Dinamico Bn

1ANALISIS DINAMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR

NIVEL

Prof. Orlando Ramrez Boscn

Mrida, Mayo de 2003

Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniera

Departamento de Estructuras

Proyectos II

Dinmica Estructural

La principal causa de daos que las estructuras experimentan en un terremoto es debida a su respuesta a los movimientos en la base, transmitidos por las vibraciones ssmicas del terreno.

Esas vibraciones son variables en el tiempo, por lo que las fuerzas inducidas y toda su respuesta tambin son variables en el tiempo.

El anlisis que se hace de las estructuras bajo esas condiciones dependientes del tiempo, es lo que se llama Anlisis Dinmico de Estructuras.

2Dinmica Estructural

GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOSEl nmero de grados de libertad es igual al nmero de desplazamientos independientes requeridos para definir la posicin desplazada de todas las masas con respecto a su posicin original

m m(t)

SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD DINAMICO

(t)

3m1

m2

m3

m4

m5

m1

m2

m3

m4

m5 u5(t)

u4(t)

u3(t)

u2(t)

u1(t)

MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5

SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

MODO 1 T1

MODO 2 T2

MODO 3 T3

MODO 4 T4

MODO 5 T5

Dinmica Estructural

2T =

51

451

2111

31

41

Dinmica Estructural

COORDENADAS MODALES

5242

32

22

12

kj: coordenada modal del nivel k, modo j

Anlisis Dinmico Plano

Efectos TraslacionalesMETODO DE

SUPERPOSICIN MODAL CON UN GRADO DE

LIBERTAD POR NIVEL

Efectos Torsionales METODO DE LA TORSION ESTATICA EQUIVALENTE

NORMA COVENIN 1756-98 (Revisin 2001)

5METODO DE SUPERPOSICION MODAL CON UN GRADO DE

LIBERTAD POR NIVEL

Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel

MODELO MATEMATICO

SISTEMA DE MASAS CONCENTRADAS EN CADA NIVEL, A CADA UNA DE LAS CUALES SE LES CONSIDERA UN GRADO DE LIBERTAD

MGDL

m1

m2

m3

m4

1

2

3

4

k1

k2

k3

k4

6Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel

NUMERO MINIMO DE MODOS

Las formas modales y sus correspondientes perodos de vibracin se obtienen resolviendo el problema caracterstico, es decir obteniendo los autovalores y autovectores de la estructura, usando las rigideces elsticas y las masas correspondientes a cada nivel.

El nmero mnimo de modos que se deben incorporar al anlisis, N1, se obtienen de las siguientes expresiones (O. Lpez y M. Cruz):

PARA EDIFICIOS CON MENOS DE 20 PISOS

11 *

T1N 1.5 3 32 T

= +

PARA EDIFICIOS CON MAS DE 20 PISOS

11 *

T2N 1.5 4 43 T

= +


DETERMINACIN DEL CORTE BASAL MODAL

La contribucin del modo j al corte basal, V0j, en una edificacin de masa M, se determina mediante la siguiente expresin:

0 j j djV MA g= donde:

Adj : ordenada del espectro inelstico, correspondiente al perodo Tj del modo j

2N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m1M m

=

=

=

kj : coordenada modal del piso k, modo jmk : masa del piso k

N : nmero total de pisos

j : Fraccin de la masa total del edificio, o masas participativas, asociadas con la respuesta en el modo j

7Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel

FUERZAS MODALES DEBIDAS A LOS EFECTOS TRASLACIONALES

El mximo desplazamiento, ukj, en el nivel k, modo j se obtiene2

jkj kj j dj

Tu A g

2 =

La fuerza lateral en el nivel k, debido al modo j es:

kj k kj j djF m A g=

N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m

m

=

=

=

kj : factor de participacin de cada modo de vibracin (j)


COMBINACION MODAL

Los valores de diseo para el corte basal y las fuerzas a nivel de piso se determinan como los valores mximos probables obtenidos usando, para la combinacin modal, el criterio de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados o de la combinacin cuadrtica completa de los valores mximos de cada modo.

CONTROL DE CORTANTE BASAL Y VALORES DE DISEO

El corte basal obtenido, V0, no podr ser menor que el obtenido usando el mtodo esttico equivalente, V0*, con un perodo T = 1.6 Ta .Cuando V0 sea menor que V0*, los valores para el diseo debern multiplicarse por V0*/V0.

El cociente V0/W no ser menor que el coeficiente ssmico mnimo

Posteriormente se considerarn los efectos P-D (Art. 8.5), y finalmente se suman los efectos torsionales obtenidos por el mtodo de la Torsin Esttica Equivalente.

8METODO DE HOLZER

Mtodo de Holzer

Mtodo iterativo que permite calcular las frecuencias y formas modales de sistemas de un grado de libertad por nivel.

1. Suponer la frecuencia j2, para el modo j, y la coordenada modal de la primera masa, a1 (tomar a1 = 1).

2. Determinar el desplazamiento u1 y la fuerza en el resorte Fc1 = k1u1.

3. Calcular la Fuerza de inercia (masa) Fi1=-m1a1j2 (siempre negativa)

4. Determinar por equilibrio Fc2 = Fc1 + Fi15. Conocida Fc2, calcular u2 = Fc2/k2 y a2 = u1 + u26. Calcular Fi2 = -m2a2wj2, y continuar el proceso hasta el ltimo

piso.

7. Chequear en el ltimo piso que se cumpla que Fcn Fin = 0. En caso contrario repetir todo el procedimiento anterior para otro valor de la frecuencia wj2.

9EJEMPLOEJEMPLO

NN00

NN11

NN22

NN33

NN44

NN55

MM11

MM22

MM33

MM44

MM55

KKPN1PN1

KKPN2PN2

KKPN3PN3

KKPN4PN4

KKPN5PN5

Estructura realEstructura real Estructura equivalenteEstructura equivalente

Niveles Niveles

Masa de pisoMasa de piso

Rigidez de pisoRigidez de piso

Sistema 1GDL por nivelSistema 1GDL por nivel

s.d.o.f. se le aplica el s.d.o.f. se le aplica el Mtodo de Holzer.Mtodo de Holzer.

Mtodo de Holzer

EJEMPLOEJEMPLO

Mtodo de Holzer

m1 = 0.05 Ton seg2/cm



K1 = 22000 Ton/cm

K3 = 5500 Ton/cm

K2 = 16500 Ton/cm

m1 = 2m

m2 = 1m

m3 = 1m

k1 = 4k

k2 = 3k

k3 = 1k

M = 0.025 Ton seg2/cm

K = 5500 Ton/cm

4k4k 3k3k kk

11 22 33

2m2m mm mm

u1

u2

u3

10

jj22 = 1 k/M= 1 k/M

4k4k 3k3k kk

11 22 33

2M2M MM MM

aa 11

uu 11

FFcc 4k4k

FFii --2k2k

2k2k

2/32/3

5/35/3

--5/3k5/3k

1/3k1/3k

1/31/3

22

--2k2k

R = R = --5/3k # 05/3k # 0

Suponer la frecuenciaSuponer la frecuencia j2 Suponer la coordenada nodal aSuponer la coordenada nodal a11Desplazamiento uDesplazamiento u11 = a= a11 Calcular FcCalcular Fc11 = u= u11 kk11

Calcular FiCalcular Fi11 = = -- MM11aa11jj22 Por equilibrio FcPor equilibrio Fc22 = Fc= Fc11 + Fi+ Fi11Calcular uCalcular u22 = F= Fc2c2 / k/ k22 Calcular aCalcular a22 = u= u11 + u+ u22Como el residuo (ltimo nivel) es diferente de cero suponer otraComo el residuo (ltimo nivel) es diferente de cero suponer otra frecuencia frecuencia jj22 y y repetir el proceso hasta que R = 0repetir el proceso hasta que R = 0

Mtodo de Holzer

METODO DE HOLZER

M = 0.025 Ton seg^2/cm Normalizando las M's y las K's respecto al ltimo pisoK = 5.500 Ton / cm descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3g = 981.000 cm / seg^2 datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

M3 = M 0.025 Ton seg^2/cm

M2 = M 0.025 Ton seg^2/cmM1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cm

K3 = K 5.500 Ton / cm

K2 = 3*K 16.500 Ton / cmK1 = 4*K 22.000 Ton / cm

descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

frecuencia j2 1.00 k/Ma1 1.00 1.6667 2.0000u1 1.0000 0.6667 0.3333 -1.67Fc1 4.0000 2.0000 0.3333Fi1 -2.0000 -1.6667 -2.000

datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 3.00 k/M

a1 1.00 0.3333 -2.6667u1 1.0000 -0.6667 -3.0000 5.00Fc1 4.0000 -2.0000 -3.0000Fi1 -6.0000 -1.0000 8.000


a1 1.00 1.0000 -1.0000u1 1.0000 0.0000 -2.0000 0.00Fc1 4.0000 0.0000 -2.0000Fi1 -4.0000 -2.0000 2.000

Datos del problema

11

descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00

frecuencia j2 0.40 k/Ma1 1.00 2.0667 4.4400u1 1.0000 1.0667 2.3733 0.60Fc1 4.0000 3.2000 2.3733Fi1 -0.8000 -0.8267 -1.776


a1 1.00 2.0000 4.0000u1 1.0000 1.0000 2.0000 0.00Fc1 4.0000 3.0000 2.0000Fi1 -1.0000 -1.0000 -2.000


a1 1.00 -0.3333 -3.0000u1 1.0000 -1.3333 -2.6667 9.33Fc1 4.0000 -4.0000 -2.6667Fi1 -8.0000 1.3333 12.000


a1 1.00 -1.0000 -2.0000u1 1.0000 -2.0000 -1.0000 9.00Fc1 4.0000 -6.0000 -1.0000Fi1 -10.0000 5.0000 10.000


a1 1.00 -1.6667 0.3333u1 1.0000 -2.6667 2.0000 0.00Fc1 4.0000 -8.0000 2.0000Fi1 -12.0000 10.0000 -2.000

DATOS SISMICOS

RESULTADOS DEL ANALISIS MODAL

M = 0.025 Ton seg^2/cm 1 = 10.4881 rad/segK = 5.500 Ton / cm 2 = 20.9762 rad/segg = 981.000 cm / seg^2 3 = 36.3318 rad/seg

M3 = M 0.025 Ton seg^2/cm T1 = 0.5991 segM2 = M 0.025 Ton seg^2/cm T2 = 0.2995 seg

M1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cm T3 = 0.1729 segK3 = K 5.500 Ton / cm ai 1 modo 2 modo 3 modo

K2 = 3*K 16.500 Ton / cm N3 = 4.0000 -1.0000 0.3330K1 = 4*K 22.000 Ton / cm N2 = 2.0000 1.0000 -1.6670

N1 = 1.0000 1.0000 1.0000

Datos del problema:

frecuencias

perodos

formasmodales

localidad Mrida Zona Ssmica 5.00 Coef. Ao 0.30 Grupo B2 F. Imp 1.00Suelo S1 Tast 0.40 2.40 p 1.00 Tipo Est. I

Nivel Diseo ND3 F.R.R. 4.50 Tmas 0.35 C.Corr 1 Mat Ct 0.07alt. total hn 9.00

Clculo perodo fundamental Ta (aprox) 0.364 seg

12

FUERZAS SISMICAS MODALES

0 j j djV MA g= 2N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m1M m

=

=

=

kj k kj j dj

F m A g= N

k kjk 1

j N2

k kjk 1

m

m

=

=

=

Fuerzas Ssmicas para T1 = 0.5991 seg.modo/periodo niveles Mk aik Mk x aik Mk x (aik)^2 Adj Vo1 (Ton) factor Vo1 Fi1 (Ton) chequeo

3 0.025 4.0000 0.10000 0.40000 0.50 3.811 3.811

2 0.025 2.0000 0.05000 0.10000 0.25 1.905 5.716

1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 0.25 1.905 7.622 = 0.100 0.20000 0.55000 1.00


3 0.025 -1.0000 -0.02500 0.02500 -0.50 -2.064 -2.064

2 0.025 1.0000 0.02500 0.02500 0.50 2.064 0.000

1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 1.00 4.129 4.129 = 0.100 0.05000 0.10000 1.00


3 0.025 0.3330 0.00833 0.00277 0.50 0.223 0.223

2 0.025 -1.6670 -0.04168 0.06947 -2.50 -1.115 -0.893

1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 3.00 1.338 0.446 = 0.100 0.01665 0.12224 1.00

3T3 = 0,1729

< Tmas0.200 0.446

1T1 = 0,5991

> Tast0.107 7.622

2T2 = 0,2995

< Tmas0.168 4.129

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACIONCombinacin SRSS

MODO NIVEL Fi3 3.811 NIVEL Fi2 1.905 3 4.34 Ton1 1.905 2 3.02 Ton3 -2.064 1 4.74 Ton2 2.0641 4.129 NOTA:3 0.223 1.- Analizar la estructura en el sentido ortogonal 2 -1.115 2.- Efecto rotacional aplicar el Mtodo Torsin Esttica Equivalente.1 1.338

1

2

3

Fuerzas Definitivas

Las Fuerzas Laterales equivalentes definitivas en cada piso, se determinarn utilizando la combinacin modal: RAIZ CUADRADA DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS

13

0

1

2

3

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Modo 1

Modo 2

Modo 3

FORMAS MODALES

T1 = 0.5991 seg

T2 = 0.2995 seg

T3 = 0.1729 seg

4.34 Ton

3.02 Ton

4.74 Ton

FUERZAS SISMICAS POR TRASLACION

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