DISEÑO COMPUTACIONAL EFICIENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS PONDERADOS DE FILTROS FIR QUE SATISFACEN LA MAGNITUD PRESCRITA Y LAS ESPECIFICACIONES DE FASE.

1. RESUMEN

Se formula una función objetiva en una forma cuadrática, los coeficientes del filtro, se obtendrán resolviendo un sistema de ecuaciones lineales.

La estrecha banda de transición, la fase lineal los filtros FIR producen retardos de grupo , es necesario diseñar filtros que provean de una constante retardo de grupo que sea menores a los producidos por los filtros de fase lineal, es decir diseñar filtros de fase no lineales logrado con la aproximación de la magnitud y la fase.

Se han utilizado técnicas de mínimos cuadrados ponderados (WLS) para el diseño de filtros FIR ,prescrita de la magnitud y especificaciones de fase, teniendo así un método que tiene un orden de magnitud con menor complejidad computacional, que produce un diseño equiripple.

2. ERROR EN LA FUNCION FORMULACIÓN Y MINIMIZACIÓN

La respuesta en frecuencia de un filtro FIR digital esta dado por :

2.1 respuesta de fase del filtro:

2.2 Ecuación del retardo de grupo:

2.3 respuestas de frecuencias deseadas D(e jw):

Donde el error medio cuadrático:

Respuesta en frecuencia para N coeficientes la respuesta del impulso está dada por:

El ángulo formado por la parte imaginaria y real de la respuesta en frecuencia del impulso

Constante de retardo de grupo

Dónde : M(w) es la repuesta de amplitud

: p(w) es la respuesta de fase

W(w) : es una función de ponderación de frecuencia dependiente no negativo.

M es el número de puntos de

muestreo de D(e jw):

2.4 Si minimizamos el error Emsc y ∂ Emse∂h

=0obteniendo unos sistemas de ecuaciones lineales Qh=d:

2.5 Entradas:

W(w) : es una función de ponderación de frecuencia dependiente no negativo.

M es el número de puntos de

muestreo de D(e jw):

Donde :Qc (w )=c (w ) cT (w)

Qs (w )=s (w ) cT (w)

Los valores de MR (w ) yM I (w )son cero en la

banda de rechazo.

La nueva ecuación de d está relacionada con los

nuevos puntos de muestreo en D(e jw) que se da

con los Mp

Para n≥0 y m≤N−1 podemos observar que Q es real, al reemplazar los valores obtenemos ecuaciones lineales.

Cabe notar que Q es independiente de D(e jw)

Para un filtro pasa todo w[0 : π] , p(w)es la respuesta de fase , el error medio cuadrático se puede minimizar y resolver el sistema lineal.p(w) es anti simétrico o simétrica con respecto a π/2 la complejidad computación se redujo y es necesario solo determinar la mitad de los coeficientes.

3. Fase antisimétrica características:

4. Fase simétrica características:

Es el caso donde es simétrico alrededor de π/2 entonces tenemos:

De la respuesta en frecuencia para N coeficientes tenemos:

donde :

Entonces podemos escribir como :

p(w) es el termino antisimetrico alrededor de π/2

El número de coeficientes N debe ser impar

Cuando n es impar

Cuando n es par

Utilizando los diferentes términos de U,V ,a(n), b(n)

Dónde :

Como podemos observar la parte real de

la imaginaria solo difirieren en un solo número los cálculos se escribirán por separado.

El error medio cuadrático de la parte real:

Estableciendo

obtenemos donde y

De la misma forma el proceso para la parte imaginaria

Con el fin de diseñar un filtro que tiene un equiripple respuesta de magnitud, con un peso adecuado función, W (w), se tiene que utilizar en la minimización del error cuadrático medio. Dado que no existen métodos de análisis para obtener la adecuada W (w).

Se analizó que se puede representar los coeficientes en una matriz , que resolviéndole logramos obtener un sistema de ecuaciones lineales.

Resulto ser un método eficiente (WLS) para el diseño de filtros FIR, utilizando las fase simétrica y antisimétrica , se logro determinar la respuesta de impulso de fase lineal .