FACULTAD: INGENIERIA

ESCUELA: INGENIERIA CIVIL

CICLO: IX

CURSO: CONCRETO ARMADO II

PROFESOR: JUAN ALFARO RODRIGUEZ

TEMA: EJERCICIOS PRACTICOS METODOS BIAXIALES

INTEGRANTES: PLACENCIA HUAMAN MIGUEL

EJEMPLO 1DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO Teodoro E. Harmsen

Determinar la dimensión que falta en la columna mostrada en la figura de modo que la cuantía de refuerzo requerida sea 1%. El elemento está sometido a una carga axial de 300 tn. y un momento flector de 30 tn-m. Usar f'c=280 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.

La excentricidad de la carga es:

e=Mn/Pn =30/300 = 0.10m

y además: e/h=O. 1 O/O.4O=O.25

γ = (40 – 20)140=0.70

En el diagrama de interacción C-23 correspondientes a γ = 0.8 se procede por tanteos partiendode una cuantía de 1% y calculando Ag de Kny Rn

De este modo, el área bruta de la columna será:Ag = 3000 cm2

b=Ag/h=3000/40=75 cm.

yel área de refuerzo requerida será:As=0.01x40x75= 30cm2.

la cual será provista por 8 varillas #6 y 4 #S distribuidas como se muestra en la figura 10.35.El refuerzo transversal estará provisto por estribos cuyo espaciamiento es:

s<16db=16x2.54x0.75= 30cm.

s<48db (estribo) =48x2.54x3/8=46cm.

s<Menor dimensión de la columna=40 cm.

Luego, se colocarán estribos #3 @ 30 cm.

EJEMPLO 2DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO Teodoro E. Harmsen

Diseñar las columnas de sección rectangular capaces de resistir las siguientes combinacionesde cargas:

(a) Pn =180 tn. (b) Pn =320 tn.Mn =30 tn-m. Mn = 7 tn-m

Usar f´c=201 kg/cm2 y fy=4200 kg/cm2.

(a) Pn= 180 tn., Mn =30 tn-m.

Para el predimensionamiento se asumirá una cuantía de 2%. Haciendo uso de la expresión

Ag>Pu(0.45(f'c+fyr,))=0.65x1800001(0.45x(210+4200x0.02))=884 cm2.

Se puede considerar una sección de 40x40 cm. O una de 30x50. Esta última será la utilizadaya que en la dirección más peraltada la resistencia a la flexión es mayor y ésto será aprovechado. Para ingresar a los diagramas de interacción se requieren los siguientes valores:

Pn/Ag x f´c =0.97Mn/ Ag x f´c x h =0.32

e/h=(3000/180)150 =0.33Verificar que diagrama se utiliza

La flexión se presenta en una sola dirección por lo que el refuerzo se distribuirá en las caras más esforzadas de la columna. La distancia entre el refuerzo en ambas caras es aproximadamente:

γ h=50-12=38 cm.Γ = 38/50 =0.76

Conservadoramente, se utilizará el diagrama de interacción C-19 correspondiente a γ= 0 8 0 ,ubicado en el apéndice C del presente texto. Se ingresa al diagrama de interacción con Kn yRn y se obtiene que la cuantía requerida es:

Cuantia =5%As=5/100x30x50=75 cm2.

Con 15#8 se consigue el área de acero requerida, sin embargo, esta cantidad de varillas nopueden ser distribuidas en la columna cumpliendo con los límites de espaciamiento y recubrimiento. Por ello, la sección será incrementada a 40x60 cm. En este caso:

Por lo tanto, Para y=0.8, p=1 .O%. El área de acero requerida es:As=0.01x40x60=24 cm2

Esta puede proveerse con 4 varillas #8 y 2 #5.El refuerzo transversal consistirá en estribos rectangulares cuyo espaciamiento está dado por:

s<16db=16x2.54=40 cm.

S<48db(estribo)=48x2.54x3/8=46 cm.

s<Menor dimensión de la columna=40 cm.

Luego, la columna será provista de estribos #3@40 cm.

(b) Pn=320 tn., Mn=7 tn-m.

Asumiendo una cuantía de 2% para el predimensionamiento

Ag>Pu(0.45(f’c+fyr,))=0.65x3200001(0.45x(210+4200x0.02))=1572 cm2.

Se considerará una sección cuadrada de 50x50 cm. Ya que el elemento está prácticamentesometido a compresión pura. Los valores requeridos para ingresar a los diagramas de interacción son:

Pn/Ag x f´c =0.97Mn/ Ag x f´c x h =0.04e/h=(700/320)50 =0.044

El refuerzo se distribuirá en las caras más esforzadas de la columna.

Γ h=50-12=38 cm.γ = 38/50 =0.76

Utilizando el diagrama de interacción correspondiente a γ = O.8 se obtiene que la cuantía requerida es:

Cuantia =1%As=5/100x30x50=75 cm2

Con 4 varillas #8 y 2 #6 se obtiene el área de acero necesaria.

El refuerzo transversal consistirá en estribos rectangulares con espaciamiento S igual a:

s<16db=16x2.54=40 cm.

s<48db(estribo)=48x2.54x3/8=46 cm.

s<Menor dimensión de la columna=50 cm.

Se colocarán estribos #3@40 cm.

EJEMPLO 3:DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE CONCRETO ARMADO Teodoro E. Harmsen

Diseñar una columna de sección rectangular sometida a la siguiente carga:

Pn= 100 tn.Mux=22.5 tn-m.Muy= 15.5 tn-m.

No considerar efectos de esbeltez. Utilizar el método de Bresler. Considerar f'c=280kg/cm2 yfy=4200 kg/cm

La columna se predimensionará considerando una cuantía de 2%:

Ag>100000/(0.45(280+4200 x 0.02))= 610.5 cm2.

Se puede considerar una sección de 25x25 cm. o una de 20x30. Sin embargo, la relación (10-12) da buenos resultados cuando es utilizada en columnas sometidas a flexión en una dirección.En este caso, la columna resiste momentos considerables en dos direcciones. Por ello, lasdimensiones de la columna se tomarán mayores que las estimadas. En principio, se consideraráuna sección de 30x40 cm.

El diseño por el método de Bresler consiste en determinar el refuerzo de la columna en las dosdirecciones independientemente y finalmente verificar que la carga axial que puede resistir lacolumna sometida a flexión biaxial sea mayor que la aplicada

Dirección X-X: h=40 cm., b=30 cm. y 'γ=(40-12)/40=0.7

Kn= 10000030 x40 x 0.65 x280

=0.46

Rn= 22.5 x105

30 x402 x 0.65x 280=0.26

Para γ=0.7, se obtiene que la cuantía de refuerzo en la sección analizada es 3.5%, lo que equivale a un área de acero de 42 cm2. Esta puede ser provista por 4 varillas #6 y 6 varillas #8. La sección es muy pequeña para esta cantidad de refuerzo, por lo que se incrementará a 35x45 cm. En este caso:

γ=(45-12)/45=0.73

Kn= 10000035 x45 x 0.65 x280

=0.34

Rn= 22.5 x105

35 x452 x 0.65x 280=0.16

Para γ =0.7 p= 1.3%, equivalente a 20.48 cm2, los cuales pueden ser provistos por 4 varillas #8.

ÚirecciónY-Y: h=35 cm., b=45 cm. Y y=(35-12)/35=0.66

Ks = 0.34

Rn= 15.5 x105

35 x452 x 0.65 x 280=0.15

Para γ =0.7 p.= l%. La columna requiere una cuantía de 1% ó 15.75 cm2. Se le colocarán 2 varillas #8 y 2 #6. Este refuerzo es adicional al calculado para la dirección X-X.

El paso final del método consiste en estimar la resistencia de la pieza a la compresión y verificar que ésta sea superior a la carga aplicada. La cuantía total de la columna, considerando el refuerzo requerido en la dirección X-X e Y-Y es:

P=(6x5.1+2x2.85)/(45x35)=2.3%

Para aplicar la ecuación (10-35) es necesario determinar la resistencia a la compresión axial dela columna si ésta se encuentra sometida únicamente a flexión en una dirección. Haciendo usode los diagramas de interacción correspondientes, se obtiene los siguientes resultados.

En la dirección X-X:

γ =0.7

Rn=O. 17

Del diagrama Kn=0.48 y Pu=0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.48=137.6 tn.

En la dirección Y-Y

γ =0.66

Rn=O. 15

Para γ =0.7 Ku =0.66 Pn=0.65 x 280 x 35 x 45 x 0.66=189.2 tn

Es importante destacar que los diagramas de interacción empleados en los cálculos anterioresson los que corresponden a columnas de sección rectangular con refuerzo en las cuatro caras.La resistencia a la compresión pura de la pieza es:

ϕPo=0.65x(0.85x280x(35x45-36.3)+4200~36.3)=3317 tn

Con los parámetros determinados es posible estimar la resistencia a la compresión de la columna sometida a flexión biaxial:

1/Pi=1/137.6+1/18 9.2-11337.1

Pi=104.3 tn.>100 tn.

Por lo tanto, según el método de Bresler, la columna es capaz de resistir las cargas aplicadas

Diseñar una columna de sección rectangular sometida a las siguientes cargas:P = 160 tn.

Mux= 30 tn-m.Muy = 20 tn-m.

No considerar efectos de esbeltez. Utilizar el método del contorno de carga. Considerarf'c=280 kg/cm2 y Y4200 kg/cm2.

La columna se predimensionará haciendo uso de la expresión (10-17) y considerando unacuantía de 2%:

Ag>160000/(0.45(280+4200 x 0.02))= 977 cm2.

Si la sección estuviera sometida a flexión uniaxial, se podría considerar una sección de 35x35cm. o una de 25x40. Sin embargo, en este caso, el cálculo se iniciará con una sección de mayor área 35x50 cm.

El diseño por el método del contorno de carga consiste en estimar un momento equivalente quepretende tomar en cuenta el efecto de los momentos en las dos direcciones. Dependiendo dela relación entre Muy/Muyxbíh, se empleará las expresiones (10-40) 6 (10-41). Con el momento equivalente se calcula el refuerzo en una dirección y en la otra se coloca refuerzo proporcional a la relación entre los lados de la columna. Finalmente, con la expresión (10-39) se verifica que el elemento sea capaz de resistir las cargas aplicadas.

Para determinar el momento equivalente es necesario conocer los siguientes parámetrosMuy/Mux= 20/30=0.67

b/h=35/50=0.7

Como Muy/Mux<bh entonces se hará uso de la relación (10-41). Asumiendo que P=0.65:Mm=30+20x(50/35)x(1-0.65)/0.65=45.38tn -m.

y=(50-12)/50=0.76

Kn= 16000035 x50 x0.65 x 280

=0.51

Rn= 45.38 x105

35 x502 x0.65 x280 =0.28

Haciendo uso del diagrama de interacción C-23 correspondiente, se determina que la cuantía deacero es 3.5% que equivale a un área de 61.25 cm2. Esta será provista por 12 varillas #8. Estacantidad de refuerzo no cabe paralelamente al lado menor de la columna. Por ello, la sección se incrementará a 40x60 cm. En este caso:

b/h=40/60=0.67

Como Muy/Mux=bh ;Asumiendo que b=0.65

Mox=30+20x(60/40)x(-1O .65)/0.65=46.15 tn-m.

y=(60-12)/60=0.80

Kn= 16000040 x 60 x 0.65 x280

=0.37

Rn= 46.15 x105

40 x 602 x 0.65 x 280=0.28

Haciendo uso del diagrama de interacción C-23, se obtienep= 1.15 %, lo que equivale a un área de acero de 27.6 cm2 6 6 varillas #8. En la otra dirección necesaria:

As=27.6/40x60=41.4 cm2 (6 varillas #8 y 4#6)

Por lo tanto, paralelamente al lado mayor, considerando las dos varillas que corresponden a losextremos del arreglo en la dirección perpendicular, será necesario añadir 3 varillas adicionales cada lado. La cuantía total de refuerzo será:

p=(8x5.1+4x2.85)/(6Ox4O)=2.l8%Considerando la carga axial que resiste la columna y la cuantía provista es posible determinarla resistencia a la flexión de la pieza si está sometida únicamente a flexión uniaxial.

Resistencia a laJZexión en X-X: h=60 cm., b=40 cm. y ~ ( 6 0 1-2 )/60=0.8

Con Kn=0.37 y p=2.18%

SeobtieneRn=0.19

M_ =0.65x280x40x602x0. l9=49795OO kglcm

Resistencia a la fiexión en Y- Y;.h=40 cm., b=60 cm. y y=(4O- l2)/4O=O.7Con Kn=0.37 y p=2.18%

Se obtiene Rn=O.18

Moy=0.65x280x402x60x01.8 =31 45000 kg-cm

Para verificar que la resistencia de la pieza sea mayor que las cargas, es necesario determinar el

parámetrop con ayuda de la gráfica presentada en la figura 10.32. Para entrar a la gráfica se requiere:

Mux/Mox=3000000/4979500=0.60Muy/Moy=2000000/3145000=0.64

De la gráfica se obtiene que P=0.62. Finalmente, en la expresión

(Iog P)/(log 0.5)=0.690

(Mux/ Mox)0.690+(MuylMy)0.690 =1.44>1

Por lo tanto, la resistencia del elemento es menor que las cargas que soporta. Si consideramos que en la cara de mayor longitud, la columna cuenta con 3 varillas #8 y reemplazamos las varillas #6 por varillas #8 y adicionamos 2 varillas #8, se tiene:

P = 14x5.1(60x40)=2.98%Resistencia a laflexión en X-X: h=60 cm., b=40 cm. y = 0 .8

Para ~ 0 . 8 0M, ox= S765800 kg-cm.

Resistencia a la flexion en Y-Y: h=40 cm., b=60 cm. y =0 . 7

Para y-0.70, MOy=35188 00 kg-cm.

Mux/M =3000000/5765800=0.52MuylMoy=20000005/831800=0. 56

B=0.535

(log B)/(log 0.5)=0.90(Mux/ Mox)0.90+(Muy/Moy)0.90=1

Con la nueva armadura, la sección cuenta con la resistencia requerida para soportar las cargasque se le imponen. En la figura 10.38 se muestra el detallado final del refuerzo.

EJEMPLO 4OTTAZZI PASINO GIANFRANCO MATERIAL DE ENSEÑANZA DE CONCRETO ARMADO

Diseño de una columna en flexión biaxial

Ya que no tenemos una idea precisa del área necesaria, para iniciar los tanteos hagamos el diseño de la columna para flexión uniaxial alrededor de cada uno de los ejes por separado. Utilizaremos los ábacos para diseño en flexión uniaxial para columnas con armadura en las cuatro caras

- Para Muy = 0, tendremos:

- Para Mux = 0, tendremos:

Por lo tanto el área total de acero (Ast) deberá ser por lo menos, mayor que 22 cm2. Intentemos con un área de acero que sea la suma de ambas áreas halladas 15 + 22 = 37 cm2

. Esta aproximación es la base de uno de los varios métodos (métodos de superposición) para el diseño de columnas en flexión biaxial, sin embargo no tiene una base física y puede no ser conservador ya que se está empleando dos veces la capacidad máxima del concreto. Iniciemos los tanteos con el siguiente arreglo:

φ Po = 0.7 (0.85x210x(1600 – 41) + 40.8x4200) ≈ 0.7 x 450 = 315 ton

- Deberá cumplirse que:

Pu> 0.1 φ Po = 0.1 x 315 ≈ 32 ton ok Pu < Pu max = 0.8 φ Po = 0.8 x 315 =252 ton ok (Pu= 170)

- Cálculo de la capacidad para momento flector solo alrededor del eje x:

- Cálculo de la capacidad para momento flector solo alrededor del eje y:

- Aplicando Bresler:

Pur ≈ 190 ton > Pu = 170 ok.

A manera de verificación, se calculó con la ayuda de un programa de cómputo la solución “exacta” resultando en un área de acero requerida de 43 cm2 para las solicitaciones antes indicadas:

La figura a continuación muestra los contornos de carga constante para la columna de 0.40x0.40 reforzada con 8 barras de 1”. El contorno número 2 corresponde a la carga nominal actuante (170/0.7 = 243 ton), el contorno número 1 corresponde a la carga que produce la falla balanceada de la sección y el número 3 se ha incluido para mostrar la tendencia de los contornos al aumentar la carga axial.

EJEMPLO 5OTTAZZI PASINO GIANFRANCO MATERIAL DE ENSEÑANZA DE CONCRETO ARMADO

Diseño de una columna en flexión biaxial. Diseñemos la misma columna del ejemplo 1 pero solicitada por una carga axial pequeña de Pu = 25 ton

- Al ser la carga axial baja (Pu ≤ 0.1 φ Po) no es aplicable la ecuación de Bresler, usaremos la ecuación de interacción 9-1 para flexión simple:

- Aproximación inicial al área de acero requerida:

Para Pu = 25 Mux = 10, Muy = 0 Ast ≈ 13 cm2

Para Pu = 25 Mux = 0, Muy = 12 Ast ≈ 19 cm2

Seleccionemos un área de acero que sea la suma de las calculadas para flexión uniaxialAst ≈ 32 cm2. Intentaremos con 12 φ 3/4” en el siguiente arreglo:

- Para Pu = 25 ton y ρ = 2.13%, utilizando los ábacos para flexión uniaxial para columnas con acero en las cuatro caras, se obtiene:

φ Mnx = φ Mny ≈ 17.5 ton-m (φ = 0.75)

- Si calculamos la resistencia suponiendo flexión pura (Pu = 0) se obtiene:

φ Mnx = φ Mny ≈ 18.1 ton-m (φ = 0.9)

- Remplazando valores en la ecuación de interacción:

Una alternativa sería la de aumentar el área de acero, por ejemplo probar con una nueva armadura de 4φ1" + 8φ3/4". Otra posibilidad consiste en calcular un punto adicional del contorno de carga ya que sabemos que la aproximación lineal es conservadora, tal como se ilustra en la siguiente figura:

Generaremos un punto adicional del contorno de carga correspondiente al caso más simple, el de flexión a 45° como se muestra a continuación:

Para Pu = 25 ton y una armadura de 12φ3/4” utilizando un proceso iterativo relativamente simple, se obtiene φ Mnx = φ Mny ≈ 11.1 ton-m. En este caso el bloque de compresiones, por la doble simetría de la sección y las armaduras y por la baja intensidad de la carga axial, es un triángulo isósceles. Con este punto adicional se puede mejorar la aproximación inicial:

De la figura anterior es claro que la armadura supuesta (12φ3/4”) es adecuada para soportar las solicitaciones externas. A manera de verificación, se calculó con la ayuda de un programa de cómputo la solución “exacta” resultando, para las solicitaciones antes indicadas, un área de acero requerida de 33 cm2 aproximadamente.

EJEMEPLO 6OTTAZZI PASINO GIANFRANCO MATERIAL DE ENSEÑANZA DE CONCRETO ARMADO

Determinar las dimensiones y la armadura requerida para una columna con estribos cerrados para las siguientes cargas y momentos mayorados. Suponer que la armadura está igualmente distribuida en todas las caras.Pu = 1200 kips; Mux = 300 ft-kips; Muy = 125 ft-kipsf'c = 5000 psi; fy = 60.00 psi

1. Determinar las resistencias nominales requeridas, asumiendo comportamiento controlado por compresión.

2. Asumir β = 0,653. Determinar una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox o Mnoy.

Por lo tanto, usando la Ecuación

4. Suponiendo una columna cuadrada de 24 × 24 in., determinar la armadura requerida para proveer una resistencia a la carga axial Pn = 1846 kips y una resistencia al momento uniaxial equivalente Mnox = 565,1 ft-kips. La siguiente figura es un diagrama de interacción para esta columna con 4 barras No. 11. La sección con esta armadura es adecuada para (Pn, Mnox).

5. Ahora verificamos la sección elegida para la resistencia biaxial usando cada uno de los

tres métodos presentados en la discusión.

a. Método de las Cargas Recíprocas de Bresler

VerificarPn ≥ 0,1f'c Ag

1714 kips > 0,1 (5) (576) = 288 kips

Para usar este método es necesario determinar Po, Pox y Poy.

Po = 0,85f 'c (Ag −Ast)+Astfy

= 0,85(5)(576 − 6,24) + 6, 24(60) = 2796 kips

Pox es la resistencia a la carga uniaxial cuando sobre la columna sólo actúa Mnx.

Del diagrama de interacción, Pox = 2225 kips cuando Mnx = 461,5 ft-kips.

De manera similar, Poy = 2575 kips cuando Mny = 192,3 ft-kips. Observar que tanto Pox

como Poy son mayores que la fuerza axial balanceada, de modo que la sección es

controlada por compresión.

Usando estos valores se puede evaluar la Ecuación

b. Método del Contorno de las Cargas de BreslerComo no hay datos disponibles, se elige un valor conservador α = 1,0. Aunque Pu > 0,1 f'c Ag, se incluirán los cálculos necesarios a título ilustrativo. Dado que la sección es simétrica, Mnox es igual a Mnoy. Del diagrama de interacción, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips.

Usando el valor anterior se puede evaluar la Ecuación

c. Método del Contorno de las Cargas de la PCAAntes de aplicar este método es necesario hallar Po, Mnox, Mnoy y el valor real de β.

Dado que la sección es simétrica, Mnox es igual a Mnoy.Del diagrama de interacción, Mnox = 680 ft-kips para Pn = 1846 kips.

Una vez que se conoce Po y usando ρg (real), el valor real de β se determina de la siguiente manera:

De la Figura 7-15(a), β = 0,66Usando los valores hallados se puede evaluar la Ecuación

Esta sección también se puede verificar usando la aproximación bilineal.

EJEMPLO 7) Diseñar la sgte columna a flexion biaxial : juan ortega –concreto armado

Area = 50x50

Usar 8 varillas

Distribucion uniforme del acero

Pu = 300 Tn

ex = 6 cm 50

ey = 10 cm

fc =280 Kg /cm²

Φ = 0.70

7.5 35 7.5

Solucion

e = (ex ) ² +( ey ) ² = (6) ² +( 10) ² = 11.66 cm

 θ = tan -1(ex/ ey) = tan -1(6/ 10) = 30.96

Pu = 300000 = 0.4286

Fc x h² 280 x 50 ²

Pu = 300000 x 10 = 0.0857

Fc x h3 280 x 50 3

g = 50-15 = 0.7

50

De figura Biaxial ( θ = 45 ) ; Ptm = 0.25

De figura Uniaxial (θ = 0 ) ; Ptm = 0.24

Para θ = 30.96 tenemos : Ptm = 0.24

Ptm = 0.24 + (0.25 – 0.24 ) 30.96 / 45

Ptm = 0.2469

Si : m = 4200 / ( 0.85x 280 ) = 17.64

Como : Pt = 0.2469 / m = 0.2469 / 17.64

Pt = 0.0140 ----------- As = 0.0140 x 50 ² = 35 cm²

As = 35 cm²

Usar 8 Φ 1”

EJEMPLO 8) Diseñar la sgte columna a flexion biaxial (: juan ortega –concreto armado)

Area = 40 x 60 ex

Usar 16 varillas iguales

Distribucion uniforme de las cuatro caras

Pu = 170 Tn ey

ex = 12 cm

ey = 25 cm 60

fc = 280 Kg /cm²

fy= 4200 Kg /cm²

Φ = 0.70

Suponer g = 0.7 40

Solucion

Pu = 170000 = 0.253

Fc x b x h 280 x 40 x 60

Pu x ey ( 1+ ( ex x h / ey x b) ²

Fc x b x h

= 170000 x 25 (1 +(12 x 60 / 25 x 40 ) ² = 0.1299

280 x 40 x 60

θ ‘ = tan -1(ex x h / ey x b) = tan -1(12 x 60 / 25 x 40) = tan -1(0.72) = 35.75

De figura Biaxial ( θ = 45 ) ; Ptm = 0.65

De figura Uniaxial (θ = 0 ) ; Ptm = 0.45

Para θ = 35.75 tenemos : Ptm = 0.45 + ( 0.65 - 0.45 )35.75 / 45

Ptm = 0.609

m = fy / ( 0.85 x fc ) = 4200 / ( 0.85 x 280 ) = 17.65

m = 17.65

Ast = b x h x Pt = 40 x 60 x 0.609 / 17.65

Ast = 82.81 cm²

EJEMPLO 9.- Determinar la capacidad de diseño Pn de la columna corta

sometido a flexión Biaxial f´c= 4000lb/pulg2. Y fy=60000lb/pd, ex= 16 pulg. Y ey= 8 pulg.

25” 20”

2.5”

2.5” 10”

15”

Solución:

Flexion Respecto al eje “x”

ᵞ=25−(2∗2.5)

25=0.80 ex

h=16

25=0.64 A st=1 pulg .2

ρ=A s

b∗h= 8

15∗25=0.0213

Por interpolación en los diagramas de intersección con barras en los 4 lados.

∅ ρnx

A y

∗e

h=0.523

❑⇒ ρnx=

15∗25∗25∗(0.523)(0.7)(16)

=437.8 klb

Flexión Respecto al eje “y”

γ=15−(2∗2.5)

15=0.667

eh= 8

15=0.533

ρ=A s

b∗h= 8

15∗25=0.0213

- Por interpolación:∅ ρny

A y

∗e

h=0.487

❑⇒ ρny=

(15 )(25)(15)(0.487)(0.7)(8)

=489.2klb.

- Determinando la capacidad por carga axial de la sección.P0= (0.85 ) (4 ) (15∗25 )+(8 ) (60 )=1755 klb.

Usando la expresión de Bresler para determinar “p”.

1P

= 1Pnx

+ 1Pny

− 1P0

❑⇒

1P

= 1437.8

+ 1489.2

− 11755

- Multiplicando la expresión por 1755:1755

p=4.01+3.59−1 ❑

⇒ p=265.9 KLB .

CONCLUSION: La carga de diseño para esta sección dada es de 265.9, la carga que resiste.

EJEMPLO 10) Seleccionar el refuerzo necesario para la columna corta cuadrada con estribos si PD = 100 Klb ; PL = 140 Klb ; MDX = 50 pie – Klb ; MLX

= 70 pie – Klb ; MDY = 40 pie – Klb ; ML = 60 pie – Klb ; Fc = 4000 lb /pulg ² , fy =

60000 lb /pulg²

Solucion

MUX = (1.4 ) (50) + ( 1.7 ) ( 70 ) = 189 pie – Klb 3

MnX = 189 / 0.70 = 270 pie – Klb

Muy = ( 1.4 ) ( 40 ) + ( 1.7 ) ( 60) = 158 pie – Klb

Mny = 158 / 0.70 = 225.7 pie – Klb 22 16

3 16

22

* Como resultado de la biaxial el momento de diseño respecto al eje x o al eje y se supone es igual .

MnX + Mny = 270 + 225.7 = 495.7 pie – Klb

* Determinando el acero requerido :

ex = ey = (12 )(495.7 ) / 540 = 11.02 pulg

e / h =11.02 / 22 = 0.501

ɣ = 16 /22 = 0.727

Φ Pnx x e = ( 0.7 x 540 ) x ( 0.501 ) = 0.391

Ay h ( 22 ) x ( 22 )

* Por interpolación, en diagramas de 4 barras

ρ = 0.0123

As = ( 0.0123 ) ( 22 ) ( 22 ) = 5.95 pulg²

Usar 8 # 8 ( 6.28 pulg² )

EJEMPLO 11) Diseño de una columna a flexión biaxial. La columna de 12 x 20 pulg que

aparece en la figura está reforzada con ocho barras No. 9 distribuidas alrededor del perímetro de la columna que suministran un área total de A = 8.00 pulg2. Se va a aplicar una carga mayorada P de 275 klb con excentricidades ey = 3 pulg y e = 6 pulg como se ilustra. Las resistencias de los materiales son f´c = 4 klb/pulg2 y fy = 60 klb/pulg2. Verifique si el diseño tentativo es adecuado: (a) con el método de carga inversa, y (b) con el método del contorno de carga.

x

8 barras Nº 9

2.5" 2.5"15"

2.5"

2.5"

20"

7"12"

6"

Pu

3"

y

Solución

(a) Mediante el método de la carga inversa se considera inicialmente la flexión con respecto a eje Y.y = 15/20 = 0.75

e/h = 6/20 = 0.30.

Con una cuantía de refuerzo de Ast/bh = 8.001240 = 0.033.

φ PnyoAg

=1.75⇒φ Pnyo=1.75∗240=420 klb

φ PoAg

=3 .65⇒φ Po=3 .65∗240=876 klb

Luego, para la flexión con respecto al eje X, y = 7/12 = 0.58 (tómese 0.60) y e/h = 3/12 = 0.25.

1φ Pn

= 1432

+ 1420

− 1876

=0. 00356

A partir de la cual φ Pn=281 klb . Así que, según el método de Bresler, la carga de diseño de

Pu=275 llb puede aplicarse en forma segura sobre la columna.

(b) Según el método del contorno de carga para flexión con respecto al eje Y con

φ Pu=275llb y

φ PnAg

=275240

=1 . 15

φ MnxoAg∗h

=0. 53

De manera que φ Mnxo=0 . 53∗240∗12=1530 klb∗pu lg .Los momentos para cargas mayoradas con respecto a los ejes Y y X son, respectivamente

Muy=275∗6=1650 klb∗pu lgM=275∗3=830 klb∗pu lg

Para verificar si el diseño tentativo es adecuado se utiliza la ecuación con un exponente a

tomado en forma conservadora igual a 1.15. Entonces, con φ Mnx=M y φ Mny=Muy esta ecuación indica

(8301530 )

1 .15

+(16502980 )

1.15

=0 . 495+0. 507=1.002

Este valor está muy cerca de 1.0 y, por consiguiente, puede considerarse que el diseño también es seguro utilizando el método del contorno de carga.

EJEMPLO 12

Diseñar una columna rectangular de hormigón de 50 cm x 30 cm sometida a una carga axial última Pu de 107 T, a un momento flector último Muy (alrededor del eje y) de 11 T-m en la dirección de los 30 cm, y a un momento flector último Mux (alrededor del eje x) de 13 T-m en la dirección de los 50 cm. El hormigón tiene una resistencia característica de 280 Kg/cm2 y un esfuerzo de fluencia de 4200 Kg/cm2.

Se determina el ángulo de posición del vértice con relación al eje x:

Tg (b) = 25 cm / 15 cm = 1.667

b = 59.04°

Se determina el momento flector último resultante:

Se determina el ángulo de acción del momento flector resultante con relación al eje x:

Tg(a) = 13 T-m / 11 T-m = 1.182

a = 49.76°

El ángulo obtenido está comprendido entre 0° y 59.04° , por lo que para la interpolación se requieren las cuantías de armado para esos ángulos de flexión.

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción a 0°:

Se calcula el momento flector resultante:

Se calculan los coeficientes adimensionales de entrada a los diagramas de interacción con flexión diagonal (59.04° para esta columna rectangular), que consideran la capacidad resistente en las dos direcciones principales:

Se calculan los factores de dimensión del núcleo para los ejes principales:

gx = 18 cm / 30 cm = 0.60

gy = 38 cm / 50 cm = 0.76

Se calcula el factor de dimensión del núcleo para los diagramas de flexión diagonal (a 59.04° para la columna rectangular):

g = (gx + gy) / 2 = 0.68 » 0.70

Se escoge el gráfico # 65 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares definido por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.60, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras, así como el gráfico # 66 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares con Flexión Diagonal, definido por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.70, y 16 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interacción a 0°, utilizando x = 0.135 , y = 0.255, se obtiene una cuantía de armado r t = 0.033

En el diagrama de interacción diagonal (a 59.04° para la presente columna rectangular), utilizando x = 0.105, y = 0.255, se obtiene una cuantía de armado r t = 0.0235

Interpolando para 49.76° se tiene:

r t es mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (r máx = 0.06). Además una cuantía de armado de 2.50% es aceptable para nuestro medio, desde un punto de vista económico.

Es importante notar que la cuantía de armado requerida para esta columna rectangular es menor que la cuantía de armado requerida en la dirección débil a 0° (0.0235 < 0.033), debido a la importancia de la dimensión de la columna en la dirección y (50 cm) comparada con la dimensión en la dirección x (30 cm), que mejora la capacidad resistente diagonal. Así mismo, por el motivo antes expuesto, si el momento actuara solamente en la dirección y, mucho más resistente, la cuantía de armado sería aún menor que las dos cuantías anteriores (r t = 0.004).

La sección transversal de acero requerida es:

As = r t. b. t = 0.0250 (50 cm) (30 cm)

As = 37.50 cm2

Se escogen 12 varillas de 20 mm, que proporcionan 37.68 cm2 de sección transversal.

EJEMPLO 13

Diseñar una columna cuadrada de hormigón armado de 50 cm x 50 cm, que debe resistir una carga axial última Pu de 178 T, un momento flector último Muy (en la dirección del eje x, y alrededor del eje y) de 37 T-m y un momento flector último Mux (en la dirección del eje y, y alrededor del eje x) de 22 T-m. La resistencia del hormigón f’c es 280 Kg/cm2; el esfuerzo de fluencia del acero Fy es 4200 Kg/cm2.

Se escoge el tipo de distribución tentativa de las varillas de acero:

Se calcula el factor de dimensión del núcleo de la columna:

g = 38 / 50 = 0.76 @ 0.80

El momento flector resultante se obtiene sumando vectorialmente los momentos flectores en la dirección de los ejes coordenados principales ortogonales.

Se calcula el ángulo que forma el momento flector último resultante con relación al eje x:

Tg (a) = Mux / Muy = 22 T-m / 37 T-m = 0.595

a = 30.74°

Con la carga axial última y el momento flector último resultante se determinan los coeficientes de entrada a las curvas de interacción adimensionales.

Se escoge el gráfico # 7 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares y el correspondiente gráfico # 7 de los Diagramas de Interacción de Columnas Rectangulares con Flexión Diagonal, los que están definidos por f’c = 280 Kg/cm2, Fy = 4200 Kg/cm2, g = 0.80, y 20 varillas distribuidas uniformemente en sus cuatro caras.

En el diagrama de interacción a 0° se obtiene una cuantía de armado r t = 0.0175

En el diagrama de interacción diagonal a 45° se obtiene una cuantía de armado r t = 0.025

Es importante notar, que en esta columna cuadrada, el armado requerido a 45° es superior en un 43% al armado requerido a 0°.

Interpolando linealmente entre 0° y 45°, para 30.74°, se tiene:

r t es mayor a la cuantía mínima en columnas (r mín = 0.01), e inferior a la cuantía máxima en zonas sísmicas (r máx = 0.06). Además la cuantía de armado cumple criterios de economía.

La sección transversal de acero requerida es:

As = r t. Ag = r t. b. t = 0.0226 (50 cm) (50 cm) = 56.50 cm2

La distribución escogida inicialmente determina que se requerirán 12 varillas de hierro esquineras de 20 mm y 8 varillas centrales de 18 mm de diámetro, lo que proporciona 58.00 cm2 de sección transversal de acero.

Para mejorar la capacidad resistente de las columnas a flexocompresión biaxial, es preferible colocar los hierros de mayor diámetro en las esquinas.

Las investigaciones han demostrado que los gráficos de flexocompresión diagonal dan los mejores resultados para columnas cuadradas, y proporcionan resultados aceptables, en columnas rectangulares cuya relación lado mayor / lado menor no supere 2, reajustando el ángulo respectivo en función de la posición de los vértices de las columnas; reajustando el factor de tamaño del núcleo g; y tomando en consideración la geometría y la capacidad resistente en las dos direcciones ortogonales principales.