DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS CON CARGA BIAXIAL
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DISEÑO DE ZAPATAS AISLADAS CON CARGA BIAXIAL
CIELO RODRÍGUEZ LÓPEZYURANIS ORELLANO MERCADO
RODRIGO HERNÁNDEZ ÁVILA(Ing. Civil)
UNIVERSIDAD DE SUCREFACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE INGENIERIA CIVILSINCELEJO
2010
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DISEÑO DE ZAPATAS CON CARGA BIAXIAL
Diseñar una zapata rectangular con la siguiente información básica:
Resistencia a la compresión del concreto de la columna f’cc=28 Mpa.
Esfuerzo de fluencia del acero en columna y zapata f’y=420 Mpa.
Resistencia a la compresión del concreto de la zapata f’cz=21 Mpa.
Capacidad de carga admisible del suelo σadm.=300 KN/m2
Profundidad de desplante: Df=1.5m
Peso específico del material de relleno: γ s=20KN /m3
Teniendo en cuenta el aparte B.2.3.4 cargas transitorias de la norma NSR-98.
TIPO DE CARGA CARGA MUERTA (KN) CARGA VIVA (KN) SISMO X (KN) SISMO Y (KN)
ColSección Ref. P axial MY MX P axial MY MX P axial MY MX P axial MY MX
A-2 50x50 8 Nº 7 540.46.864 0.387 121.4 2.025 0.114 100.62
-119.6 46.653 7.086
-13.53 49.60
Mx
My
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DISEÑO
1. COMBINACIONES DE CARGA
COMBINACION 1.
P1=661.900 KN
M X1=0.500KN−m
M Y 1=8.890 KN−m
COMBINACIÓN 2
P2=733.820 KN
M X2=8.040KN−m
M Y 2=40.77 KN−m
COMBINACIÓN 3
P3=687.990 KN
M X3=−73.420KN−m
M Y 3=9.83 0 KN−m
COMBINACIÓN 4
P4=963.110KNM X 4=0.740 KN−m
M Y 4=13.050 KN−m
COMBINACIÓN 5
P5=825.686KNM X5=11.330KN−m
M Y 5=55.340 KN−m
Ver el Anexo: Plantilla Excel.
COMBINACIÓN 6
P6=760.212 KN
M X6=−105.050 KN−m
M Y 6=11.150KN−m
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2. DETERMINACIÓN DEL ESPESOR MÍNIMO H
C.15.7.1: El espesor de la zapata por encima del refuerzo inferior no puede ser menor de 150mm para zapatas sobre el suelo.
H>150mm+r
H>25cm
2.1 GARANTIZAR TRANSFERENCIA DE CARGA COLUMNA ZAPATA
El espesor de la zapata debe permitir que el refuerzo proveniente de la columna se desarrolle en el interior de la zapata.
Para una columna de sección 50 x 50 y reforzada con 8 barras N°7. Extendiendo dentro de la zapata las barras longitudinales de la columna:
-Longitud de desarrollo a tracción para las barras Nº 7 sin gancho.
Longitud de desarrollo:
ld= 9 fy db10√ f ´ c [αβγC1
db ]
0.50 m0.44m
0.50m
0.44m
Sc=b−2 r−∅N B−1
Sc=0.5−2 ( 0.03 )−0.0222
4−1
Sc=0.139
C1=SC
2C1=
0.1392
C1=0.0695C1
db<2.5
C1
db=0.0695
0.0222=3.13>2.5
Φ=2.22 Cm
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Según el código se deben usar los siguientes coeficientes:
∝=1.0
Barras y alambres sin recubrimiento epóxico:
β=1.0
Para Barras Nº 7 (7/8”) o 22mm y mayores:
γ=1.0
ld= 9 fy db10√ f ´ c [αβγC1
db ]ld=9∗420∗0.0222
10√21 [ 12.5 ]
ld=0.73m
-Longitud de desarrollo a tracción para barras Nº 7 con gancho
ldb=100db
√ f ´ c>8db>15 cm
ldb=100∗2.22
√21>8∗2.22>15c m
ldb=48.4cm>17.8cm>15cm
-longitud de desarrollo a compresión necesaria para barras el Nº7
ldb= db∗fy4 √ f ´ c
>0.04 db∗fy
ldb=2.22∗420
4√21>0.04∗2.22∗420
ldb=50.87cm>37.3cm
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-Longitud de desarrollo con estribos
ldb=0.75∗50.87
ldb=38.15cm
Si optamos por prolongar todas las barras de la columna en la zapata, Además utilizar ganchos y estri-bos. Tenemos el siguiente d efectivo.
ld=d−db
d=db+lb
d=48.4+2.59
d=50cm
Dado que el recubrimiento r = 10cm
H=d+r
H=50 cm+10cm=60cm
Considerando ahora la longitud disponible a compresión se tiene:
Barras Nº 5 para el re-fuerzo de la zapata.
DdLd
Ld
db
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ld=d−dbz−dbc−D2
d=db+lb+dbz−dbc−D2
d=50.86+2.22+1.59+6 (2.22 )
2
d=61.34cm
Ahora bien H es igual a:
H=61.34cm+10cm=71.34 cm
Para este diseño optamos por utilizar la altura H que resultó de utilizar ganchos, además se colocaran estribos cerrados de barra Nº 4.
Definido el H = 60cm utilizando ganchos y estribos tenemos:
- Longitud disponible a tracción.
Ldisp=d−dbz
Ldisp=50−1.59
Ldisp=48.41cm
dLd
Para barras Nº7 D = 6db
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- Longitud disponible a compresión
ld=d−dbz−dbc−D2
ld=50−1.59−2,2−6.66
ld=39.55cm
3. DETERMINACION DEL AREA DE LA BASE
σ na=P1
BL+
6 (M Y 1)B L2 +
6 (M X1 )LB2
3.1 DETERMINACION DEL ESFUERZO NETO ADMISIBLE
σ na=σadm− {γ suelo (D f−H )+γ concreto (H ) }
σ na=300− {20 (1.5−0.6 )+24 (0.6 ) }
σ na=267.6 KN /m2
COMBINACIÓN 1
σ na=P1
BL+
6 (M Y 1)B L2 +
6 (M X1 )LB2
Como la zapata es rectangular B=L:
σ na=661.9
B2+
6 (8.89 )B3
+6 ( 0.50 )
B3<267.6
267.6=661.9
B2+
6 (8.89 )B3
+6 (0.50 )
B3
267.6=661.9
B2+ 56.34
B3
267.6 B5=661.9 B3+56.34 B2
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267.6 B3−661.9 B−56.34=0
B=1.7
Para las combinaciones 2 y 3 tenemos en cuenta el aparte B.2.3.4 de la NSR -98: Cargas transitorias.
COMBINACIÓN 2
733.82
B2+
6 (40.77 )B3
+6 (8.04 )B3
≤1.33 σna
733.82
B2+
6 (40.77 )B3
+6 (8.04 )B3
≤1.33 x 267.6
733.82
B2+ 292.86
B3≤355.905
661.9
(1.7 )2+ 292.86
(1.7 )3≤355.905
313.526 KN /m2≤355.905 KN /m2
COMBINACIÓN 3
687.99
B2+
6 (9.83 )B3
+6 (73.42 )
B3≤1.33σna
687.99
(1.7 )2+
6 (9.83 )(1.7 )3
+6 (73.42 )
(1.7 )3≤1.33x 267.6
339.727 /m2≤335.905 KN /m2
Bien!
Bien!
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DIMENSIONES DE LA ZAPATA:
B=1.7m
L=1.7m
H=0.6m
3.2 VERIFICAMOS EXCENTRICIDADES
Se tiene que:
6exL
+6e y
B<1 ;e y=
M x
P;e x=
M y
P
Determinación de exy e y:
COMBINACIÓN 1
e y=0.5
661.9=0.00 7ex=
8.89661.9
=0.013
1.7 m
1.7 m
0.6 m
0.5 m
0.5 m
X
Y
B/6
L/6
L/6
B/6
B
L
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6exL
+6e y
B<1 0.0048<1
COMBINACIÓN 2
e y=8.04
733.82=0.011
ex=40.77
733.82=0.055
6ex
L+
6e y
B<1 0.23<1
COMBINACIÓN 3
e y=73.42
687.77=0.107
ex=9.83
687.77=0.014
6ex
L+
6e y
B<1 0.427<1
COMBINACIÓN 4
e y=0.74
963.11=0.000768
ex=13.05
963.11=0.0135
Bien!
Bien!
Bien!
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6ex
L+
6e y
B<1 0.050<1
COMBINACIÓN 5
e y=11.33
825.686=0.014
ex=55.34
825.686=0.067
6exL
+6e y
B<1 0.28<1
COMBINACIÓN 6
e y=105.05
760.212=0.14
ex=11.15
760.212=0.015
6ex
L+
6e y
B<1 0.538<1
4. ESFUERZOS EN LAS ESQUINAS
COMBINACIÓN 1
Bien!
Bien!
23
(II)(III)
X
Y
Bien!
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σ 1−1=P1
BL+
6 (M Y 1 )B L2 +
6 (MX 1 )LB2
σ 1−1=661.90
1.72+
6 (8.89 )1.73
+6 (0.5 )1.73
σ 1−1=240.49KN /m2
σ 2−1=661.90
1.72+
6 (8.89 )1.73
−6 (0.5 )1.73
σ 2−1=239.27 KN /m2
σ 3−1=661.90
1.72−
6 (8.89 )1.73
−6 (0.5 )1.73
σ 3−1=217.56 K N /m2
σ 4−1=661.90
1.72−
6 (8.89 )1.73
+6 (0.5 )1.73
σ 4−1=218.78 KN /m2
COMBINACIÓN 2
σ 1−2=733.82
1.72+
6 ( 40.77 )1.73
+6 (8.04 )
1.73
σ 1−2=313.52KN /m2
σ 2−2=733.82
1.72+
6 (40.77 )1.73
−6 (8.04 )
1.73
14
(I)(IV)
661.90KN0.50KN-m
8.89 KN-m
Y
X
733.82KN8.04KN-m
40.77 KN-m
Y Y
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σ 2−2=293.88KN /m2
σ 3−2=733.82
1.72−
6 (40.77 )1.73
−6 (8.04 )
1.73
σ 3−2=194.30KN /m2
σ 4−2=733.82
1.72−
6 ( 40.77 )1.73
+6 (8.04 )
1.73
σ 4−2=213.94 KN /m2
COMBINACIÓN 3
σ 1−3=687.99
1.72+
6 (9.83 )1.73
+6 (−73.42 )
1.73
σ 1−3=160.03KN /m2
σ 2−3=687.99
1.72+
6 (9.83 )1.73
−6 (−73.42 )
1.73
σ 2−3=340.09KN /m2
σ 3−3=687.99
1.72−
6 (9.83 )1.73
−6 (−73.42 )
1.73
σ 3−3=316.08 KN /m2
σ 4−3=687.99
1.72−
6 (9.83 )1.73
+6 (−73.42 )
1.73
σ 4−3=136.02 KN /m2
COMBINACIÓN 4
X
687.99KN
73.42KN-m
9.83 KN-m
Y
X
963.11KN0.74KN-m
Y
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σ 1−4=963.11
1.72+
6 (13.05 )1.73
+6 (0.74 )
1.73
σ 1−4=350.09 KN /m2
σ 2−4=963.11
1.72+
6 (13.05 )1.73
−6 (0.74 )
1.73
σ 2−4=348.29 KN /m2
σ 3−4=963.11
1.72−
6 (13.05 )1.73
−6 (0.74 )
1.73
σ 3−4=316.42 KN /m2
σ 4−4=963.11
1.72−
6 (13.05 )1.73
+6 (0.74 )
1.73
σ 4−4=318.22KN /m2
COMBINACIÓN 5
σ 1−5=825.686
1.72+
6 (55.34 )1.73
+6 (11.33)
1.73
σ 1−5=367.13KN /m2
σ 2−5=825.686
1.72+
6 (55.34 )1.73
−6 (11.33 )
2.13
σ 2−5=339.49KN /m2
σ 3−5=825.686
1.72−
6 (55.34 )1.73
−6 (11.33)
1.73
σ 3−5=204.28 KN /m2
σ 4−5=825.686
1.72−
6 (55.34 )1.73
+6 (11.33)
1.73
13.05 KN-m
X
825.686KN
X
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σ 4−5=231.96 KN /m2
COMBINACIÓN 6
σ 1−6=760.212
1.72+
6 (11.15)1.73
+6 (−105.05 )
1.73
σ 1−6=148.373 KN /m2
σ 2−6=760.212
1.72+
6 (11.15)1.73
−6 (−105.05 )
1.73
σ 2−6=404.96 KN /m2
σ 3−6=760.212
1.72−
6 (11.15 )1.73
−6 (−105.05 )
1.73
σ 3−6=377.72KN /m2
σ 4−6=760.212
1.72−
6 (11.15)1.73
+6 (−105.05 )
1.73
σ 4−6=121.139 KN /m2
5. CHEQUEO POR CORTANTE
5.1 ACCIÓN POR PUNZONAMIENTO
ϑu<∅ ϑc
ϑu=V u
b0d
V u=P−σ prom [ Atrib ]
Atrib=(a+d )(b+d)
760.212KN
105.05KN-m
8.89 KN-m Y
X
1
23
4
d/2d/2
X
Y
b
5
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”
σ= PBL
±12 My
BL3∗X±
12Mx
LB3∗Y
COMBINACIÓN 4.
b0=2 (a+d )+2 (b+d )
a
58
6σ 4
σ 1
σ 2
da + d
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Esfuerzos: 5, 6,7y 8.
σ 5−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )+12 (0.74 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 5−4=343.16 KN /m2
σ 6−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (0.74 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 6−4=342.099 KN /m2
σ 7−4=963.11
1.72−
12 (13.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (0.74 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 7−4=323.35 KN /m2
σ 8−4=963.11
1.72−
12 (13.05 )1.74 (0.5+0.5
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 8−4=324.41 KN /m2
σ Prom=σ 5−4+σ6−4+σ7−4+σ8−4
4
σ Prom=333.25 KN /m2
Área Tributaria
Atrib=(a+d )∗(b+d )
Atrib=(0.5+0.5 )∗(0.5+0.5 )=1m2
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Perímetro critico
b0=2 (a+d )+2 (b+d )
b0=2 (0.5+0.5 )+2 (0.5+0.5 )=4m
Fuerza Cortante
V u=963.11KN−333.35 KN /m2 [1m2 ]
V u=629.86KN
Esfuerzo Cortante
ϑu=629.86 KN4 m∗0.5m
=314.93 KN /m2
Esfuerzo Resistente
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗(1+ 2
βc )∗1000 Dondeβc=LadocortoLado largo
=1
∅ ϑ c=∅ √21
6∗(1+ 2
1 )∗1000=1947.6 KN /m2
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗(1+
∝s∗d2b0
)∗1000 Donde∝ s=40=columnaexterior
∅ ϑ c=∅ √21
6∗(1+ 40∗0.5m
2∗4m )∗1000=2272.2 KN /m2
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
3∗1000
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”
∅ ϑ c=∅ √21
3∗1000=1298.396 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
314.93 KN /m2<1298.396 KN /m2
COMBINACIÓN 5.
esfuerzos: 5, 6,7y 8.
σ 5−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )+ 12 (11.33)1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 5−4=333.59 KN /m2
σ 6−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (11.33 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 6−4=317.32 KN /m2
σ 7−5=825.686
1.72−
12 (55.34 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (11.33)1.74 ( 0.5+0.5
2 )
Bien!
58
6σ 4
σ 1
σ 2
da + d
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 7−4=237.81 KN /m2
σ 8−5=825.686
1.72−
12 (55.34 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 8−4=254.09 KN /m2
Esfuerzo Promedio
σ Prom=σ 5−4+σ6−4+σ7−4+σ8−4
4
σ Prom=285.70 KN /m2
Área Tributaria
Atrib=(a+d )∗(b+d )
Atrib=(0.5+0.5 )∗(0.5+0.5 )=1m2
Perímetro critico
b0=2 (a+d )+2 (b+d )
b0=2 (0.5+0.5 )+2 (0.5+0.5 )=4m
Fuerza Cortante
V u=825.686 KN−285.70 KN /m2 [1m2 ]
V u=539.986 KN
Esfuerzo Cortante
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
ϑu=539.986 KN4 m∗0.5m
=269.99 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
269.99 KN /m2<1298.396 KN /m2
COMBINACIÓN 6
Esfuerzos: 5, 6,7y 8.
σ 5−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )+ 12 (−105.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 5−6=195.59 KN /m2
σ 6−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )
Bien!
58
6σ 4
σ 1
σ 2
da + d
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 6−6=346.52 KN /m2
σ 7−6=760.212
1.72−
12 (11.15)1.74 ( 0.5+0.5
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 7−6=330,50 KN /m2
σ 8−6=760.212
1.72−
12 (11.15)1.74 ( 0.5+0.5
2 )+ 12 (−105.05 )1.74 ( 0.5+0.5
2 )σ 8−6=179.57 KN /m2
Esfuerzo Promedio
σ Prom=σ 5−4+σ6−4+σ7−4+σ8−4
4
σ Prom=263.045 KN /m2
Área Tributaria
Atrib=(a+d )∗(b+d )
Atrib=(0.5+0.5 )∗(0.5+0.5 )=1m2
Perímetro critico
b0=2 (a+d )+2 (b+d )
b0=2 (0.5+0.5 )+2 (0.5+0.5 )=4m
Fuerza Cortante
V u=760.12 KN−263.045 KN /m2 [1m2 ]
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
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ab
ril
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
V u=497.167 KN
Esfuerzo Cortante
ϑu=497.167 KN4 m∗0.5m
=248.58KN /m2
ϑu<∅ ϑc
248.58 KN /m2<1298.396KN /m2
5.2 ACCION COMO VIGA
4.2. ACCION COMO VIGA:
Bien!
1
23
4
13 10
III
II
I
12 11
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
vJ=V J
bd≤∅ vc J=I , II , III , IV
vJ=V J
Bd≤∅ vc J=I , yII vJ=
V J
Ld≤∅ vc J=III y IV
vJ=σJ ( L2 −a2−d )∗B
Evaluaremos la acción como viga considerando las esquinas más cargadas. Para las combinaciones 4 y
5 analizaremos el esfuerzo cortante en las áreas I y IV que es donde se presentan los mayores esfuerzos
y para la combinación 6 evaluaremos las áreas I y II. De igual forma que en punzonamiento estos es-
fuerzos calculados no deben superar el valor estipulado por la NSR -98.
COMBINACION 4
ϑ I=V I
Bd
V I=σ Prom∗Atrib
914
IV15
16
vJ=σJ ( B2 −b2−d )∗¿L
I
10
15 16
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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ab
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
Esfuerzos 9, 10
σ 9−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5
2+0.5)+12 (0.74 )
1.74 ( 1.72 )
σ 9−4=348.216 KN /m2
σ 10−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5
2+0.5)−12 (0.74 )
1.74 ( 1.72 )
σ 10−4=346.416 KN /m2
σ Prom=σ 9−4+σ 10−4+σ1−4+σ2−4
4
σ Prom=348.253 KN /m2
área tributaria
Atrib=(L2 −a2−d)∗B
At rib=(1.72
−0.52
−0.5)∗1.7=0.17m2
fuerza cortante
IV
I
9
910
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10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
V I=348.253 KN /m2∗0.17m2
V I=59.20 KN
Esfuerzo cortante
ϑ I=59.20 KN
1.7m∗0.5 m=69.65 KN /m2
Esfuerzo Resistente
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗10 00
∅ ϑ c=∅ √21
6∗1000=649.19 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
69 .65 KN /m2<649 .19KN /m2
esfuerzos 15, 16
ϑ IV=V IV
Ld
V I=σ Prom∗Atrib
σ 15−4=963.11
1.72−
12 (13.05 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 0.5
2+0.5)
σ 15−4=318.11KN /m2
IV15 16
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 16−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 0.5
2+0.5)
σ 16−4=349.99 KN /m2
σ Prom=σ 15−4+σ16−4+σ1−4+σ 2−4
4
σ Prom=334.10 KN /m2
área tributaria
Atrib=(B2 −b2−d)∗L
Atrib=(1.72
−0.52
−0.5)∗2.1=0.17m2
fuerza cortante
V IV=334.10 KN /m2∗0.17 m2
V IV=56.78KN
Calculo de esfuerzo
ϑ I=56.78 KN
1.7m∗0.5 m=66.8 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
66 .8 KN /m2<649 .19 KN /m2
COMBINACION 510
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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20
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“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
ϑ I=V I
Bd
V I=σ Prom∗Atrib
Esfuerzos 9, 10
σ 9−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5
2+0.5)+ 12 (11.33 )
1.74 ( 1.72 )
σ 9−5=359.17 KN /m2
σ 10−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5
2+0.5)−12 (11.33 )
1.74 ( 1.72 )
σ 10−5=331.49KN /m2
σ Prom=σ 9−5+σ10−5+σ1−5+σ2−5
4
σ Prom=349.31 KN /m2
área tributaria
I
IV15 16
I
9
910
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
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ab
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
Atrib=(L2 −a2−d)∗B
Atrib=(1.72
−0.52
−0.5)∗1.7=0.17m2
fuerza cortante
V I=349.31 KN /m2∗0.17m2
V I=59.38 KN
Esfuerzo cortante
ϑ I=59.38 KN
1.7m∗0.5 m=69.86 KN /m2
Esfuerzo Resistente
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗1000
∅ ϑ c=∅ √21
6∗1000=649.19 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
69 .86 KN /m2<649 .19KN /m2
esfuerzos 15, 16
ϑ IV=V IV
Ld
V I=σ Prom∗Atrib
IV15 16
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 15−5=825.686
1.72−
12 (55.34 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 0.5
2+0.5)
σ 15−5=230.238KN /m2
σ 16−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 (1.7
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 0.5
2+0.5)
σ 16−5=365.488KN /m2
σ Prom=σ 15−4+σ16−4+σ1−4+σ 2−4
4
σ Prom=298.704 KN /m2
área tributaria
Atrib=(B2 −b2−d)∗L
Atrib=(1.72
−0.52
−0.5)∗2.1=0.17m2
fuerza cortante
V IV=298.704 KN /m2∗0.17m2
V IV=50.77KN
Calculo de esfuerzo
ϑ I=50.77 KN
1.7m∗0.5 m=59.74 KN /m2
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
ϑu<∅ ϑc
59.74 KN /m2<649 .19KN /m2
COMBINACION 6
ϑ I=V I
Bd
V I=σ Prom∗Atrib
Esfuerzos 9, 10
σ 9−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5
2+0.5)+ 12 (−105.05 )
1.74 ( 1.72 )
σ 9−6=146.769 KN /m2
σ 10−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5
2+0.5)−12 (−105.05 )
1.74 ( 1.72 )
σ 10−6=403.349 /m2
I
IV15 16
I
9
9
10
10
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ Prom=σ 9−6+σ10−6+σ1−6+σ2−6
4
σ Prom=275.86 KN /m2
área tributaria
Atrib=(L2 −a2−d)∗B
Atrib=(1.72
−0.52
−0.5)∗1.7=0.17m2
fuerza cortante
V I=275.86 KN /m2∗0.17m2
V I=46.896KN
Esfuerzo cortante
ϑ I=49.86 KN
1.7m∗0.5 m=55.17 KN /m2
Esfuerzo Resistente
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗1000
∅ ϑ c=∅ √21
6∗1000=649.19 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
55.17 KN /m2<649 .19KN /m2
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
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ab
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de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
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S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
ϑ II=V II
Ld
V II=σProm∗Atrib
Esfuerzos 11, 12
σ 11−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 (1.7
2 )−12 (−105.05 )1.74 (0.5
2+0.5)
σ 11−6=389.865 KN /m2
σ 12−6=760.212
1.72−
12 (11.15 )1.74 ( 1.7
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 0.5
2+0.5)
σ 12−6=362.631KN /m2
σ Prom=σ 11−6+σ12−6+σ1−6+σ3−6
4
σ Prom=383.79 KN /m2
área tributaria
Atrib=(L2 −a2−d)∗B
Atrib=(1.72
−0.52
−0.5)∗1.7=0.17m2
fuerza cortante
V I=383.79 KN /m2∗0.17m2
V I=65.24 KN
Esfuerzo cortante
ϑ I=65.25 KN
1.7m∗0.5 m=76.76 KN /m2
I12 11
II
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
Esfuerzo Resistente
∅ ϑ c=∅ √ f ¨ cz
6∗1000
∅ ϑ c=∅ √21
6∗1000=649.19 KN /m2
ϑu<∅ ϑc
76.76 KN /m2<649 .19KN /m2
6. DISEÑO A FLEXIÓN
M J=σJ∗(B )∗l∗x J=V yVII
COMBINACIÓN 4
M J=σ promj=¿ B∗l∗x j
21 18
20 19
II
V VII
1722
VI
VII
2423
3
4
2
1 1
23
4
M J=σJ∗(L )∗l∗x J=VI y VIII
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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20
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“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
Esfuerzos 17,18
σ 17−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 1.7
2 )σ 17−4=338.84 KN /m2
σ 18−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 0.5
2 )−12 (0.74 )1.74 ( 1.7
2 )σ 18−4=337.034 KN /m2
σ Prom=σ 17−4+σ18−4+σ1−4+σ 2−4
4
σ Prom=343.56 KN /m2
l
l= L−a2
l=1.7−0.52
=0.6m
x
18
V
17
Xl
σ1
σ 17
1
2
4
3
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
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10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
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CA
RG
A B
IAX
IAL
”
x17−1=l∗(σ17−4+2∗σ1−4 )
3∗(σ17−4+σ1−4 )
x17−1=0.6m∗(338.84 KN /m2+2∗350.09 KN /m2 )
3∗(338.84 KN /m2+350.09 KN /m2 )=0.3017m
x18−2=l∗(σ18−4+2∗σ 2−4 )
3∗(σ18−4+σ2−4 )
x18−2=0.6 m∗(337.034 KN /m2+2∗348.29 KN /m2 )
3∗(337.034 KN /m2+348.29 KN /m2 )=0.3016m
x promV=0.30165
Momento (M)
MV=343.56KN
m2∗1.7m∗0.6m∗0.3016m
MV=105.690 KN−M
MVIII=σ promj=¿ L∗l∗x j
esfuerzos 23 y 24
VIII
2423
1
2
4
3 X
L
σ1
σ 24
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
de
ab
ril
de
20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 23−4=963.11
1.72−
12 (13.05 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 0.5
2 )σ 23−4=317.586 KN /m2
σ 24−4=963.11
1.72+
12 (13.05 )1.74 ( 2.1
2 )+ 12 (0.74 )1.74 ( 0.5
2 )σ 24−4=349.446 KN /m2
σ Prom=σ 23−4+σ24−4+σ1−4+σ4−4
4
σ Prom=333.835 KN /m2
l
l=B−a2
l=1.7−0.52
=0.6m
x
x23−4=l∗(σ23−4+2∗σ4−4 )3∗(σ23−4+σ 4−4 )
x23−4=0.6m∗( 317.586 KN /m2+2∗318.22KN /m2 )
3∗(317.586 KN /m2+318.22 KN /m2 )=0.300m
x24−1=l∗(σ 24−4+2∗σ1−4 )3∗(σ 24−4+σ1−4 )
x24−1=0.6m∗(349.446 K . N /m2+2∗350.09 KN /m2 )
3∗( 349.446KN /m2+350.09 KN /m2)=0.300m
x promVIII=0.30
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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20
10
“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
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ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
Momento (M)
MVIII=333.835KN
m2∗1.7m∗0.6 m∗0.300m
MVIII=102.153KN−m
COMBINACION 5
M J=σ promj=¿ B∗l∗x j
Esfuerzos 17,18
σ 17−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 1.7
2 )σ 17−5=319.41KN /m2
σ 18−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 0.5
2 )−12 (11.33)1.74 ( 1.7
2 )σ 18−5=291.741KN /m2
σ Prom=σ 17−5+σ18−5+σ1−5+σ2−5
4
σ Prom=329.432 KN /m2
l
l= L−a2
l=1−7−0.52
=0.6m
18
V
17
Xl
σ1
σ 17
1
2
4
3
UNIVERSIDAD DE SUCRE
12
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20
10
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AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
x
x17−1=l∗(σ17−5+2∗σ1−5 )
3∗(σ17−5+σ 1−5 )
x17−1=0.6m∗(319.41 KN /m2+2∗367.13 KN /m2 )
3∗(319.41 KN /m2+367.13KN /m2 )=0.3069m
x18−2=l∗(σ18−5+2∗σ2−5 )
3∗(σ1−5+σ2−5 )
x18−2=0.6 m∗(291.741 KN /m2+2∗339.45 KN /m2 )
3∗(291.741 KN /m2+339.45KN /m2 )=0.3075m
x promV=x17−1+x18−2
2=0.307m
Momento(M)
MV=329.432KN
m2∗1.7m∗0.6m∗0.307m
MV=103.158 KN−m
MVIII=σ promj=¿ L∗l∗x j
esfuerzos 23 y 24
2423
1
23 X
L
σ1
σ 24
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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ab
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de
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“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 23−5=825.686
1.72−
12 (55.34 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 0.5
2 )σ 23−5=222.190KN /m2
σ 24−5=825.686
1.72+
12 (55.34 )1.74 ( 1.7
2 )+ 12 (11.33 )1.74 ( 0.5
2 )σ 24−4=357.358 /m2
σ Prom=σ 23−5+σ 24−5+σ1−5+σ 4−5
4
σ Prom=294.659 KN /m2
l
l=B−a2
l=1.7−0.52
=0.6m
x
x23−4=l∗(σ23−5+2∗σ 4−5 )3∗(σ23−5+σ4−5)
VIII
4
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“Z
AP
AT
AS
AIS
LA
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ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
x23−4=0.6m∗( 222.190KN /m2+2∗231.96 KN /m2 )
3∗(222.190 KN /m2+231.96 KN /m2 )=0.30215m
x24−1=l∗(σ 24−5+2∗σ 1−5 )3∗(σ 24−5+σ1−5 )
x24−1=0.6m∗(357.358 K .N /m2+2∗367.13 KN /m2)
3∗( 357.358KN /m2+367.13 KN /m2)=0.30134m
x promVIII=x23−4+x24−1
2=0.3017m
Momento (M)
MVIII=294.659KN
m2∗1.7m∗0.6 m∗0.3017m
MVIII=90.676 KN−m
COMBINACION 6
M J=σ promj=¿ B∗l∗x j
Esfuerzos 17,18
18
V
17
Xl
σ1
σ 17
1
2
4
3
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“Z
AP
AT
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AIS
LA
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ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
σ 17−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5
2 )+ 12 (−105.05 )1.74 ( 1.7
2 )σ 17−6=138.76 KN /m2
σ 18−5=760.212
1.72+
12 (11.15 )1.74 ( 0.5
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 1.7
2 )σ 18−6=395.339KN /m2
σ Prom=σ 17−6+σ18−6+σ1−6+σ 2−6
4
σ Prom=271.858 /m2
l
l= L−a2
l=1.7−0.52
=0.6m
x
x17−1=l∗(σ17−6+2∗σ1−6 )
3∗(σ17−6+σ1−6 )
x17−1=0.6m∗(138.76 KN /m2+2∗404.96 KN /m2 )
3∗(138.76 KN /m2+404.96 KN /m2 )=0.303m
x18−2=l∗(σ18−6+2∗σ2−6 )
3∗(σ1−6+σ2−6 )
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AP
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AIS
LA
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RG
A B
IAX
IAL
”
x18−2=0.6 m∗(395.339 KN /m2+2∗404.96 KN /m2 )
3∗(395.339 KN /m2+404.96 KN /m2 )=0.301m
x promV=x17−1+x18−2
2=0.302m
Momento (M)
MV=271.858KN
m2∗1.7m∗0.6 m∗0.302m
MV=83.659KN−m
MVI=σ promj=¿ L∗l∗x j
Esfuerzos 19 y 20
σ 19−6=760.212
1.72+
12 (11.15 )2.14 ( 1.7
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 0.5
2 )σ 19−6=314.399KN /m2
σ 20−6=760.212
1.72−
12 (11.15 )1.74 (1.7
2 )−12 (−105.05 )1.74 ( 0.5
2 )σ 20−6=287.165 KN /m2
20 19 VI
X
L
σ3
σ 20
1
2
3
3
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RG
A B
IAX
IAL
”
σ Prom=σ 19−6+σ20−6+σ2−6+σ 3−6
4
σ Prom=346.061 KN /m2
l
l=B−a2
l=1.7−0.52
=0.6m
x
x19−2=l∗(σ19−6+2∗σ2−6 )
3∗(σ19−6+σ 2−6 )
x19−2=0.6 m∗(314.399 KN /m2+2∗404.96 KN /m2 )
3∗(314.399 KN /m2+404.96 KN /m2 )=0.3125m
x20−3=l∗(σ 20−6+2∗σ3−6 )
3∗(σ 20−6+σ3−6 )
x20−3=0.6m∗(287.165 K .N /m2+2∗377.72KN /m2 )
3∗(287.165 KN /m2+377.72KN /m2 )=0.3136 m
x prom=x19−2+x20−3
2=0.313m
Momento (M)
MVI=346.061KN
m2∗1.7m∗0.6m∗0.313m
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RG
A B
IAX
IAL
”
MVI=110.48KN−m
COMBINACIÓN 4
COMBINACIÓN 5
COMBINACION 6
Para el cálculo de las cuantías de diseño se trabaja con la combinación que nos arroje los mayores mo-
mentos tanto para el refuerzo paralelo a L, como para el refuerzo paralelo a B. Sin embargo en este
diseño al comparar los momentos de la combinación 4 y 6 respectivamente encontramos que:
MV=105.690 MN−m>¿ MV=83.659MN−m Para el refuerzo paralelo a L.
MVIII=102.153KN−m<MVII=110.48KN−m Para el refuerzo paralelo a
Como diseñadoras decidimos trabajar con la combinación 4, Aunque nos dimos cuenta que con ambas
combinaciones tenemos cuantía mínima.
Refuerzo paralelo a LMV=105.690 MN−m
Refuerzo paralelo aBMVIII=102.153KN−m
Refuerzo paralelo a LMV=103.158 MN−m
Refuerzo paralelo aBMVIII=90.676 KN−m
Refuerzo paralelo a LMV=83.659 MN−m
Refuerzo paralelo aBMVII=110.48KN−m
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LA
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CA
RG
A B
IAX
IAL
”
7. DISTRIBUCION DEL REFUERZO
7.1 REFUERZO PARALELO A L
M=105.690 KN−m
m=f y
0.85 f ¨ c
m= 4200.85∗21
=23.53
k= M
B∗d2
k=105.690 KN−m
1.7m∗(0.5m)2=248.68 KN /m2
ρ= 1m
∗[1−√1−2∗m∗kϕ∗f y
]Dondeϕ=0.9
ρ= 123.53
∗[1−√1−2∗23.53∗248.68 KN /m2
0.9∗420∗1000 ]=0.000663
Como la cuantía obtenida es menor que la cuantía mínima estipulada por la norma, trabajamos con cuantía mínima.
ρ< ρmin
ρmin=0.0018
B
L
X
Y
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AP
AT
AS
AIS
LA
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S C
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CA
RG
A B
IAX
IAL
”
A s=ρ∗B∗d
A s=0.0018∗210cm∗50cm=15.3cm2
Tomando barras Nº 5 con área de 1.98cm2
N s=A s
Ab
N s=15.3cm2
1.98cm2 =7.77≅ 8barras
Sc=B−2 r− db
100N s−1
Sc=1.7m−2∗0.1m−1.58
10010−1
=0.21m
C.7.6.1: La distancia libre entre barras paralelas colocadas en una fila o capa, no debe ser menor que el diámetro db de la barra, no menor de 25mm, ni menor de 1.33 veces el tamaño del agregado grueso.
C.7.6.5: En losas macizas y muros, las barras de refuerzo a flexión deben tener una separación máxima de 3 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500mm
Sc>db Sc>2 .5 cmSc>1 .33TM Sc<3H Sc<0 .5m
21>1.58 21>2.5 21>1.33TM 21<1.8m
Longitud disponible
ldis=L−a
2−r
Sc S
r
r
B
r
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AIS
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RG
A B
IAX
IAL
”
ldis=1.7−0.5
2−0.1=0.5m
longitud de desarrollo
Ld=9∗f yz∗db
10 √ f ¨ c∗[ α∗β∗γ
⌈ cdb
⌉ ]c=¿Dimención del espaciamiento o del recubrimiento del refuerzo. Debe utizarse la menor de las distancias desde el centro de la barra a la superficie más cercana del concreto, o a la mitad de la superficie centro a centro de las barras que se desarrollan.
c1=Sc
2=0.105m
c1=r+db
2=0.0921m
cdb
<2.5
cdb
=5.83
Se toma 2.5m
α=1 β=1 γ=0.8
Ld=9∗420∗0.0158
10√21∗[ 1∗1∗0.8
2.5 ]=0.42m
ldis>Ld
0 .5>0 .417
Ld< ld
r
Sección critica
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AIS
LA
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ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
7.2 REFUERZO PARALELO A B
M=102.153 KN−m
m=f y
0.85 f ¨ c
m= 4200.85∗21
=23.53
k= M
B∗d2
k=102.153 KN−m
1.7m∗(0.5m)2=240.36 KN /m2
ρ= 1m
∗[1−√1−2∗m∗kϕ∗f y
]Dondeϕ=0.9
ρ= 123.53
∗[1−√1−2∗23.53∗240.36 KN /m2
0.9∗420∗1000 ]=0.00064
Como la cuantía obtenida es menor que la cuantía mínima estipulada por la norma, trabajamos con cuantía mínima.
ρ< ρmin
ρmin=0.001 8
A s=ρ∗B∗d
A s=0.0018∗210cm∗50cm=15.3cm2
Tomando barras Nº 5 con area de 1.98cm2
B
L
X
Y
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RG
A B
IAX
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”
N s=A s
Ab
N s=15.3cm2
1.98cm2 =7.77≅ 8barras
Sc=B−2 r− db
100N s−1
Sc=1.7m−2∗0.1m−1.58
10010−1
=0.21m
C.7.6.1: La distancia libre entre barras paralelas colocadas en una fila o capa, no debe ser menor que el diámetro db de la barra, no menor de 25mm, ni menor de 1.33 veces el tamaño del agregado grueso.
C.7.6.5: En losas macizas y muros, las barras de refuerzo a flexión deben tener una separación máxima de 3 veces el espesor de la losa o muro, pero no mayor de 500mm
Sc>d b Sc>2 .5 cmSc>1 .33TM Sc<3H Sc<0 .5m
21>1.58 21>2.5 21>1.33TM 21<1.8m
Longitud disponible
ldis=L−a
2−r
ldis=1.7−0.5
2−0.1=0.5m
longitud de desarrollo
Sc S
r
r
B
r
r
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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AIS
LA
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CA
RG
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IAX
IAL
”
Ld=9∗f yz∗db
10 √ f ¨ c∗[ α∗β∗γ
⌈ cdb
⌉ ]c=¿Dimención del espaciamiento o del recubrimiento del refuerzo. Debe utilizarse la menor de las distancias desde el centro de la barra a la superficie más cercana del concreto, o a la mitad de la superficie centro a centro de las barras que se desarrollan.
c1=Sc
2=0.105m
c1=r+db
2=0.0921m
cdb
<2.5
cdb
=5.83
Se toma 2.5m
α=1 β=1 γ=0.8
Ld=9∗420∗0.0158
10√21∗[ 1∗1∗0.8
2.5 ]=0.42m
ldis>Ld
0 .5>0 .417
Ld< ldSección critica
UNIVERSIDAD DE SUCRE
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AS
AIS
LA
DA
S C
ON
CA
RG
A B
IAX
IAL
”
DISTRIBUCION DEL REFUERZO
8 Nº 5 @ 21 Cm
8 Nº 7
1.5 m
0.6 m
1.7 m
0.5mX0.5 m
8 Nº 5 @ 21 Cm
1.7 m
1.7m0.1 m