XII Simposio Iberoamericano sobre planificacin de sistemas de abastecimiento y drenaje

DISEO OPTIMIZADO DE REDES ABIERTAS CON DEMANDAS DEPENDIENTES DE LA PRESIN USANDO PROGRAMACIN LINEAL

Camilo Salcedo (1), Diego Pez (2), David Hernndez (3), Laura Manrique (4), Juan

Saldarriaga (5)

(1) Investigador, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los

Andes (CIACUA), Carrera 1 No. 18-10, Bogot, Colombia. Telfono: 3394949 Ext: 2810. Email:

ca.salcedo959@uniandes.edu.co.

(2) Profesor Instructor, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad

de los Andes (CIACUA), Carrera 1 No. 18-10, Bogot, Colombia. Telfono: 3394949 Ext: 2810.

Email:da.paez27@uniandes.edu.co.

(3, 4) Investigador, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los

Andes (CIACUA), Carrera 1 No. 18-10, Bogot, Colombia. Telfono: 3394949 Ext: 2810. Email:

da.hernandez39@uniandes.edu.co, l.manrique83@uniandes.edu.co,

(5) Profesor Titular, Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de

los Andes (CIACUA), Carrera 1 No. 18-10, Bogot, Colombia. Telfono: 3394949 Ext: 2810. Email:

jsaldarr@uniandes.edu.co.

RESUMEN

El presente documento describe una aproximacin al diseo optimizado de redes de distribucin de agua

potable (RDAP) a travs de metodologas que combinan Programacin Lineal con conceptos relacionados

con eluso energtico de la red. Con lo anterior, se busca obtener lacombinacin de dimetrosde menor costo

para la red en el menor tiempo posible, asegurando su validez hidrulica. Esta aproximacin fue aplicada a

diferentes redes abiertascon demandas dependientes de la presin (DDP), las cuales se modelaron a travs de

emisores,alcanzando as un primer paso para el establecimiento de metodologas que permitan disear redes

con DDP de mayor complejidad.

Palabras claves:Emisores, Programacin Lineal, Tuberas en Serie, RDAP, Demandas Dependientes de la

Presin.

ABSTRACT

This paper describes an approximation to the optimal design of water distribution networks (WDN) through

a methodology which combines linear programming with energy-based concepts. As result, it is expected to

obtain a set of diameters which have the minimum cost in the least computational time possible, and also

ensuring its hydraulic operation. This approximation was applied to different WDNs with pressure driven demands (PDD), which were modeled through the use of emitters, and establishing the first step of a

methodology that allows the design of more complex networks whose demands behave as PDD.

Key words: Emitters, Linear Programming, Pipes in Series, WDN, Pressure-Driven Demands.

SOBRE EL AUTOR PRINCIPAL

Camilo Andrs Salcedo Ballesteros: Estudiante de Maestra en Ingeniera Civil con nfasis en Recursos

Hdricos e Hidroinformtica en la Universidad de los Andes, Colombia, en donde tambin obtuvo sus ttulos

de pregrado como Ingeniero Civil e Ingeniero Industrial en Marzo del 2013. Actualmente se desempea

como investigador del Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de los

Andes (CIACUA).

INTRODUCCIN Y ANTECEDENTES

Una red abierta est conformada por un conjunto de

tuberas formando un sistema en rbol con al menos

un embalse de alimentacin, y distintos nudos de

demanda, comformando as a un tipo de sistema de

distribucin de agua potable (RDAP). En la

clasificacin de las redes de distribucin segn sus

demandas se pueden diferenciar dos tipos: Aquellas

en donde la demanda en cada nudo es conocida o

independiente, y aquellas en donde esta es

dependiente de la presin en al menos uno de los

nudos de la red. Estas ltimas se conocen como

redes con demandas dependientes de la presin

(DDP).

Para el diseo optimizado de los sistemas con

demandas independientes se han desarrollado

metodologas y metaheursiticas de diseo

optimizado enfocadas a la minimizacin de los

costos constructivos del sistema, las cuales se

encargan de escoger una combinacin de dimetros

para la red tal que para cada nudo se cumpla con una

presin mayor o igual a la mnima establecida y se

entreguen los caudales demandados. Dentro de las

metaheursticas probadas en este tipo de sistemas se

pueden mencionar los Algoritmos Genticos (Savic

& Waters (1997); Wu & Simpson (2001); Reca et

al., 2006), Simulated Annealing (Cunha & Sousa

(1999); Reca, et al., 2007), Bsqueda de Armona

(Geem (2002); Gemm (2009)), y la Colonia de

Hormigas (Zecchin et al., 2006, Ostfled et al.,

2008), entre otros. Tambin investigadores como

Ipai Wu (1975) y Ochoa y Saldarriaga (2009) han

propuesto y desarrollado metodologas que utilizan

el conocimiento hidrulico de una red cerrada para

optimizar el uso de la energa disponible y llevar a

diseos de mnimos costo; entre estas ltimas se

encuentran los mtodos de superficie ptima de

gradiente hidrulico (SOGH) y superficie de uso

ptimo de potencia (OPUS).

Por su parte, en el caso de los modelos dependientes

de la presin se han probado un nmero menor de

metaheursticas, dentro de las cuales la mayora se

han aplicado para disear redes de riego haciendo

uso de emisores en cada uno de sus nudos. Dentro de

dichas metaheursticas se pueden encontrar los

Algortmos Genticos (Farmani et al., 2007),

Programacin Lineal Difusa (Spiliotis et al., 2007) y

Diseos Recursivos (Gonzlez-Cebollada et al.,

2011).

Usualmente, el diseo de las redes de distribucin se

ha realizado de forma tal que la demanda es

independiente de la presin en los nudos, hecho que

no refleja la realidad de todas las RDAP. Para esta

investigacin, por el contrario, el tipo de RDAPs

utilizado incluye demandas dependientes de la

presin, haciendo uso de emisores, los cuales han

probado ser tiles al modelar fugas, redes contra

incendios y sistemas de riego. Este documento

muestra los resultados obtenidos al aplicar una

metodologa donde se combinan los conceptos de

energa anteriormente expuestos con una

formulacin de Programacin Lineal en un software

especializado, buscando alcanzar diseos cuyos

costos constructivos sean mnimos, en el menor

tiempo posible. Para lo anterior, se disearon varias

RDAP con DDP utilizando las metodologas

convencionales de diseo ptimo y la metodologa

propuesta. Las redes diseadas estn

conformadaspor varias tuberas en serie, y se

diferenciaban entre s por su topografa y los

parmetros utilizados para modelar los emisores.

Esta investigacin puede ser considerada como el

primer paso para establecer metodologas enfocadas

a solucionar el problema de diseo optimizado de

redes de distribucin de agua potable aplicado al

caso de sistemas cuyas demandas sean dependientes

de la presin, con un nivel de complejidad mayor, y

fundamentndose en conceptos hidrulicos en vez de

basarse en mtodos heursticos.

MARCO TERICO

Lnea ptima de Gradiente Hidrulico Para

Tuberas en Serie

Basados en los resultados de Ipai-Wu (1975),

Ochoa y Saldarriaga (2009) definieron la

metodologa de diseo conocida como Superficie

ptima de Gradiente Hidrulico (SOGH),

posteriormente modificada en Superficie de Uso

ptimo de Potencia (OPUS), la cual se encuentra

basada en la hidrulica de la red.De acuerdo con los

resultados de Wu, el diseo de mnimo costo en un

tramo de tuberas en serie usualmente formauna

lnea de gradiente hidrulico (LGH) parablica.

Para establecer el comportamiento de la ecuacin

cuadrtica del gradiente hidrulico se deben conocer

tres puntos que describan la funcin parablica.

Estos puntos se muestran en laFigura 1, y son:

Hmax: La altura piezomtrica disponible para toda la red, y as como la altura del embalse,

se encuentra ubicado en la abscisa d = 0.

Hmin: La altura piezomtrica mnima para el nudo crtico, el cual bien puede ser la unin

final de la red, o bien aquel que tenga una

altura total cercana a la mnima como

consecuencia de su elevacin. En caso que

esta sea definida en el nudo final, se

encontrar en la abscisa d = dtotal.

Hflecha: Corresponde a la altura en el punto de mxima curvatura de la lnea de gradiente

hidrulico (LGH).Este punto se define por la

flecha, la cual es un porcentaje de la altura

disponible en la red, es decir, la diferencia

entre Hmax y Hmin. Este punto siempre se

localiza en la abscisa d = dtotal/2.

Figura 1. Lnea de Gradiente Hidrulico

Objetivo, Basada en Tres Puntos Conocidos

Como se puede observar en laFigura 1, existe una

lnea recta correspondiente al caso cuando la LGH

es lineal. Cuando la flecha es igual a 0%, el

gradiente ser igual a esta lnea recta, pero cuando

este porcentaje es distinto a 0% la altura en la mitad

de la serie de tuberas ser igual a la altura en el

punto medio de la lnea recta menos la flecha

multiplicada por la altura disponible en el sistema.

De acuerdo con lo anterior, la lnea de gradiente

hidrulico objetivo se puede encontrar a partir de la

Ecuacin 1.

ddLGH j2

(1)

En dondeLGHj corresponde a la altura en el nudo j

ubicada a una distancia d desde la reserva, F es la

flecha seleccionada y Hmax y Hmin son las alturas en

los puntos mencionados. Asimismo, cada uno de los

coeficientes utilizados (, y ) se describe en las

ecuaciones a continuacin:

2

minmax )(4totald

HHF

(2)

totald

HHF

)()41( minmax

(3)

maxH (4)

Formulacin Para el Diseo Optimizado de

Redes Abiertas Utilizando Programacin

Lineal

El diseo optimizado consiste en encontrar la

combinacin de dimetros con el menor costo

constructivo posible a partir de parmetros dados de

una red tales como su topologa, la longitud de las

tuberas, su topografa, el requerimiento de presin

mnima y la conexin entre nudos y conductos. La

solucin obtenida debe obedecer los principios de

conservacin de masa y energa, as como los

requerimientos mnimos de presin en cada nudo.

Asimismo, es importante mencionar que dentro del

alcance de la presente investigacin no se

consideraron otro tipo de restricciones como las

velocidades mxima ni mnima.

La formulacin matemtica de este problema se

muestra a continuacin.

Funcin Objetivo

La funcin objetivo consiste en minimizar los costos

constructivos de la red, los cuales se calculan a

travs de la Ecuacin 5.

(5)

en donde NP corresponde a nmero de tuberas de la

red, es la longitud de la tubera i, es el

dimetro de la tubera i, y los parmetros K y x se

obtienen a partir de una regresin ajustada a la curva

de costos unitarios de las tuberas en funcin de su

dimetro.

Restricciones del Problema

Las restricciones del problema de optimizacin

asociado con el diseo se describen a continuacin:

Conservacin de la masa

(6)

donde es el caudal total en la tubera i, es la

demanda base en el nudo j, y es el caudal del

emisor en el nudo j, el cual depende de la presin en

dicho nudo.

Conservacin de la Energa

(7)

donde es la altura total en el nudo j, es la

altura total en el embalse, son las prdidas por

friccin en la tubera i, las prdidas menores en

la tubera i, y NN representa el nmero total de

nudos en la red. Para esta investigacin, las prdidas

por friccin se calcularon utilizando la ecuacin de

Darcy-Weisbach.

Presin Mnima en Nudos de Demanda

(8)

donde es la altura mnima requerida en el

nudo j, la cual corresponde a la mnima presin

admisible.

Dimetros de las Tuberas

(9)

Los dimetros de las tuberas nicamente pueden

tomar valores discretos, pertenecientes a la lista

comercial representada por .

Finalmente, es importante recordar que al tratarse de

demandas dependientes de la presin, el caudal en

cada nudo no se conoce con antelacin a la

realizacin del diseo. Por esta razn, no se puede

aplicar directamente Programacin Lineal al

problema para encontrar su ptimo global.

Diseo de Submdulos de Riego Utilizando

Programacin Lineal

Para el diseo de redes abiertas con demandas

constantes se han propuesto formulaciones

utilizando Programacin Lineal, las cuales han

obtenido buenos resultados. Sin embargo, cuando se

trata de redes con demandas dependientes de la

presin, estas formulaciones dejan de ser aplicables

directamente al problema de optimizacin asociado

ya que el caudal en cada nudo va a depender de la

presin que se tenga en un dado instante de tiempo,

razn por la cual no se puede conocer la demanda de

forma previa a la realizacin del diseo (Hernndez,

2012). Como solucin a este problema se propuso la

utilizacin de una superficie de gradiente hidrulico,

con el fin de poder asignar a cada emisor una

presin, y as conocer el caudal demandado por este.

Sin embargo, se detect un segundo problema en el

uso de programacin lineal atribuido al uso de

emisores; este fue la sensibilidad del diseo a la

flecha inicial utilizada. Por lo anterior, se busc

establecer un rango de flechas que permitieran

obtener resultados factibles, y a su vez que arrojaran

el diseo de menor costo posible.

Para resolver los problemas descritos anteriormente

de forma simultnea, Hernndez (2012) plante un

algoritmo de 11 pasos en donde se combina la

Programacin Lineal con la metodologa conocida

como OPUS con el fin de realizar diseos de

submdulos de riego. Los pasos de dicho algoritmo

son:

1. Conocer la topologa del submdulo de riego, el

caudal medio demandado por planta, el nmero de

emisores en cada nudo con su respectivas

ecuaciones, el coeficiente de uniformidad (CU) y el

de variabilidad (CV).

2. Determinar la Presin de Entrada al Submdulo

(PES) y la presin mnima aceptable en los

emisores.

3. Establecer la superficie de gradiente hidrulico

deseado utilizando la metodologa OPUS. Esto se

debe realizar para la flecha de 0 y de 0.25.

4. Luego de obtener las presiones en la red, calcular

los caudales encada nudo, y luego asignarlos como

demanda base a cada unin, suponindose

constantes en la modelacin. Se debe recordar que

este procedimiento se debe realizar para ambas

flechas estudiadas (0 y 0.25).

5. Calcular las matrices de costo, de prdidas totales,

de conectividad, y de LGH mnimas. Con lo anterior

y la formulacin de programacin lineal

implementada, realizar el diseo del submdulo de

inters. Se obtendrn dos diseos, el ms econmico

asociado con la flecha de 0.25, y el ms costoso

asociado con la flecha de 0.

6. Dado que en el paso anterior se realiz el diseo

considerando demandas constantes, es necesario

verificar el comportamiento del sistema una vez se

modelen los emisores. Por lo tanto, utilizando los

diseos obtenidos en el paso anterior con emisores

se obtendr para cada nudo el caudal emitido.

Posteriormente, se deben sumar los caudales

emitidos por cada nudo, para cada una de las flechas

utilizadas (0 y 0.25).

7. En cada nudo, se deben promediar los caudales

emitidos para las flechas de 0 y 0.25, y

posteriormente se asignar esta demanda constante a

dichas uniones. Como resultado de esto, se obtuvo

un nuevo submdulo de riego con las mismas

caractersticas topolgicas iniciales, pero con

caudales constantes obtenidos a partir de promediar

los resultantes del paso 6.

Los pasos 8 y 9 de la metodologa propuesta por

Hernndez (2012) consisten en repetir el paso 5 y 6,

pero esta vez utilizando nicamente los caudales

promediados, obtenidos en el paso 7.

10. Comprobar la factibilidad del diseo obtenido en

el paso anterior, verificando que el coeficiente de

uniformidad (CU) sea mayor al establecido, y que en

ningn nudo del sistema se presenten presiones

inferiores a la mnima. Si el diseo resulta ser

factible, el algoritmo termina y se concluye que se

obtuvo una solucin. En caso contrario se debe

proceder al paso 11.

11. Para continuar con la bsqueda de la solucin

ptima se debe establecer a cual diseo se le

asignar el encontrado en el paso 9. Para esto, se

establecer que si existen nudos con dficit de

presin, el diseo de la flecha 0.25 asumir los

valores de la iteracin anterior; por el contrario, si

no hay nudos con dficit de presin, ser el diseo

de la flecha 0 quien tomar el valor de la iteracin

anterior. Una vez reasignado este valor, se debe

volver al paso 7 hasta que el diseo resulte factible.

Este procedimiento sigue un algoritmo de biseccin,

el cual alcanza el diseo ptimo luego de la quinta o

sexta iteracin.

Luego de probar el algoritmo descrito en diferentes

submdulos de riego utilizados como casos de

estudio se pudo llegar a algunas conclusiones, con

las cuales se logr extrapolar la metodologa que se

describir ms adelante.

Dentro de las conclusiones ms importantes se

encontr que el diseo de mnimo costo para este

tipo de sistemas tiene una flecha ubicada en el rango

entre 0 y 0.25. Asimismo, se obtuvo que al iniciar el

proceso de optimizacin con una flecha de 0 se

obtena una solucin factible, en donde todos los

nudos cumplan con la restriccin de presin mnima

pero sus costos constructivos eran los ms altos. Por

el contrario, al iniciar con una flecha de 0.25 se

obtenan alternativas no factibles ya que algunos

nudos incumplan la restriccin de presin mnimas,

pero tenan el costo constructivo ms bajo. Estas

ltimas alternativas se podan volver vlidas a travs

del proceso iterativo, llegando as a la solucin

ptima del diseo (Hernndez, 2012). Por lo

anterior, se sugiere que la superficie de gradiente

hidrulico inicial se encuentre lo ms cerca posible a

la flecha de 0.25.

Emisores en Redes con Demandas

Dependientes de la Presin (DDP)

Como ya se mencion, las redes con demandas

dependientes de la presin (DDP) se caracterizan por

la inclusin de emisores, los cuales son accesorios

presentes en los sistemas de riego encargados de

suministrar a cada planta de un cultivo el caudal y

nutrientes necesarios para su desarrollo (Saldarriaga,

2007).

Sin embargo, dado que su caudal es funcin de su

presin, han resultado bastante tiles tambin en la

modelacin de fugas en redes de distribucin, y

redes contra incendio.

En cuanto al comportamiento hidrulico de estos

accesorios, se puede observar que relacionan la

presin en el nudo con el caudal demandado a travs

de la curva descrita en la Ecuacin 10.

(10)

en donde Q es el caudal del emisor, h la altura de

presin, k el coeficiente del accesorio y x su

exponente. Es importante recordar que esta ecuacin

no es dimensionalmente homognea, razn por la

cual k y x dependen del sistema de unidades

utilizado (Saldarriaga, 2007).

METODOLOGA PARA EL DISEO

OPTIMIZADO DE REDES ABIERTAS

CON DEMANDAS DEPENDIENTES DE

LA PRESIN

La metodologa utilizada para el diseo optimizado

de redes abiertas con demandas dependientes de la

presin se muestra en la Figura 2, y su descripcin

se realiza a continuacin.

INICIO

Topologa del sistema,

Hmin, Hmax, Presin

Mnima, Dimetros, ks

Definicin de la

LGH Ideal

Clculo de las

Demandas de la

Red

Diseo de la red

utilizando

Programacin

Lineal

Ejecucin

Hidrulica de la

Red con DDP

La presin en todos los

nodos es mayor a 15 mca?

FIN

Asignar

P = Pmin en los

nodos con

dficit de

presin

SI

NO

Figura 2. Diagrama de Flujo de la

Metodologa Utilizada

Definicin de la LGH Ideal

Como ya fue descrito por Hernndez (2012), como

primer paso para resolver el problema de diseo de

redes abiertas con demandas dependientes de la

presin se debe establecer una superficie de

gradiente hidrulico para as poder asignar una

demanda constante a cada nudo de la red. Para este

fin, se busc que la LGH estuviera lo ms cercana

posible a la flecha de 0.25, como se muestra en

laFigura 3, lo cual se logr asignando la presin

mnima en cada nudo de la red. Para esta

investigacin se estableci que la presin mnima en

cada nudo deba ser 15 mca.

Este procedimiento se realiz como consecuencia de

lo establecido por Hernndez (2012) respecto a la

sensibilidad del diseo a la flecha inicial utilizada,

en donde se encontr al iniciar el algoritmo con una

flecha de 0.25 se obtienen los menores costos

constructivos, pero no se satisface la restriccin de

presiones por la subestimacin de los caudales de los

emisores.

Figura 3. LGH Ideal para comenzar el Diseo

Comparado con la Flecha 0

Clculo de las Demandas de la Red

El caudal demandado en cada uno de los nudos de la

red se puede dividir en dos trminos: La demanda

base y el caudal del emisor.

La demanda base de los nudos se establece por el

diseador. Por su parte, el caudal de cada uno de los

emisores presentes en la red se obtiene haciendo uso

de la Ecuacin 10, en donde k es un coeficiente y x

el exponente del accesorio.

Finalmente, el caudal demandado en cada nudo se

puede establecer a travs de la Ecuacin 11.

(11)

Diseo de la Red Utilizando Programacin

Lineal

Una vez calculados los caudales en cada nudo se

debe realizar el diseo de la red haciendo uso de la

Programacin Lineal. Para este fin se sigui la

metodologa de Hernndez (2012), en donde con los

caudales se formaba un archivo que sera ingresado

al software optimizador, y el cual se compone de 4

matrices:

1.Matriz de Costo: Dado la longitud de cada tramo

de la red, y la lista de dimetros comerciales, esta

matriz relaciona cada tramo de tubera de la red con

su costo, mostrando como alternativas los diferentes

dimetros disponibles.

2. Matriz de Prdidas Totales:Para cada tramo de la

red, rene el valor de las prdidas de presin para

cada uno de los dimetros disponibles. Este clculo

se realiza a travs de la ecuacin de Darcy-

Weisbach.

3. Matriz de Conectividad:Indica las conexiones en

la topologa del sistema a travs de tuberas

asignando el valor de 1.0 donde esta condicin se

cumpla.

4. Matriz de LGH Mnimas: Para cada nudo de la

red, recopila la lnea de gradiente hidrulico mnima.

Una vez definidas las matrices, se ingresa esta

informacin al software optimizador, en donde

previamente se implement la formulacin mostrada

a continuacin.

Formulacin

Para comenzar, se defini N como el conjunto de

nudos en la red, como el conjunto de dimetros

comerciales disponibles, y como una variable

de decisin la cual tomar el valor de 1 si a la

tubera que va desde el nudo i N hasta el nudo j

N se le asign el dimetro d , o toma el valor

de 0 en caso contrario. Asimismo, se defini la

variable auxiliar , la cual representa la altura total

en el nudo i N.

La funcin objetivo utilizada en la formulacin del

problema de optimizacin asociado con el diseo de

la red se muestra a continuacin en la Ecuacin 12.

(12)

en donde es el costo de asignarle el dimetro d

D a la tubera que va del nudo i N hasta el

nudo j N.

En cuanto a las restricciones utilizadas, estas se

describen a continuacin:

Restriccin de la presin mnima permitida, la cual se estableci en la Ecuacin 8, mostrada en

el marco terico.

Restriccin que asegura la conservacin de energa para cada tubera. La altura total en el

nudo j N aguas abajo del nudo i N ser igual

a la altura total en el nudo i menos las prdidas

totales de presin producidas en el tubo que va

del nudo i N al nudo j N cuando el dimetro

d D fue asignado.

(13)

en donde es la altura aguas abajo del nudo, la

altura aguas arriba del mismo, las prdidas

totales de presin que ocurren en el tubo que conecta

al nudo i N con el nudo j N cuando el dimetro

d D es asignado, y w(i,j) es una funcin que toma

el valor de 1 cuando el tubo que va de i a j existe, y

0 en caso contrario.

Restriccin que asegura que solamente un dimetro sea asignado a cada tubera.

(14)

Luego de realizar el diseo con la presentacin

formulada, se obtiene como resultado un conjunto de

dimetros para toda la red.

Ejecucin Hidrulica de la Red con

Demandas Dependientes de la Presin

Recordando que el diseo obtenido en el paso

anterior fue realizado con demandas constantes, es

importante verificar el comportamiento hidrulico de

la solucin obtenida al ser modelada con demandas

dependientes de la presin.

Para este fin, se realiza una ejecucin hidrulica de

la red calculando las presiones en cada uno de los

nudos. Con este paso se termina la primera iteracin

del algoritmo propuesto.

Proceso Iterativo

Una vez obtenidas las presiones a partir de la

ejecucin hidrulica del paso anterior, se debe

verificar que se cumpla la restriccin de presin

mnima en cada uno de los nudos de la red. Para

todos aquellos nudos que presenten dficit de

presin, se les deber asignar el valor mnimo (15

mca) y se iniciar una nueva iteracin. El proceso

iterativo finaliza una vez no se tenga ningn nudo en

la red con dficit de presin.

CASOS DE ESTUDIO

La metodologa propuesta se prob en un total de 12

redes, las cuales tenan una configuracin igual en

cuanto a la cantidad de tubos (25 tuberas en serie) y

su topologa, as como en la demanda base en cada

uno de los nudos, la cual se fue de 4.5 L/s. La lista

de dimetros comerciales utilizada en los diseos se

compuso por tubos de 50, 75, 100, 150, 200, 250,

300, 350, 400, 450, 500, 600 y 750 milmetros, con

una rugosidad absoluta (ks) igual a 0.0015 mm. Los

parmetros utilizados en la funcin de costos

asociados con la tubera se muestran en la

Ecuacin15.

(15)

Asimismo, se utiliz una presin mnima de 15 mca,

las prdidas por friccin se calcularon utilizando la

ecuacin de Darcy-Weisbach y se consider que no

se tenan prdidas menores en el sistema.

Las redes utilizadas como casos de estudio fueron

diseadas tambin con la metodologa SOGH con

flechas entre 0 y 0.25 a fin de tener valores base para

comparar con los resultados obtenidos por la

aproximacin propuesta.

En cuanto a las caractersticas que diferenciaban

cada uno de los 12 sistemas respecto los dems se

tena en primer lugar la topografa de la red, y en

segundo lugar, los parmetros caractersticos de los

emisores utilizados. Como se mostrar a

continuacin, se analizaron 4 combinaciones

posibles de emisores en la red, as como 3

topografas distintas, resultando un total de 12 redes

distintas para ser analizadas.

En cuanto a los parmetros utilizados para la

modelacin de los emisores, se consideraron dos

coeficientes diferentes, as como cuatro exponentes

de estos. Estos emisores fueron colocados en todos

los nudos de la red segn diferentes combinaciones,

las cuales se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1. Coeficientes y Exponentes Utilizados en los Emisores

Combinacin Coeficiente Exponente 1 0.3 0.25

2 0.3 0.5

3 0.3 1.0

4 0.03 2.0

Para la topografa de la red, se plantearon tres casos,

los cuales se muestran en las figuras a continuacin.

El primer caso, mostrado en la Figura 4 y

denominado MA, corresponde a una topografa

suave, con un embalse cuya altura total es de 20 m.

El segundo caso, mostrado en la Figura 5 y

denominado SA, se trata de una topografa empinada

con orientacin descendiente, y cuyo embalse posee

una altura total de 70 m. Finalmente, el tercer caso

mostrado en la Figura 6 y denominado SB, se trata

de una topografa empinada, cuyo embalse se

encuentra a una altura total de 105 m.

Figura 4. Topografa Suave (M)

Figura 5. Topografa Empinada A (SA)

Figura 6. Topografa Empinada B (SB)

PRESENTACIN Y ANLISIS DE

RESULTADOS

Una vez aplicada la metodologa a las 12 redes

utilizadas como caso de estudio se obtuvieron los

resultados que se describirn a continuacin.

Figura 7. Costos Totales de las Redes en la

Topografa Suave A (MA)

Figura 8.Costos Totales de las Redes en la Topografa Empinada A (SA)

Figura 9. Costos Totales de las Redes en la Topografa Empinada B (SB)

El primer resultado destacable de la metodologa

propuesta corresponde a la reduccin en costos de

los diseos resultantes. A continuacin, en las

Figuras 7, 8 y 9, se muestran los resultados

obtenidos para cada una de las redes tanto para

OPUS y las flechas entre 0 y 0.25 as como para la

metodologa propuesta (lnea recta en las grficas).

Como ya se mencion, para cada topografa se

tienen combinaciones de parmetros de emisores

como (0.3, 0.25), (0.3, 0.5), (0.3, 1.0) y (0.03, 2.0),

correspondientes a los nmeros 1, 2, 3 y 4 en cada

figura.

Como se puede observar en la Figura 8, as como en

la Tabla 2, la mayor reduccin en los costos se logr

en la Red SA-4. Por su parte, en la Red SB-1 se

present un sobrecosto de la metodologa propuesta

respecto a OPUS. Dado que de los 12 casos de

estudio analizados, en 11 se obtuvieron costos

menores a los de OPUS, se puede concluir que el

algoritmo propuesto est encontrando soluciones

muy cercanas a la ptima en todas las redes.

Tabla 2. Reduccin en Costos en Cada Una de las Redes

Red K x SA SB MA

1 0,3 0,25 $ 2,891.28 $ -1,082.81 $ 429.17

2 0,3 0,5 $ 2,273.03 $ 170.35 $ 951.07

3 0,3 1,0 $ 3,082.67 $ 5,019.52 $ 1,904.25

4 0,03 2,0 $ 32,440.1 $ 281,44.26 $ 1,857.13

El segundo resultado destacable de la metodologa

propuesta es el nmero de iteraciones requerido para

llegar a la solucin ptima respecto a otras

metodologas utilizadas como OPUS o Algoritmos

Genticos.

Figura 10. Nmero de Iteraciones Segn la Metodologa Utilizadapara la Red SA-4

Como se puede observar en la Figura 10, al disear

la Red SA-4 se realizaron solamente 42 iteraciones

de la metodologa propuesta, mientras que a OPUS

le tom en promedio 209 iteraciones y a Algoritmos

Genticos le tom 109,501 iteraciones. Es

importante mencionar que dentro de las 42

iteraciones realizadas por la aproximacin propuesta

se encuentran 39 repeticiones considerando

demandas constantes, mientras que 3 de ellas si

consideran las demandas dependientes de la presin

a travs de los emisores. Por su parte, a pesar que

OPUS y AG consideran los caudales en funcin de

la presin, se demoran una cantidad significativa de

iteraciones adicionales a las de la metodologa

propuesta, mostrando as una de las principales

ventajas de esta respecto a las dems.

Ahora bien, al analizar la Tabla 3 se puede observar

la reduccin porcentual en el nmero de iteraciones

de la metodologa propuesta respecto a las realizadas

por OPUS para alcanzar el ptimo (nicamente para

la flecha ptima). De acuerdo con lo anterior, las

mayores reducciones, superiores al 52%, se

obtuvieron para la topografa suave (MA), y para la

empinada (SA). En el caso de la topografa SB fue

necesario realizar ms iteraciones, las cuales se

pueden atribuir a que esta topografa presenta ms

oscilaciones en el terreno, e incluso un pico, lo cual

afecta el cumplimiento del requerimiento de las

presiones.

Tabla 3. Reduccin Porcentual de Iteraciones Respecto OPUS Para Alcanzar el

ptimo

Red K x SA SB MA

1 0,3 0,25 78.95% 17.65% 52.54%

2 0,3 0,5 79.90% 59.22% 79.41%

3 0,3 1,0 66.67% 18.25% 68.42%

4 0,03 2,0 82.28% 27.84% 65.22%

Es importante recordar que en la Tabla 3 se muestra

la reduccin de iteraciones de la metodologa

propuesta respecto a OPUS, pero nicamente

considerando la flecha que lleg a la solucin

ptima. Dado que se trat con demandas

dependientes de la presin no fue posible identificar

a priori la flecha que llevara a la solucin ptima ya

que esta depende de la distribucin de demandas en

el sistema, y estas no se conocen antes de realizar el

diseo. Por lo anterior, resulta interesante analizar la

reduccin de iteraciones que tuvo la metodologa

propuesta respecto al nmero total de ejecuciones

hidrulicas realizadas por OPUS para el total de

flechas probadas.

Como se puede observar en la Tabla 4, en la

topografa que se logr una mayor reduccin en el

nmero de iteraciones fue en la SB, lo cual resulta

interesante ya que al analizar la reduccin en la

cantidad de ejecuciones hidrulicas para alcanzar el

ptimo en este tipo de terreno fue el que obtuvo la

menor reduccin. Finalmente, dado que en las tres

topografas se obtuvo una reduccin superior al 95%

respecto OPUS se puede concluir que la

metodologa propuesta es muy eficiente en cuanto el

tiempo computacional requerido.

Tabla 4. Reduccin Porcentual del Total de

Iteraciones Respecto OPUS

Red K x SA SB MA

1 0,3 0,25 98.62% 99.96% 97.56%

2 0,3 0,5 98.00% 99.98% 97.50%

3 0,3 1,0 97.41% 99.95% 96.55%

4 0,03 2,0 98.88% 99.95% 95.79%

CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES,

Y TRABAJO FUTURO

Se present, y aplic a 12 redes diferentes una

metodologa de diseo que combina criterios

hidrulicos para predefinir una lnea de gradiente

hidrulico objetivo con Programacin Lineal

enfocada hacia sistemas con demandas dependientes

de la presin. Como resultado, esta mostr

beneficios en cuanto a la calidad de la solucin, y la

cantidad de tiempo computacional requerido. El

primer beneficio se reflej en la obtencin de

menores costos constructivos que OPUS en todas las

redes analizadas, la cual se utiliz como valor base

al fin de comparar los resultados. Asimismo, la

segunda ventaja se hizo evidente al lograr una mayor

eficiencia en el tiempo computacional requerido,

reflejndose esto en un menor nmero de

ejecuciones hidrulicas realizadas para alcanzar el

ptimo respecto a la metodologa utilizada

anteriormente (OPUS).

Se ratific la importancia de la flecha inicial

utilizada en la generacin de la superficie de

gradiente hidrulico, la cual como concluy

Hernndez (2012), obtendr resultados con menores

costos constructivos entre esta ms cercana sea a

0.25.

Esta investigacin establece el primer paso de

futuros desarrollos en cuanto a metodologas que

resuelvan el problema de diseo optimizado de

RDAP aplicado a sistemas con demandas

dependientes de la presin en redes de mayor

complejidad. Lo anterior resulta muy til en el

diseo de redes contra incendios, la modelacin de

RDAP considerando fugas, entre otros.

BIBLIOGRAFA

Farmani, R., Abadia, R. y Savic, D. (2007).

Optimum Design and Management of Pressurized Branched Irrigation Networks. Journal of Irrigation and Drainage

Engineering, 133(6), pp. 528-537.

Gonzlez-Cebollada, C., Macarulla, B., y Salln, D.

(2011). Recursive Design of Pressurized Branched Irrigation Networks. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, 137(6),

pp. 375-382.

Hernndez, D. (2012). Diseo Optimizado de Submdulos de Sistemas de Riego

Localizado de Alta Frecuencia. Bogot: Universidad de los Andes.

Ochoa, S. (2009). Diseo Optimizado de Redes de Distribucin de Agua Potable con Base en el

Concepto Energtico de Superficie ptima

de Gradiente Hidrulico. Bogot: Universidad de los Andes.

Ostfeld, A. y Tubaltzev, A. (2008). Ant Colony Optimization for Least-Cost Design and

Operation of Pumping Water Distribution

Systems. Journal of Water Resources Planning Management, 134(2), pp. 107-118.

Pizarro, F. (1996). Riegos Localizados de Alta Frecuencia (RLAF). Goteo, Microaspersin,

Exudacin. Madrid: Mundi-Prensa.

Reca, J., Martnez, J., Gil, C. y Baos, R. (2007).

Application of Several Metaheuristic Techniques to the Optimization of Real

Looped Water Distribution Networks. Water Resources Management, 22(10), pp.

1367-1379.

Saldarriaga, J. (2007). Hidrulica de Tuberas. Abastecimiento de Agua, Redes, Riego. Bogot: Alfaomega. ISBN 978-958-682-

680-8.

Savic, D. y Walters, G. (1997). Genetic Algorithms for Least Cost Design of Water Distribution

Networks. Journal of Water Resources Planning Management, 123(2), pp. 67-77.

Spiliotis, M. y Tsakiris, G. (2007). Minimum Cost Irrigation Network Design Using Fuzzy

Integer Programming. Journal of Irrigation and Drainage Engineering, 133(3), pp. 242-

248.

Wu, I. (1975). Design of Drip Irrigation Main Lines. Journal of Irrigation and Drainage Division, 101(4), pp. 265-278.

Wu, Z. y Simpson, A. (2001). Competent Genetic-Evolutionary Optimization of Water

Distribution Systems. Journal of Computing in Civil Engineering, 15(2), pp.

89-101.