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I

I

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I

N~i

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en

Calle 4 NQ 25-2 12 ...............u l........ de C.P. 53370

la

1524

en

nJ ........ 1"~>r1

in

tVle:X1C:O

Contenido

Prlogo Captulo 1

ix

Introduccin a los sistemas de control en tiempo discreto

1

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5Captulo 2

INTRODUCCiN, 1 SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL, 5 CUANTIFICACiN Y ERRORES DE CUANTIFICACiN, 8 SISTEMAS DE ADQUISICiN, CONVERSiN Y DISTRIBUCiN DE DATOS, 11 COMENTARIOS FINALES, 20

La transformada z

23

2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7

INTRODUCCiN, 23 LA TRANSFORMADA z, 24 TRANSFORMADA z DE FUNCIONES ELEMENTALES, 25 PROPIEDADES Y TEOREMAS IMPORTANTES DE LA TRANSFORMADA z, 31 LA TRANSFORMADA z INVERSA, 37 MTODO DE LA TRANSFORMADA z PARA LA SOLUCiN DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS, 52 COMENTARIOS FINALES, 54 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 55 PROBLEMAS, 70v

vi

Contenido

3

en3-1 3-2 3-3

%

en

74

75 DElA

3-5 122

Ll"llnll'llIUn

41"0l"Il.1'11111"41'11.1

en

lng:oln'1ln,n .f'tlrCI"II",At'n

mediante me:roc::Ios

4-4

193

5" 1"1 1 u: u:

en

293

5-6

Contenido

vii

-Captulo 6 Ubicacin de polos y diseo d~ \ observadores 377

6-1 6-2 6-3 6-4 65 6-6 6-7

INTRODUCCiN, 377 CONTROLABILlDAD, 379 OBSERVABILlDAD, 388 TRANSFORMACIONES TILES EN EL ANLISIS Y DISEO EN EL ESPACIO DE ESTADOS, 396 DISEO VA UBICACIN DE POLOS, 402 OBSERVADORES DE ESTADO, 421 SISTEMAS DE SEGUIMIENTO, 460 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 474 PROBLEMAS, 510

Captulo 7 Enfoque de ecuaciones polinomiales para el diseo de sistemas de control 517

7-1 7-2 7-3 7-4 75

INTRODUCCIN,517 LA ECUACiN DIOFANTINA, 518 EJEMPLO ILUSTRATIVO, 522 ENFOQUE DE ECUACIONES POLINOMIALES PARA EL DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL, 525 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE EL ACOPLAMIENTO A UN MODELO, 532 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 540 PROBLEMAS, 562

Captulo 8 Sistemas de control ptimo cuadrticos 566

8-1 8-2 8-3 8-4

INTRODUCCiN, 566 CONTROL PTIMO CUADRTICO, 569 CONTROL PTIMO CUADRTICO EN ESTADO ESTACIONARIO, 587 CONTROL PTIMO CUADRTICO DE UN SISTEMA DE SEGUIMIENTO, 596 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 609 PROBLEMAS, 629

Apndice A Anlisis vecto~ y matrices 633

A-1 A-2 A-3

DEFINICIONES, 633 DETERMINANTES, 633 INVERSiN DE MATRICES, 635

viii

Conlenido

A4 A-5 A-6 A7 A-8

REGLAS DE OPERACIONES CON MATRICES, 637 VECTORE'S y ANLISIS VECTORIAL, 643 VALORES PROPIOS, VECTORES PROPIOS Y TRANSFORMACIONES DE SIMILITUD, 649 FORMAS CUADRTICAS, 659 PSEUDOINVERSAS, 663 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 666

Apndice B Teora de la transformada z

681

Bl B-2 B-3 B-4

INTRODUCCiN, 681 TEOREMAS TILES DE LA TRANSFORMADA z, 681 TRANSFORMACiN INVERSA z Y EL MTODO DE LA INTEGRAL DE INVERSiN, 686 MTODO DE LA TRANSFORMADA z MODIFICADA, 691 PRO'BLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 697

Apndice

e704

Diseo por ubicacin de polos cuando la seal de control es un vector

C-l C-2 C-3

INTRODUCCiN, 704 DISCUSiN PRELIMINAR, 704 DISEO POR UBICACiN DE POLOS, 707 PROBLEMAS DE EJEMPLO Y SOLUCIONES, 718

Bibliografa

730

ndice

735

ix

x

Prefacio

y vectores. En el apemolce ..... "'.,.,""y,'fo ....~,.,.""' en el "" . . ,J ...,.... v

el

a, ..... ",nr1ll"

Mmn(~sota.

En un curso un temas a tratar. En un curso

el es

xi

I

I

I

1-1

1

2x(t)

Introduccin a los sistemas de

en

discreto

al

ox(t)

b}

o

x)

el

ox{t)

dI 1-1 a) Seal analloglc:a continuo; b) seal cuantificada en corltmuo~ e) seal de datos rrlllPcr. .. !'ull'lc d) se'al

o

-1

Introduccin

3

discreto.

que se tratan en es/e libro. consideran en este I son en su mayora l.,,'"', .... ,..,.., te se\1.\ifPIlIfI."

leaam::s no

Sis/enzas de eOIl/rol en

continllo y enrI ....... II ....... t'o

son en valores discretos de

sistemas en los cuales una o ms de las Estos se ""t" ..."..... n-''''' . .

4

Introduccin a los sistemas de control en

discreto

'" ..""..........,'"' entreel

..... . . , . I I U ..... " ......

la seal enmuestreo

se con-

de

una

Seccin 1-2

Sistemas de control

5

de estas

es muy

SISTEMAS DE CONTROL. DIGITAL

es una en ""'-"".11 el circuito de muestreo y en e I de muestreo. La co:mrmt:adc)rao..IVllU"'V

1"" V

+

+1-+-------1

1-2

lt!Hlrl"'O'ln.. ~

de

de un sistema de control

6

Introduccin o los sistemas de conlrol en

discrelo

1-3

de un sistema de control

que muestra bs seales en fonTIa binaria o

enla

Seccin 12

Sistemas de contra! digital

7

. Convertidor analgico-digital (AID) , Un conveliidor tambin conocido como codificador, es un dispositivo que convierte una seal analgica en una seal,digital, usuahnente una seal se necesita como una entre un y uno un muestreo y es una parte integral de un convertidor A/D disponible comercialmente. La conversin de una seal analgica en la es una la puede adoptar un nmero infinito de que la nmeros que se pueden formar mediante un conjunto finito de dgitos est limitada. Este proceso de aproximacin se la 1-3 se acerca la

Un convertidor digital-analgico, do decodificador, es un dispositivo que una (datos te) en una seal analgica. Dicho convertidor es necesario como una interfaz entre un componente y unoPlanta o proceso. Una planta es cualquier objeto fsico a ser controlado. Como ejemplos se un horno, un reactor qumico y un manera conjunta para'lIevar a cabo una operacin particular, tal como un sistema de seguimiento o una nave

En general, un proceso se como una o un desarrollo marcado mediante una serie de cambios graduales que suceden uno a otro de una manera relativamente fija y conducen hacia un o este se proceso a cin a ser controlada. Como ejemplos se pueden citar procesos qumicos, econmicos y biolgicos, La ms en el sistemas de control puede en el de una planta o proceso fsico. una planta o proceso pero, aun as, pueden existir dificultades, debido principalmente a la falta de precisin en la del proceso y a la de parmetros aleatorios en muchas o ........ r.J""''''''nctisicos. Por tanto, en el un es reconocer el hecho de el modelo matemtico de una planta o proceso en muchos casos es slo una aproximacin del proceso fisico. Existen algunas excepciones en el modelado de sistemas electromecnicos y stos se manera modelado de un sistema de un brazo manipulador (robot) se puede llevar a cabo con una gran precisin.Transductor Un transductor es un dispositivo que una de entrada en una seal de salida de naturaleza diferente a la de entrada, tal como los dispositivos que al de en una sal ida de En la seal de

clasi ficar como transductores analgicos, de datos o es en que las de entrada y salida son funciones continuas del tiempo. Las magnitudes de estas seales pueden tomar cualvalor de las limitaciones fisicas del sistema. Un transductor muestreados es en el de y salida se en mente peridicos), pero las magnitudes de las seales, como en el caso de los transductores analgicos, no estn cuantificadas. Un transductor digital es aquel en el que las seales de entrada y salida se t"\,.~>C"",nT'='ln s lo en va lores de y las de las estn (esto es, solamente pueden adoptar ciertos valores discretos).

8

Introduccin o los sistemas de control en

discreto

1.

2.3.

esto es,

tk

+r

tk

es

4.

muestreo son

o t k es una

En este

el caso

el muestreo es

y ERRORES DE ................ ...

Seccin 1-3

Cuantificacin y errores de cuantificacin

9

est ms a la y se le conoce como el (1 veces la esta manera,

menos

11 .r":.lTlI"""

es el nivel

con sus carac-

est enn.1-o .. "'..... " .....

entre la

la

"''::>,,'''''''"''

error

o le(t)1

~

!

10

Introduccin a los sistemas de control y

x

al

x{t)

y(t)

obl

e2

2

ell,narr,..rr,,..

de

entrado "n",lnnlll""> cuanti ficlcin e{r).b)

de un cuantificador y sus caractersticas entrada-salida; e) distribucin de P(e} del error de

Seccin 1-4

Sistemas de adquisicin, conversin y distribucin de dotas

11

como se muestra en la figura 1-4c). El valor promedio de e(t) es cero, o e(t) = O. Entonces la varianza er" del ruido de cuantificacin es

De esta manera, si el nivel de cuantificacin es pequeo comparado con la amplitud promedio de la seal de entrada, entonces la varianza del ruido de cuantificacin es un doceavo del cuadrado del nivel de cuantificacin.

J-4 SISTEMAS DE ADQUISICIN, CONVERSIN Y DISTRIBUCIN DE DATOS

Con el crecimiento rpido en el uso de computadoras digitales para ejecutar las acciones de un control digital, tanto los sistemas de adquisicin de datos como los de distribucin se han convertido en una parte importante de todo sistema de control. La conversin de seales que tiene lugar en el sistema de control digital involucra las siguientes operacion~s:1.

2. 3. 4.

Multiplexacin y demultiplexacin Muestreo y retencin Conversin analgico-digital (cuantificacin y codificacin) Conversin digital-analgico (decodificacin)

En la figura 1-50) se muestra el diagrama de bloques de un sistema de adquisicin de datos yen la figura 1-5b) se muestra un diagrama de bloques de un sistema de distribucin de datos. En el sistema de adquisicin de datos, la entrada al sistema es una variable fisica tal como posicin, velocidad, aceleracin, temperatura o presin. Dichas variables fsicas primero se convierten en una seal elctrica (una seal de voltaje o corriente) mediante un transductor apropiado. Una

V,'r~'tt

11e,"r"'I"\".

como

cociente de dos

po 11 IIl(Jm lOS en

1\1 dividir el numerador entre el aerlOIT1lmlUOir,

obtiene

4zPor lo tanto,

!

+ 7z- 2 +1

+ ...

Captulo 2

Problemas de ejemplos y soluciones

63

x(l) = 4 x(2) = 7 x(3) = 10

i\flodo 2: mlodo computacional (enfoq1le de MATLA BJ.

La.Y(.:) se puede escribir como

X(z) =

Z2 Z2 -

+ 2z 2z + 1

Por lo tanto. la trnnsformada.: inversa de )((.:) se puede obtener con MATLAB como sigue: Ddina

num = [1 den = [1Si se desean los valores de x(k) para k = como sigue: .....O~

2 O]-2 1]

1.2, . .. , 30, entonces introduzca la entrada delta de Kronecker

uLuego introduzca el comando

= [1

zeros(1,30)]

x = fi Iter(num,den u)Vase el progrnma para MATLAB 2-3. [La pantalla mostrnr la salida x(k) desde k = O hasta k = 30.] (Los calculos de MATLAB comienzan desde la columna I y terminan hasta la columna 31. en lugar de empe-

Pmgrilnlil pClra MATLAB 23 num =!1 2 01; den = 11 -2 11; II = ! 1 zeros( 1,30)]; x = filler(numden,u)

x= columns 1 Ihmugh 124

7

10

1.1

16

19

22

-

')r:" .)

28

31

34

Columns 1J lhrough 24

37

40

43

46

49

52

55

58

61

(l4

67

70

Cnlumns 25 lhrollgh J 1

7J

7()

79

B2

85

88

91

64zar en la columna Oy terminar en la Los valores1

lo transformado z

dan la transformadaz inversa

Esto es,

=4=7

91,\dtodo 3: mtodo de la e;'(l,ar.rsicm

Se

en las "'."''''''"'... r''.... fracciones

X(z)

--:::-_----

=

1 + --- +

3z

1Z

1 = 1 + (1 -

si advertimos que

l, { 0,

kk

O1,2,3, ...

k = 0,1,2, ...k

1,2,3, ...

kobtenemos1

O

= 3k + 1,que se combinar en una ecuacin en la= 3k

k

= 1,2,3, ...forma:

1,

k

0,1.L/ . . , ........,,"'.;}

Observe que si se

pvr-.'?lnt"1p

en las slg,Ule:nH~S fracciones4

= 1

+

z- 1

+ -----,se convierte en

3

---+---~

entonces la transformada z inversa de = 1

x(k) = 4 +o

1) = 3k + 1,

k

1,2,3, ...

= 3k

1,

k

O, 1, 2, ...en otras fracciones parCiales. pero el resultado final para la

que es el mismo resultado que se obtuvo mediante la eXiJanSICfn que se en diferentes fracciones transformada z inversa es elp'lllprrp

ivftodo 4: mtodo de la

fntl~r:7J'JrJl

de inversin.

1.>"""'-'1""""

observe que

Parak= 0,1,2, .. "

tiene un

doble en z

l. Por lo tanto, con referencia a la ecuacin

'-UUIJ'UIU

2

Problemas de elemp,lOs y soluciones

65

se tiene=

en el

z=

, d 1 =---lm1 z-l dz

;::

+k = O, 1,2, ...

= 3k + 1,A-2-11

Resuelva 1a ~.",~,~".~ ecuacin en diferencias:- 1) +

= u(k)0,1,2, ...

donde

=

O para k < O Y

kSolucin

k k-m

Puesto que I( 1 -

1, lim

k-.cc

Por lo tanto,

Hm...!..---..t..-..-

=::: - - -

= 1.6180

JUJ ............. v

A-2-14 Con referencia al A-2-13, escriba un programa para MATLAB a fin de generar la serie de Fibonacci. Desarrolle la serie de Fibonacci hasta k 30.

Solucin

La transformada de la ecuacin en diferencias

+ est dada por

1) +

+Al resolver paray sustituir los datos iniciales

se tiene quez

z

1

La transformada inversa de dar la serie de FibonaccL Para obtener Ia transformada z in versa Ia de este sistema a la entrada del ta de Kronecker. El programa para MATLAB 2-4 dar como resultado la serie de Fibonacci.para MATLAB 2-4 Serie de Fibonacci - - la serie de Fibonacc se generar como la a la entrada delta de Kronecker, donde z - l} ." ..... "

"rnaY'::lm:::.

%Ojo ,,1t"'**

respuesta de

Captulo 2

Problemas de ejemplos y soluciones

69

La salida filtrada y qtle se muestra a continuacin da la serie de Fibonacci.

x=Columns 1 through 6

oColumns 7 through 12

2

3

5

8

13

21

34

55

89

Columns 13 through 18

144

233

377

610

987

1597

Columns 19 through 24

2584

4181

6765

10946

17711

28657

Columns 25 through 30

46368Column 31

75025

121393

196418

317811

514229

832040Observe que la columna I corresponde a k = O Y la columna 31 corresponde a k = 30. La serie de Fibonacci est dada por

x(O) = Ox(l) = 1

x(2) = 1

x(3) = 2x(4) = 3

x(5)

=5

x(29) = 514,229

x(30) = 832,040Ejemplo A-2-15 Considere la ecuacin en diferencias

x(k + 2) + ax(k + 1) + (3x(k) = O

(2-32)

70

Lo transformado z

Captulo

2

Figurn 2-7 Regin del plnl10 a{3 en la que ll serie solucin de la ecuacin (2-32). sujeta a lls condiciones iniciales, es linita.

Encuentre las condiciones sobre a y f3 para las cuales la serie solucin de x(k) para k = O. 1.2 ..... sujeta a las condiciones iniciales, es finita. Solucin Definasea = a

+ b,

f3 =

ab

Entonces, con referencia al ejemplo 2-19, la solucin .y(k) para k = O, 1, 2.... puede darse mediante

x(k)

=

bx(O) + x(l) (-a)k b - Q

+ ax(O) + x(l) (-b)ka- b'

x(O)(_Q)k + [ax(O)

+ x(1)]k(-a)k-\

a = b

La serie solucin _y(k) para k = O, 1, 2, ... , sujeta a las condiciones iniciales x(O) y x( 1). es finita si los valores absolutos de a y b son menores que la unidad. As , sobre el pl1no a{3. se pueden localizar tres puntos crticos:aa

= 2, = -2,

f3

= 1 = 1 = -1

f3f3

a = 0,

El interior de la regin limitada por las lneas que conectan a estos puntos satisface la condicin 101 < 1. Ibl < 1. Las lneas de la frontera pueden darse por f3 = 1, {~ - f3 = I Y a + {3 = -l. Vase la figura 2-7. Si el punto ((X, 13) cae dentro de la regin triangular sombrenda. entonces la serie solucin x(k) para k = O. 1. 2, ... , sujeta a las condiciones iniciales _\"(0) y x( 1), es finita .

PROBLEMASProblema B-2-1 Obtenga la transformada z de

1 x (1) = - (1 - e - UI )a

donde {J es una constante.

'-UI..JIIUIU

2

Problemas

71

Problema B-2-2 la transformada,: de!? Problema 8-2-3 '-... u' , .... , ,,,,-u la transformada _ de Problema B-2-4,-",U"\"'-""-"

la transformada:; de la

.:lII;:;.U ..... UL\..

+ 3,queProblema B-2-5Encuentre la lmnsformada _ dek

k

0,1,2, ...

O p 2w] entonces, a partir del conocimiento de la seal muestreada, es tericamente posible reconstruir con exactitud la seal en tiempo continuo original. A continuacin, se har uso de un enfoque grfico intuitivo para explicar el teorema del muestreo. Para un enfoque analtico, vase el problema A-3-1 O. Para mostrar la validez del teorema del muestreo, se necesita encontrar el espectro en frecuenciaI X(jw) I

-w,

o

w,

w

Figura 3-10

Un espectro en frecuencia .

Seccin 3-4

Reconstruccin de seales

nflf"1,nr,I"",

a

de seales mueslreadas

91

=+

+

+ ...

=ens=sl'

se muestranI X*{jw) I

0,1,2, .. contra w

w

al

X"(wl I

w

b)

3-11(J,_

Grlicas de espectros en frecuencia delIJ,

contra w para dos valores de frecuencia de muestreo

a) w, > 2w: b)

2w], mientras que la figura 3-11 b) corresponde a Ws < 2w]. Cada una de las grficas de \x(jw)1 contra w consiste en IXUw)1I Trepetido cada W s = 2nITrad/s. En el espectro en frecuencia de lK(jw)lla componente IX(jw)IITse denomina componente primaria, y las otras componentes lX(j(w wlk)) liT se denominan componentes complementarias. Si W x < 2w], las componentes de IX (jw)1 no se traslaparn, y el espectro en frecuencia muestreado se repetir cada W.r rad/s. Si w. < 2w], la forma original de lX(jw) I no aparece ms en la grfica de ~Y"(jw)1 contra w debido a la superposicin de los espectros. Pdr lo tanto, se ve que la seal en tiempo continuo x(t) se puede reconstruir a partir de la seal muestreada mediante impulsos x (1) a travs de filtrado si y slo si w.\.>2w].

Se debe observar que aunque el requisito de la frecuencia de muestreo mfnima se especifica en el teorema del muestreo como ws > 2w], donde w] es la componente de ms alta frecuencia presente en la seal , algunas consideraciones prcticas sobre la estabilidad del sistema en lazo cerrado y otras consjderaciones de diseo pueden hacer necesario muestrear a una frecuencia mucho ms alta que este valor mnimo terico. (Con frecuencia, w.\.se elige como 1Ow] o 20w].)Filtro paso-bajas ideal.

La amplitud del espectro en frecuencia de un filtro paso-bajas ideal

Gl (jw) se muestra en la figura 3-12. La magnitud del filtro ideal es unitaria sobre el intervalo de

frecuencias -f W-r :::; W :::; W s y es cero fuera de este intervalo de frecuencias. El proceso de muestreo introduce un nmero infinito de componentes complementarias (componentes de bandas laterales) adems de la componente primaria. El filtro ideal atenuar todas las componentes complementarias hasta cero y pennitir slo el paso de la componente primaria, siempre que la W s sea dos veces mayor que 1a componente de ms alta frecuencia de la seal en tiempo continuo. Dicho filtro ideal reconstruye la seal en tiempo continuo representada por las muestras. En la figura 3-13 se muestran los espectros en frecuencia de las seales antes y despus del filtrado ideal. El espectro en frecuencia a la salida de) filtro ideal es liT veces el espectro en frecuencia de la seal en tiempo continuo original x(l). Debido a que el filtro ideal tiene caractersticas de magnitud constante para la regin de frecuencias W s :::; w ~ w no hay distorsin en ninguna frecuencia dentro de este intervalo. Esto es, no hay corrimiento de fase en el espectro de frecuencia de un filtro ideal. (El corrimiento de fase del filtro ideal es cero.) Se debe observar que si la frecuencia de muestreo es menor que el doble de la componente de mayor frecuencia de la seal en tiempo continuo original, entonces, debido a que los espectros en

+

-+

+

l

.,

1

G,(jw}

1I

o2 2

w

Figura 3-12 bujas ideal.

Espectro de frecuencia en amplitud de un filtro paso-

Seccin 3-4

Reconstruccin de seales originales a partir de seales muestreadas

93I Y(jwl I

I X(jw) I

------------~~------------------~~ X"X(s)(s)

-w,

O

w,

w

liQ,liW

-w,

-w,

O

w,

w,

wFiltro ideal

G,(jw)

Y(s)

-

Figura 3-13

Espectro

~n

frecuencia de las sel1ales antes y despus del filtrado ideal.

frecuencia de la componente primaria y complementarias se traslapan, aun el filtro ideal no puede reconstruir la seal original en tiempo continuo. (En la prctica, el espectro en frecuencia de la seal en tiempo continuo en un sistema de control se puede extender ms all de ws , incluso cuando las amplitudes a altas frecuencias son pequeas.) -

+

El filtro paso-bajas ideal l/O es !lsicall1ellte realizable. Se encontrar la respuesta impu Iso del filtro ideal. Se mostrar que para el filtro ideal se requiere una salida antes de que se aplique la entrada al filtro. AS, ste no es fisicamente realizable. Debido a que el espectro en frecuencia del filtro ideal est dado por.

G(jw)

=

{1, 0,-'>l

- !ws ~ w ~ !ws en otro caso

la transfonnada inversa de Fourier del espectro en frecuencia da como resultado

g(t)

=

1 JOO .W1 21T G(jw)e/ dw

1 l = -- JW l2 ejw1dw

271'

-ts12_ e-(ll2)jwJ

= __ (e(ll2)j~1 1_.21T Jt= -

r)

1

1ft

wt sen-s

2

o(3-35)La ecuacin (3-35) da la respuesta impulso unitario del filtro ideal. En la figura 3-14 se muestra una grfica de g/(l) contra /. Ntese que la respuesta se extiende desde t = -x. hasta / = oo. Esto implica que existe respuesta para 1 < Oa un impulso unitario que se aplica en t = O. (Es decir, la respuesta en el tiempo empieza antes de que se aplique la entrada.) Esto no puede ser cierto en el mundo fisico. Por lo tanto, dicho filtro no es fisicamente realizable. [Sin embargo en muchos sistemas de comunicaciones, es posible aproximar g/(L) mediante la adicin de un atraso de fase, lo cual significa agregar un retraso al filtro. En sistemas de control realimentado, incrementar el atraso de fase no es deseable desde el

94

Anlisis en el plano

z de

sistemas de control en tiempo discreto

Captulo 3

figura 3-14

Respuesta nI impulso g{t) de un filtro ideal.

puno de vista de la estabilidad. Por lo tanto, se evita agregar atrasos de fase para aproximar al filtro ideal.] Puesto que el filtro ideal es irrealizable y debido a que las seales en sistemas de control prcticos, en 'general tienen componentes de alta frecuencia que no estn limitados en banda de manera ideal, esto no es posible, en la prctica, para reconstruir con exactitud la seal en tiempo continuo a partir de la seal muestreada, no importa qu frecuencia de muestreo se elija. (En otras palabras, desde el punto de vista prctico, no es posible reconstruir con precisin la seal en tiempo continuo en un sistema de control prctico una vez que ste se ha muestreado.)

Caractersticas de respuesta en frecuencia de transferencia de un retenedor de orden cero es

1111

retenedor de orden cero.

La funcin de

(3-36)Para comparar al retenedor de orden cero con el filtro ideal, se obtendrn las caractersticas de respuesta en frecuencia de la funcin de transferencia del retenedor de orden cero. Mediante la sustitucin dejw por s en la ecuacin (3-36), se obtiene. 1 - e- Tjw GhO(jw) = - - .]W2e-(II2)1/w(e(1I2)Tw _e-(If2)Tw)

2jw=

T sen (wT/2) wT/2

e -(If2)Tjw

La amplitud del espectro en frecuencia de ClIO (jw) esIG'lo(Jw)1 = T

.

Isen(wT/2) I wT/2

(3-37)

La magnitud se hace cero en la frecuencia igual a la frecuencia de muestreo y en mltiplos enteros de la frecuencia de muestreo . En la figura 3-15a) se muestran las caractersticas de respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero. Como se puede observar a partir de la figura 3-15, existe un pico de ganancia no deseado

Seccin 3-4

Reconstruccin de seales originales a partir de seales muestreadas

9S

en las frecuencias d~ 3w./2, 5w/2, etctera. Ntese que la magnitud es ms de 3 dB abajo de (0.637"= -3.92 dB) I;!n la frecuencia 1W,. Debido a que la magnitud decrece en fonna gradua~ a medida que la frecuencia se incrementa, las componentes complementarias se atenan gradualmente hast'a cero. Puesto que las caractersticas de magnitud del retenedor de orden cero no son constantes, si el sistema est conectado a un muestreador y retenedor de orden cero, se presenta distorsin en el espectro en frecuencia del sistema. Las caractersticas de corrimiento de fase del retenedor de orden cero se pueden obtener como sigue. Observe que sen (wT/2) adopta valores positivos y negativos a medida que w se incrementa de O a w" de w, a 2cv." de 2w.\ a 3iV" y as sucesivamente. De este modo, la curva de fase [parte inferior de la figura 3-15a)] es discontinua en w = kiV, = 27fk/T, donde k = 1,2, 3, .... Dicha discontinuidad o cambio de un valor positivo a uno negativo, o viceversa, se puede considerar como un corrimiento de fase de 180. En la figura 3-150), se supone que el corrimiento de fase es de -180. (Se puede suponer tambin que es de + 180. ) De esta manera,

= ~

/ (t - kT)

La transformada de Fouricr de x*(t) es

X*(jw) =

f.

e-i'x(t)dt =

r. e-i.{~.

x(kT)8(t - kT)]dt

Captulo 3

Problemas de ejemplo y soluciones

151

k=-x

As. X'Uw) ~sl determinada en forma nica por x(kD, k = ... ,-2, -1, O. 1, 2, .... Refirindose a la ecuacin (3-27), la transformada de Fourier de_l*(t) puede estar dada por

X'(j",)

= ~k~~ X(jw

+ j""k)

Debido a que el espectro en frecuencia de la seal en tiempo continuo original -'(/) est limitada entre -W 1 y CUI' se tieneX(jw) =0.

pma

w

< -WI Y W I [r(kT) - 2r((k - I)T)+ rk - 2)T) - c(kT) + 2c(k - l)T) - c((k - 2)T)]

160

Anlisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto

Captulo 3

El esquema de control PID en la forma de velocidad dado por la ecuacin (3-106) se puede modificar de algn modo en una forma diferente para hacer frente a grandes cambios sbitos en el.punto de ajuste. Puesto que las acciones de control proporcional y derivativo producen grandes cambios en la salida del controlador cuando la seal que entra a ste presenta un cambio sbito grande, para suprimir dichos cambios en la salida del controlador, los tnninos proporcional y derivativo digitales se pueden modificar como se discute a continuacin. Si los cambios en el punto de ajuste [entradar(k7)] son unaserie de cambios de tipo escaln, entonces inmediatamente despus de que un cambio escaln tiene lugar, la entrada r(kT) permanece constante por un tiempo hasta que el siguiente cambio escaln tiene lugar. Por tanto, en la ecuacin (3-106) se supone que

r(kT)

= rk - l)T) = rk - 2) T)

(Observe que esto es cierto si la entrada pennanece constante. Pero se supone que esto sigue siendo cierto aun si un cambio escaln tiene lugar.) Entonces la ecuacin (3- J 06) se puede modificar a

Vm(kT) = -Kp[c(kT) - ck - 1)T)] + K[r(kY) - c(kT)] - KD[c(kT) - 2ck - 1)T) + ck - 2)T)]La transformada z de la ecuacin (3-107) da como resultado

(3-107)

(1 - z-l)M(z)

= -K p (1

- Z-I)C(Z)

+ K[R(z) - C(z)]

- K D (1 - 2z- 1 + Z-2)C(Z)Al simplificar, se obtiene R(z) - C(z) 1 _ Z-1

M(z)

=

-KpC(z) + K

-

, KD(l - z-t)C(z)

(3-108)

La ecuacin (3-108) da el esquema de control PIO en la [onna de velocidad. El diagrama de bloques de la realizacin del esquema de control PID digital en la forma de velocidad se mostr en la figura 3-30.Problema A-3-18 Considere el sistema que se muestra en la figura 3-60a). Obtenga la salida en tiempo continuo cU) de modo que se pueda determinar la salida entre dos instantes cualesquiera de muestreo consecutivos. Encuentre la expresin para la salida en tiempo continuo c('). El periodo de muestreo T es de 1 segundo.

Solucin

Para el sistema que se muestra en la figura 3-60a), se tiene

C(s)

=

G(s)E*(s)

E(s) == R(s) - C(s) Por lo tanto, E*(s) = R*(s) - C*(s) = R*(s) - G*(s)E*(s)o

E (s) - 1 + G* (s)De este modo, R* (s) C(s) = G(s)l + G*(s) La salida en tiempo continuo C(/) se puede por tanto obtener como la transfonnada inversa de Laplace de C(s):

*

_

R*(s)

.... u!-J",.... ,v

3

Problemas de elEimlJIO

y solucionesGIs)

161

R(s)

v

GIs}

al

blc(t}

1.5

Puntos de sallda que se obtienen mediante el clculo de las muestras

1.0

0.5

o

2

3

4

5

6

7

e)3-60 a) Sistema de control en individuales: e)

de las rl!Spucstl5 nicmllral.

= 5,fPara este sistema.

+1)

162

Anlisis en el plano z de sistemas de control en tiempo discreto

Captulo 3

Por tanto,

c(t)Definase

=

::e*

1

[1 -s

e-s

ses + 1) 1 + G*(s)

1

R*(S)]

X (s) = (1 - e ) 1 + G* (s)Entonces la expresin de la transfonnada z para esta ltima ecuacin es_1

-s

R*(s)

X(z)

= (1

- z

R(z) ) 1 + G(z)

Con referencia a la ecuacin (3-58) para la transformada z de G(s), se obtiene1 1 - Z-1 0.3679z- 1 + 0.2642z- 2

X(z)

= (1

-

Z-I)

1 + (1 - O.3679z- I )(1 1 - 1.3679z1Z-I1

Z-I)

+ 0 .3679z-

2

+ 0.6321z- 2s2r

Por tanto, al observar que el periodo de muestreo Tes 1 segundo o T= 1, se tiene

X* ( ) = 1 - 1.367ge- + 0.367ge s 1 _ e-s + 0.6321e- 2rPor lo tanto,

c(t) =

9;-1[S2(S

1

1- - 1.367ge-

s

+ 0.367ge- 2r ]

+ 1)

1-

e-~

+ O.6321e-2.I"

= ~-{S2(S 1++ Oe-- +Puesto que

1) (1 - 0.367ge-' - 0.6321e-2< - 0.3996e-"

0.2526e-~ + 0.2526e-& +S2(S

... )]

1 1 1 1 ---=---+--

+ 1)

S2

S

S

+1

la transformada inversa de Laplace de esta ltima ecuacin es

;e-I[Por tanto, se ,obtiene ' c(t)

1S2(S

+ 1)

] = t - 1

+ e-

l

= (t

- 1

+ e-

I

)

-

0.3679[(t - 1) - 1 + e-(,-l)]l(t - 1)

- 0.6321[(1 - 2) - 1 + e-(1-2)]1(t - 2)

- 0.3996[(t - 3) - 1 + e-(1-3)]1(t - 3)

+ O.OOOO[(t - 4) - 1 + e-(1-4)]1(t - 4)+ 0.2526[([ - 5) - 1 + e- U- 5 )]1(t - 5)

+ 0.2526[(1 - 6) - 1 + e-(1-6)]1(t - 6)

+ ...

(3-109)

Captulo 3

Problemas de ejemplo y soluciones

163

En la figura 3-{)Ob) se muestran las grficas de las respuestas impulso individuales dadas por la ecuacin (3-109). [Observe que c(t) consiste en la suma de respuestas impulso que se presentan en f = 0, f = 1, t = 2.... con factores 1, -0.3679, -0.6321, . . .. ] . A partir de la ecuacin (3-109) se ve que para los intervalos de tiempo O $ 1, 1 ~ t < 2: 2 $ t < 3 ..... la salida c(t) es la suma de las respuestas impulso como sigue:

C(l):=

t-1+e- l , (1 - 1 + e- I ) - 0.3679[(t - 1) - 1 + e-(,-I)]l(t - 1), (1 - 1 + e-') - 0.3679[(1 - 1) - 1 + e- ft -J)]1(t - 1) -0.6321[(1 - 2) - 1 + e-(1-2)}1(t - 2),

0::5t 0, es estable, si todas las condiciones siguientes se satisfacen:1.

lanl < aoP(z)I:= 1> O P(z)I;= _)

2. 3.

{> Opara n par para Ibol

Ic" - 21 > ICol

Ejemplo 4-3 Construya la tabla de estabilidad de Jury para la siguiente ecuacin caracterstica:

P(z)

= QOZ4 + Q,Z3 + Q2Z2 + Q3Z + Q4

donde ao > O. Escriba las condiciones de estabilidad. A partir del caso general de la tabla de estabilidad de Jury dado en la tabla 4-1, puede construirse una tabla de estabilidad de Jury para el sistema de cuarto orden, tal y como se muestra en la tabla 4-2. La tabla ha sido modificada ligeramente en relaci6n con la forma estndar y resulta conveniente para los clculos de las b y de las e. El determinante incluido en la parte intennedia de cada rengln da el valor de b o de e escrito en el lado derecho del mismo rengln. Las condiciones de estabilidad son las siguientes: 1. la." < a o 2. P( I ) == ao + al + a2 + a) + a,1 > O 3. P( -1) == Qo - Q I + a2 - Q) + Q4 > 0, 4. Ib 3 1 > Ibol

11

= 4 = par

le)1 > ICol

Seccin 4-3TABLA 4-2

An[sis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado en el plono z

187

TABLA DE ESTABILIDAD DE JURY PARA EL SISTEMA DE CUARTO ORDENZOZl Z2

z:!

Z"00

o"00Q,

al

O{l

001

a"

a2

o",tl(}

alal

/0 2 /b

/., /ba

/O" /

=

b2

=b.

ba

2

b3 bo

/ /

=C2 b:

e.

bo

/b',l

b,

34 5

b3bac:,

bel

/Co

=Co

Debe hacerse notar que el valor de el tratndose de un sistema de orden n, el valor de no es utilizado en la de estabilidad y, por lo tanto, el clculo de el (o omitirse.

4-4 Examine la estabilidad de la ecuacin caracterstica

;;)l;:;,IU ......., . ."'.

+Note que. para esta ecuacin caracterstica

+ 0.3z - 0.08

O

aoal

1

= -1.2

a2

= 0.070.3

a:

Es cIaro que la nr,'mp'f"!l condicin IG.I < Gose satisface. Examinemos la c:p.('JII"f1>:l condicin en relacin con la estabilidad:

1

1.2

+ 0.07 + 0.3 - 0.08

0.09 > O

188

Diseo de sistemas de control en

discreto mediante mtodos convencionoles

La

condicin tambin es satisfecha. La tercera condicin de estabilidad

convierte en

1)

1 + 1.2

+ 0.07 - 0.3

0.08

1.89 > O,

n = 4 = par

Por lo tanto, se satisface la tercera condicin. Ahora construiremos la tabla de estabilidad de A del calculamos los b 1 y bo Y de C2 Y de Co El resultado aparece en la tabla 4-3. en la tabla aparece valores de el valor de el' ste no es necesario en la de estabilidad y, por lo tanto, no necesita ser Dc esta obtenemos'-'(..I..vUI'U.'UV.

;:::; 0.994 > 0.204

Ibol

= 0.946 >

0.315

Por lo tanto, se satisfacen ambos elementos de la cuarta condicin dados en el 4~3. Una vez satisfechas todas las condiciones de la ecuacin caracterstica dada es estable lo que es lo todas las rafees estn dentro del crculo unitario en el z. ser factorizada como De la ecuacin caracterstica dada

(z -

+

Como c~a de esperarse, el resultado obtenido concuerda con el hecho de que todas las races estn en el interior del crculo unitario en el z.4~3

TABLA

TABLA DE ESTABILIDAD DE JURY PARA EL SISTEMA DEL EJEMPLO 4-4ZO11Z2

Z3

z"1ba

-0.081

-0.994

-0.08

-0.08

-1.2=b 2 =L176 0.3 0.07

1-0.08

b1

-0.0756

1 1 2-0.081

0.07 0.3bo

-0.204

-1.2-0.204C2

-0.994 -0.204 -0.994 -0.0756

0.946

-0.994

= Cl =-0.2043 4 -0.994 -0.204 0.946 1.176=Co

-1.184

1.176

0.315

-0.0756 -1.184 0.315

5

Seccin 4-3

Anlisis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado en el plano z

189

Ejemplo 4-5 Examine la estabilidad de la ecuacin caracterstica dada por

pez) =

Z3 -

1.1z 2ao

-

O.lz + 0.2 = O

Primero identificamos los coeficientes:

=1-1.1

al =

a2 ::: -0.1a)

= 0.2

Las condiciones de estabilidad en la prueba de Jury para el sistema de tercer orden son las siguientes:1. la31 < 00 2. P(1) > O 3. P(-l) Ibol

n = 3 = impar

La primra condicin, la31 < 00 , claramente se satisface. Ahora examinemos la segunda condicin de la prueba de estabilidad de Jury:P(1) = 1 - 1.1 - 0.1

+ 0.2

=

O

Esto indica que por lo menos una raz est en z = 1. Por lo tanto, como mximo el sistema es crticamente estable. Las pruebas siguientes detenninarn si el sistema es crticamente estable o es inestable. (Si la ecuacin caracterstica dada representa un sistema de control, la estabilidad crtica no es deseable. Llegado a este punto puede detenerse la prueba de estabilidad.) La tercera condicin de la prueba de Jury nos da

P(-l) = -1 - 1.1 + 0.1 + 0.2 = -1.8 < O,

n

= 3 = impar

La tercera condicin se satisface. Ahora veamos la cuarta condicin de la prueba de Jury. Clculos sencillos dan b 2 = -0.96 Y b o =-0.12. De ah

Ib 2 1> IbolLa cuarta condicin de la prueba de Jury se satisface. Del anlisis anterior concluimos que la ecuacin caracterstica dada tiene una raz en el crculo unitario (z = 1) Y las otras dos races en el interior del crculo unitario en el plano z. Por lo tanto, el sistema es crticamente estable. Ejemplo 4-6 Un sistema de control tiene la siguiente ecuacin caracterstica:

pez) =

Z3 -

1.3z 2

-

0.08z + 0.24 = O

Detennine la estabilidad del sistema. Primero identificamos los coeficientes:

ao ::::: 1al

= -1.3

a2

= -0.08

a3 = 0.24

190

Diseo de sislemas de control en

discreto mediante mtodos convencionales

'-UL-'" !.JIU

4

Es claro que se satisface la condicin de . . condicin para estabilidad:

.;>L, K>O

Seccin 4-3

Anlisis de estabilidad de sistemas en lazo cerrado en el

z

191

El rango de la constante de n~T'I~nl'Hl K p"ara estabilidad est entre Oy 2.3925. Si la K se define a entonces el sistema se convierte en crlllca.mente estable que que en la salida existirf! osciiaciones La frecuencia de las oscilaciones si se escribe 2.3925 en de K en la ecuacin caracterstica y se sostenidas ,n,,"""'fln-::> la ecuacin resultante. Con K la ecuacin caracterstica se convierte enZ2 -

0.4877z

1

=OI"'\pr"II'\r1ln

Las races caractersticas estn en z = 0.2439 tenemos21r211'

Si observamos que el0.9698 0.2439

de muestreo T= 1

1.3244

La frecuencia de las oscilaciones sostenidas es 1.3244

w+ 1 z =--w- 1al ser

w, da

w=

z + 1 z - 1z con el

w=aEnel

en el

z es

1= Iw + 1 11 w es

---,,---+-i I . Este ngulo adicional deber ser proporcionado por el compensador de adelanto, si el nuevo lugar geomtrico de las races ha de pasar a travs de las localizaciones deseadas para los polos dominantes en lazo cerrado. 3. Suponga que el compensador de adelanto G)(z) es

GD(z)

= K Dcx 1 +

1

+ cxza'rz

'

0h

(5-54)

x(k) = 1It(k,h)x(h)

+

L lJI(k,j + 1)H(j)u(j),

k>h

(5-55)

Observe que el primer trmino segundo miembro de la ecuacin (5-55) es la contribucin del estado inicial x(h) al estado actual x(k), y que el segundo tnnino es la contribucin de la entrada u(h), u(h + 1), ... , u(k- 1). Es fcil verificar la ecuacin (5-55). En referencia a ]a ecuacin (5-54), se tiene

lJI(k + 1,h)

= G(k)G(k -

1) .. G(h)k

= G(k)W(k,h)

(5-56)

Si se sustituye la ecuacin (5-56) en

x(k + 1) = lJt(k + 1, h)x(h) +se obtiene

2, 1J!(k + 1,j + l)H(j)u(j)j==h

k-l

x(k

+ 1)

=

G(k)1f1(k,h)x(h)

+ 2, 1J!(k + 1,j +j=h

1)H(j)u(j)

+ 1J!(k + 1, k + l)H(k)u(k)

310

Anlisis en el espacio de estado

Captulo 5

=

G(k)[1Jt(k,h)x(h) +

~ 1Jt(k,j + l)H(j)U(j)] + H(k)u(k)

= G(k)x(k)

+ H(k)u(k)

Por tanto, se ha demostrado que la ecuacin (5-55) es la solucin de la ecuacin (5-52). Una vez obtenida la solucin de x(k), la ecuacin de salida, ecuacin (5-53), se convierte en:k-)

y(k)

= C(k)lJ!(k,h)x(h) +

j=1t

C(k)'It(k,j

+ l)H(j)u(j) + D(k)u(k),

k>h

Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, de forma que la inversa de 'l'(k, h) exista, entonces la inversa de 'I'(k, h), denotada como 'l!(h, k), est dada como sigue:

W-I(k,h) = 'It(h,k)

= [G(k - l)G(k - 2) ... G(h )r

= G-1(h)G-1(h + 1) G-1(kReSUI11ell sobre 'l!(k, 11). siguiente:

- 1)

(5-57)

Un resumen de la matriz de transicin de estado 'l!(k, h) da lo

1. 'I'(k, k) = I 2. 'l'(k, h) = G(k - 1)G(k - 2) ... G(h),

k> h

3. Si la inversa de 'l'(k, 11) existe, entonces

-qr-I(k,h) = 'I1(h,k)4. Si G(k) es no singular para todos los valores de k considerados, entonces'I'(k, i) :: 'l'(k, j)'I!(j, i),

para cualquier i, j, k

Si G(k) es singular para cualquiera de los valores de k, entonces'l'(k, i)=

'l!(k, j)'I!(j, i),

para k> j > i

5-4 MATRIZ DE FUNCiN DE TRANSFERENCIA PULSO

Un sistema en tiempo discreto de una entrada y una sal ida se puede representar o modelar mediante una funcin de transferencia pulso. La extensin del concepto de la funcin de transferencia pulso a un sistema en tiempo discreto de varias entradas y varias salidas da la matriz de funcin de transferencia pulso. En esta seccin se estudiar la relacin entre la representacin en el espacio estado y la representacin mediante la matriz de funcin de transferencia pulso.Matriz de fu 11 ci" de trallsferellcia pulso. La representacin en el espacio de estado de un sistema lineal en tiempo discreto e invariante en el tiempo de orden 11, con r entradas y In salidas, se puede dar mediante

x(k + 1) = Gx(k) + Hu(k)

(5-58) (5-59)

y(k)

= Cx(k) + Du(k)

Seccin 5-4

Matriz de funcin de transferencia pulso

311

donde x(k) es un vec.tor-17, u(k) es un vector-r y y(k) es un vector-m, G es una matriz de 11 x n, H es una matriz de n x r, e es una matriz de m x 17 y D es una matriz de m x r. Al tomar las transfonnadas z de las ecuaciones (5-58) y (5-59), se obtiene

zX(z) - zx(O) = GX(z) + HU(z)

Vez)

=

CX(z) + DU(z)

Observe que la definicin de funcin de transferencla pulso exige la suposicin de condiciones iniciales cero, aqu tambin suponemos que el estado inicial x(O) es cero. Entonces se obtieneX(z) = (zI - Gt 1 HU(z)

y

Vez) = [C(zI - G)-lH + D]U(z)donde

= F(z)U(z)(5-60)

F(z) = C(zI - G)-I H + D

F(z) se conoce como matriz de funcin de transferencia pulso. Se trata de una matriz de m x f. La matriz de funcin de transferencia pulso F(z) caracteriza la dinmica de entrada/salida del sistema de tiempo discreto dado. En vista de que la inversa de la matriz (zI - G) se puede escribir en la fomla

(

_ G)-l

= adj (zI

zI

IzI - GI

- G)

la matriz de funcin de transferencia pulso F(z) se puede dar mediante la ecuacin~ ( ) = C adj (zI - G)H F z IzI - GI

+

D

Es claro que los polos de F(z) son los ceros de Iz] tica del sistema en tiempo discreto est dada por

GI = o. Esto significa que la ecuacin caracters=O

IzI - GIo bien

donde los coeficientes O dependen de los elementos de G.Tra1lsforl11aciIl de Sil11ilitud.

Se ha demostrado que para el sistema definido por

x(k + 1)

= Gx(k) +

Hu(k) Du(k)

y(k)

= Cx(k) +

la matriz de funcin de transferencia pulso es F(z) = C(zI - Gr1H + D En la seccin 5-2 se mostr que varias representaciones en el espacio de estado distintas para un sistema dado estn interrelacionadas por una transformacin de similitud. Al definir un nuevo vector estado i(k) utilizando una matriz de transformacin de similitud P, es decir

312

Anlisis en el espacio de estado

Captulo 5

x(k)

= Pi(k)+ Hu(k)(5-61 ) (5-62)

donde P es una matriz no singular de n

x

n, se tiene= Gi(k)

i(kAA. " A.

+ 1)

y(k) = Ci(k) + Du(k)

donde G, H, C, D y G, H, C, D, estn relacionadas, respectivamente, mediante

P-1GP=GP-1H =

H

CP=La matriz de funcin de transferencia pulso Y (5-62) es

C

D=D

F(z) para el sistema definido por las ecuaciones (5-61)F(z) son iguales, en vista de queGPP- 1)-1 H + D

F(z) = C(zI - (;)-1 I + >Observe que las matrices de funcin de transferencia pulso F(z) y

F(z) = C(zI - (;)-1 H + D = CP(zI - p- 1GP)-l p- 1H + D= =

CP(zP - GP)-l H + D = C(zPP- 1C(zI - G)-IH + D = F(z)

-

Por tanto, la matriz de funcin de transferencia pulso es invariante bajo una transfonnacin de similitud. Es decir, no depende del vector estado detenninado x(k) seleccionado para la representacin del sistema. La ecuacin caracterstica IzI - GI = O tambin es invariante bajo una transfonnacin de similitud, ya que

IzI - GI = Ip-111zI - Gllpl

=

IzI - p- 1 GPI

=

IzI - GI

Por tanto, los valores caractersticos de G son invariantes bajo una transformacin de similitud.5-5 DISCRETIZACIN DE LAS ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO CONTINUO

En el control digital de plantas en tiempo continuo es necesario convertir ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo, en ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto. Se puede realizar dicha conversin si se introducen en los sistemas en tiempo continuo muestreadores y dispositivos de retencin ficticios. El error introducido por la discretizacin se puede hacer despreciar utilizando un perodo de muestreo suficientemente pequeo en comparacin con la constante de tiempo ms significativa del sistema.Repaso de la solucin de las ecuaciolles de estado en tielllpo continllo. la matriz exponencial ~/. La matriz exponencial se define como

Primero se revisar

eA1

=

1 + At +

!

2!

A 2 t 2 + ... +

1- Ak!

k

tk

+ ... = ~ ~k=O

""

k k

k!

Seccin 55

Discrelizacin de las ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo

313

Debido a que l;:t serie finita trmino para dar d _e Al = A + A 2 t

I;=oA

k

t k /k converge, la serie se puede diferenciar tnnino por

dt

+ - - + , .. +2'

A3 t2

Akt k - l + '" (k - 1)!

=

] . A2 t 2 Ak- 1 t k - 1 A[ 1 + At + - - + .. , + + . .. = Ae AI 2! (k - 1)!

=

[1

+ At + - - + ... +

A2t2 2!

Ak-1t k - t + ." (k - 1)!

]

A = eAI A

La matriz exponencial tiene la propiedad de que

Esto se puede probar como sigue:

e e

Al

As

= =

(k=Ok=O

A

k

k!

tk)(i A kSk)k=O

=

k!

k=O

i Ak[ i=oi!(k

ti Sk-i

]

i)!

A k (t

+ S)kk!

=

eA(t+J)

En particular, si s = -t, entonces

Por tanto, la inversa de .' es e-Al, Dado que siempre existe la inversa de eA', eA/ es no singular. Es importante apuntar q~e si AB = BA si AB "# BAA continuacin se obtendr la solucin de la ecuacin de estado en tiempo continuo

x = Ax +

Bu

(5-63)

donde x es el vector de estado (vector 11), u es el vector de entrada (vector r), A es una matriz constante de n x n, y B es una matriz constante de n x r. Si la ecuacin (5-63) se escribe en la fonna

x(t) - Ax(t)

= Bu(t)=

y premultiplicamos ambos lados de esta ltima ecuacin por e-A', obtenemos

e-A'[x(t) - Ax(t)]

= -d [e-A'x(t)]dt

e-ArBu(t)

Al integrar la ecuacin anterior entre O y t, da

e-A' x(t)es decir

=

x(O) +

J'o e-ArRue T) dT(5-64)o

x(t)

= eA' x(O) + JI eA(/-T) Bu( r) dT

314

Anlisis en el espacio de estado

Captulo 5

La ecuacin (5-64) es la solucin de la ecuacin (5-63). Observe que la solucin de la ecuacin de estado que comienza en el estado inicial x(to) es

x(t)

=

e(t-to)

x(to) +

JtlO

eA(t-T)

Bu( T) d'T

(5-65)

Discretizacill de las ecuaciolles ell el espacio de estado en (ie/llpo cOlltinuo. Ahora se presentar un procedimiento para la discretizacin de ecuaciones en el espacio de estado en tiempo continuo. Se supone que el vector de entrada u(t) cambia slo en instantes de muestreo uniformemente espaciados. Observe que la operacin de muestreo aqu es ficticia . Se deducir una ecuacin de estado en tiempo discreto y una ecuacin de salida que den como resultado los valores exactos en t = kT, donde k = O, 1, 2, ... Considere la ecuacin de estado en tiempo continuo y la ecuacin de sal ida

x = Ax + Buy =

(5-66) (5-67)

ex + Du

En el siguiente anlisis, con el objeto de simplificar la presentacin, se utilizar la notacin kTy (k + [)T en vez de k y k + 1. La representacin en tiempo discreto de la ecuacin (5-66) tomar la formaxk

+ l)T) = G(T)x(kT) + H(T)u(kT)

(5-68)

Observe que las matrices G y H dependen del perodo de muestreo T. Una vez fijo el perodo de muestreo T, G Y H son matrices constantes. , Para deteIl11nar G(n y H(n, se utiliza la ecuacin (5-64), solucin de la ecuacin (5-66). Se supone que la entrada u(t) es muestreada y alimentada a un retenedor de orden cero, de forma que todos los componentes de u(t) sean constantes en el intervalo entre dos instantes de muestreo consecutivos cualesquiera, es decir u(t) = u(k7), En vista de quexky

para kT(/; xo, lo) denota la solucin que se inicia a partir de X o en 1 = lo.

2'. 3'.

Entonces el origen de sistema es uniforme y asintticamente estable global. La equivalencia de la condicin 2 del teorema y las condiciones modificadas 2' y 3' se,pueden ver como sigue. Si V(x, 1) no es definida negativa sino slo semidefinida negativa, entohces la trayectoria del p~nto representativo se puede volver tangente a alguna superficie determinada V(x, t) = C. Dado que V (cfJ(t; X o, lo), 1) no desaparece para 1 ~ lo para cualquier lo Y para cualquier Xo =1= 0, el punto representativo no puede permanecer en el punto tangente [el punto que corresponde a Ti (x, 1) = O] Y por tanto debe moverse hacia el origen.

Teorelna de Liapllllov sobre la estabilidad. Para probar la estabilidad (pero no la estabilidad asinttica) del origen del sistema definido por la ecuacin (5-82) se puede aplicar el siguiente teorema.

Teorema 5-2.

Suponga un sistema descrito por

x=

f(x,t)

donde feO, t) = O para toda l. Si existe una funcin escalar V(x, t) que tenga derivadas parciales de primer orden continuas y que satisfaga las condicionesl. V(x, t) es definida positiva. V(x, t) es semidefinida negativa.

2.

entonces el estado de equilibrio en el origen es uniformemente estable. Deber notarse que la semidefinicin negativa de V(x, 1) [Ji (x, t) ~ O a lo largo de las trayectorias] significa que el origen es uniformemente estable pero no necesariamente uniforme y asintticamente estable. Por tanto, en este caso, el sistema puede mostrar una operacin cclica lmite.

Illestabilidad. Si un estado de equilibrio x = O de un sistema es inestable, entonces existe una funcin escalar W(x, t) que determina la inestabilidad del estado de equilibrio. A continuacin se presentar un teorema sobre la inestabilidad.

328

Anlisis en el

de estado

'-U~.II1UIU

5

Teorema 5-3.

un

C'1C'lraorT":l

estf

X

t)

dondet)1)0,

y

1.

2.entonces elI .I::lnllT10V

a ';:)l.::l~"'H!I:l;:) no

es nec:eStlflO1.

2.

3.

4.

i=

Seccin 56

Anlisis

de eSf(:JOlI110ClO de

""U"JU"~JV

329

=

lIel'nDO contillllo e 1J1I'I,n"l,n"rD~ en

x=

= =

+ ++que

330

Anlisis en el espacio de ~stado

Capitulo 5

donde

Q ~ - (AP + PA) ~ definida positivaPor tanto, para la estabilidad asinttica del sistema de la ecuacin (5-84), es suficiente que Q sea definida positiva. , Para probar que una matriz de n x n es definida positiva, se aplica el criterio de Sylvester, que dice que una condicin necesaria y suficiente para que una matriz sea definida positiva es que los determinantes de todos los menores principales de la matriz sean positivos. Considere, por ejemplo, la siguiente matriz hermtica P de n x n (si todos los elementos de P son reales, entonces la matriz hermtica se convierte en una matriz simtrica real):

P = Pp P,?

[

~11 P12

Pln Pln Pnn

1

Pln Pln

donde PI)' representa el complejo conjugado de Pi)' La matriz P es definida positiva si todos los menores principales sucesivos son positivos, esto es, si

PlI Pll > 0,

P12P22

Pln P2n >Pnrr

IP12

~11 PI21 > 0,P21

PnP In

Pln

En vez de especificar primero una matriz definida positiva P y examinar si Q es definida positiva, es conveniente especificar una matriz definida positiva Q primero y a continuacin examinar si P calculada a partir de A*P

+

PA = -Q

es definida positiva o no. Observe que el que P sea definida positiva es una condicin necesaria y suficiente. Se resumir lo anterior en forma de teorema. Teorema 5-4. Considere el sistema descrito por

x = Axdonde x es un vector de estado (un vector n) y A es una matriz no singular constante de n x n. Una condicin necesaria y suficiente para que el estado de equilibrio x ~ O sea asintticamente estable global es que, dada cualquier matriz Q henntica definida positiva (o cualquier matriz simtrica real definida positiva), existe una matriz P henntica definida positiva (o una matriz simtrica real definida positiva) tal que

A*P

+ PA

= -Q

(5-85)

La funcin escalar x~Px es una funcin de Liapunov para este sistema. [Observe que en el sistema lineal considerado, si el estado de equilibrio (el origen) es asintticamente estable, entonces es asintticamente estable global.]

COlnelltarios. Al aplicar el teorema 5-4 al anlisis de estabilidad de sistemas lineales de tiempo continuoetnvariantes en el tiempo, se pueden hacer algunos comentarios importantes.

Seccin 5-6

Anlisis de estabilidad de Liapunov

331

1. Si V(x) = -x"Qx no se desaparece a lo largo de cualquier trayectoria, entonces Q se puede seleccionar para ser semidefinida positiva. 2. Si Q se escoge como una matriz definida positiva arbitraria [o una matriz sem'idefinida positiva arbitraria si V(x) no se desaparece a lo largo de cualquier trayectoria] y la ecuacin matricialA*P + PA = -Q

se resuelve para detenninar P, entonces la definicin positiva de P es una condicin necesaria y suficiente para la estabilidad asinttica del estado de equilibrio x = O. 3. El resultado fina] no depende de la matriz Q detenninada escogida, siempre y cuando Q sea definida positiva (o semidefinida positiva, segn el caso). 4. Para detenninar los elementos de la matriz P, se igualan las matrices AP + AP Y-Q, elemento por elemento. Esto resulta en n(n + 1)/2 ecuaciones lineales para detenninar los elementos Pij = Pjl de P. Si se identifican los valores propios de A como Al, A2, , A", cada uno es repetido varias veces en relacin con su multiplicidad como una raz de la ecuacin caracterstica, y si por cada suma de dos races

entonces los elementos de P estn detenninados en fonna nica. (Observe que para una matriz estable A la suma ~ + Ak es siempre diferente de cero.) 5. Al determinar si existe o no una matriz P simtrica real definida positiva o herrnftica definida positiva, es conveniente escoger Q = 1, donde 1 es la matriz identidad. Entonces los elementos de P quedan detenninados a partir deA*P

+ PA

= -1

y se prueba si la matriz P es definida positiva.EjempJo 5-8

Detennine la estabilidad del estado de equilibrio del sistema siguiente:

El sistema slo tiene un estado de equilibrio en el origen. Seleccionando Q = 1 Ysustituyendo len la ecuacin (5-85), se tieneA*P + PA

= -1

Si observamos que A es una matriz real, P deber ser una matriz simtrica real. Esta ltima ecuacin se puede escribir como sigue:

[=~ -!][~:: ~::] + [~:: ~::][ -!

=] ~]= -[

(5-86)

donde se observa que P21 = PI2 con lo que se hace la sustitucin apropiada. Si la matriz P resulta ser definida positiv~ entonces x'Px es una funcin de Liapunov y el origen es asintticamente estable.

332La ecuacin

Anlisis en el

de estado

5

tres ecuaciones:

+

1

+ P22Al resolver para las p, se tiene

O1

pnPor tanto,

P12

=6023

P22

=M

P

[

De acuerdo con el criterio de

esta matriz es definida Por tanto, se del sistema es asintticamente estable Debe hacerse notar que una [uncin de para este sistema

que el

..L60

y

Ti

est dado por

Teorema 5-5.

+ 1)x vector-n

=

= vector-n con la DrcmH~aala de queT"",,,,,nnnn

=0

de muestreo""'v'uu.y .....

una

en x

+

Seccin 56

Anlisis de estabilidad de

333

3. 4.

O

IIxll-7 oc.x = O es aSlntltlcarrlente ..... en este teorema la . . """'P11"11" 2 se no sede~;atJ!an;ce.;U.... ,U.l'-'

Entonces el

:;;"n.'u .....

y

es una la conlOlC:lOn

T"I .....,ro

...........

de

..... "'J..

UII'U ....

n"""":lr,,,..,

si no se

de~;ap,art~ce

en

en el tleJ'l1DO.

meOlanle el seg.unclo

P es un

Entonces

= =la

-p

334

Anlisis en

el eSClOC'IO

de

5y

es ........ "....,......... te.

es una

Teorema 5-6.

+

entonces

y el

slst(~ma

en

+G=

=

J1--;OO

rlt:>'nl'\it'lrti'l

como se de norma.

'-'UU. .....I .... l."'.

Seccin 5-6

Anlisis de estabilidad de

LIOC)unc)v

335

0,

x Ox:;fO~

Ixll >

0,

IIx + yll

toda x y y

Ik Ilxll,Oy

x y constante real k

,'-' .. , .....

que muestre todas las variables de estado.

Solucin

La funcin de transferencia

Defina

Entonces se obtiene

+ +La ecuacin de estado por tanto estar dada por

+

++y la ecuacin de salida se convierte en

[1La 5-3 muestra el de para el sistema definido por las ecuaciones en el estado. La salida de cada elemento de retraso una variable de estado.Problema A-5-6

de

rep,res:enllacln en el esrmCllO de estado del sistema mostrado en la

5-4. El """'.. In.rI .... de

344u(kl

Anlisis en el

esr:)OCIO

de estado

5

x,

(k)

y(k)

5-3VIs)

UHllgrJlma

de

pam el sistema considerado en el

nr{1,"""l1'"

A-5-S.

e - Ts

Ylsls Is +1

~--------~y~--------~

G(z)

5-4

del sistema de control del

nroblcn1il

A-5-6.

Solucin

Primero

obtendr la transformada:: de la funcin de transferencia de la

,..'H . "1''' ........

directa:

z

(1

z

obtener fcilmente la funcin de transferencia en lazo cerrado. Existen muchas formas para obtener la r"n, ...,!:", ... 1 de estado parn un sistema como ste. tal y como se analiz en la seccin 5-2. En este . . . r",hl,',IY\~ mostrar otro mtodo. basado en la modi !1cacin del deeXI)arlOC en

rracconcs1 z - 1

n'llri"~:II{'>la fonna cannica Jordan, segn sea el

D representa ya sea una matriz diagonal o una matriz enEn lo siguiente primero se demostrar que

trG

= trD

trGH 1 = trDH t trGH 2donde

= tr6ilz

+ alI ih = DHI + a21Entonces se mostrar que al = -trDa2 = -

"t = i>a3= -

~ trD"t~ tr 6M2

Observe que desde

tr AB = trBAse liene

Observe asimismo que tr (A + B) = tr A + tr B

y ahora se tienetr G = tr TDT- t = tr i> trGH 1 = trG(G + alI)

= trG 2 + tral G

Captulo 5

Problemas de ejemplo y soluciones

357

=

trTifT- t + tr al TDT- 1A.

=trD +tratD=tr(D-+atD)=trDHt trGH 2 = trG(GH] + a2I) = trG[G(G + a) 1) + a 2 1]

2

..

A.,

Al.

A

A

= tr (G 3 + a) G 2 + a2 G) = trTo J T- 1 + tra) T02 T- l + tra 2 TT- 1=

tr 6 3 + tr a, 02 + tr a2 ... 3 .. ., ... ..Ato

= tr (D + at D~ + a2 D) = tr DH 2Se escribe

donde un asterisco signi rica "ya sea O o 1,.. Entonces

IzI donde

DI

=

Z3 - (Pt + P2 + P3)Z2 + (PtP2 + P2P3 + P3P')Z - PIP2P3

al = -(PI + P2 + P3)

a2 = P)P2 + P2P3 + P3PlObserve que

= -al trDH, = trD(D + alI) = trl)2 + = P; +AA A

tr D = Pi + P2 + pJ

tra)

D

P; + pi AA

(PI + P2 + PJ)(p) + P2 + P3)A3 A

= -2(pt P2 + P2P3 + P3pd = -2 a2 .. trDH 2 === trD(DH) + a21) = tr(D + a]D 2 + a2 D)===3 tr D + tr al 02 + tr a2

= (p; + p~ + p;) - (PI + P2 + P3)(pi + P; + pi)+ (PIP2 + P2P3 + P3Pl)(P) + P2 + P3)=

3p)P2P3

:::= -

3a 3

Por tanto. se ha demostrado queal = -trD = -trG a2

= -~ trDH I

=

-! trGH 1-1 tr GH 2

a3Problema A-S-14

= -! tr oih = -

Considere el siguiente sistema oscilador:

Y(s) _Ves) 52

w2

+

w2

358

Anlisis en el espacio de estado

Captulo 5

Obtenga la representacin en el espacio de estado en tiempo continuo del sistema. A continuacin discretice el sistema y obtenga la representacin en el espacio de estado en tiempo discreto. Tambin obtenga la funcin de transferencia pulso del sistema discretizado. Solucin Para la funcin de transferencia dada tenernos

y + w2 ySe defineXI X2

= w

2

U

=y=-yw

1.

Entonces, se obtiene la representacin en el espacio de estado de tiempo continuo siguiente:

[::] =y

[-~ ~][~:] + [~]uOJ[~:]

= [1

La representacin en el espacio de estado en tiempo discreto del sistema se obtiene como sigue. Al observar que

se tiene

yOlA H= (r eA' dA )B = (r [ -sen WACOS

senWI]COSWA

dA

)[ O ]w

=

[1 ~e~:;T]=

Por tanto, la representacin en el espacio de estado en tiempo discreto del sistema oscilatorio se convierte en:

Xtk + l)T)] = [ coswT senWT][XI(kT)] + [1 - COSWT]U(kT) [ x2k + l)D -senwT coswT_ x2(kT) senwT y(kT)(5-60):

[1

OJ[XI(k D ] x2(kT)C(zI - G)-I H + D

La funcin de transferencia pulso del sistema discrelizado se puede obtener a partir de la ecuacin

F(z)

=

Captulo 5

Problemas de eiemplo y soluciones

359

Si se observa que D es cero, se tiene

F(z) = [1 O][z - coswTsenwT

-senwTz - cos wT

]-1 [1 - COSWT] sen wTsenwTz - cos wT

_Z2 -

2z cos wT + 1

1

[1

O][z - coswT-senwT

][1 -

COSWT] senwT

-

_ (1 - cos wT)(z + 1) 2 Z - 2z cos w T + 1

Por tanto,

Y(z) = F(z) = (1- coswT)(1 + Z-I)Z-1 U(z) 1 - 2z- 1 cos wT + Z-2Observe que la funcin de transferencia pulso obtenida de esta forma es la misma que la obtenida al tomar la transformada z del sistema antecedido por un retenedor de orden cero. Esto es

Y(z) _ Z[l - eU(z) S

Ts

S2

+1

w

2 ]

w2

_ -

(1-

_1)Z[lZ

~

-

S2

+

s] w2

= (1 _ Z-1)(

_

1-

Z -1

1 - Z-1 cos wT ) 1 - 2z -1 cos w T + z - 2

_ (1 - cos wD(1 + Z-1)Z-1 - 1 - 2z -1 cos wT + z - 2

Por tanto, se obtiene la misma expresin para Ia funcin de transferencia pulso. ,La razn de lo anterior es que la discretizacin en el espacio de estado proporciona un equivalente del retenedor de orden cero del sistema en tiempo continuo.Problema A-5-15 Considere el sistema mostrado en la figura 5-8a). Este sistema implica polos complejos. Es estable pero no es asintticamente estable en el sentido de Liapunov. La figura 5-8b) muestra una versin discretizada

VIs)

- - - - - -...

~-lI

Y(s),::

4

(a)

_V_I_s)

--"{-U-(Z-l--;~~Il -,. - I 1L-_T,

2S S _ +_2_4---1'

L/~rY(z)

lb)

Figura 5-8 sistema.

a) Sistema en tiempo continuo del problema A-5-15; b) versin discrctizada del

360

Anlisis en el espacIo de estado

Captulo 5

del sistema en tiempo continuo. El sistema discretizado tambin es estable pero no es asintticamcnte estable. Suponiendo una entrada escaln unitario. demuestre que el sistema discretizado puede mostrnr oscilaciones ocultas cuando el perodo de muestreo T adopta cierto valor. Solucin La respuesta del sistema en tiempo continuo que se muestra en la Jgura S-Ser) es

Y(s)Por tanto,

y(t) = cos 2/[Observe que el valor promedio de la saliday(t) es cero y no la unidad.] La respucstay(t) en funcin de t aparece en la figura 5-9a).y{d

-1

(a)

y{kT)

-1

(b)

y{kT)y(CI

,\

~ /\

/\

,..e. ,/\

J

I

\\ \

o-1

rr

kT\

,_/ /

(e)

Figura 5-9 a) Respuesta en escaln unitarioy(t) del sistema en tiempo continuo mostrado en la figura 5-Sa); b) grfica dcy(k7) en funcin de kT del sistema discretizado que se presenta en la figura 5-8b) cuando T= 7T segundos; e) grfica dey(k7) en funcin de kT del sistema discretizado cuando T= 1T segundos. (En el diagrama se muestran las oscilaciones ocultas.)

+

Captulo 5

Problemas de ejemplo y soluciones

361-

La funcin de transferencia pulso del sistema discretizado mostrado en ]a figura 5-18b) es

Y(z) ---7 U(z) -

[1 -

e-TI

S2S2

]

S

+ 4 - (-

-

1

Z-lZ

[S2

s

)

+4

]

= (1 - z - 1) - - - - : - - - - - - - : : 1Por tanto, la respuesta nI escaln unitario se obtiene como sigue:

1 - Z-1 cos2T 1 - 2z- cos 2T + Z-2

y

(z) -

_ (1 - z - 1) (1 - z -1 cos 2 T) 1 1 - 2z -1 cos 2 T + z - 2 1 - Z-11 - Z-l cos2T 1 - 2z- 1 cos 2T +Z-2

La respuestay(kT) se hace oscilatoria si T= 11." segundos (n = 1,2, 3, ... ). Por ejemplo, la respuesta del sistema discrctizado cuando T= 1T segundos se convierte en:

+

Y(z)Portant~,

= 1 +1Z-2 = 1 - z -2 + z -4 y(O)

z -6 + ...

=1= -1

y(T) = Oy(2T) y(3T) y(4T)

=O=1

Una grfica de y(k1) en funcin de kTcuando T = 1T segundos aparece en la figura 5-9b). Claramente, la respuesta es oscilatoria. Si el perodo de muestreo T fuera de 1T segundos, es decir T= 1T, entonces

++

Y(z) _ (1 - z-1)(1 - Z-1) 1 1 - 2z -1 + z - 2 1 - Z-1

1

=

1

+

Z-1

+

Z.,--2

Z-3

+ ...

La respuesta y(k1) para k = 0, 1, 2, ... es constante e igual a uno. La grfica de y(k1) en funcin de kT cuando T = 1T se muestra en la figura 5-9c). Observe que si T = 7r segundos (de hecho, si T = wrr segundos, donde n = ], 2, 3, ... ) la secuencia de respuesta al escaln unitario se conserva en la unidad. Dicha respuesta puede damos la impresin de que y(t) es constante. La respuesta real no es constante ya que oscila entre 1 y -1. Por tanto, la salida del sistema discretizado cuando T= 1T segundos (o cuando T= n7r segundos, donde n = 1,2,3, ... ,) muestra oscilaciones ocultas. Observe que dichas oscilaciones ocultas (inestabilidad oculta) slo ocurren para ciertos valores del perodo de muestreo T. Si se vara el valor de T, estas oscilaciones ocultas (inestabilidad oculta) aparecern en la salida como oscilaciones explcitas.

Problema A-5-16 Aunque el sistema con doble integrador es dinmicamente simple, representa una clase de sistema importante. Un ejemplo de sistema con doble integrador es el sistema de control de altitud de un satlite, que se puede describir como

18 = u + v

362

Anlisis en el es:aci'o de estado

511

donde J es el momento de

e es el

de

II

es el par de O Y Ji > 0, existe un nmero real T(p, o) tal que

lo que implica que para toda I donde cp(t;~ lo

+ T(p, D)

xo, lo) es la solucin de la ecuacin diferencial

dada.

En vista de que f3 es continuo y f3(O) = 0, se puede escoger una D( e) > O tal que f3( D) < 0'( e) para cualquier e> O. La figura 5-10 muestra las curvas a(lIxlD f3(lIxID y V(x, t). Al observar que

. V( $(1; xo, lo), t) - V(xo, lo)si

=

rfO

V( $( r; Xo, lo), r) d-r lo

IIxolI ::; D, siendo lo arbitrario, se tienea(e) > f3(D):;::: V(xo,t o):;::: V(tl>(t;xo,to),t)2!:

a(II4>(t;xo,to)ID

para todos 1 ~

'o. Dado que

ct

es no decreciente y positivo, esto implica que, for 12!:

11q,(t; Xo, to)1I existe un nmero real 5> O tal que IIx olI ::; 5 , implica que IIcp{t; xo 10 )11 ~ e para toda , ~ too As, se ha probado la estabilidad unifonne. Ahora se probar que 1Ic;b(t; Xo, '0)11-7 Ocuando 1-7 00 en forma uniforme en lo YIIx olI ::; 8. Se toma

to, IIxolI ~ 5

Figura 5-10

Curvas a(lIxll), (3(jlxID y V(x, 1)

Captulo 5

Problemas de eiemplo y soluciones

365

cualquier O< J.1 < IIxnll)' se encuentra una 11(J.1) > O tal que f3(v) < a(J.1). Se denota e'(J.1, o) > Oel mnimo de la funcin continua no decreciente y(lIxll) en el conjunto compacto v(J.1) Sllxll $ eCo). Se define

T(..t., 8)Suponga que 114>{t: X(l, 10 )\1 $11

= e'(j.L, 8) > O$ ti = lo

{3(8)

sobre el inten'alo de tiempo lo $1:5

+ T. Entnces se tiene$

O < a(v)

!S

V(tfJ(t l ; Xo, to), ti)

V(xo, to) - (ti - to)e'

{3(8) - Te' = O

lo que resulta en una contradiccin: por tanto, para un valor de / en el intervalo lo $ t $/ 1, como es un valor arbitrario /1, se tiene

Por tanto.

para toda

1 ~ 12,

Entonces,

11$(t;xo,to)1I