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DEPARTAMENTO DE TEORÍA DE LA SEÑAL Y

COMUNICACIONES

DISEÑO DE FILTROS

TEMA 3

Diseño de filtros activos

INDICE

1. El Amplificador Operacional. ...........................................................1

1.1. El Amplificador Operacional Ideal. ............................................................. 1

1.2. El Amplificador Operacional Real............................................................... 2 1.2.1. Ganancia Dependiente de la Frecuencia. ............................................................2

1.3. Bloques Activos Usando AA.OO. ................................................................ 4

2. Funciones de Transferencia de Secciones de 1er Y 2º Orden.......... 12

2.1. Funciones de Transferencia de 1er Orden ...................................................12 2.1.1. Sección paso bajo de primer orden ....................................................................12 2.1.2. Sección paso alto de primer orden .....................................................................13

2.2. Secciones de 2º Orden.................................................................................14

3. Sensibilidad..................................................................................... 19

3.1. Definición....................................................................................................19

3.2. Propiedades................................................................................................ 23

3.3. Sensibilidad de la Función de Transferencia............................................. 25

3.4. Filtros de Orden Superior........................................................................... 26

4. Estructuras de Primer Orden con AA.OO......................................28

4.1. Secciones de primer orden paso bajo......................................................... 28

4.2. Secciones de primer orden paso alto. ........................................................ 29

5. Estructuras de Segundo Orden con AA.OO................................... 31

5.1. Introducción................................................................................................31

5.2. Estructuras con un único A.O. ...................................................................31 5.2.1. Estructura general Sallen-Key. ............................................................................33 5.2.2. Filtro paso bajo de 2º orden. Estructura de Sallen-Key. .................................34 5.2.3. Filtro paso alto de 2º orden. Estructura de Sallen-Key. ..................................37 5.2.4. Filtros paso banda de 2º orden. Estructura de Sallen-Key. ............................38 5.2.5. Estructura General de Raouch............................................................................42 5.2.6. Filtro Paso Bajo de 2º orden. Estructura Raouch. ...........................................42 5.2.7. Filtro Paso Alto de 2º orden. Estructura Raouch. ...........................................44 5.2.8. Filtros Paso Banda de 2º orden. Estructura Raouch. ......................................45

5.3. Filtros activos con varios AA.OO................................................................51 5.3.1. Diseño de filtros con varios operacionales. ......................................................51 5.3.2. Ejemplo: El filtro activo resonador KHN. .......................................................52 5.3.3. Filtro Resonador de Tow-Thomas.....................................................................55

6. Estructuras de 2º Orden Basadas en simulación de bobinas. ........59

7. Criterio de Realización en Cascada. ............................................... 61

TEMA 3: Diseño de Filtros activos. 1

1. El Amplificador Operacional.

Una de las alternativas al diseño de filtros pasivos RLC es el diseño de filtros con elementos activos sin necesidad de la utilización de bobinas (elemento cuyo comportamiento es el menos ideal de los tres, sobretodo cuando trabaja en bajas frecuencias). Estos son los llamados “filtros activos” o “filtros activos RC”. Los elementos fundamentalmente usados para su diseño son los AA.OO.. Además generalmente se utilizan AA.OO. para la realización de otros elementos activos (conversores de impedancia generalizados).

Dedicaremos este capítulo al estudio del A.O. como un elemento descrito por su relación entrada-salida, sin importar su configuración interna. Comenzaremos el estudio por el A.O. ideal para introducir después las características no ideales más importantes así como su incidencia en el diseño de filtros. Finalmente analizaremos algunos de los bloques más utilizados cuyo diseño está basado en los A.A.O.O..

1.1. El Amplificador Operacional Ideal.

El A.O. es una fuente de tensión controlada por tensión con un único terminal de salida (V0) y dos terminales de entrada (V+ o entrada no inversora y V- o entrada inversora). Además presenta dos terminales de alimentación (±Vcc), un terminal de masa y en determinados casos otros de ajuste de offset, compensación en frecuencia que en principio no nos interesa.

El funcionamiento ideal del A.O. viene determinado por:

( )V A V V con I I0 0= − =+ − + − =

)

donde A es la ganancia del A.O. que idealmente toma el valor infinito para todo margen de frecuencias de trabajo.

(A → ∞

La impedancia de entrada es infinita y la de salida será nula ( ) Además si A y si uno de los dos terminales está conectado a masa, entonces: V

Ri = ∞ = y R0 0 .V V→ ∞ ⇒ − =+ − 0

+ = V- = 0.

El hecho de que estas aproximaciones sean válidas o no depende de muchos factores como pueden ser los niveles de impedancia del circuito, y más importante, del margen de frecuencias de funcionamiento.


1.2. El Amplificador Operacional Real.

1.2.1. Ganancia Dependiente de la Frecuencia.

Las características de ganancia y ancho de banda finitos de los AA.OO. son los factores que más afectan al correcto funcionamiento de los circuitos en el diseño de filtros activos.

En general, la respuesta en frecuencia de los AA.OO. está determinada por varios polos y ceros. Sin embargo, para asegurar la estabilidad en las configuraciones en lazo cerrado, los AA.OO. se diseñan de forma que presenten un polo real en s = - σ (σ > 0) por lo que la respuesta en frecuencia de un A.O. se puede expresar como:

0 0 c 0

c

c

A A AA(s) s s s1cω ω

= = ≈+ ω+

ω

donde A es el producto ganancia-ancho de banda, ωc0 ω c es la pulsación de corte a 3 dB y A0 es la ganancia en continua.

Si representamos la variación de la ganancia en función de la pulsación tenemos:

A( j dBω)

20 0log A

En la gráfica se observa que A tiene una caída uniforme de 6 dB/oct. ó 20dB/dec. con la frecuencia de corte a 3 dB en ωc y una anchura de banda, para ganancia unidad, que es ωt.

Valores típicos de estos parámetros pueden ser:

( )A A Hz f Hz fc t04 510 10 741 5 100 10> → ∀ ≤ ≤ ≥µ Hz6

Para pulsaciones iguales o superiores a ωt, se producen otras desviaciones importantes (la fase pasa a tomar valores por debajo de -90°). Esto hace que haya que usar otra aproximación más exacta para tener en cuenta el efecto de otros polos y ceros que no se tuvieron en cuenta en el caso anterior.


Ejemplo:

Analizar el efecto de la ganancia finita sobre el integrador de la siguiente figura:

a.- A.O. IDEAL:

V VR

V VCs

como V Vi −=

−= =

− −+ −0

10

VR

V Cs VV RCs

i

i

= − ⇒ = −00 1

es decir, el circuito es un integrador ideal.

b.- A.O. REAL CON GANANCIA A s . A

s

c

( ) =+

0

1ω

Ecuación del nudo V-: 01

0= − + +

−−V

RCs

RV CsVi

Además, como V+ = 0 : ( ) ( )- - 0

0VA s V V -

A s= ⇒ =V -

( )0 00= − − + −GV Cs G

VA s

CsVi ( )

− =+

+

⇒ = − +

+GV

Cs GA s

Cs VVV

GCs GA s

Csi

i( )( )

00

VV RCs

A sRCsi

0 11= − +

+( )

Si A s obtendríamos la respuesta de un integrador ideal. ( ) → ∞


Si sustituimos A(s) por su expresión:

( )RCs1As

RCs

1VV

c0

ci

0

+

ωω+

+−=

Vemos, por tanto, que el hecho de ser la ganancia dependiente de la frecuencia conduce a comportamientos no ideales de los circuitos.

1.3. Bloques Activos Usando AA.OO.

Veremos a continuación algunos de los bloques activos que más se utilizan para el diseño de filtros activos basados en AA.OO..

En determinados casos nos interesará amplificar (o atenuar) una determinada señal. Para ello se utilizan dos configuraciones básicas:

1.- Configuración inversora:

Calculamos la ganancia del mismo:

Nudo V-: ( )0 1 1 21 1 2 2 1 1 2= − + + − = =−V G G G V G V siendo G R y G Ri 0

Ecuación del A.O.: V A V V VA0

0= − ⇒ = −− −

( )0 1 1 20

2 11 2

2= − − + − ⇒ − =+

+

V G G G

VA

G V V GG G

AG Vi i0 0

VV

GG G

AG

GG G

G A

RR R

R Ai

0 1

1 22

1

2 1

2

2

1 2

1

1

1 11

1

1 11

= − ++

= −+ +

= −+ +

Si A j VV

RR

ki

( )ω → ∞ ⇒ = − =0 2

1

(valor nominal de la ganancia).


2.- Configuración no inversora:

( )( )G G V G V

V V A V VV AV

Aii

1 2 2 0

00

0+ − =

− = ⇒ =− +

−

− −

( ) ( )AV VA

G G G V G G V GG G

AVi

i

−+ − − = ⇒ + = +

+

01 2 2 0 1 2 2

1 200

VV G

G GA

GG G G

AG

RR R

R Ai

0

21 2

1

2 1 2

2

2

1 2

1

11

11

1

1 11

=+

+ = +

++

= +

+ +

Si A j VV

RR

ki

( )ω → ∞ ⇒ = + =0 2

121 (valor nominal de la ganancia).

3.- Circuito sumador.

Este circuito está basado en el amplificador inversor cuyo esquema es el siguiente:

V

A sG

G

GG

V donde G G G

R

i

Ri R

i

n

i

n

011

1

1 1= −+

= +==∑∑

( )

i


Si A j V GG

Vi

Ri

i

n

( )ω → ∞ ⇒ = −=∑0

1

siendo la ganancia de cada entrada ajustable

independientemente del resto de las entradas.

4.- Circuito separador de etapas:

( ) ( )V A V V V A AV

VV

AA

A

i i

i

0 0 0

0

1

11

11

= − ⇒ + =

=+

=+

Su ancho de banda a 3 dBs es ωt (suficientemente grande) y además VVi

0 1≅ para un

margen de frecuencias adecuado, ω << ωt. La razón principal por la que se utilizan estos amplificadores de ganancia unidad es su alta impedancia de entrada y su extremadamente baja impedancia de salida;

Z R ZRA sin i out≅ ≅

+0

1 ( )

5.- Integradores.

Si el amplificador es ideal su función de transferencia será: sRC

1VV

i

0 −=

Teniendo en cuenta la ganancia finita del A.O.

( )( )

000

0

00 0

= − + + −

= −

⇒ = − − + − ⇒ − = +

+

−

−

V G V G Cs V sCV AV

V GVA

G Cs V sC V G CsG Cs

AVi

i i

VV

G

CsG Cs

A

GCs G

Cs ARCs

RCs Ai

0 1

1 11

1 1

1 11 1= −

++ = −

+ +

= −+ +


6.- Giradores y conversores de inmitancia generalizados.

Según se verá posteriormente, existen diversos criterios para el diseño de filtros activos. Uno de ellos está basado en la simulación de las bobinas que aparecen en los filtros LC en escalera mediante redes activas RC. El hecho de que la teoría de simulación de filtros LC en escalera esté perfectamente establecida, así como el de que exista un gran número de tablas para el diseño de tales filtros, unido a que en su estructura aparecen los AA.OO. hace que los veamos aquí.

El método mejor conocido para la simulación de bobinas es el uso del “girador”. Un girador es un cuadripolo cuya impedancia de entrada es proporcional a la admitancia de la carga:

Z s rZ s

r Y sinL

L( )( )

( )= =2

2

donde r es la resistencia de giro. Si la carga del cuadripolo es un condensador, su admitancia será YL = sC y por tanto Zin = r2Cs será la impedancia de una bobina.

Recordando las ecuaciones de la familia de parámetros “Y” de un cuadripolo:

I y V y VI y V y V

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

= += +

cargado por una determinada admitancia: IV

YL2

2

= − , podemos calcular su admitancia de

entrada:

IV

y yVV

VIy

yy

V

IV

y y V Iy

yy

Vy

y yY yL

1

111 12

2

1

12

21

22

212

1

111 12 2

2

21

22

212

1112 21

22

1= +

= −

⇒ = +−

= +− −

IV

y Y y y y yY y

y Y yY y

L

L

L

L

1

1

11 11 22 12 21

22

11

22

=− − +

− −=

++

por lo que la impedancia será:

Z VI

Y yy Y yin

L

L

= =+

+1

1

22

11

Para que la impedancia de entrada sea proporcional a YL, habrá que hacer , quedando por tanto: y y22 11 0= =

Z Yy yin

L= −12 21


donde eligiendo se consigue el efecto deseado: 121212 gy e gy −== Z Yg gin

L=1 2

Los giradores se representan por el siguiente esquema:

Los giradores flotantes son difíciles de construir, aunque es posible conectando dos giradores puestos a tierra con un condensador entre ellos.

Para obtener un circuito que realice la operación anterior vamos a partir del siguiente esquema:

donde suponemos la red con impedancia de entrada infinita (entrada de un A.O.) e impedancia de salida nula (salida de un A.O.).

Queremos obtener: Z . VI

Lsi = =1

1

( )0Z Z R

VVI 0iR

211 →∞→

−=

I VLs1

1=


Igualando ambas expresiones:

R

2

R1

1

R

21

RV

Ls1

R1V

LsV

RVV

=

−⇒=

−

LsR

1VV R

1

2 −=

Por tanto tendremos que conseguir una red cuya función de transferencia sea la anterior, es decir, restar una integración de una constante.

Si analizamos la función de transferencia del siguiente circuito:

Suponiendo el A.O. ideal:

I V VR

=− 1

( )VCs

I VRCs

V V VRCs

VRCs

V V2 1 1 1

1 1 1 1= − + = − − + = − + +1 1

VV RCs

VV

2

1 11

11= + −

Consiguiendo que 1 , es decir que 11

− = −VV

VV1

2= (amplificador no inversor),

habremos conseguido la realización deseada:


Realimentando con una resistencia RR habremos conseguido una bobina de autoinducción: L=CRRR.

Aunque este circuito puede considerarse un girador formado como puerta de salida los puntos A-B, al no estar esta puerta ni flotante ni puesta a tierra, es preferible referirse a él como un simulador de bobinas.

El circuito anterior es uno más de los distintos simuladores existentes y cuya configuración genérica es:

Suponiendo los AA.OO. ideales:

( ) 15

4

5

1544

5

14 V

ZZ

1ZV

ZZVZV

I

+=+=⇒=

I IV V

Z ZV V

ZZ

VZ

Z ZV2 3

1 4

3 31 1

4

51

4

3 51

1= =

−= − −

= −

V I Z V VZ ZZ Z

VZ ZZ Z

V2 2 2 1 12 4

3 51

2 4

3 511= + = − + = −

1531

421

53

4211

11

211 V

ZZZZZ

VZZZZ

VVZ1

ZVV

I =

+−=

−=

Por tanto, la impedancia a la entrada Z es: VIin = 1

1

Z VI

Z Z ZZ Zin = =1

1

1 3 5

2 4


Así tomando : Z1 = R1 ; Z3 = R3 ; Z5 = R5 y una de las dos Z2 ó Z4 como un condensador y la otra resistiva, tenemos:

Z VI

R R R

RCs

R R RR

Csin = = =1

1

1 3 5 1 3 51

es decir, simularemos una bobina de autoinducción:

L R R RR

C= 1 3 5

Según la ecuación Z podemos considerar el circuito anterior como una red

de dos puertas, una en V

Z Z ZZ Zin = 1 3 5

2 4

1 y la otra puerta donde está conectada Z5. Con esto se obtiene que:

Z Z ZZ Z

Z k s Zin L L= =1 3

2 42 2

( )

Si analizamos el circuito de salida a entrada, cargándolo a la entrada con una impedancia Z , obtenemos: L1

Z Z ZZ Z

ZZk so L

L= =2 4

1 31

1

( )

por lo que a este circuito se le conoce como conversor de impedancias generalizado.

Z Z ZZ Z

Zo L= 2 4

1 31

Z Z ZZ Z

Zin L= 1 3

2 42

ZL2ZL1


2. Funciones de Transferencia de Secciones de 1er Y 2º Orden

Generalmente para conseguir diseñar filtros activos de orden superior se utilizan, entre otras, técnicas de conexión en cascada de circuitos típicos de primer y segundo orden. Realizando un diseño correcto de estas redes podemos conseguir la respuesta de un filtro con la complicación y el orden deseado. Una vez diseñadas cada una de estas secciones, mediante el uso de dispositivos activos podemos evitar los efectos de carga al realizar la conexión en cascada.

Hay únicamente dos tipos de posibles respuestas de primer orden, una paso alto y otra paso bajo. En este tipo de secciones podemos controlar la frecuencia central y el nivel de impedancia.

Existen siete posibles respuestas de segundo orden. De todas ellas las tres principales son la respuesta paso bajo, paso alto y paso banda. El resto podemos obtenerlas mediante combinación de las otras tres.

En las secciones de segundo orden, es posible controlar el nivel de impedancia, la frecuencia central y una nueva característica denominada Q (factor de calidad) que nos da idea del valor del pico producido en la respuesta alrededor de la frecuencia de corte.

Las secciones de primer orden no son generalmente utilizados por si solas como filtros. Algunas secciones de segundo orden, en cambio, realizan filtros de características buenas. Pero en general el diseño de filtros activos de buenas características se consiguen mediante la combinación en cascada de secciones de primer y segundo orden.

2.1. Funciones de Transferencia de 1er Orden

Existen dos funciones de transferencia típicas de primer orden que representan a secciones de filtros paso bajo y paso alto.

2.1.1. Sección paso bajo de primer orden

La función de transferencia de primer orden que representa una sección paso bajo tiene la siguiente expresión:

H sk

s( ) =

+ωω

0

0

Para s = jω obtenemos:

H jk

j

H jk

H

( )

( )

arctgω

ωω ω

ωω

ω ω

φωω

=+

⇒

=+

= −

0

0

0

202

0

A continuación se realiza una representación gráfica del módulo de la función de transferencia en función de la frecuencia.


H j( )ω

K

K2

ω 0 ω ( /r a d )s e g

2.1.2. Sección paso alto de primer orden

La expresión general de la función de transferencia para una sección paso alto de 1er orden es la siguiente:

H s k ss

( ) =+ ω0

Para s = jω obtenemos:

H j kj

j

H jk

H

( )

( )

arctg arctgω

ωω ω

ωω

ω ω

φπ ω

ωωω

=+

⇒

=+

= − =

0

202

0

0

2

Realizando una representación gráfica de la misma en función de la frecuencia obtenemos:

H j( )ω

K

K2

ω 0 ω ( /rad )seg


2.2. Secciones de 2º Orden

Las función de transferencia para secciones de segundo orden, en general tiene la siguiente expresión:

( )( )( )( )21

212

012

012

2

pspszszsa

bsbsasasa

)s(H−−

−−=

++++

=

Esta función se conoce comúnmente como función bicuadrática y sirve para la obtención de gran variedad de filtros activos. Si los ceros y polos de la función son complejos, aparecerán conjugados (aunque en filtros activos RC pueden aparecer en ocasiones polos reales no son de interés, ya que en este caso pueden implementarse con circuitos pasivos RC), cumpliéndose . Se puede expresar la función de la siguiente forma:

z z p2 1= =∗ y p1 2∗

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )H s k

s z s z z

s p s p pk

s Q s

s Q sz z

p p

( )Re Re Im

Re Re Im=

+ + +

+ + +=

+ +

+ +

21 1

2

1

2

21 1

2

1

2

2 2

2 2

2

2

ω ω

ω ωz

p

Esta última expresión es la notación estándar utilizada para las funciones bicuadráticas porque en ella se identifican claramente los parámetros característicos más importantes del filtro. La ganancia en continua y el valor asintótico de la ganancia cuando ω tiende a infinito vienen dadas respectivamente por:

20 0 2010 10

2

2log ( ) logH j k z

p

=

ωω

( )20 2010 10log ( ) logH j k∞ =

La función ganancia alcanza su máximo aproximadamente a la frecuencia ωp :

( ) ( )ω p p p= +Re Im1

2

1

2

que es la distancia radial desde la localización del polo al origen del plano s. La pulsación ωz determina aproximadamente el punto en el que la ganancia se hace mínima. La pulsación ωz está relacionada con la localización del cero por la expresión:

( ) ( )ω z z z= +Re Im1

2

1

2

que representa el radio de distancia desde le origen al cero. El valor de cresta del máximo alcanzado a la pulsación ωp viene determinado por el factor de calidad del polo, Qp, definido como:


( )( ) ( )

( )Qp

p p

ppp

= =+ω

2 21

1

2

1

2

1Re

Re Im

Re

y la profundidad del valor mínimo para s j z≈ ω viene determinada por el factor de calidad del cero:

( )( ) ( )

( )Qz

z z

zzz= =

+ω

2 21

1

2

1

2

1Re

Re Im

Re

En muchos casos ocurre que Qz = ∞, es decir, Re(z1) = 0 y ωz = Im(z1) indica un punto de ganancia nula (es decir la atenuación es infinita). También se puede observar que para valores grandes de Qp y Qz, y cuando ωp << ωz o ωp >> ωz, la posición del máximo de ganancia no depende de los ceros.

Existe diversos casos especiales obtenidos a partir de la expresión general de la función bicuadrática que tienen gran importancia y son los siguientes:

1.- Si a2 = a1 = 0, H(s) representa una función paso-bajo de segundo orden (LP), generalmente expresada por:

( )H sk

s Q sLP ( ) =+ +

ω

ω ω02

20 0

2

En la siguiente figura se representa la función de ganancia para este caso. Observar que HLP(s) tiene un cero doble en el infinito, que la ganancia en el origen es k, y que para ω ω ω>> 0 , H LP ( )j decrece según 2ω1 o -40 dB/década. Se puede extrapolar esta observación para funciones paso bajo de orden n-simo. Donde H j( )ω decrece para altas frecuencias a razón de -n x 20 dB/década.

H j( )ω

k

20M

2

Q211

Q411

kQM −ω=ω−

=


2.- Si a1 = a0 = 0 da como resultado una función de transferencia paso alto (HP) cuya expresión será:

( )H sks

s Q sHP ( ) =+ +

2

20 0

2ω ω

Donde k es la ganancia para altas frecuencias H jHP ( )∞ . A continuación se realiza una representación gráfica de la ganancia. En este caso H jHP ( )ω crece a razón de ω2 para frecuencias bajas, lo que corresponde a una pendiente a frecuencias bajas de 40 dB/década.

H j( )ω

k

2

0M

2 Q211

Q411

kQM−

ω=ω

−=

3.- Si a2 = a0 = 0 se obtiene como resultado una función de transferencia pasobanda (BP) expresada como:

( )( )H sk Q s

s Q sBP ( ) =+ +

ω

ω ω0

20 0

2

donde k H jBP p= ( ω ) es la ganancia en la mitad de la banda de paso. Observa que HBP(s) tiene un cero simple en el origen y otro en el infinito, por tanto para ω << ω0 la ganancia crece y para ω >> ω0 la ganancia decrece a razón de 20 dB/década y HBP(s) tiene atenuación infinita en continua y para s = ∞. A continuación se realiza una representación gráfica de la ganancia. Para valores altos de Q, eso es, Q >>1, H jBP ( )ω es aproximadamente simétrica alrededor de ω0.

H j ( ) ω

k k 2

ω0 Q

ω0


4.- Una función de segundo orden que realiza una banda atenuada (BR) en la característica de ganancia se obtiene haciendo a1 = 0 en la función general, obteniéndose:

( )( )

( )H sa s a

s Q s

k s

s Q sBR

p p p

z

p p

( ) =+

+ +=

+

+ +2

20

2 2

2 2

2 2ω ω

ω

ω ω p

donde k H jBR= ( )∞ es la ganancia a frecuencias altas. Observa que esta función produce atenuación infinita (un cero de transmisión) a ω = ωz y que la situación de la hendidura así como la altura del pico de la banda adyacente es controlada por Qp. Distinguimos entre respuestas de ganancia en hendidura (notch) pasobajo (LPN), hendidura paso alto (HPN) y hendidura simétrica dependiendo de si ωz > ωp, ωz < ωp, o ωz = ωp respectivamente.

H j( )ωH j ( ) ω

k

k z p

ω ω 2

≈ ω M

H j( )ω

k

k z p

ω ω 2

≈ ωM

kk2

ω p p Q

ω ω p z =

( )[ ]

( )[ ] 2p

2pz

pM

2pzp

Q2111

1kQM

ωω−+ω=ω

−ωω≈ ( )[ ]

( )[ ] 2p

2pz

pM

2pzp

Q2111

1kQM

ωω−+ω=ω

ωω−≈

2

2

5.- Si se desea obtener redes de corrección de fase (pasotodo o ecualizadores de

retardo), será necesario determinar los coeficientes de la función de transferencia de forma que:

( )( )H s k

s Q s

s Q sk

s s Qs s QAP

p p p

p p p

n n p

n n p( ) =

− +

+ +=

− +

+ +

2 2

2 2

2

2

11

ω ω

ω ω

donde k es el valor de la ganancia (independiente de la frecuencia) de la función paso todo y sn el la frecuencia normalizada respecto a ωp ( )s sn = ω p . La fase y retardo de HAP(s) son,

con ( ) : ω ω ωn p=

φ ωω

ωAP nn p

narctg

Q( ) = −

−2

1 2

( ) ( )τ ω ω τ ω

ω

ω ωn AP n p AP n

p

n

n nQ Q

, ( ) ( )= =+

− +

2 1

1

2

2 2 2

p


En la siguiente gráfica se representan las curvas de la función de retardo normalizadas τ ωn AP n, ( ) 2, obtenidas para valores de Qp = 0.02, 0.1, 0.3, 31 , 2,5,20 y 50. Para Qp =

31 , la curva de retardo es máximamente plana, es decir es una buena aproximación de retardo constante en el rango de frecuencias 0 1≤ ≤ωn , mientras que las curvas de retardo son puntiagudas para Qp > 31 , con un valor de pico de τ ωAP max p pQ, ≈ 4 para

( )ω n pQ≈ −1 1 4 2 .

31

De lo anterior se desprende que la características de ganancia de filtros con alto Qp se obtiene una distorsión de retardo muy grande, es decir que se alejan de la característica ideal de retardo constante. El propósito de los ecualizadores de retardo es entonces introducir un retardo apropiado para hacer que el retardo total sea lo más plano posible en la banda de frecuencias de interés. Para el diseño de ecualizadores de retardo para aplicar a un filtro con características de retardo establecidas, generalmente, será necesario el uso de un ordenador. Sin embargo, diseños no críticos de orden pequeño (siendo ∆τ τ ≅ −10 20 %) pueden realizarse manualmente con ayuda de las curvas anteriores.


3. Sensibilidad

En la síntesis de circuitos es necesario elegir una configuración adecuada para el circuito (en síntesis de filtros activos existen muchas posibilidades) y calcular correctamente el valor nominal de los elementos que forman parte de dicho circuito. Realmente el diseñador deberá elegir la mejor configuración entre las existentes ya que, en la práctica, el valor de los componentes reales será distinto a su valor nominal. Además, dichos valores dependerán de las condiciones de trabajo (temperatura, humedad, características no ideales de los AA.OO. ...). Dado que todos los coeficientes de la función de transferencia del circuito (y por tanto sus polos y ceros) dependen de los elementos del circuito, es de suponer que la función de transferencia del circuito sufrirá variaciones al variar los valores de los elementos. La diferencia entre la función deseada y la obtenida (error cometido) dependerá de la tolerancia de los componentes y de la sensibilidad del circuito a dichas tolerancias.

El concepto de SENSIBILIDAD es uno de los más importantes criterios de comparación entre los distintos tipos de circuitos existentes.

3.1. Definición.

Supongamos una característica P de un circuito que depende de un cierto parámetro x. Dicha característica dependerá también, normalmente, de la frecuencia s por lo que se puede poner P = P(s,x).

La desviación en P causada por un error dx = x - x0 de x se puede obtener mediante el desarrollo de Taylor alrededor del valor nominal x0:

( )P s x P s xP s x

xdx

P s xx

dxx x

( , ) ( , )( , ) ( , )

= + +0

2

22

0 0

12

∂∂

∂∂

+

Si asumimos que dxx0

1<< y que la curvatura de P(s,x) cerca de x0 no es demasiado

grande, podemos despreciar los términos del desarrollo a partir de la segunda derivada, con lo que :

∆P s x P s x dx P s x P s xx

dxx

( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0

0

= + − ≈∂

∂

La mayor parte de las veces no se está tan interesado en cambios absolutos (∆P) originados por cambios de x (dx = x - x0) sino en los cambios relativos, es decir:

∆P s xP s x

xP s x

P s xx

dxxx

( , )( , ) ( , )

( , )0

0

0

0 00

≈∂

∂


donde:

( )( )S

xP s x

P s xx

P Px x

d Ln P

d Ln xxP

x x x

= = =0

0 0 0 0

( , )( , )∂∂

∂∂

es la sensibilidad de P a un pequeño cambio en x.

Por tanto la sensibilidad se define:

( )( )S

xP

P s xx

d Ln P

d Ln xxP = =

∂∂( , )

Para pequeñas variaciones de x:

∆ ∆PP

S xxx

P=

que nos indica la VARIABILIDAD (cambio porcentual o relativo de P debido a un determinado cambio porcentual o relativo de x).

Se observa por tanto, que los mejores circuitos serán aquellos que presenten menores sensibilidades a sus componentes. Si S es pequeña podrán utilizarse componentes con

tolerancias mayores sin que ello produzca grandes variaciones de la respuesta deseada

xP

∆PP

y dichos componentes serán más baratos.

NOTAS:

- Si P depende de la frecuencia, S también dependerá de ella, por lo que la sensibilidad deberá evaluarse en el rango de frecuencias de interés. (La sensibilidad de una función de transferencia a la ganancia de un AA.OO. en continua, por ejemplo, tendrá poca significación en el comportamiento del filtro trabajando a 10 Khz).

xP

- P puede depender de más de un parámetro, y por tanto, si algún otro parámetro varía, también lo hará la S , por lo que habrá que calcular de nuevo su valor (o trabajar con sensibilidad multiparamétrica, cosa que no vamos a hacer). También indica que habrá que trabajar con todos los parámetros cuyo valor podamos modificar para conseguir unas sensibilidades más reducidas en el diseño.

xP

- Hay que tener en cuenta que realmente es más importante la variabilidad que la sensibilidad. Una sensibilidad muy grande a un parámetro muy estable puede resultar aceptable, mientras que sensibilidades reducidas a parámetros de amplia tolerancia pueden resultar muy perjudiciales a la larga.


EJEMPLO:

El siguiente circuito representa el diseño de un filtro paso banda de 2º orden con frecuencia central f0 = 3 KHz y factor de calidad Q = 20. Calcular S y donde x son todos los componentes pasivos y K es un amplificador de tensión de ganancia k.

0 Qx Sω

k

G R G R C C1 1 2 2 1 21 1= C= = =; ;

SOLUCIÓN:

Se plantean en primer lugar las ecuaciones de los nudos A y B (VA y VB):

( )( )

0 2

01 1 1 2

2 2 2

2

= − + + − −

= − + + −

=

G V G Cs V CsV CsV

CsV G Cs V G VV KV

A B

A B

B

( )

( )

0 2

0

1 1 12

2

22

2 2

= − + + − −

= − + + −

G V G Cs V CsVK

CsV

CsV G CsVK

G V

A

A

VG

KCsK

CsVA =

−

+2

2

11

( )0 2

11 1

11 1 1

2

2 2= − + +−

+− +

G V G Cs

GK

CsK

CsV Cs

KV

( )G CsV G Cs GK

CsK

V C sK

V1 1 1 2 22 2

221

11

1= + −

+

− +


G CsV G GK

KG Cs

KG Cs

KK

C sK

C sK

KV1 1 1 2

12

2 22 2

2

12

1 2 1=

−+ +

−+ −

+

G CsVCK

CK

Ks

G CK

G CK

Ks G G

KK

V1 1

22 2 1

2 1 2

2 12

1 1= −

+

+ +

−

+−

2

H SVV

G Cs

CK

Ks C

GK

GK

Ks G G

KK

( ) = =−

+ +−

+−

2

1

1

2 2 12 1 2

12

1 1

H SVV

sR C

KK

sR CK R C

KK

sR R C

KK

( ) = =−

+ +−

+

−2

1

1

2

1 2 1 22

1 1 2 1 1 1

Multiplicando numerador y denominador por K1

K−

y llamando

τ τ1 1 2 2= =R C y R C obtenemos:

2112

2

1

2112

2

1

1

2

1s1K

112s

s

1KK

1sK1

112s

s

K1K

VV)S(H

ττ+

−τ

−τ

+

τ−

−=

ττ+

−τ

+τ

+

τ−

==

de donde comparando con la expresión general en función de ω0 y Q obtenemos:

( )H sKs

s Q s( ) =

+ +20 0

2ω ω ⇒ ω

τ τω

τ τ02

1 20

1 2 1 22

1 1= ⇒ = =

R R C1

1

2

2

1

121

221

12

0

12

0

1K12

11

1K12

11

1K12

Q11K

12Q

ττ

−−

ττ

=

τ−ττ−

τττ

=

τ−−

τ

ω=⇒

τ−−

τ=

ω

2

1 2

22 11 2

12 1

RR1 rQ SIENDO r1 R 1 RR 1 R 2 2 r2 K 1 R K 1R K 1 R

= = =− −− − −−

R=

La Skω0 0= ya que ω0 es independiente de K.

SR

RR

R CR

R R CR R C

RR R CR1

0 1

0

0

1

1

0

22

1

1 22

1

0

22

02

11 2

20

12

1

212

12

ω

ω∂ω∂ ω ω

ωω= = −

= −

= − = −


SC

CC R R

R R C R R CCω

ω∂ω∂ ω ω

0

0

0

0

1 2

1 22

0 1 22

11= = −

= − = −

( )21SCCCSi 0

iC21 −=⇒≠≠ ω

Para el cálculo de la sensibilidad de Q respecto de K podemos observar que Q depende de K y r. Su valor debe ser 20, según el enunciado. Si elegimos r = 1 (R1 = R2 ), nos queda:

5128,13959K60K401K20

3K21K

1K12

1Q ==⇒−=−⇒=−−

=

−−

=

( )115

3K2)1K(23K2

QK

KQ

QKS

5128,1K2

QK −=

−−−−

=∂∂

==

Lo que implica que pequeñas variaciones en la ganancia del amplificador da lugar a grandes cambios del Q.

Dejando r como constante (sin dar valor), se obtiene:

( )2QK 1K

KQrS−

−=

Si tomamos r = 6 implica:

( ) 176,22K20362K2

1K620

1K362

6

1Kr2

rQ 2 ≈⇒=−−

−⇒=

−−

=

−−

=

En este caso la S , obteniéndose en este caso un resultado mucho mejor que en el caso anterior. Esto supone que hay que tener en cuenta la dependencia de Q con respecto a ambos parámetros.

9,5QK −≈

3.2. Propiedades

Además de la definición de sensibilidad:

( )( )S

xP

dP s xdx

d Ln P

d Ln xxP = =

( , )

se puede utilizar la denominada sensibilidad semirelativa, que se define como:

Q x dP s xdxx

P =( , )


y que puede ser útil en determinados casos. Si por ejemplo queremos obtener la sensibilidad en un punto donde P ó próximo a él, entonces S→ 0 x

P → ∞ , resultando de muy poca utilidad (un ejemplo podría ser la sensibilidad de una función de transferencia en o cerca de un cero de transmisión).

Aunque siempre puede calcularse directamente, hay una serie de propiedades que pueden simplificar estos cálculos. Si P

SxP

1, P2 y P3 son funciones de x y k y n son constantes:

1.- S S xkx

kxkx

xkx= =1 1 ya que =

2.- S n S xkx

n k x nxkx

xkx

nnn n

= = − ya que 1 =

3.- S S Sx

P PP

dPdx

PdPdx

xP

dPdx

xP

dPdx

S SxP P

xP

xP

xP P

xP

xP1 2 1 2 1 2 1 2

1 21

22

1

1

1

2

2= + = +

= + = + ya que S

4.- S S SxP P

xP

xP1 2 1 2= − ya que:

Sx

P P

PdPdx

PdPdx

Px

P PP

dPdx

PdPdx

xP

dPdx

xP

dPdx

S SxP P

xP

xP1 2 1 2

1 2

21

12

22

1 22

11

2

1

1

2

2=−

= −

= − = −

5.- S S S xkP

k dPdx

SxkP

xP

xkP

xP1 1 1 1

1

1= = = ya que

6.- S Pk P

S S xk P

dPdx

Pk P

xP

dPdx

Pk P

Sxk P

xP

xk P

xP+ +=

+=

+=

+=

+1 1 1 11

1 1

1 1

1 1

1 1

1

ya que

7.- ( ) :que ya SPSPPP1S 2121 P

x2Px1

21

PPx ++

++=++

( )

Sx

P PdPdx

dPdx P P

PxP

dPdx

PxP

dPdx

P PP S P S

xP P

xP

xP

1 2

1 2

1 2

1 2

1 21

1

12

2

2

1 21 2

1

1

+ + =+ +

+ +

+ +

+ +

=

+ ++ +

=

=

8.- S n S S xP

n P dPdx

nSxP

xP

xP

nn

xPn n

1 1 1

11

1 1= = − ya que 1=

9.- ( )( ) ( )S S SxP P x

PP

xP1 2

2

1 2= siendo P = f P y P = f(x)1 2 2 :

( )( )SxP

dPdP

dPdx

xP

dPdP

dPdx

PP

PP

dPdP

xP

dPdx

S SxP P x

PP

xP1 2

2

1 2

1

1

2

2

1

1

2

2 2

2

2

1

1

2 2

2= = = ⋅ = ⋅


3.3. Sensibilidad de la Función de Transferencia.

Según sabemos, la función de transferencia tiene la forma:

( )( ) ( )( )( ) ( )H s

N sD s

a s a s ab s b s b

ks z s z s z

s p s p s pm

m

nn

m

n

( )( )( )

= =+ + ++ + +

=− − −

− − −1 0

1 0

1 2

1 2

Tanto numerador como denominador dependerán de los elementos del circuito (x), con lo que la sensibilidad de H respecto a x se obtiene como:

S S S xN

Nx D

Dxx

HxN

xD= − = −

1 1∂∂

∂∂

o también, utilizando las propiedades de la sensibilidad, se puede poner en función de los coeficientes ai y bj :

S xN

ax

s xD

bx

sxH i

i

i j

j

j= −∑ ∑∂∂

∂∂

( )1

donde los sumatorios afectan a todos los coeficientes ai y bj que dependen de x.

Si expresamos la función H(s,x) particularizada para el eje jω, es decir:

( ) ( ) ( )H j x H j x e j xω ω φ ω, , ,=

y calculamos la sensibilidad respecto a x:

( ) ( ) ( )S S Sx

H j xxH j x

xej xω ω φ ω, , ,

= +

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )S x

ejd x

dxe jx

d xdx

jQxe

j x

j xx

xj xφ ω

φ ω

φ ω φ ωφ ω φ ω,

,

, ,, ,= = =

siendo Q la desviación semirelativa y por tanto:

( ) ( ) ( )S S jQxH j x

xH j x

xxω ω φ ω, , ,= +

donde se observa que la parte real de la sensibilidad de la función de transferencia es sensibilidad de amplitud:

( )[ ] ( )Re , ,S SxH j x

xH j xω ω=

y la parte imaginaria es la sensibilidad semirelativa de la fase:

( )[ ] ( ) ( )Im

,, ,S Q xx

xxH j x

xxω φ ω ∂φ ω

∂= =


La ecuación (1) que hemos visto nos permite calcular la sensibilidad de H(s) cuando los coeficientes cambian debido a la tolerancia de los elementos. El cambio en los coeficientes supone una variación (desplazamiento) de los polos y ceros de H(s) respecto de su posición original.

Las consecuencias de estos cambios en polos y ceros sobre H(s) las podemos evaluar si tomamos logaritmo Neperiano en la forma factorizada:

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) (H s ks z s z s zs p s p s p

Ln H s Ln k Ln s z Ln s pm

ni

i

m

ii

n

( ) ( )=− − −

− − −⇒ = + − − −

= =∑ ∑1 2

1 2 1 1)

donde k ab

m

n

= y zi, pi y k serán función de los elementos del filtro (x). Derivando ambos

miembros de la igualdad respecto a x obtenemos:

1 1 1 11 1H s

dH sdx k

dkdx s z

dzdx s p

dpdxi

i

i

m

ii

ni

( )( )

= +−

−

−

−−

= =

∑ ∑

Multiplicando por x ambos miembros de la igualdad se tiene:

xH s

dH sdx

xk

dkdx

xs z

dzdx

xs p

dpdxi

i

i

m

ii

ni

( )( )

= +−

−

−

−−

= =

∑ ∑1 1

S S Qs z

Qs px

H sxk x

z

ii

mxp

ii

ni i( ) = −

−+

−= =∑ ∑

1 1

que indica que un desplazamiento de un polo o cero influye más fuertemente en la función de transferencia en las proximidades de los polos o ceros (s - zi ó s - pi tenderán a cero).

3.4. Filtros de Orden Superior

Una vez visto el comportamiento de las funciones de transferencia respecto a la sensibilidad, vamos a trazar unas líneas a seguir para el diseño de filtros de orden superior. Su función de transferencia será de la forma:

( )H s

N sD s

s s

sQ

s

k kk

m

pi

pipi

i

n( )

( )( )

= =+ +

+ +

=

=

∏

∏

α α α

ωω

22

1 01

2

2 2

1

2

k

Consideremos el caso de n par . (Si n es impar aparecerá un término s+α en el denominador).

Según sabemos, la sensibilidad de la función de transferencia es:


Sx

N s D sD s

N s xx

N sD s

xS

Qs z

Qs px

Hxk x

z

ii

mxp

ii

ni i

= −

= −−

+−= =

∑ ∑( ) ( )( )

( , )( )

( )∂∂

∂∂ 1 1

Según se dijo, el valor de S será muy grande en las proximidades de los polos y ceros, por tanto, en filtros de orden grande la sensibilidad dentro de la banda de paso será generalmente alta ya que casi todos o todos los polos del filtro estarán situados en la banda de paso cerca del eje jω.

xH

Luego en una realización directa de un filtro de orden superior las sensibilidades de H serán muy grandes, y por tanto, pequeñas variaciones de un componente darán lugar a variaciones inaceptables de la función de transferencia. Además, ninguno de los valores

serán cero, ya que, en general todos ellos dependerán de todos los elementos. Qxzi y Qx

pi

Con un diseño en cascada se pretende conseguir que cada elemento x influya únicamente en un par de polos y/o par de ceros. Por tanto descomponemos H(s) como:

H s H sa s a s a

sQ

sk

k

nk k

pk

pkpk

k

n

k

( ) ( )/

= =+ +

+ += =∏ ∏

1

22

21 0

2 21

2

ωω

k

donde cada Hk(s) se realiza mediante una sección de 2º orden que sea independiente de las demás.

H s VV

VV

VV

VV

VV

VV

H H H H Hout

in in

outn

n n

n n( ) = = =−

− −−

1 2

1

3

2

1

2 11 2 3 1

2

2 2

2 2

Por tanto:

S S SxH

HH

xH

i

i=

SHH

dHdH

HH

H H H H HHH i

i

ii ii n= =

=− +1 2 1 1

21

iHx

Hx SS =

donde se observa que la sensibilidad de H respecto a x depende únicamente de la sensibilidad de la sección bicuadrática i a ese elemento. Por tanto en realizaciones en cascada deberán elegirse secciones bicuadráticas lo mejores posibles.

Se ha mejorado la sensibilidad respecto a la realización directa, además es más modular, suele ser más fácil de ajustar ya que los bloques son independientes entre sí, y en general, más fáciles de diseñar.


4. Estructuras de Primer Orden con AA.OO.

4.1. Secciones de primer orden paso bajo.

Hay únicamente dos posibles redes RC de primer orden, una paso alto y otra paso bajo.

En la siguiente figura se muestra el circuito de una sección paso bajo de primer orden. Puede utilizarse un amplificador operacional para aislarlo de la carga del circuito y opcionalmente proporcionar una ganancia al circuito de valor k.

Utilizando el circuito de la figura (A), por tratarse de un divisor de tensión se obtiene:

VZZ

VVV

sCR

sCsRC

C

Ti

i0

0

1

11

1= ⇒ =

+=

+

Teniendo en cuenta que la pulsación de corte del circuito para 3 dB es ωc = 1/RC, normalizando en frecuencia respecto a ωc se obtiene:

VV s

RCVV si

c

cc

ic

0 01 11

1=+

∀ = =+

∀ =ω

ωω ω/

Si se conecta un amplificador operacional tal como se muestra en la figura (B) podemos conseguir una ganancia de valor k quedando por tanto la función de transferencia:

VV

ks

RCVV

ksi

c

cc

ic

0 011

1=+

∀ = =+

∀ =ωω

ω ω/

Si consideramos el amplificador operacional ideal, el circuito integrador visto anteriormente podemos considerarlo igualmente una sección paso bajo de primer orden.


Este no es el único circuito posible, es válida cualquier otra red activa RC que tenga ésta función de transferencia. A continuación se muestra un circuito como ejemplo.

En dicha sección de primer orden es fácil demostrar que su función de transferencia es la siguiente:

H sR C

sR C

( ) =−

+

1

11

2

4.2. Secciones de primer orden paso alto.

En la siguiente figura se muestra el circuito pasivo paso alto. Al igual que la sección paso bajo puede añadirse un amplificador operacional para evitar el efecto de carga y proporcionar una ganancia.

Utilizando el circuito de la figura (A), por tratarse de un divisor de tensión se obtiene:


VZZ

VVV

R

RsC

sRCsRC

R

Ti

i0

0

1 1= ⇒ =

+=

+

Teniendo en cuenta que la pulsación de corte del circuito para 3 dB es ωc = 1/RC y normalizando en frecuencia respecto a ωc se obtiene:

VV

ss

RCVV

ssi c

ci

c0 01

11=

+∀ = =

+∀ =

ωω ω/

Si se conecta un amplificador operacional tal como se muestra en la figura (B) podemos conseguir una ganancia k obteniendo la función de transferencia:

VV

kss

RCVV

kssi c

ci

c0 01

11=

+∀ = =

+∀ =

ωω ω/

Al igual que en la sección anterior éste no es el único circuito posible, cualquier combinación que nos de una función de primer orden paso alto sería válido.


5. Estructuras de Segundo Orden con AA.OO.

5.1. Introducción.

Estas secciones de segundo orden o bicuadráticas (biquads) son los bloques básicos utilizados para realizar filtros de orden superior (cuando se hace una realización en cascada) y en determinadas ocasiones pueden ser por si mismas la estructura final del filtro (filtro “Notch” de segundo orden para eliminar una frecuencia interferente).

Para obtener una sección de segundo orden se pueden utilizar diferentes técnicas, que pueden clasificarse en:

- Estructuras con un único A.O..

- Estructuras con varios AA.OO..

- Estructuras con Conversores de impedancia generalizados.

El hecho de utilizar más de un A.O. hace que el diseño tenga un mayor coste tanto económico como de potencia, además, en general provocará un peor funcionamiento en alta frecuencia.

En general el añadir algún A.O. al circuito se hará con vistas a mejorar alguna característica especifica del mismo o aumentar la flexibilidad del mismo.

La función de transferencia en tensión de una sección de segundo orden tiene la expresión genérica:

H sa s a s as b s b

ks

Qs

sQ

s

z

zz

( ) =+ +

+ +=

+ +

+ +

22

1 02

1 0

2 002

2 002

ωω

ωω

donde ω0z y Qz caracterizan los ceros de transmisión y ω0 y Q al par de polos complejos.

5.2. Estructuras con un único A.O.

La configuración general de este tipo de estructuras es:


donde hay que encontrar una red RC que haga que la función de transferencia V sea la deseada. Esto es, en general, muy difícil por lo que se utilizan más las estructuras mostradas a continuación:

Vi0

Denominadas:

- (a): Configuración con realimentación positiva.

- (b): Configuración con realimentación negativa.

dependiendo del terminal de entrada del A.O. por el que se realiza la realimentación a través de la red RC.

Como ejemplos podemos analizar dos estructuras “muy conocidas y ampliamente utilizadas” como son las estructuras Sallen-Key y Raouch.

Con la estructura de Sallen-Key es relativamente fácil obtener altos Q ajustando la ganancia del amplificador de tensión. Sin embargo, no es fácil cambiar un solo parámetro del filtro (Q, 0ω ) sin modificar los otros. El principal problema de este tipo de circuitos es que la sensibilidad de Q respecto a variaciones en la ganancia K es proporcional al valor de Q, por tanto, para valores altos de Q la variabilidad será muy grande. Se aconseja entonces el uso de este circuito para la realización de filtros con Q bajo.

En la estructura de Raouch obtenemos funciones de transferencia con inversión (signo negativo). En este tipo es difícil conseguir valores altos de Q, porque para obtenerlos es necesario utilizar valores altos de los componentes además de que éstos son demasiados dispersos (valores muy alejados entre sí). Por ello, sólo son adecuados para valores pequeños y medianos de Q. En este caso las sensibilidades son generalmente muy bajas y además los límites máximos de esas sensibilidades son independientes de Q.


5.2.1. Estructura general Sallen-Key.

Donde el elemento activo es un amplificador de ganancia K. Para el cálculo de la función de transferencia obtenemos las ecuaciones correspondientes al circuito:

( )Nudo V Y V Y Y Y V Y V Y Vi1 1 1 2 3 1 3 20: = − + + + − − 2 0

( )Nudo V Y V Y Y V2 3 1 3 40: = − + + 2

Ec Amp V KV VVK

. : 0 2 20= ⇒ =

Sustituyendo la ecuación 3 en la dos y despejando V1 se obtiene:

( )0 3 1 3 40

13 4

30= − + + ⇒ =

+Y V Y Y

VK

VY Y

KYV

introduciéndolo en la ecuación 1:

( )0 13 4

31 2 3 0

30 2= − + 0

++ + − −Y V

Y YKY

Y Y Y VYK

V Y Vi

( )Y VY Y

KYY Y Y

YK

Y Vi13 4

31 2 3

32 0=

++ + − −

VYY YY Y Y Y Y Y Y Y Y KY Y

KYYVi =

+ + + + + − −

1 3 1 4 2 3 2 4 3

23 4 3

22 3

1 30

de donde se obtiene la expresión correspondiente a la función de transferencia del circuito:

VV

KY YY Y Y Y Y Y Y Y Y Y KY Yi

0 1 3

1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 2 3=

+ + + + −

( )( )VV

KYYY Y Y Y Y Y KY Yi

0 1 3

1 2 3 4 3 4 2

=+ + + − 3


Haciendo que dos de las admitancias anteriores sean conductancias, y las otras dos capacitivas, se obtienen 6 estructuras posibles que son las siguientes:

5.2.2. Filtro paso bajo de 2º orden. Estructura de Sallen-Key.

Si en la estructura genérica anterior hacemos:

Y G Y C s Y G Y C1 1 2 2 3 3 4= s4= = =; ; ;

se obtiene la siguiente estructura:

Sustituyendo en la expresión obtenida anteriormente:

( )( ) ( )VV

KG GG C s G C s G C s KC sG

KG GC C s G C G C G C KG C s G Gi

0 1 3

1 2 3 4 3 4 2 3

1 3

2 42

1 4 3 2 3 4 3 2 1 3

=+ + + −

=+ + + − +

VV

KR R C C

sR C R C R C

KR C

sR R C C

i

0 1 3 2 4

2

3 4 1 2 3 2 3 4 1 3 2 4

1 1 1 1=

+ + + −

+

VV

KR R C C

sK

R C R C R Cs

R R C Ci

0 1 3 2 4

2

3 4 1 2 3 2 1 3 2 4

1 1 1 1=

+−

+ +

+

correspondiente a un FILTRO PASO BAJO.

Si comparamos esta función de transferencia con la expresión general :

H sa s a s as b s b

ks

Qs

sQ

s

z

zz

( ) =+ +

+ +=

+ +

+ +

22

1 02

1 0

2 002

2 002

ωω

ωω

obtenemos:


bR R C C

bK

R C R C R C

aK

R R C C

01 3 2 4

13 4 1 2 3 2

01 3 2 4

1

1 1 1

=

=−

+ +

=

Tres ecuaciones y cinco incógnitas. Habrá que fijar alguna de ellas y obtener el resto. (Si hay otras imposiciones de diseño hay que tenerlas en cuenta).

ω01 3 2 4

1=

R R C C

( )ω 0

3 4 1 2 3 2

3 4 1 4 1 2

1 3 2 4

1 1 1 1Q

KR C R C R C

R C R C K R CR R C C

=−

+ + =+ + −

( )[ ] ( )ω

ω002

3 4 1 4 1 21 3 2 4

3 4 1 4 1 21

1QR C R C K R C Q

R R C CR C R C K R C

= + + − ⇒ =+ + −

• Sensibilidad

Las sensibilidades de los dos parámetros calculados anteriormente serán:

0 0 0 0

1 3 2 4R R C C1S S S S2

ω ω ω ω= = = = −

0KS 0ω =

1

Q 3 4R

1 2

R C1S Q2 R C

= − +

( )3

Q 1 4 1 2R

3 2 3 4

R C R C1S Q 1 K2 R C R C

= − + + −

2

Q 31 4C 1

3 2 4

RR C1S Q R2 R C C

= − + +

2C

( )4

Q 1 2C

3 4

R C1S 1 K Q2 R

= − + −C

Q 1 2K

3 4

R CS KQR C

=

Se puede ver fácilmente que las sensibilidades 0

1RSω , 0

3RSω , 0

2CSω , son muy bajas e independientes de los valores elegidos para el diseño. El resto de sensibilidades dependen de

0

4CSω


los valores escogidos a la hora de realizar el diseño. Veamos dos ejemplos y las sensibilidades obtenidas en cada caso.

Ejemplo 1:

C2 = C4 = 1 F

R1 = R3 = R

0

1R =ω

y 1K 3Q

= −

La ventaja de usar estos valores es que los cálculos son simples y los valores de los elementos del mismo tipo son uniformes.

Las sensibilidades en este caso serán:

1

QR

1S Q2

= − +

3

QR

1S Q2

= −

2

QC

1S 22

= − + Q

4

QC

1S 22

= − Q

1

QKS 3Q= −

Como podemos comprobar, estas sensibilidades son grandes y dependen del valor de Q, por tanto, este tipo de diseño debe utilizarse sólo para secciones de bajo Q.

Ejemplo 2:

K = 1

R1 = R3 = 1 Ω

Con estos valores el amplificador se reduce a un seguidor. Esto implica que la ganancia de dicho amplificador, si se realiza con operacionales, ya no es sensible respecto a variaciones en las resistencias. Además, se ahorran dos resistencias necesarias para el amplificador no inversor. Los siguientes valores en este caso serán:

20

2QC =ω

y 40

1C2Q

=ω

Las sensibilidades en este caso serán:


1

QRS 0=

3

QRS 0=

2

QC

1S2

=

4

QC

1S2

= −

Como podemos ver las sensibilidades de este diseño son muy bajas. Sin embargo, requiere que los valores de los condensadores sean muy dispersos debido a que están relacionados por la siguiente ecuación:

22

4

C 4QC

=

Para Q altos podría darse el caso de aparecer valores no prácticos de los condensadores, por tanto, este diseño debe usarse también para valores moderados de Q.

5.2.3. Filtro paso alto de 2º orden. Estructura de Sallen-Key.

Si en la estructura genérica original hacemos:

Y C s Y G Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4= 4= = =; ; ;



( )( ) ( )VV

KC sC sC s G C s G C sG KG C s

KC C sC C s G C G C G C KG C s G Gi

0 1 3

1 2 3 4 3 4 2 3

1 32

1 32

2 3 4 1 4 3 2 3 2 4

=+ + + −

=+ + + − +

( )VV

Ks

sG C G C K G C

C Cs

G GC C

i

02

2 4 1 4 3 2 3

1 3

2 4

1 3

1=

++ + −

+


VV

Ks

sK

R C R C R Cs

R R C Ci

02

2

2 1 4 3 4 1 2 4 1 3

1 1 1 1=

+−

+ +

+

correspondiente a un FILTRO PASO ALTO.

Si comparamos esta función de transferencia con la expresión general obtenemos:

bR R C C

bK

R C R C R Ca K

02 4 1 3

12 1 4 3 4 1

2

1

1 1 1

=

=−

+ +

=


ω02 4 1 3

1=

R R C C

( )ω 0

2 1 4 3 4 1

2 3 2 1 4 3

2 4 1 3

1 1 1 1Q

KR C R C R C

R C R C K R CR R C C

=−

+ + =+ + −

( )[ ] ( )ω

ω002

2 3 2 1 4 32 4 1 3

2 3 2 1 4 31

1QR C R C K R C Q

R R C CR C R C K R C

= + + − ⇒ =+ + −

5.2.4. Filtros paso banda de 2º orden. Estructura de Sallen-Key.

El circuito necesario para la realización del paso banda requiere una pequeña modificación si tenemos que realizarlo usando operacionales. Si en la estructura genérica original hacemos:

Y G Y C s Y C s Y G1 1 2 2 3 3 4= 4= = =; ; ;




( )( ) ( )VV

KG C sG C s C s G C sG KC sC s

KG C sC C s KC C s G C G C G C s G Gi

0 1 3

1 2 3 4 3 4 2 3

1 3

2 32

2 32

1 3 4 2 4 3 1 4

=+ + + −

=− + + + +

( )

( ) ( )

VV

KG C sK C C

sG C G C G C

K C Cs

G GK C C

i

0

1 3

2 3

2 1 3 4 2 4 3

2 3

1 4

2 3

1

1 1

=−

++ +−

+

−

( )

( )

VV

KsK R C

sK R C R C R C

sK R R C C

i

0 1 2

2

1 2 4 3 4 2 1 4 2 3

11

11 1 1 1

1

=−

+−

+ +

+

−

correspondiente a un FILTRO PASO BANDA.

Esta función de transferencia es irrealizable usando operacionales porque la ganancia K en ese caso sería siempre mayor que 1. Por tanto, aparecerían coeficientes negativos en el denominador y los polos estarían situados en el semiplano derecho. Por ello se modifica la estructura original y nos queda un circuito como el siguiente.

5.2.4.1 Circuito Paso Banda de Sallen-Key.

Este circuito tiene la función de transferencia siguiente:

0 1 5

2i 1 2

2 5 1 5 4 5 4 3 1 2 4 3 5

K sV R CV R R1 K 1 1 1s s

R C R C R C R C R R R C C

= +−

+ + + + +



1 20

1 2 4 3 5

12 5 1 5 4 5 4 3

11 5

R RbR R R C C1 K 1 1 1bR C R C R C R C

KaR C

+=

− = + + +

=


1 20

1 2 4 3 5

R RR R R C C

+ω =

0

2 5 1 5 4 5 4 3

1 K 1 1 1Q R C R C R C R Cω −

= + + +

( )( )

1 2 4 3 5 1 2

1 4 3 2 4 3 1 2 3 1 2 5

R R R C C R RQ

1 K R R C R R C R R C R R C+

=− + + +

5.2.4.2 Si en la estructura anterior realizamos el cambio RC-CR.

Obtenemos la siguiente estructura:

Y su función de transferencia es:

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

3 4 1 20

i 2 2 1

1 2 3 4 3 1 2 5 1 2 1 2 3 4 3 5 4 1 2

KC sR C C CV

V 1 K C C1 1 1s sC C R C R C C R C C C C R C R R C C C

+=

−+ + + + +

+ + + + +

correspondiente también a un FILTRO PASO BANDA.



( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

03 5 4 1 2

2 11

1 2 3 4 3 1 2 5 1 2 3 4 1 2

11

3 4 1 2

1bR R C C C

1 K C C1 1bC C R C R C C R C C R C C C

KCaR C C C

= +

− = + + + + + + +

= +


03 5 4 1 2

1R R C (C C )

ω =+

( )( ) ( ) ( ) ( )

20 1

1 2 3 4 3 1 2 5 1 2 3 4 1 2

1 K C C1 1Q C C R C R C C R C C R C C C

−ω= + + +

+ + + +

( )( )5 2 5 4 3 4 5 1

1 2 3 5 43 5 4 1 2

1 K R C R C R C R C1 1Q C C R R CR R C (C C )

− + + +=

++

( )3 5 4 1 2

5 2 5 4 3 4 5 1

R R C (C C )Q

1 K R C R C R C R C+

=− + + +

Quedarían por ver otras dos posibles estructuras que son:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

VV

K' ss K'i

02=

+ ' s

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

VV

K' ss K'i

0 =+ '

careciendo por tanto de interés por no tratarse de estructuras generales de segundo orden.


5.2.5. Estructura General de Raouch.

Obteniendo las ecuaciones de los nudos V1 y V2 ,

( )Nudo V Y V Y Y Y Y V Y Vi1 1 1 2 3 4 1 40: = − + + + + − 0

5 0

Nudo V Y V Y V2 3 10: = − −

VYY

V15

30= −

( )0 1 1 2 3 45

30 4= − − + + + −YV Y Y Y Y

YY

V Y Vi 0

( )[ ]Y Y V Y Y Y Y Y Y Y Vi3 1 5 1 2 3 4 3 4 0= − + + + +

( )VV

YYY Y Y Y Y Y Yi

0 1 3

5 1 2 3 4 3 4

= −+ + + +

5.2.6. Filtro Paso Bajo de 2º orden. Estructura Raouch.

( )VV

G GG G C s G G G C si

0 1 2

2 3 2 1 2 3 1

=−

+ + + +


VV

C C R R

sC R C R C R

sC C R R

i

0 1 2 1 2

2

1 1 1 2 1 3 1 2 3 2

1

1 1 1 1= −

+ + +

+

Correspondiente a un filtro paso bajo. Comparando la expresión anterior con la general de una sección de segundo orden:

ω01 2 3 2

1=

C C R R

ω 0

1 1 1 2 1 3 1

2 3 1 3 1 2

1 2 3

2

1

2 3 1 3 1 2

1 2 2 3

1 1 1 1Q C R C R C R C

R R R R R RR R R

CR

R R R R R RC C R R

= + + =+ +

=

+ +

ωω

ω0 2

102

2 3 1 3 1 21

2 0 2 3 1 3 1 2QCR

R R R R R R Q RC R R R R R R

= + + ⇒ =+ +

1

2 2 3 32

1 3

C 1QC R R RR

R R

=

+ +2R

En el caso particular de que :

R R R R1 2 3= = =

la función de transferencia y los valores de ω0 y Q quedan:

VV

C C R

sC R

sC C R

i

0 1 22

2

1 1 22

1

3 1= −+ +

ω0

1 2

1=

R C C 1

2

C1Q3 C

=

• Sensibilidad

Las sensibilidades de los dos parámetros serán:

0

1RS 0ω =

0 0 0 0

2 3 1 2R R C C1S S S S2

ω ω ω ω= = = = −

1

2 3Q 2R

1 1

R RCS QC R

=


2

2 3Q 32 2R

1 1 3

R R RC RQS2 C R R R

= − + −

2

3

2 3Q 32 2R

1 1 3

R R RC RQS2 C R R R

= − − +

2

1 2

Q QC C

1S S2

= − =

Un examen detallado de las cantidades que aparecen entre paréntesis en las ecuaciones anteriores muestra que siempre son inferiores el denominador que aparece en la expresión de Q. Por tanto se cumplirá que:

1

QRS 1<

2

QR

1S2

< 3

QR

1S2

<

Esto hace que las sensibilidades en este tipo de sección bicuadrática sean muy bajas.

5.2.7. Filtro Paso Alto de 2º orden. Estructura Raouch.

Sustituyendo valores en la expresión general de la función de transferencia:

( ) ( )VV

C sC sC sC s G C s G C s C s

C C sC C s G C C C s G Gi

0 1 2

2 3 2 1 1 2 3

1 22

2 32

2 1 2 3 1 2

= −+ + + +

= −+ + + +

( )VV

CC

s

sG

C CC C C s

G GC C

i

0

1

3

2

2 2

2 31 2 3

1 2

2 3

= −+ + + +

VV

CC

s

sC C C

R C Cs

R R C Ci

0

1

3

2

2 1 2 3

2 2 3 1 2 2 3

1= −+

+ ++


Correspondiente a un filtro paso alto. Comparando la expresión anterior con la general de una sección de segundo orden:

ω01 2 2 3

1=

R R C C

( )ω ω0 1 2 3

2 2 3

0 2 2 3

1 2 3

2 2 3

1 1 2

1Q

C C CR C C

QR C C

C C CR C C

R C C C=

+ +⇒ =

+ +=

+ + 3

C


C C C1 2 3= = =


VV

s

sR C

sR R C

i

02

2

2 1 22

3 1= −+ +

ω01 2

1=

C R R Q

RR

=13

2

1

5.2.8. Filtros Paso Banda de 2º orden. Estructura Raouch.

Podemos encontrar diferentes estructuras de filtro paso banda tipo Raouch.

5.2.8.1


( ) ( ) ( )2131232

12

21

1212213

21

i

0

GGGsCCGsCCsCG

ssCCsCsCGGGsCG

VV

++++−=

++++−=

( ) ( )12

213

12

1232

1

1

i

0

CCGGG

sCC

CCGs

sCG

VV

++

++

−=


( )

++

++

−=

21123123

122

11

i

0

R1

R1

CCR1s

CCRCCs

sCR

1

VV

Correspondiente a un filtro paso banda. Comparando la expresión anterior con la general de una sección de segundo orden:

ω 01 2

1 2 3 2 1

=+R R

R R R C C

( )

( )

2 10

3 2 1

1 2 3 20 3 2 1 3 2 11 2

2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 1 2

C C

Q R C C

R R R C CR C C R C CR R 1QC C R R R C C C C C C R R

+ω=

+ω += = =

+ + +1

C


C C1 2= =


+++

−=

212

33

2

1

i

0

R1

R1

CR1s

CR2s

sCR

1

VV

ω 01 2

1 2 3

1=

+C

R RR R R

( )Q

C R R RR R

=+

21 2

1 2

3


5.2.8.2


( ) ( ) 2112322

13

31

1313212

31

i

0

GGsCCCGsCCsCG

ssCCsCsCsCGGsCG

VV

++++−=

++++−=

( )13

21

13

12322

1

1

i

0

CCGG

sCC

CCCGs

sCG

VV

+++

+−=

( )1321132

1232

11

i

0

CCRR1s

CCRCCC

s

sCR

1

VV

+++

+−=


ω 01 2 3 1

1=

R R C C

( )3 2 10

2 3 1

0 2 3 1 2 3 1 2 3 1

3 2 1 1 2 3 1 3 2 1 3 2 1 1

C C C

Q R C C

R C C R C C R C C1 1QC C C R R C C C C C C C C R

+ +ω=

ω= = =

+ + + + + +


C C C1 2 3 C= = =



2212

2

1

i

0

CRR1s

CR3s

sCR

1

VV

++−=

ω 01 2

1=

C R R Q

RR

=13

2

1

5.2.8.3


( ) ( ) 3132122

21

31

1313212

31

i

0

GGsGGGCsCCsGC

GGGGGsCsCsGC

VV

++++−=

++++−=

( )21

31

1

3212

2

3

i

0

CCGG

sC

GGGs

sCG

VV

+++

+−=

21313211

2

23

i

0

CCRR1s

R1

R1

R1

C1s

sCR1

VV

+

+++

−=


ω 01 3 1 2

1=

R R C C


0

1 1 2 3

0 1 1 1 31 2

1 3 1 2 2 1 3 2

1 2 3 1 2 3

1 1 1 1 Q C R R R

C CC R1QR R C C C R R R1 1 1 1 1 1

R R R R R R

ω= + +

ω= = =

+ + + + + +

R R


R R R R1 2 3= = =


212

1

2

2

i

0

CCR1s

RC3s

sRC

1

VV

++−=

ω 01 2

1=

R C C 1

2

C1Q3 C

=

5.2.8.4


( ) ( ) ( ) 212122

312

21

1212312

21

i

0

GGsGGCsCCCsGC

GGGGsCsCsCsGC

VV

++++−=

++++−=

( )( )( ) ( )312

21

31

212

312

21

i

0

CCCGGs

CCGGs

sCCC

GC

VV

++

++

+

+−=


( )

( )312212131

2

1322

i

0

CCCRR1s

R1

R1

CC1s

sCC1CR

1

VV

++

+

++

+−=


( )ω 01 2 2 1 3

1=

+R R C C C

( )( )

( ) ( )

0

1 3 1 2

0 1 3 1 3 1 2 1 3

1 2 2 1 3 2 1 2

1 2 1 2

1 1 1 Q C C R R

C C C C R R C C1 1QR R C C C C R R1 1 1 1

R R R R

ω= + +

ω + + += = =

+ + + +


R R R1 2= =


( )

( ) ( )3122

31

2

132

i

0

CCCR1s

CCR2s

sCC1RC

1

VV

++

++

+−=

( )ω 0

2 1 3

1=

+R C C C;

( )Q

C CC

=+1

21 3

2


5.3. Filtros activos con varios AA.OO.

En este punto estudiaremos una serie de filtros caracterizados por el uso de varios amplificadores operacionales. Aunque pueda parecer que es un despilfarro usar estos filtros cuando tenemos otros que utilizan un solo operacional, veremos que sus características (baja sensibilidad y versatilidad) les hacen útiles en la práctica.

5.3.1. Diseño de filtros con varios operacionales.

Obtendremos aquí algún ejemplo de diseño de filtros de 2º orden utilizando las representaciones mediante diagramas de señal (variables de estado). Las realizaciones se obtendrán utilizando integradores, sumadores e inversores.

Partiremos de la función de transferencia genérica de una sección de 2º orden.

VV

P s

sQ

si

0

2 002

=+ +

( )ω

ω

donde el grado de P(s) será 2 como máximo.

Multiplicando de forma cruzada:

V sQ

s P i02 0

02+ +

=ω

ω ( )s V

Dividiendo ambos miembros por la mayor potencia de s (s2):

VQ s s

P ss

V VQ

Vs

Vs

P ss

Vi i00 0

2

2 2 00 0

02 0

2 211

+ +

= ⇒ = − − +

ω ω ωω

( ) ( )

Si suponemos el caso en que P(s) = K s2 y llamamos T (T será la constante de

tiempo de los integradores), la ecuación anterior nos queda:

=1

0ω

VQ

VsT

Vs T

KVi00 0

2 2

1= − − +

La ganancia del lazo interior (ABA) es − ω0 Q mientras que la del lazo exterior (ABCA) es −ω , es decir: 0

2


ganancia lazo interior ancho de banda

ganacia lazo exterior frecuencia central al cuadrado

= =

= =

ω

ω

0

02

Q

cuestión importante a tener en cuenta ya que permite variar los parámetros de la sección actuando sobre las ganancias de lazo adecuadas.

5.3.2. Ejemplo: El filtro activo resonador KHN.

En este caso, lo primero que haremos será modificar el diagrama anterior de forma que cambiemos el signo de los términos (1/sT) ya que los integradores utilizados serán los integradores Miller (los normales). Lógicamente, esta operación se efectuará sin variar la función de transferencia.

El nuevo diagrama de señal es:

Vemos que no hemos variado las ganancias de lazo ni la del trayecto directo, por

tanto, la función de transferencia VVi

0 se mantendrá igual.

El circuito se realiza con dos integradores Miller cuya función de transferencia es: 1 1τs RCs

= y un sumador de tres señales, dos con signo positivo y otra negativa. El circuito

utilizado será:

V V V VR R

R Vi AA

− += =−+

+1 2

1


I V VR

V R I VB

RR=

−= − +

−−

0

V V V V RR R

V RR R

V V V RR R

V RR R

VB B i A A B i01

1 2

1

1 2

1

1 2

2

1 2

2 2 2 2 2 2= − + = − +

+−

++ = − +

++

+−

A

y por tanto, el circuito final queda:

de donde:

ω01

=RC

QR R

RRR

RR

=+

= + = +

1 2

2

1

2

1

2212 2

12

1

K RR R R

RQ

=+

=+

= −2 1

12 2

2 11

1 2 2

1

Si nos fijamos en el diagrama de señal anterior (correspondiente a este circuito), hemos observado que la relación entre V0 y Vi viene dada por:

VV

K

QsT s T

Ks

s sQT T

Ks

sQ

si

0

2 2

2

22

2

2 0021 1 1 1=

+ +=

+ +=

+ +ω

ω

correspondiente a un filtro paso alto.

Si tomamos como salida VA (salida del primer integrador), obtenemos la siguiente relación entre VA y Vi:

VV

KsT

QsT s T

KT

s

sQ

sA

i

=−

+ += −

+ +

1

1 1 12 2

2 002ω

ω


correspondiente a un filtro paso banda.

Por último, si la salida la tomamos en VB:

VV

Ks T

QsT s T

KT

sQ

sB

i

=+ +

=+ +

1

1 1 12 2

2 2

2

2 002ω

ω

correspondiente a un filtro paso bajo.

Se observa, por consiguiente, que hemos conseguido cualquiera de estos tres tipos básicos de filtros en una única configuración dependiendo de la salida que tomemos en cada caso.

Respecto a la sensibilidad, realizaremos los cálculos fijándonos en el circuito siguiente en el que cada resistencia y cada condensador tiene su índice correspondiente que les distingue.

En este circuito la función de transferencia paso-bajo quedaría:

VV

RR

R RR R R R C C

sRR

R RR R R C

sRR R R C C

B

i=

⋅++

⋅

+ ⋅++

⋅ + ⋅

4

5

5 6

3 4 1 2 1 2

2 3

5

5 6

3 4 1 1

6

5 1 2 1

1

1 1

2

De donde obtendríamos

ω 06

5 1 2 1

1= ⋅

RR R R C C2

QRR

R RR R

R R CR R C

= ⋅++

5

3

3 4

5 6

6 1 1

5 2 2


De estas ecuaciones podemos calcular las diferentes sensibilidades de ω0 y Q respecto a todos los componentes.

S S S S S SR R R R C C1

0

2

0

5

0

6

0

1

0

2

012

ω ω ω ω ω ω= = = − = = = −

S SR R3

0

4

0 0ω ω= =

S S S SRQ

RQ

CQ

CQ

1 2 1 2

12

= − = = − =

S SR

R RRQ

RQ

3 4

4

3 4= − = −

+

( )S SR RR RR

QRQ

5 6

6 5

5 62= − = −

−+

Estas sensibilidades son usualmente bastante bajas, en todo caso es fácil comprobar que todas son inferiores a 1 y que, excepto las dos últimas, no dependen de los valores de los componentes del diseño.

Los bajos valores de las sensibilidades son una característica común a todas las configuraciones con múltiples Amplificadores Operacionales. Dicha cualidad, junto con la facilidad de ajuste de los parámetros con la misma red, explican la popularidad alcanzada por esta clase de configuraciones, así como su uso en la realización de filtros con valores de Q elevados. Sin embargo, en este tipo de filtros, debe prestarse especial atención al margen dinámico, ya que puede que no exista saturación a la salida del filtro y, en cambio, la señal contenga distorsión no lineal debida a la saturación producida a la salida de algún A.O. Los parámetros libres del diseño pueden ser fijados de forma que el nivel de saturación a la salida de cada A.O. sea el mismo.

5.3.3. Filtro Resonador de Tow-Thomas.

Una variación al filtro anterior es el denominado FILTRO RESONADOR DE TOW-THOMAS.

En este caso se añade un inversor en la salida VB (lazo exterior) de forma que todas las entradas al sumador sean positivas. Además se aprovecha el primer A.O. para funcionar como sumador-integrador, aunque esto lleva a perder la salida paso alto.


El circuito es:

Tiene la ventaja de tener sus tres operacionales con la entrada no inversora puesta a masa, y además tiene un fácil ajuste de Q, K y ω0 (siendo independiente el uno del otro).

Analicemos el circuito anterior para obtener la función de transferencia de cada una de las salidas respecto a la entrada. En primer lugar analizaremos la función de transferencia del primer bloque:

( )Nudo V G V G V G C s VC i− = − − − +: 0 3 4 1 1 A

0 3

1

4

14

1

1

= − − − −GC s

V GC s

G V GC s

V VC i A A

VC s R

VR

VR

VA C i= − + +

1 1 1 1

1 3 4 1A

C i

3 4A

11

V VR RV 1C s

R

+= −

+


Además, sabemos que los otros operacionales se comportan como un integrador y un inversor, con lo que nos queda:

CB

A 2 2 B

VV 1 ; 1V R C s V

= − = −

Por tanto, si quisiéramos obtener la relación A

i

VV

, tendríamos que poner tanto VB como

VC en función de VA de la siguiente forma:

B A2 2

1V VR C s

= − ; C A2 2

1V VR C s

=

Si sustituimos en la ecuación del primer bloque tendremos:

C i AA 1

1 3 4 3 2 2

V1 V VV C sR R R R R C s

+ = − + = − −

i

4

VR

iA 1

1 3 2 2

1 1V C sR R R C s R

+ + = −

4

V

A 4 1

i4 1

1 1 2 3 1 21 3 2 2

1V 1 R C

1 1V 1 1 sR C s R C R R C C sR R R C s

= − = − + ++ +

A 4 1

2i

1 1 2 3 1 2

1 sV R C

1 1V s sR C R R C C

= −+ +

que corresponde a un filtro paso banda. La función de transferencia de la salida VB se obtendrá:

B A B 2 4 2 1

2i i A

1 1 2 3 1 2

1V V V R R C C

s 1V V V sR C R R C C

= =+ +

correspondiente a un filtro paso bajo.

En esas funciones se pueden obtener fácilmente tanto ωo como Q además de la ganancia y podremos comprobar como estos parámetros se pueden ajustar de manera independiente y fácil, variando únicamente unas resistencias.


ω02 3 2 1

31

= ⇒R R C C

Ajuste o R con R2

ωω0

1 11 1 0 1

1

2 3 21

1Q R C

Q R C R CR R C

Ajuste con R= ⇒ = = ⇒

11

44

32

4

RKR

Ajuste con RRKR

= − ⇒=

La configuración anterior tiene la ventaja de que cada uno de los amplificadores operacionales tiene una entrada puesta a masa. Además, el Q es determinado por una resistencia de valor R1 con lo que puede ajustarse fácilmente. Por otra parte, la ganancia K es determinada por la resistencia de entrada y puede fácilmente ajustarse sin afectar al Q y a ωo. Esta configuración no proporciona la salida paso alto.

Las sensibilidades de Q y ωo que son distintas de cero tienen por módulo 0.5, excepto que vale la unidad. Todas ellas, por tanto, son bajas. SR

Q1


6. Estructuras de 2º Orden Basadas en simulación de bobinas.

En este método, para obtener una sección de segundo orden partiremos de un filtro paso-banda LC de segundo orden y simularemos la bobina con elementos activos. El filtro pasivo es:

cuya función de transferencia es:

01

1 100

2= − + + +

⇒ =

+ +=

+ +GV G Cs

LsV

VV

G

G CsLs

GC

s

sGC

sLC

ii

Para simular la bobina utilizaremos el CIG con Z , es decir: C s2

2

1=

La salida del filtro se toma en bornas de la bobina y esta no es la salida de un A.O., lo cual no es interesante. Para evitar esto, nos fijamos que V1 (salida del A.O.) es proporcional a VL (tensión en bornas de la bobina) y tomamos esa tensión como salida del filtro.

I I VR

L4 5

5

= =


( )V R R IR R

RV

GG

VL L1 4 5 44 5

5

5

41= + =

+= +

El circuito nos queda:

VI

Z Z ZZ Z

V I G C sG G G

L

LL L= ⇒ =1 3 5

2 4

4 2

1 3 5

V VGGL0

5

41= +

I V VR

i L=−

I I CsVL L= −

Donde la función de transferencia quedará

VV

GG CG G G

sGG

GG CG G G

sCG CG G G

s

GC

GG

s

sGC

sG G GCC G

i

0

4 2

1 3 5

5

4

4 2

1 3 5

4 2

1 3 5

2

5

4

2 1 3 5

2 4

1

1

1=

+

+ +=

+

+ +

correspondiente al filtro paso banda con:

ω02 1 3 5

2 4

=G G GCC G

; ω 0 1 3 5

2 4 2

1 3 5

4

1Q

GC

Q CG

G G GCC G G

CC

G G GG

= ⇒ = =

4

2 1 3

RCQ RC R R R

=5


7. Criterio de Realización en Cascada.

Como hemos dicho en otras ocasiones, la forma más común y eficiente de realizar un filtro de orden n es la descomposición en funciones más simples. De esta forma la función de transferencia se factoriza en subfunciones de segundo orden. Los circuitos resultantes correspondientes a dichas subfunciones se conectan en cascada de forma que se consiga la función de transferencia deseada. Este método es muy utilizado debido a su facilidad de implementación, eficiencia en cuanto al número de elementos activos a utilizar (uno por cada pareja de polos) , y sobre todo por la facilidad de sintonización ya que cada sección es responsable de una pareja de polos (situación, Q,...). En filtros de orden muy grande (n>8) pueden aparecer problemas en cuanto a sensibilidad.

Las secciones de segundo orden son de la forma:

2oi

i

oi2

i0i12

i2ii

sQ

s

ssk)s(Tω+

ω+

α+α+α=

de forma que:

H s T sii

n

( ) ( )==

∏1

2

Las secciones Ti(s) se conectarán entre sí como se indica a continuación:

Por supuesto, todas estas secciones cumplirán las condiciones necesarias para no influir (cargarse) unas en otras.

El primer problema que se plantea, una vez que se ha obtenido la expresión general de la función de transferencia de orden n, es como separarla en secciones de segundo orden, es decir:

1. ¿Qué cero (o pareja de ceros) hay que asignar a cada pareja de polos?. Teniendo en cuenta que hay n/2 pares de polos y n/2 pares de ceros (considerando los ceros en el origen e infinito) habrá (n/2)! posibles asociaciones de parejas de polos y ceros.

2. Una vez efectuada la asignación anterior, ¿en qué orden deberemos colocar las secciones de segundo orden resultantes?. Existirán también (n/2)! secuencias posibles.

3. Por último, ya efectuados los pasos anteriores, ¿cómo distribuir la ganancia total entre todas las secciones?.


Para realizar todos estos procesos de la forma más correcta posible existen una serie de criterios que nos llevan al uso de ordenadores. Sin embargo podemos dar una serie de criterios que son fácilmente aplicables manualmente.

a) En general se colocarán las secciones bicuadráticas ordenadas de menor a mayor Q.

b) Si el filtro es de orden impar, la sección de primer orden se conectará al final del circuito.

c) En determinadas aplicaciones es preferible colocar en primer lugar una sección paso bajo (o paso banda) con el fin de eliminar las componentes de alta frecuencia que son las que originan peores comportamientos en este tipo de filtros.

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