EN T

OR

NO

AL

AR

GU

MEN

TO M

AES

TRO

DE

DIO

DO

RO

CR

ON

OS

17

7

REVISTA LAGUNA, 9; julio 2001, pp. 177-185

EN TORNO AL ARGUMENTO MAESTRODE DIODORO CRONOS

Manuel González Riquelmediodoro@teleline.es

RESUMEN

El Argumento Maestro de Diodoro Cronos fue muy debatido en la Antigüedad. Marca elcomienzo de un largo debate sobre cuestiones tan importantes como determinismo eindeterminismo, naturaleza de los condicionales y futuros contingentes. Este artículo es unbreve repaso de algunos de estos puntos. Su propósito es derivar el interés hacia estos luga-res y subrayar la importancia de Diodoro Cronos a este respecto.

PALABRAS CLAVE: Diodoro de Cronos, determinismo, indeterminismo, condicionales, futuroscontingentes.

ABSTRACT

«About the Master Argument of Diodorus Cronus». The Master Argument of DiodorusCronus was very debated in the Antiquity. It marks the beginning of a long debate onquestions so important as determinism vs. indeterminism, nature of conditionals andcontingent futures. This article is a brief review to some of these points. Their purpose is toraise the interest for these topics and to highlight the importance of Diodorus Cronus inthis respect.

KEY WORDS: Diodoro Cronos, Determinism, indeterminism, conditionals, contingent futures.

1. PRELIMINARES

Diodoro Cronos (340-280 a. C.) nació en Iaso de Caria, vivió en la corte deAlejandría durante el reinado de Ptolomeo Soter. Diodoro tomó su sobrenombre desu maestro Apolonio Crono. Se le llamó «el lógico» y «el máximo lógico». Casi nadase sabe de la filosofía de Diodoro salvo dos importantes definiciones: 1ª) Una propo-sición es posible, si y sólo si es verdad o será verdadera; 2) una proposición condicional esverdadera, si y sólo si ni es ni fue posible que el antecedente sea verdadero y el consecuentefalso. Dejaremos a un lado la implicación diodórica para centrarnos en la primeradefinición. Como queda dicho, para Diodoro lo posible es lo que es o será verdade-ro. Debemos a Boecio las definiciones diodóricas de los términos «imposible», «ne-cesario» y «no necesario». Lo imposible es lo que, siendo falso, no puede ser verda-

13.pmd 26/02/2013, 9:56177

MA

NU

EL G

ON

ZÁLE

Z R

IQU

ELM

E1

78

dero; lo necesario es lo que, siendo verdadero, no será falso; lo no necesario es lo quees o será falso. Esta es ya, por sí misma, una clasificación de las proposiciones aten-diendo a su forma modal1.

Pero sigamos, es para justificar su definición de lo posible por lo que cons-truyó su famoso Argumento Maestro o Capital entendido por los antiguos comouna prueba eficaz a favor del fatalismo. Consistía en yuxtaponer tres proposicionesde las cuales las dos primeras se consideraban impuestas por su evidencia y la tercerase presentará como una negación de la definición diodoriana de lo posible:

1ª) Toda proposición verdadera que se refiere al pasado es necesaria.2ª) Lo imposible no se sigue de lo posible.3ª) Algo que ni es verdadero ni lo será es posible2.

En el espíritu de Diodoro estas proposiciones eran incompatibles. La evi-dencia que era difícil negar a las dos primeras obligaba a concluir rechazando laúltima, es decir, a admitir que «si no es verdad ni será verdad que p, no es posible quep», proposición que por ley de De Morgan autorizaba a Diodoro a considerar comointerdefinible a la proposición «si es posible que p, entonces es verdad que p o seráverdad que p». Veamos esto: «si no es verdad que p ni será verdad que p, no es posibleque p». Traducido a un lenguaje formal, obtendríamos: ¬p$G¬p = ¬Mp. Así como«si es posible que p, entonces es verdad que p o será verdad que p», que traducido a unlenguaje formal quedaría de la siguiente manera: p4Fp = Mp. Veremos como posi-bilidad e imposibilidad resultan interdefinibles:

p4Fp = Mpp4Fp = ¬(¬p$G¬p), esto es la negación de la tercera tesis diodorianap4Fp = p4¬G¬p, por la ley de De Morgan,p4Fp = p4Fp

De igual modo:

¬p$G¬p = ¬Mp,¬p$G¬p = ¬(p4Fp), y de aquí, por la ley de De Morgan,¬p$G¬p = ¬p$¬Fp, por lo que,¬p$G¬p = ¬p$G¬p.

1 Cf. B. Mates, Lógica de los Estoicos. Madrid, Tecnos, 1985, p. 69 (v.o. B. Mates, StoicLogic. Berkeley y Los Angeles, University of California Press, 1973)

2 Varios autores hacen mención de él pero únicamente es tratado por Epicteto. BensonMates, op. cit., p. 71.

13.pmd 26/02/2013, 9:56178

EN T

OR

NO

AL

AR

GU

MEN

TO M

AES

TRO

DE

DIO

DO

RO

CR

ON

OS

17

9

2. PRIMERAS CONSECUENCIAS

Cleantes y su escuela aceptaron las proposiciones segunda y tercera, en tan-to que rechazaban la primera; Crisipo aceptaba la primera y la tercera mientras quenegaba la segunda. Parece que nadie negó la incompatibilidad de las tres proposi-ciones. Pero ¿por qué son incompatibles las tres proposiciones? Muchas respuestas.Entre ellas, Zeller piensa que Diodoro confundía la consecuencia lógica con la con-secuencia temporal. Puede ser. Y que su argumento venía a ser este:

Supongamos (de acuerdo con 3) que hay una proposición que es posible pero queni es ahora verdadera, ni lo será. En tal caso, su negación es ahora verdadera y seráverdadera siempre. En cuanto el presente se haga pasado, la negación de la propo-sición se hará necesaria (según la primera tesis). Pero si su negación se hace necesa-ria, la proposición misma se convierte en imposible. De este modo, una proposi-ción que era posible se habrá convertido en imposible, violando la segunda tesis deDiodoro3.

¿Tenía razón Zeller? No. No creo que Diodoro confundiera la consecuencialógica con la consecuencia temporal. En el debate con filón de Megara queda claroque la implicación filónica puede expresarse como la implicación russelliana p→q,fórmula exactamente equivalente a ¬(p$¬q), no podemos, en cambio, dar una for-malización conveniente a la implicación diodoriana más que apelando a variablesde tiempo: «sea cual sea el momento t, no se puede dar jamás que p sea verdadera en t yq sea falsa en t». Lo que podríamos simbolizar como œt¬[Tt(p)$¬Tt(q)]. SegúnDiodoro un condicional es verdadero si se satisfacen dos requisitos: 1ª) no es posi-ble que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y 2ª) no fue posible queel antecedente fuera verdadero y el consecuente fuera falso, como señala BensonMates, si nos remitimos a la definición diodórica de «es imposible», hallamos que lacondición primera nos informa de que la negación del condicional no es ahoraverdadera en sentido filónico y no lo será en el futuro. La condición segunda añadeque la negación del condicional tampoco fue verdadera en el pasado. Así pues, si sesatisfacen las condiciones primera y segunda —de hecho la condición segunda porsí sola basta, pero sonaría a paradoja—, la negación del condicional no fue, ni es, niserá verdadera.

Debemos recordar que el antecedente y el consecuente de un condicionaldiodórico son funciones proposicionales, que contienen tácitamente una variabletemporal libre; en tanto que los componentes de un condicional filónico son pro-posiciones. Así, esto es lo más interesante, junto con Benson Mates, podemos decirque en correspondencia con cada condicional diodórico tenemos un número infini-to de condicionales filónicos (uno para cada momento de tiempo). El condicionaldiodórico es verdadero si todos estos condicionales filónicos son verdaderos; pero sihay un tiempo t tal que el condicional filónico que corresponde a este t es falso,

3 Ibídem, p. 72.

13.pmd 26/02/2013, 9:56179

MA

NU

EL G

ON

ZÁLE

Z R

IQU

ELM

E1

80

entonces es falso el condicional diodórico. El condicional filónico sería un tipo másdébil de condicional.

3. NECESIDAD EN EL INSTANTE DADO

Dejaremos de lado el debate de los condicionales e incluso aquél que igualala implicación diodoriana a la implicación estricta de Lewis. Ahora volvamos a suArgumento Principal. Diodoro no está definiendo la «Necesidad» sin más, sino lanecesidad en un instante dado y lo mismo cabe decir de las demás modalidades.Para la tradición megárico-estoica lo posible es lo que está realizado en algún tiem-po, de igual modo, lo necesario es lo que está realizado en todo tiempo. Diodorointroduce un matiz fundamental como el de Necesidad en un instante dado, Posibi-lidad en un instante dado y así sucesivamente. Pues bien, si los enunciados cambiande valor de verdad también cambia de modalidad de acuerdo con las definiciones.Pero no todos los cambios son permitidos por Diodoro. Pues un argumento puedeser posible en un instante dado y necesario con posterioridad. Por ejemplo, «Sefirmará un acuerdo pesquero con Marruecos». Es posible que se firme un acuerdo conMarruecos en materia de pesca en el instante en el que escribo, tal acuerdo seránecesario una vez se haya firmado. Hemos de advertir que cuando una proposiciónsea necesaria o imposible no podrá cambiar su valor de verdad ni su modalidad deacuerdo con las definiciones diodorianas. Pero ¿es esto cierto? La primera tesis delArgumento diodoriano advierte claramente que una proposición verdadera que serefiere al pasado es necesaria. En la base de esta argumentación está la creencia deque el pasado está cerrado y es, a su vez, incontestable. Aristóteles indicó esta cir-cunstancia en la Ética a Nicómaco «Nadie delibera acerca del pasado, sino acerca de loque está aún por venir y es por ello posible, en tanto que el pasado no puede ya dejar dehaber acontecido; Agazón tiene razón cuando afirma: ‘Este es el único poder del quehasta Dios se halla desprovisto, a saber, el de lograr que lo ya hecho no haya sucedido»4.¿Pero es esto efectivamente así?. La proposición «El río Segura arrojó un olor nausea-bundo» es verdadera en el instante en el que la enuncio, pero no es necesaria, en elsentido en que Diodoro define «Necesidad», pues puede que hoy no sea ese el casoni mañana.

Respecto de su segunda tesis, «Lo imposible no se sigue de lo posible». Es algoconvenido por Lógica Modal. Lo imposible y lo posible son contradictorios.

Finalmente, el rechazo de su tercera tesis conduciría a su definición de laposibilidad como aquello que «es o será». Ya vimos como El Argumento da pie aciertas ambigüedades como la sugerida por Zeller.

4 Cf. Ética a Nicómaco, VI, 2, (1139b7-11).

13.pmd 26/02/2013, 9:56180

EN T

OR

NO

AL

AR

GU

MEN

TO M

AES

TRO

DE

DIO

DO

RO

CR

ON

OS

18

1

4. DESARROLLOS POSTERIORES

Por su parte, A. N. Prior en su libro Past, Present and Future, usa operadoresmodales y temporales en su reconstrucción. Interpreta la consecuencia lógicaDiodoriana como implicación estricta. Sostiene que las dos primeras tesis queDiodoro tiene en cuenta pueden ser reformuladas como sigue:

(1) Si ha sido el caso anteriormente, ahora no puede no haber sido el caso(Pp→¬M¬Pp).

(2) Si p necesariamente implica q, entonces si q es imposible, p es imposible tam-bién L(p→q)→(¬Mq→¬Mp).

Y el rechazo de la tercera, lo que Diodoro prueba como derivada de estasdos, queda representada como sigue:

(3) Si ninguna cosa es verdad y no será verdad, es imposible (¬p$¬Fp)→¬Mp.

Según Prior, hay algo que no cuadra en esta definición. Por esta razón in-tentó encontrar algunas adiciones que hicieran el argumento válido. Tales premisasno pueden incluir la definición diodoriana de lo posible como lo que es o seráverdad. Las premisas adicionales que sugirió son las dos siguientes:

(4) Si una cosa es el caso, necesariamente se sigue que siempre ha sido el caso quesería el caso L(p→HFp) o, lo que es lo mismo, en todos los eventos necesa-riamente no ha sido nunca el caso de que sería el caso L(p→¬P¬Fp), y

(5) De cualquier cosa que es y será falsa (es decir, que nada es ni será verdad), ha sidoya el caso que siempre será falsa (¬p$¬Fp) → P¬Fp.

Adoptando estas premisas, el argumento puede, efectivamente, tomar ladiodórica conclusión. Esquemáticamente, esto queda así:

(¬p$¬Fp) → P¬Fp, por (5).→ ¬M¬P¬Fp, por (1), hemos sustituido p por ¬Fp de tal manera que si en(1) teníamos Pp→¬M¬Pp, es fácil llegar a la conclusión que estimamos.

→¬Mp, por (4) y por (2) sustituyendo q por ¬P¬Fp, es decir,L(p→¬P¬Fp)→(¬M¬P¬Fp→¬Mp), es decir, lo que no es ni será es impo-sible. De esta manera, Prior resuelve el trilema diodoriano.

Es así, como A. N. Prior resuelve el Argumento Maestro de Diodoro paraconcluir con él que una cosa que no es ni será verdadera es imposible que suceda5.

5 Cf. A. Prior, Past, Present and Future. Oxford, Oxford University Press, 1967, pp. 32-33.

13.pmd 26/02/2013, 9:56181

MA

NU

EL G

ON

ZÁLE

Z R

IQU

ELM

E1

82

Junto con William y Martha Kneale:

El Argumento Soberano, reposa, así, sobre una ambigüedad. Lo que se dice nece-sario en la primera proposición no es lo mismo que se considera imposible en lasegunda». Todo enunciado verdadero acerca del pasado es necesario en la medidaen que lo que se dice en él que ha pasado ha sucedido de verdad. Pero no es unenunciado acerca del pasado en el sentido de que se siga de un enunciado falsoacerca del futuro, sino sencillamente un enunciado en tiempo pasado. No hay másrazón para atribuir carácter de imposible a un enunciado semejante que para atri-buirlo al enunciado en tiempo de futuro del cual fue derivado. Así, pues, el Argu-mento Soberano falla en tanto que argumento en pro del determinismo6.

Creo que es una distinción importante, es decir, lo que se considera necesa-rio en la primera proposición no es lo mismo que lo que se considera imposible enla segunda. La negación de lo necesario no es lo imposible sino lo contingente. Eneste sentido, lo que se dice necesario en la primera proposición tiene diferente estatusmodal respecto a lo que se dice imposible en la segunda tesis. Por tanto, no conside-ro lícito pensar que lo que fue falso en el pasado es porque era imposible que serealizara, puede, en su lugar, tener un carácter contingente.

Por un lado, parece que Diodoro extrae unas consecuencias deterministasdadas su definición de lo necesario y lo posible. Diodoro quiere oponerse a Deinterpretatione, y a la noción aristotélica de «Potencia» para hablar de lo que es comoaquello que es actual. Aristóteles pone en duda que sea necesario admitir que si esahora verdad que un acontecimiento tendrá lugar, es falso que no tendrá lugar, yque si es ahora falso que tendrá lugar, es ahora verdadero que no tendrá lugar. ParaAristóteles, todas las proposiciones son verdaderas o falsas con excepción de aqué-llas que afirman que algo pasará o no pasará en el futuro, es decir que se refieren aun futuro contingente. Estas proposiciones no son verdaderas porque no ha ocurri-do aquello de que se trata, pero tampoco son falsas porque no afirman que algo noes o no niegan que algo es. Sin embargo, la disyunción de una de tales proposicionescon la negación de ella es necesariamente verdadera. Aristóteles da un ejemplo en suFísica 19a20-30: «necesariamente, mañana habrá o no habrá una batalla naval perono que sea necesario que mañana se produzca una batalla naval ni que sea necesario queno se produzca; sin embargo, es necesario que se produzca o no se produzca». De acuer-do con Jaakko Hintikka en su libro El viaje filosófico más largo7, En contra de latradición megárico-estoica Aristóteles trata de evitar conclusiones deterministas conun desplazamiento de su foco de atención desde enunciados del tipo p en el tiempot0 hacia enunciados no limitados en sentido temporal:

6 Cf. W. y M. Kneale, El desarrollo de la lógica. Madrid, Tecnos, 1980, p. 115 (v.o. W. yM. Kneale, The Development of Logic. Oxford, Oxford University Press, 1962).

7 Cf. J. Hintikka, El viaje filosófico más largo: de Aristóteles a Virginia Wolf. Barcelona,Gedisa, 1998, pp. 70-73.

13.pmd 26/02/2013, 9:56182

EN T

OR

NO

AL

AR

GU

MEN

TO M

AES

TRO

DE

DIO

DO

RO

CR

ON

OS

18

3

No se preocupa, podemos decir, acerca de la implicación «si (posiblemente p ent0), entonces (p en t0)», porque o se olvida o menosprecia los tipos de oraciones quetienen lugar como su antecedente y consecuente.

Según Hintikka, Aristóteles considera que los enunciados de posibilidadson todos enunciados de frecuencia de tal manera que no tiene mucho sentidohablar de posibilidad respecto de un momento singular de tiempo si posibilidad seentiende como probabilidad, en tal caso, los enunciados de posibilidad son enun-ciados de frecuencia, razón por la cual involucran un conjunto de casos. Decir queun acontecimiento individual es posible es para él una manera de decir que la fre-cuencia relativa de los acontecimientos es diferente de cero.

5. LA IDEA DEL TIEMPO RAMIFICADO

Finalmente, diremos que si el tiempo se entiende de una manera lineal esdifícil escapar a un cierto tipo de fatalismo o determinismo si aceptamos las defini-ciones diodorianas de Posibilidad y Necesidad. Pero que si el tiempo se entiende deforma ramificada ambas tesis pueden aceptarse claramente y es fácil ver como eldeterminismo se desvanece. La idea de un tiempo ramificado estaba en el contextológico-cultural de los años 40 y 50. La obra de Borges El jardín de los senderos que sebifurcan del año 41 desarrolla esta idea:

A diferencia de Newton y de Schopenhauer, su antepasado no creía en un tiempouniforme, absoluto. Creía en infinitas series de tiempos, en una red creciente y ver-tiginosa de tiempos, divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos quese aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas lasposibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en la mayoría existe ustedy no yo; en otros, yo, no usted; en otros los dos. En éste, que un favorable azar medepara, usted ha llegado a mi casa; en otro, usted al atravesar el jardín, me ha encon-trado muerto; en otro yo digo estas mismas palabras, pero soy un error, un fantasma8.

La idea del tiempo ramificado fue sugerida a A. N. Prior por primera vez enuna carta de Saul Kripke el 3 de septiembre de 1958. Esta carta contenía una ideainicial del sistema del tiempo ramificado:

En un sistema indeterminado, quizás no consideremos el tiempo como una serielineal, como usted ha hecho. Desde el instante presente, son varias las posibilida-des a través de las cuales el instante siguiente pueda darse (...) y para cada siguientemomento, tenemos varias posibilidades. Por tanto la situación adopta la forma, node una secuencia lineal, sino de un árbol9.

8 Jorge Luis Borges, Ficciones, «El jardín de los senderos que se bifurcan». Alianza. LB320, p. 114.9 Cf. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Entrada Arthur Prior. 1996, 1999. J. Copeland.

University of Canterbury.

13.pmd 26/02/2013, 9:56183

MA

NU

EL G

ON

ZÁLE

Z R

IQU

ELM

E1

84

Prior se entusiasmó mucho con esta carta y la pasó a Ivo Thomas y JohnLemmon. Kripke escribió de nuevo a Prior el 3 de Octubre de 1958.

Sugirió que podemos considerar el presente como un punto de alineación 0y los posibles sucesos o estados en el momento siguiente como puntos de alineación1; por cada posible estado hay varios posibles futuros al momento siguiente desde laalineación 1, el conjunto que podemos señalar como alineación 2, y así sucesiva-mente. De esta manera, es posible formar una estructura de árbol que está represen-tando todos los futuros posibles que pueden expandirse desde el presente (alinea-ción 0) —efectivamente, un conjunto de futuros posibles puede identificarse poralgún estado, o nudo en el árbol—. En esta estructura, cada punto determina unasubestructura consistiendo éstos mismos su presente y futuros propios10.

Alineación 1 Alineación 2 Alineación 3

Prior mejora este esquema e incorpora la idea de la estructura ramificada enel tiempo mismo:

E8

E4

E2

E9

E5

E10

E0

E1

E6

E11

E3

E12

E7

E13

10 Cf. P. Æhrstrom y P. Hasle, Temporal Logic from Ancient Ideas to Artificial Intelligence,Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1995, pp. 189-191.

13.pmd 26/02/2013, 9:56184

EN T

OR

NO

AL

AR

GU

MEN

TO M

AES

TRO

DE

DIO

DO

RO

CR

ON

OS

18

5

En relación con el suceso E5,

el pasado contiene la disposición lineal desucesos representados por E

0, E

1 y E

2. Si consideramos E

5 en el momento presente,

los sucesos E9 y E

10 son alternativas futuras posibles. En relación con E

5, los sucesos

E4,

E6 y E

7 pueden ser considerados como contrafácticos, esto es, si E

5 nunca se rea-

lizó, E4,

E6 y E

7 son efectivamente siguientes posibilidades de realización. Cada E-

nudo representa un conjunto de sucesos y hechos. Si dos hechos pertenecen al mis-mo nudo, como en E

5, entonces pueden ser considerados como simultáneos con E

5,E

4, E

6 y E

7, la otra rama representa una pseudosimultaneidad con E

5, la cual, puede

ser real bajo diferentes condiciones contrafácticas.Otros autores como Nicholas Rescher11 reaccionaron contra la «rendición»

de Prior del tiempo ramificado. En Rescher tenemos una «ramificación en el tiem-po» pero no un «tiempo ramificado12». Storrs McCall señala que el paso del tiempoes equivalente a la pérdida de las posibilidades13. Esta observación enfatiza como eltiempo ramificado es dirigido solo hacia el futuro, esto es, por algún punto en elsistema que allí existe sólo como posible pasado. Desde luego, el problema del estatusontológico del futuro posible es algo complicado.

6. RECAPITULACIONES

En resumen, no profundizaremos en esta idea del tiempo ramificado ya quenuestro trabajo se alargaría aún más, pero es evidente que con el modelo de árbol nece-sidad, y posibilidad se pueden hacer relativas a instantes y a ramas. De modo que lo queresulte necesario en una rama no tiene por qué darse del mismo modo en otra. Fatalismoy determinismo desaparecen por sí mismos. Resta decir que Diodoro fue un pionero enmuchos sentidos. En primer lugar, fue el primero en introducir consideraciones moda-les-temporales en la historia de la Lógica; en segundo lugar, y en relación con lo anterior,suscitó el problema de la implicación material y estricta en su disputa con Filón deMegara, tal y como siglos después harían Bertrand Russell y C. I. Lewis; continuó eldebate abierto en De interpretatione IX, por Aristóteles sobre los futuros contingentes ysu valor de verdad, en relación con lo cual quedaba abierta la vía a una lógica alternativapolivalente como la desarrollada por Lukasiewicz en los años veinte que cuestionaba lavalidez del Principio de Bivalencia y el Principio de Tercio Excluso; dependiendo de loanterior, levantó la polémica en torno al fatalismo en relación con el libre albedrío; y,definitivamente, estableció las bases de lo que a partir de los años 50, y representada enla figura de A. N. Prior, sería la Lógica Temporal.

11 P. Øhrstrøm y P. Hasle, op. cit., pp. 183-220, aluden a N. Rescher, «Truth and Necessityin Temporal Perspective», en R. Gale (Ed.) The Philosophy of Time, New Jersey, 1968.

12 «To Rescher we have a «branching in time», but not «branching of time»». En P. Øhrstrømy P. Hasle, ibídem, p. 192.

13 «The passing of time is equivalent a loss of possibilites!», en S. McCall, «Objective TimeFlow», Philosophy of Science, vol. 43 (1976), pp. 337-362.

13.pmd 26/02/2013, 9:56185