DISEÑO DE AISLADORES SISMICOS SEGUN ASCE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

RECINTO UNIVERSITARIO PEDRO ARAUZ PALACIOS

FACULTAD DE TECNOLOGIA DE LA CONSTRUCCIÓN

MONOGRAFIA

TEMA:

“GUIA DE DISEÑO SISMICO DE AISLADORES ELASTOMERICOS Y DE FRICCION PARA LA REPUBLICA DE NICARAGUA”

PRESENTADA POR

RÓGER IVAN MEZA BLANDÓN

EDGARD EZEQUIEL SANCHEZ GARCIA

TUTOR

M.Sc JULIO CESAR MALTEZ MONTIEL

PARA OPTAR AL TITULO DE

INGENIERO CIVIL

Junio de 2010

Introducción

Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página 1

Introducción

La función del ingeniero civil es ser un agente de cambio, el ingeniero debe

transformar su ambiente para hacerlo más aprovechable para la sociedad,

construyendo y diseñando proyectos en obras horizontales, verticales, hidráulicas y

de medio ambiente, las cuales a su vez se subdividen en considerables cantidades

de especialidades. Para hacer esto, de una manera más eficiente y segura debemos

ser capaces de estar actualizados siempre de los últimos avances que se dan en la

especialidad que nos interesa.

En el caso particular del diseño y análisis estructural es quizás una de las áreas con

más estudios, y aunque año a año hay avances debido a problemas propios de

nuestro entorno nacional, del volumen de información y académicos existe poca

divulgación de estos.

Con el objetivo de crear un documento que contribuya a aumentar el conocimiento

en esta rama de la ingeniería este documento nace para presentar un enfoque que

es relativamente joven, el de crear una estructura que sea capaz de resistir un

sismo de gran intensidad y después de éste seguir siendo operable sin daños

mayores que pequeñas fisuras que no provoquen ningún debilitamiento estructural

y el contenido se encuentre operando sin interrupciones.

Existen diversas maneras de lograr esto, pero en este documento solo se abarca lo

relativo al aislamiento de base pasivo cuyos usos y éxitos a partir de finales de la

década de los 70 han sido demostrados a nivel mundial, evitando el colapso de

edificios de gran importancia tanto comercial como estratégica. Siendo

implementados en universidades, hospitales, centros de telecomunicaciones,

plantas nucleares y otros.

Para lograr este objetivo esta monografía se divide la monografía en 3 partes

principales, se utilizan los colores para representar a través de lenguaje visual la

importancia que tiene cada parte para el lector.

Introducción


Partes de la monografía

PARTE 1 PARTE 2 Parte 3

Marco Teórico Análisis y

presentación de resultados

Conclusiones

Análisis

Capitulo 1: Conceptos y fundamentos del aislamiento sísmico. Capitulo 2: Base teórica del aislamiento sísmico.

Dimensionamiento

Capitulo 3: Requerimientos mínimos de diseño de estructuras aisladas en la base Capitulo 4: Características mecánicas y modelo bilineal de los aisladores elastoméricos y de fricción y estabilidad de aisladores elastoméricos

Capitulo 5:

Guía de aislamiento sísmico

y ejemplos de aplicación.

La parte 1 está en rojo ya que contiene los elementos que crean el criterio de

análisis y diseño.

La parte 2 es una simplificación de lo que contienen los capítulos anteriores que

viene a presentarse en forma de ejercicios pero en si es el corazón y objetivo

principal de esta monografía.

La parte 3 corresponde a las conclusiones y se colocan en verde ya que cada lector

puede obtener sus propias conclusiones según su propio estudio y análisis.

Introducción


Se resume de manera general cada capítulo para que el lector se forme una idea de que contiene y su importancia.

Capitulo 1: Es una pequeña reseñar histórica y conceptos generales entorno al

aislamiento de base, este capítulo nos da una idea general de uso de los sistemas

aislados alrededor del mundo y de algunas de las tecnologías que se usan

actualmente, en este capítulo no se incluyen otras técnicas donde se pretende

lograr aislamiento a través de incorporación de materiales en el suelo generalmente

denominado “rubber soil”, este tipo de aislamiento queda fuera de los alcances

de este documento.

Capitulo 2: Contiene la base del análisis dinámico, se consideró importante incluirlo

para que el lector pueda ver las suposiciones que se hacen en el análisis clásico y

bajo qué factores este análisis deja de ser válido. Por cuestiones de mantener la

sencillez y además por la complejidad del análisis con sistemas acoplados debidos

a alto amortiguamiento este análisis no se desarrollara en esta monografía.

Capitulo 3: Hace un resumen del capítulo 17 del ASCE 7 – 05, aunque este

estándar no fue creado para ser usado en Nicaragua se puede utilizar como una

referencia.

Capitulo 4: Aquí se encuentran detalladas las características mecánicas de los

distintos sistemas de aislamiento, estas son necesarias para poder realizar el diseño

y los modelos matemáticos que los representan, hay que recalcar que los datos de

entrada para los programas informáticos como SAP2000 se obtienen de las

ecuaciones presentes en este capítulo.

Capitulo 5: Este capítulo , Se encuentran contenidos varios ejemplos de aplicación

de esta monografía. Va de lo sencillo a lo que es un poco más complejo y se ha

procurado ser bastante explicito en los cálculos.

Esta monografía se limita al análisis y diseño de los aisladores elastoméricos y de

fricción a estructuras tipo edificios. Para estructuras que no sean tipo edificio

algunos de sus principios permanecen validos sin embargo siempre hay

consideraciones especiales que no serán definidos en esta monografía.

Introducción


Según se avance en la lectura de este documento se podrá apreciar que hay

abundante información alrededor de los sistemas elastoméricos pero no tan

abundante información de los sistemas de fricción esto se debe a que en el

momento de elaboración de este documento no se logro encontrar más información

acerca de los aisladores que utilizan esta tecnología, sin embargo la información

que se ha agregado aunque se considera poca es útil.

Objetivos


Objetivos

Objetivo General

Elaborar una guía que reduzca la brecha bibliográfica que existe actualmente

referente al análisis y diseño de estructuras utilizando aisladores sísmico de base

elastoméricos y de fricción en el país. A través de un documento que reúna la teoría,

los códigos y los ponga en práctica en claros ejemplos de aplicación.

Objetivos específicos.

Mostrar los conceptos básicos referentes a los aisladores sísmicos de base

en cuanto a sus características y los tipos que más desarrollo han alcanzado

en las últimas décadas.

Mostrar la base teórica más relevante relacionada al análisis y diseño de

estructuras aisladas sísmicamente que utilizan sistemas elastoméricos y de

fricción.

Definir claramente los parámetros que han de tomarse en cuenta para el

modelado de un aislador.

Utilizar el ASCE 7 – 05 como eje de referencia para mostrar en el

documento las normas que existen en Estados Unidos.

Establecer una guía paso a paso de los criterios recomendados para el

diseño de estructuras aisladas sísmicamente.

Dejar en claro bajo qué condiciones los aisladores puede o no pueden ser

utilizados.

Crear modelo de 2 edificios utilizando ETABS y SAP2000, en el cual se

pueda demostrar la aplicabilidad del documento.

Metodología


Metodología

Recopilación de información técnica bibliográfica.

Comparación de los factores que encontramos en el ASCE 7 – 05 y los que

encontramos en el RNC – 07.

Creación de ejemplos manuales para el prediseño de los aisladores

elastoméricos y de fricción.

Revisión de parte de ingenieros estructurales para escuchar sugerencias y

opiniones en la estructuración del contenido.

Creación de un video mostrando paso a paso el proceso de modelado en

SAP2000.


Capítulo 1

Roger Meza

[Escribir el nombre de la compañía]

Capitulo 1

Conceptos y Fundamentos del Aislamiento Sísmico

Capítulo 1 El Concepto de Aislamiento Sísmico


1.1 El Concepto de Aislamiento Sísmico

El aislamiento sísmico es una técnica de control que puede ser pasivo o

combinado con sistemas de amortiguamiento u otras técnicas de control esto se

conoce como aislamiento inteligente y no será abarcado en esta monografía. Hoy

por hoy la tecnología de aislamiento, es ampliamente usada en estructuras civiles,

sus resultados, por demás satisfactorios, han logrado ser comprobados tanto en

eventos reales como experimentales. Básicamente, el aislamiento sísmico es una

técnica que consiste en desacoplar una estructura del suelo, colocando un

mecanismo entre la cimentación de la estructura y el suelo. Este dispositivo es

muy flexible en la dirección horizontal; pero, sumamente rígido en la dirección

vertical.

Al ser la estructura muy flexible en la dirección horizontal, los edificios de pequeña

a mediana altura experimentan grandes desplazamientos en su base; sin

embargo, los desplazamientos en la superestructura se mantienen en el rango

elástico con deformaciones mínimas, es decir, la respuesta que caracteriza a

estos edificios, altas deformaciones y periodos cortos, se ve modificada.

De esta manera, los edificios aislados sísmicamente logran tener un

comportamiento, por mucho, superior al de los edificios que no cuentan con

dispositivos aisladores de base, es decir, luego de un sismo los edificios pueden

ser habilitados inmediatamente, ya que equipos de gran sensibilidad no sufrirán

mayores daños. Esto resulta fundamental, por ejemplo, en el caso de hospitales,

centros de comunicación, o industrias donde a veces el equipo al interior del

edificio supera con creces el precio de la estructura.

En la Figura 1-1 se puede apreciar como en la estructura convencional las

deformaciones se dan mayormente en la estructura. En tanto, en la Figura 1-2, las

deformaciones se dan casi en su totalidad en la base, con mínimas deformaciones

en la superestructura.



Si observamos la Figura 1-1 la deformada es triangular y la Figura 1-2 es cercana

a un rectángulo, de esto también podríamos decir que la estructura convencional

presenta amplificaciones, en la aceleración y desplazamientos, según la altura del

edificio va aumentando, mientras que la estructura aislada no presenta

amplificaciones de este tipo véase Figura 1 – 3 y Figura 1 – 4.

Figura 1- 3

Figura 1- 4

Figura 1- 2 Estructura Convencional

Figura 1- 2 Estructura Aislada símicamente



El espectro de respuesta elastico de diseño es un grafico que nos permite conocer

la maxima respuesta, presentada en porcentajes de la gravedad, para una

estructura de un grado de libertad generalmente con un 5% de amortiguamiento,

este esta en dependencia del tipo de suelo y es generado a traves del uso de

multiples registros de sismos en una zona de interes. Si bien las estructuras

aisladas presentan caracteristicas diferentes se puede utilizar este para el analisis

de las mismas.

Ahora por ejemplo, haciendo uso del espectro de respuesta de Nicaragua,

ubicamos una estructura convencional que tenga un periodo entre 0.1 y 0.6

segundos podriamos ver que esta estaria sometida a 1.2 g de aceleracion, si, esta

estructura fuese aislada y consiguieramos un periodo de aislamiento de 2.45

segundos la aceleracion a la cual seria sometida se reduce de manera

considerable a aproximadamente 0.22 g.

Como podemos inducir debido la reducción en las aceleraciones hay una

considerable reducción en las fuerzas laterales.

Figura 1- 5 Espectro elástico de diseño RNC – 07

Capítulo 1 Los suelos flexibles y los sistemas aislados.


Los sistemas aislados logran conseguir su éxito al alejar el periodo de la estructura

convencional y llevarlo al periodo de la estructura aislada entre mas diferencia

exista el aislamiento será mayor, los periodos recomendados que han demostrado

buen comportamiento y son de mayor uso varían de 2 a 3 segundos. Las

estructuras que más se benefician de los sistemas aislados son aquellos que son

muy rígidos y no muy altas en general aquellas estructuras menores de 10 niveles.

Se han utilizado en edificios de más de 20 niveles sin embargo la aplicación en

dichas estructuras no será contemplado en este documento

1.2 Los suelos flexibles y los sistemas aislados.

Como hemos podido observar hasta el momento los sistemas aislados se

presentan como una solución bastante atractiva, pero ya vimos que una de las

primeras restricciones la cantidad de niveles, que está relacionado al periodo.

Hay otras restricciones pero una que se considera importante abarcar al principio

es que no se aconseja el uso de sistemas aislados en suelos tipo IV o peores, esto

se debe a que los suelos con estas características pueden filtrar las altas

frecuencias generadas por el sismo y generar frecuencias que produzcan periodos

largos como sucedió en la ciudad de México en 1985 en este caso, las estructuras

flexibles fueron las que sufrieron daño severo y colapso, hablamos de edificios de

más de 15 niveles, mientras que los edificios como iglesias y otros que inclusive

eran de época colonial no sufrieron daños tan severos. Esto se debió a que el

periodo largo del suelo amplifico de manera indeseable los desplazamientos de las

estructuras ya flexibles.

En la Figura 1-6, la línea roja representa la respuesta del suelo suave y la línea

azul la respuesta del suelo firme, aquí se aprecia de manera grafica lo que

habíamos mencionado anteriormente, las estructuras flexibles estarían sometidas

a mayores fuerzas cortantes en el caso de suelos suaves.

Capítulo 1 Amortiguamiento en los sistemas Aislados


1.3 Amortiguamiento en los sistemas Aislados

El amortiguamiento en los sistemas aislados puede proveerse de diversas

maneras. Al aumentarlo las fuerzas laterales disminuyen, la Figura 1-7 representa

esto.

Figura 1- 6 Respuesta estructuras aisladas en suelo suave

Sin aislamiento

Con aislamiento

Suelo suave

Suelo firme

Periodo

Cor

tant

e

Figura 1- 7 Reducción de cortante debido al amortiguamiento

Capítulo 1 Amortiguamiento en los sistemas Aislados


Esta disminución en las fuerzas laterales también se ve beneficiada con una

reducción de los desplazamientos necesarios para llegar a dichas fuerzas sin

incurrir en un incremento del periodo. Véase Figura 1-8

Figura 1- 8 Reducción de desplazamientos para un aumento de amortiguamiento.

Periodo

Incremento Amortiguamiento

Capítulo 1 Tipos de Aisladores Sísmicos y sus componentes


1.4 Tipos de Aisladores Sísmicos y sus componentes

1.4.1 Introducción

El aislamiento sísmico es una tecnología que, año a año, alienta a muchos

inventores a crear novedosos sistemas de aislamiento. Sin embargo, este trabajo

se enfocará principal y mayormente en aquellos sistemas más convencionales de

uso universal como son los sistemas elastoméricos y los de fricción, presentando,

a rasgos generales, otros sistemas que también han tenido éxito.

1.4.2 Componentes básicos de todo sistema de aislamiento

Como se ha mencionado anteriormente los dispositivos de aislamiento sísmico

separan la estructura del suelo, pero si nos preguntamos, ¿a través de qué

dispositivos? ¿Son todos los sistemas de aislamiento iguales?

Para responder a la segunda pregunta, desde la sección 1.4.3 en adelante se

abarcan varios sistemas de aislamiento que son utilizados en la actualidad y, en

los que se utilizan diferentes técnicas y materiales. Sin embargo, para la primera

pregunta, debemos revisar la Figura 1- 9 en ella se encuentran representados los

componentes de toda estructura aislada, independientemente del tipo que sea

Figura 1- 9 Esquema de los componentes de un sistema de aislamiento



Para comprenderlo aún más, definiremos los siguientes conceptos:

1. Unidad de Aislamiento: Es un elemento estructural muy flexible en la

dirección horizontal y sumamente rígido en la dirección vertical que permite

grandes deformaciones bajo carga sísmica.

2. Interfaz de Aislamiento: Es el límite imaginario que existe entre la parte

superior de la estructura, la cual está aislada, y la inferior que se mueve

rígidamente con el terreno.

3. Sistema de Aislamiento: Es el conjunto sistemas estructurales que incluye

a: todas las unidades de aislamiento, disipadores de energía y sistemas de

restricción de desplazamientos.



1.4.3 Aisladores Elastoméricos de Caucho Natural o Aisladores de caucho

de bajo Amortiguamiento (LDR por sus siglas en ingles)

Estos fueron los primeros aisladores utilizados para sistemas de aislamiento.

Como ya lo dijimos, se usaron por primera vez en la escuela Pestalozzi en Skopje

Macedonia. Estos primeros aisladores se abultaban a los lados debido al peso

propio de la estructura, estaban compuestos por simples bloques de caucho sin

ningún tipo de refuerzo, ni placa de conexión, sin embargo este enfoque no se ha

vuelto utilizar. Ahora se utiliza caucho en láminas múltiples con refuerzo de

láminas de acero entre las capas.

Con el enfoque anterior se lograban resistencias verticales, apenas unas cuantas

veces superior a la resistencia horizontal, pero con el refuerzo de láminas de acero

la rigidez vertical es cientos de veces la resistencia horizontal de los mismos. Las

principales ventajas de estos sistemas es que prácticamente no necesitan

mantenimiento, pero una de sus grandes desventajas es que debido a su bajo

amortiguamiento suelen necesitarse en varios casos amortiguadores externos.

Figura 1- 10

Aislador de Caucho aplastado y abultado a los lados de escuela

Pestalozzi en Skopje, ya no se usan así

Figura 1- 11

Esquema de un Aislador Elastomérico moderno



Algunas características de los aisladores elastoméricos modernos son:

La relación de la deformación lateral entre el espesor de la lamina de caucho

alcanza niveles de hasta el 100%.

Hay una relación lineal entre el cortante y la deformación lateral

El amortiguamiento es alrededor del 2% al 3%.

Ventajas de los aisladores naturales:

Simples de manufacturar.

Fáciles de modelar.

No son muy afectados por el tiempo, l ambiente, temperatura u otras condiciones

ambientales.

Desventaja:

A menudo necesitan sistema de amortiguadores adicionales.


1.4.3 Aisladores de Caucho con Núcleo de Plomo

El bajo amortiguamiento de los aisladores naturales es superado utilizando un

núcleo de plomo en el centro del aislador. Para esto, se hace un hueco en las

placas y en el caucho, insertando el núcleo de plomo, que es un poco más ancho

que el agujero, con tanta fuerza que se fusionan y funcionan como una unidad.

Figura 1- 12

Corte de un amortiguador con núcleo de plomo

Figura 1- 13

Esquema de un Aislador de Base con núcleo de plomo

AAllgguunnaass ccaarraacctteerrííssttiiccaass ddee llooss aaiissllaaddoorreess eellaassttoomméérriiccooss ccoonn nnúúcclleeooss ddee pplloommoo::

La relación de la deformación lateral entre el espesor de la lamina de

caucho alcanza niveles de hasta el 200%.

Hay una relación lineal entre el cortante y la deformación lateral


VVeennttaajjaass ddee llooss AAiissllaaddoorreess ccoonn nnúúcclleeooss ddee pplloommoo:: Mayor amortiguamiento.

Suprime la necesidad de amortiguadores.



1.4.4 Aisladores Elastoméricos de Caucho de alto amortiguamiento.

Estos aisladores están compuestos de materiales especiales o el caucho lleva

aditivos como carbón en polvo, aceites, resinas, polímeros u otros elementos que

le dan al caucho propiedades especiales como mayor amortiguamiento y mejores

propiedades ante altas deformaciones, sin necesidad de agregar un núcleo de

plomo. Las propiedades de amortiguamiento varían según los materiales utilizados

en su construcción.

En pruebas realizadas a estos aisladores han demostrado ser altamente eficientes

soportando las pruebas más rigurosas en la industria.

Figura 1- 14

Aislador de Base de caucho de alto amortiguamiento

Figura 1- 15

Esquema de los componentes de un aislador de base de alto amortiguamiento

AAllgguunnaass ccaarraacctteerrííssttiiccaass ddee llooss aaiissllaaddoorreess eellaassttoomméérriiccooss ccoonn nnúúcclleeooss ddee pplloommoo:: La relación de la deformación lateral entre el espesor de la lamina de

caucho alcanza niveles de hasta el 300%.

Hay una relación entre el cortante y la deformación la cual es lineal.


Presentan propiedades especiales ante grandes deformaciones



VVeennttaajjaass ddee llooss AAiissllaaddoorreess ddee aallttoo aammoorrttiigguuaammiieennttoo

Amortiguamiento suficiente para no necesitar amortiguadores adicionales.

DDeessvveennttaajjaass..

Sufren deterioro con el paso del tiempo y algunos son sensibles a daño por el medio ambiente.

1.4.5 Aisladores de base fundados en sistemas resistentes a fricción

El sistema de aislamiento de base resistente a fricción, trata de superar el

problema de alta fricción que se genera en el teflón sobre el acero a altas

velocidades utilizando muchas superficies deslizantes en un solo soporte, debido a

que la velocidad entre la base y el tope del soporte, es dividida por el número de

capas. La velocidad en cada capa es pequeña manteniendo, de esta manera, un

bajo coeficiente de fricción.

Además de los elementos deslizantes, este sistema también tiene un núcleo de

caucho que no soporta cargas verticales pero provee una fuerza restauradora.

Experimentos demostraron que el núcleo de caucho no evitó que los

Figura 1- 16 Esquema de un sistema resistente a fricción.



desplazamientos se concentraran en capas individuales; sin embargo, en

posteriores experimentos, se insertó una barra de acero mejorando el control de

los desplazamientos.

1.4.6 Aisladores de base utilizando péndulo de fricción

El sistema de péndulo de fricción es un sistema de aislamiento de base que

combina un efecto de deslizamiento con una fuerza restauradora por geometría. El

péndulo de fricción tiene un deslizador que está articulado sobre una superficie de

acero inoxidable. La parte del apoyo articulado que está en contacto con la

superficie esférica, está rodeada por una película de un material compuesto de

baja fricción; la otra parte del apoyo articulado, es de acero inoxidable que

descansa en una cavidad que también está cubierta con material compuesto de

poca fricción.

A medida que el soporte se mueve sobre la superficie esférica, la masa que ésta

soporta sube, otorgando al sistema una fuerza restauradora. La fricción entre el

apoyo articulado y la superficie esférica genera cierto amortiguamiento. La rigidez

efectiva del aislador y el periodo de oscilación de la estructura están controlados

por el radio de curvatura de la superficie cóncava

Figura 1- 17

Base de un Aislador utilizando Péndulo de fricción

Figura 1- 18

Esquema de un aislador de base utilizando el principio de péndulo de fricción.



Figura 1- 20 Aislamiento utilizando resortes.

1.4.7 Aislador de base utilizando Péndulo de fricción de doble curvatura

El péndulo de fricción con doble curvatura ha sido propuesto recientemente. La

ventaja de este sistema es que se pueden lograr mayores desplazamientos con un

péndulo del mismo tamaño en planta, ya que en el movimiento contribuyen ambas

partes del péndulo.

1.4.8 Sistemas de aislamiento utilizando sistemas de resortes.

Cuando se requiere un aislamiento tridimensional completo generalmente se usan

resortes para lograr este objetivo se usan grandes resortes helicoidales de acero

que son flexibles horizontal y verticalmente. Los resortes están totalmente

desprovistos de amortiguamiento y siempre son usados en conjunto con el

sistema de amortiguamiento viscoso GERB.

Figura 1- 19 Esquema de un péndulo de fricción de doble curvatura

[Escribir texto] Página 23

CAPITULO

2 BASE TEÓRICA DEL AISLAMIENTO SÍSMICO

UNI – RUPAP Capítulo 2 Introducción


2.1 Introducción

La teoría lineal del aislamiento de base ha sido explicada en detalle por Naeim y

Kelly quienes han sido de los personajes más representativos en el desarrollo de

la teoría en torno a este tema sin embargo otros autores han contribuida también

significativamente, a simplificar de cierta manera la teoría desarrollada por estos.

En este capítulo se presentara la teoría que ha sido desarrollada en torno a este

tema

Para el desarrollo de las bases de la teoría se analizara un edificio de un nivel del

cual se pueden tomar dos idealizaciones

La primera idealización es suponer un cuerpo rígido con una masa “m”

sobre un sistema de aislamiento, este sistema tiene una rigidez “kb” y un

amortiguamiento “cb” (figura 2.1).

La segunda idealización que podemos hacer es la de un sistema de 2

masas, una masa “m” localizada en el primer piso de la estructura y una

masa “mb” localizada en la base del edificio. La superestructura tiene una

rigidez “ks” y un amortiguamiento “cs” el sistema de aislamiento tiene una

rigidez “kb” y un amortiguamiento “cb” (figura 2.2)

En este texto a partir de estas definiciones básicas se desarrollará también la

teoría para edificios de “n” niveles. Se ha escogido la primera idealización ya que

la laboriosidad matemática y el aspecto físico del fenómeno son más amenos.

James Kelly y Farzard Naeim en el libro “Design of seismic isolated structures from

theory to practice” desarrollan la teoría en base a la segunda idealización.

UNI – RUPAP Capítulo 2Teoría Lineal – Ecuaciones de Movimiento de Sistemas de un Grado de Libertad.


2.2 Teoría Lineal – Ecuaciones de Movimiento de Sistemas de un

Grado de Libertad.

En esta sección se trabajara en la teoría que ha sido desarrollado alrededor del

sistema mostrado en la figura 2.1, como se había mencionado anteriormente el

sistema se idealiza como masa rígida unida al sistema de aislamiento.

A la vez esto lo podemos idealizar como un sistema de masa resorte como el

mostrado en la Figura 2. 3 esta representación es más familiar y simple de

resolver desde el punto de vista matemático, cabe mencionar y recalcar que esta

aproximación es válida y puede ser considerada exacta solamente para los casos

donde el periodo de la estructura empotrada es mucho menor que el periodo de la

estructura aislada

Figura 2. 1

Cuerpo rígido y Aisladores

Figura 2. 2

Sistema de masas y aisladores



Figura 2. 3

Sistema de Idealizado de masa rígida y sistema de resorte con amortiguador

Las ecuación que describe el movimiento de

este sistema basado en las condiciones de

equilibro es:

2- 1

Para simplificar aun mas esta ecuacion

introducimos el desplazamiento relativo

La frecuencia angular de donde se despeja

Y un coeficiente de amortiguamiento de donde se despeja

Si reescribimos la ecuación 2.1 encontramos que tiene una forma muy familiar, es

la misma de ecuación del movimiento para un sistema que se somete a

movimiento del terreno

2- 2

Como podemos ver esto es una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden para

resolver esta ecuación dividimos entre “m”

2- 3

Aplicando el método de variación de parámetro para resolver esta ecuación

diferencial vamos a encontrar en el desarrollo de la ecuación el componente de la

frecuencia amortiguada representado por , la solución general de

la ecuación es:



2- 4

y son seleccionadas a propósito para que cumplan las siguientes

condiciones

2- 5

Derivando la ecuación 2- 4 encontramos las siguientes relaciones entre y

2- 6

Resolviendo las ecuaciones 2.5 y 2.6 obtenemos los valores de los coeficientes

y

2- 7

2- 8

Integrando las ecuaciones 2-7 y 2-8 obtenemos y

2- 9

2- 10

Aquí y constantes independientes del tiempo , , si sustituimos los valores de

y en la ecuación 2-4, el movimiento de la estructura aislada

sísmicamente puede ser expresada en términos de la integral de Duhamel, aquí

se presenta la solución completa de la ecuación 2-3.

2- 11

Dadas las condiciones iníciales de que no existe movimiento y velocidad en el



instante que inicia un sismo decimos que de esta manera la ecuación

2-11 se simplifica y solo queda expresada en función de la integral de Duhamel.

2- 12

Siguiendo con el desarrollo de esta ecuación hacemos la suposición de que el

sistema no usa sistemas de amortiguamiento, para la mayoría de los sistemas

aislados que no usan sistemas de amortiguamiento el coeficiente de

amortiguamiento normalmente no excede el 20% del amortiguamiento crítico. Por

lo tanto los efectos de podemos decir que son despreciables, dicho esto

podemos reemplazar la frecuencia amortiguada por la frecuencia natural y

así podemos reescribir la ecuación 2-12.

2- 13

El valor máximo absoluto de la porción de la integral de la ecuación 2-13 se define

como la pseudo – velocidad y esta representado por la siguiente ecuación.

2- 14

El desplazamiento espectral, SD, se relaciona con la pseudo – velocidad a través

de la frecuencia natural y lo podemos ver a través de la siguiente ecuación.

2- 15

Bajo la misma suposición de que el sistema tiene un coeficiente de

amortiguamiento, , menor que 20% del amortiguamiento critico, se puede

establecer una relación entre la pseudo – aceleración, SA, y el desplazamiento

espectral, SD, pueden ser representados por la siguiente ecuación.

UNI – RUPAP Capítulo 2Ecuaciones del Movimiento para Sistemas de Múltiples Grados de Libertad.


2- 16

El desplazamiento del terreno, , tiene que ser un dato conocido para poder

relacionar en función de la frecuencia natural, , y el coeficiente de

amortiguamiento, , los valores de SD, SV y SA.

2.3 Ecuaciones del Movimiento para Sistemas de Múltiples Grados

de Libertad.

Figura 2. 4

Sistema de múltiples grados de libertad

En la figura 2.4 podemos ver una

estructura de varios niveles la cual se

encuentra aislada sísmicamente.

Definimos el movimiento en el nivel del

techo como “n“

Este edificio de varios niveles puede

ser representado de manera idealizada

como un sistema de masa – resorte de

varios grados de libertad como se

muestra en la figura 2.5

Las ecuaciones se desarrollan a partir

de este modelo



Figura 2. 5

Idealización de un sistema de múltiple grados de libertad

A partir de las condiciones de equilibro, la siguiente ecuación representa el

movimiento en el nivel de techo, n,

2- 17

Donde

= Masa en el techo

= Coeficiente de amortiguamiento

= Rigidez de piso entre el techo y el piso abajo del techo

= Techo

= Piso debajo del techo.

Estos dos últimos representan la deriva del techo y el del nivel piso abajo del

techo. Aplicando la misma metodología, la ecuación del movimiento en el piso “m”

se expresa como sigue

2- 18

Donde:

= Masa del piso m

= Coeficiente de amortiguamiento entre el piso m+1 y el piso m

= Coeficiente de amortiguamiento entre el piso m y m-1



= Rigidez de piso entre el piso m+1 y el piso m

= Rigidez de piso entre el piso m y m-1 .

Al nivel inmediatamente arriba del sistema de aislamiento (la losa) se le llama piso

1, considerando el movimiento del terreno, , la ecuación del movimiento puede

ser escrita como

2- 19

Donde

= Masa en el piso 1

= Coeficiente de amortiguamiento del sistema de aislamiento

= Rigidez del sistema de aislamiento

= Coeficiente de amortiguamiento entre piso 2 y 1

= Rigidez entre piso 2 y 1

= Desplazamiento en el nivel 1

= Desplazamiento en el nivel 2

Introduciendo el desplazamiento relativo, , que servirá para relacionar el

desplazamiento entre cada piso y el movimiento del terreno. El desplazamiento

relativo

Haciendo esto las ecuaciones 2-20, 2-20 y 2-21 cambian un poco y las podemos

reescribir de la siguiente manera

2- 20

2- 21

2- 22



Expresando estas ecuaciones en forma matricial pueden escribirse así

2- 23

La matriz de masa es simétrica y es como se define aquí

2- 24

La matriz de amortiguamiento es simétrica y es como se define aquí

2- 25

La matriz de rigidez es simétrica y es como se define aquí

2- 26

En la ecuación 2-23 es un vector unitario de dimensión 1xn, , , ,

representan el vector del desplazamiento relativo, el vector de velocidad y el

vector de aceleración de la estructura aislada sísmicamente



2- 27

2- 28

2- 29

Dejamos que el desplazamiento relativo sea expresado como vector de respuesta

generalizado definido aquí como, haciendo esto la ecuación 2-27 se vuelve

2- 30

Donde es la matriz modal

2- 31

Derivando la ecuación 2-30 resulta en

2- 32

Premultiplicando y dividiendo ambos lados de la ecuación 2-32 por y

respectivamente, la ecuación del movimiento se vuelve

2- 33

Si definimos el cociente de amortiguamiento en cada modo como

para m=1 hasta n. Entonces podemos escribir



2- 34

Donde

= matriz diagonal de dimensiones nxn.

Debido a la diferencia de amortiguamiento que existe entre el amortiguamiento del

sistema de aislamiento y el de la estructura por encima de la interfaz de

aislamiento (siendo mayor el amortiguamiento del sistema de aislamiento) se da

algo que se conoce como amortiguamiento no clásico, esto causa que las

ecuaciones del amortiguamiento que normalmente en forma matricial las

encontramos como una matriz diagonal tenga componentes fuera de la diagonal,

según esto,

Sin embargo para valores de amortiguamiento, del sistema de aislamiento, no

mayores del 20% se ha demostrado que los efectos del amortiguamiento de los

componentes fuera de la diagonal son prácticamente despreciables para la

mayoría de las estructuras.

Por lo tanto asumimos que los cocientes de amortiguamiento pueden ser

desacoplados como se muestra en la ecuación 2-34.

Nota Importante

Si existieran dispositivos externos que aumentaren el amortiguamiento, mas allá del 20%, de la estructura de cualquier sea el tipo o por el tipo de sistema de aislamiento que se utilice especialmente los sistemas de aislamiento de alto amortiguamiento (HDR), en estos casos los valores de los términos que se encuentran fuera de la diagonal ya NO podrán ser despreciables y se tiene que recurrir a un análisis modal complejo para encontrar las

soluciones de este tipo de sistemas.



Además se logra también una rigidez diagonal, , basada en las propiedades

del sistema estructural

2- 35

Del lado derecho de la ecuación 2-33 se define un factor de participación modal, ,

2- 36

El factor de participación puede ser escrito como

2- 37

Donde

= representa el m-esimo modo del factor de participación

Suponiendo que las ecuaciones 2-34, 2-35 y 2-36 cumplen con las condiciones de

ortogonalidad la ecuación 2-33 puede ser expresada como una ecuación

desacoplada y puede reescribirse como sigue

2- 38

Esta ecuación es muy parecida a la ecuación 2- 3, la cual es para un sistema de

un grado de libertad, sin embargo, esta ecuación es para sistemas de “n” grados

de libertad y puede ser resuelta separadamente para cada m-esimo modo de

vibración



2- 39

Donde . Aplicando la Integral de Duhamel la

solución de la ecuación 2-38 es obtenida para cada piso de la estructura aislada

sísmicamente, lo que nos lleva a la siguiente ecuación

2- 40

Podemos definir es la frecuencia amortiguada para el m-esimo

modo, como habíamos comentado en secciones anteriores el factor es

despreciable para la mayoría de las estructuras aisladas que no usan dispositivos

de amortiguamiento, se procede de igual manera a usar la frecuencia natural, ,

dado que es aproximadamente lo mismo que la amortiguada. De esta manera la

ecuación 2-40 se simplifica y se expresa de la siguiente manera

2- 41

A través de la resolución de la ecuación 2-41 obtenemos el vector de respuesta

generalizado definido anteriormente como , una vez hecho esto el vector de

desplazamiento relativo, puede ser determinado de la ecuación 2-30. El vector

de velocidad, y de aceleración representados como respectivamente,

pueden ser derivados como se muestra.

2- 42

2- 43

El procedimiento que ha sido descrito en estas paginas es lo que se conoce como

método de superposición de desplazamientos modales es normalmente utilizado

para estructuras convencionales que se encuentran empotradas al terreno pero ha

demostrado que es aplicable también para sistemas de múltiples grados de



libertad de estructuras aisladas sísmicamente que no presenten amortiguamientos

mayores del 20%

En el capítulo 6 se explica un ejemplo claro utilizando los principios que han sido

enunciados en este capítulo.

[Escribir texto] [Escribir texto] [Escribir texto]

Requerimientos mínimos de diseño sísmico de estructuras aisladas en la base

CAPÍTULO 3

Capítulo 3 Introducción

Róger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página 56

4.1 Introducción

Para la mayoría de las estructuras que existen se han creado normas y criterios

de análisis y diseño estructural, en el caso de los aisladores de base no es la

excepción. En la sección 1.2.2 de este documento, aparece un poco de la

historia que ha venido desarrollándose alrededor de las normativas para el

diseño de estas estructuras.

En el Reglamento Nacional de Construcción 2007 se encuentra contemplado

en su Título II y Título III las bases para el buen análisis y diseño sísmico, así

como muchos criterios para la buena práctica del diseño estructural, las que

son aplicables a cualquier edificio que deba ser diseñado en el país. Sin

embargo, este Reglamento no presenta de manera explícita los criterios que

pueden usarse para analizar y diseñar las estructuras aisladas sísmicamente.

Se considero de importancia incluir en esta monografía, los criterios de análisis

y diseño estructural de los sistemas aislados en la base, tomando como eje de

referencia las normas norteamericanas, específicamente el ASCE 7 – 05.

El estándar ASCE 7 – 05, en su capítulo 17, contiene lo que se considera el

estado del arte en cuanto al análisis y diseño de estructuras aisladas

sísmicamente. Éste se divide en 8 secciones principales que contienen criterios

de cumplimiento obligatorio, salvo las excepciones que se hacen en el mismo

documento.

Por este motivo, en este capítulo se presentarán los criterios utilizados en el

análisis y diseño de las estructuras aisladas, por así decirlo, de manera

resumida y emulando, en lo máximo posible, los valores y parámetros que ya

están incorporados en el reglamento nacional de la construcción.

Esto se realiza con el objetivo de que esta monografía ayude a desarrollar

habilidades y permita conocer el procedimiento de análisis y diseño que existe,

según el ASCE, sin embargo el RNC es un documento que por ley debe ser

respetado y utilizado para el diseño.

Capítulo 3Provisiones de diseño del estándar ASCE 7 – 05


4.2 Provisiones de diseño del estándar ASCE 7 – 05

De acuerdo a la siguiente lista expondremos, resumidamente, las 8 divisiones

del capítulo 17 del estándar ASCE 7 – 05,

1. Conceptos generales.

2. Requerimientos generales de diseño.

3. Movimiento del terreno para estructuras aisladas sísmicamente.

4. Selección del procedimiento de Análisis.

5. Procedimiento de la fuerza lateral equivalente.

6. Procedimiento de Análisis Dinámico

7. Revisión del diseño

8. Pruebas

A partir de la lista anterior, podemos observar que los tres primeros numerales

son introductorios al análisis y diseño, que desde el 4 al 6 corresponde a

análisis; en tanto, los números siete y ocho corresponden a la parte de revisión

del diseño y de prototipos, características mecánicas y de diseño de los

aisladores.

4.2.1 Conceptos Generales

En esta sección se definen los términos que normalmente se utilizan en los

siguientes numerales. como lo podemos apreciar en la tabla 4-1

Tabla 4- 1 Términos, definiciones y notaciones utilizada en ASCE 7 – 05

Termino Definición Notación unidades Ecuación

Desplazamiento de Diseño

Desplazamiento calculado para el sismo de diseño, excluye desplazamientos adicionales por torsión.

Plg o mm

4- 20 4- 31

Desplazamiento total de diseño

Desplazamiento calculado para el sismo de diseño aquí se incluyen desplazamientos por torsión

Plg o mm

4- 24

Desplazamiento total máximo

El máximo desplazamiento causado por el máximo terremoto posible incluye torsión

Plg o mm

4- 25

Amortiguamiento Efectivo

El valor del amortiguamiento viscoso equivalente correspondiente a la energía disipada durante la respuesta cíclica del sistema de aislamiento

NA 4- 36

Rigidez efectiva El valor de la fuerza lateral en el sistema de aislamiento dividido entre el desplazamiento lateral correspondiente

kips/in o kN/mm

4- 35

Desplazamiento Máximo

El máximo desplazamiento debido al máximo terremoto posible no incluye torsión

Plg o mm

4- 22 4- 32

Interfaz de El límite entre la porción superior de la estructura, la NA NA NA

Capítulo 3 Conceptos Generales


Aislamiento cual se encuentra aislada y la porción inferior de la estructura la cual se mueve rígidamente con el terreno

Sistema de Aislamiento

Conjunto de sistemas estructurales que incluye a todas las unidades de aislamiento que transmiten fuerzas, incluye disipadores de energía y sistemas de control de viento.

NA NA NA

Unidad de Aislamiento

Elemento estructural muy rígido en la dirección vertical pero sumamente flexible en la dirección horizontal que permite grandes desplazamientos bajo carga sísmica.

NA NA NA

Scragging Proceso por el cual se somete al aislador a altas deformaciones para reducir su rigidez, de la cual con el tiempo se ve recuperada un poco.

NA NA NA

Sistema control por viento

Elementos estructurales cuya función es evitar que la estructura sufra desplazamientos debido a cargas de viento.

NA NA NA

Energía disipada Durante un ciclo completo de carga en un aislador para desplazamientos máximos es medida como el área encerrada en el ciclo de la curva del grafico de fuerza – deformación.

kip-in o kN-mm

Excentricidad real Medida en planta entre el centro de masa de la estructura sobre la interfaz de aislamiento y el centro de rigidez del sistema de aislamiento más la excentricidad accidental, se toma como el 5% de la máxima longitud del edificio en la dirección de interés.

Ft o mm NA

Notación Definición Unidad Ecuación

Medida más corta del edificio en vista de planta, medido perpendicular a

Pie o mm

NA

Medida más larga del edificio en vista de planta, Pie o mm

NA

Máxima fuerza negativa en una unidad de aislamiento durante un ciclo de pruebas del prototipo a una magnitud de desplazamiento

kips o kN

NA

Fuerza positiva en una unidad de aislamiento durante un ciclo de pruebas del prototipo a una magnitud de desplazamiento

kips o kN

NA

Fuerza total distribuida en la altura de la estructura por encima de la interfaz de aislamiento

kips o kN

NA

Máxima rigidez efectiva del sistema de aislamiento en el desplazamiento de diseño en la dirección horizontal

kips/in o kN/mm

4- 37

Mínima rigidez efectiva del sistema de aislamiento en el desplazamiento de diseño en la dirección horizontal

kips/in o kN/mm

4- 38

Máxima rigidez efectiva del sistema de aislamiento, en el desplazamiento máximo, en la dirección horizontal

kips/in o kN/mm

4- 39

Mínima rigidez efectiva del sistema de aislamiento, en el desplazamiento máximo, en la dirección horizontal

kips/in o kN/mm

4- 40

Rigidez efectiva de una unidad de aislamiento kips/in o kN/mm

4- 35

L Carga viva

Periodo efectivo en segundos de la estructura aislada sísmicamente bajo el desplazamiento de diseño

s 4- 21

Periodo efectivo en segundos de la estructura aislada sísmicamente bajo el desplazamiento máximo

s 4- 23

Fuerza cortante de diseño total, con la cual se diseñan los elementos por debajo del sistema de aislamiento

kips o kN

4- 26

Fuerza cortante de diseño, con la cual se diseñan los elementos por encima del sistema de aislamiento

kips o kN

4- 27

Capítulo 3 Conceptos Generales


Distancia entre el centro de rigidez del sistema de aislamiento y el elemento de interés medido perpendicularmente a la dirección de la carga sísmica

pies o mm

Amortiguamiento efectivo del sistema de aislamiento para el desplazamiento de diseño

NA 4- 41

Amortiguamiento efectivo del sistema de aislamiento para el desplazamiento máximo.

NA 4- 42

Desplazamiento máximo positivo y negativo de una unidad de aislamiento durante cada ciclo de prueba del prototipo

Plg o mm

NA

Total de la energía disipada en el sistema de aislamiento durante un ciclo bajo el desplazamiento de diseño

NA

Total de la energía disipada en el sistema de aislamiento durante un ciclo bajo el desplazamiento máximo.

NA

Suma de todos los valores máximos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento positivo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores mínimos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento positivo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores máximos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento negativo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores mínimos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento negativo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores máximos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento positivo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores mínimos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento positivo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores máximos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento negativo igual a

kips o kN

NA

Suma de todos los valores mínimos absolutos de la fuerza de todos los aisladores en un desplazamiento negativo igual a

kips o kN

NA

Capítulo 3Requerimientos generales de diseño


Se define también en esta sección esta pequeña tabla que corresponde a los

valores de BD o BM en dependencia del amortiguamiento efectivo.

Tabla 4- 2 Factores BD y BM en dependencia del amortiguamiento

efectivo.

Amortiguamiento efectivo BD o BM como porcentaje del amortiguamiento

critico

Factor BD o BM

2 0.8

5 1.0

10 1.2

20 1.5

30 1.7

40 1.9

50 2.0

4.2.2 Requerimientos generales de diseño

Los requerimientos generales de diseño están relacionados a algunos

parámetros que son conocidos para nosotros, por ejemplo; Grupo y Zona

sísmica. Sin embargo, también son incluidos otros que son específicos para los

sistemas aislados.

4.2.2.1 Grupo

Grupo C. sin importar el tipo de estructura que vaya a construirse, es decir, no

importa si por ejemplo, es un hospital el que se construirá, si usa aisladores de

base debería de asignársele el Grupo C, esto es específicamente para el sistema aislado, la superestructura en un análisis separado debe ser clasificada en el grupo que le corresponde según su importancia.



4.2.2.2 Zona Sísmica (Aceleración Espectral)

Otro factor importante que hay que determinar es la aceleración espectral

máxima posible para periodos a 0.2 segundos (SS) y 1 segundo (S1), con una

probabilidad de excedencia del 2% en 50 años, esta información será extraída

del anexo 4-2A y 4-2B, esto está relacionado con nuestro reglamento cuando

nos referimos a la “Zona Sísmica” y a los mapas de isosistas. En el estándar

ASCE 7 – 05 en la sección 11.4.3 se definen dos términos que son usados

para la determinación de las aceleraciones espectrales y éstos son los

siguientes:

4- 1 4- 2

Donde

= Aceleración espectral máxima posible para un periodo de 0.2 segundo = Aceleración espectral máxima posible para un periodo de 1.0 segundo

= Factor de amplificación por tipo de terreno para periodo de 0.2 segundo puede encontrarse en Tabla 4- 3 mapa para un periodo de 0.2 segundo

= Valor de aceleración espectral máxima del mapa para un periodo de 1.0 segundo

Tabla 4- 3 Factores de amplificación del suelo para periodo corto Fa

Tipo Suelo Respuestas espectrales para periodo corto

I: Afloramiento Rocoso (Vs>750)

m/s

1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

II: Suelo firme (360 Vs 750) m/s 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0

III: Suelo moderadamente blando

(180 Vs 360) m/s

1.6 1.4 1.2 1.1 1.0

IV Suelo muy blando (Vs<180)m/s 2.5 1.7 1.2 0.9 0.9



Tabla 4- 4 Factores de amplificación del suelo para periodo de 1 segundo Fv

Tipo Suelo

Respuestas espectrales para periodo de 1 segundo

I: Afloramiento Rocoso (Vs>750)

m/s 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0

II: Suelo firme (360 Vs 750) m/s 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3

III: Suelo moderadamente blando

(180 Vs 360) m/s 2.4 2.0 1.8 1.6 1.5

IV Suelo muy blando (Vs<180)m/s 3.5 3.2 2.8 2.4 2.4

Hay que hacer notar que estos mapas no son los mismos que se usan para el

diseño en el Reglamento Nacional de Construcción. Estos mapas fueron

creados hasta hace poco en una investigación de los organismos para la

prevención y mitigación de desastres naturales en donde a nivel

centroamericano se crearon estos nuevos mapas que vienen a ser parte de un

esfuerzo para prevenir los desastres que en este caso representan los sismos.

Es conveniente definir en este inciso dos términos que se utilizarán más

adelante, los cuales son; la aceleración espectral de diseño para periodo de 0.2

segundo, , y la aceleración espectral de diseño para periodo de 1 segundo,

las ecuaciones son muy sencillas.

4- 3

4- 4



4.2.2.3 Calculo de la fuerza sísmica para la superestructura

utilizando el método de la fuerza lateral equivalente.

Esta ecuación es la misma que podemos encontrar en el RNC – 07, sin

embargo el método de calcular el coeficiente sísmico difiere, como podrá

verificarse en sección 4.2.2.4.

4- 5

Donde

=Este valor se encuentra Definido en la sección 4.2.2.4

W = Peso sísmico efectivo como se encuentra definido en el RNC

4.2.2.4 Coeficiente Sísmico de la superestructura para el

procedimiento de la fuerza lateral equivalente

Debido a que para el cálculo de las estructuras aisladas se utilizan estos

mapas de aceleración, la teoría que existe alrededor del cálculo del coeficiente

sísmico para el cálculo de las fuerzas laterales varia de igual manera.

La principal condición que debe cumplirse es

4- 6

La ecuación 4- 6 no debe exceder las siguientes ecuaciones mostradas en la Tabla 4- 5

Tabla 4- 5 Valores limites e intervalos para el coeficiente sísmico

4- 7

4- 8



En el caso de que la estructura se encuentre en una zona donde ,

entonces

4- 9

Donde

Q = Igual que como se define en el titulo II del RNC

El factor de importancia, I, lo podemos obtener de la Tabla 4- 6

Tabla 4- 6 Factor de Importancia

Grupo A B C

I 1.5 1.25 1

4.2.2.5 Espectro de Respuesta.

En el art. 27 del RNC – 07 en el subtema II podemos encontrar las ecuaciones

para el cálculo del espectro de respuesta, sin embargo el espectro de

respuesta de una estructura aislada sísmicamente de igual manera que en el

caso del coeficiente sísmico esta en dependencia de los valores de las

aceleraciones espectrales que se calculan en la sección 4.2.2.2. Las

ecuaciones que si toman en cuenta estos factores pueden verse en la Tabla 4-

7 en donde se proveen los parámetros para el cálculo del espectro de

respuesta.



Tabla 4- 7 Ecuaciones para el calculo del espectro de respuesta

Condiciones Ecuación

4- 10

4- 11

4- 12

4- 13

4- 14

4- 15

En la Figura 4- 1 podemos ver los parámetros de diseño del espectro de

respuesta

Figura 4- 1 Espectro de respuesta de diseño

1 seg

Ace

lera

ción

espe

ctra

l

Period

o



4.2.2.6 Desplazamientos

Las superestructuras aisladas deben diseñarse para resistir las fuerzas de

viento de igual manera que una estructura convencional y en dado caso de que

la rigidez del sistema de aislamiento no sea suficiente para evitar movimientos

en la base debido al viento se deberá proveer un sistema de restricción de

desplazamientos, de igual manera las estructuras aisladas deben ser capaces

de permanecer libre de desplazamientos ante sismos de pequeña magnitud.

Para el máximo sismo posible, ningún sistema de restricción de

desplazamientos debe limitar el desplazamiento a menos del desplazamiento

máximo total

Los sistemas aislados sísmicamente deben tener una separación horizontal

entre los edificios y el terreno adyacente nunca menor que el desplazamiento

total máximo,

4.2.2.7 Fuerza Restauradora y Diafragma Rígido

Además, los sistemas de aislamiento deben ser configurados para proveer una

fuerza restauradora tal que, la fuerza lateral para el desplazamiento total de

diseño ,, sea al menos 0.025W mayor que la fuerza lateral al 50% del

desplazamiento total de diseño,

Se debe proveer al sistema de un sistema de diafragma rígido de tal manera

que permita la continuidad en la trasmisión de fuerzas y que también posea

ductilidad en caso de movimientos no uniformes debido al movimiento sísmico.

4.2.2.8 Combinaciones de Carga

Estas combinaciones de carga son utilizadas en el análisis de estabilidad de la

estructura aislada y se plantean dos ecuaciones como sigue

Capítulo 3Movimiento del terreno para estructuras aisladas.


Revisión de Estabilidad vertical

4- 16 4- 17

La combinación 4- 16 es para la carga de diseño máxima y la carga 4- 17

corresponde a la mínima carga de diseño que ha de aplicarse para verificar la

estabilidad vertical. Donde =1.3

4.2.3 Movimiento del terreno para estructuras aisladas.

Hay casos donde los lugares que desean usarse para emplazar una estructura,

presentan características indeseables, por ejemplo, lugares con suelos Tipo IV

o peores aún, o en lugares donde en los mapas de aceleración nos

encontramos con S1 0.6.

Bajo estas condiciones, se debe realizar un análisis de amenaza que deberá

incluir:

a) Configuración tectónica regional

b) Estudio Geológico

c) Sismicidad.

d) Periodos de retorno de los sismos y los máximos valores de terremotos

que han ocurrido en las fallas conocidas, así como las posibles fuentes

de sismo.

e) Características de atenuación del terreno

f) Efectos de falla cercana, si existiese alguno.

g) Características sub superficiales

4.2.3.1 Espectro de respuesta.

Se construye un espectro de respuesta para el máximo sismo considerado. El

espectro de diseño para el máximo sismo considerado no debe ser tomado

como menos que 1.5 veces el espectro de respuesta para el sismo de diseño.

Capítulo 3Registro de movimientos del terreno.


4.2.3.2 Registro de movimientos del terreno.

Si se efectúa un análisis de respuesta en el tiempo, se deben usar, al menos,

tres pares apropiados de desplazamientos horizontales, los que deben

corresponder a características similares a los de la zona en estudio, además se

deberá realizar un análisis de respuesta en el sitio, que deberá incluir lo

planteado en el comienzo de la sección 4.2.3

En el caso de utilizar 3 pares de desplazamientos el mayor de estos 3 valores

se toma como el espectro de diseño, en el caso de que se usen 7 o más pares

de espectros de respuesta se puede tomar como espectro de diseño el

promedio de estos.

4.2.3.3 Escalamiento de los espectros de respuesta..

Para cada par de movimientos horizontales debe crearse un espectro de

respuesta de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS en inglés)

con 5% de la respuesta amortiguada. El espectro SRSS promedio en todas las

direcciones no debe ser menor de 1.3 veces el correspondiente espectro de

diseño.

El factor de escala se determina entre 0.5TD y 1.25TM, según la sección 17.3.2

del ASCE 7 – 05, el promedio de los espectros de respuestas, calculados

haciendo uso del método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

(SRSS), no debe ser menor que el 10% del espectro de diseño multiplicado por

1.3, en los respectivos periodos. Cabe mencionar que el escalamiento es un

proceso iterativo.

a)

Capítulo 3Criterios de selección del procedimiento de análisis


4.2.4 Criterios de selección del procedimiento de análisis

Han sido definidos 2 procedimientos de análisis para las estructuras aisladas

sísmicamente. En la siguiente tabla, podremos ver cuáles son las condiciones

que se requieren para cada procedimiento

Tabla 4- 8 Requerimientos para cada tipo de análisis.

Tipo Análisis Requerimientos

Suel

os

Tip

o I

, II

o I

II

Alt

ura

m

ó 6

5 p

ie

Men

or

o ig

ual

4 p

iso

s

Se c

um

ple

n c

on

cri

teri

os

de

un

a co

nfi

gura

ció

n r

egu

lar.

Se

pro

vee

un

a fu

erza

res

tau

rad

ora

co

mo

se

esp

ecif

ica

en 4

.2.2

.7

No

se

lim

ita

el d

esp

laza

mie

nto

deb

ido

al

máx

imo

ter

rem

oto

po

sib

le a

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os

del

d

esp

laza

mie

nto

to

tal m

áxim

o

Fuerza Lateral Equivalente

Dinámico

Espectro de Respuesta

Análisis de respuesta en el

tiempo

Este método no requiere ningún prerrequisito y puede aplicarse a cualquier estructura sin importar sus características.

Definimos , como el periodo aproximado de una estructura, este periodo es

para estructuras convencionales, y puede ser calculado a través de cualquiera

de estas ecuaciones.

4- 18

4- 19

Definimos

= Número de pisos, y dependen del sistema estructural y están definidos

en la Tabla 4- 9 el valor de h, corresponde a la altura de la estructura, cabe

Capítulo 3Procedimiento de la fuerza lateral equivalente.


mencionar que la ecuación 4- 19 es recomendable sea usada para estructuras

con pisos de hasta 12 ft (3.6m)

Tabla 4- 9

Valores de los parámetros Ct y x para el calculo del periodo aproximado usando ecuación. 4-7

Tipo de Estructura

Unidades inglesas Unidades métricas

Marco de acero resistente a momento 0.028 0.0724 0.8

Marco de concreto resistente a momento 0.016 0.0466 0.9

Marco de acero excéntricamente arriostrado 0.03 0.0731 0.75

Otros sistemas estructurales 0.02 0.0488 0.75

4.2.5 Procedimiento de la fuerza lateral equivalente.

Este método de análisis es una forma simplificada para calcular los parámetros

de diseño de los sistemas aislados que, según muchos autores, raras veces

aplica, siendo, sin embargo, su uso de obligatorio cumplimiento para el diseño

preliminar y para establecer algunos datos de referencia que servirán para

comparar con el método de espectro de respuesta y el método de análisis de

respuesta en el tiempo.

Los valores correspondientes a los amortiguamientos y rigideces deberían

tomarse de los estudios y pruebas de prototipos disponibles, esto será definido

en el inciso 4.2.8

4.2.5.1 Desplazamientos laterales y periodos mínimos

utilizando el procedimiento de la fuerza lateral

equivalente.

Tabla 4- 10 Desplazamientos y periodos mínimos utilizando el procedimiento de la fuerza lateral equivalente.

Desplazamiento de Diseño Periodo efectivo en el desplazamiento de diseño

4- 20

4- 21

= aceleración gravitatoria mm/s2 o in/s2

=unidades , definido en ecuación 4- 4

= aceleración gravitatoria mm/s2 o in/s2

= Peso sísmico efectivo definido en el RNC - 07

Desplazamiento Máximo Periodo efectivo en el máximo desplazamiento

4- 22 4- 23

Desplazamiento Total de Diseño Desplazamiento total Máximo

4- 24 4- 25

Capítulo 3Procedimiento de la fuerza lateral equivalente.


4.2.5.2 Fuerzas laterales mínimas para el procedimiento

de la fuerza lateral equivalente.

Una vez que los parámetros relacionados a los desplazamientos han sido

determinados procedemos a calcular las fuerzas laterales mínimas para las

cuales la estructura deberá ser diseñada.

Se definen dos fuerzas laterales mínimas una para el diseño de las estructuras

aisladas, una para los elementos por debajo del sistema de aislamiento , y la

otra fuerza lateral para el diseño de los por encima de la interfaz de aislamiento

. Estas fuerzas se pueden calcular utilizando las ecuaciones en la Tabla 4-

11.

Tabla 4- 11 Fuerzas Laterales Mínimas para un Sistema de Aislamiento

Fuerza lateral por debajo del sistema de aislamiento

Fuerza lateral arriba de la interfaz de aislamiento

4- 26

4- 27

no debe ser menor que ninguna de las 3 condiciones siguientes:

a) La fuerza sísmica que se produciría en una estructura empotrada en la base con el mismo peso efectivo pero con el periodo de la estructura aislada.

Para verificar esta primera condición se puede utilizar el procedimiento

propuesto de la sección 4.2.2.3 a 0, La ecuación para el cálculo de la fuerza

sísmica está dada por 4- 5, y claro el que se encuentra reglamentado en el

RNC, se permite análisis modal para reducir el valor de a.

b) El cortante basal debido a la carga de viento:

Esto, de igual manera, aparece en el RNC – 07 en su TITULO IV, en lo general

las cargas generadas por la fuerza de viento son menores que las de sismo,

por lo tanto, normalmente la carga de viento pocas veces controla el diseño.

c) La fuerza requerida para activar el sistema de aislamiento .

Capítulo 3Procedimiento de análisis dinámico


Tabla 4- 12 Fuerza requerida para activar el sistema de aislamiento

Sistema elastomérico Sistema en base a fricción

4- 28 4- 29

= como se definió en el capitulo 3, es la rigidez elástica.

= Desplazamiento de fluencia.

= el coeficiente de fricción para inicio de deslizamiento.

= Peso del edificio.

b)

4.2.5.3 Distribución vertical de la fuerza y límite de deriva.

La fuerza horizontal distribuida en la altura en la estructura sobre el sistema de

aislamiento responde a la siguiente ecuación.

4- 30

Donde

=Fuerza Cortante Calculada en 4.2.5.2

= Altura sobre el nivel de base i

= Peso ubicado a esa determinada altura.

= Peso en la base

= Altura sobre el nivel de la base I

Las derivas máximas en la superestructura deben ceñirse a lo establecido en el

TITULO III del RNC -07, para estructuras con ductilidad limitada.

Se escogen los criterios de ductilidad limitada debido a la suposición de análisis

estructural que se ha realizado en el capítulo 2, cuya hipótesis plantea que la

superestructura se comporta como una masa unida rígidamente a los

aisladores y que las deformaciones se dan en el sistema de aislamiento. Al

proveer de ductilidad la superestructura puede crear desplazamientos no

deseables.

4.2.6 Procedimiento de análisis dinámico

Tanto en el RNC – 07 como en el ASCE 7 – 05 se definen dos métodos de

análisis dinámico, que son:

a) El análisis modal espectral



En este documento se encuentra contenida la información necesaria para

generar el espectro de respuesta según los criterios del ASCE 7 – 05.

En la sección 4.2.4 podemos encontrar los criterios para la utilización de

este método.

.

b) Análisis de respuesta en el tiempo

Para realizar estos análisis se requiere la creación de un modelo, dicho modelo

debe incluir el sistema sismorresistente sobre la interfaz de aislamiento y

también el sistema de aislamiento. Podemos inferir que esto se hace con el fin

de representar de manera más real el sistema estructural. Al hacer esto,

obtenemos resultados más aproximados a la realidad pudiendo de esta

manera, usar dichos datos obtenidos del análisis del modelo para el diseño del

mismo.

4.2.6.1 Recomendaciones para el modelado de una estructura

aislada.

A continuación, se listan una serie de recomendaciones establecidas por el

código ASCE 7 - 05 para modelar una estructura aislada correctamente.

a) Las estructuras que sean irregulares en planta deberán ser modeladas a

través de un análisis tridimensional, dicho análisis debe tener un mínimo

de 3 grados de libertad, dos traslacionales (en las dos direcciones

ortogonales a la planta) y uno rotacional (alrededor del eje vertical de la

estructura)

b) Las propiedades de rigidez para el concreto y la mampostería deberían

basarse en la sección fisurada efectiva y debe usarse esta para calcular

la rigidez de la superestructura.

c) Para el sistema de aislamiento se debe considerar la posición real de los

aisladores en toda la estructura.

d) Considerar fuerzas de levantamiento y volteo en aisladores individuales



e) Incluir los efectos de la carga vertical y bilateral, así como el ciclo de

carga si el sistema aislado es dependiente de una o más de estas

características.

El desplazamiento total de diseño y el desplazamiento total máximo

deberán ser calculados usando un modelo estructural que incorpore las

características fuerza – deformación de los elementos no lineales del sistema

de aislamiento y la superestructura.

4.2.6.2 Cargas y desplazamientos mínimos para los sistemas

analizados dinámicamente.

Como habíamos mencionado anteriormente, el método de la fuerza lateral

equivalente era exigido para analizar las estructuras aisladas sísmicamente; sin

embargo, si en un análisis dinámico se encuentran valores menores a los

calculados en el análisis por la fuerza lateral equivalente, existen ciertas

restricciones en cuanto a la utilización de estos resultados.

Respecto de los desplazamientos, se han definido dos ecuaciones para los

menores valores que son permisibles utilizando un método de análisis dinámico

al calcular el desplazamiento de diseño y el desplazamiento máximo. Esto se

hace modificando las ecuaciones para el desplazamiento de diseño y el

desplazamiento máximo sustituyéndolo por y

4- 31

4- 32

ya ha sido definido previamente en la sección 4.2.4 ecuación 4- 18 ó 4- 19,

de igual forma los otros términos.

Así, las ecuaciones para el desplazamiento total de diseño y desplazamiento

total máximo pueden reescribirse de la siguiente manera.

Capítulo 3 Revisión del diseño.


4- 33

4- 34

En la siguiente tabla, aparecen representados estas reducciones en

porcentajes de las fuerzas y desplazamientos para cada tipo de análisis.

Tabla 4- 13 Valores mínimos para fuerzas y desplazamientos al usar un análisis dinámico

Análisis realizado Estructura Regular

Estructura Irregular

Desplazamientos

Análisis Modal

Espectral 90% 80% 100% 100% 90% 80%

Análisis de Respuesta en el

tiempo

90% 60% 100% 80% 90% 80%

4.2.6.3 Límite de deriva.

Las derivas máximas en la superestructura no deben ser mayores de 0.015 ,

siendo h la altura desde la base del sistema aislado.

4.2.7 Revisión del diseño.

Para realizar la revisión de un diseño estructural donde se apliquen aisladores

de base se recomienda

a) Revisión del diseño preliminar.

b) Revisión de los estudios de microzonificación, revisión de sismos

históricos y demás criterios especiales desarrollados para el desarrollo

del proyecto.

c) Revisión de los datos de los prototipos de prueba.

d) Revisión del sistema estructural.

e) Revisión del sistema de control de calidad de los aisladores.

Capítulo 3 Pruebas.


4.2.8 Pruebas.

Esta sección es una generalización de lo ya expuesto en el capítulo 3. Se

incluyen conceptos específicos muy importantes, también se definen lo que son

los programas de pruebas para los aisladores, así como los criterios que son

usados para declarar que un prototipo es adecuado.

4.2.8.1 Selección de prototipos

Las pruebas a los prototipos deben realizarse en dos especímenes de prueba

para cada aislador que se use en la estructura. Los especímenes deben ser de

tamaño completo, y en el caso que se utilicen dispositivos de restricción de

desplazamientos estos también tienen que ser incluidos.

4.2.8.2 Secuencias y ciclos de carga

Para estas pruebas se requiere que la carga vertical sea igual a la carga

muerta promedio más la mitad del efecto de la carga viva.

1) Veinte ciclos completos de carga a una fuerza lateral igual a la carga de

viento de diseño.

2) Tres ciclos de carga completos para cada uno de los siguientes

incrementos del desplazamiento total de diseño.

2.1 0.25

2.2 0.50

2.3 1.0

2.4 1.0

3) Tres ciclos completos con un desplazamiento total máximo 1.0

4) pero no menos de 10 ciclos a menos de 1.0

En el caso de que el sistema de aislamiento sea un elemento portante de

carga, se agregarán al inciso 2) de esta sección la sección de las ecuaciones 4-

16 y 4- 17



4.2.8.3 Dependencia de carga bilateral y dependencia del ciclo

de carga.

Unidades aisladoras dependientes de cargas bilaterales:

Las propiedades fuerza – deformación de una unidad de aislamiento, deben

considerarse dependientes de la carga bilateral si la rigidez efectiva obtenida

de los ensayos bajo carga bilateral difiere en 15% para cada uno de los

ensayos realizados en los ciclos descritos anteriormente bajo carga unilateral.

Si esto fuese así, deben incluirse pruebas adicionales bajo carga bilateral a los

siguientes pares de desplazamientos de diseño.

a) 0.25 y 1.0

b) 0.50 y 1.0

c) 0.75 y 1.0

d) y 1.0

En caso que se usen, para el cálculo de la dependencia bilateral, modelos a

escala del prototipo deben usarse los mismos materiales con el mismo proceso

de fabricación que se usan en el prototipo de tamaño natural.

Unidades aisladoras dependientes del ciclo de carga:

Las propiedades fuerza – deformación de una unidad de aislamiento deben

considerarse dependientes del ciclo de carga, si la rigidez efectiva o el

amortiguamiento efectivo en el desplazamiento de diseño siendo probado a

cualquier frecuencia en el rango de 0.1 a 2.0 veces de la frecuencia del periodo

efectivo de la estructura, , varia más del 15% para cada uno de los ensayos.

4.2.8.4 Determinación de las características fuerza – deflexión y

propiedades de diseño de los sistemas aislados.

Las características de fuerza – deflexión deben extraerse de los datos

obtenidos de las pruebas en 4.2.8.2 Aquí se escriben las ecuaciones generales

que se utilizarán para el diseño y la determinación de las propiedades fuerza –

deflexión.



Tabla 4- 14 Ecuaciones de las propiedades fuerza – deflexión y de diseño de los sistemas de aislamiento

Propiedades fuerza – deflexión

Rigidez Efectiva Amortiguamiento efectivo

4- 35

4- 36

Propiedades de diseño

Rigidez Efectiva máxima en Rigidez efectiva mínima en

4- 37

4- 38

Rigidez Efectiva máxima en Rigidez efectiva mínima en

4- 39

4- 40

Amortiguamiento Efectivo Amortiguamiento efectivo en

4- 41

4- 42

4.2.8.5 Criterios de aceptación de un espécimen de prueba.

A partir de las pruebas realizadas en 4.2.8.2 y de las ecuaciones expresadas

en Tabla 4- 14 se pueden verificar una serie de condiciones que definen si el

espécimen de prueba puede considerarse adecuado para su uso. Dichas

condiciones se listan como sigue:

1. Los gráficos de relación fuerza – deflexión para todas las pruebas

especificadas en la sección 4.2.8.2 muestran una capacidad fuerza –

resistencia con un incremento positivo.

2. Para cada incremento en los desplazamientos de prueba en la sección

4.2.8.2 en su inciso 2 y para la carga vertical especificada en 4.2.2.8 se

cumple que

a. Para cada espécimen de prueba la diferencia de la rigidez

efectiva no varía en mas de .

b. Para cada espécimen de prueba la diferencia de rigidez efectiva

entre especímenes del mismo tipo no varía más de .

3. Para cada espécimen de prueba no hay una variación de más del

de cambio en la rigidez efectiva inicial cuando éste se somete a la

pruebas en 4.2.8.2 inciso 4.



4. Para cada espécimen no hay más de un 20% de disminución en el

amortiguamiento efectivo cuando éste se somete a las pruebas del

4.2.8.2 inciso 4.

5. Los especímenes permanecen estables cuando son sometidos a la

carga en 4.2.2.8

63

Capítulo 4

Características Mecánicas y modelo bilineal de los aisladores de base elastoméricos y de fricción, pandeo lateral y desplazamiento critico



4.1 Introducción

Las ecuaciones del movimiento que se han desarrollado en el capítulo 2, están

definidas bajo la suposición de una rigidez y amortiguamiento efectivo en el

sistema de aislamiento. Así también se supone la rigidez lineal de la estructura

soportada por los aisladores.

Si las condiciones anteriores se cumplen podemos encontrar una relación lineal

ante una fuerza sísmica que afecte el sistema. Sin embargo, en la mayoría de

los casos encontramos condiciones tales como; configuraciones estructurales

complejas, suelo muy suave, cercanía a fallas activas todos estos factores

impiden que un análisis lineal represente con precisión el desempeño de la

estructura.

Para superar estas limitaciones del análisis lineal se ha incorporado las

propiedades mecánicas de los aisladores en el procedimiento analítico lo cual

nos lleva a un análisis no lineal.

La no linealidad en la estructura proviene de dos fuentes

Deformación inelástica de la superestructura

Altas deformaciones en el sistema de aislamiento

Sin embargo debido a que la superestructura es mucho más rígida que el

sistema de aislamiento, las deformaciones se dan principalmente en el sistema

de aislamiento, y podemos decir que la superestructura tendrá una respuesta

lineal. Con esta suposición, en la práctica de diseño solo se consideran las

propiedades no lineales de los aisladores las cuales representan de manera

bastante precisa el comportamiento de la estructura aislada.

Para hacer un uso seguro de los aisladores las propiedades mecánicas de

diferentes tipos de aisladores han sido investigadas intensamente. Para poder

representar el comportamiento histerético y viscoelástico de estos mismos, se

han elaborado varios tipos de modelos matemáticos como los mostrados en las

figuras 4-1 y 4-2



Figura 4 - 1

Modelo Histerético

Figura 4 - 2

Modelo Viscoelástico

Para el modelo histerético se encontró que las propiedades de los aisladores eran

independientes de la velocidad. En este modelo los desplazamientos máximos y

mínimos ocurren al cortante máximo y mínimo respectivamente Para el modelo

viscoelástico se encontró que las propiedades de los aisladores eran dependientes de la velocidad

Aquí los cortantes máximos y mínimos ocurren antes de los desplazamientos

máximos y mínimos respectivamente.

Sin embargo el modelo que ha sido más aceptado para la investigación y el

diseño es el modelo bilineal, esto se debe a que caracteriza las propiedades

mecánicas de los aisladores adecuadamente pero también a que es válido

tanto para aisladores elastoméricos como para aisladores de fricción.

La determinación de un modelo bilineal se inicia definiendo tres parámetros

básicos, según las propiedades de cada tipo de aislador cabe resaltar que se

ocupan ecuaciones específicas para calcular cada uno de los parámetros

básicos.

Otras propiedades del aislador tales como amortiguamiento efectivo y rigidez

vertical son también introducidas para el desarrollo del modelo del aislador

Capítulo 4 Parámetros del modelo bilineal


4.2 Parámetros del modelo bilineal

El modelo bilineal, usado para expresar la relación entre la fuerza cortante y el

desplazamiento lateral, puede definirse por tres parámetros los cuales

podemos identificar también en la Figura 4 - 3

1. Rigidez Elástica 𝑘𝑒

2. Rigidez Postfluencia 𝑘𝑝

3. Fuerza Característica 𝑄

Estos tres parámetros reflejan adecuadamente las características mecánicas

de los aisladores y suministran una estimación satisfactoria del comportamiento

no lineal de un aislador.

Figura 4 - 3

Modelo bilineal de una unidad de aislamiento

Cuando una fuerza cortante se comienza a aplicar al aislador, se da una relación lineal entre el cortante y

el desplazamiento lateral, expresada por 𝒐𝒂, una vez que el cortante llega al punto b comienza la fluencia

en el aislador, más allá del punto b se dan grandes desplazamientos con pequeños incrementos en el

cortante su rigidez está definida como Rigidez post fluencia 𝑘𝑝 . Si la descarga inicia en el punto c, la

trayectoria de descarga no es la previa sino sigue la trayectoria 𝒄𝒅 que tiene la misma rigidez inicial de

𝒐𝒂. El valor de cortante de 𝒄𝒅 es igual a 2𝐹𝑦 , 𝐹𝑦 es la fuerza de fluencia. Mas allá del punto d, la

trayectoria de descarga es paralela a 𝒃𝒄 con la misma magnitud de 𝑘𝑝 .

Capítulo 4 Parámetros del modelo bilineal


La rigidez efectiva 𝒌𝒆𝒇𝒇, en la región de postfluencia puede ser expresada en

términos de la rigidez postfluencia 𝒌𝒑 y la fuerza característica 𝑸 con el

correspondiente desplazamiento lateral D de esta manera tenemos

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑝 +𝑄

𝐷 4- 1

El desplazamiento de fluencia 𝑫𝒚, el cual es convenientemente usado en

algunos programas de computadoras para definir el modelo bilineal, también se

deriva de 𝒌𝒑, 𝒌𝒆 y 𝑸

𝐷𝑦 =𝑄

𝑘𝑒 − 𝑘𝑝 4- 2

La fuerza de fluencia 𝐹𝑦 , en el desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦 se determina a

través de la siguiente ecuación.

𝐹𝑦 = 𝑄 + 𝑘𝑝𝐷𝑦 4- 3

El amortiguamiento efectivo 𝛽𝑒𝑓𝑓 se define como

𝛽𝑒𝑓𝑓 =𝐸𝐷

2𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2 4- 4

Definimos 𝐸𝐷 como la energía disipada por ciclo, 𝐸𝐷 es considerada como el

área del ciclo de histéresis, limitada por el desplazamiento lateral –D y +D en

cada ciclo. Así, 𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

𝛽𝑒𝑓𝑓 =4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

2𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2

=2𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2

4- 5

En la práctica de diseño, la rigidez efectiva y el amortiguamiento efectivo son

determinados en el desplazamiento de diseño, DD, y en el desplazamiento

máximo, DM. La definición de estos términos se da en el capítulo 3 de esta

guía.

A continuación se presentaran las propiedades mecánicas de los aisladores

elastoméricos, elastoméricos con núcleo de plomo, elastoméricos con alto

Capítulo 4


amortiguamiento y los de fricción. Para todos estos aisladores exceptuando el

aislador elastomérico se usara el modelo bilineal para definir las propiedades

mecánicas de cada uno de los aisladores antes mencionados.

4.3 Características mecánicas de los aisladores

elastoméricos

Las características mecánicas de los soportes elastoméricos con refuerzo de

acero en laminas han sido estudiadas por décadas, mientras los análisis

exactos usando técnicas no lineales son bastantes difíciles, predicciones

simples basadas en la teoría elástica han sido desarrolladas por muchos

investigadores, y verificadas por laboratorios de prueba y más recientemente

por el análisis de método de elementos finitos.

La característica mecánica más importante de estos aisladores es la rigidez

horizontal representada por 𝑘𝐻 y esta dada por la siguiente ecuación

𝑘𝐻 =𝐺𝐴

𝑡𝑟 4- 6

Donde

𝐺= Modulo de cortante del elastómero

𝐴= Área de la sección transversal completa

𝑡𝑟= Espesor total del caucho.

El máximo desplazamiento horizontal 𝐷 esta relacionado a la máxima

deformación por cortante 𝛾 a través de

𝛾 =𝐷

𝑡𝑟 4- 7

La rigidez vertical 𝑘𝑉 y la rigidez de flexión, que se expresa como 𝐸𝐼 por

analogía con la teoría de vigas, también se encuentra a través de la teoría

elástica y es un parámetro que se necesita para el diseño del aislador

Capítulo 4 Características mecánicas de los aisladores elastoméricos


La frecuencia vertical de una estructura aislada, frecuentemente es un

importante criterio de diseño, está controlado por la rigidez vertical del aislador

que comprime el sistema.

Para poder predecir la frecuencia vertical, el diseñador necesita solamente

calcular la rigidez vertical del aislador bajo una carga muerta especificada, un

análisis lineal es lo suficientemente preciso para este tipo de cálculo.

La respuesta inicial de un aislador bajo carga vertical es bastante no lineal y

depende de varios factores. Normalmente, los aisladores tienen un sustancial

abultamiento antes de que la rigidez vertical completa se desarrolle. Este

abultamiento, el cual está fuertemente influenciado por la alineación de las

placas de acero y otros aspectos de la mano de obra en el proceso de moldado

no se puede predecir por análisis pero en general es de poca importancia para

predecir la respuesta vertical del aislador.

Otra propiedad importante del aislador que debe ser analizada para el diseño

es el comportamiento de pandeo del aislador. Para poder realizar este análisis,

la respuesta del aislador comprimido por el momento de flexión es necesaria.

Llamado como “rigidez de flexión” puede determinarse a través de una

extensión del mismo análisis que se hace para determinar la rigidez vertical.

La rigidez vertical de un aislador de caucho esta dado por la formula

𝑘𝑉 =𝐸𝐶𝐴

𝑡𝑟 4- 8

Donde

𝐴= Área de la sección transversal del aislador (debe tomarse el área de las

placas metálicas)

𝑡𝑟= Espesor total de caucho en el aislador

𝐸𝐶= Modulo de compresión instantánea del compuesto de caucho – acero bajo

el nivel especifico de carga vertical.

El valor de 𝐸𝐶 para una sola capa de caucho esta controlado por el factor de

forma 𝑆 el cual puede definirse como

Capítulo 4 Características mecánicas de los aisladores elastoméricos


𝑆 =𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎

𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑖𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠

4- 9

𝑆, es una medida adimensional de la relación de aspecto de una sola capa del

elastómero.

𝑆 =𝑏

𝑡 4- 10

Para un cojín circular de diámetro Θ o radio 𝑅 y espesor t

𝑆 =Θ

4𝑡 𝑜 𝑆 =

R

2𝑡 4- 11

Para un cojín cuadrado o de dimensión “a” y espesor t

𝑆 =a

4𝑡 4- 12

Para un cojín con forma circular el modulo de compresión es 𝐸𝑐 esta dado por

𝐸𝑐 = 6𝐺𝑆2 4- 13

Para un cojín cuadrado el modulo de compresión 𝐸𝑐 esta dado por

𝐸𝑐 = 6.73𝐺𝑆2 4- 14

En algunos casos los aisladores son diseñados con hoyos en los centros del

cojín. El modulo de compresión 𝐸𝑐 para un aislador con un radio interior “a” y

un radio exterior “b” esta dado por

𝐸𝑐 = 4𝐺𝑆2 4- 15

Cuando el factor de forma del cojín es mayor de 10, el efecto de la

compresibilidad en el caucho se vuelve importante. La compresibilidad puede

ser incorporada en las ecuaciones anteriores a través de la siguiente ecuación

Capítulo 4 Características mecánicas de aisladores con núcleo de plomo


𝐸𝑐 =6𝐺𝑆2𝐾

6𝐺𝑆2 + 𝐾 4- 16

Considerando que en una viga la distribución de esfuerzos por flexión es lineal.

En el caso de un cojín cuadrado el valor efectivo de EI es muy cercano a un

tercio de valor de EI para una viga por lo tanto

𝐸𝐼 𝑒𝑓𝑓 = 𝐸𝑐 0.329𝐼 4- 17

Para un cojín circula con un hoyo en el centro esta ecuación es

𝐸𝐼 𝑒𝑓𝑓 = 2𝐺𝑆2𝐼 𝑏 + 𝑎 2

𝑏2 − 𝑎2 4- 18

4.4 Características mecánicas de aisladores con núcleo de

plomo

La fuerza característica “Q” de los aisladores con núcleo de plomo es

controlada principalmente por la fuerza cortante del núcleo de plomo. El

cortante de fluencia ocurre en el núcleo de plomo a bajos niveles de esfuerzo

cortante. Sin embargo, el comportamiento histerético del aislador es bastante

estable inclusive cuando éste es sometido a muchos ciclos de carga.

La siguiente ecuación muestra la relación que existe entre la fuerza

característica “Q” y el producto del esfuerzo de fluencia 𝑓𝑦1 del plomo por el

area de plomo 𝐴1, como podemos ver este dato es característico para el

aislador con núcleo de plomo:

𝑄 = 𝐴1𝑓𝑦1 4- 19

La rigidez post fluencia “kp” puede describirse a través de la siguiente

ecuación:

𝑘𝑝 =𝐴𝑏𝐺𝑓𝐿

𝑡 4- 20

Donde

Capítulo 4 Características mecánicas de aisladores con núcleo de plomo


𝐴𝑏 = es el área de caucho

𝑡= el grosor total del caucho

𝑓𝐿 = 1.5

G= modulo de cortante tangente del caucho (se determina a través de pruebas

dinámicas de cortante)

La rigidez elástica “𝑘𝑒” no es fácil de calcular pero a través de la siguiente

ecuación empírica se puede obtener un valor que es aceptable, la rigidez

elástica es 𝒙 veces la rigidez postfluencia, esto se puede escribir como

𝑘𝑒 = 𝑥𝑘𝑝 , siendo 𝑥 un valor entre 6.5 y 10:

6.5𝑘𝑝 < 𝑘𝑒 < 10𝑘𝑝 4- 21 En base a esta condición podemos conocer el desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦

sustituyendo los valores encontrados en la ecuación 4- 2, obtenemos la siguiente

ecuación

𝐷𝑦 =𝑄

𝑥 − 1 𝑘𝑝 4- 22

La rigidez efectiva como ha sido definida en la ecuación 4- 1

Sustituyendo los datos encontrados hasta el momento en la ecuación 4- 5 podemos

encontrar el amortiguamiento efectivo para un aislador con núcleo de plomo



=2𝑄 𝑥 − 1 𝑘𝑝𝐷 − 𝑄

𝜋 𝑥 − 1 𝑘𝑝 𝑘𝑝𝐷 + 𝑄 𝐷 4- 23

Con estas características se puede establecer un modelo bilineal y puede ser

usado para realizar un análisis no lineal de la estructura que utiliza aisladores

con núcleos de plomo.

𝜔 = 𝑘𝑒𝑓𝑓𝑔

𝑊= 𝜔0

2 + 𝜇𝑔

𝐷 4- 24

Capítulo 4 Modelo Bilineal de un aislador elastomérico de alto amortiguamiento


Otro datos que puede ser interesante es la frecuencia natural 𝜔, la cual esta

dada por

Conociendo este dato el periodo efectivo 𝑇 lo podemos encontrar a través de la

siguiente ecuación

𝑇 =2𝜋

𝜔=

2𝜋

𝜔02 + 𝜇

𝑔𝐷

4- 26

4.5 Modelo Bilineal de un aislador elastomérico de alto

amortiguamiento

Los 3 parámetros usados para generar un modelo bilineal para un aislador

elastomérico de alto amortiguamiento son normalmente derivados del modulo

de cortante 𝐺 y el amortiguamiento efectivo 𝛽𝑒𝑓𝑓 . El modulo de cortante

tangente 𝐺, es determinado con precisión de una prueba dinámica de cortante.

El amortiguamiento efectivo, determinado de las pruebas a los prototipos de

aisladores varía entre 10% y 20% del amortiguamiento critico.

La ecuación para calcular la rigidez postfluencia 𝑘𝑝 para este tipo de aisladores

es

Donde

𝐴𝑏= El área de caucho

𝑡= Espesor total del caucho.

La fuerza característica está definida por

Definimos

𝜇 =𝑄

𝑊 𝑦 𝜔0

2 = 𝑘𝑝𝑔

𝑊

4- 25

𝑘𝑝 =𝐺𝐴𝑏

𝑡 4- 27

Capítulo 4 Modelo Bilineal de un aislador elastomérico de alto amortiguamiento


𝑄 =𝜋𝛽𝑒𝑓𝑓 𝑘𝑝𝐷𝐷

2

2 − 𝜋𝛽𝑒𝑓𝑓 𝐷𝐷 − 2𝐷𝑦

4- 28

Donde

𝐷𝐷 = Desplazamiento de Diseño, será definido con mayor claridad en capitulo

4.

Los parámetros correspondientes al desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦 , son

desconocidos hasta que los parámetros 𝑘𝑝 , 𝑘𝑒 y 𝑄 sean determinados.

Una estimación aproximada de 𝐷𝑦 , apoyada de resultados de las pruebas,

puede ser expresado en términos del espesor total del caucho, 𝑡

𝐷𝑦 = 𝜆𝑡 4- 29

Donde

0.05 ≤ 𝜆 ≤ 0.1

Una vez que se conocen los parámetros 𝑘𝑝 , 𝐷𝑦 y 𝑄 la fuerza de fluencia 𝐹𝑦 del

aislador se determina fácilmente a través de la ecuación 4- 3

𝐹𝑦 = 𝑄 + 𝑘𝑝𝐷𝑦 4- 30

Siguiendo con la búsqueda de las variables que conforman el modelo bilineal

buscamos la rigidez elástica del aislador de alto amortiguamiento

𝑘𝑒 =𝐹𝑦

𝐷𝑦= 𝑘𝑝 +

𝑄

𝐷𝑦= 𝑘𝑝 1 +

𝜋𝛽𝑒𝑓𝑓𝐷𝐷2

𝜆𝑡 2 − 𝜋𝛽𝑒𝑓𝑓 𝐷𝐷 − 2𝜆𝑡 4- 31

Si sustituimos en la ecuación 4- 5, 𝐷𝑦 = 𝜆𝑡, la rigidez efectiva en el

desplazamiento de diseño puede ser calculado a través de la siguiente

ecuación

𝑘𝑒𝑓𝑓 =2𝑄 𝐷𝐷 − 𝜆𝑡

𝜋𝛽𝑒𝑓𝑓𝐷𝐷2 = 4- 32

La ecuación para el amortiguamiento puede definirse como

Capítulo 4


𝐵𝑒𝑓𝑓 =𝐾𝑝𝐴𝛽𝐴 + 𝐾𝑝𝐵𝛽𝐵

𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁 4- 33

4.6 Características mecánicas de un aislador utilizando un

sistema de péndulo de fricción

La fuerza característica 𝑄 de un aislador que utiliza péndulo de fricción como

sistema de aislamiento esta expresado a través de la siguiente ecuación.

𝑄 = 𝜇𝑠𝑃𝑐 4- 34

Donde:

𝑃𝑐= Fuerza axial aplicada sobre el aislador, la cual esta compuesta por la carga

gravitacional 𝑃𝑔 y el efecto de la aceleración vertical del terreno. Si se desprecian los

efectos de la aceleración vertical la fuerza axial 𝑃𝑐 = 𝑃𝑔

𝜇𝑠= Coeficiente de fricción que está relacionado a la velocidad de deslizamiento. Se

calcula a través de la siguiente ecuación

𝜇𝑠 = 𝑓𝑚𝑎𝑥 − 𝑓𝑚𝑎𝑥 − 𝑓𝑚𝑖𝑛 𝑒−𝜉 𝐷

𝑓𝑚𝑎𝑥 𝑦 𝑓𝑚𝑖𝑛 = Son coeficientes de fricción calculados a alta y baja velocidad

respectivamente

𝐷 = Representa la velocidad de movimiento del aislador

𝜉= Inversa de la velocidad de deslizamiento característica, este parámetro controla la

transición de 𝑓𝑚𝑎𝑥 a 𝑓𝑚𝑖𝑛 y es calculada en base a experimentos, sin embargo algunos

autores sugieren un valor aproximado de 2.54 s/in

La rigidez post fluencia 𝑘𝑝 para los aisladores que utilizan péndulo de fricción

se calcula a través de la siguiente ecuación

𝑘𝑝 =𝑃𝐶𝑅

4- 35

Donde

R= Representa el radio de curvatura de la superficie deslizante

La rigidez elástica 𝑘𝑒 con base a muchos experimentos que se han realizado

alrededor de este sistema se ha determinado es normalmente al menos 100

Capítulo 4 Características mecánicas de un aislador utilizando un sistema de péndulo de fricción


veces la rigidez postfluencia 𝑘𝑝 . Tomando en cuenta lo dicho podemos calcular

el desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦 a través de la siguiente ecuación

𝐷𝑦 =𝑄

𝑘𝑒 − 𝑘𝑝≈

𝑄

100𝑘𝑝=

𝜇𝑠𝑃𝑐100 𝑃𝑐 𝑅

=𝜇𝑠𝑅

100 4- 36

A simple vista se puede intuir a través de esta ecuación que el desplazamiento

de fluencia es un valor muy pequeño

Sustituyendo los valores que se han encontrado hasta el momento en la

ecuación 4- 5 podemos encontrar un valor para la rigidez efectiva en el

desplazamiento de diseño 𝐷𝐷 y puede ser calculada asi

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑐 1

𝑅+

𝜇𝑠𝐷𝐷

4- 37

Debido a que el desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦 es mucho menor que el

desplazamiento de diseño 𝐷𝐷, el área del ciclo de histéresis 𝐸𝐷 puede

calcularse, aproximadamente, haciendo uso de la siguiente ecuación

𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷𝐷 − 𝐷𝑦 ≈ 4𝑄𝐷𝐷 = 4𝐷𝐷𝜇𝑠𝑃𝑐 4- 38

Si sustituimos las ecuaciones del área del ciclo de histéresis ecuación 4- 38 y la

ecuación correspondiente a la rigidez efectiva para este tipo de sistemas

ecuación 4- 37 en la ecuación 4- 4 tenemos

Algunos datos interesantes que también se pueden conseguir de este tipo de

estructura son:

Periodo para un péndulo Radio para un péndulo

𝑇 = 2𝜋 𝑅

𝑔

𝑅 =

𝑔𝑇2

2𝜋 2

Un dato interesante de conocer es que si el Desplazamiento vertical de un péndulo

𝛽𝑒𝑓𝑓 =4𝐷𝐷𝜇𝑠𝑃𝑐

2𝜋 𝑃𝑐 1𝑅 +

𝜇𝑠𝐷𝐷

𝐷𝐷2

=2𝜇𝑠

𝜋 𝐷𝐷𝑅 + 𝜇𝑠

4- 39

Capítulo 4 Características mecánicas de un aislador utilizando un sistema de péndulo de fricción


desplazamiento entre el radio es menor

que la fuera de fricción, la fuerza

restauradora será menor que la fuerza de

fricción y el sistema no quedara centrado,

𝛿𝑉 =𝐷2

2𝑅

Donde

D = Desplazamiento horizontal

(mm o in)

si 𝐷 𝑅 ≤ 𝜇, esto representa un problema para los sistemas con grandes periodos

Capítulo 4 Pandeo critico de Aisladores Elastoméricos.


4.8 Pandeo critico de Aisladores Elastoméricos.

Se abarca este tema hasta este momento debido a que se considera

importante conocer las propiedades mecánicas de los aisladores elastomérico

para entender los conceptos que se mencionan en esta sección.

Los aisladores elastomérico son susceptibles a inestabilidad por pandeo

parecida a la que se da en una columna pero dominado por la baja rigidez de

cortante del aislador.

Para modelar el aislador es necesario introducir ciertas modificaciones a las

cantidades definidas en la sección previa. Cabe mencionar que según algunos

autores la única manera de conocer la carga de pandeo es a través de pruebas

de laboratorio y que las hipótesis que abajo se presentan no representan el

comportamiento real.

Tabla 5- 1 Ecuaciones para el calculo de estabilidad de aisladores elastoméricos

Cortante por unidad de longitud Área de cortante efectivo

𝑷𝒔 = 𝑮𝑨𝒔 4- 40 𝐴𝑠 = 𝐴𝑕

𝑡𝑟 4- 41

Donde 𝑮= Modulo de elasticidad del elastómero. 𝑨𝒔= Área de cortante efectivo.

𝐴= Área de sección transversal del aislador

𝑕= Altura total del aislador incluyendo acero 𝑡𝑟= Altura total del caucho

Rigidez Horizontal Carga de pandeo

𝑲𝑯 =𝑮𝑨

𝒕𝒓 4- 42 𝑃𝐸 =

𝜋2

𝑕2

1

3𝐸𝐶𝐼

𝑕

𝑡𝑟 4- 43

Para la mayoría de los tipos de aisladores donde 𝑺 ≥ 𝟓,𝑷𝑬 ≫ 𝑷𝑺 la carga critica puede ser calculad con la ecuación

Carga critica Factor de Seguridad

𝑷𝒄𝒓𝒊𝒕 = 𝑷𝑬𝑷𝒔 4- 44 𝐹𝑠𝑒𝑔 =𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡𝑊

4- 45

Influencia de carga vertical en rigidez horizontal

𝑲𝑯 = 𝑲𝑯 𝟏 − 𝑾

𝑷𝒄𝒓𝒊𝒕 𝟐

4- 46

Capítulo 4 Estabilidad ante grandes desplazamientos laterales


4.9 Estabilidad ante grandes desplazamientos laterales

El análisis de pandeo para un aislador elastomérico se basa en la teoría

análoga a el análisis del pandeo de una columna, en estos casos se presenta

la carga o los esfuerzos de pandeo en la posición original, sin desplazamientos,

pero normalmente no hay información acerca de la estabilidad del aislador en

su posición desplazada, en estos casos la inestabilidad se presentara en la

perdida de un incremento positivo en la rigidez horizontal 𝐾𝐻 . Conocer este

tipo de inestabilidad es de crucial importancia en el diseño de los aisladores.

Para predecir este comportamiento es necesario hacer uso de un análisis no

lineal. Sin embargo hay dos hipótesis las cuales pueden usarse para una

aproximación con bastante grado de exactitud.

La siguiente figura nos muestra la simbología utilizada en esta sección, la cual

será explicada más adelante. En las secciones 4.9.1 y 4.9.2 se podrá usar

como referencia para las ecuaciones que aparecen en dichas secciones.

Figura 4 - 4

Nomenclatura para área reducida

θ

Capítulo 4 Estabilidad ante grandes desplazamientos laterales


4.9.1 Área reducida

Antes de hablar de las hipótesis que se tienen acerca del pandeo critico ante

desplazamientos laterales, se escriben las ecuaciones para el área reducida

Área reducida para un aislador rectangular

𝑨𝒓 = 𝐵 𝐵 − 𝐷𝑐𝑟𝑖𝑡 4- 47

Área reducida para un aislador circular

En el caso de un aislador con sección circular es más difícil de realizar dicho

cálculo, en la Figura 4 - 4 tenemos definido las siguientes variables como

𝜃= Angulo medio subtendido al centro de la intersección del círculo superior e

inferior.

𝜙 =𝜋

2− 𝜃 4- 48

El desplazamiento D, y el área reducida Ar están dados por las siguientes

ecuaciones

𝑫 = 𝟐𝑹𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐𝑹𝒔𝒆𝒏𝜽 4- 49 𝑨𝒓 = 𝟐𝑹𝟐 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 4- 50

4.9.2 Hipótesis pandeo crítico

Esta hipótesis supone que la concentración de esfuerzos no afecta la

resistencia a flexión del aislador sino la resistencia a cortante.

La ecuación que se ve modificada es la ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. reescrita aquí

𝑃𝑠 = 𝐺𝐴𝑠

Capítulo 4 Estabilidad ante “Estiramiento”


De esta ecuación se sustituye el término AS por un Ar que ha sido definido en la

ecuación 4- 47, para un aislador de sección cuadrada.

Si la segunda hipótesis es correcta tenemos

𝑃 = 𝐺𝐴𝑟

𝜋2

𝑡𝑟2 𝐸𝐼 𝑒𝑓𝑓 4- 51

Lo podemos reescribir como

𝑃 = 𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡 𝐴𝑟

𝐴

1/2

4- 52

Donde

A = Para un aislador cuadrado seria igual a B2

Entonces tenemos 𝐷𝑐𝑟𝑖𝑡

𝑃

𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡=

𝐴𝑟

𝐴

1/2

→ 𝑃

𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

2

=𝐴𝑟

𝐴 → 𝐷𝑐𝑟𝑖𝑡 = 𝐵 − 𝐵2

𝑃

𝑃𝑐𝑟𝑖𝑡

2

4- 53

4.10 Estabilidad ante “Estiramiento”

Hasta ahora se han revisado dos tipos de inestabilidades:

a) Estabilidad de la carga de pandeo del aislador sin desplazamiento.

b) Estabilidad del aislador cuando este se encuentra bajo un

desplazamiento.

Ahora se revisara otro tipo de inestabilidad, llamado estabilidad ante

“estiramiento” esté se da en los aisladores que se encuentran anclados, esta

inestabilidad se debe a desplazamientos laterales que se encuentran en los

límites del desplazamiento máximo que el aislador puede soportar. Al igual que

en los casos anteriores hay una disminución en las propiedades de fuerza –

desplazamiento.

Debido a que el aislador no soporta tensión, el movimiento en la parte superior

e inferior se produce por un cambio en las líneas de acción de las resultantes

Capítulo 4 Estabilidad ante “Estiramiento”


de la carga vertical como se puede mostrar en la Figura 4 - 5, de igual manera

en esta figura se puede apreciar cuando se alcanza el límite de este cambio,

como podemos ver, este se alcanza cuando las resultantes de fuerza vertical

se encuentran en los límites del aislador (señalados por los círculos).

Figura 4 - 5

Cambio de las resultantes de las líneas de acción de la carga vertical y limite de cambio

El límite puede ser encontrado a través de la siguiente ecuación

𝑃 𝑏 − 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝑕𝐹𝐻 4- 54

Donde

𝑃= Carga Axial

𝑏= Ancho del aislador en caso de ser cuadrado si fuera circular puede ser el

diámetro 𝜃

𝑕= Altura del aislador

𝐹𝐻= Fuerza Lateral

𝛿𝑚𝑎𝑥 = Desplazamiento máximo DM.

Al final es desplazamiento máximo se define por la ecuación 4- 55

𝛿𝑚𝑎𝑥 =Φ

1 + 𝐾𝑝𝑕 𝑃 4- 55

Capitulo 5 Introducción


Capítulo 5 Guía de diseño de aisladores de base con ejemplos de aplicación

Capitulo 5 Introducción


5.1 Introducción

Los capítulos del 1 al 4 están llenos de teoría, esta es importante, sin embargo la

mayoría de los estudiantes encontraran que por sí sola a veces no es suficiente

para sentir que dominamos algo. En este capítulo se presenta el procedimiento que

se sigue para el diseño de los distintos tipos de aisladores así como ejemplos de

aplicación para afianzar los conocimientos.

5.2 Guía de diseño de aisladores de base

El proceso de diseño de aisladores de base es un proceso iterativo, que necesita de

parámetros de laboratorio que varían para cada uno de los tipos de aisladores,

elastoméricos o de fricción. Sin embargo para su diseño se pueden tomar ciertas

suposiciones que permiten que se pueda realizar un diseño.

En este capítulo se desarrolla una mecánica que va de lo fácil a lo que es un poco

más complejo, primero desarrollando las destrezas para el cálculo a través de

métodos lineales, de muy sencillo uso, hasta pasar a métodos que requieren más

laboriosidad. Acá se presenta una metodología para el diseño de cada tipo de

aislador, sin embargo esto no es una cadena, existen distintos tipos de criterios y se

muestran para que el lector se forme su propio criterio para el análisis y diseño.

Este capítulo se divide en 2 partes principales con sus subdivisiones como se puede

ver en la Tabla 5-1

Tabla 5 - 1 División del capítulo y subdivisiones.

Parte Ejercicios Descripción 5.2 Guía de diseño de aisladores

elastoméricos y de fricción Procedimientos para realizar el análisis y

diseño de los aisladores de base 5.3 Ejemplos de aplicación

5.3.1 Ejercicios del 1 al 1B Los ejemplos del 1 al 2A son ejemplos

para el uso del capítulo 3 de esta guía.

Los ejercicios del 3 al 3B son de diseño de

los aisladores, combina el capitulo 3 y 4

5.3.2 Ejercicios del 2 al 2A

5.3.3 Ejercicios del 3 al 3B

Capitulo 5 Guía de diseño de aisladores de base


En el análisis realizado a través de computadora utilizando programas de diseño y

análisis estructural tales como SAP2000 o ETABS para incluir los sistemas de

aislamiento deben ser calculados los parámetros del modelo bilineal para incluir la

no linealidad en el sistema de aislamiento, generalmente para estos tipos de análisis

a través de computadora se consideran como validos los análisis en tiempo –

historia, “Pushover”, y el análisis modal espectral. Habiendo dicho esto en este

capítulo se calculan únicamente los que son necesarios para el diseño manual,

utilizando el modelo de masa – resorte ya que análisis más complejos escapan del

alcance de este documento.

En los anexos de esta monografía se creó un video donde se analiza un edificio con

marcos de acero utilizando aisladores elastoméricos modelado en SAP2000, se elije

el formato de video ya que se ha considerado es un formato más fácil de seguir y

entender el procedimiento.

Capítulo 5 Guía para crear el espectro de respuesta de diseño según el ASCE 7 - 05


5.2.1 Guía para crear el espectro de respuesta de diseño según el ASCE 7 - 05

Tabla 5 - 2

Guía para crear espectro de respuesta según ASCE7 – 05

paso Descripción Ecuación

1 Se busca en anexo 3-2A y 3-2B SS y S1

2 Se convierte de Gal a % de la gravedad (g)

3 Se selecciona el tipo de suelo

4 Haciendo uso de la tabla 3-3 y 3-4 calculamos Fa y Fv

5 Se calcula SMS ecuación 3-1 𝑆𝑀𝑆 = 𝐹𝑎𝑆𝑠

6 Se calcula SM1 ecuación 3-2 𝑆𝑀1 = 𝐹𝑣𝑆1

7 Se calcula SDS ecuación 3-3 𝑆𝐷𝑆 =

2

3𝑆𝑀𝑆

8 Se calcula SD1 ecuación 3-4 𝑆𝐷1 =

2

3𝑆𝑀1

9 Se calcula Ta ecuación 3-14 𝑇𝑎 = 0.2

𝑆𝐷1

𝑆𝐷𝑠

10 Se calcula Tb ecuación 3-15 𝑇𝑏 =

𝑆𝐷1

𝑆𝐷𝑠

11 Se utilizan las ecuaciones de la tabla 3-7

Véase ejemplo de aplicación 1A

Capítulo 5 Guía para escalamiento de registros


5.2.2 Guía para escalamiento de registros

Tabla 5 - 3

Guía para escalamiento de registros

paso Descripción

1 Se siguen los pasos en la tabla 5-1 para el cálculo del espectro de respuesta de diseño.

2 Se revisan los criterios de la sección 3.2.3

3 Se multiplica, TD por 0.5 y TM por 1.5

4 Los registros no deben ser menores en 10% que el espectro de diseño multiplicado por 1.3

5 Según el periodo que se encuentre el paso 3, se utiliza la tabla 3-7 para el cálculo de Sa y se le multiplica por

1.3

6 Se calcula la suma de la raíces de los cuadrados para las componentes de cada registro

7 Se usa Excel para calcular los factores de escalamiento

8 Se verifica que para 0.5 TD y 1.5 TM cumpla con lo mencionado en el paso 4

Véase ejemplo de aplicación 1B

Capítulo 5 Guía para realizar el método de la fuerza lateral equivalente


5.2.3 Guía para realizar el método de la fuerza lateral equivalente

Tabla 5 - 4

Guía para realizar el método de la fuerza lateral equivalente

Para utilizar el método de la fuerza lateral equivalente necesitamos los valores de rigideces, amortiguamientos, sino calcularlos. También se conocen de antemano los valores de las aceleraciones espectrales, tipo de suelo.


1 Se calcula la rigidez mínima en el desplazamiento de diseño KDMIN

2 Se calcula la rigidez mínima en el desplazamiento máximo KMMIN

3 Se calcula TD ecuación 3-21 𝑇𝐷 = 2𝜋 𝑊

𝑘𝐷𝑚𝑖𝑛 𝑔

4 Se calcula DD ecuación 3-20 𝑫𝑫 =𝒈𝑺𝑫𝟏𝑻𝑫

𝟒𝝅𝟐𝜷𝑫

5 Se calcula TM ecuación 3-23 𝑇𝑀 = 2𝜋 𝑊

𝑘𝑀𝑚𝑖𝑛 𝑔

6 Se calcula DM ecuación 3-22 𝑫𝑴 =𝒈𝑺𝑴𝟏𝑻𝑴

𝟒𝝅𝟐𝜷𝑴

7 La excentricidad accidental se calcula como el 5% de la dirección más larga en planta

8 Se calcula el desplazamiento total de diseño ecuación 3-24 𝑫𝑻𝑫 = 𝑫𝑫 𝟏 + 𝒚𝟏𝟐𝒆

𝒃𝟐 + 𝒅𝟐

9 Se calcula el desplazamiento total máximo ecuación 3-25 𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀 1 + 𝑦12𝑒

𝑏2 + 𝑑2

10 Se revisa que se cumplan con las condiciones de la sección 3.2.5.2

11 Para el cálculo del coeficiente sísmico

Capítulo 5



11.1 Utilizar la ecuación 3-6 𝐶𝑆 =𝑆𝐷𝑆

𝑄𝐼

> 0.01

11.2 Revisar que se cumplan las condiciones de la tabla 3-5

12 Revisa los criterios de la tabla 3-8

Véase ejemplo de aplicación 2

Capítulo 5 Guía para calcular los valores mínimos un análisis dinámico.


5.2.4 Guía para calcular los valores mínimos un análisis dinámico.

Tabla 5 - 5

Guía para calcular valores mínimos para un análisis dinámico

Para este cálculo se necesita disponer de la información calculada a través del método de la fuerza lateral equivalente, Desplazamientos y fuerzas, así como los periodos TD y TM.

paso Descripción

1 Revisamos los criterios de la sección 3.2.3

2 Se calcula D’D ecuación 3-31 𝐷𝐷

′ =𝐷𝐷

1 + 𝑇𝑎𝑇𝐷

2

3 Se calcula D’M ecuación 3-32 𝐷𝑀

′ =𝐷𝑀

1 + 𝑇𝑎𝑇𝑀

2

4 Se calcula DTD ecuación 4-33 𝐷𝑇𝐷 = 𝐷𝐷′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2

5 Se calcula DTM ecuación 4-34 𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2

6 Se usa la tabla 3-13 para el cálculo de los valores mínimos tomando en cuenta

los criterios de la sección 3.2.6


Capítulo 5 Proceso para diseño de aisladores de base de alto amortiguaiento


5.2.5 Proceso para diseño de aisladores de base de alto amortiguaiento

Suposiciones iniciales de caracteristicas del material a ser utilizado

Analisis con el metodo de la fuerza lateral equivalente

Calculo y dimensionamientro preliminar del aislador

Calculo de valores mas aproximados

Detallamiento

Capítulo 5 Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos de alto amortiguamiento


5.2.5.1 Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos de alto amortiguamiento

Para el análisis y diseño de los aisladores elastoméricos alto amortiguamiento se requiere conocer de antemano ciertas parámetros tales el modulo de cortante y el amortiguamiento a distintos niveles de deformación

Tabla 5 - 6

Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos de alto amortiguamiento


Análisis

1 Se fija un período objetivo de 2.5 segundos

2 Se calcula una rigidez preliminar para cada tipo de aislador 𝐾 = 𝑚𝜔2

Se interpola el valor de BD para el amortiguamiento asumido. Tabla 3-2

3 Se calcula el desplazamiento de diseño ecuación 3-20 𝑫𝑫 =𝒈𝑺𝑫𝟏𝑻𝑫


4 Se supone un valor para la máxima deformación por cortante 1.5

5 Se calcula el valor del espesor de caucho tr ecuación 4-7 𝛾 =𝐷

𝑡𝑟

6 Se calcula el área de caucho requerido con la ecuación 4-27 𝑘𝑝 =𝐺𝐴𝑏

𝑡

7 Se calcula el diámetro establecemos un valor entero

8 Se vuelve a calcular el área

9 Se calculan las rigideces con los nuevos valores de área ecuación 4-27 𝑘𝑝 =𝐺𝐴𝑏

𝑡

10 Se calcula la rigidez combinada esta sería KDMIN




11 Se calcula el período con ecuación 3-21 𝑇𝐷 = 2𝜋 𝑊

𝑘𝐷𝑚𝑖𝑛 𝑔

12 Se calcula el amortiguamiento compuesto ecuación 4-33 𝐵𝑒𝑓𝑓 =𝐾𝑝𝐴𝛽𝐴 + 𝐾𝑝𝐵𝛽𝐵

𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁

13 Se calcula el valor de BD interpolando este valor de la tabla 3-2

14 Se utiliza la ecuación 3-20 para calcular el desplazamiento de diseño 𝑫𝑫 =𝒈𝑺𝑫𝟏𝑻𝑫


15 Se calcula el desplazamiento total de diseño ecuación 3-24

𝑫𝑻𝑫 = 𝑫𝑫 𝟏 + 𝒚

𝟏𝟐𝒆

𝒃𝟐 + 𝒅𝟐

16 Se calcula la fuerza lateral y se verifica a través del método la fuerza lateral

equivalente sección 3.2.5.2

17 Se calcula la rigidez para la máxima deformación utilizando la ecuación 4-27, con

el valor del modulo de cortante a esa deformación 𝑘𝑝 =

𝐺𝐴𝑏

𝑡

18 Se calcula la rigidez compuesta y esta será KMMIN

19 Se calcula el periodo máximo utilizando ecuación 3-23 𝑇𝑀 = 2𝜋 𝑊


20 Se calcula que el amortiguamiento ecuación 4-33 𝐵𝑒𝑓𝑓 =𝐾𝑝𝐴𝛽𝐴 + 𝐾𝑝𝐵𝛽𝐵

𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁

21 Se interpola de la tabla 3-2 BM



Paso Descripción Ecuación

22 Se calcula DM ecuación 3-22 𝑫𝑴 =𝒈𝑺𝑴𝟏𝑻𝑴


23 Se calcula DTM ecuación 3-25 𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀 1 + 𝑦12𝑒

𝑏2 + 𝑑2

Detallamiento

24 Se calcula el factor de forma, seleccionando como frecuencia vertical 10 hz y la

horizontal la calculada con el periodo de diseño 𝑆 =

1

6

𝑓𝑣𝑓𝐻

25 Se calcula el modulo de elasticidad considerando la compresibilidad de la goma

ecuación 4-16 𝐸𝑐 =

6𝐺𝑆2𝐾

6𝐺𝑆2 + 𝐾

26 Se calcula la rigidez vertical ecuación 4-8 𝑘𝑉 =

𝐸𝐶𝐴

𝑡𝑟

27 Se calcula el espesor de cada capa de caucho utilizando la ecuación 4-11 de

donde se despeja t (grosor individual de capa de caucho) 𝑆 =

Θ

4𝑡

28 Se calcula el número de capas y se lleva a un número entero

29 Se vuelve a calcular el grosor de cada lamina de caucho

30 Seleccionar grosor de láminas de acero que servirá para refuerzo

Véase ejemplo de aplicación 3

Capítulo 5 Proceso para diseño de aisladores de base elastoméricos con núcleo de plomo


5.2.6 Proceso para diseño de aisladores de base elastoméricos con núcleo de plomo

Se cuenta con datos iniciales o se suponen datos inicialespara el diseño

Se usan estos primeros valores para hacer calculospreliminares de las propiedades del aislador

Se itera y se corrigen valores

Utilizando dimensiones calculadas con anterioridad secalcula el area de plomo y se dimensiona el aislador

se calculan cortantes y desplazamientos.

Capítulo 5


5.2.6.1 Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo

Es recomendado que para el análisis y dimensionamiento de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo se realice con

anterioridad un diseño utilizando aislador elastomérico de alto amortiguamiento esto con el objetivo de proporcionar parámetros

que serán necesarios como guía para el correcto dimensionamiento

Tabla 5 - 7

Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo


1 Se fija el periodo objetivo en 2.5

2 Se calcula una rigidez inicial tentativa, este valor podrá ser

tomado como Keff 𝐾 = 𝑚𝜔2

3 Con el amortiguamiento se usa tabla 3-2 para calcular BD

4 Se calcula el desplazamiento de diseño preliminar ecuación 3-20 𝑫𝑫 =𝒈𝑺𝑫𝟏𝑻𝑫


5 Se calcula la energía disipada despejando la ecuación 4-23 𝛽𝑒𝑓𝑓 =2𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2=

2𝑄 𝑥 − 1 𝑘𝑝𝐷 − 𝑄

𝜋 𝑥 − 1 𝑘𝑝 𝑘𝑝𝐷 + 𝑄 𝐷

6 De la ecuación siguiente se calcula la fuerza característica

despreciando inicialmente el desplazamiento de fluencia 𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

7 Se Calcula la rigidez post fluencia despejando la ecuación 4-1 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑝 +𝑄

𝐷

8 Se calcula el desplazamiento de fluencia despejando de la

ecuación 4-22 𝐷𝑦 =

𝑄

𝑥 − 1 𝑘𝑝

Capítulo 5 Guía para el análisis y diseño de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo



9 Se vuelve a calcular la fuerza característica usando la ecuación

del paso 6, esta vez incluyendo el desplazamiento de fluencia

calculado en el paso 8

𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

10 Con este valor de la fuerza característica obtenido en el paso 9

se calcula el área de plomo necesaria con ecuación 4-19 𝑄 = 𝐴1𝑓𝑦1

11 Para el núcleo de plomo se recomiendan diámetros que oscilen

de un 15-20% del diámetro del caucho en el caso que fuera un

amortiguador de alto amortiguamiento

12

Para saber la cantidad de aisladores que requieren núcleo de

plomo se calcula el área que se obtiene con el diámetro en el

paso 11 y esta se divide entre el área de los núcleos de plomo

que se calculo en el paso 10

13 Se calcula la fuerza característica con el área determinada en el

paso 12, este valor será útil más adelante 𝑄 = 𝐴1𝑓𝑦1

Dimensionamiento

14

Se vuelve a calcular la rigidez post fluencia despejando la

ecuación 4-1 el valor de la fuerza característica puede ser el

calculado en el paso 9

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑝 +𝑄

𝐷

15 Se divide la rigidez entre la cantidad de aisladores

16 El valor de la relación de deformación por cortante es uno




17 Para el dimensionamiento del caucho se puede utilizar un paso

del 24 al 30 que se utiliza para aisladores de alto

amortiguamiento

18 Se calcula la rigidez post fluencia con la ecuación 4-1 con el

valor de la fuerza característica calculado en paso 13 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑘𝑝 +

𝑄

𝐷

19 Se calcula la energía disipada haciendo uso de la ecuación 𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

20 Se calcula el amortiguamiento ecuación 4-23, el termino de la

energía interna puede ser reemplazado por el calculado en el

paso 20



Propiedades para el máximo desplazamiento

21 Se calcula el factor de amplificación haciendo uso del anexo 5-1

22 Se multiplica el desplazamiento de diseño por el factor de

amplificación calcula en el paso 21

23

Se calcula la rigidez efectiva ecuación 4-1 utilizando el valor de

la fuerza característica calculado en paso 13, y el valor obtenido

del desplazamiento máximo en los pasos del 21 al 22.

24 Se calcula el desplazamiento de fluencia ecuación 4-22, siempre

utilizamos el valor de la fuerza característica calculado en 13 𝐷𝑦 =

𝑄

𝑥 − 1 𝑘𝑝




25 Se calcula la energía interna la misma ecuación paso 20 𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦

26 Se calcula el amortiguamiento ecuación 4-23 se interpola en la

tabla 3-2 el valor de BM 𝛽𝑒𝑓𝑓 =

2𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦


27 Se calcula el período TM ecuación 3-23 𝑇𝑀 = 2𝜋 𝑊


28 Se calcula el desplazamiento máximo ecuación 3-22 𝑫𝑴 =𝒈𝑺𝑴𝟏𝑻𝑴


29 Se calcula el desplazamiento total máximo ecuación 3-25 𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀 1 + 𝑦12𝑒

𝑏2 + 𝑑2

30 Se calculan fuerzas laterales utilizando el procedimiento de la

sección 3.2.3.3 a 3.2.3.5


Capítulo 5 Proceso para diseño de aisladores de péndulo de fricción


5.2.7 Proceso para diseño de aisladores de péndulo de fricción

Tabla 5 - 8 Guía para el análisis y diseño de aisladores de péndulo de fricción


1 TD= 2.5 segundos; TM= 3.0 segundos.

2 Se calcula KDMIN con la ecuación 𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁 = 𝑚

2𝜋

𝑇𝐷

2

3 Se calcula KMMIN con la ecuación 𝐾𝑀𝑀𝐼𝑁 = 𝑚

2𝜋

𝑇𝑀

2

4 Se calcula KDMAX, multiplicando por (1.15/0.85) 𝐾𝐷𝑀𝐴𝑋 = 1.15

0.85 𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁

5 Se calcula KMMAX, multiplicando por (1.15/0.85) 𝐾𝑀𝑀𝐴𝑋 = 1.15

0.85 𝐾𝐷𝑀𝐼𝑁

6 Se calculan aceleraciones espectrales siguiendo la sección

3.2.2.2

7 Se calculan desplazamientos siguiendo la tabla 3-10

8 Se calculan cortantes según sección 3.2.2.3 – 3.2.2.4

Dimensionamiento

9 El radio se calcula con la ecuación 𝑅 =

𝑔𝑇𝐷2

2𝜋 2

Capítulo 5 Proceso para diseño de aisladores de péndulo de fricción



10 La rigidez efectiva se calcula con la ecuación 4-37 𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑐

1

𝑅+

𝜇𝑠𝐷𝐷

11 El amortiguamiento se calcula con la ecuación 4-39 𝛽𝑒𝑓𝑓 =

4𝐷𝐷𝜇𝑠𝑃𝑐

2𝜋 𝑃𝑐 1𝑅

+𝜇𝑠𝐷𝐷

𝐷𝐷2

=2𝜇𝑠

𝜋 𝐷𝐷𝑅

+ 𝜇𝑠

Véase ejemplo de aplicación 3B

Capítulo 5 Ejemplos de Aplicación 1 – 1B


5.3.1 Ejemplos de Aplicación 1 – 1B

Esta sección se encuentra comprendida por 3 ejemplos de aplicación. El ejemplo de

aplicación 1 es la teoría comprendida en el capítulo 2 en forma de ejercicio. Se

presenta de manera bastante detallada las consideraciones que se tienen en cuenta

al momento de hacer un análisis modal.

A partir del ejemplo de aplicación 1A en el que se busca calcular el espectro de

diseño según el ASCE 7 – 05, se comienza a abarcar el capítulo 3 de la monografía.

Para esto se tiene que partir de lo más básico como es el uso de los mapas en los

anexos 3-2A y 3-2B hasta el cálculo de los puntos del espectro.

Se considera importante incluir esto pues es parte fundamental del procedimiento

que se sigue en el ASCE 7-05 es parte de algo nuevo al menos en el entorno

nacional.

El ejemplo de aplicación 1B presenta lo relacionado al espectro de diseño y al

escalamiento de los registros, para ser usados en un análisis dinámico o de tiempo

historia en una estructura aislada sísmicamente.

Para este ejercicio se hace uso de una hoja de cálculo debido a la cantidad de

iteraciones que se tienen que hacer para encontrar los coeficientes adecuados para

que se encuentren los valores que son requeridos para el análisis.

Capítulo 5 Ejemplo de Aplicación 1 – Análisis Modal


5.3.1.1 Ejemplo de Aplicación 1 – Análisis Modal

Enunciado del problema

Una estructura aislada sísmicamente, de un nivel, ya idealizada, tiene una masa en

el techo de 5k-S2/in (876.4x103 kg). La masa del piso, el cual se encuentra

inmediatamente encima del sistema de aislamiento, es de 4k – S2/in (700x103 kg)

La rigidez de la superestructura. kS= 5000k/in (875.6kN/mm) con un

amortiguamiento 𝛽2=0.02, el sistema de aislamiento tiene una rigidez Kb= 80.0k/in

(1.4kN/mm) con un amortiguamiento 𝛽1=0.15.

Determine

1. Periodo del Sistema

2. Determine la matriz modal

3. Derive el desplazamiento relativo y la aceleración.

Figura 5- 1 Estructura y sistema de aislamiento

Solución del problema

De la información de la Figura 5-1, podemos utilizar la ecuación 2-24 y 2-26 que son

reescritas para conveniencia

Sistema Aislamiento

ks=5000 k/in

Kb=80 k/in



𝑀 =

𝑚1 0 0 0 0

𝑚2 0 0 0

⋱ ⋮𝑚𝑚 … 0 0

⋱𝑚𝑛−1

𝑚𝑛

2- 24

𝐾 =

𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0 0 0

𝑘2 + 𝑘3 0 0 0

⋱ ⋮𝑘𝑚 + 𝑘𝑚+1 … 0 0

⋱𝑘𝑛−1 + 𝑘𝑛 −𝑘𝑛

𝑘𝑛

2- 26

Llenando las ecuaciones con los valores obtenidos de la grafica tenemos

𝑀 = 𝑚1 00 𝑚2

= 4 00 5

a 𝐾 = 𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2

−𝑘2 𝑘2 =

5080 −5000−5000 5000

b

Utilizamos la ecuación 𝐾 − 𝜔2 𝑀 = 0, al obtener su determinante podemos

encontrar la frecuencia circular esta operación la podemos ver c

𝐾 − 𝜔2 𝑀 = 5080 − 4𝜔2 −5000−5000 5000 − 5𝜔2 = 20𝜔4 − 4.54𝑥104𝜔2+4x105=0 c

Asumiendo que 𝜔 = 𝜔2 podemos reescribir la ecuación como aparece en d y

resolvemos a través de la formula general, y en la tabla 5-8 podemos ver el resumen

de los resultados encontrados

20𝜔2 − 4.54𝑥104𝜔+4x105=0 d Tabla 5 - 9

Resultados obtenidos del calculo de la frecuencia circular ejercicio aplicación 1

Relacionado Dato calculado Frecuencia (rad/s) Periodo (s)

𝜔 𝑇 =2𝜋

𝜔

Primer Modo 𝜔12 = 8.845 2.974 2.113

Segundo Modo 𝜔22 = 2261.155 47.552 0.132

1



Hasta aquí completamos la primera parte que es encontrar los periodos para cada

modo del sistema.

Ahora para encontrar la matriz modal asumimos que los modos que corresponden a

la primera y segunda frecuencia se pueden expresar como se expresa en e.

Φ 1 = 𝜙1,1

𝜙2,1 , Φ 2 =

𝜙1,2

𝜙2,2 e

Para 𝜔12 = 8.845

5080 − 4 8.845 −5000

−5000 5000 − 5 8.845 𝜙1,1

𝜙2,1 =

00 e

Reescribiendo el sistema de ecuaciones en f tenemos

5045𝜙1,1 − 5000𝜙2,1 = 0

−5000𝜙1,1 + 4956𝜙2,1 = 0 f

Para 𝜔22 = 2261.155

5080 − 4 2261.155 −5000

−5000 5000 − 5 2261.155 𝜙1,2

𝜙2,2 =

00 g

Para f asumimos un valor unitario para 𝜙2,1 y para el resultado de g suponemos un

valor unitario para 𝜙1,2, de esto obtenemos h, la que sería la matriz modal.

Φ = 0.9912 1

1 −0.7929 h

Como hemos venido haciendo hasta ahora, para encontrar la respuesta que

buscamos primero tenemos que calcular valores como la frecuencia circular para los

periodos y esta misma la podíamos utilizar para calcular los modos para cada

frecuencia.

De esta misma forma para encontrar el punto 3 necesitamos saber que se cumplan

los criterios que han sido establecidos en el capítulo 2.

Φ 1𝑇 𝑀 Φ 1 = 𝜙1,1 𝜙2,1

𝑚1 00 𝑚1

𝜙1,1

𝜙2,1 i

2



Φ 1𝑇 𝑀 Φ 1 = 0.9912 1

4 00 5

0.9912

1 = 𝟖.𝟗𝟐𝟗𝟗

Φ 2𝑇 𝑀 Φ 2 = 𝜙1,2 𝜙2,2

𝑚1 00 𝑚1

𝜙1,2

𝜙2,2 j

Φ 2𝑇 𝑀 Φ 2 = 1 − 0.7929

4 00 5

1

−0.7929 = 𝟕.𝟏𝟒𝟑𝟓

Φ 𝑇 𝑀 Φ = 8.9299 0

0 7.1435 k

Φ 𝑇 𝑀 Φ −1 =

1

8.92990

01

7.1435

l

De acuerdo a la ecuación 2-35

Φ 𝑇 𝐾 Φ

Φ 𝑇 𝑀 Φ =

𝜔1

2 0 0 0

𝜔22 0 0 0

⋱ ⋮𝜔𝑚

2 … 0 0

⋱𝜔𝑛−1

2

𝜔𝑛2

= 𝜔2 2- 35

Tenemos que esto es igual a 𝜔2 esto lo vemos en m

= 0.9912 1.0

1.0 −0.7929

5080 −5000−5000 5000

0.9912 1.0

1.0 −0.7929

1

8.92990

01

7.1435

= 8.845 0

0 2261.155

m



Ahora procedemos a verificar si se cumple 2.34

Φ 𝑇 𝐶 Φ

Φ 𝑇 𝑀 Φ =

2𝛽1𝜔1 0 0 0

2𝛽2𝜔2 0 0 0

⋱ ⋮2𝛽𝑚𝜔𝑚 … 0 0

⋱2𝛽𝑛−1𝜔𝑛−1

2𝛽𝑛𝜔𝑛

= 2𝜔𝑏𝛽𝑏 2- 34

Si sustituimos los valores que tenemos para 𝛽 y 𝜔 los cuales se pueden obtener de

la Figura 5-1

Φ 𝑇 𝐶 Φ

Φ 𝑇 𝑀 Φ =

2 0.15 2.974 00 2 0.02 47.552

= 0.8922 0

0 1.9021 n

Los factores de participación han sido definidos por la ecuación 2-36

Γ = Φ 𝑇 𝑀 1

Φ 𝑇 𝑀 Φ 2- 36

Se calculan así

Γ1 = Φ 1

𝑇 𝑀 1

Φ 1𝑇 𝑀 Φ 1

= 0.9912 1 4 00 5

11

1

8.9299= 1.0039 O

Γ2 = Φ 2

𝑇 𝑀 1

Φ 2𝑇 𝑀 Φ 2

= 1 −0.7929 4 00 5

11

1

7.1435= 0.0050

P

Sustituyendo los datos que encontramos en los cálculos que hemos realizado en la

ecuación 2-38

𝑥 ′𝑚 + 2𝛽𝜔 𝑥 ′ + 𝜔2 𝑥′ = −Γ𝑥 𝑔 2- 38

Tenemos

𝑥 1′ + 0.8992𝑥 1

′ + 8.845𝑥1′ = −1.0039𝑥 𝑔 q

𝑥 2′ + 1.9021𝑥 2

′ + 8.845𝑥2′ = −0.050𝑥 𝑔 r

El valor de x’ ha sido definido por la integral de Duhamel tal como aparece en la

ecuación 2-41 que es la solución de la ecuación 2-38



𝑥′𝑚 𝑡 = −1

𝜔𝑚Γm 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−𝛽𝑏𝜔𝑏 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑚 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑚 = 1,… ,𝑛𝑡

0

2- 41

De esta manera sustituyendo los valores en la ecuación 2-41 tenemos

𝑥′1 𝑡 = −0.3375 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒−0.4461 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

s

𝑥′2 𝑡 = −0.0001 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒−0.951 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 47.552 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

t

Sustituyendo los componentes 𝑥′1 𝑡 y 𝑥′2 𝑡 en la ecuación 2-30

𝑥 = Φ 𝑥′ 2- 30

𝜙1,1𝑥1′ (𝑡) = −0.3346 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.4461 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

s

𝜙2,1𝑥1′ 𝑡 = −0.3375 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.4461 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

t

𝜙1,2𝑥2′ (𝑡) = −0.0.001 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.951 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 47.552 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

u

𝜙2,2𝑥2′ (𝑡) = 0.0001 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.951 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 47.552 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

v

Como se puede observar los desplazamientos del primer modo son los únicos que

tienen valores los suficientemente altos para ser tomados en consideración,

analizando esta información se puede interpretar que el desplazamiento se da

mayormente en el sistema de aislamiento y las deformaciones en la superestructura

son mínimas.

Para el cálculo de los desplazamientos decimos que 𝑥1 𝑡 corresponde al

desplazamiento inmediatamente encima del sistema de aislamiento y 𝑥2 𝑡 es el

desplazamiento que existe en la azotea del edificio esto lo podemos calcular con w

y x

3.1



𝑥1 𝑡 = 𝜙1,1𝑥1′ 𝑡 + 𝜙1,2𝑥2

′ (𝑡) w

𝑥2 𝑡 = 𝜙2,1𝑥1′ 𝑡 + 𝜙2,2𝑥2

′ (𝑡) x

Ya que los valores que obtenemos de 𝜙1,2𝑥2′ 𝑡 y de 𝜙2,2𝑥2

′ (𝑡) son prácticamente

nulos podemos dejar estos valores en función de las respuestas que ya hemos

calculado en s y t.

Para calcular la aceleración inmediatamente encima del sistema de aislamiento

𝑥 1 𝑡 y en el techo 𝑥 2 𝑡 lo que correspondería al último inciso para este problema

se calcula la segunda derivada del desplazamiento que hemos calculado en s y t. de esta manera tenemos las aceleraciones

𝑥 1′ 𝑡 = 2.8928 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.4461 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

+ 0.8879 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒−0.4461 𝑡−𝜏 𝑐𝑜𝑠 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

y

𝑥 2′ 𝑡 = 2.9178 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒

−0.4461 𝑡−𝜏 𝑠𝑒𝑛 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 𝑡

0

+ 0.8956 𝑥 𝑔 𝜏 𝑒−0.4461 𝑡−𝜏 𝑐𝑜𝑠 2.974 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

𝑡

0

z

3.2

Capítulo 5 Ejemplo de Aplicación 1A – Espectro Diseño ASCE 7 – 05


5.3.1.2 Ejemplo de Aplicación 1A – Espectro Diseño ASCE 7 –

05


Grafique un espectro de respuesta utilizando los mapas de aceleraciones

espectrales en el anexo 3 – 2A y 3 – 2B. Suponga

A. Una estructura ubicada en una zona donde SS = 2000 Gal y S1 = 500 Gal

B. Una estructura ubicada en una zona donde SS = 500 Gal y S1 = 150 Gal


La conversión de unidades de Gal a % de g lo podemos hacer a través de una

pequeña relación

1 Gal = 0.01m/s2 = (0.01m/s2)/(9.81m/s2)=0.001019

De esta manera con este valor de 0.001019 podemos pasar de Gal a valores de

aceleración en función de g.

Tabla 5 - 10

Conversión de Gal

A B

SS 2.03873598 SS 0.509684

S1 0.509684 S1 0.1529052

Haciendo uso de la Tabla 3-3 y Tabla 3-4, se calculan los valores de Fa y Fv para A)

y B).

Para los valores propuestos de Ss y S1, se supone que para A) la zona se ubica en

el pacifico del país proponemos un tipo de suelo II

Para los valores propuestos de Ss y S1 de igual manera se supone para B) en este

caso se concluye que estos valores se encuentran predominantemente en la zona

atlántica de nuestro país y se utilizan valores de tipo de suelo III

Capítulo 5 Ejemplo de Aplicación 1A – Espectro Diseño ASCE 7 – 05


En la Tabla 5 - 11 están los valores que se encontraron, hay que hacer notar que

aquí para encontrar el valor de Fv para B) se uso interpolación lineal. Lo cual está

permitido en los casos que los valores de SS o S1 sean valores intermedios.

Haciendo uso de las ecuaciones de 3 – 1 a 3 - 4, en la sección 3.2.2.2 se calculan

las aceleraciones espectrales. Para el cálculo del espectro de respuesta se toma en

cuenta la sección 3.2.2.5 Tabla 3 – 7.

Resumido en la Tabla 5-11 se encuentran los cálculos realizados

Para el cálculo de los valores de Ta y Tb según la sección 3.2.2.5 ecuaciones 3 – 14

y 3 – 15

Tabla 5 - 11 Valores de Fa y Fv Ejemplo Aplicación 1A.

A B

Fa 1.0 Fa 1.4

Fv 1.3 Fv 2.2

Tabla 5 - 12

Calculo de SMS, SM1 SDS Y SD1 Ejemplo de Aplicación 1A.

SMS y SM1

A B

𝑺𝑴𝑺 = 𝑭𝒂𝑺𝑺 = 𝟏.𝟎 𝟐.𝟎𝟒 = 2.04 𝑺𝑴𝑺 = 𝑭𝒂𝑺𝑺 = 𝟏.𝟒 𝟎.𝟓𝟏 = 0.71

𝑺𝑴𝟏 = 𝑭𝒗𝑺𝟏 = 𝟏.𝟑 𝟎.𝟓𝟏 = 0.66 𝑺𝑴𝟏 = 𝑭𝒗𝑺𝟏 = 2.2 𝟎.𝟏𝟓 = 0.33

SDS y SD1

𝑺𝑫𝑺 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝑺 = 𝟐 𝟑 𝟐.𝟎𝟒 1.36 𝑺𝑫𝑺 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝑺 = 𝟐 𝟑 𝟎.𝟕𝟏 0.47

𝑺𝑫𝟏 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝟏 = 𝟐 𝟑 𝟎.𝟔𝟔 0.44 𝑺𝑫𝟏 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝟏 = 𝟐 𝟑 𝟎.𝟑𝟑 0.22

Tabla 5 - 13 Ta y Tb para Ejemplo Aplicación 1A.

A B

𝑻𝒂 = 𝟎.𝟐𝑺𝑫𝟏

𝑺𝑫𝑺

= 𝟎.𝟐𝟎.𝟒𝟒

𝟏.𝟑𝟔 0.06 𝑻𝒂 = 𝟎.𝟐

𝑺𝑫𝟏

𝑺𝑫𝑺

= 𝟎.𝟐0.22

0.47 0.09

𝑻𝒃 =𝑺𝑫𝟏

𝑺𝑫𝑺

=𝟎.𝟒𝟒

𝟏.𝟑𝟔 0.32 𝑻𝒃 =

𝑺𝑫𝟏

𝑺𝑫𝑺

=0.22

0.47 0.46

Capítulo 5


Figura 5- 2 Espectro de respuesta Caso A vs Caso B Ejemplo aplicación 1A

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0.0

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9 3

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

Ace

lera

cio

ne

s Es

pe

ctra

les

CasoA vs CasoB

CASO A

CASO B

Capítulo 5


5.3.1.3 Ejemplo de aplicación 1B – Escalamiento.


Una estructura aislada sísmicamente será construida sobre un suelo tipo III. El

periodo efectivo TD = 2.5 segundos y el periodo efectivo en el máximo

desplazamiento TM=2.6 segundos, para este ejercicio se supondrá un valor de

periodo largo Tc = 6.0 segundos.

Debido a que el edificio es bastante irregular se hará un estudio de respuesta en el

tiempo. Se seleccionan 3 registros de movimiento del terreno, de los mapas de

aceleraciones espectrales tenemos un SS=2.0 y S1=1.0

Determine

1. El espectro de respuesta

2. El factor de escalamiento para cada registro de movimientos del terreno

Tabla 5 - 14 Tabla de registro de movimientos del terreno.

(1) 1992 Landers (2) 1989 Loma prieta (3) 1989 Loma Prieta

hollister

Joshua Tree Gilroy Array City Hall

T C1 C2 C1 C2 C1 C2

0.01 0.713 0.742 1.226 0.783 0.815 0.392

0.10 0.764 1.021 2.908 1.932 0.842 0.527

0.15 0.868 1.104 3.540 2.129 0.954 0.855

0.20 0.989 1.347 4.384 3.132 1.335 0.709

0.30 1.836 1.932 2.240 2.646 1.881 0.963

0.40 1.945 1.217 2.382 1.031 1.386 0.914

0.50 1.739 1.097 2.260 1.540 2.585 1.535

0.60 1.450 1.575 1.538 1.062 2.175 0.896

0.70 1.737 2.616 1.124 0.902 2.147 0.889

0.70 1.763 2.250 1.063 1.053 2.214 0.824

0.75 1.722 1.763 1.082 0.936 2.251 0.736

0.80 1.657 1.473 0.817 0.851 2.062 0.640

0.90 1.042 1.372 0.586 0.829 2.199 0.799

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 1B – Escalamiento.


1.00 1.204 1.664 0.408 0.843 1.920 0.951

1.10 1.378 1.495 0.348 0.843 1.509 0.889

1.20 1.258 1.670 0.319 0.845 1.325 0.791

1.25 1.153 1.251 0.290 0.842 1.242 0.647

1.40 0.676 1.074 0.330 0.821 1.156 0.451

1.50 0.562 0.964 0.378 0.776 1.090 0.386

1.60 0.495 0.941 0.327 0.768 1.026 0.406

1.70 0.494 0.811 0.266 0.736 1.108 0.359

1.80 0.464 0.705 0.198 0.695 1.097 0.374

1.90 0.379 0.608 0.161 0.687 0.986 0.346

2.00 0.344 0.492 0.164 0.658 0.835 0.312

2.20 0.274 0.630 0.150 0.563 0.670 0.342

2.40 0.250 0.398 0.118 0.506 0.553 0.281

2.60 0.213 0.471 0.123 0.425 0.486 0.292

2.80 0.190 0.459 0.136 0.349 0.436 0.307

3.00 0.121 0.306 0.132 0.282 0.390 0.251

3.20 0.095 0.286 0.144 0.226 0.347 0.203

3.25 0.099 0.300 0.143 0.214 0.337 0.209

3.40 0.108 0.284 0.130 0.181 0.306 0.213

3.60 0.109 0.230 0.114 0.159 0.268 0.180

3.80 0.127 0.191 0.100 0.142 0.235 0.161

4.00 0.109 0.192 0.098 0.128 0.205 0.212

T = Periodo C 1 = Componente 1 C 2 = Componente 2


Primero, basándonos en la información proporcionada se hará el gráfico del

espectro de respuesta, haciendo uso de las tablas 3-3 y 3-4 se encuentra un valor

Fa=1 y Fv=1.5, como se hizo en ejemplo de aplicación 1A, se procede a elaborar

una pequeña tabla donde se resumen los resultados del cálculo

Tabla 5 - 15 Calculo de SMS, SM1 SDS Y SD1 Ejemplo de Aplicación 2A.

𝑺𝑴𝑺 = 𝑭𝒂𝑺𝑺 = 𝟏.𝟎 𝟐.𝟎𝟎 = 2.00

𝑺𝑴𝟏 = 𝑭𝒗𝑺𝟏 = 𝟏.𝟓 𝟏.𝟎𝟎 = 1.50

𝑺𝑫𝑺 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝑺 = 𝟐 𝟑 𝟐.𝟎𝟒 1.33

𝑺𝑫𝟏 = 𝟐 𝟑 𝑺𝑴𝟏 = 𝟐 𝟑 𝟎.𝟔𝟔 1.00



Con estos datos se calculan los valores correspondientes a Ta, Tb, con las

ecuaciones 3-14 y 3-15, Tc es un valor dado y este no se calcula

𝑇𝑎 = 0.21

1.33= 0.15 𝑠𝑒𝑔

a

𝑇𝑏 =1

1.33= 0.75 𝑠𝑒𝑔

b

Haciendo uso de las ecuaciones de la tabla 4-7 se grafica el espectro de respuesta

para esta estructura como se puede ver en la Figura 5-3, en este no se grafica la

parte que corresponde hasta Tc= 6.0 segundos, ya que no tiene una utilidad real.

Figura 5- 3 Espectro de diseño según ASCE 7- 05 ejercicio 1B.

Para el escalamiento se revisa la sección 3.2.3.3 donde hace mención que el factor

de escala se determina entre 0.5 TD y 1.25 TM y que este no debe dar espectros

menores en 10% el espectro de diseño multiplicado por 1.3.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ace

lera

cio

n

Periodo

Espectro de diseño ejercicio 2A



Cálculo del intervalo

0.5𝑇𝐷 = 2.5 ∗ 0.5 = 1.25 𝑠𝑒𝑔 a

1.25𝑇𝑀 = 2.6 ∗ 1.25 = 3.25 𝑠𝑒𝑔 b

A continuación se muestra una forma de cómo se puede calcular el factor de

escalamiento para cada registro de movimientos. Ya que este intervalo ocurre entre

1.25 y 3.25 segundos la ecuación que puede utilizarse para el cálculo de las

aceleraciones es 3-12

𝑆𝑎 =𝑆𝐷1

𝑇=

1.0

3.25= 0.308−→ 1.3𝑆𝑎 = 0.40

c

En c, el valor de la aceleración espectral a 3.25 segundos es multiplicada por el 1.3

que se encuentra en la sección 3.2.3.3

Una vez conseguido esto se procede a calcular los valores de las aceleraciones

para cada uno de los registros que se tienen, recordando que se deben combinar

las componentes de los espectros a través del método SRSS (raíz cuadrada de la

suma de los cuadrados), de esta manera para (1) (2) y (3) en d

𝑆𝑎(1) = 0.099 2 + 0.300 2 = 0.316 d

𝑆𝑎(1) = 0.143 2 + 0.214 2 = 0.257

𝑆𝑎(1) = 0.337 2 + 0.209 2 = 0.396

Haciendo uso de una tabla en Excel se calculan los factores de escalamiento para

que se cumpliera la condición de que el espectro de respuesta promedio para

0.50TD y 1.25 TM no debe ser menor que el 10% del espectro de diseño

multiplicado por 1.3



Tabla 5 - 16 Respuestas del terreno multiplicadas por su factor de escalamiento

1 2 3

AVG

SRSS 1.3SA 0.9Sa

T C1 C2 SRSS C1 C2 SRSS C1 C2 SRSS

0.01 0.763 0.794 1.101 1.042 0.666 1.236 1.117 0.537 1.239 1.192 0.761 0.685

0.10 0.817 1.092 1.364 2.472 1.642 2.968 1.154 0.722 1.361 1.898 1.381 1.243

0.15 0.929 1.181 1.503 3.009 1.810 3.511 1.307 1.171 1.755 2.256 1.726 1.554

0.20 1.058 1.441 1.788 3.726 2.662 4.580 1.829 0.971 2.071 2.813 1.729 1.556

0.30 1.965 2.067 2.852 1.904 2.249 2.947 2.577 1.319 2.895 2.898 1.729 1.556

0.40 2.081 1.302 2.455 2.025 0.876 2.206 1.899 1.252 2.275 2.312 1.729 1.556

0.50 1.861 1.174 2.200 1.921 1.309 2.325 3.541 2.103 4.119 2.881 1.729 1.556

0.60 1.552 1.685 2.291 1.307 0.903 1.589 2.980 1.228 3.223 2.367 1.729 1.556

0.70 1.859 2.799 3.360 0.955 0.767 1.225 2.941 1.218 3.184 2.590 1.729 1.556

0.75 1.886 2.408 3.059 0.904 0.895 1.272 3.033 1.129 3.236 2.522 1.729 1.556

0.80 1.843 1.886 2.637 0.920 0.796 1.216 3.084 1.008 3.245 2.366 1.625 1.463

0.90 1.773 1.576 2.372 0.694 0.723 1.003 2.825 0.877 2.958 2.111 1.444 1.300

1.00 1.115 1.468 1.843 0.498 0.705 0.863 3.013 1.095 3.205 1.971 1.300 1.170

1.10 1.288 1.780 2.198 0.347 0.717 0.796 2.630 1.303 2.935 1.976 1.182 1.064

1.10 1.474 1.600 2.176 0.296 0.717 0.775 2.067 1.218 2.399 1.783 1.083 0.975

1.20 1.346 1.787 2.237 0.271 0.718 0.768 1.815 1.084 2.114 1.706 1.040 0.936

1.25 1.234 1.339 1.820 0.247 0.716 0.757 1.702 0.886 1.919 1.499 1.000 0.900

1.40 0.723 1.149 1.358 0.281 0.698 0.752 1.584 0.618 1.700 1.270 0.929 0.836

1.50 0.601 1.031 1.194 0.321 0.660 0.734 1.493 0.529 1.584 1.171 0.867 0.780

1.60 0.530 1.007 1.138 0.278 0.653 0.710 1.406 0.556 1.512 1.120 0.813 0.731

1.70 0.529 0.868 1.016 0.226 0.626 0.665 1.518 0.492 1.596 1.092 0.765 0.688

1.80 0.496 0.754 0.903 0.168 0.591 0.614 1.503 0.512 1.588 1.035 0.722 0.650

1.90 0.406 0.651 0.767 0.137 0.584 0.600 1.351 0.474 1.432 0.933 0.684 0.616

2.00 0.368 0.526 0.642 0.139 0.559 0.576 1.144 0.427 1.221 0.813 0.650 0.585

2.20 0.293 0.674 0.735 0.128 0.479 0.495 0.918 0.469 1.031 0.754 0.591 0.532

2.40 0.268 0.426 0.503 0.100 0.430 0.442 0.758 0.385 0.850 0.598 0.542 0.488

2.60 0.228 0.504 0.553 0.105 0.361 0.376 0.666 0.400 0.777 0.569 0.500 0.450

2.80 0.203 0.491 0.532 0.116 0.297 0.318 0.597 0.421 0.731 0.527 0.464 0.418

3.00 0.129 0.327 0.352 0.112 0.240 0.265 0.534 0.344 0.635 0.417 0.433 0.390

3.20 0.102 0.306 0.322 0.122 0.192 0.228 0.475 0.278 0.551 0.367 0.406 0.366

3.25 0.106 0.321 0.338 0.122 0.182 0.219 0.462 0.286 0.543 0.367 0.400 0.360

3.40 0.116 0.304 0.325 0.111 0.154 0.189 0.419 0.292 0.511 0.342 0.382 0.344

3.60 0.117 0.246 0.272 0.097 0.135 0.166 0.367 0.247 0.442 0.294 0.371 0.334



Como se puede observar para 1.25 segundos se podría decir que se cumple con la

condición con cierta holgura pero para 3.25 segundos la condición se cumple con un

margen bastante cerrado, aun así esto se considera satisfactorio

Con estos datos se pueden construir las curvas de aceleración del terreno y también

el espectro de respuesta de diseño multiplicado por 1.3 esto puede apreciarse en la

figura 5-4

Figura 5- 4 Registro de movimientos del terreno escalado y espectro de respuesta multiplicado 1.3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0.01 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.75 0.8 0.9 1 1.1 1.1 1.2 1.25 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.25 3.4 3.6

Ace

lera

cio

ne

s

Registros escalados

1

2

3

AVG

1.3 Sds

Capítulo 5 Ejemplos de aplicación 2 – 2A.


5.3.2 Ejemplos de aplicación 2 – 2A.

En estos ejemplos de aplicación se continúa aplicando la teoría detallada en el

capítulo 3, sin embargo se hace más énfasis en el método de la fuerza lateral

equivalente.

El ejercicio 2, contiene un ejercicio donde se calculan todos los requisitos que una

estructura debe cumplir por el método de la fuerza lateral equivalente, dominar el

método requiere de práctica.

El ejemplo 2A es solamente un pequeño ejercicio de uso de los criterios que deben

ser tomados en cuenta al momento de realizar un análisis dinamico.

5.3.2.1 Ejemplo de aplicación 2 – Método de la fuerza lateral

equivalente.


Un edificio de 4 niveles clasificado como una estructura perteneciente al grupo A,

ubicado en el pacifico, tiene 64 ft (19.52m) de altura con pisos iguales de 16 ft

(4.88m). Las dimensiones mayores y menores en planta son 240 ft (73.2m) y 150 ft

(45.75m) respectivamente.

El peso sísmico efectivo de la estructura sobre el sistema de aislamiento es

aproximadamente 24,000 kips (106.74 MN). No hay irregularidades horizontales o

verticales en el edificio.

Como dato se da una excentricidad, e. entre el centro de masa de la estructura y el

centro de rigidez del sistema de aislamiento de 2 ft (609.6mm)

El sistema de aislamiento consiste en 20 aisladores de 32” y 34 aisladores de 38”.

Las propiedades de estos aisladores aparecen reflejadas en la tabla 5-17

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 2 – Método de la fuerza lateral equivalente.


Tabla 5 - 17 Características mecánicas de los aisladores de 32” y 34”

Características Unidad medida 32” (813 mm) (Aislador tipo

A)

34” (965 mm) (Aislador tipo

B)

𝑲𝑫𝑴𝒊𝒏 k/plg kN/mm 5.63 0.986 7.44 1.303

𝑫𝒚𝑴𝒊𝒏 plg mm 2.0 51 2 51

𝑲𝒆𝑴𝒊𝒏 k/plg kN/mm 11.93 2.089 13.54 2.371

𝑲𝒑𝑴𝒊𝒏 k/plg kN/mm 4.40 0.771 6.25 1.094

𝑲𝑫𝑴𝒂𝒙 k/plg kN/mm 6.75 1.182 8.19 1.434

𝑫𝒚𝑴𝒂𝒙 Plg mm 2.0 51 2 51

𝑲𝒆𝑴𝒂𝒙 k/plg kN/mm 14.32 2.508 16.23 2.842

𝑲𝒑𝑴𝒂𝒙 k/plg kN/mm 5.28 0.925 7.49 1.312

𝑲𝑴𝑴𝒊𝒏 k/plg kN/mm 5.25 0.919 6.94 1.215

𝑲𝑴𝑴𝒂𝒙 k/plg kN/mm 6.42 1.124 8.48 1.485

La muestra el modelo bilineal del aislador de a) 32” y b) 38”

El sitio tiene una aceleración espectral SM1=0.66 y SD1=0.44, SDS=1.36, el

amortiguamiento del aislador de base es del 10%, la fuerza de viento no es

dominante por lo tanto puede ser obviada, la excentricidad accidental puede

considerarse como el 5% de la mayor longitud en planta

Figura 5- 5 Modelo bilineal de unidades de aislamiento de 32” y 38”.

Fuerza, F Fuerza, F

Desplazamiento

, D

Desplazamiento

, D



A partir de la información anterior:

1. Use el método de la fuerza lateral equivalente para determinar el

desplazamiento total de diseño 𝐷𝑇𝐷 y el desplazamiento total máximo 𝐷𝑇𝑀

2. Calcule la mínima fuerza lateral por encima y por debajo de la interfaz de

aislamiento.

3. Revise si las suposiciones para el método de la fuerza lateral equivalente son

validas o no.


Para el cálculo del desplazamiento total de diseño 𝐷𝑇𝐷 y el desplazamiento total

máximo 𝐷𝑇𝑀 . Se utilizan la rigideces mínimas así utilizamos 𝐾𝐷𝑀𝑖𝑛 y 𝐾𝑀𝑀𝑖𝑛

respectivamente, estos valores están resumidos en Tabla 5 - 17.

5.3.2.1.1 Desplazamientos

Se procede a calcular las rigideces mínimas para 𝐷𝑇𝐷 𝑦 𝐷𝑇𝑀 .

La Tabla 3-10 de la sección 3.2.5.1 resume los cálculos que se tienen que realizar

para el cálculo de los desplazamientos 𝐷𝑇𝐷 y 𝐷𝑇𝑀 , estos están definidos por las

ecuaciones 3-24 y 3-25


𝑫𝑻𝑫 = 𝑫𝑫 𝟏 + 𝒚𝟏𝟐𝒆

𝒃𝟐 + 𝒅𝟐 3-24

𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀 1 + 𝑦12𝑒

𝑏2 + 𝑑2 3-25

Para el cálculo de los otros valores se utilizan las ecuaciones de la 3-20 a la 3-23

que se encuentran en la misma tabla 3-10, a continuación se escriben las

ecuaciones ya con las variables sustituidas para el cálculo de los datos necesarios

para calcular DTD y DTM.

Tabla 5 - 18 Rigideces mínimas para el calculo de DTD y DTM

𝑲𝑫𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝟎 𝟓.𝟔𝟑 + 𝟑𝟒 𝟕.𝟒𝟒 = 𝟑𝟔𝟓.𝟓𝟔 𝒌/𝒊𝒏 a

𝑲𝑴𝒎𝒊𝒏 = 𝟐𝟎 𝟓.𝟐𝟓 + 𝟑𝟒 𝟔.𝟗𝟒 = 𝟑𝟒𝟎.𝟗𝟔 𝒌/𝒊𝒏 b



Tabla 5 - 19 Desplazamientos y periodos mínimos utilizando el procedimiento de la fuerza lateral equivalente ejemplo de aplicación 2

Periodo efectivo en el desplazamiento de

diseño Desplazamiento de Diseño

𝑻𝑫 = 𝟐𝝅 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎

𝟑𝟔𝟓.𝟓𝟔 𝟑𝟖𝟔.𝟒 = 𝟐.𝟓𝟗 𝒔 c 𝑫𝑫 =

𝟑𝟖𝟔.𝟏 𝟎.𝟒𝟒 𝟐.𝟓𝟗

𝟒𝝅𝟐 𝟏.𝟐 = 𝟗.𝟐𝟖 𝒊𝒏 d

Periodo efectivo en el máximo

desplazamiento Desplazamiento Máximo

𝑻𝑴 = 𝟐𝝅 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎

𝟑𝟒𝟎.𝟗𝟔 𝟑𝟖𝟔.𝟒 = 𝟐.𝟔𝟖 𝒔 e 𝐷𝑀 =

386.1 0.66 2.68

4𝜋2 1.2 = 14.42 𝑖𝑛

f

El valor de “y” en las ecuaciones 3-24 y 3-25, se dice que “y” es igual a ½ de la

máxima longitud en planta de la estructura haciendo un pequeño cálculos se

encuentra que y= 240*0.5=120.0 ft.

Aplicando las ecuaciones 3-24 y 3-25 se obtiene el primer inciso


𝐷𝑇𝐷 = 9.28 1 + 12012(12 + 2)

1502 + 2402 = 11.65 𝑖𝑛 g 𝐷𝑇𝑀 = 14.42 1 + 12012(12 + 2)

1502 + 2402 = 18.04 𝑖𝑛 h

5.3.2.1.2 Fuerza Lateral

Para el inciso 2 se usa la tabla 3-11, de las ecuaciones 3-26 a la 3-27 reescritas

aquí

Tabla 3 - 11 Fuerzas Laterales Mínimas para un Sistema de Aislamiento

Fuerza lateral por debajo del

sistema de aislamiento

Fuerza lateral arriba de la interfaz de

aislamiento

𝑽𝒃 = 𝒌𝑫𝒎𝒂𝒙𝑫𝑫 3- 26 𝑽𝑺 =

𝒌𝑫𝒎𝒂𝒙𝑫𝑫

𝑸

3- 27

1 ≤ 𝑄 ≤ 2

De igual forma que antes se busca en Tabla 5-16 𝐾𝐷𝑀𝑎𝑥

1



𝑲𝑫𝑴𝒂𝒙 = 20 6.75 + 34 8.91 = 437.94 𝑘/𝑖𝑛 i

𝐾𝐷𝑀𝑎𝑥 Calculado en i, permite utilizar la ecuación 3-26 y 3-27

Vb = 437.94 9.28 = 4063.71 k j

VS = 437.94 9.28

2= 2031.86 k k

Así de esta manera hemos encontrado los valores mínimos para el cálculo de

elementos por debajo, Vb, y encima del sistema de aislamiento, VS.

Sin embargo el mínimo valor de VS debe ser revisado para tres casos descritos en

3.2.5.2 ya que la fuerza de viento en este ejercicio puede ser obviada solo es

necesario revisar dos condiciones.

a) La fuerza sísmica que se produciría en una estructura empotrada en la base con el mismo peso efectivo pero con el periodo de la estructura aislada.

c) La fuerza requerida para activar el sistema de aislamiento 𝑉𝑖.

Primero se revisa el inciso c) para ello se hace uso de la tabla 3-12 ya que este es

un sistema elastomérico se utiliza la ecuación 3-28, haciendo uso de esta ecuación

y la rigidez elástica

𝐾𝑒𝑀𝑎𝑥 y el desplazamiento de fluencia 𝐷𝑦𝑀𝑎𝑥 de la Tabla 5 - 17

Sistema elastomérico

𝑽𝒊 = 𝟏.𝟓𝒌𝒆𝑫𝒚 3- 28

𝑽𝒊 = 1.5 20 14.32 2 + 36 16.23 2 = 2514.7 k l

Como se observa el valor de 2514.7 k en l, es mayor que el valor de VS que se ha

calculado en k por lo tanto hasta este momento, I es la fuerza dominante, resta

verificar el inciso a) para ver cuál de estos valores regirán en el diseño.

Para el cálculo del inciso a), se usa el procedimiento establecido por el RNC y el

ASCE, este último está contenido en el capítulo 3 de esta monografía.

2



ASCE

De la sección 3.2.2.3 y 3.2.2.4 de esta monografía se puede hacer uso del método

estático equivalente según los requerimientos del ASCE 7-05

La fuerza sísmica puede calcularse a través de la ecuación 3-5

𝐹𝑆 = 𝐶𝑆 ∗ 𝑊

3- 5

El coeficiente sísmico se puede calcular de la ecuación 3-6

𝐶𝑆 =𝑆𝐷𝑆

𝑄𝐼

> 0.01

3- 6

Se calcula un valor de SDS=1.36.

Según la tabla 3-6 para una estructura del grupo A el factor I= 1.5 y se asigna un

valor de Q=2.0

Con esto se procede a calcular el coeficiente sísmico

𝐶𝑆 =1.36

2

1.5

= 1.02 m

Este valor calculado en m, no debe ser mayor que lo establecido en la Tabla 3-5

ecuación 3-7, se asume que Tc>3.0 segundos

𝐶𝑆 =0.44

2.59 2

1.5

= 0.13 n

El valor obtenido en n será el que utilizara la ecuación 3-5, la fuerza sísmica

utilizando el método del ASCE es:

𝐹𝑆 = 0.13 ∗ 24000 = 𝟑𝟏𝟐𝟎 𝒌 o

RNC



Para T>Tc se utiliza la ecuación 𝑎 = 𝑆𝑑 𝑇𝑏 𝑇𝑐

𝑇2 =0.14 pero a, no puede ser menor

que S*a0, para un factor de amplificación por tipo de suelo S = 1.5 y una aceleración

a0=0.3*1.5 tenemos un valor de a=0.675

Para el cálculo de la fuerza sísmica se utiliza la ecuación (13) del RNC

𝐹𝑆 =0.675

2 ∗ 2∗ 24000 = 3840 𝑘

p

El valor que debe utilizarse para el diseño es el calculado en p, ya que es el mayor

valor. Hasta aquí se han revisado los incisos 1 y 2, falta el 3 el cual es una

verificación de lo que se ha calculado hasta ahora es realmente valido para la

estructura.

5.3.2.1.3 Revisión de criterios del método de la fuerza

lateral equivalente

El punto 3 corresponde a la verificación de que si esta estructura cumple con los

criterios del método de la fuerza lateral equivalente, revisando los criterios de la

tabla 3-8

Cumple: 𝑆1 < 0.60𝑔

Cumple: Suelos Tipo I, II o III

Cumple: Altura ≤ 19.8 m ó 65 pie Menor o igual4 pisos

Cumple: 𝑇𝑀 ≤ 3.0 𝑠

Cumple: Se cumplen con criterios de una configuración regular.

Cumple: No se limita el desplazamiento debido al máximo terremoto posible

a menos del desplazamiento total máximo

Solo resta verificar los siguientes criterios

𝑇𝐷 > 3.0 𝑇𝑎

𝒌𝒆𝒇𝒇 > 13𝒌𝒆𝒇𝒇 𝑎𝑙 20% 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑒ñ𝑜

Se provee una fuerza restauradora como se especifica en 3.2.2.7

TD=2.59 segundos, Tae puede calcularse con las ecuaciones 3-18 o 3-19, se

utilizara la ecuación 3-18, reescrita aquí.



𝑇𝑎𝑒 = 𝐶𝑡𝑕𝑛𝑥 3- 18

𝑇𝑎𝑒 = 0.02 64 0.75 = 0.45 𝑠 verificando 3Ta= 1.35 q

𝑇𝐷 > 3𝑇𝑎 CUMPLE r

Para el siguiente ítem

El 20% del desplazamiento de diseño es = 0.2 9.28 = 1.856 in, la rigidez se

calcula de la siguiente manera

Para el aislador de 32 in

𝑘𝑒𝑓𝑓 =𝐾𝑒𝑀𝑎𝑥𝑫𝒚𝑴𝒂𝒙 + 𝐾𝑝𝑀𝑎𝑥 𝑫𝒚𝑴𝒂𝒙

Δ

s

1/3 keff

𝑘𝑒𝑓𝑓 =14.32 2 − 1.856

3 1.856 = 0.37

t

0.37<𝐾𝐷𝑀𝑎𝑥 = 𝟔.𝟕𝟓 por lo tanto cumple

Para el aislador de 34 in

1/3 keff

𝑘𝑒𝑓𝑓 =16.32 2 − 1.856

3 1.856 = 0.42

u

0.42<𝐾𝐷𝑀𝑎𝑥 = 𝟖.𝟏𝟗 por lo tanto cumple

De esta manera se verifica que ambas rigideces en el desplazamiento de diseño

son mayores que la rigidez efectiva al 20% del desplazamiento de diseño.

El último ítem que falta revisar corresponde a la capacidad del sistema del

aislamiento para producir una fuerza restauradora según lo establecido en 3.2.2.7.

Primero se calcula el 50% del desplazamiento de diseño

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 2A – Valores mínimos para un análisis dinámico


50%𝐷𝑇𝐷 = 0.50 11.65 = 5.82 𝑖𝑛 v

Para el cálculo de la fuerza lateral al 50% del desplazamiento total de diseño 𝐷𝑇𝐷

𝑉32" = 2 14.32 + 5.28 5.88 − 2 = 49.13 𝑘 w

𝑉34" = 2 16.23 + 7.49 5.88 − 2 = 61.52 𝑘 x

La fuerza lateral al 50% del desplazamiento total de diseño es como se calcula en y.

𝑉34" =20 49.13 + 34 61.52

24000= 0.128 𝑊

y

0.128W>0.025W por lo tanto cumple

Se han podido verificar que los 3 ítems faltantes muestran resultados que indican

que el método es válido.

5.3.2.2 Ejemplo de aplicación 2A – Valores mínimos para un

análisis dinámico


Tomando como referencia el ejercicio 2, con la única diferencia de que en este

ejercicio se debe considerar que existe irregularidad vertical por encima del sistema

de aislamiento. Defina los valores límites inferiores para un análisis modal espectral.




Los datos conocidos del problema anterior son mostrados en la Tabla 5 - 20

:

Tabla 5 - 20 Resultados obtenidos del problema 2

𝑫𝑫 𝐷𝑀 𝑉𝑏 𝑉𝑠 𝑇𝑎 𝑇𝐷 𝑻𝑴

9.28 14.42 4067.71 3120 0.45 2.59 2.68

En la sección 3.2.6.2 de esta monografía se encuentran definidos los valores límites

que pueden ser utilizados en el caso de realizar un análisis dinámico.

Esto implica que las ecuaciones de 3 – 31 a 3 – 34 y la Tabla 3-12 serán las

herramientas que nos ayuden a resolver este problema. Estas serán reescritas aquí

para mayor conveniencia

Desplazamientos

𝐷𝐷′ =

𝐷𝐷


2

4- 31

𝐷𝑀′ =

𝐷𝑀


2

4- 32

𝐷𝑇𝐷 = 𝐷𝐷′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2 4- 33

𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2 4- 34

Fuerzas

Tabla 3-13 Valores mínimos para fuerzas y desplazamientos al usar un análisis dinámico

Análisis realizado

Estructura

Regular

Estructura

Irregular Desplazamientos

𝑉𝑏 𝑉𝑠 𝑉𝑏 𝑉𝑠 𝐷𝑇𝐷 𝐷𝑇𝑀



Análisis Modal Espectral

90% 80% 100% 100% 90% 80%

Análisis de Respuesta en el

tiempo

90% 60% 100% 80% 90% 80%

5.3.2.2.1 Calculo de desplazamientos mínimos

Haciendo uso de las ecuaciones 3 – 31 y 3 – 32

𝐷𝐷′ =

𝐷𝐷


2

=9.28

1 + 0.452.59

1 2

= 𝟗.𝟏𝟒 𝒑𝒍𝒈 a

𝐷𝑀′ =

𝐷𝑀


2

=14.42

1 + 0.452.68

1 2 = 𝟏𝟒.𝟐𝟐 𝒑𝒍𝒈 b

𝐷𝑇𝐷 = 𝐷𝐷′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2 = 9.14 1 +

240

2

12 14

1502 + 2402 = 𝟏𝟏.𝟒𝟒 𝒑𝒍𝒈

c

𝐷𝑇𝑀 = 𝐷𝑀′ 1 + 𝑦

12𝑒

𝑏2 + 𝑑2 = 14.22 1 + 120

12 14

1502 + 2402 = 𝟏𝟕.𝟖𝟎 𝒑𝒍𝒈

d

Como aparece reflejado en la Tabla 3 – 12, una vez calculados estos valores se

pueden calcular los mínimos aceptables para un análisis modal espectral, Tabla 5 -

21

muestra el resultado.

Tabla 5 - 21 Desplazamientos Mínimos en caso de utilizar un análisis modal espectral

Desplazamiento Factor Reducción 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 Resultado

𝑫𝑻𝑫 90% 11.44 10.29

𝑫𝑻𝑴 80& 17.80 14.24

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3 – 3B


Hasta aquí se ha calculado de manera bastante simple los valores mínimos de

desplazamientos si la estructura analizada en el ejercicio 2 fuese sometida a un

análisis modal espectral.

5.3.2.2.2 Calculo de fuerzas laterales mínimas

Para el cálculo de las fuerzas laterales se toman los valores que son dados de la

Tabla 5 - 20

y se usa la Tabla 3 – 12. En la Tabla 5 - 22 están resumidos los resultados

encontrados

Tabla 5 - 22 Fuerzas laterales Mínimas en caso de utilizar un análisis modal espectral

Fuerza Factor Reducción 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 Resultado

𝑽𝒃 90% 4067.71 3660.94

𝑽𝑺 100% 3840 3840

Vb se permite al 90% debido a que los aisladores tienen una configuración regular

en planta pero Vs= 100% debido a que hay una irregularidad en altura en la

superestructura, en este caso el valor de Vs supera al de Vb por lo que debe de

tomarse el valor más alto para Vb.

5.3.3 Ejemplo de aplicación 3 – 3B

Se exponen tres ejemplos de aplicación estos reúnen la teoría que se ha abarcado

en capítulos anteriores y en ejemplos anteriores, sin embargo con diferencias que

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3 – 3B


realmente sirven para aumentar la destreza en el diseño de los aisladores. En estos

ejemplos se han colocado los pasos que aparecen en las tablas de la 5-6 a la 5-8.

Estos ejercicios hacen uso de valores de aceleraciones calculados en el ejercicio 2,

para no calcularlos nuevamente y no repetir lo que ya se ha venido haciendo pues

se supone que ha sido superado.

El ejemplo 3: Es un ejemplo de diseño de un aislador de alto amortiguamiento, en

este ejercicio se usan las ecuaciones para el cálculo de desplazamientos que se

encuentran en el capítulo 3 de esta monografía. Pero en este ejercicio ya se hace

ocupan las ecuaciones del capítulo 4 para el cálculo de las características del

modelo bilineal que son necesarios para el cálculo de ciertas características

esenciales para el diseño del aislador.

El ejemplo 3A: Es un ejemplo de diseño de un aislador con núcleo de plomo, es una

especie de continuación del ejercicio 3, retomando muchos valores, como el

diámetro del aislador, sin embargo presenta una manera distinta de calcular el

desplazamiento máximo.

El ejemplo 3B: Es un ejemplo de diseño de un aislador de péndulo de fricción, en

este ejemplo lo que resalta es una manera simplificada de calcular las rigideces.

El pandeo crítico aunque fue abarcado en esta monografía es un fenómeno que

según varios autores es más conveniente determinar experimentalmente, sería

interesante que una investigación retomara las ecuaciones que acá están

contenidas y lograra cierta verificación de las mismas.

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3 – Aislador elastomérico de alto amortiguamiento


5.3.3.1 Ejemplo de aplicación 3 – Aislador elastomérico de

alto amortiguamiento

Enunciado del ejemplo

Considere un pequeño edificio de concreto reforzado, el edificio será un hotel, éste

estará ubicado en la ciudad de Managua, suponga que el tipo de suelo presente en

el lugar de construcción es tipo II, la configuración en planta y en elevación del

edificio puede considerarse como regular. A través de un análisis de cargas vivas y

cargas muertas pudieron ser calculadas las siguientes cargas para cada columna,

véase, Figura 5-6

Figura 5- 6 Configuración en planta de las columnas y las cargas para el ejemplo de aplicación 3

Como datos para el diseño se provee además módulos de cortante para dos

componentes de alto amortiguamiento, con una deformación por cortante de 1.5, no

considere la fuerza de viento.

𝐺𝐴 = 0.4 𝑀𝑃𝐴 (58 𝑝𝑠𝑖) 𝜷𝑨 = 𝟎.𝟎𝟖

𝐺𝐵 = 1.0 𝑀𝑃𝐴 (145 𝑝𝑠𝑖) 𝜷𝑩 = 𝟎.𝟏𝟓



1. Con base a la información proporcionada proceda al diseño de los aisladores

para este edificio. Utilizando el método de la fuerza lateral equivalente para el

prediseño y verifique si las condiciones del método son validas.

2. Proponga un dimensionamiento para el aislador.

Solución del ejemplo

Como se observa a diferencia de los ejercicios anteriores en este ejercicio no se

proporcionan más datos que el modulo de cortante y amortiguamiento de dos

componentes de caucho de alto amortiguamiento, los cuales pueden ser utilizados

para el diseño del sistema de aislamiento.

Las cargas en esta estructura son de 50 T, 100 T y 200 T, se podría usar un tipo

aislador para cada tipo de carga, sin embargo esto sería poco económico, en su

lugar se utilizan 2 tipos de aisladores, 12 aisladores para las cargas de 100 T y 50 T,

estos aisladores estarán compuestos por el material con el modulo de elasticidad

𝐺𝐴, y 3 aisladores para las cargas de 200 T los cuales usaran el material 𝐺𝐵.

5.3.3.1.1 Pre dimensionamiento

Paso 1

Se Fija un periodo de 2.5 segundos, con este valor se calcula rápidamente un valor

preliminar para las rigideces de los aisladores, esto se resume en Tabla 5 - 23

Paso 2

Tabla 5 - 23 Rigideces horizontales preliminares ejemplo de aplicación 3

Aislador tipo A Aislador tipo B

𝑲𝑯𝑨 = 𝑴𝝎𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎

𝟐𝝅

𝟐.𝟓 𝟐

= 𝟎.𝟔𝟑𝟐 𝑴𝑵/𝒎 a

𝐾𝐻𝐵 = 200 1000

2𝜋

2.5 𝟐

= 1.265𝑀𝑁/𝑚 b

0.632 MN/m = 3.61 kips/in 1.265 MN/m = 7.22 kips/in



Paso 3

Con el periodo objetivo de 2.5 se procede a calcular un desplazamiento de diseño

preliminar. Las ecuaciones para esto son de la 3-20 a la 3-21, los valores de

aceleración 𝑆𝐷1 = 0.44, puede ser retomado del ejemplo de aplicación 2, 𝛽𝐷 𝑦 𝛽𝑀 ,

se selecciona un valor asumiendo un amortiguamiento compuesto del 10% este

valor puede ser encontrado en la Tabla 3-2

Paso 4

Desplazamiento de diseño preliminar

𝑫𝑫 = 𝟑𝟖𝟔.𝟒 𝟎.𝟒𝟒 𝟐.𝟓

𝟒𝝅𝟐 𝟏.𝟐 = 𝟖.𝟗𝟔 𝒊𝒏

c

Paso 5

Se toma el valor de la máxima deformación por cortante 𝛾 = 1.5

Paso 6

Se calcula un valor de 𝒕𝒓 = 𝑫 𝟏.𝟓 ,

𝒕𝒓 = 𝟓.𝟗𝟕 𝒊𝒏 Aproximadamente 6 in

Paso 7

Haciendo uso de la ecuación 4-27 se despeja el área del aislador y su diámetro en

d.

𝑘𝑝 =𝐺𝐴𝑏

𝑡 4-27

Paso 8

𝐴 =𝑘𝑝𝑡𝑟

𝐺=

3610 6

58= 373.45 𝑖𝑛2 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝜙 ≈ 𝟐𝟐 𝒊𝒏 d

5.3.3.1.2 Desplazamiento de diseño y desplazamiento total de

diseño



Para el cálculo de este se requiere encontrar la rigidez combinada y además debido

a que hay dos materiales se presenta un amortiguamiento compuesto. Se calcula

como sigue.

Paso 9

Calculando el área para el diámetro de 22 in se encuentra un área de 380.14 in2.

Este valor se utiliza en e y f

Se procede a calcular la rigidez con el nuevo valor del área que se ha calculado

𝐾𝑝𝐴 =

58 380

6= 3.67 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛 e

𝐾𝑝𝐵 =

145 380

6= 9.18 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛

f

Paso 10

Con estos valores de rigideces se calcula la rigidez combinada en g.

𝑲𝑫𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟐 𝟑.𝟔𝟕 + 𝟑 𝟗.𝟏𝟖 = 71.65 𝒌𝒊𝒑𝒔/𝒊𝒏 g

La ecuación para el cálculo del periodo ya se ha utilizado en ejercicios anteriores, se

sustituyen los valores en h

Paso 11

𝑻𝑫 = 𝟐𝝅 3530

𝟕𝟏.𝟔𝟓 𝟑𝟖𝟔.𝟒 = 𝟐. 𝟐𝟒 𝒔 h

Paso 12

Ahora se calcula el amortiguamiento compuesto

La ecuación 4-33 permite cuantificar el amortiguamiento combinado se puede

escribir en i.

𝜷𝒆𝒇𝒇

= 𝑲𝒑

𝑨 𝜷𝑨 + 𝑲𝒑

𝑩 𝜷𝑩

𝑲𝑫𝒎𝒊𝒏

= 𝟏𝟐 𝟑.𝟔𝟕 𝟎.𝟎𝟖 + 𝟑 𝟗.𝟏𝟖 𝟎.𝟏𝟓

𝟕𝟏.𝟔𝟓= 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 i

Paso 13



Para este valor se hace una interpolación de la tabla 4-2 y se calcula un 𝜷𝑫 ≈ 𝟏.𝟐𝟐

Paso 14

Con este dato se calcula nuevamente el desplazamiento de diseño, ya que los otros

datos son conocidos.

𝑫𝑫 = 𝟑𝟖𝟔.𝟒 𝟎.𝟒𝟒 𝟐.𝟐𝟒

𝟒𝝅𝟐 𝟏.𝟐𝟐 = 𝟕.𝟗𝟎 𝒊𝒏

j

Para el cálculo del desplazamiento total de diseño 𝑫𝑻𝑫, se calcula

y=131.23*0.5=65.61 la excentricidad accidental “e” es el 5% de la dirección más

larga = 0.05*131.23=6.56

Paso 15

Desplazamiento Total de Diseño

𝑫𝑻𝑫 = 𝟕. 𝟗𝟎 𝟏 + 𝟔𝟓. 𝟔𝟏𝟏𝟐(𝟔.𝟓𝟔 + 𝟐)

𝟔𝟓.𝟔𝟐𝟐 + 𝟏𝟑𝟏.𝟐𝟑𝟐 = 𝟏𝟎.𝟑𝟕 𝒊𝒏 k

5.3.3.1.3 Fuerzas laterales mínimas para un sistema de

aislamiento

Paso 16

Conocidos los parámetros anteriores se calcula el cortante basal y el cortante en la

superestructura.

En la tabla 3-11 las ecuaciones 3-26 y 3-27 nos permiten calcular estos valores se

encuentra resumidos como sigue

Fuerza lateral por debajo del sistema

de aislamiento Fuerza lateral arriba de la interfaz de

aislamiento

𝑽𝒃 = 𝟕𝟏.𝟔𝟓 𝟕.𝟗𝟎 = 𝟓𝟔𝟔.85

k

l 𝑽𝑺 =

𝟕𝟏.𝟔𝟓 𝟕.𝟗𝟎

𝟐= 𝟐𝟖𝟑 𝒌

m

Esto tiene que cumplir tres condiciones, sin embargo en este ejercicio no se

considera la fuerza de viento por lo que se verifica que la fuerza Vs, cumpla lo

establecido en a) y c) de la sección 3.2.5.2



Revisando el inciso c) de dicha sección se calcula la rigidez elástica, esta se puede

calcular haciendo uso de ecuación 4-31 y usando la ecuación 4-29 para calcular Dy

Se encuentra

𝒌𝒆 = 𝟕𝟏.𝟔𝟓 𝟏 +𝝅 𝟎.𝟏𝟎𝟔 𝟕.𝟗𝟎 𝟐

𝟎.𝟏 𝟔 𝟐 − 𝝅 × 𝟎.𝟏𝟎𝟔 𝟕.𝟗𝟎 − 𝟐 𝟎.𝟔 = 𝟐𝟕𝟗.𝒌/𝒊𝒏 n

Para aisladores elastoméricos se utiliza la ecuación 3-28, obteniendo el siguiente

resultado

𝑽𝒊 = 𝟏.𝟓 𝟐𝟕𝟗 𝟎.𝟔 = 𝟐𝟓𝟏.𝟏 𝒌 o

Para este inciso se cumple la condición

Al revisar el inciso a) de la sección 3.2.5.2 se procede a revisarlo por dos criterios, el

que nos proporciona el RNC – 07 y el que nos proporciona el ASCE 7-05.

RNC – 07

Se verifica que se cumpla la condición de que Vs, no sea menor que el calculado a

través del RNC para una estructura con el periodo TD=2.24 segundos.

Como valores predefinidos tenemos:

Ta= 0.1 segundos, Tb= 0.6 segundos, Tc= 2.0 segundos

Zona C

Aceleración espectral a0=0.3

El factor de ampliación por tipo de suelo S=1.5

Hay que recordar que se trabaja con la hipótesis de que este sistema es una masa

unida a un resorte, un sistema de un grado de libertad.

𝑺𝒂 = 𝟎.𝟑 𝟏.𝟓 𝟐 𝟎.𝟔

𝟐.𝟐𝟒 𝟐= 𝟎.𝟏𝟎𝟕 p

Calculado este valor se multiplica por el peso de la estructura para encontrar el

cortante basal.



𝑭𝒔 = 𝟎.𝟏𝟎𝟕 ∗ 𝟑𝟓𝟑𝟎 = 𝟑𝟕𝟕.𝟕𝟏 𝒌 q

Esta fuerza es superior a la que se ha calculado en m, por lo que hasta el momento

será la que domine el diseño

ASCE 7 - 05

Siguiendo la búsqueda de la fuerza sísmica en esta ocasión haciendo uso del ASCE

se hace uso de la sección 3.2.2.3 – 3.2.2.5 de esta monografía.

De la tabla 3-2 se obtiene un valor de importancia I = 1.25

SDS=1.36

SD1=0.44

Siguiendo con el cálculo del coeficiente sísmico

𝐶𝑆 =1.36

2

1.25

= 0.85 r

Este valor no debe ser mayor que

CS =0.44

2.24 2

1.25

= 0.12 s

𝐹𝑠 = 0.12 ∗ 3530 = 𝟒𝟐𝟑.𝟔 𝒌 t

El mayor valor ha sido calculado en s. Este valor será el que regirá el diseño para la

superestructura.

5.3.3.1.1 Desplazamiento máximo y desplazamiento total

máximo

Para el máximo desplazamiento se requiere un recalculo del periodo, el

amortiguamiento y la rigidez ya que este ocurre ante al máximo sismo posible.

En ambos compuestos cuando se da una deformación por cortante de alrededor del

200% se dan incrementos en la rigidez.

Las nuevas características del modulo de cortante para el compuesto A y B son:



𝐺𝐴 = 0.48 𝑀𝑃𝑎 (69.61 𝑝𝑠𝑖) y 𝐺𝐵 = 1.2 𝑀𝑃𝑎 (174 𝑝𝑠𝑖)

Los amortiguamientos tienen los siguientes valores:

𝛽𝐴 = 8% y 𝛽𝐵 = 12.5%

Paso 17

Se calculan nuevamente los valores de las rigideces para A y para B para luego

calcular la rigidez compuesta, hecho esto se puede también calcular el

amortiguamiento compuesto.

𝐾𝑝𝐴 =

69 380

6= 4.37 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛 u

𝐾𝑝𝐵 =

174 380

6= 11.02 𝑘𝑖𝑝𝑠/𝑖𝑛

v

Paso 18

𝑲𝑴𝒎𝒊𝒏 = 𝟏𝟐 𝟑.𝟕𝟒 + 𝟑 𝟗.𝟒𝟒 = 85.50 𝒌𝒊𝒑𝒔/𝒊𝒏 w

Paso 19 - 20

𝑻𝑴 = 𝟐𝝅 3530

𝟖𝟓.𝟓𝟎 𝟑𝟖𝟔.𝟒 = 𝟐.𝟎𝟒 𝒔 x

𝜷𝒆𝒇𝒇

= 12 4.37 0.08 + 3 11.02 0.125

85.50= 0.107 t

Paso 21

Para este valor se hace una interpolación de la tabla 3-2 y se encuentra un 𝜷𝑴 ≈

𝟏.𝟐𝟐



Paso 22

Con todos estos datos conocidos se calcula el desplazamiento máximo

𝑫𝑴 = 𝟑𝟖𝟔.𝟒 𝟎.𝟔𝟔 𝟐.𝟎𝟒

𝟒𝝅𝟐 𝟏.𝟐𝟐 = 𝟏𝟏.𝟖𝟕 𝒊𝒏 z

Paso 23

El desplazamiento total máximo será:

𝐷𝑇𝑀 = 11.70 1 + 65.6112(6.56 + 2)

65.612 + 131.232 = 15.58 𝑖𝑛 aa

5.3.3.1.1 Dimensionamiento del aislador

Hasta aquí se han venido revisando las fuerzas laterales mínimas con las que la

estructura estará diseñada, y también se calcularon los valores máximos de

desplazamientos a los cuales esta debe ser sometida. Ahora se procede a un

aspecto más práctico y es el dimensionamiento de la unidad de aislamiento en sí.

Paso 24

Para esto se selecciona una frecuencia vertical igual a 10 Hertz, con esta frecuencia

se calculara el factor de forma.

𝑆 =1

6

𝑓𝑣𝑓𝐻

=1

6

10

1 2.24 = 9.14~9.0 bb

Se toma este valor para el factor de forma.

Se supone un pequeño modulo de deformación por cortante del 20%, para cada

aislador. Para este valor de deformación los compuestos tendrán.

𝐺𝐴 = 0.7 𝑀𝑃𝑎 (101.52 𝑝𝑠𝑖) y 𝐺𝐵 = 1.4 𝑀𝑃𝑎 (203.05 𝑝𝑠𝑖)



Paso 25

Se supone también una rigidez vertical de K=2000 MPa (290075.4 psi)

Con este valor se procede a calcular el modulo de elasticidad del caucho con la

ecuación 4-16, ya que esta considera la compresibilidad del mismo.

𝐸𝐶𝐴 =

6𝐺𝑆2𝐾

6𝐺𝑆2 + 𝐾=

6 101.52 9 2 290075.4

6 101.52 9 2 + 290075.4 = 42166.62 𝑝𝑠𝑖 cc

𝐸𝐶𝐴 =

6𝐺𝑆2𝐾

6𝐺𝑆2 + 𝐾=

6 203.05 9 2 290075.4

6 203.05 9 2 + 290075.4 = 73632.77𝑝𝑠𝑖 dd

Paso 26

La rigidez compuesta a este nivel de deformación se puede calcular

𝐾𝑉 = 12 42166.62 + 3 73632.77 380

6= 46,036,857 𝑙𝑏/𝑖𝑛

ee

Se Calcula el periodo

𝑻 = 𝟐𝝅 3530 1000

46,036,857 𝟑𝟖𝟔.𝟒 = 𝟎.𝟎𝟖 𝒔 ff

𝒇 =1

𝑇= 11.29 𝐻𝑧 gg

Se puede decir que el valor que se ha seleccionado para S, da una frecuencia muy

parecida a la que tendría un edificio convencional

Paso 27

El factor de forma “S” puede ser un valor entre 9 y 10, para calcular los otros datos

del dimensionamiento de una unidad de aislamiento como son el grosor de las

capas de caucho y la cantidad de las mismas tenemos.

𝑺 =𝚽

𝟒𝒕 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐, 𝒕 =

𝚽

𝟒𝑺=

𝟐𝟐

𝟒 𝟗 = 𝟎.𝟔𝟏 𝒊𝒏 hh

La altura de caucho es de 6 pulgadas. Para saber el número de capas se divide esta

altura entre el espesor de cada capa, así.



𝒏𝒕 = 𝟏𝟎 𝒏 =𝟔

𝟎.𝟔𝟏= 𝟗.𝟖𝟑 ii

Paso 28

Se deja en 10 capas. Calculando nuevamente t

Paso 29

𝒕 =𝟔

𝟏𝟎= 𝟎.𝟔 𝒊𝒏 jj

Paso 30

Las laminas de acero serán calibradas número 13 con un grosor de 0.0897 in, el

numero de laminas de acero seria el numero de capas de caucho menos uno. En

este caso serian 9 láminas de acero calibrado. La altura total del aislador es la

sumatoria de las capas de caucho mas las laminas de acero más las placas a los

extremos que serán de 1 in, con recubrimiento,r, en bordes de 0.5 in

𝒉 = 𝟔 + 𝟐 + 𝟎.𝟎𝟖𝟗𝟕 𝟗 = 𝟖.𝟖𝟎 𝒊𝒏 kk

Figura 5- 7 Detalle de un aislador elastomérico de alto amortiguamiento

h

D

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos con núcleo de plomo


5.3.3.2 Ejemplo de aplicación 3A- Aisladores elastoméricos

con núcleo de plomo


Considere que el ejercicio anterior en vez de aisladores de alto amortiguamiento se

usaran aisladores con núcleo de plomo y el sitio es la ciudad de León, encuentre:

Parámetros del modelo bilineal.

Utilice el método de la fuerza lateral equivalente para calcular los

desplazamientos y las fuerzas cortantes.

Encuentre el área de plomo requerida.

Suponga un amortiguamiento del 15%, periodo efectivo del sistema de aislamiento

2.5 segundos.

Solución del ejemplo de aplicación

Este ejercicio es resuelto haciendo uso de la teoría proporcionada en los capítulos 3

y 4 de esta monografía, es un proceso iterativo en donde se hacen varias

suposiciones para encontrar los valores con los cuales trabajar.

Los parámetros del modelo bilineal se calculan haciendo uso del capítulo 4 y el

cálculo de los desplazamientos y fuerzas cortantes se realiza haciendo uso del

capítulo 3, se trabajara solamente un pre diseño basado en el método de la fuerza

lateral equivalente para un sistema de aislamiento con núcleo de plomo

5.3.3.2.1 Calculo de las características del modelo bilineal

Paso 1

Suponga el mismo periodo objetivo de 2.5 segundos, de igual forma que en el

ejemplo de aplicación 3, haciendo uso de este periodo objetivo podemos encontrar

una rigidez tentativa y un desplazamiento de diseño tentativo

Paso 2



Rigidez efectiva Preliminar, se calcula haciendo uso del periodo

𝑲𝑯𝑨 = 𝑴𝝎𝟐 =

𝟑𝟓𝟑𝟎

𝟑𝟖𝟔.𝟒

𝟐𝝅

𝟐.𝟓 𝟐

= 𝟓𝟕.𝟕𝟎 𝒌𝒊𝒑/𝒊𝒏 a

. Paso 3-4

El desplazamiento de diseño preliminar es calculado con la ecuación 3-20, el valor

de SD1=0.44 del ejemplo de aplicación 2, el valor de 1.35 se obtiene de la tabla 3-2

haciendo una interpolación lineal, tomando el amortiguamiento del 15%.

𝑫𝑫 = 𝟑𝟖𝟔.𝟒 𝟎.𝟒𝟒 𝟐.𝟓

𝟒𝝅𝟐 𝟏.𝟑𝟓 = 𝟕.𝟗𝟕 𝒊𝒏

b

Paso 5

Despejando la ecuación 4-4 se encuentra la ecuación que permite calcular la

energía disipada por ciclo sustituyendo los valores que en este paso así se

encuentra

𝐸𝐷 = 2𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2 𝛽𝑒𝑓𝑓 c

𝐸𝐷 = 2𝜋 57.7 7.97 2 0.15 = 3.459𝑥103 𝑘𝑖𝑝𝑠 𝑖𝑛 d

La energía disipada es igual a

𝐸𝐷 = 4𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦 e

Paso 6

Se calcula un valor preliminar para la fuerza característica “Q”, pero de esta

ecuación no se conoce el valor del desplazamiento de fluencia por lo que se supone

que Dy es muy pequeño y se desprecia, en este cálculo preliminar, de esta manera

despejando la ecuación en “e” para encontrar Q.

𝑄 =𝐸𝐷

4𝐷=

3.459𝑥103

4 7.97 = 108.434 𝑘𝑖𝑝𝑠 f

Paso 7



Con esta primera aproximación del valor de la fuerza característica “Q” se puede

hacer un cálculo de la rigidez postfluencia de la estructura, revisando la ecuación 4-

1 y despejando para esta se encuentra.

𝑘𝑝 = 𝑘𝑒𝑓𝑓 −𝑄

𝐷= 57.70 −

108.434

7.97= 44.109 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 g

Paso 8

Este valor de rigidez postfluencia se utiliza para corregir el cálculo en “f”, donde se

supone el desplazamiento de fluencia “Dy” despreciable, ahora haciendo uso de la

ecuación 4-39 se calcula, tomando como valor de x = 10.

𝐷𝑦 =𝑄

𝑥 − 1 𝑘𝑝=

108.434

10 − 1 44.109 = 0.273 𝑖𝑛 h

Paso 9

Ahora se vuelve a calcular la fuerza característica “Q” pero ahora corregida para

este valor de desplazamiento de fluencia, Dy, despejando la ecuación en “e” para la

fuerza característica “Q” nuevamente

5.3.3.2.2 Área de plomo requerida

Paso 10

Este valor preliminar de “Q” permite hacer un cálculo del área de plomo necesaria.

Para esto se dice que la fluencia del plomo 𝑓𝑦𝑃𝑏 = 1450 𝑝𝑠𝑖, el área de plomo, 𝐴𝑃𝑏 ,

está dada por la ecuación siguiente.

𝐴𝑃𝑏 =𝑄

𝑓𝑦𝑃𝑏=

112,279

1450= 77.434 𝑖𝑛2 j

Dentro de la filosofía de diseño de los aisladores con núcleo de plomo se dice que el

núcleo de plomo no debe ser ni muy delgado ni muy ancho en relación al diámetro

del caucho, se recomiendan diámetros que oscilen entre 15% - 20% del diámetro

del caucho.

𝑄 =𝐸𝐷

4 𝐷 − 𝐷𝑦 =

3.459𝑥103

4 7.97 − 0.273 = 112.279 𝑘𝑖𝑝𝑠 i



Paso 11

Se retoma el valor que se calculo en el ejercicio anterior y se dice que el diámetro

del aislador es D=22 in, se propone un diámetro de 4 pulgadas para los núcleos de

plomo.

Paso 12

Para saber la cantidad de aisladores que requieren de núcleos de plomo se calcula

el área para este diámetro de plomo.

𝐴𝜙=4" = 𝜋 4 2

4= 12.566 𝑖𝑛2 k

Si se colocaran núcleos de plomo en los 3 aisladores que soportan las cargas más

altas, se tendría un área de:

𝐴𝑃𝑏3𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.566 3 = 37.699 𝑖𝑛2 l

Esto es aproximadamente el 48% del área total requerida, es decir con 3 aisladores

más se cubre el 96%, lo que no permite llegar al área mínima de plomo además de

esto se debe tomar en cuenta que si se deja por debajo del mínimo con 6

aisladores tampoco hay simetría en la colocación de los aisladores, por lo que

además del área requerida faltante la simetría es un factor importante a tomar en

cuenta, por lo se usaran 4 aisladores más con núcleos de plomo para un total de 7

es decir un área de plomo total de.

𝐴𝑃𝑏7𝑎𝑖𝑠𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 = 12.566 7 = 87.965 𝑖𝑛2 m

Paso 13

Con este valor que se calculo en “m” se puede encontrar la fuerza característica “Q”

del sistema con núcleos de plomo.



𝑄 = 87.965 1.45 = 127.5 𝑘𝑖𝑝𝑠 n

El resto de aisladores no usara núcleos de plomo y serán aisladores elastoméricos

de bajo amortiguamiento.

5.3.3.2.3 Dimensionamiento del aislador

Paso 14

Para el caucho se retoma el valor de Q que se cálculo en “i”, con este se vuelve a

calcular el valor de la rigidez postlfuencia

𝑘𝑝 = 57.70 −112.279

7.97= 43.627 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 o

Paso 15

Si la rigidez es la misma para todos los aisladores se tiene una rigidez para cada

aislador de 2.908 kip/in

Paso 16

El objetivo de calcular esta rigidez es para hacer un dimensionamiento de los

aisladores, se selecciona caucho de bajo amortiguamiento con un modulo de

cortante que varié entre 58 – 101 psi al 100 % de la deformación.

Para el cálculo del área del aislador, primero se define el grosor de la capa de

caucho del aislador, esta será igual al desplazamiento de diseño que se ha

calculado en “b” pero se redondeara a 8 in, es decir tr= 8 in. Esto se debe a que

para caucho natural se utiliza una relación de deformación igual a 1.

Paso 17

Se usa el menor valor del modulo de cortante G=58 psi, y se usar el valor de la

rigidez que se calcula en “o”, para cada aislador, en la ecuación para la rigidez

horizontal de un aislador elastomérico, el área del aislador es igual a



𝐴𝑐𝑎𝑢𝑐 𝑕𝑜 =𝑘𝑝𝑡𝑟

𝐺=

2.908 8

0.058= 401.166 𝑖𝑛2 p

El diámetro de caucho es igual a 22.6 in. Lo cual no está muy alejado de las 22 in

de diámetro que se habían seleccionado anteriormente, se seleccionan 23 in de

diámetro.

Siguiendo en el diseño del aislador se selecciona una frecuencia vertical, Fv, de 10

hertz, esto para calcular las otras características de nuestro aislador.

𝑆 =1

6

𝑓𝑉𝑓𝐷

=1

6

10

1/2.5≅ 10 q

Utilizando este dato y el de un k vertical de 290,075.4 psi se procede al cálculo del

modulo de elasticidad considerando compresibilidad del caucho ecuación 4-16

𝐸𝑐 =6𝐺𝑆2𝐾

6𝐺𝑆2 + 𝐾=

6 0.058 100 290.075

6 0.058 100 + 290.075= 31.08 𝑘𝑠𝑖 r

La rigidez vertical del sistema de aislamiento está dada por la ecuación 4-8

𝑘𝑉 =𝐸𝐶𝐴

𝑡𝑟=

15 31.08 401.166

8= 23,377.962 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 s

Si se calcula el periodo para esta rigidez se encuentra

𝑇 = 2𝜋 9.143

23377.962= 0.12 𝑠𝑒𝑔 t

Para una frecuencia de 8.33 hertz, es recomendable usar frecuencias lo más

próximas a los 10 hertz, sin embargo para este ejemplo se toma este valor como

aceptable.

Una vez que se ha definido el factor S, como aceptable, se calcula el grosor de

cada capa de caucho con la ecuación 4-11 despejando para t

𝑡 =Θ

4𝑆=

23

4 10 = 0.575 𝑖𝑛 u

Calculando el numero de capas de caucho esta dado por



𝑛 =𝑡𝑟

𝑡=

8

0.575≅ 14 v

Se calcula nuevamente el grosor t, quedando en un grosor de capa de caucho de

0.57 in. Se usa un grosor de lamina de acero de 0.0897 in, la cantidad de laminas

de acero es 13, dos de 1” en los extremos lo que da una altura total para el aislador

de 11.16 in, siempre se mantiene un recubrimiento de 0.5 in.

Paso 18

En esta parte se puede recalcular la rigidez efectiva

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 15 2.908 +127.5

7.97= 59.617 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 w

Paso 19

También se calcula valor de energía disipada “ED” que se encuentra con el “Q” del

sistema.

𝐸𝐷 = 4 127.5 7.97 − 0.273 = 3925.47 𝑘𝑖𝑝 𝑖𝑛 x

Paso 20

De igual manera un amortiguamiento

𝛽 =𝐸𝐷

2𝜋𝑘𝑒𝑓𝑓𝐷2=

3925.47

2𝜋 59.617 7.97 2 y

A manera de resumen de esta primera parte se encuentra que para un

desplazamiento de diseño de 7.97 in, una rigidez efectiva como se calcula en “w”

una energía disipada como aparece en “x” y un amortiguamiento del 16.5% como

aparece en “y”

Paso 21-22

Ahora se vuelve a calcular los parámetros pero en esta ocasión para el

desplazamiento máximo. Este se calcula de manera distinta a como se ha

calculado en el ejercicio anterior, el procedimiento se explica a continuación.

La primera suposición que se hace es multiplicar el DD por un valor M, este valor se

encuentra haciendo uso del anexo 5-1, primero ubicando el valor de Zona “Z” = 4



con esto se obtiene un valor de Z=0.4, después el punto 2 de la tabla la condición

característica al sitio, en este caso se supone que se encuentra a mas de 15 km de

una falla por lo que Nv=1.0 en la parte 3 de la tabla se usa interpolación lineal si

fuese necesario para encontrar el valor de M, en este caso no es necesario por lo

tanto M=1.25, este valor de M, suele ser más alto en zonas poco sísmicas.

Ahora DM=1.25DD

𝐷𝑀 = 1.25 7.97 = 9.962 𝑖𝑛 z

Paso 23

Recalculando el keff, para una desplazamiento DM .

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 43.62 +127.5

9.962= 56.418 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 aa

Paso 24

Se recalcula un desplazamiento de fluencia con el valor de la fuerza característica

“Q” del sistema.

𝐷𝑦 =𝑄

9𝑘𝑝=

127.5

9 43.62 = 0.324 𝑖𝑛 bb

Paso 25

Recalculando la energía interna

𝐸𝐷 = 4 𝑄 𝐷 − 𝐷𝑦 = 4 127.5 9.962 − 0.324 = 4915.38 𝑘𝑖𝑝 𝑖𝑛 cc

Paso 26-27

Con este nuevo dato se calcula un amortiguamiento para el máximo

desplazamiento, este amortiguamiento servirá para calcular el desplazamiento

máximo real.



𝛽 =4915.38

2𝜋 56.418 9.962 2= 0.139 dd

Aproximadamente del 14%, haciendo uso de la tabla 3-2 , BM=1.32

El periodo de la estructura TM=2.52 segundos.

Paso 28

Con estos datos el desplazamiento máximo se recalcula.

𝐷𝑀 =𝑔𝑆𝑀1𝑇𝑀4𝜋2𝛽𝑀

= 386.1 0.66 2.52

4𝜋2 1.32 = 12.32 𝑖𝑛 ee

Corrigiendo de nuevo el valor de la rigidez efectiva con el nuevo valor de

desplazamiento máximo que se calculo

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 43.62 +127.5

12.32= 53.969 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 ff

Recalculando la energía interna

𝐸𝐷 = 4 127.5 12.32 − 0.324 = 6,117.96 𝑘𝑖𝑝 𝑖𝑛 gg

Se considera que este valor de la rigidez es válido para calcular los parámetros

restantes, por lo que calculamos nuevamente el periodo y el amortiguamiento,

donde obtenemos un periodo 𝑇𝑀 = 2.58 𝑠𝑒𝑔 y un amortiguamiento 𝛽 ≅ 12%

5.3.3.2.4 Parámetros de diseño

Paso 29

Cuando se habla de parámetros de diseño se refiere a desplazamientos y cortantes

mínimos.

Tabla 5 - 24 Desplazamientos de diseño ejemplo de aplicación 3A

Desplazamientos (in)

𝑫𝑫 𝐷𝑇𝐷 𝐷𝑀 𝐷𝑇𝑀

7.97 8.55 12.32 13.22



Paso 30

El cortante se calcula con la rigidez que se encontro al principio del ejemplo por ser

el valor más alto de las rigideces.

𝑉𝑏 = 57.7 7.97 = 459.87 𝑘𝑖𝑝 hh

𝑉𝑆 = 57.7 7.97

2= 229.93 𝑘𝑖𝑝 ii

Calculando el coeficiente sísmico para verificar Vs.


𝑄𝐼

=1.36

2 1.25 = 0.85

jj

Sujeto o restringido a la condición

𝐶𝑆 =𝑆𝐷1

𝑇𝐷 𝑄𝐼

=0.44

2.5 2 1.25 = 0.11

kk

Calculando la fuerza sísmica

𝐹𝑆 = 𝐶𝑆 ∗ 𝑊 = 0.11 ∗ 3530 = 388.3 𝑘𝑖𝑝

ll

En este caso se observa que domina el valor calculado en “ll” por lo tanto este debe

ser utilizado para el diseño

Capítulo 5 Ejemplo de aplicación 3B- Aislador de péndulo de fricción.


5.3.3.3 Ejemplo de aplicación 3B- Aislador de péndulo de

fricción.


Un hotel de 4 niveles será construido en una zona turística de León en el pacifico de

Nicaragua, los dueños del hotel han decidido proteger su inversión utilizando

aisladores de base, el ingeniero estructural sugiere que se utilice un sistema de

péndulo de fricción para el sistema de aislamiento. Las características del edificio se

detallan a continuación.

Edificio de acero de 4 niveles, con un sótano, sin irregularidades en planta o

en elevaciones.

Sistema de arriostramiento no concéntrico.

Dimensiones en Planta 120x120 ft

La distancia entre el centro de masa y el centro de rigidez que ha sido

calculada es de 5ft en cada nivel y en el techo.

El estudio geotécnico determino que nos encontramos con un tipo de suelo II.

El peso sísmico de la estructura es de 7200 kips

TD=2.5 segundos y TM=3.0 segundos.

Determine

Valores de cortante para base y valores de cortante para la superestructura

haciendo uso del método de la fuerza lateral equivalente que se encuentra en

el capítulo 3 de esta monografía.

Encuentre el radio que debe tener el disco del sistema del sistema de

péndulo de fricción

Solución del ejemplo de aplicación

Paso 1

Haciendo uso del periodo objetivo TD= 2.5 segundos y del periodo para el máximo

desplazamiento TM= 3.0 segundos se calculan los valores de rigideces, estos

corresponderán a KDMIN Y KMMIN respectivamente



Paso 2 -5

5.3.3.3.1 Rigideces

𝑘𝐷𝑀𝐼𝑁 = 𝑚𝜔2 = 7200

386.4

2𝜋

2.5

2

= 117.7 ≈ 118 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 a

𝑘𝑀𝑀𝐼𝑁 = 𝑚𝜔2 = 7200

386.4

2𝜋

3.0

2

= 82 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 b

En ejemplos anteriores se han realizado cálculos muy laboriosos para llegar a estos

valores, sin embargo según algunos autores lo realizado en (a) y (b) también es

válido. De igual manera se pueden calcular los otros valores de rigideces tomando

en cuenta lo que los reglamentos establecen de que es permitida una variación de

±15% en los valores de rigideces, y con esto se calculan los valores

correspondientes a KDMAX Y KMMAX.

𝑘𝐷𝑀𝐴𝑋 = 1.15 118

0.85 = 159.5 ≈ 160 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 c

𝑘𝑀𝑀𝐴𝑋 = 1.15 82

0.85 = 111 𝑘𝑖𝑝/𝑖𝑛 d

5.3.3.3.2 Aceleraciones

Paso 6

En este ejemplo el amortiguamiento es del 20% también a diferencia de los

ejemplos anteriores se supone que este amortiguamiento no varía y su valor

BD/BM=1.5

Los cálculos realizados para encontrar la aceleración espectral están resumidos en

la Tabla 5 - 25



Paso 7

Tabla 5 - 25

Tabla resumen calculo de aceleraciones

SS/S1 Fa/Fv SMS/ SM1 SDS/ SD1

SS= 2.00

Fa=1.0

𝑆𝑀𝑆 = 𝐹𝑎𝑆𝑆 = 1.0 2.0 = 2.0 𝑆𝐷𝑆 =2

3 2.0 = 1.33

S1= 0.40 Fv=1.4 𝑆𝑀1 = 𝐹𝑣𝑆1 = 1.4 0.4 = 0.56 𝑆𝐷1 =2

3 0.56 = 0.37

5.3.3.3.3 Desplazamientos

Paso 8

Con estos valores para las aceleraciones y los periodos se calculan los

desplazamientos de diseño y desplazamientos máximos.

Tabla 5 - 26

Tabla resumen calculo de desplazamientos

Ecuación Calculo

𝑫𝑫 =𝒈𝑺𝑫𝟏𝑻𝑫

𝟒𝝅𝟐𝜷𝑫 𝑫𝑫 =

386.4 0.37 2.5

𝟒𝝅𝟐 1.35 = 6.70 𝑖𝑛

𝑫𝑴 =𝒈𝑺𝑴𝟏𝑻𝑴

𝟒𝝅𝟐𝜷𝑴 𝑫𝑀 =

386.4 0.56 3.0

𝟒𝝅𝟐 1.35 = 12.17 𝑖𝑛

𝑫𝑻𝑫 = 𝑫𝑫 𝟏 + 𝒚𝟏𝟐𝒆

𝒃𝟐 + 𝒅𝟐 𝐷𝑇𝐷 = 6.70 1 + 60

12 5 + 120 ∗ 0.05

12012 + 12012 = 15.51 𝑖𝑛

𝑫𝑻𝑴 = 𝑫𝑴 𝟏 + 𝒚𝟏𝟐𝒆

𝒃𝟐 + 𝒅𝟐 𝐷𝑇𝐷 = 12.17 1 + 60

12 5 + 120 ∗ 0.05

12012 + 12012 = 8.54 𝑖𝑛

Paso 9



5.3.3.3.4 Cortante

El cortante se calcula con la rigidez KDMAX y el desplazamiento de diseño calculado.

Tabla 5 - 27 Calculo de la fuerza cortante

Cortante debajo del sistema de aislamiento

Cortante en la superestructura

𝑽𝒃 = 𝒌𝑫𝒎𝒂𝒙𝑫𝑫 = 𝟏𝟔𝟎 𝟔.𝟕𝟎 = 𝟏𝟎𝟕𝟐 𝒌𝒊𝒑 𝑽𝑺 =

𝒌𝑫𝒎𝒂𝒙𝑫𝑫

𝑸=

160 6.70

𝟐= 𝟓𝟑𝟔 𝒌𝒊𝒑

La verificación del cortante, 𝑽𝑺, haciendo uso únicamente de lo que aparece en el

capítulo 3, en este caso se dice que I = 1.25 y Q=2, el valor de SDS= 1.33


𝑄𝐼

=1.33

2 1.25 = 0.831

e

Este valor para coeficiente sísmico no debe ser mayor que el calculado a como

sigue

𝐶𝑆 =𝑆𝐷1

𝑇𝐷 𝑄𝐼

=0.37

2.5 2 1.25 = 0.092

f

La fuerza sísmica se calcula a través de la ecuación 3-5

𝐹𝑆 = 𝐶𝑆 ∗ 𝑊 = 0.092 ∗ 7200 = 662.40 𝑘𝑖𝑝

g

Como se observa el valor en “g” domina y por lo tanto será el que utilizaremos para

el diseño, este diseño es el convencional para estructuras no aisladas localizadas

en zona sísmica.



5.3.3.3.5 Dimensionamiento preliminar de un sistema de

péndulo de fricción.

El periodo de un péndulo solamente depende del largo del mismo y no de su masa

de igual manera el periodo de una estructura con un sistema de péndulo de fricción

solamente depende del radio R del disco, así tenemos.

𝑇 = 2𝜋 𝑅

𝑔

h

La rigidez horizontal de un sistema utilizando péndulo de fricción está definida por el

peso de la estructura y el radio R del disco del sistema de péndulo de fricción.

𝑘𝐻 =𝑊

𝑅

i

Paso 10

Despejando de “h” encontramos el radio R.

𝑅 =𝑔𝑇2

2𝜋 2=

386.4 2.5 2

2𝜋 261.17 𝑖𝑛

j

Un cálculo rápido de la rigidez efectiva con la ecuación 4-37, para esto se usa un

valor de 𝜇𝑠 = 0.06 y un desplazamiento de diseño de 6.7 in que se encuentra dentro

de los parámetros aceptables.

𝑘𝑒𝑓𝑓 = 𝑃𝑐 1

𝑅+

𝜇𝑠𝐷𝐷

=7200

61.17+ 0.06 7200

6.7= 182.18 k

El radio R de los discos para el sistema de aislamiento en base a péndulo de fricción debe ser de 5ft

Conclusiones


Conclusiones

1. El concepto de aislamiento sísmico es sencillo y existe abundante

información especialmente a los sistemas elastoméricos, ampliamente

explicado en el capítulo. 1.

2. En cuanto a los distintos tipos de aisladores se encontró que existen varios

tipos, algunos en fases experimentales y no se consideran prácticos aun,

los principales son los elastoméricos y los de fricción a través de

dispositivos mecánicos, los cuales han sido utilizados alrededor del mundo

y además se ha creado una base teórica bastante comprensible.

3. Se puede utilizar el método de superposición modal para analizar las

estructuras aisladas sísmicamente siempre y cuando estas no muestren

amortiguamientos por encima del 20% del crítico, en el caso de que se

presenten amortiguamientos superiores a los antes mencionados la teoría

contenida en el capítulo 2 deja de ser válida y debe hacerse un análisis de

las ecuaciones acopladas debido a este amortiguamiento, esto está fuera

del alcance de esta monografía.

4. El código ASCE 7 – 05 sirve como una guía para hacer uso de los mapas

de aceleraciones espectrales para el cálculo de las fuerzas laterales y

métodos lineales de análisis así como un marco de las buenas prácticas y

consideraciones a tener en cuenta para el análisis, diseño e

implementación de las estructuras aisladas sísmicamente, sin embargo se

deben estudiar qué coeficientes corresponden a nuestro país en cada una

de las ecuaciones que se utilizan y así poder hacer un uso más correcto de

los mapas que se han desarrollado.

5. Los sitios de implementación de los aisladores de base se consideran

apropiados suelos que sean rígidos, pudiéndose utilizar los que entran en

los tipos I, II o III, se evitan suelos tipo IV para evitar que los grandes

desplazamientos que se dan en la base se puedan amplificar debido a

grandes movimientos del terreno, esto es un efecto totalmente indeseable

Conclusiones


ya que puede inducir grandes desplazamientos en la superestructura,

anulando cualquier beneficio del aislamiento sísmico.

6. El fenómeno de levantamiento vertical debido a altas aceleraciones

verticales característico de sismos de fuente cercana y poca profundidad

como los que se generan en la ciudad de Managua, no ha podido ser

abarcado en esta monografía de manera apropiada y sus efectos son de

importante consideración, sin embargo este tipo de estudio está fuera del

alcance de esta monografía.

7. El mayor problema al momento de diseñar los aisladores tanto

elastoméricos como de fricción es sin duda la falta de conocimiento de las

características de los materiales, esto como resultado de que la mayoría de

las investigaciones y de estudios alrededor del aislamiento sísmico son de

la empresa privada.

8. Para el análisis asistido por computadora usando el espectro de respuesta

los valores de desplazamientos calculados se encuentran dentro de los

mínimos y para el análisis de respuesta en el tiempo se encuentra que la

envolvente de cada uno de las respuestas obtenidas son menores que los

calculados por el método de la fuerza lateral equivalente comprobando la

importancia de porque se exigen los análisis manuales como límites

mínimos para el diseño.

Recomendaciones


Recomendaciones

Al departamento de estructuras.

1. Continuar el desarrollo de la teoría para tomar en cuenta los sistemas que

presentan amortiguamientos por encima del 20%.

2. Realizar investigación del uso de aisladores sísmicos en estructuras que no

sean tipo edificio, los puentes deberían de ser una de estas estructuras ya

que son estructuras de vital importancia para un país.

3. Realizar investigaciones de las propiedades mecánicas, proceso de

manufactura de materiales y tecnologías que puedan utilizarse a nivel

nacional para que sirvan de materia prima en la producción de dispositivos

de aislamiento sísmico tanto elastoméricos como de fricción.

4. Realizar investigaciones acerca del proceso y la tecnología de manufactura

de las unidades de aislamiento.

5. Desarrollar prototipos a escala de sistemas de aisladores para el estudio de

su posible aplicación en estructuras a nivel nacional.

6. Realizar estudios de los coeficientes y ecuaciones que aparecen en el

ASCE 7 – 05, para adaptarlos al entorno nacional.

7. Realizar investigaciones y/o análisis del costo económico de la

implementación en las estructuras del país.

8. Estudiar las técnicas a través de las cuales se podría implementar estos

dispositivos a estructuras ya existentes que sean de relevancia para la

nación.

9. Realizar investigaciones acerca del detallado de la unión de los aisladores

con los elementos estructurales arriba y debajo de la interfaz de

aislamiento.

10. Realizar investigaciones de los efectos de pandeo lateral y grandes

deformaciones en los aisladores.

Recomendaciones


11. Realizar investigaciones acerca de las nuevas técnicas de aislamiento

sísmico que usan un enfoque geotécnico.

12. Realizar investigaciones alrededor de lo que se conoce como aislamiento

inteligente.

A la facultad

13. Crear base de datos de temas de interés en los distintos ramos que la

carrera oferta y desarrollar mecanismos y normativas que promuevan la

investigación en todos sus niveles, tanto a nivel del estudiante de pregrado

con sus monografías, como a nivel de los docentes, estudiantes de

maestría en sus distintas modalidades, dentro de la facultad

14. Crear un comité de revisión y fiscalización de la investigación, que se

encargue de darle seguimiento del avance a cada proyecto de investigación

que la facultad este desarrollando.

15. Realizar retroalimentación y actualización a través de foros, conferencias,

publicación en revistas, de las investigaciones que realicen tanto

estudiantes como docentes, que sea parte de la política de la facultad

divulgar, promover e incentivar la investigación.

16. Realizar hermanamientos con otras universidades tanto nacionales como

internacionales en las líneas de investigación para fortalecer, retroalimentar

y aumentar el conocimiento.

<Bibliografía


Bibliografía

1. American Society Civil Engineers. (2005). Minimum Design Loads for

Building and Other Structures. Reston, Virginia.

2. Cheng, F. Y., Jiang, H., & Lou, K. (2008). Smart Structures Innovative

Systems for Seismic Response Control. New York: CRC Press Taylor &

Francis Group.

3. Chopra, Anil K. (1995). Dynamics of Structures. Englewood Cliff, New

Jersey: Prentice - Hall.

4. FEMA 451. (2006). NEHRP Recommended Provisions: Design Examples.

Washington D.C: Federal Emergency Management Agency.

5. Gun, A. M. (2008). Encyclopedia of Disasters: Environmental Catastrophes

and Human Tragedies. En A. M. Gun. Greenwood publishing group.

6. International Conference of Building Officials . (1997). Uniform Building

Code Volume 2.

7. Kelly, J. K. (1999). Design of Seismic Isolated Structures From Theory to

Practice. John Wiley & Sons.

8. Proyecto Resis II. (2008). Evaluacion de la Amenaza Sismica en

Centroamerica.

9. Sait, T. (2007). International Trends of Application of Seismic Isolation

Systems. Japan Building Research Institute.

10. Taranath, B. S. (2005). Wind and Earthquake Resistant Buildings: Structural

Analysis and Design . New York: CRC Press.

ANEXOS

Anexo 1 Antecedentes del Aislamiento sísmico

Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página i

Antecedentes del Aislamiento Sísmico

Nicaragua

En Nicaragua, a raíz del terremoto de Managua en 1972, los franceses ofrecen

usar su técnica de aislamiento sísmico en edificios públicos. El entonces Jefe

de la Guardia Nacional y presidente del Comité Nacional de Emergencia

Anastasio Somoza Debayle accede (Anexo 1A) para un edificio de la

Cementera Nacional. Parte del plan era que dos ingenieros nicaragüenses

fuesen educados en Francia en diseño de estructuras. Solo uno de ellos

finalmente viajo a Francia. En cuanto al edificio, se hicieron los cálculos, se

hicieron los planos, pero nunca se construyo si se hubiese construido hubiera

sido el primero en el mundo con aisladores de base modernos.

Cuando el nuevo edificio del SINAPRED estuvo en la fase de diseño se

enviaron sus planos para el diseño del sistema de aislamiento, estos diseños

fueron realizados por el Dr Julio Miranda, sin embargo igual que en el edificio

de la cementera no se llevo a cabo su implementación.

En la parte de reglamentación en 1983 se publicó el Reglamento Nacional de la

Construcción, documento en que se normaba el diseño de estructuras.

Después de casi 25 años, específicamente el año 2007, fue reemplazado por el

Nuevo Reglamento Nacional de la Construcción, que seguirá rigiendo en los

ámbitos de diseños, criterios y especificaciones mínimas, relacionadas al

diseño de estructuras de concreto reforzado, acero, madera y mampostería.

Podemos decir que las estructuras mencionadas anteriormente son

convencionales, en el sentido de que utilizan un enfoque de resistencia, es

decir, la estructura y sus elementos resistentes son los que aportan la totalidad

de la rigidez al sistema. El Reglamento Nacional de la Construcción sigue

vigente para estas estructuras, sin embargo en él no existe referencia sobre

estructuras aisladas sísmicamente.

Internacionalmente

El aislamiento sísmico es lo que se conoce como un dispositivo de control

pasivo. Sus orígenes se remontan a 1909 cuando, el médico inglés, J. A


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página ii

Calentarients le escribe una carta al director del Servicio Sismológico de Chile,

comunicándole sobre el nuevo método de construcción de edificios que él

había desarrollado y que se basaba principalmente en el uso de uniones

lubricadas (con talco)

En esa misiva, el médico indicaba que con su método, en caso de terremotos,

estas uniones lubricadas se deslizaban, por lo que el sismo perdía fuerza y a la

vez se reducía la fuerza trasmitida al edificio1, pudiendo aplicarse con

seguridad en los países sísmicos.

En la década de los 70 se dan los comienzos y mayores avance de los estudios

de aislamiento sísmico utilizando caucho y acero, Gilles C. Delfosse, C. J

Derham, James M. Kelly, R. Ivan Skinner, son algunos de los principales

desarrolladores de la teoría e implementación de los aisladores de base

utilizando caucho, es hasta la década de los 80 que se da el desarrollo de los

sistemas de aislamiento utilizando sistemas de fricción

En 1969, fueron utilizados lo que se podrían llamar los ancestros de los

aisladores modernos, de caucho con refuerzo de acero, que consistían

únicamente en un bloque de caucho estos fueron utilizados en la escuela

primaria “Pestalozzi”, una estructura de concreto de 3 niveles, en Skopje,

Yugoslavia, estos ya han sido retirados

En 1978 en el Liceo de Lambesc en el sur de Francia fue la primera estructura

grande que utilizo aisladores sísmicos modernos, 4 años después en 1982 un

comité de San Bernardino California visita este edificio para la aplicación de

esta técnica en un edificio en su ciudad.

En Estados Unidos el primer caso de un aislador de base aplicado a una

estructura fue en 1979, un interruptor eléctrico propiedad del California Water

Resources Department, es hasta 1985 que se aplica la tecnología a un edificio

grande también en California a 21 km de la falla de San Andrés2. En el

1 Design of Seismic Isolated Structures: From Theory to Practice.. F. Naeim and J. M. Kelly Copyright © 1999 John Wiley & Sons, Inc, Pagina 1.

2 Smart structures: Innovative Systems for Seismic Response Control. Franklin Y. Cheng, Hongping Jian and Kangyu Lou. Copyright © 2008 by Taylor and Francis Group, LLC, Pagina 10.


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página iii

“Foothill Community Law and Justice Center” en este edificio se usaron

aisladores de caucho de alto amortiguamiento.

En ocasiones, algunas estructuras requieren el uso de amortiguadores

externos para evitar que, en caso de vientos fuertes o sismos pequeños, la

estructura se mueva. Pero los aisladores de caucho más modernos tienen un

alto amortiguamiento, sorteando así, la necesidad de amortiguadores externos

para resistir aquellas fuerzas.

Una de sus ventajas es que no requieren mantenimiento porque son muy

resistentes a daños producidos por el medio ambiente.

Otro método conocido son los sistemas en base a fricción en combinación con

sistemas elastoméricos. Un ejemplo de esto es “Mackay School of Mines” en la

Universidad de Nevada, Reno, Estados Unidos, en el año 1992. Los sistemas

de fricción no tienden a usarse solos, a excepción de los sistemas de péndulo

de fricción. Este último, fue creado en 1986 y utilizado por primera vez en 1989

en el reacondicionamiento de un edificio de apartamentos de 4 niveles que

resultó dañado en el terremoto de Loma Prieta.

En Japón, el centro de computadoras postales al oeste de Kobe, es un edificio

de 6 niveles en el que se utilizaron 120 aisladores elastoméricos. Durante el

gran terremoto en 1995 el edificio se comportó satisfactoriamente sin sufrir

mayores daños, a pesar de estar ubicado aproximadamente a 30 km del

epicentro.

En Europa, Italia, Francia y Nueva Zelanda son los países con más avances,

estudios y programas de aislamiento sísmico. En Italia, se han construido

varios edificios importantes como el Centro Nacional de Administración de la

Compañía de Teléfono, un complejo de 5 edificios de 7 niveles, en Ancona. Así

también, proyectos de rehabilitación y reforzamiento de un edificio histórico en

la villa de Frigento al sur de Italia, En Francia, plantas nucleares y edificios de

distinto tamaño de igual manera en Nueva Zelanda.

El aislamiento de base ha sido utilizado exitosamente en edificios de

mampostería reforzada y sin reforzar, en edificios en base a marcos de acero,

en edificios a base de muros de cortantes, concreto e inclusive madera.


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página iv

En Estados Unidos, las primeras provisiones para el diseño de estructuras

aisladas sísmicamente fueron desarrolladas por la sección norte de la

Asociación de Ingenieros Estructurales de California (SEAOC) en 19863. El

comité de sismología de la SEAOC revisó estas provisiones de diseño y publicó

la revisión como apéndice 1L al libro azul de la SEAOC en 19904. Después de

esto, en la Conferencia Internacional de Oficiales Construcción (ICBO) hizo

cambios editoriales menores al apéndice 1L y los incluyó en el Código

Uniforme para la Construcción (UBC) como un apéndice no mandatario al

capítulo 235. El último UBC de 1997, trae un código mucho más elaborado, en

donde se hace un énfasis en el análisis dinámico para el diseño, siendo

considerado por algunos autores como extremadamente complicado

La Agencia Federal para el Manejo de Emergencia (FEMA) desde 1997 ha

desarrollado guías para el diseño de nuevos edificios o la rehabilitación

haciendo uso de aisladores de base, las publicaciones relacionadas a este

tópico son: FEMA 273, FEMA 274, FEMA 356, FEMA 357, FEMA 450 y FEMA

451.

En Latinoamérica el código chileno en su Nch2745 retoma el UBC 97. Las

últimas provisiones de diseño de estructuras aisladas sísmicamente fueron

dictadas por la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ASCE) en los

estándares ASCE 7-05. En el Código Internacional de la Construcción de 2006

(IBC-2006) se hace referencia directa al ASCE 7-05.

3 Structural Engineers Association of California (SEAOC), Tentative Seismic Isolation Design, San

Francisco, CA, 1986 4 Structural Engineers Association of California (SEAOC), Recommended Lateral Force Requirements

and Commentary, 5th ed. , Sacramento, CA, 1990 5 International Conference of Building Code (ICBO), Division III.- Earthquake Regulations for Seismic –

Isolated Structures, Appendix to Chapter 23, Uniform Building Code, 1991 Edition Whittier, CA, 1991

Ejemplos de aplicación de aisladores en edificios

Apendice 2-1 Aplicaciones de aislamiento sísmico en algunos países del mundo

Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página i

Aplicaciones del Aislamiento de base en algunos países del mundo.

ITALIA

Figura 2-1- a Centro Regional de Telecomunicaciones en Ancona construida utilizando Aisladores de Caucho de Alto

amortiguamiento en 1992

Figura 2-1- b Centro Médico de la Marina Italiana en donde se

usaron aisladores de alto amortiguamiento

Figura 2-1- c Edificio de Apartamentos de la Marina Italiana en

donde se usaron aisladores de alto amortiguamiento


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página ii

Figura 2-1- d Superestructura de Hospital que fue construido

utilizando aisladores de base

Figura 2-1- e Sótano del Hospital, aquí se usaron aisladores de

alto amortiguamiento


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página iii

COREA

En Corea los aisladores de base se introducen con la construcción de la Terminal de Gas Liquido Natural (GLN)

Figura 2-1- f

Aislador de Caucho Congelado a -28ºC

Figura 2-1- g

Prototipo de aislador con núcleo de plomo sometido a pruebas de ensayo

Figura 2-1- h

Arreglo en el cual se colocan los aisladores para soportar un tanque de almacenamiento de GLN

Figura 2-1- i

Aislador con núcleo de plomo soportando tanque de GLN

Figura 2-1- j

Vista de tanque de almacenamiento de GLN con aisladores de núcleo de plomo


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página iv

ESTADOS UNIDOS

Figura 2-1- k Foothill Communities Law and Justice Center

Primer edificio que utilizó sistemas de aislamiento sísmico (caucho de alto amortiguamiento

Figura 2-1- l Corte de apelaciones en San Francisco utilizó sistemas de fricción


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página v

Figura 2-1- m Cuarteles Centrales de “Pixar Animation Estudio”, utilizó 216 aisladores combinando sistemas

elastoméricos y de fricción.


Roger Iván Meza Blandón Edgard Ezequiel Sánchez García Página vi

MACEDONIA

Figura 2-1- n Escuela Pestalozi en Skopje, primer edificio que utilizó aisladores de base. Fue construido en 1969

Figura 2-1- o

Aisladores de caucho abultados y Tacos de Fibra de vidrio para evitar desplazamientos debido a sismos pequeños y viento colocados en la escuela Pestalozi

ANEXO 4-1Jueves, 25 de Junio de 2009

07:06 p.m.

ANEXO 4-1 página 1

Colocación de aisladores en una estructura ya existente

Forell / Elsesser Engineers, Inc.

Existing Condition


Install Foundation Reinforcing


New Foundation Built


Install Formwork for Jacking Piers Around Existing Columns


Jacking Pier Construction


Jacking Pier Built


Temporary Jacks Installed


Existing Column Cut


Isolator Installed


Isolator Locking Plates Installed


Steel Bracing Installed


Locking Plates Removed

Factor Z Zona 1 2A 2B 3 4

Z 0.075 0.15 0.20 0.30 0.40

Tipo de fuente sísmica.

Fuente sísmica Descripción de fuente sísmica

Definición de la fuente

Máxima magnitud de momento, M

Índice de deriva ID (mm/año)

A Fallas capaces de producir eventos de gran magnitud y tienen alto índice de

actividad sísmica ID>5

B Cualquier falla que no sea A o C M 7.0 M<7.0 M 6.5

ID<5 ID>2 ID<2

C Fallas que no son capaces de producir

eventos sísmicos de gran magnitud y de baja actividad sísmica.

M<6.5

En el caso de fallas por subducción se debe hacer un estudio del sitio. Para conocer el tipo de fuente sísmica deben coincidir tanto M como ID para su correcta clasificación

Factor Nv Tipo de fuente

sísmica Distancia mas cercana a la fuente sísmica

5km 10km A 2.0 1.6 1.2 1.0 B 1.6 1.2 1.0 1.0 C 1.0 1.0 1.0 1.0

Coeficiente MM ZNv M

0.075 2.67 0.15 2.0 0.20 1.75 0.30 1.50 0.40 1.25

1.20

DISEÑO DE AISLADORES SISMICOS SEGUN ASCE

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