se inclinan para proporcionar la fuerza centrípeta necesaria para poder girar sin salirse de las carreteras. Este ángulo de inclinación que se da a las carreteras recibe el nombre de peralte. Al peraltar una carretera para eliminar la fuerza de rozamiento, se da que la fuerza normal N ( entre el piso y las ruedas sobre las cuales se encuentran distribuidas todo el peso de vehículo ) tenga componentes horizontal y vertical.

La componente horizontal de la normal debe ser igual a la fuerza centrípeta para que pueda tomar la curva con facilidad, así se tiene: Nx = Fc Σ F = 0

N sen θ = m v2

r Ny = P



11

N cos θ = m g Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos:

tan θ = v2

r g

Esta ecuación nos permite calcular el ángulo del peralte que debe tener una carretera.

θ = tan - 1 (

v2

r g )

EL PENDULO CONICO

Un péndulo cónico está formado por una masa m colgada de un hilo de longitud L que describe un circulo horizontal con velocidad constante v. La aceleración tiene la dirección de la fuerza centrípeta. La fuerza centrípeta es proporcionada, por la componente horizontal de la tensión en el hilo. La componente vertical de la tensión es igual al peso del objeto en movimiento. Así: Tx = Fc Σ F = 0

T sen θ = m v2

r Ty = P

T cos θ = m g Dividimos la primera ecuación entre la segunda y obtenemos:

tan θ = v2

r g ; θ = tan

- 1 ( v2

r g )

Cuando se hace girar con mayor velocidad lineal al péndulo, el ángulo formado entre el hilo y la vertical también aumente, por lo tanto la posición vertical de la masa sufre una elevación. La tensión de la cuerda está dada por:

T = m g

cos Θ

La rapidez de la masa estará dada por:

v = √r g tan Θ

LA FUERZA CENTRIPETA EN LOS OBJETOS QUE GIRAN EN UNA CIRCUNFERENCIA VERTICAL.

Para cuando un objeto gira siguiendo una trayectoria circular podemos describir las fuerzas que actúan sobre este en dos puntos fundamentales: 1. En la parte superior de la trayectoria:

ΣFy = may

Fc + mg = m v1

2

r

Fc = m ( v1

2

r – g )

2. En la parte inferior de la trayectoria

ΣFy = may

Fc - mg = m v2

2

r

Fc = m ( v2

2

r + g )

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Se prueba un nuevo prototipo de neumáticos

para ver si su comportamiento cumple las previsiones. En una prueba de deslizamiento, el modelo BMW 530i fue capaz de recorrer a velocidad constante un circulo de 45,7 m de radio en 15,2 s sin patinar. Calcular:

a) La velocidad del vehículo. b) La aceleración centrípeta.

1

2



12

c) El valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático.

d) El valor del ángulo del peralte para el cual el vehículo tome la curva a la misma velocidad sin el uso de la fuerza de rozamiento.

N fr P

a) La velocidad podemos determinar con:

v = 2 π r

T ; v =

2 π (45,7 m)

15,2 s ; v = 18,90 m/s

b) La aceleración centrípeta:

ac = v2

r ; ac =

(18,90m

s)2

45,7 m ; ac = 7,81 m/s

2

c) ΣFy = 0 N – P = 0 ; N = P ; N = m . g ΣFx = m. a

-fr = m . a ; - µ N = m . a ; - µ m g = m ( − v2

r )

µ = v2

r g ; µ =

(18,9 m

s)

2

( 45,7 m)(9,81m

s2 ) ; µ = 0,796

2. El valor del ángulo del peralte se calcula con:

θ = tan - 1 (

v2

r g )

θ = tan - 1 (

( 18,90ms )

2

( 45,7 m)( 9,8m

s2) )

θ = 38,58 0

3. Una pelota B de

masa 500 g está amarrada a un extremo del cordel de 24 cm de longitud, y el otro extremo se encuentra sujeto a un punto fijo O. La pelota se mueve en un círculo horizontal.

Calcular:

a) La rapidez de la pelota en su trayectoria circular si el cordel forma un ángulo de 30

0 con

la vertical. b) La tensión de la cuerda. a) Para la velocidad utilizamos:

sen 300 =

BC

0,24 m; BC = r =(0,24 m)(sen30

0 )

r = 0,12 m

v=√r g tan Θ;

v= √(0,12m) (9,8m

s2) (tan300)

v = 0,82 m/s b) La tensión de la cuerda está dada por:

T = m g

cos Θ ; T =

( 0,5 kg)( 9,8m

s2)

cos 300 ; T = 5,65 N

3. Con que fuerza se presionará contra su asiento

un piloto de prueba de un MIC de la Fuerza Aérea Ecuatoriana , de 160 lb en la parte más baja y más alta de una vuelta de 2400 pies de radio si viaja a 280 m/s.

Sabemos que m = 160 lb; m = 72,73 kg r = 2 400 pies ; r = 731,52 m v = 280 m/s Para calcular la fuerza con la que se presiona contra el asiento utilizamos: a) Para la parte más baja:

Fc = m ( v2

r + g )

Fc = ( 73,73 kg) (

( 280m

s)2

731,52 m + 9,8 m/

s

2 )

Fc = 8 624 ,50 N b) Para la parte más alta:

Fc = m ( v2

r - g )

Fc = ( 73,73 kg) (

( 280m

s)2

731,52 m - 9,8 m/

s

2 )

Fc = 7 179,39 N



13

Si el peso del piloto es de 712,75 N podemos afirmar que en la parte más baja tiene que soportar una fuerza 12 veces mayor que su propio peso que equivale a 12 g ( 12 veces el valor de la gravedad terrestre ) y en la inferior 10 g.

TAREA

1. En un día lluvioso, el coeficiente de rozamiento

entre las llantas y el pavimento es de 0,4. Determinar: a) La velocidad máxima que podrá tomar un automóvil una curca de 80 m de radio.

b) El ángulo de peralte que será necesario para eliminar el rozamiento a una velocidad de 80 km/h.

2. Un piloto de prueba cae en picada a 200 m/s y

gira en una curva de 850 m de radio. Si el piloto tiene 65 kg . Calcular:

a) La fuerza ejercida sobre él por el asiento. b) La aceleración que siente en el punto más

bajo de la picada. c) Cuantas veces mayor que g es la

aceleración. 3. Una curva de radio 150 m tiene un peralte con

un ángulo de 10 0. Un auto de 800 kg toma la

curva a 85 km/h sin patinar. Determinar: a) La fuerza normal que actúa sobre los

neumáticos ejercidas por el pavimento. b) La fuerza de rozamiento ejercida por el

pavimento sobre los neumáticos del coche. c) El coeficiente de rozamiento estático mínimo

entre el pavimento y los neumáticos. 4. Un vehículo de 1 000 kg describe una curva

horizontal de 30 m de radio. Si µ = 0,2 . Calcular: a) La máxima velocidad en km/h que podrá tomar la curva sin derrapar si no hubiese peralte. b) El peralte de la curva para que no derrape a la velocidad de 90 km/h

5. Se suspende una bola de 0,436 kg en una

cuerda de 0,452 m de un punto fijo. La bola oscila en una trayectoria circular horizontal a 0,811 rev/s. Calcular: a) la tensión de la cuerda b) El ángulo entre la cuerda y la vertical

6 Un piloto acróbata en un aeroplano desciende

verticalmente a una velocidad de 210 km/h y voltea en forma vertical hacia arriba siguiendo una trayectoria casi semicircular con un radio de 180m. Determinar: a) Cuantas g experimenta el piloto debido sólo a su movimiento. b) El valor del factor que parece incrementar el peso del piloto en el fondo de la picada.

LEYES DE NEWTON EN LA ROTACION

DINAMICA ROTACIONAL.

La dinámica rotacional se dedica al estudio del movimiento de los cuerpos rígidos que giran o rotan sobre un eje fijo, por la acción de fuerzas externas. Se denomina Cuerpo rígido a cualquier objeto real con una forma definida que puede girar, sin deformarse, de modo que todas sus partes permanezcan a distancias constantes de un punto fijo llamado radio de giro. Al analizar la dinámica de la rotación debemos encontrar la relación entre el torque y la rotación que produce.

MOMENTO DE TORSION O TORQUE La magnitud que mide la efectividad de una fuerza para causar rotación se denomina momento de torsión o torque. Cuando mayor es la distancia

del eje de rotación ( r = brazo de palanca ) ( bisagras de las puertas ) al punto donde aplicamos la fuerza ( F ) ( manubrio de la puerta ), mayor será el torque ( ζ ).

Se lo define como el producto de la fuerza perpendicular aplicada a un objeto y el brazo de palanca:

ζ = F. r ζ = [N . m]

Cuando la fuerza aplicada no es perpendicular se lo calcula con:

ζ = F. r . sen Θ

INERCIA ROTACIONAL O MOMENTO

DE INERCIA Así como un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a permanecer moviéndose en línea recta, un objeto que gira en torno a un eje tiende a



14

permanecer girando alrededor de ese eje, a menos que interfiera alguna influencia externa. Esta propiedad que tiene el objeto para resistir cambios en su estado de movimiento giratorio se llama inercia rotacional o momento de inercia. Es decir los cuerpos que giran tienden a permanecer girando, mientras que los que no giran tienden a permanecer sin girar. En ausencia de influencias externas, un trompo giratorio sigue girando. La inercia rotacional de un objeto depende de su masa y de la distribución de la masa en relación con el eje de rotación. Es así que un grueso disco de piedra que gira bajo un torno de alfarero es muy masivo, ya que una vez que empieza a girar, tiende a permanecer girando, o cuando un equilibrista que camina por una cuerda, para ayudarse a conservar el equilibrio sostiene una pértiga larga, la que está alejando de su eje de rotación. Un cilindro macizo rueda con más rapidez al bajar un plano inclinado que un anillo, aunque las masas sean iguales o distintas, o los diámetros externos sean iguales o distintos. Un anillo tiene más inercia rotacional en relación con su masa que un cilindro. Cuando tenemos una masa (m) forzada a moverse alrededor de un punto fijo O a una distancia R está sujeta a una fuerza F. El momento de torsión resultante ζ cambia la

velocidad angular de la masa.

La aceleración tangencial que mueve la masa m se determina a partir de la 2da ley de Newton : F = m . at ; pero at = R. α al remplazar tenemos: F = m. R α ; también se conoce que ζ = F. R entonces: ζ = m. R

2. α

ζ es el torque de la fuerza respecto al eje considerado R la distancia perpendicular de la partícula al eje. La inercia rotacional de un cuerpo es una magnitud escalar y está dado por:

I = m.R

2 entonces: ζ = I. α

Cuando se tiene un sistema de n partículas, la inercia rotacional esta dado por: I = m1.r1

2 + m2.r2

2 + ……. mn.rn

2 = Σ mi.ri

2

Ecuación: I = m.r

2

Unidades: SI I = [ kg.m

2 ]

cgs I = [ g. cm

2 ]

Dimensiones: [ I ] = [M.L

2]

La inercia rotacional varía de acuerdo a la forma y el eje del radio de giro de los cuerpos, así podemos representar a los siguientes:

I = m.R

2

I = mR

2

I = ½ mR

2

I = 2/5mR

2

I = 1/3 mL

2

I = 1/12mR

2

I = 3/2 mR

2



15

EJERCICOS RESUELTOS 1. Un payaso en un espectáculo que realiza en un

circo, hace girar un bastón en forma de cruz, compuesto de cuatro masas fijas a los extremos de dos varillas ligeras. Cada varilla tiene 1 m de largo. Calcular la inercia rotacional del sistema en torno a un eje perpendicular cuando el payaso lo hace girar por el punto donde las varillas se cruzan.

La inercia calculamos con:

I = Σ mi.ri

2

I = m1.r1 2 + m2.r2

2 + m3.r3

2 + m4.r4

2

I = ( 0,20 kg)(0,50 m)

2 + ( 0,30 kg)(0,50 m)

2 +

( 0,20 kg)(0,50 m)2 + ( 0,30 kg)(0,50 m)

2

I = 0,25 kg.m

2

2. El mismo payaso ahora

hace girar el bastón en torno a 00´ . Calcular, el momento de inercia en torno a este eje.

La inercia calculamos

con: I = Σ mi.ri

2

I = m1.r1 2 + m2.r2

2 + m3.r3

2 + m4.r4

2

I = ( 0,20 kg)(0 m)2 + ( 0,30 kg)(0,50 m)

2 +

( 0,20 kg)(0 m)2 + ( 0,30 kg)(0,50 m)

2

I = 0,15 kg.m

2

3. Un zapatero está haciendo girar la piedra de

esmeril de masa 1,3 kg y radio 16 cm, está rotando con una velocidad angular de 340 rev /min, cuando el motor se apaga. Calcular la fuerza tangente a la rueda que debe aplicar el zapatero, para que se detenga después de 18 rev.

Se sabe que: r = 0,16 m; ωf = 0 rad/s

ω = 340 rev/min = 35,6 rad/s ΔΘ = 18 rev = 113,1 rad Aplicamos la ecuación: ωf

2 = ωo

2 + 2 α ΔΘ ;

α = ω2

2ΔΘ ; α =

(35,6 rad/s)2

2(113,1 rad) ,

α = 5,60 rad/s

2

La inercia de la piedra de esmeril está dado por : I = ½ m . R

2 y como ζ = I. α se tiene

F.r = ½ m r

2 α ;

F = ½ m r α F = ½ ( 1,3 kg)(0,16 m)( 5,60 rad/s

2 )

F = 0,58 N 4. Un jugador de béisbol que afloja el brazo antes

de un juego lanza una pelota de 0,15 kg empleando sólo la rotación de su antebrazo para acelerar la pelota. La pelota parte del reposo y es lanzada con una rapidez de 30 m/s en 0,3 s. Calcular:

a) La aceleración angular constante del brazo y la pelota.

b) La inercia rotacional de la pelota

c) El momento de torsión que se le aplica a la pelota.

a) Ya que ωo = 0 rad/s y ωf = ωo + α t

r = 0,35m

La aceleración angular está dada por: α = ω

t

También se conoce que : v = r . ω

α = v

r t ; α =

30 m/s

(0,35 m)(0,3 s) ; α= 286 rad/s

2

b) La inercia de la pelota en torno a un eje que

pasa por el codo y es perpendicular al brazo es:

I = m.r2; I=(0,15 kg)( 0,35 m)

2 ; I= 0,0184 kg.m

2

c) El momento de torsión es: ζ = I. α ; ζ = ( 0,0184 kg.m

2 )(286 rad/s

2)

ζ = 5,26 N.m

5. En una bicicleta estática para realizar ejercicios

sin desplazarse, la cadena aplica al piñón una fuerza de 18 N a una distancia de rp = 0,07 m del eje de la rueda. La inercia rotacional de la rueda esta dado por I = m.r

2

de radio 0,35 m y masa 2,4 kg. Calcular la velocidad lineal al cabo de 5 s.



16

Sabemos que ωo = 0 rad/s y ωf = ωo + α t

ωf = α t ; I = m r2

ζ = I. α y ζ = F . rp Igualamos las dos ecuaciones y remplazamos

I: I. α = F . rp ; m r

2 α = F . rp

Despejamos α :

α = F .rp

m r2 ; α = ( 18 N) ( 0,07 m)

( 2,4 kg)( 0,35 m)2 ;

α = 4,29 rad/s

2

ωf = α t ; ωf = ( 4,29 rad/s

2 ) (. 5s )

ωf = 21,43 rad/s La velocidad lineal esta dado por: v = r . ωf ; v = (0,35 m ) ( 21,43 rad/s ) v = 7,50 m/s

TAREA 1. Una rueda cuyo momento de inercia es de

32 kg . m2

se somete a un momento de torsión de 12 N.m. Si la rueda esta inicialmente moviéndose con una velocidad angular de 6 rad/s cuando se aplica el momento de torsión. Calcular la velocidad angular final si el momento de torsión se aplico durante 9 s.

2. Tres masas iguales m = 0,4 kg, se fijan a los

vértices de un triángulo isósceles PQR. Calcular el momento de inercia del sistema respecto a:

a) Un eje que pasa por el lado del triángulo más pequeño.

b) Un eje que contenga a la altura que va del vértice Q a su lado opuesto.

P 4 m Q R 2m 3. Una pelota de tenis posee una masa de 57 g y

un diámetro de 7 cm. Calcular el momento de inercia alrededor de su diámetro. La pelota de tenis es una esfera hueca de paredes delgadas cuya I = 2/3 m r

2

4. Se aplica un momento de torsión de 12 N.m a

una rueda pesada cuyo momento de inercia es I = 36 kg .m

2 . Calcular:

a) La aceleración angular de la rueda. b) Si la rueda esta inicialmente en reposo y el

momento de torsión se aplico por 10s, determinar la velocidad angular de la rueda al final de los 10s.

5. Un disco de hierro tiene un radio de 0,515 m y

una masa de 307 kg. El disco está montado sobre su eje de modo que está libre para girar. Calcular:

a) El momento de torsión que se requiere para darle una aceleración angular de 1 rad/s

2.

b) Si el momento de torsión se aplica en el borde del disco, cual es la fuerza requerida.

c) La fuerza requerida si es aplicada a una distancia de 10,5 cm del eje.

6. Una piedra de afilar los cuchillos en forma de

disco tiene una masa de 1,7 kg y un radio de 8cm y está girando a 730 rev/min. Cuando se desconecta el motor, una mujer continúa afilando su cuchillo manteniéndola contra el disco de afilar durante 9 s hasta que ésta se detiene. Calcular:

a) Hallar la aceleración angular del disco. b) El momento de torsión que ejerce el cuchillo sobre el disco. Suponer constante la aceleración y que no existe otros momentos de fuerza de rozamiento.

7. El volante de un motor tiene un momento de inercia de 36 kg. m

2 . Calcular el momento de

torsión necesario para acelerarlo desde el reposo hasta una velocidad angular de 400 rpm en 10 s.

8. Calcular el momento de inercia de una varilla de

delgada de 1 kg de 1m de longitud que gira alrededor de uno de sus extremos y cuando el eje esta a través de su centro.

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER

El momento de inercia de cualquier objeto sobre un eje a través de su centro de masa es el momento de inercia mínimo sobre un eje en esa dirección del espacio. El momento de inercia sobre un eje paralelo a ese eje que pasa por el centro de masa está dado por:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi.html#mi

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/cm.html#cm



17

I eje paralelo= I cm + md2

La expresión añadida al momento de inercia sobre el centro de masa se reconoce como el momento de inercia de una masa puntual. El momento de inercia en torno a un eje paralelo es la suma del momento de inercia del objeto sobre su centro de masa, más el momento de inercia de todo el objeto -tratado como una masa puntual en el centro de masa- sobre ese eje paralelo.

EJEMPLO: 1. Calcular el momento de inercia de un cilindro

macizo homogéneo de radio R, altura H y masa m respecto al eje Z de la figura.

Aplicando el teorema de los ejes paralelos se

tiene:

I ep = I cm + md2 I ep = mR2 / 2 + mR2 I ep = 3 m R2 / 2

2. Calcula el momento de inercia de una varilla, masa m, longitud L, respecto a un eje perpendicular a distancia L/4 de un extremo.

L/4 I0 = (1/12) mL

2

I= 1/12mL

2 + m(L/4)

2

I = 7mL

2/48

3. Calcula el momento de inercia de un disco

homogéneo, masa m, radio R, girando respecto a un eje perpendicular por su extremo.

R

I0 = (1/2) mR2

Por lo tanto:

I = (1/2) mR2+ mR2 = (3/2) mR2

4. El momento de inercia de un cuerpo de masa

2 kg respecto a un eje que pasa a 0,5 m del c.d.m vale 0,4 kg·m

2. Calcula el momento de

inercia respecto a un eje paralelo situado 0,3 m más lejos del c.d.m.

Se sabe que:

m = 2 kg; d1 = 0,5 m; I1 = 0,4 kg·m

2; d2 = 0,3 m

d1 d2

El teorema de Steiner no se puede

aplicar entre dos ejes paralelos

cualesquiera, uno de ellos tiene que pasar por el c.d.m del cuerpo, luego en este

problema se debe utilizar dicho teorema

para cada una de las dos distancias.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mi2.html#rlin



18

I1 = Io + md12

I2 = Io + m(d1 + d2)2

Entonces: I0 = I1 - md1

2

I0 = I2 - m(d1 + d2)2

Se tiene: I1 - md1

2 = I2 - m(d1 + d2)

2

I2 = I1 - md1

2 + m(d1 + d2)

2

I2 = 0,4 kgm

2 – 2kg 0,5

2 m

2 +2kg(0,5 + 0,3)

2m

2

I2 = 1,18 kgm

2

TRABAJO, POTENCIA y ENERGIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION. Para poder determinar el trabajo realizado durante una rotación bajo la influencia de un momento de torsión resultante consideremos una fuerza F que actúa sobre el borde de una polea de radio R. La fuerza hace que gire un ángulo Θ mientras que el punto de aplicación de la fuerza se mueve una distancia s. El arco s se relaciona con el ángulo Θ con la ecuación: s = R Θ EL TRABAJO realizado por la fuerza F esta dado por: T = F. s ; T = F R Θ ; pero ζ = F.R entonces; T = ζ . Θ El Trabajo está dado en J y ω en rad/s La energía mecánica se transfiere en forma de trabajo rotacional, por lo que: LA POTENCIA de salida que desarrollan las máquinas esta dado por la rapidez con que se desarrolla el trabajo rotacional así:

Potencia = Trabajo

t ; Pt =

ζ Θ

t ; pero: ω = Θ / t

Pt = ζ . ω La potencia esta dado en Watt ( W ) y ω en rad/s ENERGIA CINETICA DE ROTACION La energía cinética de rotación Ecr de un cuerpo rígido cuyo momento de inercia alrededor de un eje es I y se encuentra rotando alrededor del eje con una velocidad angular ω es: Ecr = ½ . I . ω

2

La Ecr está dada en J y ω en rad/s. ENERGIA CINETICA DE TRASLACION Y ROTACION COMBINADOS. El principio de la conservación de la energía mecánica nos permite incluir al mismo tiempo, la energía cinética de traslación y la de rotación. Ambas energías deben tomarse en cuenta cuando se describe el movimiento de las moléculas de un gas. La energía cinética total de un cuerpo que rueda esta dado por la suma de todas las energías cinéticas asociadas con todas las partículas que constituye un cuerpo así tenemos: Ec total = Ec traslación + Ec rotación Ec total = ½ m v

2 + ½ I . ω

2

EJERCICOS RESUELTOS 1. La rueda de un vehículo Mazda de Rin 13 tiene

un radio 24 cm cuyo momento de inercia es de 2 kg.m

2. Una fuerza tangencial constante de 24

N se le aplica sobre el borde. Si la rueda parte del reposo, calcular: a) La aceleración angular después de 4s. b) La potencia desarrollada por la rueda.

a) Calculamos primero el momento de torsión:

ζ = F.R ; ζ = ( 24 N ) ( 0,24 m) ; ζ = 5,76 N.m La aceleración angular calculamos con:

ζ = I. α ; α = ζ

I ; α =

5,76 N m

2 kg m2 ; α = 2,88 rad/s

2

b) La potencia media podemos calcular con: ωf = ωo + α t ; ωf =( 2,88 rad/s

2 )( 4 s )

ωf = 11,52 rad/s



19

Pt = ζ . ω ; Pt = ( 5,76 N.m ) ( 11,52 rad/s) Pt = 66,35 W ; Pt = 0,09 HP 2. El motor de un Chevrolet Corsa 2002, a 3

700 rev/min tiene un momento de torsión máximo de 675 Nm. Calcular la potencia de salida del motor si opera a estas condiciones de momento máximo.

Sabemos que:

ω = 3 700 rev/min ; ω = 387,46 rad/s ζ = 675 N.m La potencia calculamos con Pt = ζ.ω ; Pt = (675 N.m)(387,46 rad/s) Pt = 261 535,5 W ; Pt = 350,58 HP 3. Un molino de carne que es utilizado en la

carnicería tiene un disco uniforme de 0,80 kg y 8 cm de radio. Se lo lleva uniformemente al reposo desde una rapidez de 1 400 rpm en un tiempo de 35 s. Calcular el momento de torsión debido al rozamiento que se opone al movimiento.

Sabemos que la inercia del disco es: I = ½ m R

2 ; I = ½ ( 0,80 kg)(0,08 m)

2 ;

I = 2,56 x 10 - 3

kg. m2

ωf = 0 rad/s ; ωo = 1 300 rpm = 136,14 rad/s Θ = ω prom t ; Θ = ½ ( ωo + ωf ) t Θ = ½ ( 136,14 rad/s ) ( 35 s) Θ = 2 382,45 rad. La rueda al principio tiene Ec, pero a medida

que la rueda se va deteniendo, esta energía se va perdiendo al realizar trabajo en contra de la fuerza de rozamiento, por lo que podemos escribir la ecuación:

Ec inicial = Trabajo realizado en contra del

momento de torsión. ½ I ω

2 = ζ Θ ; ζ = ½ I ω

2 / Θ

ζ = 1/2(2,56x10−3kgm2 )(136,14

rad

s)2

2 382,45 rad

ζ = 0,0099 N.m 4. Una bola de billar de radio 11 cm y masa

M = 7,2 kg rueda sin rozamiento sobre una superficie horizontal a 2 m/s. después sube por una pendiente sin rozamiento hasta una altura h antes de

alcanzar momentáneamente el reposo y volver rodando hacia atrás. Determinar h.

La energía mecánica se conserva. La energía

cinética de traslación más la energía cinética de rotación se convierte en energía potencial gravitacional, y como la bola rueda sin rozamiento vcm = R. ω ; así tenemos:

Em en la base = Em en la parte de arriba Ec traslación + Ec rotación = Epg ½ m v

2 + ½ Icm ω

2 = m g h

Si: ω = v

r ; Icm = 2/5 m . r

2

al sustituir ω e Icm y despejar h se tiene:

½ m v2 + ½ ( 2/5 m r

2) (

v

r )

2 = m g h

h = 7 v2

10 g ; h =

7 (2 m

s)

2

10 ( 9,8m

s2) ; h = 0,29 m

5. Un disco sólido uniforme de radio R y masa m y

un aro del mismo radio y masa son liberados del reposo desde lo alto de un plano inclinado. Determinar cual objeto se mueve más rápido al fondo.

Aplicamos el principio de la conservación de la

energía para el disco, ya que toda la energía potencial se convierte en energía cinética de rotación y traslación y como no existe

rozamiento ω = v

r

Em en la parte de arriba = Em en la base

Epg = Ec traslación + Ec rotación m g h = ½ m v

2 + ½ Icm ω

2

m g h = ½ m v2 + ½ Icm

v2

R2 ; despejamos v:

v = √2 g h

1+ I

mr2

;

Constituye la velocidad del disco al fondo del plano inclinado y observamos que depende de la inercia y la masa del objeto, además de la altura que se le deja caer al objeto.

Por tanto al sustituir los valores de la inercia del disco y el aro se tiene: I disco = ½ mr

2 ; I aro = mr

2



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v disco= √2 g h

1+ I

mR2

; v= √2 g h

1+ 1/2 ; v = √

4 g h

3

v aro= √2 g h

1+ I

mR2

; v= √2 g h

1+ 1 ; v = √gh

El disco a causa de su menor momento de inercia, tiene una velocidad mayor que el aro a lo largo del plano inclinado. Por lo que el disco alcanza primero el fondo.

TAREA 1. Una masa de 2kg gira a 160 rpm en el extremo

de un cordel de 50 cm de longitud. Calcular: a) El momento de inercia. b) La velocidad angular. c) La energía cinética rotacional.

2. Un motor desarrolla un torque rotacional de 400

Nm a 3700 rev/min. Calcular la potencia suministrada por el motor.

3. Un cilindro solido ( I = ½ m r

2 ) y una esfera

solida de 0,50 m de radio y 2 kg de masa se liberan de la cima de un plano inclinado sin rozamiento, de 3 m de altura y 8 m de largo. Calcular la velocidad de cada uno cuando llega al fondo

4. Un anillo uniforme de 16 lb gira sobre su centro

a 5 rev/s. Si su energía cinética rotacional es de 270 J. Calcular el radio del anillo.

5. Dos masas puntuales m1 y m2 están conectadas

por una varilla ligera de longitud L. El conjunto gira alrededor de su centro de masa con una velocidad angular ω. Demostrar que la relación entre las energías cinéticas de las masas es Ec1/ Ec2 = m2 /m1

6. Un aro de 0,40 m de radio y 0,6 kg rueda sin

rozamiento con una velocidad de 15 m/s hacia un plano inclinado de 30

0. Calcular la distancia

que sube el aro por el plano inclinado. 7. Una rueda maciza de 4 kg de 0,23 m de radio

está inicialmente en reposo. Calcular: a) El trabajo que se requiere para hacerle girar a 3 rev/s alrededor de su eje. b) La potencia en HP que se produce al girar 2 min.

c) Si la energía de la rueda en rotación se duplica, determinar las revoluciones por segundo que hará.

8. Se aplica una fuerza tangencial de 11 N a un disco en reposos de masa 1,5 kg de radio 2 m, durante 6 s. Calcular: a) La aceleración angular, el desplazamiento

angular y la velocidad angular final b) El trabajo realizado por la fuerza.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANGULAR Las cosas que giran como un cilindro que rueda bajando un plano inclinado, un acróbata ejecutando un salto mortal, siguen girando hasta que algo los detiene. Un objeto que gira tiene una inercia de rotación y como ya se dijo anteriormente todos los objetos que se mueven tienen inercia de movimiento o cantidad de movimiento, en el caso de los objetos que giran se llama cantidad de movimiento angular. Los planetas en órbita en torno al Sol, una piedra que gira en el extremo de una cuerda y los diminutos electrones que giran en torno a los núcleos atómicos tienen cantidad de movimiento angular. Se define la cantidad de movimiento angular (L) como el producto del momento lineal mv y el radio R del cuerpo que gira. L = mv.R La cantidad de movimiento angular es una magnitud vectorial cuya dirección se define aplicando la regla de la mano derecha. Con la definición de ω = v/r podemos expresar la magnitud del momento angular en términos de la velocidad angular:

L = m.R 2 ω

También podemos remplazar I = m R

2 así:

L = I ω Podemos concluir diciendo que un objeto o sistema mantiene su cantidad de movimiento angular a menos que sobre ellos actúe un momento de torsión externo neto.



21

Ecuación: L = I ω Unidades SI: L = [ kg . m

2 . rad/s ]

L = [kg . m

2 / s]

Dimensión: L = [ M . L

2 . T

-1 ]

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE

MOVIMIENTO ANGULAR. Del mismo modo que la cantidad de movimiento lineal de cualquier sistema se conserva si no hay fuerza neta que actúe sobre él, la cantidad de movimiento angular establece: Si ningún momento de torsión neto externo actúa sobre un sistema en rotación, la cantidad de movimiento angular de este sistema permanecerá constante. Esto significa que, si no hay un momento de torsión externo, el producto de la inercia de rotación por la velocidad de rotación será igual en cualquier instante de tiempo. Analíticamente podemos deducir la ecuación:

Sabemos que α = ωf − ωo

t ; ζ = I. α

ζ = I. ωf − ωo

t ; ζ . t = I ωf - I ωo

Impulso angular = Cambio en la cantidad de movimiento angular Pero si no existe ningún momento de torsión externo al cuerpo que gira podemos afirmar que ζ = 0 . 0 = I ωf - I ωo

ω0 = I ωf Cantidad de movimiento angular final = Cantidad de movimiento inicial Esta afirmación nos permite explicar como un gato que cae de una rama elevada puede ejecutar un giro y caer parado. También los seres humanos cuando se lanzan de un trampolín de una piscina, sin dificultad pueden ejecutar giros.

EJERCICOS RESUELTOS 1. Una barra uniforme delgada de 1 m de largo

tiene una masa de 7 kg. Si la barra se apoya sobre su centro de masa y gira a una velocidad angular de 18 rad/s, calcular la cantidad de movimiento de la barra.

Sabemos que I de la barra es: I =1/12mL

2 ; I =1/12(7kg)(1m)

2; I = 0,58 kg m

2

La cantidad de movimiento angular de la barra

esta dado por: L =I ω; L=(0,58 kgm

2)(18 rad/s);

I =10,44 kgm2 /s

2. Una piedra atada a

una cuerda se hace girar alrededor de un círculo horizontal. Si la piedra originalmente se mueve a una velocidad de 0,5 rad/s. Calcular la velocidad angular si el radio del círculo disminuye a la mitad.

Cuando se tira de la cuerda, la fuerza actúa a

través del eje de rotación. De esta manera no se aplica un momento de torsión a la piedra y el momento inercia queda inalterado.

Podemos aplicar la ecuación de la cantidad de

movimiento angular:

I ω0 = I ωf m Ro

2 .ω0 = mRf

2 . ωf

ωf = Ro

2

Rf2 ωo ; ωf = (

𝑅𝑜

0,5 𝑅𝑜 )

2

( 0,5 rad/s)

ωf = 2 rad/s A menor radio aumenta la velocidad angular. 3. Una mujer tiene un momento de inercia

constante de 5 kg.m2 y que sostiene una masa

de 8 kg en cada mano. Cuando sostiene las masas a una distancia ro = 0,8 m del eje de rotación, se le imprime una velocidad angular inicial de ωo=3 rad /s. Si acerca las masas hasta una distancia rf de 0,3 m del centro



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de rotación. Calcular su nueva velocidad angular.

Si consideramos que las masas de 8kg son

masas puntuales, el momento de inercia Im de la mujer aumentará en cada caso mr

2, donde

M = 16 kg es la masa total y r es la distancia de las masas al eje de rotación. Por la conservación de la cantidad de movimiento que indica que la cantidad de movimiento inicial es igual a la cantidad de movimiento final, podemos escribir:

I ω0 = I ωf ( Im + M Ro

2 ) .ω0 = ( Im + M Rf

2 ). ωf

Remplazamos los datos y despejamos la velocidad angular final.

[ 5 kg.m

2 + (16kg)(0,8m)

2 ](3rad/s) =

[5 kg.m2 + (16kg)(0,3m)

2 ] ωf

ωf = 7,10 rad/s

La velocidad angular aumento al acercar las masas a su pecho.

TAREA

1. Un patinador de hielo empieza su movimiento

circular a una velocidad de 1,5 rev/s con los brazos extendidos. Luego encoge sus brazos para acercarlos al cuerpo, lo que produce una disminución de su momento de inercia a tres cuartas partes del valor inicial. Calcular la velocidad angular final del patinador.

2. Un aeroplano de juguete se mueve en el

extremo de una cuerda alrededor de un punto fijo en un círculo horizontal de 1 m de radio. Si la velocidad lineal es de 4,86 m/s. Calcular la velocidad si se tira de la cuerda para dar un radio de 0,750 m. Suponer que no hay momento de torsión.

4. El cometa Halley se mueve alrededor del

Sol en una órbita elíptica. Su aproximación más cercana al Sol es de 0,59 U.A. y su distancia más grande es de 35 U.A. ( 1 U.A. = la distancia de la Tierra al Sol ). Si la rapidez del cometa cuando está más cerca del Sol es de 54 km/s. Calcular la rapidez del cometa cuando está más lejos del Sol. Despreciar cualquier cambio en la masa del cometa y suponer que el momento angular en torno al Sol se conserva.

4. Un disco con momento de inercia I1 está girando

con velocidad angular inicial ω1 alrededor de su eje de simetría sin rozamiento. Le cae encima otro disco con momento de inercia I2 que está inicialmente en reposo en el mismo eje. Debido al rozamiento superficial, los dos discos finalmente adquieren una velocidad angular común ωf. Calcular ωf.

5. Un bloque de 2 kg se ata a un cordel que pasa

sobre una polea a través de un agujero en una superficie horizontal sin rozamiento, Inicialmente el bloque gira a 6 rad/s a una distancia de 0,6 m del centro del agujero. Si el cordel es tirado desde abajo hasta reducir la distancia del bloque al centro a 0,2 m. Calcular la nueva velocidad angular.

APLICACIONES EN LA VIDA COTIDIANA 1. El centro de masa del saltador

de trampolín se mueve a lo largo de una trayectoria parabólica después de abandonar la tabla. El momento angular está suministrado por el momento inicial externo ejercido por la fuerza de la tabla. Para que el saltador de más revoluciones en el aire encoge sus brazos y piernas para disminuir su momento de inercia e incrementar su velocidad angular.

2. Una patinadora girando sobre sí misma cambia su velocidad angular al cambiar su momento de inercia acercando sus brazos al cuerpo.

3. Aunque el momento angular total del sistema

Tierra-Luna se conserva, el momento angular es trasferido de la Tierra a la Luna. La energía total mecánica decrece como resultado de las perdidas friccionales de las mareas. Por consiguiente, la longitud del día se incrementa uniformemente a medida que la velocidad de rotación de la Tierra se hace menor y la longitud del mes decrece al acelerarse la Luna.



23

A causa de este incremento de la velocidad, y en consecuencia de la energía, la distancia de la Luna a la Tierra también aumenta. Se a medido que la longitud del día está aumentando gradualmente a una velocidad aproximada de 20 µs por año( Así hace 200 millones de años, en el periodo jurásico, un día era aproximadamente de 23 horas.)La luna se mueve lentamente alejándose aproximadamente 3 cm por año.

4. Cuando una persona corre dobla las piernas

para reducir la inercia rotacional, además las piernas cortas tienen menor inercia de rotación que las largas. Un animal con patas cortas tiene un paso más rápido que uno con patas largas.

5. Cuando un conductor pisa el acelerador, el

camino ejerce una fuerza mayor sobre los neumáticos. Esta fuerza es paralela al camino y se dirige hacia el frente del automovil, esta fuerza suministra un momento de torsión que tiende a hacer que el auto gire en sebtido contrario a las manecillas del reloj.El resultado de esta rotación es el levantamiento del frente

del auto. Cuando el conductor pisa el fgreno, el camino ejerce una fuerza mayor sobre los neumáticos dirigida hacia la parte posterior del automovil. Esta fuerza origina un momento de torsón que causa una

rotación en el sentido de las manecillas del reloj y en consecuencia el descenso del frente del automovil.

6. En el sitema de cambios de una bicicleta existe

una relación entre el momento de torsión y la aceleración angular.

7. Ciertas máquinas como las cortadoras,

limadoras, laminadoras, etc, no trabajande manera continua. El trabajo resistente debido a la introducción del material que se requiere cortar, limar o laminar tiende a reducir la velocidad , la calidad, la vida de la máquina. Para minimizar estas variaciones, se adapta, sobre el eje del motor, un volante que es una rueda del momento de inercia elevado.

8. El danes Bohr en su teoría atómica, cuantifico el

momento angular del electrón, en su movimiento alrededor del nucleo: esto es que el momento angular es igual a un número entrero de una cierta cantidad constante.

9. Los norteamericanos Uhlenbeck y Goudsmith, supusieron que el electrón gira con respecto a un eje interno ( como la rotación de la Tierra). Esta rotación interna, caracterizada por su momento angular, se denomino espin.

10. La fuerza que actua sobre un planeta es

principalmente la fuerza de atracción del Sol, por lo que pasa siempre por el cento del Sol, es una fuerza central y el momento de fuerza corresponde a este centro que es nulo. El momento angular es en consecuencia constante, tanto en magnitud como en dirección.

EXPLICA UTILIZANDO LO APRENDIDO

1. Imagina un lapiz y tres ejes de rotación a lo

largo de la puntilla; en ángulo recto con el lápiz y a la mitad de éste; y perpendicular al lápiz y en uno de los extremos. Clasifica de menor a mayor la inercia de rotación del lápiz.

2. Karen y Leo van en bicicletas con la misma

rapidez. Los neumáticos de la bicicleta de Leo tienen mayor diámetro que los de Karen. Señalar cuales ruedas tienen mayor rapidez de rotación.

3. Las ruedas delanteras de un auto de

arrancones, que estan al frente muy lejos del piloto, ayudan a evitar que el auto suba la nariz al acelerar. Explicar que conceptos físicos intervienen aquí.

4. En el barrio San Juan, por las fiestas de Quito,

un joven que se inscribio en una competencia de coches de madera. Pregunta si debe usarse ruedas grandes y masisas o ligeras para rodar desde el reposo cuesta abajo.

5. Las bisicletas de carrera tienen neumáticos ligeros sobre armazones ligeros. Explicar por qué ?

6. Cuando pedaleas una bicicleta, el momento de

torción máximo se produce cuando los pedales están en posición horizontal y no se produce momento de torsión cuando están en posición vertical. Explicar por qué ?

7. Cuando una bola de bliche sale de la mano del

jugador, no gira. Pero más adelante, a lolargo de la pista, si gira. ¿ Que produce la rotación ?

8. ¿ por qué los asientos centrales de un autobus

son los más cómodos en viajes largos, cuando la carretera es irregular ?



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9. Explicar por qué un helicoptero con un solo rotor principal posee un segundo rotor más pequeño montado en su eje horizontal en la parte trasera del aparato. Describir el movimiento resultante del helicoptero si este rotor trasero fallase durante el vuelo.

10. Dos esferas de igual masa se liberan del

reposo en la cima de un plano inclinado. Una esfera es macisa y de densidad uniforme. La otra esfera es un armazón de densidad uniforme. Señalar que esfera llega primero al fondo del plano inclinado y cual tiene mayor energía cinetica de traslación.

REFORZANDO LO APRENDIDO

1. Una rueda cuyo momento de inercia es de 32

kg.m2 se somete a un momento de torsión de

16 N.m. Si la rueda está inicialmente moviendose con una velocidad angular de 7 rad/s cuando se aplica el momento de torsión . Calcular la velocidad angular si el momento de torsión se aplico por 10s.

2. Un estudiante que sostiene una varilla por el

centro la somete a un momento de torsión de 1,4 N.m alrededor de un eje perpendicular a la varilla, haciendola girar a 1,3 rad en 0,75 s. Cuando el estudiante sostiene la varilla en un extremo y le aplica el mismo momento de torsión. Calcular cuantos radianes gira la varilla en 1 s.

3. Se hace girar una linterna al extremo de una

cuerda en un círculo horizontal de 0,80 m de radio con una velocidad angular constante. Si no se aplica ningun momento de torsión. Calcular el cambio de radio si la velocidad angular de la linterna se reduce a la mitad.

4. Calcular el momento angular de la Tierra

al girar alrededor de su eje, si se le considera a la Tierra una esfera de densidad uniforme de radio promedio 6,38 x 10

6m y masa 5,98 x

10 24

kg. 5. Calcular la energía cinética de un fonógrafo de

0,145 kg y 12 pulg cuando gira a 45 rev/min. 6. Un profesor de física se ubica en una plataforma

giratoria libremente. Mantiene una pesa en cada mano de sus brazos extendidos mientras un estudiante le da un impulso hasta que su velocidad angular llega a 1,5 rad/s. Cuando el profesor gira libremente e impulsa sus manos acercándolas al cuerpo, su

velocidad angular se incrementa a 5 rad/s. Calcular la relación de su energía cinética final con su energía cinética inicial.

7. Una bola de boliche maciza con un radio de

10,9 cm y una masa de 7,0 kg rueda a lo largo de una línea de boliche a velocidad lineal de 2 m/s. Calcular su energía cinética de traslación, de rotación y la total.

8. Un disco que se libera desde la cima de un

plano inclinado y rueda sin rozamiento, tiene una velocidad de 4,52 m/s en el fondo. Calcular la altura del plano inclinado.

9. Calcular el momento de torsión desarrollado por

un motor de 1200 kw de potencia de salida si su arbol de transmición gira a 2 000 rpm.

10. Un esmeril gira a 78 rpm. Se interrumpe la

corriente eléctrica, las fuerzas de rozamiento hacen que se detenga en 3,5 . Calcular la aceleración tangencial de un punto a 5 pulg del centro del esmeril.

DINAMICA ROTACIONAL MOVIMIENTO CIRCULAR · MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ... UNIFORMEMENTE VARIADO...

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