Diseño Curricular Matematica 5° Buenos Aires

7/28/2019 Diseo Curricular Matematica 5 Buenos Aires

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5 ao

Diseo CurriCularparala

eDuCaCin seCunDaria

MateMtiCa

CiClo superior


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2011, Direccin General de Cultura y EducacinSubsecretara de EducacinCalle 13 entre 56 y 57 (1900) La PlataProvincia de Buenos Aires

ISBN 978-987-676-022-5

Direccin de Produccin de ContenidosCoordinacin rea editorial dcvBibiana MarescaEdicin Lic. Mariela VilchezDiseo Mara Correa

Esta publicacin se ajusta a la ortografa aprobada por la Real Academia Espaolay a las normas de estilo para las publicaciones de la DGCyE.

Ejemplar de distribucin gratuita. Prohibida su venta.

Hecho el depsito que marca la Ley N [email protected]

Equipo de especialistas

Coordinacin Mg. Claudia Bracchi | Lic. Marina Paulozzo

Matemtica. Ciclo SuperiorProf. Silvia Rodrguez | Prof. Rosario Alonso

Diseo Curricular para la Educacin Secundaria 5o ao: Matemtica-Ciclo Superior /Coordinado por Claudia Bracchi y Marina Paulozzo -1ra ed.- La Plata: Direccin General de Cultura y Edu-cacin de la Provincia de Buenos Aires, 2011.32 p.; 28x20 cm.

ISBN 978-987-676-022-5

1. Diseo Curricular. 2. Educacin Secundaria. 3. Matemtica. I. Bracchi, Claudia, coord. II. Paulozzo, Marina,coord.CDD 510.712


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nDiCe

Presentacin ..........................................................................................................................5

El proceso de diseo curricular ................. .................... ................... ................... . 6

Estructura de las publicaciones .................. .................... ................... ................... ........... 7

Matemtica y su enseanza en el Ciclo Superior de la Escuela Secundaria ....... 9

Mapa curricular ................... ................... .................... ................... ................... .................... . 10

Carga horaria ................................ .................... ................... ................... .................... ........... 10

Objetivos de enseanza ................... .................... ................... .................... ................... ..... 10

Objetivos de aprendizaje ................. .................... ................... ................... .................... ..... 11

Contenidos .............................................................................................................................12

Eje Geometra y lgebra .................... ................... .................... ................... ......... 12Eje Nmeros y operaciones .................. ................... ................... .................... ...... 16

Nmeros reales ..... ................... .................... ................... .................... ......... 17

Eje lgebra y estudio de funciones ................... ................... ................... .......... 19

Ecuaciones e inecuaciones .................. .................... ................... ............. 19

Concepto de funciones ................... ................... .................... ................... 19

Funciones cuadrticas .................. ................... ................... .................... ... 22

Polinomios ....................................................................................................24Eje Probabilidad y estadstica .................... ................... ................... .................... 24

Orientaciones didcticas .................. ................... ................... .................... ................... .... 28

Resolucin de problemas y formalizacin .................. ................... ................. 28

Clima de la clase y tratamiento del error ................. .................... ................... . 28

Leer y escribir en Matemtica-Ciclo Superior .................... ................... ........ 29

Uso de la calculadora ................. ................... .................... ................... .................. 30

Orientaciones para la evaluacin .................... ................... ................... .................... ..... 31

Bibliografa ............................................................................................................................32

Recursos en Internet ................... .................... ................... .................... ............... 33


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Matemtica. Ciclo Superior | 5

presentaCin

La Provincia, a travs de la Direccin General de Cultura y Educacin, tiene la responsabilidadprincipal e indelegable de proveer, garantizar y supervisar una educacin integral, inclusiva, perma-

nente y de calidad para todos sus habitantes, garantizando la igualdad, gratuidad y la justicia socialen el ejercicio de este derecho, con la participacin del conjunto de la comunidad educativa.1

La Escuela Secundaria obligatoria de seis aos cumple con la prolongacin de la educacin co-mn y, como se seala en el Marco General del Ciclo Bsico de Educacin Secundaria, represen-ta el espacio fundamental para la educacin de los adolescentes y los jvenes de la provinciade Buenos Aires; es un lugar que busca el reconocimiento de las prcticas juveniles con sentidoformativo y las incluye en propuestas pedaggicas que posibiliten construir proyectos de futu-ro y acceder al acervo cultural construido por la humanidad, para lo cual los adultos de la es-cuela ocupan su lugar como responsables de transmitir la cultura a las nuevas generaciones.2

En este marco, la Educacin Secundaria tiene en el centro de sus preocupaciones el desafo delograr la inclusin y la permanenciapara que todos los jvenes de la Provincia finalicen la educa-cin obligatoria, asegurando los conocimientos y las herramientas necesarias para dar cabal cum-plimiento a los tres fines de este nivel de enseanza: la formacin de ciudadanos y ciudadanas,la preparacin para el mundo del trabajo y para la continuacin de estudios superiores.

Una Escuela Secundaria inclusiva apela a una visin de los jvenes y los adolescentes comosujetos de accin y de derechos, antes que privilegiar visiones idealizadoras, romnticas, quenieguen las situaciones de conflicto, pobreza o vulnerabilidad.Esto har posible avanzar en la

constitucin de sujetos cada vez ms autnomos y solidarios, que analicen crticamente tantoel acervo cultural que las generaciones anteriores construyeron, como los contextos en queestn inmersos, que puedan ampliar sus horizontes de expectativas, su visin de mundo y serpropositivos frente a las problemticas o las situaciones que quieran transformar.

Tener en cuenta los distintos contextos en los que cada escuela secundaria se ha desarrollado,las condiciones en las que los docentes ensean, las particularidades de esta enseanza y lasdiversas historias personales y biografas escolares de los estudiantes, permitir que la toma dedecisiones organizacionales y curriculares promueva una escuela para todos.

Este trabajo fue socializado en diferentes instancias de consulta durante todo el 2009. Cabedestacar que la consulta se considera como instancia para pensar juntos, construir colectiva-mente, tomar decisiones, consolidar algunas definiciones y repensar otras.

Una escuela secundaria que requiere ser revisada, para incorporar cambios y recuperar algunas de susbuenas tradiciones, implica necesariamente ser pensada con otros. Por ello, esta escuela es el resultadodel trabajo de la Direccin Provincial de Educacin Secundaria y recoge los aportes efectuados por ins-pectores, directivos, docentes de las diferentes modalidades, estudiantes, especialistas, representantesgremiales, universidades, consejos de educacin privada, partidos polticos, entre otros.

1 Ley de Educacin Provincial N 13.688, artculo 5.2 DGCyE, Marco General de la Educacin Secundaria. Diseo Curricular de Educacin Secundaria. La Plata,

DGCyE, 2006.


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6 | DGCyE | Diseo Curricular para ES.5

elproCesoDeDiseoCurriCular

El proceso de diseo curricular se inici en el ao 2005, con una consulta a docentes en la cual sevaloraron las disciplinas y su enseanza; continu en 2006 con la implementacin de los predise-os curriculares como experiencia piloto en 75 escuelas de la Provincia. A partir de 2007, todas lasescuelas secundarias bsicas implementaron el Diseo Curricular para el 1 ao (ex 7 esb); durante

2008 se implement el Diseo Curricular para el 2 ao (ex 8 esb) y en 2009 se implement el co-rrespondiente al 3 ao (ex 9 esb).3

Se organiz de este modo el Ciclo Bsico completo, con materias correspondientes a la for-macin comn. El Ciclo Superior Orientado, por su parte, se organiza en dos campos: el dela formacin comn y el de la formacin especfica. El primero incluye los saberes que losestudiantes secundarios aprendern en su trnsito por el nivel, sea cual fuere la modalidad uorientacin, y que son considerados como los ms significativos e indispensables.4 El segundoincorpora materias especficas de distintos campos del saber, segn la orientacin.

En este sentido, la organizacin del Ciclo Bsico y su desarrollo, tanto en el Marco General comoen los diseos curriculares de cada una de las materias, decidieron cuestiones importantes que secontinan en los diseos curriculares para el Ciclo Superior. Se resolvi su diseo de manera com-pleta porque se estructura en orientaciones que debieron pensarse para aprovechar los espaciosdisponibles de los tres aos.

Finalmente, estos diseos curriculares necesitan que los docentes participen y co-construyancon los jvenes ritos que hagan marca, es decir que den cuenta de la impronta particular decada escuela. Esto implica el reconocimiento y la integracin a las rutinas escolares de losmodos de comunicacin y expresin de los jvenes: programas de radio, blogs, publicaciones,

espacios de expresin artstica, entre otras alternativas.

La propuesta de una escuela secundaria pblica, en tanto espacio de concrecin del derechosocial a la educacin para los adolescentes y los jvenes, toma en sus manos la responsabilidadde formar a la generacin que debe ser protagonista en la construccin del destino colectivo.

estruCturaDelaspubliCaCiones

El Diseo Curricular del Ciclo Superior para la Educacin Secundaria de 5o ao se presenta entres tipos de publicaciones.

MarcoGeneraldelCicloSuperiorparalaEscuelaSecundaria.Materiascomunesquecorrespondena5aodetodaslasorientaciones.Orientaciones.

El siguiente cuadro representa cada una de las publicaciones con sus contenidos.

3 Las resoluciones de aprobacin de los diseos curriculares correspondientes al Ciclo Bsico de la Secun-daria son: para 1 ao Res. N 3233/06; para 2 ao 2495/07; para 3 ao 0317/07; para Construccin deCiudadana Res. 2496/07 y Res. de Consejo Federal N 84/09.

4 En los lineamientos federales, este campo de la formacin comn se denomina Formacin General.


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estr

uCtura

De

las

publiCaCiones

MarcoGeneralpa

raelCicloSuperiordelaEscuel

aSecundaria

Arte (solo paraCiencias Naturales)

Historia

EducacinFsica

Literatura

Poltica yCiudadana

Matemtica -Ciclo Superior

Introduccin ala Qumica

Ingls

Geografa

Ciencias Naturales

Marco General de la Orientacin

Fundamentos de Qumica

Fsica

Ciencias de la Tierra

Biologa

Ciencias Sociales


Comunicacin, cultura y sociedad

Economa poltica

Sociologa

Lenguas Extranjeras


Estudios interculturales en ingls I

Italiano II

Francs II

Portugus II

Arte


Artes Visuales Imagen y nuevos medios

Imagen y procedimientos constructivos

Danza Anlisis Coreogrfico

Improvisacin y composicin coreogrfica

Literatura Seminario de investigacin literaria

Taller de Escritura

Msica Anlisis y produccin en msica

Prcticas de conjuntos vocales e instrumentales

Teatro Actuacin y procedimientos constructivos en teatro

Anlisis del lenguaje teatral

Educacin Fsica


Prcticas deportivas y acuticas

Educacin Fsica y cultura

Prcticas corporales y deportivas en el ambiente natural

Prcticas gimnsticas y expresivas

Sociologa

Economa y Administracin


Derecho

Elementos de micro y macroeconoma

Gestin Organizacional

Sistemas de informacin contable

Comunicacin


Comunicacin y culturas del consumo

Observatorio de comunicacin, cultura y sociedad

Observatorio de Medios

Contenidos correspondientes al Ciclo Superior. Contenidos correspondientes a 5o ao.


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MateMtiCaysuenseanzaenel CiClo superiorDela

esCuela seCunDaria

El Ciclo Superior de la Escuela Secundaria representa para los jvenes la oportunidad de pro-fundizar contenidos matemticos anteriores, analizarlos desde el punto de vista formal de laMatemtica como ciencia, al mismo tiempo que se abre un espacio de construccin de nuevosconceptos. En este contexto, el desarrollo de la materia en el 5o ao debe aportar niveles cre-cientes de formalizacin y generalizacin.

Para hacer matemtica es ineludible resolver problemas, aunque esta actividad no se consi-dera suficiente. La descontextualizacin de los resultados obtenidos es lo que permite genera-lizar y realizar transferencias pertinentes.

Si bien la estructura de la matemtica como ciencia formal es el resultado final de conocimientosconstruidos por la comunidad cientfica, es importante que los docentes tengan presente que, enla escuela secundaria, esa estructura deber constituir una meta y no un punto de partida.

A pesar de que la matemtica escolar difiere del trabajo cientfico, en el aula pueden y debenvivenciarse el estilo y las caractersticas de la tarea que realiza la comunidad matemtica. Deesta forma, los alumnos considerarn a la matemtica como un quehacer posible para todos,tal como se defini en el Ciclo Bsico de la Escuela Secundaria.

El imaginario popular asigna a la matemtica significados discutibles que la colocan en un lu-gar casi inalcanzable para el comn de las personas. Estas concepciones, en gran parte, tienensu origen en los aprendizajes que se produjeron durante la escolaridad. Por lo general la ma-temtica escolar se caracteriza por una profusin de definiciones abstractas, procedimientosmecnicos, desarrollos unvocos y acabados, demostraciones formales, y un uso apresurado dela simbologa. Esto contribuye a la creencia de que las personas que no son capaces de asimilarlos contenidos vinculados a ella de modo sistmico, en el orden y la cantidad en la que se pre-sentan, fracasan por falta de capacidad para la matemtica.

Esta concepcin determinista y elitista de la matemtica se contrapone con la propuesta del presen-te Diseo Curricular, que considera a la disciplina como parte de la cultura, y valora a los alumnoscomo hacedores de la misma. Por este motivo, se propone un cambio sustancial en el quehacer ma-temtico del aula mediante el cual el docente, a partir de la asimetra, sea un motor importante enla construccin de conocimientos que cobren sentido dentro de la formacin integral del alumno.

En esta lnea, una de las transformaciones que se producirn se vincula con el posicionamientodel docente, quien debe abandonarel lugar central que histricamente ha tenido dentro delaula para ocupar otro espacio en la dinmica de la clase; espacio que permita a los jvenesinteractuar con sus pares y con la propuesta de trabajo.

Sin embargo, el encuentro de los alumnos con las propuestas que se planifiquen no garantiza,por s mismo, que ellos aprendan matemtica. La intervencin del docente es fundamental para

que el aprendizaje sea posible y debe responder a estrategias que trasciendan la exposicincomo nica dinmica de clase.


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MapaCurriCular

Materia Matemtica-Ciclo Superior

Ao 5o

Ejes y ncleossintticos de

contenidos

Geometra y lgebra Semejanza

Razn entre reas y volmenes de cuerpos semejantes

Lugar Geomtrico

Hiprbola. Elipse

Nmeros yOperaciones

Nmeros reales

Intervalos en R

Operatoria

Logaritmo

Sucesiones

Sucesiones dadas por trmino general y por recurrencia

Uso de calculadoras

lgebra y Funciones Funciones polinmicas

Ceros. Grficos

Composicin e inversas de funciones

Funciones homogrficas

Funciones exponencial y logartmica

Uso de software para el estudio de funciones

Probabilidad yEstadstica

Estadstica.

Muestra y poblacin

Parmetros de posicinParmetros de dispersin

Uso de calculadoras

Cargahoraria

La materia Matemtica- Ciclo Superior corresponde al 5o ao de la Escuela Secundaria en todaslas orientaciones del Ciclo Superior.

Su carga horaria es de 108 horas totales; si se implementa como materia anual su frecuenciaser de tres horas semanales.

ObjetivOsdeenseanza

Promover el trabajo autnomo de los alumnos.Estimular el establecimiento, comprobacin y validacin de hiptesis por parte de los es-tudiantes, mediante el uso de las herramientas matemticas pertinentes.Promover el trabajo personal y grupal, valorando los aportes individuales y colectivos para

la construccin de los nuevos contenidos matemticos.


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Promover el respeto por la diversidad de opiniones, as como una actitud abierta al cambioque permita elegir las mejores soluciones ante diferentes problemas matemticos.Alentar a los alumnos para que valoren sus producciones matemticas; realicen consultas;defiendan posturas; construyan hiptesis explicando construcciones matemticas perso-nales o ajenas.Evaluar los aprendizajes, vinculando los nuevos contenidos adquiridos con los anteriores.

Valorar los conocimientos matemticos extraescolares de los alumnos y retomarlos para suformalizacin, explicacin y enriquecimiento en el marco de la materia.Propiciar la lectura de textos matemticos como material de consulta y ampliacin de lotrabajado en clase.Escuchar, registrar y retomar los aportes de los alumnos durante las clases.Promover la toma de conciencia de la distancia entre los contenidos nuevos y los saberesanteriores como muestra del crecimiento del saber matemtico personal.Estimular el ajuste de la terminologa y notacin matemtica en los diferentes conteni-dos.Incorporar, con distintos grados de complejidad, el uso de las Nuevas Tecnologas de la

Informacin y la Conectividad (nticx) en la enseanza de la Matemtica.

objetivosDeaprenDizaje

Valorar la matemtica como objeto de la cultura.Construir conocimientos matemticos significativos.Utilizar estrategias de trabajo matemtico en el aula, en un marco de responsabilidad,solidaridad y convivencia democrtica.Establecer transferencias pertinentes de los conocimientos adquiridos a situaciones intray/o extra-matemticas.Trabajar de manera autnoma e identificar modelizaciones de situaciones que se presen-ten en diferentes campos.Dimensionar el propio progreso en la construccin de los contenidos y el lenguaje cient-fico matemtico.Comprender la importancia de la formalizacin mediante funciones trascendentes inter-pretndolas como herramientas de comunicacin en el mbito de la matemtica.Distinguir las definiciones de las explicaciones y los ejemplos.Explicitar el rigor en las estrategias matemticas que se utilizan.Comprobar lo razonable de los resultados en las respuestas a los problemas.

Valorar la propia capacidad matemtica.Identificar las caractersticas y estilos propios que se despliegan al abordar un problemamatemtico.


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ConteniDos

Los contenidos de la materia Matemtica-Ciclo Superior se organizan en cuatro ejes: Geo-metra y lgebra, Nmeros y Operaciones, lgebra y Funciones, Probabilidades y Estadstica.

stos incluyen los ncleos sintticos de contenidos descriptos en el mapa curricular y agrupanconocimientos vinculados entre s.

Cada eje contina con lo propuesto en los diseos curriculares del Ciclo Bsico, a la vez queprofundiza y orienta el trabajo hacia los niveles de argumentacin y formalizacin que se es-pera que los alumnos adquieran a lo largo de los tres aos que componen el Ciclo Superior dela Escuela Secundaria. En este sentido, el Diseo Curricular para el 5o ao incorpora contenidosnuevos que complementan y refuerzan la formacin bsica de los estudiantes.

Al momento de su abordaje, el docente deber tener en cuenta que:

el orden en que se presentan los ejes y los ncleos sintticos no implica que necesariamen-te se enseen de ese modo;el tratamiento de un eje puede provocar la aparicin de nodos que refieren a otros ejes.

La descripcin de contenidos que se desarrolla a continuacin incluye orientaciones didcticase incorpora ejemplos de problemas y situaciones de enseanza, a partir de las cuales el docentepuede trabajar los diferentes ejes y ncleos.

eje geoMetray lgebra

Semejanza

Razn entre reas y volmenes de cuerpos semejantes

El tema de cuerpos semejantes y del anlisis de la razn entre sus reas y volmenes merece untratamiento cuidadoso, dado que es frecuente que los alumnos de cursos superiores presentendificultades al momento de resolver problemas vinculados a esta temtica.

Se puede ayudar a los estudiantes a construir estrategias mediante la visualizacin de repre-sentaciones en ejes de figuras tridimensionales sencillas;

para luego acompaarlas con el estudio de las razones entre sus aristas, caras y el planteo de larazn entre sus volmenes, tanto desde lo algebraico, como desde la visualizacin geomtrica.


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Ejemplo 1

Analizar en las siguientes figuras la razn de semejanza, la razn entre sus bases y altu-ras y la razn entre sus reas.

Se concluye que la razn entre las reas de figuras semejantes es igual al cuadrado dela razn de semejanza.

Ejemplo 2

Analizar en los siguientes cubos semejantes, la razn de semejanza, la razn entre susaristas y la razn entre sus volmenes.

Se concluye que la razn entre los volmenes de cuerpos semejantes es igual al cubo dela razn de semejanza.

Ejemplo 3

Los cuerpos redondos merecen una especial atencin, dado que no es tan clara su visua-lizacin, y genera dificultades al momento de estimar la relacin entre sus capacidadescomo en el caso de las siguientes semiesferas cuyos radios tienen razn 3.

Pueden plantearse problemas del tipo:

Sielradiodeunaesferaseaumentaenun20%,calcularelporcentajedeaumentodesu volmen.

Sielradiodeunaesferaseaumentaenun20%,calcularenporcentajeladiferenciaentre sus reas.

Siaunaesferade10cmderadioselarecubreconciertomaterialen1cmdeespesor,en qu porcentaje se incrementa su volmen?


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Lugar Geomtrico

Hiprbola. Elipse

Se propondr el trazado de lugares geomtricos mediante el uso de elementos de geometra yde software tales como Geogebra , Cabri, Graphmatica u otros.

Las figuras cnicas se estudiarn como lugares geomtricos notables y como secciones de unasuperficie cnica, definindolas en lenguaje coloquial, algebraico y grfico.

Puede comenzarse con un mtodo sencillo plegando una hoja de papel.

Ejemplo 4

Se dibuja una circunferencia y un punto exterior a ella. Luego se marcan puntos sobre la

circunferencia y se realizan dobleces de modo que el punto exterior coincida con cadauno de los marcados en la circunferencia. De esta forma, los pliegues irn delimitandoel trazado.

Se analiza la propiedad de sus puntos cuya diferencia, en valor absoluto, de sus distancias a dospuntos fijos, llamados focos, es igual a una constante menor que la distancia entre sus focos.

Ejemplo 5

El siguiente grfico realizado con Geogebra, que puede obtenerse en la red, correspondea la ecuacin.

con eje focal y=0, ecuaciones de las asntotas y= x , y= x, focos en


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F1= (5.0) y en F2= (-5.0), excentricidad e = , coordenadas de los vrtices en

V1=

V

2= (-3.0).

Son numerosos los sitios que brindan animaciones donde es posible observar la construccin delos lugares geomtricos o su modificacin a partir de los cambios de sus parmetros; asimismo,algunos de ellos contienen autoevaluaciones que permiten a los alumnos ver cules son losaspectos ms relevantes del tema y su grado de construccin del saber.1

Ejemplo 6

Las siguientes representaciones de dos hiprbolas conjugadas que tienen las mismasasntotas fueron realizadas con el programa Graphmatica.

Sus ecuaciones son

Dando distintos valores para ay b, preguntar qu ocurre cundo a y b toman igual valor? oqu puede predecirse cundo bes mayor que a? Con un graficador podrn hacer conjeturasy comprobarlas.

Del mismo modo puede hacerse un tratamiento de la elipse plegando una hoja de papel.

1 http://www.dmae.upct.es/~pepemar/conicas/parabola/autoevapar.htm


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Ejemplo 7

Se dibuja una circunferencia. En ella se marcan puntos y un punto en su interior. Luegose realizan dobleces de modo que el punto interior coincida con cada uno de los marca-dos en la circunferencia. De esta forma, los pliegues delimitarn el trazado.

Se analiza la propiedad de sus puntos, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es igual a una constante mayor que la distancia entre sus focos.

De igual modo, se estudia su ecuacin y se estimula a los alumnos a la in-vestigacin con animaciones, y graficadores.

Se analizan sus desplazamientos en el plano y su incidencia en la ecuacin.

De ser pertinente, los alumnos podrn conocer con graficadores en 3D los lugares geomtricosde los puntos del espacio, cuya ecuacin es un polinomio de segundo grado en x, y, z y visua-lizar, por ejemplo, la ecuacin de la esfera

x2 +y2 + z2 = a2.


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eje nMerosy operaCiones

Nmeros reales

Intervalos en R.

Operatoria

Logaritmo

El concepto de logaritmo se introduce desde el ncleo de funciones, como inversa de la fun-cin exponencial. Sin embargo, en este ncleo se trabajar el logaritmo como una operacinentre nmeros reales. Es conveniente para el estudio de las propiedades, que se deduzcan y seempleen en problemas que las requieran como herramientas.

Ejemplo 1

Sabiendo que log2= 0,301 y que log3= 0,477 se puede calcular el log24

log24= log (3 x 8)= log (3x 23) = log3 +3log2= 0,477+ 3x 0,301= 1,38

Con los mismos datos calcular log (1/ 54).

Sucesiones

En el segundo ao se introdujo el concepto de sucesiones; se pretende aqu retomarlo paraprofundizar su abordaje.

Ejemplo 2

Dado un cuadrado de lado 1, se sigue el siguiente procedimiento:

se unen los puntos medios de sus lados determinando un cuadrado en su interior;

se repite el paso en el segundo cuadrado y as sucesivamente.

Completa sabiendo que an

representa el rea del cuadrado del paso n

a1

= 1 a2=a

3= a

4= a

n=

A partir de qu n el rea del cuadrado es menor que 1/32?

En el ncleo de funciones se trabajar con funciones exponenciales y logartmicas donde elnmero e ser de gran importancia.

El trabajo con sucesiones permite aproximarse de manera intuitiva al concepto de lmite. La

discusin con los alumnos acerca de los valores que va tomando la sucesin a medida que ncrece, ser una buena introduccin al concepto de lmite.

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Ejemplo 3

Dada la sucesin:

n

nn

a

+=1

1

1) Investiga con tu calculadora y calcula los diez primeros trminos de la sucesin

2) Cunto vale a100? y a1000?

3) Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Argumenta tus respues-tas.

Los trminos de la sucesin son positivos.

En la sucesin cada trmino es mayor que el anterior.

Si se toman n suficientemente grandes los trminos de la sucesin son mayores que 3.

Para todo n vale 2 < an < 3

Para toda n vale 2 an < 3

4) Si se intenta calcular con una calculadora cientfica an para n = 107 el resultado que

aparece en pantalla es 1. Intenta explicar por qu sucede este error.

Conceptos tales como los de cotas, sucesiones acotadas, supremos e nfimos, sern incorpora-dos de manera progresiva por los alumnos, lo cual les permitir describir situaciones con mayorprecisin a partir de un vocabulario especfico enriquecido.

Ejemplo 4

Dada la sucesin de trmino general

{ 2 , 1 , }

Esta sucesin est acotada superior e inferiormente.

Est acotada superiormente, dado que existe un nmero kque no es superado por nin-gn trmino de la sucesin. En este ejemplo 2, 4, 8, 100, e, son cotas superiores.


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Est acotada inferiormente, dado que existen valores como 0,-1, -3, - , que son cotasinferiores: no superan a ningn trmino de la sucesin.

Tambin se afirma que est sucesin es montona decreciente, al ser cada trminomenor que el anterior.

Ejemplo 5

a(n) = an

= 2 (-1)n

{ 1, 3 , 1 ,3 ,1 ,3 ,1 ,3, }

Esta sucesin est acotada, admite cotas superiores y cotas inferiores.

El supremo es 3 dado que es la menor de las cotas superiores, y el nfimo es 2, que esla mayor de las cotas inferiores esta sucesin es montona decreciente? y montona

creciente?Otra manera de definir esta sucesin es a

n =

eje lgebray FunCiones

Funciones polinmicas

En los aos anteriores se trabaj con el concepto de funcin y se profundiz en funcioneslineales y cuadrticas. Se retome en el 5o ao a fin de abordar el estudio de funciones mscomplejas. Asimismo, los conceptos: dominio de definicin, ceros, imagen y positividad debenser revisados en relacin con las nuevas funciones que se presentan.

Es comn encontrar entre los alumnos respuestas que dan indicio de lo frgil que son a veceslos aprendizajes. Por ejemplo, alumnos que grafican cuadrticas y son capaces de calcular ra-ces dada una frmula de una funcin, al interrogarlos acerca del dominio de definicin, o delvalor de la funcin para un valor determinado, muchas veces, no logran responder.

En este ncleo se propone el estudio de funciones inversas, por lo tanto, la revisin de losconceptos se vuelve indispensable, dado que las condiciones para su existencia devienen de ladefinicin misma de funcin.


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Por otra parte, se trabajar con grficos de funciones polinmicas, prestando particular atencin ala cantidad de ceros y la positividad en base a la idea, por el momento intuitiva, de continuidad.

Siempre que sea posible, se fomentar el abordaje de los temas desde distintos lenguajes. Estono constituye una traduccin literal sino una interpretacin con mayor grado de abstraccin;se pretende con ello que los contenidos anteriores se integren plenamente a los nuevos.

Ejemplo1

Dada la funcin : )3)(x2)(x1.(xxf(x) =

Analizar ceros y posividad del grfico. Elaborar un grfico aproximado.

En el grfico se representaron

3

2

1

4

3

2

1

=

=

=

=

xf

xf

xfxf

En el intervalo (- ,o ) las cuatro fun-ciones toman valores negativos. Por lo

tanto, la funcin polinmica de grado 4 que se analizar tomar el valor del producto decuatro nmeros negativos, es decir que en ese intervalo ser positiva.

Qu se puede decir del intervalo ( 1,2)?

Luego de realizar el anlisis de los intervalos convenientes se verificar con el grfico dela funcin propuesta.


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Funciones exponenciales

Al proponer a los alumnos situaciones tales como: analizar el crecimiento de una poblacin debacteriasquesetriplicacadamediahora;elvalordeuncochequesedepreciaun10%anual;la propagacin de un virus muy infeccioso como el de la gripe (cada enfermo infecta a varios);elvalordeundepsitobancarioqueaumentaal7%anual;losalumnospodrnconstruirla

frmula de funciones exponenciales a partir del anlisis de los problema y su resolucin.

Es necesario comparar crecimientos lineales con crecimientos exponenciales. Por ejemplo, par-tir del anlisis de dichas situaciones y plantear la existencia de la funcin inversa; de esta formase puede trabajar desde lo extramatemtico hacia lo intramatemtico. Es importante que elestudio de exponenciales y logaritmos permita distinguir procesos que se modelizan con estasfunciones, y no se limite al manejo de frmulas y grficos.

Saber matemtica significa, entre otras actividades, poder interpretar las cuestiones matemticas pre-sentes en otras disciplinas, interpretando cmo se utilizan los modelos matemticos para describir,

analizar y predecir fenmenos de las ciencias naturales o sociales, procesos tecnolgicos, etctera.

Es necesario, por tanto, proponer a los estudiantes el anlisis, comentario y discusin de textospropios de la ciencia, as como textos de otras disciplinas donde el lenguaje matemtico estpresente; una gran fuente de ejemplos de estas aplicaciones lo constituyen las funciones ex-ponenciales y logartmicas.

Ejemplo 1

Un laboratorio que realiza experiencias para el desarrollo de una nueva frmula, handeterminado que las bacterias que se utilizarn se reproducen por biparticin cada 20

minutos. Se inicia un campo de cultivo con una bacteria a las 8:00 horas. A las 8:20existen 2 bacterias; a las 8:40 hay 4. Por observacin en el microscopio, se sabe que a las10:40 horas en punto, el campo de estudio tendr llena la mitad de su capacidad.

A qu hora se llenar el campo de cultivo si se inici, como se ha dicho, a las 8:00 horas?

Cuntas bacterias habr cuando el campo de cultivo est lleno?

Cul es el modelo matemtico que se adecua al crecimiento de esta colonia de bacterias?

Ejemplo2

El seor A le propone al seor B la siguiente transaccin:

A le dar a B $ l el primer da del mes y cada da le dar $1 ms que el anterior.

B le dar a A $ 0,01 el primer da del mes y cada da le dar el doble de lo que le dio elda anterior.

Da Recibe A ($) Recibe B ($)1 0,01 12 0,02 23 0,04 3

4 0,08 45 56


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789x

Analiza para quin es conveniente este trato y en qu condiciones de tiempo.

Ejemplo 3

Determinar K sabiendo que la grfica de la funcin f(x) = KX pasa por el punto (2,9) calcularf(-1) Representar la funcin y leer la informacin del grfico: crecimiento y positividad.

eje probabiliDaDy estaDstiCa

Estadstica

Muestra y poblacin

La estadstica construye modelos matemticos para analizar las caractersticas de una pobla-cin mediante censos o muestras segn se abarque o no la totalidad de elementos de estudio.

Para el abordaje de este ncleo sinttico se tabularn y graficarn variables discretas y continuas deacuerdo a las caractersticas de las unidades de anlisis susceptibles de ser medidas; se profundizaren el estudio de parmetros estadsticos de posicin: mediana, moda y media aritmtica; se cons-truirn conceptos y se estudiarn utilidades de medidas de dispersin como varianza y desviacinestndar; se construirn estrategias para la prediccin, estimacin y verificacin de resultados.

Asimismo, se estudiarn medidas de posicin como los fractiles, que en el caso de los cuartelesseparanalosvaloresdedistribucindefrecuencias,enel25%delasobservacionesquedaalaizquierdayel75%aladerecha para q

1,50%y50%paraq

2yen75%alaizquierday25%

derecha para q3;

del mismo modo puede razonarse para deciles y percentiles. Cuando se habladequeunvalorqueestenelpercentil80,seestdiciendoqueesunvalorsuperioral80%delapoblacinanalizadaeinferioral20%restante.

Es necesario considerar dos aspectos importantes, en primer lugar, no reducir la estadstica auna mera aplicacin de frmulas, por lo que deber incorporarse la calculadora y acompaar loque se est realizando con un anlisis del contexto del problema, a fin de resignificar la infor-macin que se obtiene de las variables en juego. Por otro lado, reflexionar acerca de qu apor-tan las medidas de posicin y qu las de dispersin; analizar, por ejemplo, curvas de frecuenciacon igual posicin pero con distinta dispersin y hacer conjeturas sobre las mismas.

Uso de calculadoras en estadstica

Es comn que los alumnos posean calculadoras y realicen un aprovechamiento limitado de susfunciones, como en el caso del clculo de la media o del desvo, por lo que se hace necesarioidentificar en las calculadoras las teclas x2 , x , n , varianza -segn el modelo o modo de

introducir los datos- formas de hacer correcciones, etctera. Para ello se debe estimular la lec-tura de manuales de las calculadoras para el mejor uso de sus funciones.


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orientaCiones DiDCtiCas

resoluCinDeprobleMasyForMalizaCin

Existe una importante cantidad de bibliografa acerca de las caractersticas que debe tener unaactividad para constituirse en un problema que puede ser resuelto por parte de los alumnos. Eneste Diseo Curricular se considera que un problema:

promueve el desarrollo de estrategias que favorecen una educacin ms autnoma, com-prometida y participativa;se constituye como tal a partir del vnculo que el alumno establece con la tarea propuesta,y no es una caracterstica inherente a las actividades;es una situacin que se le presenta al estudiante y lo moviliza a la accin;genera que los jvenes pongan en juego diferentes tipos de saberes relacionados con losconceptos, los procedimientos y/o las actitudes. Si el alumno reproduce un procedimientoaprendido con anterioridad, estara realizando un ejercicio o un problema de aplicacin, perono aprendiendo a travs de problemas en el sentido que entiende el presente Diseo.

La institucionalizacin de los conocimientos comienza con los estudiantes, en la legitimacinde sus procesos por parte del docente, quien junto con ellos generaliza, enmarca en una teoray descontextualiza el saber aprendido.

CliMaDelaClaseytrataMientoDelerror

Los docentes desean que los alumnos se comprometan con su propio aprendizaje; esto se lo-gra cuando desarrollan tareas de las que deciden hacerse cargo. En las clases de Matemtica,las largas exposiciones suelen contar con pocos seguidores, an cuando el grupo aparente locontrario.

Educar matemticamente no consiste en ensear a partir de exposiciones tericas, para luegosolicitar a los alumnos la resolucin de ejercicios y problemas. Para que ellos tomen un rolactivo, es necesario generar un clima de confianza en su propia capacidad y de respeto por laproduccin grupal.

Resulta conveniente planificar la tarea en el aula, de modo tal que algunas veces haya una pri-mera instancia de trabajo individual. En esta etapa el estudiante preparar su aporte personalpara la posterior labor grupal.

Hacia el interior de los equipos, cada integrante compartir su produccin con los dems; entretodos construirn la forma de comunicarla a los restantes grupos con un registro adecuado quepermita confrontar las diferentes resoluciones. En este momento es importante que el docentehabilite la palabra de todos los alumnos.

Una vez que finalice la puesta en comn y la discusin acerca de cada solucin que los alumnosplanteen, el docente establecer el estatus matemtico de estas construcciones. Los errores que


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se produzcan en este proceso sern indicadores del estado del saber de los estudiantes, y eldocente contribuir para avanzar a partir de ellos.

La superacin de errores se lograr si los alumnos toman conciencia acerca de los mismos y sehacen cargo de su reparacin en niveles crecientes de autonoma. Dar la respuesta correcta nosignifica enmendar un error, ms an deber estimularse al estudiante para que elabore estra-

tegias de control que le permitan decidir sobre la correccin de sus producciones.

leeryesCribiren MateMtiCa

Comprender un texto supone dar significado a lo ledo e incluirlo en el marco personal designificaciones previas, enriquecindolas. En Matemtica-Ciclo Superior este proceso debe sercorrecto en trminos de la ciencia y la cultura matemtica. Palabras como dependenciaosemejanza tienen significados diferentes en distintos contextos, pero en esta disciplina su

definicin es precisa. Por este motivo, la lectura de textos matemticos ha de estar presenteen las clases.

Entre otras actividades, leer matemtica significa interpretar las cuestiones vinculadas al reaque estn presentes en textos de otras disciplinas; analizar cmo se utilizan los modelos ma-temticos para describir y predecir fenmenos de las ciencias naturales o sociales, los procesostecnolgicos o las expresiones artsticas. Con esta finalidad, durante las clases ser necesarioproponer el anlisis, comentario y discusin de materiales propios de la ciencia, as como textosde otras disciplinas donde el lenguaje matemtico est presente a travs de grficos, porcen-tajes o esquemas geomtricos.

Los alumnos podrn trabajar a partir de las producciones matemticas de sus compaeros;las mismas sern un material rico sobre el cual iniciar la lectura de textos con el propsito deexplicar, describir, argumentar, validar, dar precisin y complejizar la informacin con la quese cuente.

Para promover el desarrollo de la capacidad lectora de los alumnos, es esperable que durantelas clases los estudiantes se enfrenten a una diversidad de textos que incluyan expresiones ver-bales, simblicas y grficas. Es importante que puedan analizarlas y favorecer el pasaje a otrasexpresiones ms complejas.

En el proceso de construccin de sentido de un lenguaje cientfico se produce una paradoja: porun lado, los objetos matemticos deberan preceder a su representacin, pero es a partir de ellaque se conceptualizan semiticamente. Estas representaciones semiticas son necesarias parauna comunicacin ms precisa, e imprescindibles para la construccin futura del concepto.

Para facilitar este proceso, ser necesario promover la produccin y la lectura de textos quepermitan su representacin a partir de diversos lenguajes desde el natural o coloquial hastael simblico, teniendo en cuenta que esto supera la simple traduccin y adquiere riqueza yprecisin mediante la relectura de las conceptualizaciones.


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usoDelaCalCulaDora

La calculadora, y algunos software especficos, son herramientas al alcance de los alumnos yde empleo cotidiano en la sociedad. En este Diseo Curricular su uso estar presente en todoslos ejes y ncleos sintticos de contenidos, ya que permitir mejores visualizaciones sobre lascuales elaborar conjeturas, prever propiedades, descartarlas o comprobarlas. Al utilizar estas

herramientas, se desplaza la preocupacin por la obtencin de un resultado y la actividad secentra en la construccin de conceptos y en la bsqueda de nuevas formas de resolucin.

La calculadora, contrariamente a lo esperado o intuido, es un potentsimo instrumento declculo; es motivadora, despierta el inters de los alumnos en la bsqueda de regularidades obien genera interrogantes por ejemplo, en el caso de obtener por multiplicacin nmeros mspequeos. Por otra parte, constituye una herramienta de control neutral, ya que el alumnopuede utilizarla para verificar sus estimaciones sin percibir reprobacin ni crtica ante las res-puestas equivocadas.

Su uso se hace imprescindible en un momento en que el clculo algortmico dio lugar a nuevasformas de pensar en la educacin matemtica. Segn Nicholas Burbules, las nuevas tecnolo-gas son herramientas demasiado valiosas como para dejarlas fuera del aula. El imperativo esencontrar la conexin entre aquello que los jvenes se sienten motivados a hacer y aquello quecomo educadores consideramos que tienen que aprender.2

2 Burbules Nicholas, Los problemas no se solucionan con prohibir las TIC, simulando que no existen. Lasnuevas tecnologas son herramientas demasiado valiosas como para dejarlas fuera del aula, en Educ.ar.Buenos Aires, 2009. [http://portal.educ.ar/noticias/entrevistas/nicholas-burbules-los-problema.php]


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orientaCionesparalaevaluaCin

La evaluacin en Matemtica-Ciclo Superior se debe entender como un proceso continuo queinvolucra todas las actividades que el docente propone a sus alumnos; no est nicamente

asociada a la calificacin que surge de las evaluaciones escritas, en las cuales slo se involucrala memorizacin de enunciados o la aplicacin mecnica de reglas.

En una prueba escrita, el alumno resuelve problemas que el docente corrige. Esta correccindeber considerar tanto la resolucin del problema en su totalidad, como el pertinente usode las herramientas matemticas. Esto implica evaluar que el estudiante, una vez realizada laoperatoria necesaria, sea capaz de contextualizar los resultados obtenidos para construir res-puestas coherentes a la situacin planteada.

Supone tambin la capacidad de explicar y justificar los procedimientos elegidos para la reso-

lucin de un problema, mediante el uso del lenguaje matemtico en sus diferentes variantes(coloquial, grfico, simblico) y la produccin de un registro que permita comunicar los resul-tados de manera eficaz.

En estas condiciones, la evaluacin es un proceso que brinda a docentes y alumnos elementospara conocer el estado de situacin de la tarea que realizan juntos; como tal, representa unaoportunidad de dilogo entre ambos. De este modo, la devolucin de las evaluaciones escritasdebe prever breves momentos de atencin personalizada a los estudiantes, que complementenlos comentarios que el docente realiza en los exmenes cuando los corrige. A su vez, los resul-tados observados en la correccin permiten al docente reorientar el proceso de enseanza y

planificar la tarea futura.

Es importante que los alumnos conozcan con claridad qu es lo que se espera que logren enrelacin con el contenido que se evala. Por lo general, la calificacin final de una prueba sloes reflejo de la distancia entre lo que se espera que ellos logren y lo efectivamente alcanzado,pero en ocasiones es difcil para los estudiantes darse cuenta de aquello que el profesor con-sidera importante a la hora de corregir. Por esto es indispensable que el docente explicite estetipo de cuestiones aunque las considere triviales.

Es importante tambin que se evale cules son los progresos de los jvenes en relacin con

los conocimientos matemticos evaluados y se les informe sobre lo que se espera que mejoren;esto contribuye a la construccin del oficio de alumno de Matemtica. En este sentido, eldocente debe llevar registros personalizados de los progresos de los estudiantes y considerar,como un punto ms a la hora de calificar, la distancia entre las construcciones de los mismosy los saberes matemticos.

Cuando el docente califique a sus alumnos, adems de ponderar el estado de situacin de cadauno de ellos, debe tener en cuenta el propio proceso de enseanza de la materia y contemplarla distancia entre lo planificado y lo efectivamente realizado.


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ProofwithoutWords.html


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PrOvinciade buenOs aires

GObernadOr

Dn. Daniel Scioli

directOr Generalde culturayeducacin

Presidentedel cOnsejO Generalde culturayeducacin

Prof. Mario Oporto

vicePresidente 1 del cOnsejO Generalde culturayeducacin

Prof. Daniel Laura

subsecretariOde educacin

Lic. Daniel Belinche

directOr PrOvincialde Gestin educativa

Prof. Jorge Ameal

directOr PrOvincialde educacinde Gestin Privada

Dr. Nstor Ribet

directOra PrOvincialde educacin secundaria

Mg. Claudia Bracchi

directOrde PrOduccinde cOntenidOs

Lic. Alejandro Mc Coubrey

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