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DINAMICA DE ESTRUCTURAS CI4203

TAREA N°2

ANALISIS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Profesor : Ruben Boroschek

Ayudante : Juan Martinez Nombre : Bastian Garrido

Fecha de entrega : 24 Septiembre de 2012

FCFM, Departamento de Ingeniería Civil

Tabla de Contenidos

1. INTRODUCCION 3

2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA 4

3. MARCO TEORICO 5

4. RESULTADOS 9

5. ANÁLISIS Y CONCLUSIONES 13

ANEXO 14 CODIGO DEL PROGRAMA 14


1. Introduccion El presente informe expone el diseño y análisis teórico de un sensor mecánico, el cual tiene como función registrar el desplazamiento del mismo en base a una aceleración externa, discriminando para ello 3 pares de frecuencias f y razones de amortiguamiento critico B, lo cual permitió obtener mejores análisis y resultados. El sensor esta diseñado en base a una estructura simplificada de un grado de libertad, dentro de estas simplificaciones también están las rigideces presentes en el movimiento, factores viscosas y las fuerzas presentes en el sistema de referencia las cuales determinan la respuesta que tenga. La implementación del sensor será utilizada para medir los desplazamientos producto de la aceleración producida por el terremoto del 27 de Febrero del 2010 en la localidad de Constitución, Chile. Estos datos fueron entregados por el equipo docente y no se entrara en mas detalles mas que sus muestras graficas.

En este informe se presentara una alternativa a la resolución de ecuaciones

diferenciales discretas por medio del método de la Transformada de Fourier, este método da muy buenos resultados y además esta programado en MATLAB de forma eficiente como la transformada rápida de Fourier ( Fast Fourier Transform -‐ fft ) de esta forma el algoritmo permite procesar los datos en un tiempo casi instantáneo.

Posteriormente el análisis de funciones por medio de Fourier permite

trabajar las señales entregadas por la aceleración en el dominio de la frecuencia, es decir, ya no se trabaja en función del tiempo si no de la frecuencia, lo cual en análisis permite eliminar ruidos en las experiencias o determinar de formas mas directa características del sistema como son la frecuencia natural.

Finalmente se compara la resolución de problemas mediante el método de

aceleración media y el análisis por el transformada de Fourier.


2. Descripción del Problema

La simplificación de un sensor de un grado de libertad como el que se puede ver en la figura 1, en donde la rigidez del sistema se simplifica por medio de un resorte de constante elástica K (1), la disipación/amortiguamiento viene dada por una perdida viscosa de constante C (2) y el registro de la posición queda determinado por el movimiento de la barra lateral (3). La estructura esta sujeta a una carcaza que esta empotrada al suelo, por lo que es susceptible a los movimientos de este ultimo.

Tal como se menciono en la introducción, para el análisis del sensor se cuenta con un registro de lecturas que capto los cambios de aceleración en el tiempo en Constitución para el terremoto ocurrido el 27 de febrero del año 2010 en Chile. Esta aceleración cumplirá el rol de forzaje del sistema dentro de la carcaza, lo cual será explicado en el marco teórico, y se analizara el comportamiento para 3 casos que son mencionados posteriormente. Bajo este contexto, el problema consiste en modelar de manera precisa el desplazamiento de un sistema en base al forzaje entregado por la aceleración del terremoto utilizando la menor cantidad de recursos de forma de optimizar las herramientas presentes y obtener buenos resultados.


3. Marco Teorico

Una simplificación para determinar los desplazamientos del sensor es trabajar en el dominio de la frecuencia y luego regresar al dominio del tiempo, pese a que suena engorroso y mas trabajo, este método es mucho mas rápido que otros algoritmos. El dominio de la frecuencia es un término usado para describir el análisis de funciones matemáticas o señales respecto a su frecuencia. Un gráfico del dominio temporal muestra la evolución de una señal en el tiempo, mientras que un gráfico frecuencial muestra las componentes de la señal según la frecuencia en la que oscilan dentro de un rango determinado. Una representación frecuencial incluye también la información sobre el desplazamiento de fase que debe ser aplicado a cada frecuencia para poder recombinar las componentes frecuenciales y poder recuperar de nuevo la señal original. El dominio de la frecuencia está relacionado con las series de Fourier, las cuales permiten descomponer una señal periódica en un número finito o infinito de frecuencias. El dominio de la frecuencia, en caso de señales no periódicas, está directamente relaccionado con la Transformada de Fourier. Por series de fourier una funcion periodica P(t) puede ser definica de la siguiente manera:


Para el caso del sensor mecanico se tiene la siguiente considerando el forzaje como una funcion periodica en su duracion:

Reemplazando se obtiene:

Relacion de coeficientes de serie de fourier armonicos y exponencial complejo:


Con esta relacion exponencial es possible simplificar la ecuacion dinamica:

Con solución:

Reemplazando en la ecuacion de equilibrio:

Finalmente la respuesta permanente es:

La solución a una excitación periódica arbitraria

A partir de la transformada de fourier:


Encontramos la respuesta continua:


4. Resultados En base al desarrollo expuesto en el marco teórico es posible determinar de forma mas rápida la respuesta que tiene el sensor para el forzaje dado por el terremoto, este algoritmo es optimizado computacionalmente por medio de la transformada rápida de Fourier (ver programa en ANEXO) y a continuación se exponen los resultados: caso 1: != 0.1 , != 10 HZ


caso 2: != 0.6 , != 25 HZ


caso 3: != 0.7 , != 250 HZ


caso 4 (interesante): != 0.0001 , != 25 HZ


5. Análisis y Conclusiones Con los resultados producto del programa realizado en MATLAB se pudo observar que los gráficos, de aceleración/desplazamiento vs tiempo cumplen la proporcionalidad esperada que se vio en la tarea 1, y fue desarrollada mediante un método mas simple de programar (inclusive el software incorpora la transformada de Fourier). El análisis de Fourier permite analizar las señales en el dominio de la frecuencia y analizar otros aspectos de formas mas directa, como la frecuencia natural, los cuales no era directo de analizar en el dominio del tiempo. Otra de las ventajas del método de Fourier es que al trabajar con integrales o las discretizaciones vienen programadas, los resultados son mucho mas parecidos a lo esperado. Dentro de las desventajas del métodos se puede ver que para valores de amortiguamiento muy bajos, la respuesta al querer similar una onda periódica, al repetirse en el tiempo, el bajo amortiguamiento hace que se produzcan problemas en el inicio de la señal ya que trae acoplado el problema del final el cual no fue bien amortiguado, independiente de esto, estos valores de amortiguamiento son bajísimos por lo que en la realidad no se presentan ya que se trabaja con ordenes mayores. Finalmente el análisis de Fourier da el pie para otros tipos de análisis que el análisis en el tiempo no permitía resolver de forma simple como es el caso de los impulsos, lo cual nos permite determinar características de las estructuras mediantes eventos que son de tiempo muy corto.


ANEXO

Codigo del Programa function [d v a] = Tarea2(fo,beta) load Constitucion27F.txt; % senal en el espacio de la frecuencia vg=Constitucion27F; vw=fft(vg); %%Definicion de simetria de FRF nvg=length(vg); if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if vg is not complex if rem(nvg,2), % nfft odd select = (1:(nvg+1)/2)'; else select = (1:nvg/2+1)'; %% par end else select = (1:nvg)'; %% complejo end Fs=200; f = (select - 1)*Fs/nvg; % Funcion de Respuesta en Frecuencia Single Sided FRF=zeros(nvg,1); fratio=f/fo; unos=ones(length(f),1); % Para seÒal compleja. k=(fo*2*pi)^2; c=beta*2*(fo/(2*pi)); FRF(select)=(unos/k)./(unos- (fratio).^2+(j*2*beta).*(fratio)); %% Correccion para doble sidedspectra %Si no es necesario corregir para el otro lado if ~any(any(imag(vg)~=0)), % if x is not complex % correcion de frecuencia f=[f ; zeros(nvg-length(f),1)]; if rem(nvg,2), % nfft odd FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(((nvg+1)/2):-1:2)); % Simetriacompleta f(select(end)+1:end)=-f(((nvg+1)/2):-1:2); % Notarsignonegativo else FRF(select(end)+1:end)=conj(FRF(nvg/2:-1:2)); %% par no se consider punto central f(select(end)+1:end)=-f((nvg/2):-1:2); end end d=real(ifft(FRF.*vw)); v=real(ifft((j*f*2*pi).*FRF.*vw)); a=real(ifft((j*f*2*pi).^2.*FRF.*vw));


%grafica de la aceleracion-desplazamiento vs tiempo T=0:1/200:(length(Constitucion27F)-1)/200; %Vector de Tiempo [AX,H1,H2] =plotyy(T,d,T,Constitucion27F); legend('Desplazamiento', 'Constitucion27F'); set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','Desplazamiento Estructura (m)'); set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','Aceleracion Terremoto (m/s^2)'); xlabel('Tiempo (s)'); set(H1,'Marker','*'); end

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