Diseño de Mecanismos Análisis y Síntesis (George Sandor Cap 3)

e en estaue cons-1 , 1mas, aslos pri-eñado

Capítulo 3Análisisde desplazamiento y velocidad

3.1 ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTO: íNDICES ÚTILES PARAEL ANÁLISIS DE POSICIÓN DE MECANISMOS

Uno de los mecanismos más simples y útiles es el eslabonamiento de cuatro barras. La mayo-ría de lo que se verá en este y los siguientes capítulos tiene que ver con el mecanismo de cuatrobarras, pero los procedimientos son también aplicables a eslabonamientos más complejos.

En el capítulo l se categorizaron tres tareas para el desempeño de las cuales se usan me-canismos (en particular el de cuatro barras): generación de trayectoria, de movimiento y defunción. Además, se encontró por medio de la ecuación de Gruebler que el mecanismo de cua-tro barras tiene un solo grado de libertad. ¿Hay más características distintivas que resulte útilconocer sobre los eslabonamientos de cuatro barras? ¡Ciertamente las hay! Entre éstas se in-cluyen los criterios de Grashof, el concepto de inversión, la posición de centro muerto (condiciónde cambio de punto)*, los circuitos yel ángulo de transmisión.

El mecanismo de cuatro barras puede adoptar la forma de un eslabonamiento manive-la-oscilador, doble oscilador o manivela doble (eslabón de arrastre), dependiendo del rangode movimiento de los dos eslabones conectados a tierra. En las figuras 3.1 a la 3.4 se ilustrancuatro posibilidades diferentes. El eslabón de entrada del tipo manivela-oscilador (Fig. 3.1)puede girar 3600 continuamente mientras el eslabón de salida sólo "se mece" (u oscila). Tan-to el eslabón de entrada como el de salida en el tipo manivela-doble o eslabonamiento dearrastre (Fig. 3.2) efectúan revoluciones completas, en tanto que el de doble oscilador tienerotaciones limitadas de los eslabones de entrada y salida (Fig. 3.3). En el eslabonamiento enparalelogramo (Fig. 3.4), donde la longitud del eslabón de entrada es igual a la del eslabónde salida y las longitudes de los eslabones acoplador y tierra son también iguales, los eslabo-nes de entrada y salida pueden girar 3600 o cambiar a una configuración cruzada llamadaeslabonamiento de antiparalelogramo. Podría intuirse que un mecanismo particular de cua-tro barras debe corresponder a uno de estos tipos, dependiendo de alguna relación entre laslongitudes de sus eslabones. Los criterios de Grashojproporcionan esta relación. La ley deGrashof establece que la suma de los eslabones más corto y más largo de un eslabonamien-to plano de cuatro barras no puede ser mayor que la suma de los dos restantes eslabonespara que se tenga una rotación relativa continua entre dos eslabones. Si identificamos el es-

percom-.engran

Anniver-J), págs.cornpu-

* Véase la figura 3.12.

119

Figura 3.2 Eslabón de arrastre o doble ma-nivela.

120 Capítulo 3 Análisis de desplazamiento y velocidad

-:/'

/'/'

/'/'

-:,/

,/

Figura 3.1 Manivela y oscilador.

labón más largo con 1, el más corto con s y los dos restantes con p y q, son válidas las siguien-tes relaciones [86] (Fig. 3.5):

1. Si 1+ s <p + q, se tienen cuatro tipos posibles de mecanismos Grashof.a. Se obtiene un mecanismo de manivela-oscilador cuando el eslabón más corto es la

manivela, y la tierra cualquiera de los eslabones adyacentes (Fig. 3.6a).b. Se obtiene un mecanismo de manivela doble (eslabonamiento de arrastre) cuando

el eslabón más corto es la tierra (Fig. 3.6b).c. Se forma un mecanismo de oscilador-manivela cuando el eslabón más corto es el

seguidor (Fig. 3.6c).d. Se obtiene un mecanismo de oscilador doble cuando el eslabón opuesto al más cor-

to es la tierra (Fig. 3.6d).2. Si 1+ s> P + q, resultan cuatro mecanismos de oscilador triple tipo no-Grashof, depen-

diendo de cuál eslabón es la tierra (Fig. 3.6e). Un movimiento relativo continuo no esposible para este caso.

3. Si 1+ s =p + q, los cuatro posibles mecanismos son los del caso 1, pero todos ellos su-fren de la condición de punto de cambio: Las líneas centrales de todos los eslabonesresultan colineales, creándose también una condición acodada (que ocurre cuando el deentrada y el acoplador están alineados). Los acodamientos son deseables, por ejemplo,para obtener una alta ventaja mecánica (véanse la sección 3.9 y la figura 3.6f).

El deltoide es un eslabonamiento que tiene dos eslabones cortos de igual longitud adyacen-tes conectados a dos eslabones más largos de igual longitud adyacentes. Con un lado largocomo tierra, es posible un eslabonamiento de manivela-oscilador; un lado corto como tierrapuede dar uno de manivela doble, en el que el eslabón corto en rotación efectúa dos revolu-ciones por cada una del eslabón más largo (llamado mecanismo Galloway). De nuevo, esteeslabonamiento tiene el problema de la condición de punto de cambio.

Las figuras 3.7a a la 3.7d son los mecanismos Grashof de cuatro barras del caso 1, donde1+ s <P + q. La misma configuración Grashof de cuatro eslabones puede ser cualquierade los casos del inciso 1, dependiendo de cuál eslabón se especifica como tierra. La inversióncinemática es el proceso de fijar eslabones diferentes de una cadena para crear diferentes me-canismos. Nótese que el movimiento relativo entre eslabones de un mecanismo no cambia eninversiones diferentes. Esta propiedad se aprovechará varias veces en este libro. Otros esla-bonamientos tienen también inversiones cinemáticas. Por ejemplo, las inversiones de losmecanismos de corredera y manivela se usan para diferentes propósitos (Figs. 3.8 a la 3.11).

is cor-

os su-bones

oeldeemplo,

le ma-

Sección 3.1 Análisis de desplazamiento: índices útiles para el análisis 121

Figura 3.3 Doble oscilador.

4. El eslabonamiento de paralelogramo y el eslabonamiento deltoide son casos especialesdel inciso 3. En el primero, 1 = q y s = p y los eslabones cortos están separados por uneslabón largo (Fig. 3.4). Los cuatro eslabonarnientos son de manivela doble si son con-trolables a través de los puntos de cambio. Éste es el único mecanismo de cuatro barrascapaz de producir movimiento paralelo del acoplador, pero todas las trayectorias sonarcos circulares.

Figura 3.4 Eslabonamiento de paralelogramo.

Figura 3.6 Tipos de mecanismos Grashofy no-Grashof de cuatro barras [24].

~

Capítulo 3 Análisis de desplazamiento y velocidad122

s+~<p+q(a) Manivela-oseilador

s+~<p+q

(e) Oseilador-manivela

s+~>p+q

(e) Oscilador-oscilador no-Grashof(Oseilador triple)

Figura 3.5 Eslabonamiento de cuatro barras:s, eslabón más corto; e, eslabón más largo;py q;eslabories de longitud intermedia.

s+~<p+q(b) !Y'anivela doble

(Es posible unarotación total del

eslabón aeoplador)

s+~<p+q

(d) Oscilador-oscilador Grashof

~ o f1z o,

s+Q=p+q

(f) Mecanismo con punto de cambioen configuración acodada


l+s<p+q

uro barras:is largo;p

edia. (a) (b)

(e) (d)

Figura 3.7 Diferentes mecanismos formadospor inversiones cinemáticas del eslabonamien-to de cuatro barras de la figura 3.5

una:al dellador)

En la figura 3.8, el eslabón 1 está fijo, Este eslabonamiento es bien conocido; por ejemplo, seusa en los motores de combustión interna, en los que la fuerza de entrada es la presión del gassobre el pistón (eslabón 4). Cuando el eslabón 2 está fijo {Fig. 3.9), el eslabonamiento es deltipo usado, por ejemplo, en el motor Gnome de aviación. Aquí, el cigüeñal se mantiene esta-cionario (fijo al marco del avión), mientras que la biela, el cárter (integrado con los cilindros)y los cilindros (eslabón 1) giran. La hélice está unida al cárter. Estainversión ha sido tambiénusada para mecanismos de rápido regreso en máquinas herramientas.

La figura 3.10 muestra la inversión, donde el eslabón 3, la biela, está fija, y el pistón yel cilindro son intercambiables; se usa en motores marinos y en motores de vapor de jugue-te. La cuarta inversión puede reconocerse como una bomba de mano (Fig. 3.11).

Nótese en las figuras 3.l2a y 3.l2b que el mecanismo de cuatro barras tiene dos confi-guraciones alternativas para una posición dada de la entrada (impulsor), que se llaman inversionesgeométricas. Todos los mecanismos de cuatro barras tienen inversiones geométricas. Uno nopuede moverse de la primera a la segunda inversión geométrica sin pasar por la posición decentro muerto (punto de cambio) (Fig. 3.12c). Pero ambos rangos del movimiento en las fi-

~~ ~~

o--~

1

Figura 3.8 Deslizador-manivela.Figura 3.9 Inversión cinemática del deslizador-manivela:deslizador giratorio.


4Figura 3.10 Inversión cinemática del des-lizador-manivela: deslizador oscilante.

guras 3.12a y 3.12b pueden alcanzarse sin desmontar las cuatro barras si el punto de cambiopuede ser superado. Puede hacerse uso de una posición de centro muerto como se hizo conun eslabonamiento de asiento posterior (Fig. 3.13). Éste es un croquis de un eslabonamientode cuatro barras que guía el movimiento del eslabón de entrada y el de salida de un Ford Mus-tang 1986. Cuando se va a bajar el respaldo, se agarra el eslabón de entrada y se gira en sentidoantihorario. Cuando el respaldo está paralelo a la porción inferior del asiento, el acoplador yel eslabón de salida (placa de cierre) están alineados. Se empuja luego la placa de cierre ha-cia abajo (en sentido antihorario) a través del centro muerto hacia una posición enganchadaestable.

En el caso de todos los eslabonamiento s Grashof de cuatro barras, hay dos seccionesdel movimiento posible que sólo pueden obtenerse desconectando fisicamente la junta entrelos eslabones acoplador y seguidor. Éstas se llaman circuitos separados y se ilustran en la fi-gura 3.14. Los mecanismos no del tipo Grashof sólo tienen un solo circuito (Fig. 3.15) quecontiene ambas inversiones geométricas.

Los mecanismos de manivela-oscilador y de manivela doble, nunca alcanzan una posi-ción de centro muerto; las dos inversiones geométricas caen entonces siempre sobre los doscircuitos diferentes (Fig. 3.16). Inversamente, cada circuito está compuesto de la misma in-versión geométrica. Los eslabonamiento s de oscilador-manivela o de doble oscilador (Fig.3.17) tienen dos posiciones de centro muerto' en ambos circuitos (cuatro diferentes configu-raciones). Cada circuito tiene un rango distinto de moviniiento en el impulsor.

Además de conocer la extensión de la rotación de los eslabones de entrada y salida, es con-veniente tener una medida de lo bien que funciona un mecanismo antes de construido. Hartenbergy Denavit [86] mencionan que "funcionar es un término que más formalmente significa la efi-cacia con que el movimiento se imparte al eslabón de salida; implica suavidad en la operación,en la que una componente de fuerza máxima está disponible para producir un par o una fuerza,cualquiera que sea el caso, en un miembro de salida". La fuerza o par de salida resultante no essólo función de la geometría del eslabonamiento sino que es generalmente el resultado de fuer-zas dinámicas o inerciales (véase el capítulo 5), que suelen ser a menudo varias veces más grandesque las fuerzas estáticas y actuar en direcciones bastante diferentes. Para el análisis de operacio-nes a baja velocidad o para obtener fácilmente un índice de cómo funcionará cualquier mecanismoa velocidades moderadas, el concepto de ángulo de transmisión es sumamente útil.

3

,

~

Figura 3.11 Inversión cinemática del des-lizador-manivela: deslizador estacionario.

a POSi-

los dospisma in-

or (Fig.configu-

.peración,fuerza,

te no esde fuer-grandes

operacio-smo

ica del des-ionario.


Seguidor

Seguidor

Impulsor

(a) Prime.ra inversióngeométrica

(b) Segunda inversión geométrica (c) Condición de centro muerto dondelos eslabones acoplador y seguidorestán alineados (Punto de cambio)

Figura 3.12 Dos inversiones geométricas de un eslabonamiento de cuatro barras.

Alt [1] define el ángulo de transmisión como el menor ángulo (agudo) entre la direccióndel vector de diferencia de velocidad (véase la sección 3.5) del eslabón flotante y la direcciónde la velocidad absoluta del eslabón de salida, ambas tomadas en el punto de conexión. Él des-cribe el ángulo de transmisión como una medida de la capacidad de transmisión de movimientodesde el eslabón flotante (no del eslabón de entrada del mecanismo) hacia el eslabón de sali-da, pero reconoce en una publicación posterior [2] que este ángulo de transmisión determinadocinemáticamente, no refleja la acción de la gravedad ni de las fuerzas dinámicas.

El ángulo g de transmisión está ilustrado en el eslabonamiento de cuatro barras en lasfiguras 3.18 Y 3.19. El vector de diferencia de velocidad, denotado por VBA (velocidad delpunto B respecto al punto A), es perpendicular al eslabón flotante (eslabón 3 en este caso),mientras que la velocidad absoluta de la salida es perpendicular al eslabón 4.

Otro procedimiento sugerido por Bloch [14], implica al ángulo de desviación 8, que esel ángulo más pequeño entre la dirección de la fuerza estática Fw transmitida a través del es-labón flotante, y la velocidad absoluta del eslabón de salida, VB' en el punto de conexión. Lasfiguras 3.18 y 3.19 muestran también el ángulo de desviación. La dirección de la fuerza está-tica del eslabón flotante es a lo largo de la línea de sus juntas de pasador, ya que el eslabón esun miembro de dos fuerzas (debido a la ausencia de cualquier otra fuerza sobre el eslabón ya la hipótesis de fricción nula en los pasadores de las juntas). El ángulo de presión usado ensistemas de levas y de leva-seguidor (capítulo 6) es equivalente al ángulo de desviación. Los

Respaldo delasiento

Placa de cierre(eslabón de

r

salida)

Figura 3.13 Croquis del eslabonamiento elasiento posterior de un Ford Mustang 1986que se mueve a través de la posición decentro muerto en la posición de sentado. (pro-porcionado por el Dr. Tom Chase, UniversityofMinnesota,junto con las Figs. 3.12 y 3.14a la 3.17).

~~.----------------------------------------------------------------------~


(a) Primer circuito

(b) Segundo circuitoFigura 3.14 Dos circuitos de un mecanismode rnanivela-oscilador.

autores prefieren usar el ángulo 8 de desviación en vez del ángulo 'Yde transmisión porque esmás rápido así encontrar la velocidad absoluta y la fuerza estática.

Nótese que en este caso, 'Y+ 8 = 90°. Esta relación es cierta siempre que el eslabón aco-plador tenga justo las dos fuerzas de junta opuestas actuando sobre él. Esta relación no escierta cuando hay un miembro de tres fuerzas. El ángulo de transmisión óptimo es de 90°mientras que el ángulo de desviación óptimo es de O°.Durante el movimiento de un mecanis-mo, esos ángulos cambiarán, por supuesto, de valor. Un ángulo de transmisión de 0° ocurreen una posición de punto de cambio, en la cual el eslabón de salida, al estar en línea con elacoplador, no se moverá, independientemente de lo grande que sea la fuerza aplicada al esla-bón de entrada. De hecho, debido a la fricción en las juntas de pasadores, la regla empíricageneral es rechazar mecanismos con ángulos de transmisión menores de 30°. Este valor lími-te dependerá, por supuesto, de la aplicación específica del eslabonamiento.


(a) Inversión geométrica 1

(b) Inversión geométrica 2

Figura 3.15 Un oscilador triple no-Grashofpuede alcanzar un centro muerto; ambas inver-siones geométricas deben caer sobre el únicocircuitópgsible. Las dos inversiones geométri-cas se muestran separadas por claridad Ambaspueden alcanzarse sin desconectar eslabones,empujando el seguidor hacia abajo en (a) yhacia arriba en (b).

Ejemplo 3.1 _

Encuentre los ángulos de transmisión y desviación para los mecanismos en las figuras 3.20 y 3.22.

Solución En el mecanismo de corredera y manivela, la velocidad de la salida es a lo largo deldeslizador y la fuerza estática F34 es a lo largo del eslabón 3, que es un miembro de dos fuerzas.La figura 3.21 muestra los ángulos de transmisión y desviación resultantes para el mecanismo decorredera y manivela.


Inversióngeométrica 1

---././

<,<,

<,<,

-,

///,)-.--"' .•.

I ~,mpu,s;r :>""I I\ / /\ /" ./'- - Inversión

geométrica 2 " """"',')

..... /•....•... - ,//----_/

Circuito 1 Circuito 2

Figura 3.16 Si el mecanismo de cuatro barras no puede alcanzar una posición de centro muerto,cada inversión geométrica caerá en un circuito distinto.

El eslabonamiento de seis barras (Fig. 3.22), con entrada en el eslabón 2 y salida en el esla-bón 6, creará dos posiciones de conflicto para los ángulos de transmisión y desviación. Las cuatrobarras A¡y4BBo se trabarán si ABBo están alineadas formando una posición de centro muerto, inde-pendientemente de lo buena o mala que sea la situación en el punto D (siempre que no haya fuerzasactuando en la díada de los eslabones 5 y 6). Lo mismo puede decirse sobre el punto D; podría ha-ber un ángulo de transmisión de ?OO en B, pero si CDDo están alineados, el mecanismo no se moverá.La figura 3.23 muestra el conjunto de ángulos de transmisión y desviación para este caso.

Debe señalarse que si invertimos los eslabones de entrada y de salida en el mecanismode seis barras de la figura 3.22, el análisis se vuelve entonces más difícil porque el eslabón 3deja de ser un miembro de dos fuerzas. Se ha propuesto [167] un método que crea un eslabo-namiento equivalente virtual para este mecanismo. Las cuatro barras AoA CBBo son reemplazadaspor un eslabón virtual CoC que es cinemáticamente equivalente en posición y velocidad. Mástarde en este capítulo se estudiarán los centros instantáneos y se encontrará que el plano ex-tendido del eslabón 3 tiene un punto único Co (el centro instantáneo entre los eslabones 1 y3) que tiene momentáneamente velocidad cero respecto a tierra. Co se encuentra (como se ve-rá después) en la intersección de las prolongaciones de los eslabones 2 y 4. La velocidadinstantánea del punto C es en la misma dirección (y con la misma magnitud) en las seis ba-rras originales que en el eslabonamiento virtual de cuatro barras equivalente DrfJCCo. Seobtienen entonces los ángulos de transmisión y desviación mostrados en la figura 3.24. Estecaso ejemplifica la complejidad de encontrar los ángulos de transmisión y desviación paramecanismos de circuitos múltiples. Recomendamos al lector que lea de nuevo esta seccióndespués de estudiar los centros instantáneos. La referencia 167 sugiere un método para tratarlos mecanismos de circuitos múltiples. La clave es localizar posiciones en el mecanismo don-de haya una posible posición de centro muerto. Además, deben buscarse posibleseslabonamiento s virtuales equivalentes que reduzcan la complejidad.

Han sido desarrolladas también definiciones con base matricial que miden la capacidadde un eslabonamiento para transmitir movimiento. El valor de un determinante (que contie-

Sección 3.1 Análisis de desplazamiento: índices útiles para el análisis

------- --".- ...•..,/,/ Punto de cambio: <, <,

Posición de centro '>muerto /'

~, / I~~~' ...::........... /'/ geométrica 1-. ,"

"- <,'--- -,--'- \'--- \I

//

/.?---

Impulsor

Inversióngeométrica 2-'>

/

-,<,

Circuito 1

muerto, Inversióngeométrica 1

---- ..•••...,/ "-

/ '\

\\

// ~

~/~

Impulsor

<,<,

<, -----Circuito 2

Figura 3.18 Ángulos de transmisión y des-viación, yy o, de un eslabonamiento de cuatrobarras.

I/

/./---

Inversióngeométrica 2

6

Figura 3.17 Si el mecanismo de cuatro barraspuede alcanzar una posición de centro muer-to, ambas inversiones geométricas tienen lugaren cada circuito.

Diferenciade velocidad

Figura 3.19 Ángulos de transmisión y des-viación.

129


2

A

Entrada

f"'-d. I ,:, V B

~Aa

Aa

~ljJj

FJ4

Figura 3.20 Mecanismo de corredera y ma-nivela.

Figura 3.21 Ángulos de transmisión y des-viación del mecanismo de corredera-manivelade la figura 3.20.

3

1st

e

Ar6 ~

Aa~

Entrada '2

Figura 3.22 Mecanismo Stevenson de seisbarras.

e

/

Figura 3.23 Ángulos de transmisión y des-viación para el mecanismo de seis barras conentrada en el eslabón 2. Note que el ángulo dedesviación en D es cero en esta posición.

A¿Í /-- ~~

2Entrada

Ao1,(

Ve

F34

n de seis

ión y des-barras con

1ángulo deición.

Sección 3.2 Análisis de desplazamiento: método gráfico

VCD

o

Figura 3.24 Ángulos de transmisión y des-viación para el mecanismo de seis barras de lafigura 3.22, con los eslabones de entrada y sali-da invertidos.

ne derivadas de variables del movimiento respecto a una variable de movimiento de entradapara una geometría dada del eslabonamiento y que se llama Jacobiano) es una medida de lamovilidad del eslabonamiento en una posición particular.

3.2 ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTO: MÉTODO GRÁFICO

Un mecanismo de un grado de libertad como el de cuatro barras puede ser analizado gráfica-mente respecto a desplazamientos relativos sin gran dificultad. Aunque la exactitud dependedel cuidado en la construcción y de la escala del dibujo, usualmente puede obtenerse una pre-cisión aceptable. En la figura 3.25 se ilustra un método rápido para generar varias posicionesde un mecanismo (o animación total). Los únicos instrumentos requeridos de dibujo son unescalímetro, un compás y un papel de dibujo transparente.

En la figura 3.25a, se analiza un mecanismo de cuatro barras de manivela-oscilador, conmanivela AoA de entrada, respecto a los deplazamientos del punto P trazador de trayectoria(y tal vez los ángulos relativos del eslabón acoplador AB y del eslabón de salida BrJ3 con res-pecto a la manivela de entrada). El eslabón acoplador se reproduce sobre el papel transparenteen la figura 3.25b. Como los puntos A YB del acoplador están restringidos a moverse a lo lar-go de arcos circulares dibujados con un compás por A alrededor de Aa y por B alrededor deBa, sólo tiene que moverse el dibujo en el papel transparente en (b) sobre las cuatro barras en(a), teniendo cuidado de mantener los puntos A YB sobre sus respectivos arcos y marcar ca-da posición sucesiva de los puntos A, B y P (oprimiendo la punta del compás por (a) o colocandoel dibujo en el papel transparente bajo (a). La figura 3.25c muestra el resultado de esta cons-trucción para una porción del ciclo de movimiento.

Aunque este método es bastante rápido, resulta muy engorroso para una gran cantidadde análisis y, por supuesto, no es muy exacto. Sin embargo, mecanismos más complejos puedentambién analizarse de esta manera, es decir, restringiendo a las juntas a moverse sobre sus tra-yectorias respectivas.

"'1

131


p

Trayectoriadel punto B

~----/'

/'

/B-, -,

Trayectoria del

PU~/ ....__~_A '"

/ \/ \

/ \I Aa)\ I\ /" /'- /•••..... _----/

Bo (b)

a) Mecanismo en posición inicial

---\--~--- "--> '~,/' -

/'~ Trayectoria de P

Dibujo en papeltransparente

(e)

Figura 3.25 El mecanismo de cuatro barras de la figura 3.1 se analiza gráficamente para la trayec-toria del punto P usando el dibujo en papel transparente (b) colocado sobre las trayectorias restringidasde arco circular de los puntos A y B.

Sección 3.2 Análisis de desplazamiento: método gráfico 133

Figura 3.26 Análisis gráfico de desplaza-mientos del mecanismo de cuatro barras.

Resultados algo más precisos pueden obtenerse si, en vez de usar un papel transparen-te, el análisis gráfico se lleva a cabo con el uso de compás y escuadras de dibujo. Las figuras3.26,3.27 Y3.28 con sus leyendas pertinentes ejemplifican este método. Sin embargo, la pre-cisión se ve afectada por las limitaciones de la exactitud en el dibujo, por intersecciones planasde arcos y líneas y por intersecciones que caen fuera del papel. Estas dificultades y la dispo-nibilidad general de las computadoras, son fuertes motivaciones para el uso de métodosanalíticos, especialmente porque los procedimientos con gráficas de computadora requierende programas desarrollados analíticamente.

Análisis gráfico de desplazamiento del mecanismo de cuatro barras. Co-mo se muestra en la figura 3.26, queremos construir la posición j-ésirna del mecanismo decuatro barras generador de trayectoria AoAEoEp. La posición primera o de partida está mar-cada con el subíndice 1. Para construir la posición j-ésirna, procedemos de la siguiente manera:

1. Se dibujan arcos alrededor de Ao con radio Ao1l y alrededor de Eo con radio EoB i És-tas son las trayectorias de las juntas A y E, respectivamente.

2. Se dibuja la posiciónj-ésima del eslabón de entradaAoAf

Pl

A¡

Figura 3.27 Análisis de desplazamiento grá-fico del mecanismo Stevenson ID de seis barrascon AoA como entrada y CoC como salida.


~~c,

Figura 3.28 Análisis de-desplazamiento grá-fico del mecanismo Stevenson ID de seis barrascon el eslabón CoC como entrada y AoA o BrJlcomo salida.

3. Con radio A]B] se dibuja un arco alrededor de Aj que corte la trayectoria de B. Estepunto es B ..*

4. Construya} el punto Pj por intersección del arco de radio B]P] con centro en Bl' con elarco de radio A]P¡ con centro enA¡-

Esto completa la construcción. Observe también que si el eslabonamiento de cuatro ba-rras se usa como un generador de función, en cuyo caso el punto P del acoplador no sería deimportancia, entonces la construcción estaría completa después del paso 3.

Análisis gráfico de desplazamiento del mecanismo Stephenson 11Ide seisbarras. Este mecanismo, con revolutas AoABoBpeea' se muestra en la figura 3.27. Su po-sición inicial es identificada por el sub índice 1 para todas las juntas móviles. Para construir laj-ésima posición cuando AaA es la entrada y eae es la salida, proceda de la manera siguiente:

1. Construya laj-ésima posición del eslabonamiento de cuatro barras, AaAJoBli' igualque antes.

2. Construya laj-ésima posición de la díada de salida dibujando un arco con centro en eacon radio eae] que se corte con un arco centrado en p. de radio Pl Cl' Esto localiza lajunta e en su j-ésima posición ej y la construcción qu~da completa.

La figura 3.28 muestra la construcción cuando eae es la entrada y AaA o BaB es la sa-lida. El procedimiento es como sigue:

1. Dibuje laj-ésima posición del eslabón de entrada y trace un arco centrado en ej de ra-dio elPI.

2. Ahora, usando el método de la figura 3.26, construya cuatro o cinco posiciones sucesi-vas del punto P en la vecindad del arco elPI previamente dibujado, construyendo asíuna porción de la trayectoria del punto P. Pj está en la intersección del arco CIPI y latrayectoria del punto P.

Esto completa la construcción gráfica.

* Como dos círculos se cortan en dos puntos, habrá dos soluciones. La segunda solución, no mostrada en lafigura 3.26, constituye la otra "inversión geométrica" de este mecanismo de cuatro barras.

iento grá-de seis barrasyAoA°BoB

e B. Este

Ej' con el

~cuatro ba-¡ ía dno sena e

11de seis7. Su po-

onstruir laiguiente:

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es sucesi-yendo asíe¡p¡ y la

strada en la

Sección 3.3 Análisis de desplazamiento: método analítico

3.3 ANÁLISIS DE DESPLAZAMIENTO: MÉTODO ANALíTlcot

El desarrollo de los análisis de desplazamiento y velocidad que siguen, supone que el lectorestá familiarizado con los ~úmeros complejos. El apéndice de este capítulo, que abarca losfundamentos de los números complejos, debería repasarse en este momento.

En el capítulo 1 se estudió un método para determinar el número de grados de libertadde un mecanismo. Si un mecanismo tiene un grado de libertad (como el de cuatro barras), alprescribirse un parámetro de posicion, como el ángulo del eslabón de entrada, quedará com-pletamente especificada la posición del resto del mecanismo cuando se seleccione una de lasdos posibles inversiones geométricas. Se desarrollará aquí una expresión analítica que relacio-ne las posiciones angulares absolutas de los eslabones de un eslabonamiento de cuatro barras.Esto será de mucha mayor utilidad que un procedimiento de análisis gráficoal analizar variasposiciones y/o varios mecanismos diferentes, porque las expresiones desarrolladas en los ejem-plos A y B son fácilmente programables para su implementación en computadoras.

El análisis de desplazamiento usando ecuaciones de circuito requiere comúnmente unmétodo numérico para la resolución de las ecuaciones no lineales resultantes. Aquí se presen-ta otro proceclimiento para el análisis analítico de desplazamiento. Las ecuaciones desarrolladasdan lugar a una solución cerrada.

El eslabonamiento de cuatro barras mostrado en la figura 3.29 puede ensamblarse endos configuraciones diferentes para una orientación dada del eslabón de entrada r2. Esas con-figuraciones se llaman inversiones geométricas. La figura 3.30 muestra la segunda inversióngeométrica para la misma posición del eslabón de entrada. Nótese que las dos inversiones geo-métricas contienen imágenes especulares de r3 y r4 respecto al vector r7'

La variable f.l se usará para denotar la inversión geométrica. A la variable f.l se le per-mite asumir sólo dos valores discretos, +1 Y-1, donde +1 corresponde a una de las inversionesgeométricas y -1 a la otra. Sea \If el valor absoluto del ángulo entre r7 y r4 con O ~ \If < rt, Elángulo con signo entre r7 y r4 se define entonces como f.l\lf. Por lo tanto, para una rotaciónhoraria de r7 a r4'( como se muestra en la figura 3.29), f.l = -1 Ypara una rotación antihorariade r7 a r4 (como se muestra en la figura 3.30), f.l = +1.

Si se conoce la posición inicial del mecanismo, f.l puede a menudo determinarse por ins-pección visual. El ejemplo siguiente presenta un método analítico para determinar la inversióngeométrica de un mecanismo de cuatro barras dadas las posiciones iniciales de los eslabonesde entrada y seguidor.

iy

Figura 3.29 Mecanismo de cuatro barras.

t Esta sección ha sido revisada de nuevo con ayuda del Dr.Tom Chase, University ofMinnesota.

135


e

iy

Figura 3.30 Segunda inversión geométrica(primera inversión mostrada con linea de rayas)

Ejemplo A (usando la notación de la figura 3.29) _

Dadas las longitudes y orientaciones de los eslabones: roA' r ¡, las longitudes de los eslabones: r 2'

r3' r4' "s y 'Ve; y las posiciones iniciales r2 y r4' encontrar '.L

1. Calcule el vector r 7: r 7 = r2 - r i

2. Ángulo* entre r7 y r4: Jl'l' = arg(rJ - arg(r7)3. Convierta iJ.'I' de manera que -11: < iJ.'I'::; 11:.

4. Si Jl'l' > 0, entonces iJ. = + 1Si Jl'l' < 0, entonces iJ. =-1

(3.1).(3.2).

(3.3a).(3.3b).

Para que un mecanismo de cuatro barras se mueva de una inversión geométrica a otra, debe ocurriruna de dos cosas: (1) El mecanismo debe pasar a través de una posición de centro muerto (ina-movible) o (2) el mecanismo debe desarmarse entre posiciones. Por lo tanto, el movimiento estátípicamente restringido a una inversión geométrica (se tienen excepciones). Si el mecanismo decuatro barras está restringido a una inversión geométrica, entonces la posición del mecanismo es-tá completamente definida para una salida específica. Un segundo ejemplo presenta expresionespara el análisis de la localización del punto trazador e, correspondiente a una orientación dadadel eslabón de entrada r2.

* El arg indica el ángulo del vector medido siempre en sentido antihorario desde el eje x positivo.

Ejemplo B (usando la notación de la figura 3.29) _

Dadas las longitudes y orientaciones de los eslabones roA' r¡; las longitudes de los eslabones r2'

r3' r4' r5 y '1'e; la inversión geométrica Jl y la posición de entrada r2' encontrar r C"

1. Calcule el vector r7: r7=r2-r¡

(r2 + r2

- r2)rf¡ = arccos 4 7 3

2r4r7arg(r 4) = arg(r 7) + iJ.'Vr3 = -r + r¡+ r4

arg(rs) = arg(r3) + 'Vere=roA+r2+rS

(3.4).

3. Orientación del eslabón 4:4. Vector r3:

5. Orientación de rs:6. Vector re:

(3.5).

(3.6).(3.7).(3.8).(3.9).

2. Valor absoluto del ángulo entre r7 y r4:

Refiérase a la sección 3.10 para expresiones analíticas de los limites de movimiento del eslabo-namiento de cuatro barras.

geométricapea de rayas)

ones: r»

(3.1 ).(3.2).

(3.3a).(3.3b).

(3.4).

(3.5).

(3.6).

(3.7).

(3.8).

(3.9).

el eslabo-

Sección 3.4 Concepto del movimiento relativo 137

Circuitos y ramales

En esta subsección se analizará el uso de m para encontrar información sobre el cambio po-tencial de circuito o ramal en los mecanismos de cuatro barras:

Hecho: Hay sólo dos maneras para moverse entre una configuración Jl positiva (+)y una configuración Jl negativa (-):

1. Desensambla2. Pasar a través de una configuración inamovible.

Este hecho conduce a las siguientes conclusiones:

Para mecanismos no-Grashof (eslabonamiento de oscilador triple RRR): Setiene un solo circuito. Por lo tanto, si Jl cambia de signo entre la posición 1 y la posición 2,entonces las posiciones 1 y 2 están en ramales separados. (No es posible un cambio de cir-cuito.) Inversamente, si Jl no cambia de signo entre las posiciones 1 y 2, entonces las posiciones1 y 2 están sobre el mismo ramal Ó' circuito).

Para mecanismos Grashof con entradas de manivela (manivela doble CCo manivela oscilador CR): Todos los mecanismos Grashof de cuatro barras tienen doscircuitos. Esos mecanismos impulsados por manivela nunca pueden alcanzar una configura-ción inamovible. Por lo tanto, si Jl cambia de signo entre la posición 1 y la posición 2, entonceslas posiciones 1 y 2 están sobre circuitos separados (no es posible un cambio de ramal.) In-versamente, si Jl no cambia de signo entre la posición 1 y la posición 2, entonces las posiciones1 y 2 están sobre el mismo circuito (no hay ramales).

Para mecanismos Grashof con entradas de oscilador (oscilador-manivelaRC u oscilador doble RR): Todos los mecanismos Grashof de cuatro barras tienen doscircuitos. Esos mecanismos impulsados por oscilador pueden alcanzar dos configuracionesinamovibles en cada circuito. Por consiguiente, no puede determinarse por completo si un cam-bio de ramal o un cambio de circuito ocurrió por la sola inspección del signo de Jl. Sin embargo,si Jl cambia de signo entre la posición 1 y la posición 2, entonces las posiciones 1 y 2 están encircuitos separados o en ramales separados. Si Jl no cambia de signo entre la posición 1 y laposición 2, entonces las posiciones 1 y 2, aún pueden haber cambiado de circuito [ya que ca-da circuito tiene configuraciones (+) y (-)]. No se puede aclarar esto sólo con u. Se puededeterminar de qué circuito se trata, observando el rango del movimiento en que se está.

3.4 CONCEPTO DEL MOVIMIENTO RELATIVO

En la sección lA se presentaron los conceptos de movimiento absoluto y relativo. Con ayu-da de estos conceptos se facilitará la resolución de problemas de posición, velocidad yaceleración. El análisis siguiente se centrará en la diferencia de movimiento entre puntos delmismo eslabón y en el movimiento relativo entre eslabones distintos.

La tabla 3.1 muestra los cuatro casos posibles* que son aplicables al examinar el mo-vimiento de varios puntos en un mecanismo. La matriz de 2 x 2 en esta tabla representa

*Este concepto fue formulado con base en pláticas con J. Uicker, University ofWisconsin.


TABLA 3.1 LOS CUATRO CASOS DE MOVIMIENTO REFERIDOEN MECANISMOS DE ESLABONES

Mismo punto Puntos diferentes

Mismo eslabón Caso 1 Caso 2Trivial Movimiento de diferencia

Eslabones Caso 3 Caso 4diferentes Movimiento Tratable por medio de una

relativo serie de pasos de los casos 2 y 3

combinaciones del mismo o puntos diferentes sobre el mismo O diferentes eslabones. Vale lapena comentar cada caso en lo que respecta a la complejidad de un análisis de movimiento(figura 3.31):

Caso 1: Mismo punto-mismo eslabón. Por ejemplo, el movimiento del puntoQ sobre el eslabón 2 con respecto a sí mismo. Éste es un análisis trivial. No hay movimientode Q relativo a sí mismo.

Caso 2: Diferentes puntos-mismo eslabón. El caso 2 se llama movimiento de"diferencia" [86]. Ejemplos son el movimiento entre los puntos Q y P sobre el eslabón 2 o el

. movimiento entre los puntos R y S sobre el eslabón 3.

Caso 3: Mismo punto-diferentes eslabones (puntos momentáneamentecoincidentes). Por ejemplo, el movimiento de R sobre el eslabón 2 con respecto al puntoR sobre el eslabón 3, o el movimiento del punto U sobre el eslabón 4 con respecto al pu~momentáneamente coincidente sobre el eslabón 5. El movimiento de caso 3 se llama "movi-miento relativo". En algunos casos el análisis es trivial, como con el punto R del eslabón 2con respecto al punto R sobre el eslabón 3, es decir, cuando el punto es una junta revoluta queune los dos eslabones. En otras situaciones, como con el punto U, que no es una junta, el aná-lisis puede ser bastante complejo: se requiere conocer las trayectorias instantáneas del puntode interés como un punto de cada eslabón con respecto al marco fijo de referencia.

El análisis del movimiento de un eslabonamiento incluye a menudo ambos casos 2 y 3de análisis.

, Junta revoluta, Punto de interés

Figura 3.31

Sección 3.5 Análisis de velocidad: método gráfico 139

. Vale larimiento

Caso 4: Puntos diferentes-eslabones diferentes. Por ejemplo, el movimien-to del punto V sobre el eslabón 5 con respecto a los puntos P, Q, R o S sobre eslabones diferentes.En la mayoría de los casos no se tiene suficiente información para efectuar un análisis de ca-so 4 de un solo paso. Usualmente es necesario efectuar varios pasos intermedios de análisisde caso 2 y/o caso 3 (determinados por las restricciones fisicas de un mecanismo) en vez deun análisis de caso 4 de un solo paso.

Esos cuatro casos de movimiento referido se vuelven cada vez más importantes con-forme el análisis se vuelve más complejo (por ejemplo, al análisis de aceleración) y resultamás dificil llevar control de las componentes del movimiento relativo. Saber cuál de los cua-tro casos de movimiento está implicado en un caso particular es fundamental en la cinemáticade los eslabonarnientos. Muchos errores en los análisis cinemáticos de mecanismos resultande la interpretación errónea del movimiento relativo .

3.5 ANÁLISIS DE VELOCIDAD: MÉTODO GRÁFICO

menteal puntopun~"mOVI-

labón 2olutaque

el aná-el punto

El concepto de velocidad puede desarrollarse comenzando con sólo dos elementos de un me-canismo: un eslabón tierra (eslabón 1) Yun eslabón de entrada (eslabón 2) que esté articuladodirectamente a tierra en Ao (véanse las Figs. 3.32 y 3.33). El radio vector RA de un punto ar-bitrario A sobre el eslabón 2 se localiza instantáneamente en la posición angular eA con respectoal eje x de un sistema de referencia absoluto fijo al eslabón 1. Observe que los ejes en la figu-ra 3.33 representan un plano complejo x, iy. Los números complejos! se usan en muchos casosen este texto debido a su fácil aplicabilidad a los análisis y síntesis de mecanismos planos.

El eslabón 2 está en proceso de cambiar posición con respecto al eslabón l. La veloci-dad de cambio de la posición angular del eslabón 2 con respecto al eje fijo x se llama velocidadangular (0)2) del eslabón 2,

deAWz = dt (3.10)

Figura 3.32 El eslabón 2 pivotea en eleslabón a tierra 1 en Aa y gira en sentido anti-horario con velocidad angular (02'

Ao

tVéase en el apéndice de este capítulo un repaso de los números complejos.


~

,.1.06/ \. xFigura 3.33 Velocidad absoluta VA del puntoA sobre el eslabón giratorio 2.

y es positiva en sentido antihorario. La posición del punto A con respecto aAo (análisis de ca-so 2; véase la tabla 3.1) puede definirse matemáticamente en forma polar o en forma cartesiana.Dos cantidades escalares, la longitud RA y el ángulo eA con respecto al eje x, definen el vec-tor de Posición del punto A. . -

Forma polar:

R =R eieAA A

Usando la ecuación de Euler, obtenemos la forma cartesiana:

RA =RA cos eA + iRA sen eA (3.12)

La velocidad absoluta lineal de un punto es la velocidad de cambio del vector posición de esepunto con respecto a tierra

(3.11)

dRAVA =--;¡¡- (3.13)

o en forma polar

deA '0 '0V = iR --e' A = R oi-ie' A = iR I,l..A A dt A-¿ A-z(3.13a)

o en forma cartesiana

de deVA = RA (- sené A)---"l. + iRA( cos eA)---"l. = RAw2( - sené A + i cos eA) (3.13b)dt dt

La forma polar de VA da mucha información. El valor escalar de la velocidad es el ra-dio RA multiplicado por la velocidad angular co2, mientras que la dirección está a 90° del vectorunitario de posición eieA en el mismo sentido que co2. La notación seguida al usar númeroscomplejos implica que las rotaciones antihorarias son positivas; entonces, co2 es aquí positi-va y la velocidad absoluta VA es hacia la izquierda en la figura 3.33.

Observe que la magnitud de la velocidad lineal y de la velocidad angular están relacio-nadas:

IVAI= VA =RAlco21 (3.14)

(3.l1)

(3.12)

ciónde ese

(3.13)

(3.l3a)

(3.13b)

números\ aquí positi-

, relacio-

(3.l4)

) ISección 3.5

:~""~---/~/

Análisis de velocidad: método gráfico 141

IC' • el S

..)

Figura 3.34 Velocidades absolutas VA YVB

de los puntos A y B sobre el eslabón giratorio 2.

2,k-o ·,v

t ~' f_1 e, ~_

l/":: J•• -r 1tA~_ L- ).. '

G

"L< I I • x

Además, la dirección del vector velocidad es siempre perpendicular al vector posición que seorigina en el punto de referencia, ya que si una componente de 1\1 velocidad estuviese a lo lar-go del vector posición, el eslabón se deformaría, lo que contradice la hipótesis ·de que el eslabónsea rígido.

Supongamos que el eslabón 2 contiene otro punto de interés, por ejemplo, el punto B(véase la figura 3.34). La velocidad absoluta del punto B sería

Forma polar: '

VB = RBffi2iei(JB = RBiffi2 (3.15)

Forma cartesiana:

VB = RBffii +sen eB + i cos en) (3.16)

Hasta ahora sólo hemos tratado velocidades absolutas de un punto sobre un eslabón ar-ticulado a tierra. ¿Cuál es la diferencia entre la velocidad absoluta en el punto B y la velocidadabsoluta en el punto A (todavía, caso 2 de movimiento); es decir, si estuviese usted sentadosobre el eslabón 2 en el punto A y mantuviera la mirada fija en la dirección x y viese de reo-jo el punto B, cuál seria la velocidad aparente del punto B con respecto a usted en A? Ustedobservaría la diferencia de.yelocidad, que es la diferencia de dos velocidades absolutas de dospuntos sobre el mismo eslabón. La diferencia de velocidad es, en este caso, VBA' donde el se-gundo subíndice es el punto de referencia y el primer sub índice es el punto de interés. Seinfiere que

V BA = V B - VA = RBiffi2 - RAiffi{ = (AB)iffi2 = RB}ffi2

de donde" " '"

V B = VA + V BA = RBiffi2 = RAiOO2+ (AB)iffi2 (3.17)

Una solución vectorial de esta ecuación aparece en la figura 3.35. Nótese que las velocidadesabsolutas tienen un solo subindice. Se sobreentiende que el segundo subindice ausente es tie-rra. En la figura 3.35, el punto 0ves un origen arbitrario para dibujar el diagrama de velocidad.Todas las velocidades absolutas se trazan partiendo de este origen, de manera que VB [del la-do izquierdo de la Ec. (3.l7)] se dibuja a una escala conveniente, paralela a VE en la.figura3.34. El lado derecho de la ecuación se traza entonces comenzando en 0v y dibujando VA


°vFigura 3.35 Determinación de la diferenciade velocidad VDA del punto B con respecto alpunto A por' medio del triángulo de vectores.A y B son puntos del eslabón giratorio 2 de lafigura 3.34.VB=VA+YBA

a la misma escala. La diferencia vectorial entre VB YVA es VBA' que cierra el polígono vec-torial. Nótese que VBA es perpendicular a RBA (ya que el eslabón 2 es rigido) y que

VBA = -VAB o RBAi(02 = -RABi(02 (3.18)

y

VBA = i(02RBA (3.19)

Despej ando (02 en la Ec. (3.19), obtenemos

V V~ = ~ o I~I = ---.1M. (3.20)¡ROA ROA.

Nótese que (02 es un número real positivo o negativo, según si VBA e iRBA, que son vectorescolineales, señalan en el mismo sentido o en el opuesto.

Ejemplo3.2 _

El eslabón J en la figura 3.36 se mueve respecto a tierra. Los puntos P y Q del eslabón J son po-siciones de velocidades absolutas conocidas Vp YV Q' Encuentre la velocidad angular roj de esteeslabón con respecto a tierra o, lo que es lo mismo, con respecto al sistema de orientación fijaxPiy, unido al eslabón J en P y moviéndose junto con él mientras permanece paralelo con el sis-tema fijo xoO%.Solución Usando la Ec. (3.17), obtenemos

VQ= Vp+VQP

La figura 3.37 muestra la solución gráfica de esta ecuación. Por último, de la Ec. (3.20),

VQP VQP~=-- o I~I=-iRQP RQP

vo

WJ

L¡Yo ~

vpXoo

Figura 3.36 El movimiento del eslabón J seconoce sólo por medio de los vectores develocidad VP YVQ de sus puntos P y Q.

¡diferenciapecto al

vectores.ío z de la

no vec-

(3.18)

(3.19)

(3.20)

,Json po-IJde esteción fijan el sis-

. (3.20),

labón J seectores de

yQ.

Sección 3.5 Análisis de velocidad: método gráfico 143• f •VQ(l:::/(30) - .2.0e.l·-/.P<p~~

V~r":::.Vap=Va-Vp

VaFigura 3.37 Construcción gráfica para encon-trar la diferencia de velocidad del punto Q conrespecto al punto P del eslabón J de la figura3.36, como base para calcular la velocidad

v; angular desconocida ooJ'

o, ..L \..

Observe que el sentido de coJ puede obtenerse observando la dirección de la diferencia develocidad VQP en el diagrama de velocidad. Debido a la dirección de la velocidad del punto Qcon respecto a P, el eslabón Z debe estar girando.en sentido antihorario. La magnitud coJ se ob-tiene dividiendo la magnitud de VQP entre la longitud (QP) = RQ.e- Por ejemplo, sea • . ).

VP= (20 ~s)ei(-1889°) = (+-/60 "IZ· - 1 t '-'rf!?'7~ y. toJ C9-

VQ = i(36~:)' ~s· )r.p

Del triángulo de vectores en la figura 3.37, por construcción gráfica, encontramos que

y

VQP = (40 mm1s)ei(1l7°)

Verificando esto por sustitución en la Ec. (3.l7), tenemos

VQP = VQ - VP = i30.-: 18.92 +i6.48

V QP = -18.92 + i(36.48) = (41.1 O mmfs)ei(117°) \' l·

Si RQP = (42 rnm)ei(27°1, entonces de la Ec'. (3.20), '\1(41.1 O)ej(l17°)

roJ = ei(900~42)ei(27"J= 0.98 rad/s

en sentido antihorario, ya que coJ > O.

El ejemplo anterior demuestra entonces que la notación de números complejos determina lavelocidad angular con su signo algebraico correcto para indicar si ésta es horaria o antihora-ria, sin tener que usar reglas empíricas o inspección visual de la geometría implicada. Portanto, es aconsejable adaptar este procedimiento al cálculo digital automático, donde no setiene la posibilidad de una inspección visual.

Ahora podemos abordar el análisis de velocidad de un eslabonamiento formado por va-rios eslabones. Pondremos énfasis inicialmente en la solución gráfica de las ecuaciones connúmeros complejos (como en las Figs. 3.35 y 3.37), debido a la inherente retroalimentaciónvisual ofrecida. Soluciones analíticas de los mismos ejemplos se verán después. El eslabona-miento de corredera-manivela en la figura 3.38 es un buen mecanismo para comenzar. Elobjetivo es determinar la velocidad del punto B sobre la corredera (eslabón 4), dada la velo-cidad angular 0)2 de entrada. Como este mecanismo será analizado por consideracionesde velocidad, la información sobre desplazamientos debe ser ya conocida de antemano (es de-cir, se dan las posiciones de los puntos A y B, 82Y 83),

Paso J. Encuentre la velocidad absoluta del punto A sobre el eslabón 2 (análisis decaso 2):


~

B

Figura 3.38 El movimiento de este mecanis-mo de corredera y manivela se conoce en

\ \ • x función de la velocidad angular co2de entradadada. Debe encontrarse la velocidad de lacorredera 4.

VA = RAiOO2V (-.1.AoA) (3.21)

Paso 2. Encuentre la velocidad absoluta del punto A del eslabón 3 (análisis de caso 3). És-te es un paso trivial ya que un pasador conecta el eslabón 2 con el eslabón 3 en A y V (A3) =V(A2)'

Paso 3. Encuentre la velocidad del punto B3 usando el punto A3 (ambos puntos sobreel eslabón 3)-y la Ec. (3.17) (análisis de caso 2):

VB=VA+VBA (3.22)

Recuérdese que la ecuación vectorial (3.22) es equivalente a dos ecuaciones escalares inde-pendientes: la suma de los componentes x y la suma de los componentes y. Además (usandonotación polar esta vez), cada vector de velocidad tiene dos incógnitas escalares: su magni-tud y su dirección. Un esquema útil de conteo para llevar la cuenta de las cantidades conocidasy desconocidas en una ecuación vectorial, es colocar una D bajo el vector si se conoce la di-rección (acompañada de una flecha que muestre la dirección aproximada) y una M si se conocela magnitud. Después de hacer esto para cada vector en la ecuación, pueden quedar cuandomás dos escalares como incógnitas y las incógnitas pueden encontrarse gráfica o analítica-mente. En este caso, la Ec. (3.22) se expresa como

VB=VA+VBA

t V l\¡ (3.23)

D D DM

Ambos componentes de VA son conocidos (la magnitud es VA = RA (02), La dirección de VBes vertical ya que la corredera está restringida a moverse en la ranura vertical. Además, sesa-be que la dirección de VBA es perpendicular al eslabón AB. Con sólo dos incógnitas restantes,la Ec. (3.23) puede resolverse gráficamente, como en la figura 3.39, escogiendo una escalaapropiada para VA'

Paso 4. Encuentre la velocidad del punto B sobre el eslabón 4 (análisis de caso 3). Denuevo, éste es un paso trivial. La velocidad de la corredera se encuentra simplemente midien-do la longitud de VB en la figura 3.39.

Nótese que este ejemplo fue subdividido formalmente en cuatro pasos, dos de los cua-les fueron triviales. No es necesario escribir los pasos formales una vez que se ha acostumbrado

Sección 3.5 Análisis de velocidad: método gráfico

?jAo,

Ve

VBA

Figura 3.39 Construcción vectorial paraencontrar la velocidad de la corredera del

Ve = VA + VeA mecanismo en la figura 3.38.

este mecanis-se conoce enID¡ de entradalocidad de la

uno a pensar sobre cada paso individual. Nuevamente, una advertencia: cuanto más compli-cado es el análisis y el problema, más imperativa se vuelve la necesidad de tener en cuenta latabla 3.1 al trabajar con métodos gráficos (o analíticos) (véase la sección 3.6 para una solu-ción analítica de este problema).

Ejemplo3.3 _

(3.21)

caso 3). És-1A3)= V (A2)"

tos sobre

(3.22)

ares inde-ás (usando: su magni-

conocidasnoce la di-i se conocear cuando

o analítica-

(3.23)

ción de VBemás, sesa-s restantes,

o una escala

caso 3). Deente midien-

rs de los cua-kostumbrado

El eslabonamiento de cuatro barras mostrado en la figura 3.40 es impulsado por un motor conec-tado al eslabón 2 a 600 rpm en sentido horario. Determine las velocidades lineales de los puntosA y B Y las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 en la posición mostrada en la figura.

Solución Paso l. Calcule VA' como parte del eslabón 2. Para obtener 0)2en radianes por segun-do, usamos la relación

'0)2e:d

) = [N~] [27T~)] [6~(m:11y le damos el signo algebraico + si es antihoraria y el signo - si la rotación es horaria. Así,

0)2 = -(600)(21t) = -62.8 rad/s60 _

VA = i(A~) (co2) = i(2.5)ei(118.72°)( -62.8) = (l57)ei(28.72°) cm/s.>

Paso 2. Encuentre VB' Usando la Ec. (3.17),

r t V B = VA + V BA- -K,¡ /! t

D D DM

iy

AQ I Zo3 I OB

~,. ~ XoFigura 3.40 Mecanismo de cuatro barras convelocidad angular de entrada y los vectores delos eslabones dados:Z2 = AoA = 2.5 cm ¡¡i(l18.72°) = -I.~O

+ i2.19Z3 =AB = 5.5 cm ei(2.010) = 5.50 + 10.20Z4 = iJ;) = 5.0 cm ¡¡i(72.300) = 1.52

= i4.76

145


VBA

Figura 3.41 Triángulo de vectores de veloci-dad para las juntas A y B del mecanismo en lafigura 3.40. Nótese que VB es perpendiculara Z4' VA es perpendicular a Z2 y VBA es per-pendicular a Z3'

Por mediciones en el diagrama de velocidad (figura 3.41),

VB = (147)eiC-17.7°)cm/a-s , VBA = (120)eiC-87.99°)cm/s-Í.

Paso 3. Calcule w3 y w4. De las figuras 3.40 y 3.41, las magnitudes de las velocidades an-gulares en radianes por segundo se encuentran por el método gráfico (geométrico), como sigue:

l. Mida las longitudes de las velocidades lineales de acuerdo con la escala de velocidades;2. Divídalas entre sus respectivos radios vectores.

Por ejemplo, de la figura 3.41, VA = 157 cm/s, V B = 147 cm/s y V BA = 120 cm/s. De la fi-gura 3.40, 22 = 2.5 cm, 23 = 5.5 cm y 24 = 5.0 cm. Por lo tanto,

157cm/s = 62.8 rad/sIw21 = 2.5 cm

147 cn¡A.;= 29.4 rad/s yIw41 = 5.0 cm

120 c~ = 21.8 rad/sIw31 = 5.5 cm

El sentido de w3 y w4 puede verificarse observando las direcciones de la velocidad en lafigura 3.41 e imaginando VBA localizada en el punto B como parte del eslabón 3 y a VB localiza-da en el punto B al final del eslabón 4. Es claro que ambos eslabones tienen un sentido horariode rotación y, por lo tanto, 0)3 y 0)4 son negativas. A la misma conclusión se llega usando núme-ros complejos en la Ec. (3.20):

V HA _ (l20)ei(-87.99°) = -21.8 rad/s(horaria)w3 = iZ

3- i( 5. 5)ei(2.oI0

)

V B _ (l47)E!(-17.700

) = -29.4 rad/s (horaria)0)4 = iZ

4- ¡eS) ei(72.300)

Sección 3.5 Análisis de velocidad: método gráfico 147

Ejemplo3.4 _

La figura 3.42 muestra el mismo mecanismo de cuatro barras que el del ejemplo 3.3 (figura 3.40)con la adición del punto P sobre el eslabón acoplador. La velocidad de entrada es la misma queen el ejemplo 3.3. Calcule Vr-Solución Usando la ecuación de diferencia de -.elocidad entre P y A,

Vp=VA +VpA/! '\D DM

1 \\\\\):>-

b

res de veloci-anismo en la

perpendicular~ y VDA es per-

No se tienen suficientes términos conocidos para resolver esta ecuación, pero no hemoshecho uso de toda la información pertinente. La ecuación de diferencia de velocidad entre P y Bpuede expresarse como

Vp=VB+VpB'; 0D DM

Esta ecuación también contiene tres incógnitas y no puede resolverse por sí misma, perolas dos ecuaciones pueden resolverse simultáneamente.

~locidades an-como sigue:

VA + VpA=VB+VpB/! ,\-'; 0D D D DM M

velocidades;

s. De la fi-

Tenemos ahora dos ecuaciones escalares y dos incógnitas escalares (las magnitudes de VPB

Y VPA)' La figura 3.43 muestra que la intersección de las direcciones de los vectores de diferen-cia de velocidad V PB Y V PA da el punto p, y entonces

VP = 310 cm/s ~

locidad en laaV B localiza-ntido horario

ando núme-

- ~ ¿~A1'C? ;::e: Z3 >

p

f)'

Figura 3.42 El mecanismo de cuatro barras dela figura 3040 con el punto P acoplador añadido.

Figura 3.43 Diagrama vectorial de velocidadespara el mecanismo de la figura 4.42.


VC=VB+VCB.> ')1 '\.

D D DM

Debe notarse que, en el diagrama vectorial de la figura 3.43, el triángulo abp essimilar al triángulo acoplador ABP (figura 3.42), porque ab ..L AB, bp ..L BP, yap ..L AP.

El triángulo abp se llama imagen de velocidad del eslabónABP. La imagen de ve-locidad (triángulo en este caso) está girada 90° desde el eslabón original en la direcciónde la velocidad angular de ese eslabón. La razón es que todas la componentes de dife-rencia de velocidad están relacionadas con los vectores del eslabón original por V = ies,La relación entre un eslabón rígido con tres o más puntos de interés y el diagrama de ve-locidad correspondiente, produce un atajo muy útil en el procedimiento de análisis. Unavez calculadas las velocidades de dos puntos sobre un eslabón, la diferencia de veloci-dad de cualquier otro punto puede obtenerse por triángulos semejantes. Por ejemplo, lavelocidad absoluta del punto E puede medirse directamente (figura 3.43).

VE = 144 crn/s.>

Ejemplo 3.5

La figura 3.44 muestra un eslabonamiento de seis barras que es en realidad uno de cuatro barrasconectado a un mecanismo de corredera y manivela invertido (véase la Fig. 3.10). Con C02 = -186rpm en sentido horario, encuentre VD' V(F5) (velocidad de F como punto del eslabón 5) y COy

Solución La figura 3.45 muestra la solución gráfica de este problema con base en las solucio-nes sucesivas de las siguientes ecuaciones:

VD=VC+VDC')1 /l l'D D D

M

Figura 3.44 Mecanismo de seis barras. Eleslabón 2 es la entrada, se da el valor de (02;

VD' V F5 Y ro5 deben determinarse.

V (F5)= VD + V(F5)D'\J ')1 l'D D D

M

e

ngulo abp es',yap -LAP.rnagen de ve-~la direcciónmtes de dife-porV= ioor.

warnadeve-Ianálisis. Unaia de veloci-,r ejemplo, la

ile cuatro barrasf Con co2 = -186~bón S) y COs-

b en las solucio-

mo de seis barras. Else da el valor de (02;

inarse.

Sección 3.6 Análisis de velocidad: método analítico

\el

°v------

Figura 3.45 Diagrama vectorial de veloci-dades para el mecan ismo de seis barras de lafigura 3.44.

\Del polígono de velocidades,

---7VD = (52)ei(arg ED - 90°) cm/s

---7COs = V(Fs)diDF = -6.0 rad/s (antihoraria)

V(FS) = 45 cm/s

La solución analítica por números complejos se deja como ejercicio al lector (véase el ejercicio 3.2)

3.6 ANÁLISIS DE VELOCIDAD:MÉTODO ANALíTICO

El método de análisis de velocidad descrito en la última sección condujo a una solución grá-fica bastante rápida. Cuando se requieren más precisión o análisis repetidos (de un gran númerode posiciones del mismo mecanismo o de varios mecanismos diferentes), debe usarse el mé-todo analítico equivalente o un paquete de análisis generalizado.

Para ilustrar este método, que se presta a implementación en computadora, considere-mos de nuevo el ejemplo de corredera-manivela de la figura 3.38. Para resolver este ejemploen forma analítica por números complejos, sustituimos en la Ec. (3.17):

VBei(7tl2) = ioo2RA + ioo3RBA (3.24)

Aquí, las incógnitas son los dos valores reales VB y 003. Podemos entonces separar laspartes real e imaginaria de la Ec. (3.24):

VBx = 0= -oo2RAy - oo3RBAy

VBy = oo2RAx + oo3RBAx

de donde

RAy- - 002 -003 - R

BAy

(RBAx RAy)- R-VBy - 002 Ax R

BAyy

. RAyVBA = - lOO2-- RBARBAy

149


En estos cálculos, todos los números reales, como las velocidades angulares y las par-tes real e imaginaria de vectores, deben incluirse con sus signos algebraicos correctos. Entonces,si la incógnita VBy resulta negativa, como lo será en este caso, VB estará dirigida hacia abajo(véase el ejercicio 3.1).

Ejemplo 3.6

Use aritmética de números complejos en el mismo problema del ejemplo 3.3.

Solución

VB = iüJ2Z2 + iüJ3Z3 = iüJ4Z4 (3.25)

donde üJ2 es conocida y üJ3 Y üJ4 son desconocidas. Separando las partes real e imaginaria, tene-mos

VBx = -ffi2Z2y - ffi3Z3y = -üJ4Z4y

VBy = üJ2Z2x + üJ3Z3x = üJ4Z4x

(3.26)

(3.27)

o

[-Z3Y

Z3xZ4Y] [üJ3] = [ Z2

yüJ2]

- Z4x üJ4 -Z2xüJ2(3.28)

de donde

1

w;¡Z2y Z4yl- w;¡~x - Z4x _

W¡ = I-Z¡y Z4yl -Z3x- Z4x

- w;¡Z2.74x + w;¡Z2xZ4yZ¡yZ4X - Z¡xZ4Y

(62.8) (2.19) (1.52) - (62.8) ( -1.2) (4.76)(0.19) (1.52) - (5.5) (4.76)

-21.93 rad/s

1- Z¡y Z2yúJ21

Z¡x-ZaúJ2 _ úJ2~hY - úJ2Z2yZ¡XúJ = -4 \- Z3y Z4Y\ Z3. ':;4X - Z¡xZ4y

Z3x- Z4X

( -62.8) ( -1.2) (0.19) + (62.8) (2.19) (5.5)(0.19) (1.52) - (5.5) (4.76)

VBx = (29.82)(4.76) = 141.94 } V = ( 4900) i(-17.71°)V

By= (-29.82)(1.52) = -45.32 B l . e

VBA = iüJ3Z3 = i( -2 l.l6)(5.5)ei(2.W) = (116.38)11(-87.99°)

-29.82 rad/s

Las ligeras diferencias en los valores numéricos entre los resultados de los dos métodos se deben alas inexactitudes en la construcción gráfica en la figura 3.41 y/o errores de redondeo en el cálculo.

Sección 3.6 Análisis de velocidad: método analítico 151

y las par-. Entonces,acia abajo

Ejemplo 3.7

Resuelva el ejemplo 3.4 analíticamente.

Solución Necesitamos determinar los argumentos de Z5 y Z6' es decir, ~5 y ~6.

2 ei~5 = 2 ei(2.010)+ 2 ei~6536 (3.29)

(3.26)

(3.27)é(P,-2.01') + ei(2.0l'-P.) = Z; - Z~ - Z~

Z3Z6

= 2 cos(~6 - 2.0P)(3.32)

25

e -i~5 = 23

e -i(2.010)+26

e -ip6 (3.30)

El complejo conjugado de esta ecuación también es válido (véase el apéndice de este capítulo).

(3.25) Multiplicando las Ecs. (3.29) y (3.30) entre sí, se elimina ~5:

aria, tene- 22 = 22 + 2 2 ei(2.010)e-i~6 + 2 2 e-i(2.010)eiP6+ 225 3 36 36 6 (3.31 )

de donde

Por lo tanto,(3.28)

° _1(2~ - 2~ - 2~) _1[(5.6i - (5.5)2 - (3.3)2]~6 - 2.01 = cos 22326 = cos 2(5.5) (3.3) = + 105.63°

por lo que ~6 = 2.01 ± 105.63, lo que significa una posible inversión geométrica. De la figura3.42, está claro que debe usarse el signo + y ~6 = 107.64°.

Similarmente, podemos eliminar ~6 de las Ecs. (3.29) y (3.30).

2 ei~5 - 2 ei(2.010)= 2 eiP65 3 6

25e-iPS - 23e-i(2.010)= 26e-iP6

Multiplicando, obtenemos

22 - 2 2 ei(~S - 2.01°)- 2 2 e-i(~5 - 2.W) + 22 = z35 35 35 3 6. e Z2_Z¿-72

e<.(!3,-2.01')+ e-'(!3,- 2.01)= 6 ~ Z '"'3 = 2 COS(f35 - 2.01°)3 5

~ -2.010= cos-1[(3.3)2 -(5.6)2 -(5.5)2] = ±34.5805 -2(5.5) (5.6)

se deben ael cálculo.

con el signo +: ~s = 36.59°. Entonces, Zs = (5.6)e¡(36.59°) y Z6 = (3.3)e¡(I07.64').

Vp = VA+ VPA = (157)ei(2872°) + ¡ffi3Z5= (157)ei(28.nO) + i(-21.93)(5.6)ei(37 02°)

VP = (157)ei(28.nO) + (122.8)ei(-52.98°)

Vpx = 137.69 + 73.97 = 211.66

Vpy = 75.44 - 98.09 = -22.65

VP = (212.87)ei(-6.110) cm/s

.....,


Si E está a un tercio de la distancia de B a A,

Z = 5.5 ei(2.010) y V = V + V = (157)ei(28.nO) + u» 5.5 ei(2.010)E 3 E A EA 3 3

VE = (157)ei(28.72°) + i( -21.19) 5.5 ei(2.01') = (157)ei(28.72°) + (38.85)ei(-87.99°)3

VEr = 137.69 + 1.36 = 139.05

V Ey = 75.44 - 38.83 = 36.61

VE = (l43.79)ei(14.W) cm/s

3.7 CENTROS INSTANTÁNEOS

El método de la velocidad relativa (polígono de velocidades) para efectuar un análisis de ve-locidad de un mecanismo, es sólo uno de varios disponibles. Una desventaja de este métodoes el número de pasos requeridos para analizar un eslabonamiento complejo como el mostra-do en la figura 3.44. El método del centro instantáneo es un procedimiento muy útil que, amenudo, es más rápido para el análisis de eslabonamiento s complejos.*Un centro instantáneo o centro es un punto en el que no se tiene velocidad relativa en-tre dos eslabones de un mecanismo en ese instante. El sistema de dos eslabones en la figura3.46 consiste en un eslabón 2 y el eslabón tierra (eslabón 1) que están unidos en Aa por unajunta de pasador (o revoluta). El punto en el que los eslabones 1 y 2 no tienen velocidad re-lativa es obviamente el punto Aa. De hecho, para todas las posiciones en el movimiento deleslabón 2, el centro instantáneo (1,2), está localizado en Aa.

Observe que si se conoce la velocidad absoluta de un punto, digamos el punto A del es-labón 2, entonces con ayuda del centro instantáneo del eslabón 2 con respecto a tierra, unasimple construcción dará la velocidad absoluta de cualquier otro punto, como el B. Una líneade calibración se traza desde Aa hacia la punta del vector velocidad VA" Existe una relaciónlineal entre la magnitud de la velocidad y la distancia desde el centro instantáneo (1,2) (yaque V = ¡Reo!). Un arco circular con centro enAa que pase por B, localiza B' sobre la líneaAoA.Vá se traza paralelamente a V,.¡, hasta la línea de calibración. Como B' y B equidistan deAa, Vá tie-ne la misma magnitud que la velocidad de B. Además, VB es perpendicular a AaB, por 10quela velocidad de B queda determinada.

Figura 3.46 El pivote Ao es el centro instan-táneo para todas las posiciones del eslabónmóvil 2 con respecto al eslabón l. Construc-ción gráfica de la velocidad del punto B deleslabón 2 con ayuda del centro instantáneo.

lo \ Línea decalibración

Sección 3.7 Centros instantáneos 153

¿8""(3,4) "

.0'°)

-87.99°)

.) ••ígura 3.47 Los centros instantáneos obviosen un mecanismo de eslabones están en lasjuntas de pasadores entre eslabones.

relativa en-en la figuraAo por unalocidad re-. iento del

En el eslabonamiento de cuatro barras en la figura 3.47, podemos identificar varios cen-tros instantáneos: el centro instantáneo (1,2) está localizado en Ao y el centro instantáneo (1,4)está en Bo' Además, los centros (2,3) y (3,4) están en A y B, respectivamente. Observe que,cuando el eslabonamiento se mueve, esas dos últimas juntas de pasador siguen siendo cen-tros instantáneos pero sus posiciones no permanecen fijas respecto a tierra.

¿Hay centros instantáneos entre los eslabones 1 y 3 Y los eslabones 2 y 4? Examinemosesta pregunta por medio de la figura 3.48. Esta figura muestra dos posiciones separadas fini-tamente del eslabón acoplador del eslabonamiento en la figura 3.47. Las dos posiciones de lospasadores A y B están representadas por Al' A2 Y B l' B2. Si se dibuja el bisector perpendicu-lar de B ¡B2' cualquier punto a lo largo de esta línea podría servir como pivote a tierra que,conectado a B, servirá como el centro de rotación, de B I a B2' de B. Si se dibuja también elbisector perpendicular de A IA2' se tendrá la intersección de esos bisectores en P 12 (polo 1,2).Éste es el punto que, si se conectara rígidamente al eslabón acoplador AB, podría servir co-mo el pivote fijo alrededor del cual el eslabón AB podría girar de la posición I a la posición2. El movimiento del eslabón acoplador entre posiciones no se duplicaría (en general), perolas dos posiciones extremas serían exactas. Ahora, si esas dos posiciones se acercan cada vezmás, la línea A ¡A2 se acercará a la dirección de VA' B ¡B2 se acercará a la de VBY P¡2 se acer-cará al centro instantáneo de los eslabones 1 y 3 (1,3). Además, los bisectores perpendicularesse acercarán a los eslabones 2 y 4, respectivamente. Así, el centro instantáneo 11 3 estará enla intersección de los eslabones 2 y 4 prolongados. Esta construcción es válida cuando los doseslabones de interés (1 y 3) están conectados por eslabones binarios (2 y 4). Sin embargo, ¿có-mo podemos encontrar la posición de centros instantáneos menos obvios?

ilisis de ve-te métodoel mostra-

'útil que, a

tierra, una. Una líneaa relación

o (1,2) (yaa líneaAoA.

Ao, V~ tie-~.por lo que

82

centro instan-s del eslabón

l. Construc-l punto B delinstantáneo.

8,

Figura 3.48 El polo 12 (P 12) respecto al cualel acoplador podría girar de la posición I a la 2.

Capítulo 3154 Análisis de desplazamiento y velocidad

Teorema de Kennedy. El teorema de Kennedy tiene que ver con los tres centrosinstantáneos entre tres eslabones de un sistema de miembros rígidos. En la figura 3.49 se mues-tran tres eslabones: el eslabón tierra (eslabón 1) Y otros dos eslabones (2 y 3) que estánarticulados a tierra. * Los centros instantáneos (1,2) y (1,3) están localizados en las respecti-vas juntas de pasador, ¿pero dónde está el centro instantáneo (2,3)? Por ejemplo, ¿es el puntoP el centro instantáneo? Pensemos primero que P es parte del eslabón 2, (P2), y luego que esparte del eslabón 3,(P3). P2 tiene una velocidad absoluta que es perpendicular a 02P2 mien-tras que P3 tiene una velocidad absoluta que es perpendicular a 03P3' Ahora, si P fuese elcentro instantáneo 123, entonces VP2P3 = -V P3P2 sería cero. Nótese que el punto P no podríaser el centro instantáneo (2,3) porque las direcciones de Ven) y V(P3) no son las mismas. ¿Dón-de, por lo menos, serían las direcciones de los dos vectores de velocidad absoluta iguales? Encualquier punto a lo largo de la línea de los centros instantáneos (1,2) y (1,3) (digamos en elpunto Q), las velocidades absolutas de ese punto, ya sea como punto sobre el eslabón 2 o so-bre el eslabón 3, serían perpendiculares a la línea entre esos centros. Dependiendo de lasvelocidades angulares ro2 y ro3, las magnitudes serán iguales en alguna parte a lo largo de lalínea de centros o de sus prolongaciones. Esto conduce al teorema de Kennedy de los tres cen-tros: Los tres centros instantáneos de tres cuerpos que se mueven relativamente entre sí deben'estar a lo largo de una línea recta (véase la figura 3.50).

Antes de volver al eslabonamiento de cuatro barras de la figura 3.47 con este teorema,se desarrollará esta teoría un poco más. Supóngase que el centro instantáneo (2,3) está loca-lizado en el punto Q, como se muestra en la figura 3.50; entonces

V(Q2) = iroi02Q) = iro2(l,2 - 2,3)

V(Q3) = iro3(03Q) = ¡ro3(l,3 - 2,3)

(3.33)

(3.34)

pero

V(Q2) = V(Q3) (3.35)

por lo que la razón de velocidad angular es

Figura 3.49 Tres eslabones (1,2 y 3)se mueven uno respecto al otro. ¿Dónde seencuentra el centro instantáneo de los eslabones

~,,,,,,,.. \ 2 Y 3?

* El eslabón 3 pasa por detrás del eslabón 2.

fS centrosse mues-

que estánrespecti-el punto

~quees-z!2 rnien-~ fuese el,no podríaas. ¿Dón-ales? Enos en el

m 2 o so-da de las

largo de la's tres cen-e si deben

e teorema,I está loca-

(3.33)

(3.34)

(3.35)

nes (1,2 Y 3)Q. ¿Dónde se

los eslabones

Sección 3.7 Centros instantáneos 155

(020) I (030)

Figura 3.50 Prueba de que los tres centrosinstantáneos de tres eslabones que se muevenuno respecto al otro deben estar sobre una linearecta (Teorema de Kennedy).

O2

//

-'-'-'\ /

,~~~)~'í- / ,,/'~ / O -,-'

V(Q2) V~:/

0)2 = (03Q) = (1,3 - 2,3)

0)3 (02Q) (1,2 - 2,3)(3.36)

que es un número real positivo o negativo. El valor absoluto de la Ec. (3.36) es

(3.37)

1

0)21 = (1,2 - 2,3)0)3 (1,2 - 2,3)

Si el centro instantáneo relativo (2,3) se encuentra entre los centros instantáneos absolu-tos (1,2 y 1,3), la razón de velocidad angular es negativa (es decir, los dos eslabones giran ensentidos opuestos). Si el centro instantáneo relativo se encuentra fuera de los otros dos, la razónde velocidad angular es positiva (es decir, los eslabones giran en el mismo sentido). La Ec. (3.36)relaciona una razón de velocidad angular con una razón de distancias entre centros instantá-neos. Este concepto fundamental es la base para el "método de la fórmula" de la próxima sección.

Otra manera de considerar los centros instantáneos implica reemplazar instantáneamen-te un eslabonamiento por un par de engranes. La figura 3.51 muestra el par de engranes queproduce instantáneamente la misma razón de velocidad angular que los eslabones 2 y 3 en lafigura 3.50. El vector de radio de paso del engrane 2 es (1,2 - 2,3) Y (1,3 - 2,3) es el vectorde radio de paso del engrane 3. Un caso de razón de velocidad angular positiva se muestra enla figura 3.52.

Volviendo al eslabonamiento de cuatro barras de la figura 3.47, se pueden ahora encon-trar las posiciones de los centros instantáneos (2,4) y (1,3). De acuerdo con el teorema deKennedy, el centro instantáneo (1,3) se encuentra sobre una línea trazada por los centros ins-tantáneos comunes entre los eslabones 1,3 y otro eslabón. Si ese otro eslabón es el eslabón 2,los centros instantáneos (2,3), (1,2) Y (1,3) se encuentran sobre una línea recta; se traza en-tonces una línea entre 1<.,:; centros (2,3) y (1,2) (véase la figura 3.53). Si se usan los eslabones1,3 y 4, los centros (3,4), (1,4) Y(1,3) se encuentran sobre una línea recta. Una línea por (3,4)y (1,4) interseca la otra línea, localizando el centro (1,3). El centro instantáneo (2,4) se loca-liza trazando líneas por los centros (2,3) y (3,4) Ypor los centros (1,2) y (1,4). Compárese esteprocedimiento con el método intuitivo descrito pasando al límite (desplazamiento infinitesi-mal) en conexión con la figura 3.48. Nótese que el polo P 12 en la figura 3.48 se aproxima a laposición del centro instantáneo (1,3) en la figura 353.


3

r:1

~(_1.3_)_

~ °31

IFigura 3.51 Centros instantáneos de un parde engranajes con razón de velocidad negativa.Este par de engranajes generaría la isma razónde velocidad angular (roz/w2) que los eslabones2 y 3 en la figura 3.50 si los centros instantá-neos estuvieran en posiciones idénticas.

El centro instantáneo entre dos eslabones que no están conectados directamente entresí puede imaginarse como una junta de pasador instantánea entre esos eslabones. Por ejem-plo, se podría articular el eslabón 3 a tierra (eslabón 1) en el centro instantáneo (1,3) Yobtenersela misma velocidad relativa instantánea entre esos eslabones que con el mecanismo de cua-tro barras. El concepto de equivalencia de par inferior presentado en la tabla 1.2, se basa eneste concepto de equivalencia de velocidad.

Existe un método gráfico corto (con base en el principio de dualidad de la teoría de grá-ficas) que ayuda a llevar un control de los centros instantáneos ya obtenidos y de aquellos quevan a obtenerse. Aunque este método no se justifica para un simple eslabonamiento como elde cuatro barras, es sumamente útil en mecanismos más complejos. Se traza un círculo y sedivide con un número de marcas iguales al número de eslabones en el mecanismo. Para el me-canismo de cuatro barras de la figura 3.53, cuatro marcas se identifican para representar loscuatro eslabones (véase la Fig. 3.54). Una vez obtenido un centro instantáneo, se traza una lí-nea entre las dos marcas numeradas. Las marcas representan los eslabones y la línea representaun centro instantáneo conocido entre los dos eslabones.

Una línea representa entonces un centro instantáneo. Por ejemplo, una vez obtenidoslos centros (1,2), (2,3), (3,4) Y(1,4) en la figura 3.53, líneas sólidas conectan 1,2; 2, 3; 3, 4 Y

(1.3)

03

Figura 3:52 Centros instantáneos de un parde engranajes con razón de velocidad positiva.

neos de un parcidad negativa.a la isma razóne los eslabonesntros instantá-:lénticas.

Sección 3.7 r Centros instantáneos 157j /'~4)

Figura 3.53 Construcción de centros instan-táneos entre eslabones opuestos de un mecanis-mo de cuatro barras.

nente entre. Por ejem-y obtenersemo de cua-. se basa en

1,4 en la figura 3.55. Para obtener centros adicionales usando el teorema de Kennedy, se de-ben encontrar las intersecciones de las líneas que contienen los centros instantáneos apropiadosen la figura 3.53. El procedimiento gráfico de marcas en las figuras 3.54, 3.55 Y 3.56 permi-te ver no sólo qué centros no se han obtenido aún, sino también cuáles están inmediatamentedisponibles y qué intersecciones son apropiadas. Si se quiere encontrar (1,3), se traza una lí-nea entrecortada entre 1 y 3 (figura 3.55). Como hay dos conjuntos de dos líneas sólidas queconectan 1 y 3, el centro (1,3) es determinable. El diagrama (y el teorema de Kennedy) diceque una línea por (1,4) y (4,3) junto con una línea por (1,2) y (2,3) se cortarán en (1,3). Unavez hecho esto, como en la figura 3.53, una línea sólida reemplaza la línea de rayas entre 1 y3 (véase la figura 3.56). La línea de rayas en la figura 3.56 indica que el centro (2,4) es deter-minable por lineas a través de (1,4), (1,2) y de (3,4), (2,3), como se muestra en la figura 3.53.

Antes de pasar a un mecanismo más complejo, vale la pena notar que el número de cen-tros instantáneos N de un mecanismo con n eslabones es

orla de grá-quellos queato como elcírculo y sePara el me-

sentar lostraza una lí-a representa

z obtenidos: 2, 3; 3,4 y

N = n(n - 1)2

(3.38)

Esto es intuitivamente cierto, porque cada uno de los n eslabones tiene un centro instantáneocomún con cada uno de los otros (n - 1) eslabones, pero el centro (j,k) es el mismo que el(k,j); por tanto, el producto n(n - 1) debe dividirse entre dos.

Ejemplo 3.8

Determine las posiciones de todos los centros instantáneos del mecanismo de seis barras en la fi-gura 3.57, como preparación para un análisis de velocidad para este mecanismo.

4 2

meos de un parocidad positiva.

3

Figura 3.54 Pasos sucesivos para controlarlas construcciones de centros instantáneos enla figura 3.53.


4 224

3 3



Solución El número de centros instantáneos es, según la Ec. (3.38),

6(6 - 1) = 15N= -2

Los centros instantáneos, que se obtienen por inspección, se muestran en el diagrama circular (fi-gura 3.57). Nótese que el centro instantáneo entre la corredera (eslabón 6) y el deslizador (eslabón5) está en el infinito en la dirección perpendicular a la corredera. El diagrama circular (figura 3.57)indica que varios centros instantáneos están ahora disponibles (esto no es así, en general, con me-canismos más complejos; usualmente se obtiene uno a la vez, permitiendo la determinación delsiguiente). Los centros (1,3), (1,5), (2,4) Y (4,6) pueden determinarse como se describió antes.

ótese particularmente la construcción del centro (4,6). La figura 3.58 indica que (4,6) se encuen-tra a lo largo de las líneas que conectan (1,6), (1,4) Y(5,6), (4,5). En el segundo par, (5,6) está enel infinito en la dirección perpendicular al eslabón 5. ¿Cómo puede trazarse una línea por (5,6) y(4,5)7 Simplemente, trácese una línea paralela a (I,6}-(5,6) por (4,5), como se muestra en la fi-

4

A

Figura 3.57 Centros instantáneos obvios enun mecanismo de seis barras.

,,/00

(5,6)

circular (fi-or (eslabón

(figura 3.57)1, con me-

inación delribió antes.) se encuen-5,6) está enpor (5,6) ytra en la fi-

,. eos obvios en

Sección 3.7 Centros instantáneos

Figura 3.58 Construcción de todos los cen-tros instantáneos para el mecanismo de seisbarras de la figura 3.57. Las figuras 3.58 y 3.60muestran varios estados fel "control" gráficodurante la construcción.4

gura 3.59. Esto puede justificarse si se imagina uno sentado en (4,5) y mirando en (5,6) hacia elinfinito en la dirección (l,6)-{5,6). Está claro que la visual será paralela a (1,6)-{5,6).

La figura 3.60 indica la etapa del análisis en que ya se han encontrado (4,6), (1,5), (2,4) y (1,3).El centro instantáneo (2,5) puede ser el siguiente por determinar. La intersección de las líneas por(1,2), (1,5) Y(2,4), (4,5) da este centro, que se usará en el ejemplo 3.9 para análisis de velocidad.

Los demás centros instantáneos-(3,5), (2,6), (3,6)-se obtienen siguiendo el mismo pro-cedimiento (véase la figura 3.59). Nótese que esos tres últimos centros tienen más de dos líneasde intersección con las cuales se pueden localizar. Si más de dos lineas se cortan en el mismopunto, todo está en orden. Una pequeña discrepancia indica una ligera inexactitud en el dibujo.Si las intersecciones no están cercanas entre sí, se habrá cometido un error serio y se tendrá quehacer una revisión completa de los pasos previos.

es! ¡\

(2.4) { ... ~;11' ... ~) ~ l" '(C1

/,00(5,6)

Figura 3.59 Construcción de todos los centros instantáneos para el mecanismo de seis eslabonesde la figura 3.57. Las figuras 3.58 y 3.60 muestran varias etapas del "control" gráfico durante laconstrucción.

159


Figura 3.60 Construcción de todos los cen-tros instantáneos para el mecanismo de seiseslabones de la figura 3.57. Las figuras 3.58 y3.60 muestran varias etapas del "control" grá-fico durante la construcción.4

3.8 ANÁLISIS DE VELOCIDAD USANDO CENTROS INSTANTÁNEOS*

¿Cómo pueden usarse los centros instantáneos en el análisis de velocidad? Se tienen dos mé-todos: el método de lafórmula y el método gráfico basado en centros instantáneos.

Se verá primero el método de la fórmula con el eslabonamiento de cuatro barras mos-trado en las figuras 3.40 y 3.42. Recuérdese que, en este ejemplo, (ü2 = -600 rpm en sentidohorario. Determinar (ü4' (ü3' VP YVB' La Ec. (3.36) es una fórmula ftrndamental que relacio-na razones de velocidad angular con posiciones de centros instantáneos. Cualquier combinaciónde subindices en la secuencia correcta puede reemplazar los de la Ec. (3.36).t Aquí,

Ú)4 (1,2 - 2,4) el-== =-Ú)2 (1,4 - 2,4) e2

La figura 3.61 muestra que el centro instantáneo (2,4) se encuentra fuera de (1,2) y (1,4),por lo que la razón de velocidad angular (üi(ü2 es positiva. Esto se ve también del hecho deque el y .e2 son vectores colineales de igual sentido. Por inspección, se ve que al girar el es-labón 2 en sentido horario, también lo hace así el eslabón 4. De la figura 3.61,

(ü4 11 2.8 cm- = - = -- = 0.47~ 12 5.9 cm

La velocidad angular instantánea del eslabón 4 en la posición mostrada es, entonces,

(ü4 = (0.47)(-600) = -282 rpm

o

2n: . .(ü4 = 60 ( - 282) = -29.5 raq/s (sentido horario)

También, de la figura 3.61,

(ü3 (1,2 - 2,3) 2.1 cm- = , = -- = 0.34-(ü2 (1,3 - 2,3) 6.2 cm

(ü3 = -21 radls (en sentido horario)

• Como se mostrará después, aunque el análisis por centro instantáneo es aplicable a los análisis por desplaza-miento y velocidad, no es apropiado para las aceleraciones dadas por derivadas de orden superior del movimiento.

t Puede usarse la Ec. (3.36) o bien la Ec. (3.37) para la resolución de esos problemas. La última ecuaciónrequiere inspección para ver si la rotación es horaria o antihoraria, pero es usualmente preferida a menos que se pro-grame la solución.

\KIoslos cen-mo de seis

guras 3.58 Yotrol" grá-

5*

1,2) y (1,4),el hecho degirar el es-

entonces,

'15 por desplaza-I movimiento.

áltima ecuación'nos que se pro-

Sección 3.8 Análisis de velocidad usando centros instantáneosA

161

p

lt¿

A (f[> ," <C? B(3,4) :J

fi{fl-I) J-( (I/-~S _ G--'- 7..--l..

Figura 3.61 La razón de velocidad angularroioo2 es el cociente de los dos vectores co-lineales e/f2.

El centro instantáneo (2,3) también se encuentra fuera de los centros instantáneos (1,2)Y(1,3), dando una razón de velocidad angular positiva entre los eslabones 2 y 3.

Se calcula ahora la velocidad VE (considerando B como un punto del eslabón 4).

VE = ico4(1,4 - 3,4) = 147.5 cm/s,; t

O sustituyendo co4, se obtiene una expresión para VE:

V B = ico2

(1,2 - 2,4) (1,4 - 3,4):1:(1,4 - 2,4)

El vector Vp puede también expresarse en términos de co3,

v; = icoi0-=P)§ = (204 cm/s)ej(arg(l.3=P)-900~

(perpendicular a (1,3 - P), apuntando hacia la derecha, porque co3<0). Esta ecuación se basaen el hecho de que el eslabón 3 está girando instantáneamente respecto al centro (1,3). Susti-tuyendo co3, se obtiene

(12 - 23) ,V - . , , (1 2 P)§p - ¡co2 - , -

(1,3 - 2,3)

El mismo problema será resuelto ahora con el método gráfico con base en centros ins-tantáneos y en el hecho de que la magnitud de la velocidad es proporcional al radio del punto

t Tome las dimensiones de los eslabones en la figura 3.40.

§ En la figura 3.40, ya que el eslabón 4 es de 5 cm de longitud, obtenemos (1,3 - P) por proporción.

<,


p

(2,4)

Figura 3.62 Construcción de VB por mediodel método del centro instantáneo y la línea decalibración cuando se conoce VA'

de referencia al punto de interés. La velocidad del punto B puede encontrarse como sigue (fi-gura 3.62). Primero, se dibuja a escala la velocidad del punto A sobre la figura. Luego, seencuentra el centro instantáneo (2,4) en la intersección de las prolongaciones de las líneas(1,2), (1,4) Y (2,3), (3,4). Recuérdese ahora que el centro instantáneo (2,4) es un punto en elque el eslabón 2 y el eslabón 4 (el eslabón 4 contiene al punto B) no tienen velocidad relati-va o, en otras palabras, el eslabón 2 y el eslabón 4 tienen la misma velocidad absoluta en (2,4).Por lo tanto, el centro instantáneo (2,4) es el único punto en que se puede transferir una velo-cidad absoluta conocida del eslabón 2 al eslabón 4.

Se traza una línea que conecte los tres centros instantáneos clavet (1,2), (1,4) Y (2,4).Se traza un arco de radio Aey4 de A a esta línea, localizándose así A'. Después de que la mag-nitud de VA se vuelve a dibujar a escala perpendicularmente a Aey4', se construye una líneade calibración de Ao al punto de V¡. La velocidad del centro instantáneo (2,4) como parte deleslabón 2, V24' se dibuja ahora entre (2,4) y la línea de calibración. La transferencia del es-labón 2 al eslabón 4 se efectúa ahora [usando la propiedad del centro instantáneo (2,4) descritaen el párrafo anterior] construyendo un arco con centro en Eo [centro (1,4)] de radio [Bo-(2,4)], desde (2,4) hasta que corte una línea que pase por (1,4) y (3,4). En esta intersección[punto (2,4)'], la magnitud de V24 se traza para encontrar V í 4' Después de que se construyeuna línea de calibración desde 0:4), se encuentra la velocidad de B (VB = 149 cm/s).

La velocidad del punto P se encuentra usando la misma estrategia excepto que los cen-tros (1,2), (1,3) y (2,3) son ahora de interés ya que una velocidad conocida del eslabón 2 estásiendo transferida a un punto sobre el eslabón 3. Comenzando con la velocidad conocida del

Los centros instantáneos (1,2), (1,3) Y (2,3) podrían también usarse como se describe en la siguiente partede este desarrollo porque el punto B es también una parte del eslabón 3.

o sigue (fi-. Luego, see las líneaspunto en elidad relati-

uta en (2,4).. una velo-

1,4) Y (2,4).que la mag-e una líneao parte del

ncia del es-2,4) descrita

e radio [Ba-interseccióne construye

s).que los cen-labón 2 estáonocida del

Sección 3.8 Análisis de velocidad usando centros instantáneos 163

P'

Vp..•...•. /..•...•...•. ~

/ v;/

//

/

Figura 3.63 Construcción de la línea de cali-bración de la velocidad de un punto acopladorusando centros instantáneos.

punto A, el procedimiento de construcción resulta más corto, ya que el punto A es el centroinstantáneo (2,3) (véase la figura 3.63). Se traza una línea de calibración de (1,3) a la puntade VA' Después de construir un arco de radio [(1,3) - P], se localiza P'. La velocidad V], esluego transfenida al punto P y se obtiene Vp= 21OcmJ~. Nótese que VB puede también ob-tenerse transfiriendo Vp a V; y luego hacia abajo a VB' ya que B es también una parte deleslabón 3.

El procedimiento anterior puede programarse para cálculo digital o llevarlo a cabo enuna calculadora de bolsillo usando números complejos, como se demostró antes en este capí-tulo. Sin embargo, los centros instantáneos (1,3) y (2,4) aún tienen que determinarseanalíticamente. El método será ahora ilustrado para el centro instantáneo (1,3).

Con referencia a la figura 3.53, se ve que [Aa(l,))] = 11,3 = A.-¿Z2' donde A2, es un nú-mero real desconocido. Además, I1 3 = Z2 + Z3 - Z4 + A4Z4, donde A4 es también un númeroreal desconocido. Se igualan las dos expresiones para 11.3

Z2A2 - Z4A4 = Z2 + Z3 - Z4 (3.39)

Como todas las Zk son conocidas, de la Ec. (3.39) pueden despejarse A.-¿y A4 (véase el ejerci-cio 3.3).

Ejemplo 3.9

Para el mecanismo de seis barras en la figura 3.44, encuentre la velocidad absoluta del punto Dy del punto F (como parte del eslabón 5) dada 002,


Método 1: Método de la fórmula. Como los puntos F y D son ambos parte del eslabón 5,usaremos los centros instantáneos (1,2), (1,5) Y (2,5)

oos = (1,2 - 2,5)

002 (1,5 - 2,5)

con 002 =-186 rpm =-19.5 rad/s. De la figura 3.59,

(1.5 cm)oos = -19.5rad,A; -_-- = -5.9rad,A;).Ocm

Por lo tanto,

VD = 005«(1,5) - .0)* = (51 cm/s)eiCargC!Y=D)* - 90°)

V FS = ioos«1,5) - F)* = (43 cm/s)eiCargCI:5=FJ* - 90°)*

Método 2: El procedimiento gráfico. Una vez que los centros instantáneos y otros puntosde interés se han encontrado, el eslabonamiento mismo. no es ya necesario. En la figura 3.64, loscentros instantáneos (1,2), (1,5) Y (2,5), se muestran junto con los puntos B, D Y F. La velocidadconocida V8 = 77 cm/s sobre el eslabón 2 se transfiere por medio de un arco alrededor de (1,2)al punto B' que está a lo largo de la línea de centros (1,5), (1,2) Y (2,5). La construcción de unalínea de calibración de (1,2) a la punta de VÉnos llevará a V2 S· V2 S se transfiere a Ví s y a V; 5

a lo largo del arco de radio (1,5) - (2,5), con centro en (l ,5), hasta que interseca las líneas [(1,5)- D] Y [(1,5) - F], respectivamente. VD Y V F se encuentran entonces usando líneas de calibra-ción. Ellas son

VD = 51 cm/s-.s

VF= 45 cm/s-s

* Medida en la figura 3.59.

Figura 3.64 Construcción de la línea de cali-bración de velocidades en el mecanismo deseis eslabones de la figura 3.59 usando cen-tros instantáneos. Nótese que se tiene unaescala diferente en esta figura respecto a la dela figura 3.59.

I del eslabón 5,

y otros puntosfigura 3.64, los..La velocidaddedor de (1,2)

cción de unae a Ví 5 y a V25

lí~eas [(1,5)eas de calibra-

de la línea de cali-el mecanismo de3.59 usando cen-que se tiene una

respecto a la de

Sección 3.9 Ventaja mecánica 165

3.9 VENTAJA MECÁNICA

Uno de los criterios principales de que debe estar consciente un diseñador, es la capacidad deun mecanismo particular para transmitir pares o fuerzas. Algunos mecanismos, como un trende engranes, transmiten una razón de par constante entre la entrada y la salida porque tienenuna razón de velocidad constante entre la entrada y la salida (véase el capítulo 7). Sin embar-go, en un eslabonamiento, éste no es el caso. ¿Cómo se puede determinar una relación entre lafuerza de salida y lafuerza de entrada? Pueden hacerse dos observaciones inmediatamente.

1. Como se sugirió en la mención anterior sobre trenes de engranes, la razón de par es unafunción de la razón de velocidad angular entre los eslabones de salida y entrada del me-canismo.

2. La razón de par es una función de parámetros geométricos que, en el caso de un esla-bonamiento, cambiará en general durante el curso del movimiento del mecanismo.

Si se supone que un mecanismo es un sistema conservativo (es decir, que las pérdidasde energía debido a fricción, calor, etc., son despreciables en comparación con la energía to-tal transmitida por el sistema), y si se supone que no hay efectos por fuerzas de inercia, lapotencia de entrada (Pent) es igual a la potencia de salida (Psal) (véase la figura 3.65). Enton-ces, el par de entrada multiplicado por la velocidad angular de entrada es igual al par desalida multiplicado por la velocidad angular de salida:

o,

(3.41)

Pent = TentCOen!= Tsalcosal = Psal (3.40)

Pen! = Fen! Ven! = Fsal Vsal = Psal

donde Ten! y Fen! son el par y la fuerza ejercidos sobre el eslabonamiento, y Tsal y Fsal son losejercidos por el eslabonamiento; Vent y Vsal son las velocidades de los puntos a través delos cuales actúan Fen! y Fsal' respectivamente; en forma vectorial,

v . F = VF cos(arg F - arg V) (3.41a)

También,

v . F= V.!'x + VI'y(Para una prueba, véase el ejercicio 3.4.)

(3.41 b)

x Fuerzax Velocidadx Par

x Fuerzax Velocidadx ParMECANISMOEntrada

Figura 3.65 La potencia y la energía se conservan a través del mecanismo. La fuerza, la velocidady el par no se conservan.


La figura 3.65 recuerda que ni la fuerza, ni la velocidad ni el par por sí mismo son cons-tantes a través de un mecanismo de eslabones. Los diseñadores de muchas máquinas fallidasde movimiento perpetuo menospreciaron este hecho.

Nótese que las unidades de un par multiplicado por una velocidad angular y el produc-to escalar de una fuerza y una velocidad representan ambas potencia. De la Ec. (3.40),

Tsal COent (3.42)Tent cosal

Por definición, la ventaja mecánica (V.M.) es la razón de las magnitudes de la fuerzade salida y lafuerza de entrada:

FV.M.=~

Fent(3.43)

donde F = IFI.Combinando las Ecs. (3.43) y (3.40) Ynotando que el par es el producto de una fuerza

por un radio,

V. M. = (Tsal )( rent 1= (ren! l( Tsal )r sal Ten!) r sal) Ten!

(3.44)

y

V. M. = (ren!)( COent)r sal COsal

(3.45)

La ventaja mecánica es, entonces, el producto de dos factores: (1) una razón de distan-cias que depende de la posición de las fuerzas de entrada y salida y (2) una razón de velocidadangular. El primer factor no puede cambiar en magnitud al moverse el mecanismo, pero el se-gundo cambiará en la mayoría de los mecanismos de eslabones. Como la razón de velocidadangular puede expresarse enteramente en términos de distancias dirigidas (con base en el de-sarrollo del centro instantáneo), la ventaja mecánica puede expresarse enteramente en términosde razones de distancias (véase la sección 3.8).

Veamos el mecanismo de cuatro barras en la figura 3.66. Si se desprecia el peso de loseslabones 2,3 y 4, ¿qué lectura podría esperarse que diera la balanza como resultado del pe-so del bloque de 10 lbf sobre el eslabón 2 de este mecanismo? Usando la Ec. (3.45),

Fsal = V. M. = (COen!)( ren.t)Fen! COsal r sal

(3.46)

En este caso el eslabón 2 es el de entrada y el eslabón 4 es el de salida. Entonces,

o son cons-mas fallidas

y el produc-(3.40),

(3.42)

es de la fuerza

(3.43)

de una fuerza

(3.44)

(3.45)

IZón de distan-de velocidado, pero el se-de velocidad

base en el de-le en términos

el peso de lossultado del pe-3.45),

(3.46)

ntonces,


2

j ! ' ! ./" Balanza-------.,----~ Figura 3.66 Determinación de la lectura en

la balanza con base en un peso de 10 lbf.

V. M. = Fsal = ((02 )(rent) = (1,4 -2,4)(rent) (3.46a)Fent (04 rsal _Q,) -2,4}Ü::sall

Nótese que el centro instantáneo común (2,4) está fuera de los otros, haciendo positivala razón de velocidad angular. Midiendo las distancias sobre la figura 3.66* y despejando Fsal'se obtiene

F =F (V. M.) = (10) (2) (1.5) = (10) (4) (3) = 120 lbfsal en! (.5) (.5)

donde la V.M. es (4)(3) = 12. La ganancia de ventaja mecánica se debe tanto a la razón de ra-dio como a la razón de velocidad angular. Ambas son distancias medidas sobre el diagrama.

Este resultado puede verificarse por medio de los diagramas de cuerpo libre mostradosen la figura 3.67. Aquí también, la ventaja mecánica es, en términos de sólo distancias.

V. M. = (..!2)(.!2) = (5) (2.4) = 120.3 0.5

Las expresiones en la forma de la Ec.(3 .46) son poderosas herramientas de diseño ypueden usualmente verificarse por inspección. En muchas situaciones de diseño, la expresiónde la ventaja mecánica para un mecanismo permitirá el rediseño óptimo de éste y obtener asíuna mejor ventaja mecánica. Consideraciones prácticas, como el tamaño máximo permitidopara el mecanismo, limitarán usualmente la cantidad de cambios permisibles en el diseño ori-ginal (véase el apéndice del capítulo 8).

* 51 mm en la figura 3.66 = 2 in.


~1.5nFent = 10 Ibf

F3 = ~; 10 = (5)(10) = 50 Ibf

1.2" \

Figura 3.67 Determinación de la ventajamecánica por medio de diagramas de cuerpolibre.t F = 1.2 50 = (2.4)(50) = 120 Ibf

sal 0.5

Por ejemplo, supóngase que el eslabonamiento de cuatro barras en la figura 3.68 va ausarse como el mecanismo impulsor de una bomba operada manualmente. En la posición mos-trada, la manija está siendo jalada hacia la izquierda con la fuerza Feo!" Mientras tanto, ladiferencia de presión a través del pistón en el cilindro está resistiendo el movimiento por unafuerza igual y opuesta a Fsal. ¿Cuál es la ventaja mecánica de este dispositivo en la posiciónmostrada? (La barra del pistón es instantáneamente perpendicular al eslabón 4.)

Si el eslabón de entrada se identifica como el eslabón 2 y el de salida como el 4, enton-ces, de acuerdo con la Ec. (3.42),

T4 = Ú)2

T2 Ú)4

El centro instantáneo (2,4) se encuentra entre (1,2) y (1,4), por lo que

B(3,4)

Bo

Figura 3.68 La ventaja mecánica de este mecanismo impulsor de bomba manual de cuatro barrascrece conforme se acerca a la posición acodada (Ao> A YB son colineales).

.n de la ventajaas decuerpo

3.68 va asición mos-

tras tanto, la.ento por una

la posición)o e14, enton-

r;.-


T4 co2 (1,4 - 2,4)-=-=~==-'-T2 co4 (1,2 - 2,4)

(3.47)

Usando números complejos, la Ec. (3.47) tomará la forma

T4 = ZsalF salsen( arg F sal - arg Zsal)T2 ZentFentSen(arg F ent- arg Zsal)

y

V.M.= Fsal = Zent(Cl,4-2,,4»)sen(argFent-arg Zeot)Fent Zsal (1,2 - 2,4) sen(arg Fsal - arg Zsal)

(3.48)

Si no consideramos el signo algebraico de la razón de distancias de los centros instan-táneos y escribimos r en vez de Zpara las longitudes de los brazos de las fuerzas de entraday de salida, la Ec. (3.48) queda expresada como

V. M.= (reot) (1,4 - 2,4)rsal (1,2-2,4)

(3.49)

Nótense los factores de que consta la ventaja mecánica. La ventaja mecánica es mayorsi la razónzen!zsal es también mayor. Esto se verifica intuitivamente con la figura 3.68. La se-gunda razón puede también verificarse intuitivamente. Nótese que como el punto P se muevehacia la izquierda (el eslabón 2 gira en sentido antihorario) a la posición mostrada en la figu-ra 3.69, donde el eslabonamiento de cuatro barras está en su posición acodada, los centros(1,2) y (2,4) coinciden. De acuerdo con la Ec. (3.48), la ventaja mecánica tiende a infinito pa-ra esta posición. Como los eslabones 2 y 3 están alineados, no se requiere (idealmente) fuerzaen P para resistir una fuerza infinita en Q. Por supuesto, ocurriría flexión en el eslabón 4 an-tes de que pudiera aplicarse una fuerza infinita. La razón de lbs senos es una medida de larelativa cercaníaa la perpendicularidad de cada fuerza a su vector brazo. Con estas conside-raciones, la Ec. (3.48) se verifica intuitivamente.

Si se requiere más ventaja mecánica con AaP en la posición mostrada en la figura 3.68,entonces la Ec. (3.48) sugiere las siguientes posibilidades:

1. Incrementar Zent.2. Disminuir zsal'3. Alejar Ba de (2,4) (manteniendo igual el resto del eslabonamiento).4. Acercar Aa a (2,4) (manteniendo igual el resto del eslabonamiento).5. Mover el punto A hasta que los eslabones 2 y 3 queden alineados.6. Hacer Fentperpendicular a zent"

(1,2)

Figura 3.69 Posiciónacodadadelmecanis-moimpulsorde labombaen lafigura3.68; laV.M. es teóricamenteinfinita:unapequeñafuerza en P puede vencer una fuerza muygrandeenQ.

(3,4)


Fen,

Figura 3.70 El tope impide un viaje excesi-vo más allá de la posición acodada de la manijasuperior y del eslabón acoplador.Fent

Ejemplo 3.10

Determine la ventaja mecánica de las pinzas acodadas ajustables mostradas en la figura 3.70. ¿Porqué está diseñado así este dispositivo?

Solución Sea el eslabón de entrada e13, el eslabón de salida el4 y el de tierra el l (véase la Fig.3.71). Entonces, T3Ú)3 = T4(04' ya que Fsal es perpendicular a rsal y Fent es perpendicular aren':

T4 = [rsal x Fsal] = rsalFsal sen(arg Fsal - arg rsal) = rsalFsalsen(-900) = - L9Fsal

Similannente, T3 = [rent x Fent] = (5.1)Fent. De la Ec. (3.42),

T4 = Ú)3 = (3,4 - 1',4) =' -1.6 = -2.29 *T3 Ú)4 (3,4 - 1,3) 0.7

de donde

V.M. = Fsal =\rent (03\=I22(-2.29)1=6.1S1Fent r sal Ú)4 l. 9

En la posición mostrada, las pinzas tienen una ventaja mecánica de sólo 6.15: l. Sin embargo, alapretarlas, el centro instantáneo (2,4) se acerca al centro (1,2). Cuando (1,2), (2,3) Y (3,4) estáncasi en línea recta, (2,4) coincide casi con (1,2), (1,3) se acerca a (3,4) y la ventaja mecánica tien-de a infinito.

rent

Figura 3.71 Conforme (3,4), (2,3) Y (1,2)tienden a quedar alineados, la V.M. tiende ainfinito.

* 15 mm en la figura 3.71 = 1.9 unidades.t Observe que podriamos haber ido a este paso directamente, como se sugiere en la Ec. (3.45) .

..;~~.

viaje excesi-de la manija

" se la Fig.

'Fsal

rnbargo, al(3,4) están

ica tien-

(2,3) Y (1,2)".M. tiende a

~


El ajuste del tomillo debe ser tal que la ventaja mecánica máxima ocurra a la distancia re-querida entre las mandíbulas de las tenazas. De hecho, en algunas marcas, hay un tope situado enla posición "sobre el centro" (justo más allá del centro muerto), como se muestra en la figura 3.69.Esto da una ventaja mecánica muy grande y un "agarre" estable del eslabonamiento, ya que serequeriría una fuerza idealmente infinita en las mandíbulas para mover el eslabonamiento haciaatrás a través de su posición acodada.

Ejemplo 3.11

Determine la ventaja mecánica del mecanismo de corredera-manivela mostrado en la figura 3.72.El eslabón de salida (corredera) requiere un procedimiento díferente para la solución.

Solución Si el eslabón 2 se considera como el eslabón de entrada y el 4 como el de salida, elprocedimiento descrito antes debe modificarse (ya que el eslabón 4 es una corredera y w4 = O).Sabemos que (potencia)ent = (potencia)sal' Entonces, de las Ecs. (3.40) y (3.41),

T2w2 = Fsal • VB (3.50)

donde T2 = [zentX Fent)' Nótese que, como el eslabón de salida 4 está restringido a trasladarse enla ranura horizontal, cualquier punto considerado como parte del eslabón 4 debe tener una velo-cidad en dirección horizontal. Además, cualquier punto considerado como parte del eslabón 4tiene la misma velocidad, incluido el punto del plano prolongado del eslabón 4 momentáneamen-te coincidente con el centro (2,4). Este punto tiene la velocidad jwil,2 - 2,4); por lo tanto,

VB = iwil,2 - 2,4) (3.51)

Combinando (3,50) y (3.51), de (potencia de entrada) = (potencia de salida), se obtiene

[zent X Fent}w2 = T2w2 = Fa • V B.Fa· (iüli1,2 - 2,4» = Falüli1,2 - 2,4)lcos(arg Fa - arg V B)

w2zenl'ent sen(arg Fent - arg Zent)= Falw2(1,2 - 2,4)lcos(arg Fa - arg VB)

de donde, notando que

Fa cos(arg Fa - arg VB) = Fsal y ~= -1Iw21

se tiene

V M = Fsal = ZentSen(argFent-;-argzent) = Yent

.. r.; 1(1,2-2,4)1 1(1,2-2,4)1

que es positiva (como debe ser), porque sen (arg Fent - arg Zent)es negativo.

4 Fa

Fprom Figura 3.72 Construcciones geométricas

para encontrar la V.M. de un mecanismo decorredera manivela.

~----~----~----~/172 Capítulo 3 Análisis de desplazamiento y velocidad

Esta expresión tiene sentido: Cuanto mayor es el brazo rent sobre el eslabón de entrada,siempre que su dirección permanezca igual, mayor será la ventaja mecánica. Nótese también que,como el eslabón de entrada gira en sentido horario, el punto A se mueve hacia la posición acoda-da y el centro (2,4) se mueve hacia (1,2), incrementándose la ventaja mecánica.

Sigue otra verificación de la Ec. (3.52). El par de entrada Tent = [zent X Fent] en sentidohorario. Ten! es resistido por el momento de una fuerza de pasador F~ en la junta A. Como eleslabón 3 es un eslabón "de, dos pasadores", F~debe actuar a lo largo del eslabón 3. Su mo-mento resistente es [((1,2) - A') x F'a] (en sentido antihorario), donde ((1,2) - A') es perpendicularal eslabón 3. El eslabón 3 transmite F; al deslizador 4 en (3,4), donde es resistida por Fa' Lacomponente vertical Fav de Fa es perpendicular al movimiento del eslabón 4 de salida y, portanto, no efectúa trabajo. Así, la fuerza F sal de salida es la componente horizontal de Fa' la cualseñala hacia la derecha en la figura 3.72. Por triángulos semejantes, es fácil demostrar que

Fsal

Fa(1,2 - A')

(1,2 - 2,4).(3.53)

donde, por ejemplo,

(1,2) - A' = 1(1,2) - A'IPero

Fa =~Fent (1,2 - A')

(3.54)

y por multiplicación de esas dos razones, se encuentra que

Fsw rent--=--==Fent (1,2 -2,4)

que concuerda con la Ec. (3.52).Nótese que el eslabón 3 podría también considerarse como el eslabón de salida, porque

el punto B es también una parte de la barra conectora. En este caso, los centros (1,2), (2,3) Y(1,3) se usarian para obtener una expresión para la ventaja mecánica que sería numéricamen-te equivalente a la Ec. (3.52) (véase el Ejercicio 3.5).

Para una verificación adicional de la Ec. (3.52), así como para la verificación de la cons-trucción gráfica (geométrica) para determinar la ventaja mecánica, se recurre a los diagramasde cuerpo libre, como sigue. Para el diagrama de cuerpo libre del eslabón 2 (véase la figura '3.73), sumando momentos respecto a Ao se obtiene una expresión para ~ent y ~A en términosde los argumentos de los vectores implicados:

Zent X Fent + r 2 x F~= O

Zen¡Fent sen ~ent + r2F'a sen ~A = O

Zen¡Fent sen (arg F ent - arg r ent) + r 2F'a sen (arg F~ - arg r 2) = O

Nótese que ~en! es horaria y, por tanto, negativa, lo que verifica el hecho de que el parde entrada es horario. Además, Zent sen ~en! es el brazo perpendicular de Fen! respecto a Ao y,similarrnente, z2 sen ~2 es el de F; respecto a Ao' Despejando F;,

de entrada,LIIlbiénque,

iónacoda-

1 en sentido~. Como el

3. Su mo-f:IPendicular~ por Fa' Lablida y, pore Fa' la cualstrar que

(3.53)

(3.54)

e salida, porquetras (l,2), (2,3) Y

numéricamen-

~ción de la cans-a los diagramas

~ (véase la figuray ~A en términos

)=0echo de que el par

Fent respecto a Aa y,

Sección 3.9 Ventaja mecánica

(,Figura 3.73

, ZentF entsen ~ent OF = >a r2sen ~2

sen ~ent < Oporque sen ~2

Continuando de esta manera, la Ec. (3.52) se verifica aún de otra manera (véase el ejercicio 3.6).

Ejemplo 3.12 _

En la figura 3.74 se muestra un eslabonamiento de seis barras generador de función. (a) Encuen-tre la posición de todos los centros instantáneos para este mecanismo; (b) si la velocidad del puntoP es de 10 mis, encuentre 0)3 y V B por el método del centro instantáneo; (c) si la fuerza Fent ac-túa en P (véase la figura 3.74), encuentre F sal por medio de centros instantáneos.

Solución (a) La figura 3.75 muestra la posición de todos los centros instantáneos para este me-canismo.

(b) Método 1: La figura 3.76 muestra cómo puede usarse el procedimiento gráfico delcentro instantáneo para encontrar 0)3 y VB' De esta figura,

Fsal

t

~

Figura 3.74 Mecanismo de transmisión de fuerza de seis eslabones.

.••..

173

-> ~ .¡:".

~(3

,6)

1--

(1,6

)

4

(2,6

)

Figu

ra3.

75C

entro

sin

stan

táne

osen

unm

ecan

ism

ode

seis

esla

bone

s.

w,=~- =V»_ ¡(A;;) - A~ = - 260.8 rad/s (horaria)

Sección 3.9 Ventaja mecánica

(5,6)

C

V"p

V'a

Figura 3.76 Construcción de velocidades usando centros instantáneos y líneas de calibración enun mecanismo de seis eslabones. Escala: 1 mm en la figura 3.74 = 1.64 mm en los cálculos delejemplo 3.12.

VA = 17.2 rn/s

VA 17.2ro3 = = -- = 318 rads

¡(1,3 - 2,3) 0.054

V2,4 = 44.7 rn/s--;.

VB = (17.1 rn/s)i(-ei[arg(1JoB}))

Método 2: Usando sólo las ecuaciones de centros instantáneos (figura 3.75) y, ya que

~ _ (1,2 - 2,3) = _ 1.22(02 - (1,3 - 2,3)

6

-(1,6) DO

'"

(2,4)

V2•4

175

rr


entonces,

-vW3 = --p ( -1.22) = 318.2 rad/s (antihoraria)

AaP

Así entonces,

.(12 - 24)

004 = 002' , = (-260.8) (3.10)(1,4 - 2,4)

- 808.0 rad/ s (horaria)

-+ -VB = iroiBrJ3) = (17.3 m/s)i(-d arg(Bofl)

(e) Método 1: Usando los centros instantáneos (1,2), (1,5) Y (2,5) (figura 3.76),

t, 002 (1,5 - 2,5) 0.054T2 = OOs = (1,2 - 2,5) = - 0.066

-0.820

y (Figs. 3.74 y 3.75),

r, = Fsal(0.054); T2 = -Fen!(0.031)

entonces,

Fsal= -Feo! (0.031) (-O.820)=0.471Fent(0.054)

Método 2: Usando los centros instantáneos (1,2), (1,6) Y(2,6), de la Ec. (3.52),

Fsal = 1(1,2~6,2)1

entonces,

-I-F ent(0.031)1 = 0.54F entF sal - 0.057

3.10 MÉTODO ANALíTICO PARA LA DETERMINACiÓN DE VELOCIDADESY VENTAJA MECÁNICA

Los procedimientos-descritos previamente para el análisis de velocidad y ventaja mecánica,son básicamente procedimientos de solución gráfica. Se han presentado algunos procedimien-tos analíticos equivalentes con números complejos. Si sólo van a analizarse un número finitode posiciones de un eslabonamiento, cualquiera de los procedimientos gráficos son suficien-temente buenos. Sin embargo, si es necesario analizar un gran número de posiciones y/oeslabonamientos, los procedimientos gráficos resultan sumamente demorados. Con micro-computadoras, computadoras de escritorio o portátiles o bien calculadoras manualesprogramables de fácil acceso, las expresiones analíticas basadas en números complejos, sonsumamente valiosas. Después de sentirse uno cómodo con los procedimientos gráficos (conlos que se obtiene una clara visualización de las soluciones vectoriales), los métodos pura-mente analíticos pueden usarse con mayor confianza. Cuando surge una cuestión respecto alas técnicas no visuales, una revisión gráfica puede verificar los resultados. Las gráficas porcomputadora pueden también usarse para exhibir visualmente los resultados de los métodosanalíticos (véase la sección 3.11 y las fotografías en este libro.)

~ADES

mecánica,edimien-ero finitosuficien-

iones y/o,on micro-manualeslejos, son

!flcos (condos pura-respecto aificas por

es métodos

Sección 3.10 Método analítico para la determinación de velocidades

p

iy

93

Eslabón deentrada

CJIIII""'= I I k. x

Figura 3.77 Notación vectorial para el análisis de velocidad por números complejos en un mecanis-mo de cuatro barras.

Con referencia a la figura 3.77, que muestra una representación vectorial de un eslabo-namiento de cuatro barras, las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4 pueden determinarsecomo funciones de la velocidad angular del eslabón de entrada (eslabón 2) y de los paráme-tros de posición del deplazamiento. Recuérdese que en la sección 3.3 se presentó un análisisde desplazamiento para este mismo eslabonamiento.

El vector posición, de la base del eslabón de entrada (Ao) al punto B, puede escribirsesegún dos rutas:

RB=Rz+R3

RB=R¡ +R4

(3.55)

(3.56)

Las derivadas de estas expresiones darán la velocidad del punto B. Usando la forma polar deestas expresiones para efectuar la derivación, se obtiene

R - r eifr¿ + r i8J = r eiO¡ + r ei04B- 2 3 ¡ 4

VB = r2Ú)2ieifr¿ + r3Ú)3iei8J = r4Ú)4iei04

(3.57)

(3.58)

Usando ahora la forma cartesiana de la Ec. (3.58) para separarla en sus partes real e imagina-ria, se obtiene

r2Ú)2 sen ()2 + r3Ú)3 sen ()3 = r4Ú)4 sen ()4

r2Ú)2 cos ()2 + r3Ú)3 cos ()3 = r4Ú)4 cos ()4

Estas dos ecuaciones escalares contienen sólo dos incógnitas escalares, Ú)3 y Ú)4. Mul-tiplicando la primera ecuación por cos ()4 y la segunda por sen ()4' se obtiene

(3.59)

r2Ú)2 sen ()2 cos ()4 + r3Ú)3 sen ()3 cos ()4 = r4Ú)4 ()4 COS ()4

r2Ú)2 cos ()2 sen ()4 + r3Ú)3 cos ()3 sen ()4 = r4Ú)4 ()4 sen ()4 cos ()4(3.60)

177


Restando la primera de la segunda se elimina Ú)4:

r2Ú)2(cos 82 sen 84 - sen e2 cos 84) + r3Ú)3(cos 83 sen 84 - sen 83 cos 84) = O

o

r2Ú)2 sen(84 - 82) + r3Ú)3 sen(84 - 83) = O

Entonces,

Ú)3 = -2ú)2 sen(84 - 82)

r3 sen( 84 - 83)

Eliminando los términos que contienen Ú)3 en vez de (04 de la Ec. (3.59), se obtiene

ú)4=_2ú) sen{e3-82)2

1'4 sen(83-84)

(3.61)

(3.62)

(3.63)

Estas dos expresiones son fácilmente prograrnables para cálculo automático. Nótese quelas Ecs. (3.62) y (3.63) pueden también usarse para el análisis de ventaja mecánica, dondeÚ)/Ú)2 se utilizan en las expresiones de la ventaja mecánica.

Ejemplo 3.13

Determine la expresión analítica para la velocidad del punto P de la.figura 3.77.

Solución La posición y velocidad del punto P se expresan en forma vectorial como

Rp = r2ej~ + r5dC9:l+a)

La derivada de esta expresión es

Vp = r2OO2iei~ + r5OO3ieiC9:l+a)

o, en forma cartesiana,

Parte real: Vpx = -r2OO2 sen 82 - r5OO3 sen(83 + a)

Parte imaginaria: VPy = r2OO2 cos 82 + r5OO3 cos(a3 + a)

donde 003 se encuentra con la Ec. (3.62).

(3.64)

(3.65)

(3.66)

Correlación de la ventaja mecánica y el ángulode transmisión

En la sección 3.1 vimos que el ángulo de transmisión sirve para determinar la eficacia con laque se imprime movimiento a un eslabón de salida de un mecanismo particular. La ventajamecánica se definió como la razón de la magnitud instantánea de la fuerza de salida a la fuer-za de entrada de un mecanismo particular (sección 3.9). Estos dos índices de desempeño son

=0

(3.61)

(3.62)

e

(3.63)

Nótese queica, donde

o

(3.64)

(3.65)

(3.66)

~ficacia con laaroLa ventaja

¡atida a la fuer-esempeño son

Sección 3.10 Método analítico para la determinación de velocidades

B(3,4)

(2,4)Fsal

Figura 3.78 Correlación de la V.M. con el ángulo y de transmisión y el ángulo v de la manivelaacopladora en un mecanismo de cuatro barras. Véase la Ec. (3.69).

parámetros estáticos (el efecto de la inercia no se incluye) que ayudan a comparar un eslabo-namiento con otro o una posición de un eslabonamiento con otra posición del mismoeslabonamiento. Ambos índices pueden expresarse en función de la geometría del eslabona-miento. Se justifica una comparación para evitar confusiones con esos términos.

En la figura 3.78, la ventaja mecánica puede expresarse como [Ec. (3.46a)]

V.M. = ;saJ = (rent) \ffi2\ent r sal ffi4

= rent (1,4 - 2,4)rsal (1,2 -2,4)

Construyendo las líneas AoA' y BrJ3' perpendicularmente a la línea que contiene (2,4), A y B,se ve que, por triángulos semejantes,

(2,4 -1,4) _ (2,4 -1,2)(1,4 - B') (1,2 - A')

(3.67)

Si 'A. y v son las magnitudes de los menores de los dos ángulos formados por el acoplador (osu prolongación) con los eslabones de salida y entrada, respectivamente, entonces (1,4 - B') =

1'4 sen 'A., (1,2 - A') = 1'2 sen v, y

(2,4 -1,4) = r4 sen Y(2,4 -1,2) r2 sen v (3.68)

Se tiene, entonces, queV.M. = rent (r4 sen y)

rsal r-J. sen v(3.69)

Nótese que la ventaja mecánica resulta infinita cuando el ángulo ves 0° o 180°. Esto concuer-da con el análisis de la sección 3.9 ya que en cualquiera de estos casos, el centro instantáneo(2,4) coincide con el centro (1,2). Nótese también la relación entre el ángulo de transmisión

179


'Y.

II

II /

Ir Ir"I • I •

I II II I

I / /I 1/

~ II,L'd>i ~:?(i4) (1,4)

Figura 3.79 Si (2,4), (1,2), (1,4) Y r2 no cambian, la variación del ángulo de transmisión no alterala V.M.

'YYla ventaja mecánica (sin considerar la razón ren!rsal): si el ángulo yes 0° o 180°, la venta-ja mecánica es cero. Para otros valores de la ventaja mecánica, el ángulo de transmisión variará.En la figura 3.79, sean fijos (2,4 - 1,4), (2,4 - 1,2), r2 y v. El ángulo de transmisión yy la lon-gitud del eslabón r4 de salida pueden tener valores diferentes para un valor dado de la V.M.siempre que el producto (r 4 sen y) permanezca constante. La misma cantidad de par será trans-ferida al eslabón de salida en cada uno de los casos mostrados en la figura 3.79, pero, para loscasos con ángulos de transmisión menores, una componente grande de la fuerza estática trans-mitida a través del acoplador resultará en una fuerza de apoyo mayor en (1,4) en vez de unafuerza usable perpendicular al eslabón de salida. Así, un eslabonamiento con buena ventajamecánica puede tener un ángulo de transmisión inaceptable y un eslabonamiento con un án-gulo excelente de transmisión en una posición particular, puede no tener una suficiente ventajamecánica. Como tanto el ángulo de transmisión como la ventaja mecánica varían con la po-sición del eslabonamiento, cualquier parámetro puede ser crítico para el diseñador en ciertasposiciones.

Valor mínimo de la ventaja mecánica

La sección 3.9 mostró que la ventaja mecánica resulta infinitamente grande cuando el esla-bón de entrada y el acoplador están alineados. Otro parámetro útil de diseño es la posición enque un eslabonamiento alcanza el valor mínimo de la ventaja mecánica. El teorema de Freu-denstein [74] proporciona un método, expresable en términos de la geometría del eslabonamiento,para predecir el valor extremo de la razón de velocidad angular (Úsa¡!(Úenl' que es el inverso deuno de los factores en la ecuación de la ventaja mecánica [Ec. 3.45]. El teorema emplea losdos centros instantáneos móviles (2,4) y (1,3) mostrados en la figura 3.80. La línea entre esoscentros se llama eje de colineación. El teorema de Freudenstein establece que, para un valorextremo de la razón de velocidad en un eslabonamiento de cuatro barras, el eje de colinea-ción es perpendicular al eslabón conector AB. En la figura 3.80,

I(Ú41 (2,4 - 1,2) (2,4 - 1,2)(Ú2 = (2,4 - 1,4) = (2,4 - 1,2) + (1,2 - 1,4)

la venta-Invariará.n la lon-

la V.M.rá trans-

, para losea trans-

ez de unaventaja

n un án-ne ventajaon la po-

'en ciertas

sición ende Freu-

namiento,tmverso de

plea losentre esos'a un valor'e colinea-

Sección 3.11 Programa de computadora para el análisis cinemática 181

Eje de colineación

4

Figura 3.80 Teorema de Freudenstein: paraun valor extremo de w/w2, el eje de colinea-ción es perpendicular al acoplador 3.

Como (l,2 - 1,4) permanece fija al moverse el eslabonamiento, los valores extremos de la ra-zón de velocidad angular se presentan cuando la distancia (2,4 - 1,2) alcanza un valor extremo.Esas posiciones pueden ocurrir cuando el centro instantáneo (2,4) está a cualquier lado delcentro instantáneo (1,2). Por otra parte, recuérdese que la ventaja mecánica es máxima cuan-do (2,4 - 1,2) es mínima. Durante el movimiento del eslabonamiento, el centro instantáneo(2,4) se mueve a lo largo de la línea de centros (1,2) y (1,4). Para un valor extremo de la ven-taja mecánica, el centro instantáneo (2,4) debe llegar instantáneamente al reposo. Esto ocurrecuando la velocidad de (2,4), considerado como parte del eslabón 3, está dirigida a lo largode AB. Esto será sólo cierto cuando el eslabón 3 [prolongado para incluir a (2,4)] es perpen-dicular al eje de colineación porque el centro (1,3) es el centro instantáneo de rotación deleslabón 3. Una inversión de este teorema es dada por Shigley [148]: Un valor extremo de larazón de velocidad ffi/ffi2 del eslabonamiento de cuatro barras se presenta cuando el eje decolineación es perpendicular al eslabón impulsado (eslabón 4).

Límites del movimiento de un eslabonamiento de cuatro barras

A menudo se requiere determinar los límites angulares del movimiento de un eslabonamien-to de cuatro barras. Por ejemplo, un mecanismo Grashof oscilador-oscilador generador detrayectoria o movimiento puede hacerse que se mueva en vaivén si se agrega una díada a lascuatro barras como entrada. Esta "díada impulsara" tendría que formar (junto con el eslabónde entrada de cuatro barras) un mecanismo de manivela-oscilador, tal que impulsara las cua-tro barras originales entre sus límites de movimiento. La tabla 3.2* presenta las ecuacionesque rigen los límites extremos del movimiento angular del eslabón de entrada para los meca-nismos Grashofy no-Grashof de cuatro barras (sección 3.1).

3.11 PROGRAMA DE COMPUTADORA PARA ELANÁLISIS CINEMÁ TICODE UN ESLABONAMIENTO DE CUATRO BARRAS

Con base en las fórmulas previamente obtenidas para el análisis de posición y velocidad deun eslabonamiento de cuatro barras, puede escribirse fácilmente un programa interactivo.

La animación y gráficas de posición angular, velocidad y aceleración de eslabonamien-tos están disponibles como parte del paquete LINCAGESt (Linkage INteractive ComputerAnalysis and Graphically Enhanced Synthesis) [23,46,50,57-62, 114, 124, 125, 152, 159].

• Contribución del Dr. Tom Chase, University ofMinnesota.t Disponible en versiones IBM, MACINTOSH, IRIS y SUN.


TABLA 3.2 LíMITES DEL MOVIMIENTO EN ESLABONAMIENTOS DE CUATRO BARRAS

Eslabonamientos no-Grashof

(a) U o G es el eslabón más largoy

(b) W o Z es el eslabón más largoy

Eslabonamientos Grashof

(a) U o G es el eslabonamiento más corto: la ~otación de U es Ilimitada

.-

U2 + G2 - (Z + W)2lP = acos 2UGSi - 9G < tP: emin = eG - tP

emáx = eG+ tPde otra manera: emin = eG - tP + 3600

emáx = eG + tP + 3600

.~ .1' E. ~

x

U2 + G2 - (2 - W)2lP = acos 2UGSi eG> <11: emin = eG + tP - 3600

emáx= "o: tPde otra manera: emin = eG + tP

emáx = eG - tP + 3600

(b) W o Z es el eslabón más corto

y

x

•lP¡ = acos U2 + G

2- (Z - W)2

2UG

Si eG> tPl entonces:

primer circuito

e1min = eG -tP2elmax = eG - tPle1min = eG - tP2 + 3600

elmax~= eG - tPl + 3600

e1min = eG + tPl

e1máx = eG + tP2

de otra manera -ea> tP2 entonces:

de otra manera:

y

U2 + G2 - (Z - W)2~ = acos __ -=----_"-=--_---L

- 2UGsegundo circuito

e2mín = 0G + tPl

e2máx = 0G + 1/12e2min = eG + 1/11 + 3600

02máx = 0G + tPz + 3600

e2min = 0G - tP2 + 3600

e2max = 0G - tPl + 3600

Nota: Asegúrese de que -1800 < 9G S; 1800 para todos los casos.

~s

XL-----.-

13600

3600

~

Apéndice: repaso de números complejos 183

La capacidad de salida de la gráficas se ilustra a manera de ejemplo. El paquete LINCAGESpuede obtenerse con el primer autor.

APÉNDICE: REPASO DE NÚMEROS COMPLEJOS [86, 451

Los números positivos, negativos y el cero se llaman números reales y pueden medirse des-de un punto fijo D sobre.una línea recta (figura 3.81). Cualquier número real, positivo onegativo, tiene la propiedad de designar un punto actuando como su coordenada sobre el ejex. El conjunto de todos esos números, cada uno representando una sola coordenada, forma unespacio unidirnensional. Para formar sumas de números reales, se considera que cada uno re-presenta una longitud dirigida sobre el eje x. Los números positivos señalan hacia la derecha(véanse las cabezas de flecha en la figura 3.81) y los números negativos señalan hacia la iz-quierda. Un número unidimensional compuesto de la suma de otros dos, a y b, cada uno delos cuales es en sí un número real, se muestra en la figura 3.81. En forma simbólica, e = a + b.El procedimiento gráfico es marcar a y luego efectuar la operación indicada por el signo +.Esto significa marcar b colinealmente comenzando en la punta de a; la operación es la de adi-ción gráfica y su resultado es el mismo que el de la adición algebraica.

Cuando un par ordenado de números, escrito (a,b), define un tercer número e = (a,b), cse llama un número complejo. Para estudiar los números complejos, será necesario primerodesarrollar el concepto de la unidad "imaginaria" A.

El signo negativo como una rotación de 1800

La coordenada DA en la figura 3.82 es 3 y la coordenada DA' es -3. Si se considera que elsegmento OA puede girar alrededor de O, OA podría llevarse en sentido antihorario hasta ha-cerla coincidir con DA'. Haciendo que OA' respecto a O gire 1800 en sentido antihorario, sepuede hacer que coincida con DA. La rotación de 1800 implica así una inversión de dirección,como asociación con el signo negativo o multiplicación por (-1), es decir, (-1)OA = OA'.

c= b=

0'1 1 2 3 4 5 6 7 x

a = 5 Unidades

(al

b = +3 Unidades e = -1 Unidades.,.. -111

xFigura 3.81 El número unidimensional e =a + b. Los elementos a y b deben ser númerosreales y trazarse colinealmente sobre el eje-xreal. (a) c= a + b, donde a =+5, b =-3; (b) e =a + b, donde a = -S, b = +3.

-5 -4 -3 -2 -1 lO

a = -5 Unidades

(b)

La raíz cuadrada de un número n/gativo como ~ puede escribirse como j(-1)x2 =

j( -1)x. El símbolo Ff es, entonces, una operación por efectuarse sobre x. Si se introduce la


.••••-~- <,

'" "I \

I \

,1 \ AlAr I I I I I 1 I +

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 ",3 4 5~-3--f-+3-1 Figura 3.82 El signo negativo, -, como inver-sor de dirección: giro de 180°.

notación P = -1, se infiere que (i)(i) = i2 = -1, o bien, que dos operaciones con i son lo mis-mo que multiplicar por -1. Hemos visto que -1 significa inversión de dirección y podemosentonces asociar P con -1; i2 = -1 es pues un operador que implica una rotación antihorariade 180°. Por lo tanto, una sola i indica una rotación de 90° en sentido antihorario. Por el con-trario, (-iP = -1 Y puede interpretarse que -i'representa una rotación horaria de 90°. Si seescribe H x = ix, la interpretación geométrica es que el número x deberá girarse 90° en senti-do antihorario. El símbolo i se originó con Euler en 1777.

: Cantidades imaginarias. El número e = a + ib se llama número complejo y es bi-dimensional, ya que implica tanto a a como a ib. Los números a y b son reales; el número ase llama parte real e ib, parte imaginaria. t Un número complejo de la forma a + iO se deno-mina número real, mientras que uno de la forma 0+ ib se denomina imaginario puro. Lavalidez de la mayoría de los teoremas de la aritmética y el álgebra no queda afectada por latransferencia a cantidades complejas; esto resulta muy conveniente, ya que toda ecuación al-gebraica en el álgebra compleja tiene, por lo menos, una raíz (Gauss).

El número complejo. Considérese que e está representado por una distancia r tra-zada a partir de O, como se muestra en la figura 3.83. La doble flecha indica que r no es unsegmento de línea dirigido sino, más bien, un "valor absoluto", siempre positivo. Geométri-camente, e es un radio vector: r veces la longitud de un vector de longitud unitaria. Se puededescribir la posición del punto extremo P del radio vector de dos maneras usando pares de nú-meros. La forma polar incluye la magnitud de radio r y el ángulo e del radio vector medidodesde el eje real positivo horizontal. La forma cartesiana (rectangular) especifica la parte reala del radio vector y la parte imaginaria ib. Las formas polar y cartesiana están relacionadaspor medio de la ecuación de Euler:

e = a + ib = r(cos_8+ z.sen 8) = rei8 (3.70)

donde

r = lel = IJa2 + b218= arg e = arg(a + ib)

La figura 3.83 es una representación del número complejo e mostrado en lo que se llamael plano complejo de Gauss-Argand. Cualquier punto en este plano representa un númerocomplejo. El valor absoluto del número complejo es r, llamado también módulo; e se llamaargumento, o ángulo, y siempre se mide desde el eje real positivo (figura 3.83) como positi-vo en sentido antihorario. Al tomar el argumento del número complejo a + ib (es decir, encontrar

t Si bien b puede también llamarse la parte imaginaria, estrictamente hablando se trata de la coordenada sobreel eje imaginario. Al multiplicarse por i se convierte en la parte imaginaria ib.

· como inver-

son lo mis-~ podemos

tihorariaror el con-¡90°. Si se

.o en sentí-

ifo y es bi-(1 número aiO se deno-o puro. La

da por lauación al-

cia r tra-

(3.70)

ue se llamaun número: e se llamaamo positi-:ir,encontrar

oordenada sobre


iy III \P c=a+ib

ibt---- ----~ <,

Ir. '1>~\o /' /' I <,<,

'~ / -r . \~ /' b·~ 11 \

-le \>('s I \r~ e \ I \

L~~1 ~~bj r,ay rJ.- y (

I ·1TI s : '..---:::.t;:,y,!).,-{f. Ct:>"" :?

+ x -'X>H (9- :;,fIr

(OS~";; '"Figura 3.83 El número complejo e = a + ib es bidimensional y consiste en las partes real e imagi-naria a e ib, respectivamente.

~O'--:: ló\.fj V

la dirección del radio vector que representa ese número medido desde el eje real positivo), noes suficiente tomar el arco tangente de la razón b/a. Esto se debe a que el arco tangente esmultivaluado (como se muestra en la figura 3.84):

arctan !i = e,a

e + 7T, e - 7T, e - 27T, etc. (3.71)

La Ec. (3.7 J) da cuatro valores del arco tangente entre -2n y 2TI:, que incluye la direc-ción diametralmente opuesta a la dirección de a + ib.

De hecho, como b/a = -b/-a, el arco tangente de la razón de las partes imaginaria a lareal de a + ib sería la misma que la de -{a + ib) = -a + i(-b), mientras que las direcciones desus radios vectores difieren en n. Por lo tanto, es importante dibujar siempre un croquis delradio vector del número complejo para ver cuál de los múltiples valores del arco tangente dala dirección correcta o "argumento" de ese vector.

También es conveniente, para facilitar la visualización, definir el ángulo e en el intervalo

-TI: < e ~ TI: (3.72)

Esto dará el argumento como se define en la figura 3.85 para los cuatro cuadrantes delplano complejo.

tan e = tan (e + lTl'= tan (8 - lT), etc.

Figura 3.84

r¡r


iy iy

a' + ib'a + ib

x x

(a) (b)

iy iy

8'" .: arg (a'" + ib"')

x x

a" + lb'"a" + ib"

(e) (dl

Figura 3.85 Argumentos de números complejos en los cuatro cuadrantes del plano complejo.

Los programadores de computadoras han introducido la función AT AN2 (y, x) para evi-tar la ambigüedad del arco tangente; esta función con y y x reales con signo da el argumentode x + iy. Algunas calculadoras de bolsillo usan esta misma función cuando se activa la tecla detransformación de "rectangular a polar". El ángulo dado por ellas es el comprendido en el in-tervalo de la Ec. (3.72). Al usar una calculadora de bolsillo sin tal rutina de transformación,el arco tangente puede usarse en conjunción con un croquis bidimensional del radio vectorpara resolver la ambigüedad.

f)= arg e = arg(a + ib)

Ciertas relaciones entre números complejos se muestran en la figura 3.86 ...I

'. 1. Dos números complejos pueden ser iguales sólo si sus partes reales e imaginarias sonigl;alé~ por separado.

2. Los números complejos se suman vectorialmente; su suma se encuentra sumando suspartes reales para dar la parte real de su suma y sumando sus partes imaginarias paradar la parte imaginaria de su suma.

3. La diferencia de dos números complejos se encuentra tomando la diferencia de sus par-tes reales para dar la parte real de su diferencia, etc.

La multiplicación y división siguen las reglas del álgebra ordinaria con la relación adi-cional ¡2 = -1:

---I x

~)

r---x

lejo.

)o', x) para evi-el argumento.va la tecla dedido en el in-

formación,1 radio vector

maginarias son

fa sumando susaginarias para

cia de sus par-

la relación adi-

.2 ib3roe

'g> i~§Q)

W ib,

~


1::2 = a2 + i~ »->: ---t::O ~

Ir---- /'li_- . // / I

I r3 /// // / / Ir2/ I .:: / I/ 1// / I

/ /1 r, ,.(/ / / I -- -"'1 e, = a, + ib

~_-~~8 l· l', I I

a2 a,Eje real

x Figura 3.86 Adición de los números com-plejos el y ~ para dar e3·

a3

(a + ib)(e + id) = ae + (ib)e + a(id) + (ib)(id)

= ae + i(be + ad) + i2(bd)

= ae + i(be + ad) + (-l)(bd)

= (ae - bd) + i(be + ad)

a + ib (a + ib) (e - id) ae + (ib)e - a(id) - (ib) (id)e + id = (e + id) (e - id) = e2 - (id)2

ae + i(be - ad) - ( -l)bde2 - ¡2~

(3.73)

ae + i(be - ad) + bde2 + d2 (3.74)

ae + bd be - ad= + i---

e2+~ e2+d2

Multiplicando y dividiendo en la manera descrita previamente ilustra el uso de la forma car-tesiana. La forma polar implica el uso de exponentes y el teorema de Euler.

Ya que.

C = r(cos e + i sen (J) = reifi (3.75)

podemos escribir

C¡ = rleifi¡ C2 = r2ei~

De aquí,

C3 = "C¡c2 =. (r¡eifil) (r2eiflz) = ~¡r2ei(fi¡ + fIz)

= rh[cos(e¡ + e2) + i sen(e¡ +·e:0]

(3.76)

yiOI r.s - ~ = -1.é(OI - O,)

- '0C2 r2e' 2 r2 (3.77)

r '.= -1 [cos(8l - 82) + isen(8l - 82)]r2


Z2 = -x + iy= rt-cos e+ i sen e)

Eje imaginarioZ, =-x + iy

= rtcos e+ i sen e)

x=rcos8

Eje real

Z3 =-x- iy= -rícos e + i sen e)

Z4 = X - iy= rlcos e- i sen e)

Figura 3.87 El plano complejo (plano de Gauss-Argarid),

;" La representación de Gauss-Argand de un número complejo usa el plano coordenadacartesiano xy y llama al número complejo Z, es decir, Z = x + iy. El número se exhibe entoncescomo el punto cuyas coordenadas son (x,y). Nótese que Z es el símbolo para el número com-plejo; no tiene ninguna relación con la usual tercera coordenada cartesiana. La longitud delradio vector se designa con r y es siempre positiva. La figura 3.87 muestra un resumen de mu-chas propiedades de los números complejos en todos los cuadrantes del plano complejo oplano Z.

Números complejos conjugados. Se dice que dos números complejos son com-plejos conjugados entre sí cuando tienen la misma parte real y sus partes imaginarias soniguales en magnitud pero de signo opuesto. Por ejemplo, el complejo conjugado de x + iy esx - iy, En general, se usa una barra sobre ~l símbolo de un número complejo para denotar asu conjugado; así, si Z = x + iy, entonces Z = x - iy,

Los puntos del plano complejo que representan dos números complejos conjugados sonsimétricos con respecto al eje real (figura 3.88). Nótese que las magnitudes de dos númeroscomplejos conjugados son iguales y que sus ángulos son opuestos en sentido. Además, si Zes real, entonces Z = Z; si es imaginario puro, entonces Z =-Z; también, (Z)= Z.Los núme-

Eje imaginario Eje imaginario

2iy

2x Eje real

iy

Eje realo

-iy

(a) Ib)

Figura 3.88 Números complejos conjugados Z = x + iy YZ = x - iy.

!JsO--

coordenado·be entonces

;número com-longitud del

endemu-o complejo o

ejos son com-ginarias son

o dex + iyesara denotar a

njugados sondos númerosAdemás, si Z

" Z. Los núme-

Eje real


ros complejos conjugados son útiles en varias situaciones, como en el cálculo de la magnitudde un número complejo:

IZI2 =,2 = x2 + y2 = (x + iy)(x - iy) = ZZ (3.78)

El cuadrado de la magnitud de un número complejo es, por tanto, el producto con su propioconjugado. Las partes real e imaginaria de un número complejo pueden también expresarseen términos de su conjugado (figura 3.88).

Parte real de Z = x = ~ [ex + iy) + ex - iy)] = Z ; Z

1 -Parte imaginaria de Z = y = 2i [ex + iy) - ex - iy)] = Z ; Z

(3.79)

Incluso cuando un número complejo está representado en términos de sumas, produc-tos, razones y exponentes de otros números, su conjugado puede encontrarse simplementetomando el conjugado de cada uno de los números que aparecen en la expresión. Por ejem-plo, considérese el número complejo

e eiO, + e eifJ,Z = l 2 .d. e,a, + d

2e'cr,

donde e\, e2, di y d2 son complejos y los ángulos el' e2, al y ~ son reales. El conjugado deZes

_ ce-iIJ, + ce-i8,Z = _1. -=-.

dIe-,a, + d2e-'cr,

El ángulo de rotación. El ángulo de giro de un vector unitario es definido por el ope-rador (cos e + i sen (J). Si se efectúa esta operación otra vez, girando otro ángulo e, se tendrá

(cos e+ i sen e) (cos e+ i sen e) = (cos e+ i sen e)2Sin embargo, el ángulo total de giro es de 2e, por lo que se puede escribir la identidad

(cos e + i sen (J)2= cos 2e + i sen 2eAmpliando esto a n operaciones, se tiene

(cos e+ i sen e)" = cos nb+ i sen ne (3.80)

Esta última expresión se conoce como teorema de De Moivre y es inmediatamente obvio cuan-do se considera en términos de números complejos.

Modelación con números complejos en eslabonamientos. Cualquier me-canismo plano puede representarse por una cadena general, que consista en uno o más circuitosde miembros sucesivos de barras-deslizadores, Por ejemplo, el mecanismo excéntrico de des-lizador-manivela en la figura 3.90a puede derivarse de la cadena general (figura 3.90b) fijandolos deslizadores a sus respectivas barras entre los miembros 1 y 4, 4 Y3, Y 3 Y2, así como fi-jando las barras 1 y 4 a tierra.

Los números complejos sirven como una herramienta ideal para modelar los miembrosde eslabonamientos como partes de cadenas planas. Para cada miembro barra-deslizador enla figura 3.89, la posición del pivote sobre el deslizador con respecto al pivote de la barra pue-


iy

I ~ x Figura 3.89 Cadena plana general.

de definirse por el vector de posición relativa Zk (figura 3.91a), expresable como un númerocomplejo. La primera posición o de inicio de la k-ésima barra puede escribirse como

donde

Zk = Zkei61 = Zk( cos el + i sen el) (3.81)

i= J~lk = k-ésima barra de la cadena

Zk = IZJ = longitud entre el pivote de la barra y el pivote sobre el deslizador en la prime-ra posición

e1 = arg Zk = ángulo medido al vector Zk desde el eje real de un sistema coordenado rectan-gular con orientación fija que se traslada con el pivote de la barra (ángulosmedidos en sentido antihorario son positivos)

Si no hay cambio en la longitud de la k-ésima barra en la cadena de la primera a la posición(j-ésima) con primas, como se muestra en la figura 3.91b, Zk es expresable como

Zk = Zkei(6¡ +~}= Zke¡(}¡ei~j (3.82)

--." "-I

I\\,

(a)

Figura 3.90 (a) Mecanismo excéntrico de deslizador y manivela; su cadena general equivalente.

(b)

general.

oun númerocomo

(3.81)

r en la prime-

enado rectan-arra (ángulos

(3.&2)

ivalente,


Posicióncon primas

Posiciónprimera ¡y

o de inicio

--+-x

~"8¡

(a) (b)

Figura 3.91 Representación vectorial compleja de un par barra-deslizador; (a) rotación conalargamiento; (b) rotación pura.

donde

tPj = 8¡ - el (3.83)

Nótese que al moverse un eslabón en el plano, un sistema coordenado está articulado a la ba-se del eslabón (figura 3.91). Este sistema coordenado permanece paralelo a un conjunto decoordenadas fijas, por lo que 8¡ y el son argumentos de Z en las posicionesj-ésima y prime-ra, respectivamente, mientras que tPj es el ángulo de rotación de la posición 1 a la). Usandola Ec. (3.81) se obtiene

Z' =Z éqJjk k (3.84)

Si hay un cambio en la longitud de la k-ésima barra, y si este cambio está definido por

Zk (3.85)Pj = Zk

entonces,

Zk = Z¡JJ/qJj (3.86)

El término eiqJjen las Ecs. (3.84) y (3.86) se llama operador rotacional [138,140] y ha-rá girar a un vector de su posición inicial un ángulo tP sin cambiar la longitud del vector. Elfactor Pj es la razón de alargamiento, * mientras que JpJéqJjse llama operador de rotación yalargamiento [138]. Se puede ahora modelar cualquier miembro de barra-deslizador en unmecanismo plano por medio de un vector y expresar su movimiento con respecto a cualquierreferencia en términos de una posición inicial, un alargamiento y una rotación. Se usarán esosnuevos operadores para modelar mecanismos para la tarea de síntesis cinemática en la sec-ción 8.13 .

• Vea, por ejemplo, el mecanismo de corredera-manivela de la figura 8.82 )•.la Ec. (8.83).


PROBLEMAst

Nota: Cuando no se den dimensiones necesarias en el enunciado de un problema, escojaun eslabón como de longitud unitaria y trace a escala el dibujo.

3.1. Un eslabonamiento de cuatro barras tiene las siguientes dimensiones: AoBo = 2 in., AaA = 2 +1/2 in., AB = 1 + 112 in., BoB = 2 + 3/4 in. (véase la Fig. P3.1).(a) Determine el tipo de cuatro barras según el criterio Grashof.(b) Determine el rango de movimiento de este eslabonamiento si el eslabón 2 es la entrada.(e) Determine el rango de movimiento de este eslabonamiento si el eslabón 4 es la entrada.

A

FiguraP3.1

Aa

3

2

'/.

3.2. Un eslabonamiento de cuatro barras tiene las siguientes dimensiones: AoBo = 2 in., AaA = 2 + 1/2

in., AB = 1 + 1/2 in., BoB = 3 + 1/4 in. (véase la figura P3 .2).(a) Determine el tipo de mecanismo de cuatro barras según el criterio de Grashof.(b) Determine el rango de movimiento de este eslabonamiento, si el eslabón 2 es la entrada.(e) Determine el rango de movimiento de este eslabonamiento, si el eslabón 4 es la entrada.

B

Figura P3.2

t Muchos de los problemas fueron contribución de John Titus, University ofMinnesota.

la, escoja

40A = 2 +

entrada.entrada.

-.4 = 2 + 1/2

a entrada.a entrada.

Problemas 193

3.3. Determine los ángulos de transmisión y desviación para los mecanismos en las figuras P3.3,P3.4 Y P3.5, para los casos en que(a) El eslabón 2 es el de entrada y el eslabón 4 es el de salida.(b) El eslabón 4 es el de entrada y el eslabón 2 es el de salida.

Figura P3.3

4

4

1111,

f1Ao,

Figura P3.4

Figura P3.5

3.4. Determine los ángulos de transmisión y desviación para los mecanismos en la figura P3.6 pa-ra los casos en que(a) El eslabón 2 es el de entrada y el eslabón 5 es el de salida.(b) El eslabón 5 es el de entrada y el eslabón 2 es el de salida.

194 Capítulo 3' Análisis de desplazamiento y velocidad

A B3

Figura P3.6

3.5. Determine los ángulos de transmisión y desviación para los mecanismos en las figuras P3.7,P3.8 YP3.9 para los casos en que(a) El eslabón 2 es el de entrada y el eslabón 6 es el de salida.(b) El eslabón 6 es el de entrada y el eslabón 2 es el de salida.

A

2

Aa

ss, Figura P3.7

3

AL \ ¿ )'B

a,~

Figura P3.8

figuras P3.7,

3.6. Determine los ángulos de transmisión y desviación para los dos mecanismos formadores de rá-pido retorno en las figuras P3.1O y P3.11, donde la entrada es el eslabón 2.

3.7. Encuentre los ángulos de transmisión y desviación para el eslabonarniento de la cubierta delautomóvil convertible en las dos posiciones mostradas en la figura P3.12.

Figura P3.9

Figura P3.10

Problemas 195

Resorte

:Deslizador

Figura P3.11


&4I ~/:~

~#

.,----- '-0---------- -,/ ~I------- I

---- __ .J

e

Figura P3.12

3.8. Determine los ángulos máximo y mínimo de transmisión para las siguientes dimensiones deleslabonamiento. La topología del eslabonamiento se muestra en la figura P3.13. AnEa está entodos los casos a lo largo del eje x.(a) AoBo = 6", AoA = 1", AB = 2", BBo = 6"(b) AnEa = 6.93", AoA = 4", AB = 4", BBo = 4"(e) AnEa = 2", AoA = 4", AB = 3", BBo = 3"(d) AnEo = 3.5", AoA = 4.5", AB = 2", BBo = 5"

B \Entrada

bl l"ol xFigura P3.13

Fensiones del3. AoBo está en

Problemas 197

3.9. Para el eslabonamiento mostrado en la figura P3.14, encuentre VB' (03 Y (04 si (02 es 1 rad/s ensentido horario; AoA = AB = BBo = 4 in., el ángulo de AoA es de 60°, BoB es paralelo a AoA yAB es horizontal.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Comente sobre el uso del método del centro instantáneo para esta posición del eslabona-

miento.

60

Figura P3.143.10. Determine la velocidad del punto E y las velocidades angulares (Os y (06 en las seis barras de la

figura P3.15 si VA = 40 mm1s.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Trace a escala la figura para obtener valores numéricos de las longitudes y direcciones de

los eslabones; use aritmética de números complejos.

E

/

Figura P3.15


3.11. Use el método de la velocidad relativa para encontrar VA' VB' V C> Y 002, 003, 004 para cada unode los mecanismos mostrados en las figuras P3.16, P3.l7 YP3.18, respectivamente. Compa-re las velocidades lineales y angulares resultantes.(a) Las dimensiones del eslabonamiento en la figura P3.16 son: AoA = 2", AB = 2.6", AC =

3.503", BC = 3.983", BBo = 2.5", AoBo = 6.5"; AoA está a-15°; 002 = 2 rad/s es en senti-do horario.

(b) Las dimensiones del eslabonamiento en la figura P3.l7 son: AoA = 3.065", AB = 3.830",AC = 3.368", BC = 2.5", BBo = 3.983", AaBo = 9.959"; BBo está a-50°; 002 = 2 rad/s ensentido horario.

e

4

-:-

W2

Bo

Figura P3.16

A

W2

e 3

4

Bo

Figura P3.17

/

-". AB = 3.830",~ = 2 rad/s en

Problemas 199

~para cada unozmente. Compa-

80,4J]= 2.6", AC =ad/s es en senti- 4

2

eA

Ao<'

Figura P3.18

(e) Las dimensiones del eslabonamiento en la figura P3.18 son: AoA = 3.503", AB = 2.695",AC = 2", BC = 3.064", BBo = 3.368", AoBo = 8.757"; AoA está a +90°; 0)3 = 2 rad/s en sen-tido horario. Observe que la velocidad angular del acoplador está dada para esteeslabonamiento.

3.12. Use el método de la velocidad relativa para encontrar VE Y 0)3' 0)4' 0)5 Y 0)6 para el eslabona-miento Stephenson I de seis barras mostrado en la figura P3 .19 si 0)2 = 2 rad/s en sentido horario.Las longitudes de los eslabones son: AoA = 2", AoD = 3.065", AB = 2.6", AC = 3.503", BC =

3.983", BBo = 2.5", AaBo = 6.5", CE = 8.758", DE = 3.368"; AoA está a-10°.

e

4

80

E Figura P3.19


3.13. Si el punto A de la figura P3 .20 tiene una velocidad instantánea de 9 m/s, encuentre VE' Cú4 Y Cú7.

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los

eslabones y use la aritmética de números complejos.

Figura P3.20

3.14. Encuentre Cú6 y Ve (sobre 3) del eslabonamiento en la figura P3.21 si Cú2 = 1 rad/s en sentidohorario.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener valores numéricos de longitudes y direcciones de los eslabo-

nes y use la aritmética de números complejos.

Salida

Figura P3.21

3.15. Determine la razón de velocidades angulares CúiCú2 para el eslabonamiento en la figura P3.22.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use la aritmética de números complejos.

AoA= 28mmAB =66mmAC = 33mmBC = 51 mmCO =60mmBO = 29mmAoB =68mm

Entrada ~Figura P3.22

_ - ro.¡.

- -.e los

sentido

P3.22.

Problemas 201

3.16. Use el método de la velocidad relativa para encontrar VB4' VBS' (¡)3 y (¡)s para los dos eslabona-mientos de 5 barras mostrados en las figuras P3.23 y P3.24. En ambos casos, (¡)2 = 4 rad/s ensentido horario.(a) Las dimensiones del eslabonamiento en la figura P3.23 son: A¡y4 = 3", AB = 2", BoB = 2.5"

en este instante; A¡y4 y BoE están a +60°; V(B4)(BS) = 9 in./s.(b) Las dimensiones del eslabonamiento en la figura P3.24 son: A¡y4 = 3", AB = 2.5", AoEo =

OS', BoE = 3.143" en este instante; A¡y4 está a +60°; V(B4)(BS) = 4 in./s.

A

Figura P3.23

B

"'2

Figura P3.24

3.17. El diagrama cinemático a escala de un mecanismo encendedor de cerillos se muestra en la figu-ra P3 .25. El cerillo se coloca en el punto e y se enciende al frotarse contra una superficie cuandogira el eslabón 2. Las longitudes de los eslabones y la velocidad angular de entrada en este ins-tante son: A¡y4 = 2.5", AoE = 4.33", AB = 2.5"; A¡y4 está a-30°; (¡)2 =4 rad/s en sentido antihorario.Encuentre la velocidad relativa entre los eslabones 3 y el bloque deslizante (4) y (¡)4'

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.


1~

e

Aolaj I-300

3

2

A Figura P3.25

3.18. Encuentre VF Ylas velocidades angulares (Os y (06 para el eslabonamiento Watt 1de seis barrasmostrado en la figura P3.26. Las dimensiones del eslabonamiento son: A¡J3o= 4", AoA = 5",AB = 2", B¡J3 = 5", AC = 1", CD = 2", DE = 2.5", DF = 1" a 450

; AoA está a +126.870; (02 = 5

rad/s en sentido horario.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.

AaFigura P3.26

3.19. Encuentre la velocidad del punto B sobre el seguidor del mecanismo de leva en la figura P3.27,dada (02 = 10 rad/s en sentido antihorario, usando el método de la velocidad relativa. Supongarodamiento sin deslizamiento del eslabón 3 sobre 2 y encuentre la velocidad del punto B' .(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los

eslabones y use aritmética de números complejos.

0;8 = 1.25 in.0.8 = 1.60 in.°20. = 2.25 in.

Figura P3.27

W2

,,,~2,

- barras:l = S",

:~=S

Problemas 203

3.20. Dada Ú)2= 10 rad/s en sentido horario en la figura P3.28, encuentre la velocidad relativa V(P3)(P2)'(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los


3.21.Figura P3.28

Encuentre Vedada VA para el eslabonamiento mostrado en la figura 3.29 (suponga rodamien-to puro de 4 sobre 1).(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener valores numéricos de las longitudes y direcciones de los es-

labones y use la aritmética de números complejos.

VA

Sin deslizamiento Figura P3.29

3.22. Dada la velocidad angular de la leva (Ú)2= 20 rad/s, antihoraria), encuentre la velocidad verti-cal instantánea del seguidor (figura P3.30).(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener valores numéricos de las longitudes y direcciones de los es-

labones y use la aritmética de números complejos.

Figura P3.30


3.23. Encuentre la velocidad angular del eslabón 7 y la velocidad lineal del punto F sobre la corre-dera del eslabonamiento de ocho barras en la figura P3 .31; (02 = l rad/s en sentido antihorario.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.

'"

7

IIw.IIIIIIIIIIIIIII ft.oA = 5.08 cmI AB = 10.2 cmI AC ~ 4.45cmI CB = 6.35cmI CO = 5.08cm

EoE a 15.2 cmEF = 10.2 cmE¡¡O = 10.2 cmft.oB = 13.1 cmft.oEo = 17.5 cm

E

Figura P3.31

3.24. Una puerta policéntrica es aquella en que la puerta es el acoplador de un eslabonamiento decuatro barras. Cuando oscila de la posición cerrada a la abierta, el centro instantáneo (1,3) va-ría continuamente; de ahí el nombre de policéntrica. Observe que el acoplador es el eslabón deentrada. Encuentre Ve y las velocidades angulares (02 y (04 para la puerta en la posición mos-trada en la figura P3.32. Las entradas y dimensiones del eslabonamiento son: AoA = 24", AB =18", AC= 12", EEo = 18", AoBo = 12"; AE está a +60°, (03 = 3 rad/s en sentido antihorario (véa-se la figura P3.32).

re la corre-antihorario.

5.08 cm0.2 cm

's 4.45 cm6.35 cm5.00 cm

s 15.2 cms 10.2 cms 10.2 cms 13.1 cms 17.5 cm

iento deeo (1,3) va-

el eslabón desición mos-

A = 24",AB =orario (véa-

Problemas 205

~

Figura P3.32

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.

3.25. Si la velocidad angular del eslabón 2 en la figura P3.33 es de 66.7 rad/s en sentido horario, en-cuentre la velocidad relativa de la corredera D con respecto al deslizador B.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.

B

4

~

Figura P3.33

3.26. La velocidad angular de la manivela 2 en la figura P3.34 es 0)2 = 2000 rpm en sentido antiho-rario. Encuentre 0)5'

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los



A

B

Figura P3.34

3.27. En el eslabonamiento de seis barras mostrado en la figura P3.35, encuentre la velocidad de lospuntos E y e y la velocidad angular del eslabón 6, dada (¡)2 = 10 rad/s en sentido horario.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use el método de los números complejos.

Longitudes (in.)

AoA = 1.188AB = 1.375AD = 2.750BoB = 1.125CD = 2.625CoC = 0.938DE =0.750AoBo= 2.560AoCo= 3.040BoCo= 2.320

E Figura P3.35

3.28. Si la velocidad del deslizador 6 es instantáneamente de 87.5 ft/s hacia arriba (véase la figuraP3.36), encuentre la velocidad del centro de masa del eslabón 3 (Vg3) y la velocidad angulardel eslabón 4.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los


dad de loso.

Problemas 207

o

Figura P3.36

3.29. Dada una velocidad del deslizador de VA = 20 in./s hacia la izquierda, encuentre VB' Ve y (ús

para el mecanismo en la figura P3.37.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los


e'l.

Figura P3.37

3.30. El mecanismo invertido de corredera-manivela en la figura P3.38 tiene una velocidad angularde (Ú2 = 10 rad/s en sentido antihorario. Encuentre (Ú4.

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los


W2

Figura P3.38


3.31. Si la velocidad angular de la manivela en la figura P3.39 es (()2 = 100 rpm en sentido horario,encuentre (()4.

(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Use números complejos.

AoA= 32 mmA04 = 102 mm

A004 = 86 mm

Figura P3.39

3.32. Determine la velocidad relativa del deslizador V(CS)(C6) y (()6 para el eslabonamiento Stephenson lITde seis barras mostrado en la figura P3.40. Las dimensiones del eslabonamiento y entradas son:Ary4 = 2",AB = l",BoB = 2.8",AoBo = 1.l1",AC= 3.5", BoCo = 6.9"; AoA está a-30°; (()2 = 2 rad/sen sentido horario.(a) Use el método de la velocidad relativa.(b) Use el método de los números complejos.

4

Figura P3.40

3.33. En el mecanismo de ocho eslabones mostrado en la figura P3.41, encuentre V C> VE' (()S Y (()8'

dada (()2 = 100 rpm en sentido horario.(a) Use el método de la velocidad relativa. [Sugerencia: En algunos casos, las ecuaciones de

velocidad relativa no contienen suficientes términos conocidos para resolver el problemadirectamente. Sin embargo, se puede empezar en dos extremos del mecanismo (escogien-

horario,

onIDson:

~=2 rad/s

1

~

~

z: 005 Y 008,

seiones dee, problema

escogien-

Problemas 209

4

G

Figura P3.41

do arbitrariamente una velocidad de "tanteo") y procediendo hacia el centro. Si las veloci-dades en el centro no concuerdan, varie la velocidad de "tanteo" hacia arriba o hacia abajo,hasta que concuerden.]

(b) Use el método del centro instantáneo.(e) Escale la figura para obtener los valores numéricos de las longitudes y direcciones de los


3.34. Si la velocidad angular del eslabón 2 en la figura P3.42 es de l rad/s en sentido horario,(a) Encuentre 006 y VB con el método de la velocidad relativa.(b) Determine la posición de todos los centros instantáneos.(e) Encuentre 006 y VB con el método del centro instantáneo y compare sus resultados con la

parte (a).(d) Use números complejos.

A

AoA = 2 in.AB = B in.AC = 4 in.CO = 4 in.AoB = 6.5 in.000 = 4 in.AoOo = 4 in.Ao0o 1 AoB

B

4

Figura P3.42

3.35. En la figura P3.43 se muestran dos velocidades conocidas para el eslabón N. Encuentre el cen-tro de rotación del eslabón. Si usted hubiese formulado este problema, ¿podría haber dibujadoarbitrariamente dos vectores VA YVB? ¿Por qué?

••


.:«:Eslabón "N"A

Figura P3.43

3.36. Dada Vx en la figura P3.44, encuentre VB'

(a) Use la construcción del centro instantáneo.(b) Use el álgebra de números complejos. (Escale el dibujo para los datos requeridos.)

A

Figura P3.44

3.37. Dada Vx en la figura P3.45, encuentre VB'

(a) Use la construcción del centro instantáneo.(b) Verifiquela con el método de los números complejos. (Escale el dibujo para obtener los da-

tos necesarios.)

A

Figura P3.45

In--- "'s ea-

Problemas 211

3.38. La figura P3.46 es la imagen de velocidad del eslabón acoplador de un eslabonamiento desco-nocido de cuatro barras. Construya el diagrama de posición de este eslabonamiento; encuentrelas posiciones de todos los centros instantáneos y (02' (03 Y (04. La información conocida sobreeste eslabonamiento es la siguiente:Longitud AoA de la manivela de entrada (eslabón 2) = 2.5 in.Longitud AB del acoplador (eslabón 4) = 3 in.; se sabe que (03 es antihoraria.Longitud BBo del eslabón de salida (eslabón 4) = 5 in.La 10ngitudAoBo del eslabón tierra (eslabón 1) es desconocida pero se sabe que es menor que 5 in.

e

A Figura P3.46

B

3.39. Dada (02 = 1 rad/s como se muestra en la figura P3.47, encuentre VB en cada caso (use centrosinstantáneos).(a) Suponga contacto de rodamiento entre el eslabón 1 y el rodillo portador del punto B.(b) Verifique sus resultados por el método de los números complejos. (Escale el dibujo para

obtener los datos necesarios.)

,,~/(a)

W2

~

(b) (e)

Figura P3.47


3.40. (a) Encuentre los 10 centros instantáneos del mecanismo de cinco eslabones en la figura P3.48,(b) Para la posición mostrada, represente las relaciones de velocidad angular entre los eslabo-

nes 2 y 4 por un par de engranes con pivotes en los puntos 02 y °4,

(e) Para la posición mostrada, represente las relaciones de velocidad angular instantánea en-tre los eslabones 4 y 5 por un par de engranes con pivotes en los puntos 04 y °5,

Figura P3.48

3.41. El eslabón fijo (F), el eslabón de entrada (1) y el eslabón de salida (N) de un sistema mecáni-co se muestran en la figura P3.49 con las juntas revolutas indicadas entre 1 y F YN YF,(a) Escoja un centro instantáneo aceptable para 1 y N.(b) Escriba una ecuación que relacione la razón de velocidad angular OON/OOl en términos de

vectores que conecten los centros instantáneos,

--- ,<,,

/'

//

/f

Eslabón N-1

Eslabón 2/'

"//"

Eslabón 1

Eslabón F

~////////////////////////////ff////////////////~

Figura P3.49

Problemas 213

ea en-

3.42. Encuentre ffi/ffi2 para el mecanismo de la figura P3.S0.(a) Use el método del centro instantáneo.(b) Verifique sus resultados con el método de los números complejos. (Escale la figura para

obtener datos necesarios.)

P3.48.eslabo-

AaW2 D

6

4 ~~~~-w..",,~~~~1

mecáni-F.

Figura P3.50

. os de

3.43. Si el eslabón 3 de la figura P3.S1 se desliza hacia la izquierda a razón de l mis, determine lavelocidad del deslizador del eslabón 5 .(a) Use el método del centro instantáneo. Suponga rodamiento puro entre los eslabones l y 2. *(b) Verifique sus resultados con el método de los números complejos. (Escale la figura para

obtener datos necesarios.)

•A

~

Rodamiento sindeslizamiento ~

7/////////,,7///,/////h

Figura P3.51

3.44. (a) En el mecanismo engranado de siete eslabones en la figura P3.S2, encuentre todos los cen-tros instantáneos. (Escale la figura para obtener datos necesarios.)

(b) ¿Cuál es la razón de velocidad angular ffi6/w2?

• La equivalencia de mecanismos de pares inferiores y superiores prevalece para grados de libertad, desplaza-mientos y velocidades, pero no para aceleraciones dadas por derivadas de orden superior del movimiento.


p

Figura P3.52

(e) Verifique la parte (b) con el método de la velocidad relativa.(d) ¿Cuál es la velocidad angular relativa del eslabón 5 con respecto al eslabón 3?(e) Verifique las partes (b) y (d) con el método de los números complejos.

3.45. En el mecanismo de rápido retorno en la figura P3.53,(a) Determine la razón V¿went con centros instantáneos. (Escale la figura para obtener datos

necesarios. )(b) Encuentre Fsa¡lFent"(e) Verifique las partes (a) y (b) con el método de los números complejos.

Ve-

Figura P3.53

Fent~

3.46. (a) Encuentre la posición de todos los centros instantáneos del mecanismo de seis eslabonesen la figura P3.54. (Escale la figura para obtener datos necesarios.)

(b) Determine la razón de velocidad angular WiW2'

Problemas 215

4

Figura P3.54

datos

(e) Determine la razón de velocidad angular (f)6/(f)2'

(d) Verifique la posición de II3 por números complejos.(e) Verifique los resultados de las partes (b) y (c) por números complejos.

3.47. (a) Determine la posición de todos los centros instantáneos del mecanismo de seis eslabonesen la figura P3.55.

(b) ¿Cuál es la razón de velocidad angular (f)j(f)2?

(e) ¿Cuál es la razón de velocidad angular (f)S/(f)2?

(d) Encuentre la velocidad del punto C, dada (f)2 = l rad/s en sentido horario por dos métodos:(1) usando el centro instantáneo (2,5) y (2) el centro instantáneo (2,6).

(e) Verifique los resultados de las partes (b), (e) y (d) con el método de los números comple-jos. (Escale la figura para obtener los datos necesarios.)

B

nes

e6

!?'$,@"w#"wM1

Figura P3.55

T~-


3.48. Determine la razón de pares TiT2 del mecanismo en la figura P3.56.(a) Use el método del centro instantáneo.(b) Verifique su resultado con el método de los números complejos.

AOA= 0.3 mAB = 0.5 mBoB=0.2mBC = 0.2 mCD = 0.3 m

DoD = 0.36 mBoC =0.23mAoBo = 0.3BmBoDo =O.67mAoDo = 1.04 m

B

Figura P3.56

3.49. Encuentre la razón Vr/ffi2 para el mecanismo en la figura P3.57.(a) Use el método del centro instantáneo.(b) Verifiquela con el método de los números complejos.

AoA = 0.46 mAB = 0.6 mBC = 0.6 m'BoB = 0.54 mCD = 1.2 m

AoBo = 0.2 mBoD = 1.34 m

C

A Figura' P3.57

3.50. ¿Qué fuerza (Fent) se requiere en el pistón del mecanismo en la figura P3.58 para equilibrar elpeso W sobre el eslabón 5?(a) Use el método del centro instantáneo.(b) Verifique su resultado con el método de los números complejos.

AB = 4mAC = 3 mCB = 2.8.mCoBo = 2.9 m02CO = 3.7 m02Bo = 6.2 mCoC = 1.5 mBD =1.5mBoD = 1.5 mBoB =2.1 m

A

Figura P3.58

ilibrar el

Problemas 217

3.51. (a) ¿Cuál es la relación entre la fuerza de entrada Fen!y la fuerza resistente R en la figura P3.59?Use centros instantáneos.

(b) ¿Qué valor tiene 0)/0)2?(e) Verifique sus resultados de las partes (a) y (b) con el método de los números complejos.

Deslizador vertical

6

AoA= 0.5mAC = 0.38 mAB E 0.42 mCD = 0.9 m~=1.2mAoD = 1.42 m e~107·1

DBo= 1.32 m

Figura P3.59

3.52. (a) ¿Cuál es la relación entre el par de entrada Ten1 y la resistencia de la herramienta de corteR en el mecanismo formador de la figura P3.60?

(b) ¿Qué valor tiene 0)/V6?(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) con el método de los números complejos.

BoB=0.3mAB = 0.45 mAC =0.75mAoA=0.3 mAaB;, = 0.75 m ell-108"I

6

e

~ Deslizador'" horizontal

Figura P3.60

3.53. Determine la ventaja mecánica (FsalFent) en la posición mostrada del mecanismo invertido dedeslizador-manivela de la figura P3.61.(a) Use centros instantáneos.(b) Si existe fricción en el deslizador que genera una fuerza resistente Fr' ¿cuál es la ventaja

mecánica del eslabonamiento?(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) con el método de los números complejos.

(Escale la figura para obtener los datos necesarios.)


Fsal

Conexiónrígida

Figura P3.61

3.54. El eslabonamiento usado en el problema 3.9, está dibujado de nuevo en la figura P3.62; ro2 =

2 rad/s en sentido horario.(a) Encuentre todas las posiciones de los centros instantáneos.(b) Determine la ventaja mecánica. (Escale el dibujo para localizar Fent y Fsal' Note que Fsal

es una fuerza resistente.)

ro2

A

B

Figura P3.62

3.55. (a) Encuentre la razón de velocidad angular (roiro6) en la posición mostrada del mecanismoelevador móvil en la figura P3.63.

(b) Encuentre la ventaja mecánica de este eslabonamiento.(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.


Problemas 219

F.al

) ~+ Figura P3.63

3.56. El eslabón de entrada del mecanismo Stephenson III de seis barras mostrado en la figura P3.64tiene una velocidad angular ül2 = 5 rad/s en sentido horario. Encuentre la ventaja mecánica siF ent actúa sobre el eslabón 3 y F sal actúa sobre el eslabón 6, tal como se muestra. Sea A¡y4 = 3"para fines de escala; AB está a +30°.

A

Fent

61'DI 1

que Fsal

.ismo

F.al

Figura P3.64

3.57. Determine la ventaja mecánica del mecanismo de descarga mostrado en la figura P3.65. El ci-lindro h.idráulico (2) proporciona la fuerza de entrada (Feot)' La carga útil es (W).(a) Use un método de su elección.(b) Verifique sus resultados con otro método. (Escale la figura para obtener los datos necesarios.)

complejos.

,f'w

Figura P3.65


3.58. La velocidad del deslizador 2 del eslabonamiento actuador hidráulico es de 10 in./s hacia la de-recha, como se muestra en la figura P3.66. Las longitudes de los eslabones son: ABo = 5" YBBo=6".(a) Encuentre la velocidad angular del eslabón 4.(b) Determine la ventaja mecánica. (Escale la figura para obtener los datos necesarios.)

F.al

Figura P3.66

3.59. Una superficie de leva está impulsando un eslabonamiento de cuatro barras contra cuyo movi-miento ofrece resistencia un resorte en el punto D (figura P3.67).(a) ¿Cuál es la ventaja mecánica de este mecanismo?(b) ¿Qué valor tiene wsfw2?(e) ¿Qué valor tiene W5/W3?(d) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.


Contacto de rodamientocon deslizamiento

Figura P3.67

3.60. (a) Encuentre la razón de FsalTent para los mecanismos remachadores en ambas posicionesmostradas en la figura P3.68.

(b) ¿Qué posición tiene la mayor ventaja mecánica?(e) ¿Qué valor tiene ViW2 en cada caso?(d) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.



3.61. En el eslabonamiento triturador de rocas en la figura P3.69, determine la razón Fsa/Tent por dosmétodos:(a) Use los centros instantáneos (1,2), (1.6) Y (2,6).(b) Use los centros instantáneos (1,2), (1,4), (2,4), (1,6) Y (4,6) (usando superposición).(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.


R ~......¡~

Figura P3.69

3.62. (a) Encuentre la ventaja mecánica de la prensa de sujeción en línea recta mostrada en la figu-ra P3.70.

(b) ¿Qué valor tiene Viffiz?(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.


Fen!

~ FiguraP3.70

3.63. Una prensa de sujeción se muestra en dos posiciones en la figura P3. 71.(a) Encuentre la ventaja mecánica en las posiciones de línea con rayas y de línea sólida.(b) Verifique sus resultados por el método de los números complejos. (Escale la figura para

obtener los datos necesarios.)

Figura P3.71

3.64. Se ha sintetizado un eslabonamiento de cuatro barras para remover la tapa de una botella de re-fresco (véase la figura P3.72).(a) ¿Cuál es la razón del par aplicado a la tapa de la botella a la fuerza de entrada (Feot) en las

dos posiciones mostradas?(b) Determine 0)/0)2 en las posiciones mostradas.(e) Verifique sus resultados en las partes (a) y (b) por el método de los números complejos.


Irdos

lejos.

figu-

...."f \

\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ '.\ 1\\ \\ 'O-~~/\

\ \\

\ \\ \\ \\ -..\A "1

":'1

lejos.

para

Problemas 223

Fent

2

Figura P3.72

3.65. Se diseñó el eslabonamiento mostrado en la figura P3.73 para abrir una lata de refresco. Deter-mine la ventaja mecánica de este mecanismo.(a) Use los centros instantáneos (2,5), (1,2)3 (1,5).(b) Use los centros instantáneos (2,6), U,2) y (1,6).(e) Use los centros instantáneos (1,2), (2,4), (1,4) Y(4,6).(d) Use todos los centros anteriores.(e) Use un abrelatas.


C

5F,al

6

Ca

Figura P3.77

3.70. En la figura P3.78 se muestra un eslabonamiento típico para la cubierta del motor de un auto-móvil. Nótese la posición del resorte equilibrante.(a) Determine (en términos de W) la fuerza ejercida por el resorte (considerando que los otros

eslabones tienen un peso despreciable respecto al de la cubierta) para equilibrar W.(b) ¿Se mejora la eficacia del resorte si su punto (P) de conexión se mueve verticalmente ha-

cia arriba? ¿Por qué?(e) ¿Tiene sentido la posición del resorte si se considera todo el rango de movimiento del me-

canismo? ¿Por qué?

~

Resorte equilibrador

Pared de fuegoFigura P3.78

3.71. En la figura P3.79 se muestra una prensa acodada están dar. Determine su ventaja mecánica(fuerza del pistón dividida entre la fuerza del cilindro). Escale el dibujo.

3.72. Se dice que ocurre un movimiento policéntrico cuando el centro de rotación de un cuerpo mó-vil parece moverse en un espacio plano. Este tipo de movimiento es deseable para situacionesde diseño en que se quiere tener una ventaja mecánica continuamente cambiable o en las que

Figura P3.79

se quiere tener un comportamiento autobloqueante. Por ejemplo [150], la articulación policén-trica mostrada en la figura P3.80 tiene un centro instantáneo desplazable.(a) Considerando la puerta como la entrada, ¿qué inversión del deslizador-rnanivela es este es-

labonamiento, similar al de la figura 3.8,3.9,3.10 o 3.11?(b) Dibuje la trayectoria del centro instantáneo de la puerta con respecto al marco cuando la

puerta se abre.(e) Describa en términos prácticos la ventaja de esos centros instantáneos móviles.(d) Verifique sus resultados para la parte (b) con números complejos. (Escale la figura para ob-

tener los datos necesarios.)

Figura P3.80

3.73. Con referencia al eslabonamiento de la ventana batiente en la figura 1.4a,(a) Encuentre las posiciones de los centros instantáneos.(b) Si se aplica T2 al eslabón 2, ¿qué par (T4) se obtiene en la ventana?(e) Enumere los cambios en la geometría del eslabonamiento que mejorarían la parte (b).(d) Si existe una fuerza de fricción en el calzo (debido al peso de la ventana y a un coeficien-

te de fricción no nulo), encuentre el ángulo de transmisión considerando el bastidor (eslabón4) como la salida. /

(e) Enumere los cambios en la geometría del eslabonamiento que podrían mejorar la parte (d).(1) ¿Qué compromisos en el desempeño del eslabonamiento tendrían que hacerse para mejo-

rar las partes (b) y (e)?(g) Verifique la parte (a) por medio de números complejos. (Escale la figura para obtener los

datos necesarios.)

Prensa de palanca

Yunque

Palancaacodada

Bastidor

Pistón

otros

1me-

o mó-ciones

en las que

Problemas 227

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3.74. Responda las mismas preguntas que en el problema P3.73, pero refiérase a la figura 1.4b.

3.75. La figura P3.81 muestra un Rongeur, que utilizan los cirujanos ortopedistas para cercenar hue-sos. El muelle tipo hojas entre las manijas regresa el eslabonamiento a la posición abierta demanera que el Rongeur puede ser operado con una sola mano.(a) ¿Qué tipo de eslabonamiento es éste?(b) Determine la ventaja mecánica de este eslabonamiento en la posición mostrada así como

en la posición cerrada (no considere el muelle). (Escale la figura para obtener los datos ne-cesarios.)

(e) ¿Por qué está diseñado de esta manera este dispositivo?

Figura P3.81

3.76. En la figura P3.82 se muestra unas tenazas de presión.(a) ¿Qué tipo de eslabonamiento es éste?(b) Determine la ventaja mecánica de este eslabonamiento en la posición mostrada así como

en una posición tal que las manijas han girado entre ellas 10° cada una. (Escale la figurapara obtener los datos necesarios.)

. I \a:;;-~

Extremo de -< t"las pinzas IT_ ..n. S

\ / Figura P3.82

3.77 La figura P3.83 muestra una prensa mecánica usada en herramientas máquina para sostener dis-positivos de trabajo. Determine la ventaja mecánica de este eslabonamiento. ¿Por qué estádiseñado de esta manera? (Escale la figura para obtener los datos necesarios.)

Fent

Figura P3.83

-.. hue-~de

comone-

comogura

dis-.é está

Problemas 229

3.78. La figura P1.77 es el mecanismo móvil de un recipiente de almacenamiento que fue diseñadopor estudiantes de la Universidad de Minnesota. El problema 1.46 describe los objetivos de es-te diseño. El icono de pivote con el punto en el centro es el pivote de entrada.(a) Determine los ángulos de transmisión y desviación para cada posición.(b) Identifique aquellas posiciones en que el mecanismo tiene caracteristicas pobres de transmisión.(e) ¿Puede usted sugerir algún cambio en el diseño que mejore esas características pobres?(d) Encuentre la posición de los centros instantáneos de cada diseño.(e) Si el recipiente de almacenamiento pesa 50 lbfy la masa de los eslabones del mecanismo

se considera muy pequeña comparada con la del recipiente, ¿cuál es el par de entrada re-querido en cada posición?

3.79. La figura P1.78 muestra el mecanismo de un recogedor que fue diseñado por estudiantes de laUniversidad de Minnesota. El problema 1.46 describe los objetivos de este diseño. El icono depivote con el punto en el centro es el pivote de entrada.(a) Determine los ángulos de transmisión y desviación para cada posición.(b) Identifique aquellas posiciones en que el mecanismo tiene características pobres de transmisión.(e) ¿Puede usted sugerir algún cambio en el diseño que mejore esas. características pobres?(d) Encuentre la posición de los centros instantáneos de cada diseño.(e) Si el recogedor más su contenido pesan 15 lbfy la masa de los eslabones del mecanismo

se considera muy pequeña en comparación con la del recogedor, ¿cuál es el par de entra-da requerido en cada posición?

3.80. En la figura P1.82 se muestra un diseño potencial de una herramienta que remueve la cadenade una bicicleta.(a) Para este diseño, encuentre las posiciones de todos los centros instantáneos.(b) ¿Cuál es la razón del par de entrada a la fuerza de salida (sobre el pasador eslabón de la ca-

dena) en la posición mostrada?3.81. La figura P1.76 muestra el diseño de un mecanismo necesario para mover un monitor, diseña-

do por estudiantes de la Universidad de Minnesota. Los objetivos de este diseño incluyen girarun monitor de computadora de una posición de almacenamiento dentro de un escritorio a unaposición de visualización. El icono de pivote con el punto en el centro es el pivote de entrada.(a) Determine los ángulos de transmisión y desviación para cada posición.(b) Identifique aquellas posiciones en que el mecanismo tiene características pobres de transmisión.(e) ¿Puede usted sugerir algún cambio en el diseño para mejorar esas características pobres?(d) Encuentre la posición de los centros instantáneos de cada diseño.(e) Si el monitor pesa 20 lbfy la masa de los eslabones del mecanismo se considera muy peque-

ña comparada con la del monitor, ¿cuál es el par de entrada requerido en cada posición en (b)?3.82. En la figura P1.83 se muestra un diseño potencial para una herramienta que remueve la cade-

na de una bicicleta.(a) Para el diseño mostrado, describa como encontraría usted la ventaja mecánica de este dis-

positivo. ¿Cómo modelaría el trinquete y el pasador en la ranura? Dibuje un diagramacinemático, fuera de escala, de este modelo.

(b) ¿Cómo determinaría usted la ventaja mecánica de este dispositivo si conociese la rotaciónangular de la manija correspondiente al desplazamiento lineal del pasador impulsor?

3.83. La figura P3.84 muestra un dispositivo asidor para un manipulador mecánico diseñado por Ko-matsu (modelo de servicio 1974-68167). Está impulsado por el movimiento de un cilindro.(a) Calcule los grados de libertad de este mecanismo (no considere el resorte).(b) Calcule la ventaja mecánica (fuerza ejercida sobre la pieza de trabajo/fuerza ejercida so-

bre la biela) en la posición mostrada.3.84. La figura P3.85 muestra los dedos mecánicos asidores para placas delgadas diseñado por Ta-

dashi Aizawa (patente japonesa 1974-36304). Están impulsados por un cilindro.(a) Calcule los grados de libertad de este mecanismo usando la ecuación de Gruebler.(b) Calcule la ventaja mecánica (fuerza ejercida/fuerza en el pistón) en la posición mostrada.(e) Calcule la ventaja mecánica (fuerza ejercida/fuerza en el pistón) al asir la placa.

3.85. Las figuras P1.102 a la P 1.105 muestran tres posiciones de dos secciones de un escenario por-tátil mostrado en la figura P3.90. El cilindro 32 se considera la entrada de este mecanismo y el


Muelle Eslabón acodado Eslabón acoplador

\Pieza de trabajo

Cara de las pinzas

Pieza de trabajo

JBiela

Dedos Figura P3.84

Sensor

f I 1111/ 11" 11/71/77/1

Figura P3.85

eslabón B la tierra. Encuentre la posición de todos los centros instantáneos y la fuerza requeri-da en el cilindro 32 para lo siguiente:(a) Figura P1.103: si el par respecto al pasador FP es de 600 ft.lb, debido al peso del miembro C.(b) Figura P 1.104: si el par respecto al pasador FP e~ de 100 ft.lb, debido al peso del miembro C.(e) Figura P1.105: si el par respecto al pasador FP es de 600 ft.lb, debido al peso del miembro C.

3.86. En el problema 1.51 se describió un mecanismo que fue sintetizado para remover una pieza defundición y colocarla sobre una banda transportadora.(a) En la figura Pl.93, determine los ángulos de transmisión y desviación.(b) En la figura P1.94, determine los ángulos de transmisión y desviación.(e) ¿Son estos ángulos aceptables o se requiere un rediseño de este mecanismo?

3.87. En el problema 1.160 se describió un eslabonamiento usado en una podadora de césped tipo hoz.(a) Calcule los ángulos de transmisión y desviación de este mecanismo en la posición mostrada.(b) Para el diseño mostrado en la figura Pl.II0, encuentre las posiciones de todos los centros

instantáneos.(e) ¿Cuál es la entrada requerida si la carga sobre la barra de la hoz, debido a las fuerzas de

corte y fricción, es de 15 lbf?

3.88. La figura P.174d y el problema 1.45 describen un sistema deflector aerodinámico situado so-bre la cajuela de un automóvil.(a) Localice todos los centros instantáneos de este mecanismo.(b) Si 0)2 = 2 rpm en sentido horario, ¿qué valor tiene co3?Dé la fórmula y la respuesta numé-

rica en términos de los centros instantáneos.(e) Si alguien coloca una caja de 20 lb sobre el deflector (eslabón 3), como se muestra, ¿cuál

es la fórmula y el valor numérico para el par, sobre el eslabón 2, requerido para equilibraresta carga? (Use los centros instantáneos y marque la Rsal sobre el dibujo).

Problemas 231

3.89. Una máquina remadora para gimnasia casera se ha diseñado tal como se muestra en la figuraP3.86. Un eslabonamiento se usa para simular el movimiento del remo de un bote, con un an-cho muy reducido del dispositivo mostrado en (b).(a) Determine el centro aparente de rotación del eslabonamiento del remo en la posición mos-

trada.(b) Determine el tipo Grashofy los limites de movimiento de este eslabonamiento. Muestre la

manija del remo (del eslabonamiento de cuatro barras) en unas cuantas posiciones a lo lar-go de su trayectoria. ¿Advierte usted algún problema con este diseño?

32.00 in.

(a) (b)

requeri- Figura P3.86

3.90. Refiérase a la figura P3.87.(a) Encuentre la expresión que describe e en términos de R, h y y.(b) Encuentre F en función de F¡, R, L4' e y y.(e) Encuentre la expresión que describe la ventaja mecánica de este sistema.

___ ~ ac:::::::: 1 J F¡

¿cuálilibrar

Figura P3.87

§]


EJERCICIOS

3.1. En la figura 3.38 sean dadas las siguientes cantidades: RAx = -14.3 rnm, RAy = 2.10 rnrn, RBAx =14.3 rnm, RBAy = 23.6 rnm y (02 = lA radls. Usando la forma polar de los números complejosen la Ec. (3.23), calcule VA' V BA YV B.

3.2. Establezca los valores de los vectores eslabón del mecanismo de seis barras en la figura 3A4 es-calando el dibujo y resolviendo el ejemplo 3.5 por análisis con números complejos.

3.3. Usando los vectores eslabón determinados en el ejercicio 3.2, separe la Ec.(3A4) en sus partesreal e imaginaria y despeje ~ y "4. Use luego 11 3 = ~Z2 para encontrar el centro instantáneo(1,3). Verifique su resultado gráficamente. '

3.4. Demuestre la Ec. (3Al) considerando F y V como vectores espaciales confinados al plano xydel espacio xyz y formando su producto escalar o producto punto.

3.5. Considere el eslabón 3 como la salida del mecanismo de corredera-manivela en la figura 3.72 ydeduzca la expresión para la ventaja mecánica CFsalFent)' usando el método del centro instan-táneo. ¿Verifica su resultado la Ec. (3.52)? ¡Debería verificarla!

3.6. Continuando como se demostró en el texto en conexión con la figura 3.73, dibuje y analice dia-gramas de cuerpo libre para los eslabones 3 y 4 de la figura 3.72, que conducen a la Ec. (3.52),verificando así la construcción gráfica (geométrica) demostrada en conexión con la figura 3.72para encontrar la V.M.

Diseño de Mecanismos Análisis y Síntesis (George Sandor Cap 3)

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